Kontytető torzfelülettel

Kontytető torzfelülettel A tanulmányai és a napi munkája során az ács viszonylag ritkán találkozik a torzfelület elnevezésű mértani alakzattal, bár a tetők és a zsaluzatok építése során is kapcsolatba kerülhet velük. Most – nem merülve el az elnevezések problémakörében – az alábbiakat mondjuk el e témával kapcsolatban, a tető - alakokra fordítva figyelmünket. Az [ 1 ] munkában is találkozhatunk a címbeli problémával: hogyan oldják meg a négyszög alaprajz feletti tetőidom kialakítását. Vegyük sorra a felmerülő főbb tudnivalókat. Egy ferdeszögű négyszög alaprajz feletti tetőidom kialakításáról Az [ 1 ] műben olvashatjuk az alábbiakat – 1. ábra.

1. ábra

2 A nem téglalap ereszkörvonal - rajzú kontytető kialakításának kétféle módját láthatjuk itt, annak érdekében, hogy az egyébként emelkedő – vagyis nem vízszintes – taréjt vízszintes helyzetűre alakítsuk át. Ugyanis az építészeti szakirodalom néhol egyenesen megengedhetetlennek tartja a ferde taréjjal készült tető - alakot. Most nem foglalkozunk szépészeti kérdésekkel, hanem úgy vesszük, hogy adott a feladat: a vízszintes taréjú kontytető kialakítása. Az 1. ábra felülnézeti tető - képei közül a jobb oldali azt az esetet szemlélteti, amikor az épület járda - szintjéről már nem látható felső tetőrészt úgy alakítják ki, hogy a ferde taréjt egy vízszintes síkkal levágják, majd az így létrejött T1T2T3 háromszögre – mint egy újabb ereszkörvonal - rajzra – egy az eredetinél jóval kisebb hajlású tetőidomot szerkesztenek. Utóbbi éleit az ábrán szaggatott vonalak jelzik. A bal oldali esetben a vízszintes taréjt az AB vízszintes ereszvonallal párhuzamossá tették. Ennek eredményeként a DC és a T1T2 egyenesek kitérő helyzetűek lettek, azaz rajtuk nem fektethető át egy sík. A nem sík felülettel való lefedéshez adja magát a „torzfelület”, amely egyenes alkotókkal bír. Így a DCT1T2 tetőfelület három részből áll: ~ a DET1 síkháromszögből, ~ az EFT2T1 torzfelületből, valamint ~ az FCT2 síkháromszögből. Ezt az is jelzi, hogy a D, A és B ereszsarkoknál a közepelést szögfelezéssel végezték, amikor is a megfelelő tetősíkok egyező hajlásúak. A C saroknál az ábrából is jól kivehetően a T2C élgerinc - vetület nem szögfelező helyzetű, ami azt jelzi, hogy az itt összemetsződő tetősíkok nem egyező hajlásúak: az élgerinc vetülete a szögfelezőtől elfordul a nagyobb hajlásszögű tetősík eresz - szakasza felé. Tudjuk, hogy az EF szakaszon az ereszre merőleges síkokban elhelyezett szarufák eltérő hajlásúak lesznek, amit úgy is megfogalmazhatunk, hogy a torzfelület csavarodik. A tetőidom főbb méreteinek meghatározását egy mintapéldán keresztül mutatjuk be. Megjegyzés: Különös, hogy az építészek részéről a ferde taréj ellen úgy szól az érvelés, hogy nem szép, valamint hogy nehéz kialakítani. Ha eddig követtük a gondolatmenetet, akkor kezdhet olyan gyanúnk támadni, hogy a térbeli kitérő helyzetű eresz és taréj között pl. a talpszelemen, illetve a taréjszelemen és a szarufa - végek összekötése sem lesz egy szokványos feladat. Másként fogalmazva: cseberből vederbe…

Mintapélda Adott: a 2. ábra szerinti fedélidom. Adatok: α = 60°, δ = 45°; a = 4,00 ( m ); b = 9,00 ( m ). Keresett: m, t, β, γ, εC , εC1 , εC2 , szerkesztéssel és számítással.

3

2. ábra

Megoldás a.) Szerkesztés Az alaprajzon dolgozunk – 3. ábra. A szerkesztéses méret - meghatározás lényege: a 2. ábrán befeketített háromszögek síkjának az alaprajz síkjába döntése, majd az így kapott valódi nagyságú háromszög adatok lemérése. A szerkesztés eredményei, méréssel: m = 4,90 ( m ); t = 5,00 ( m ); β = 48°; γ = 39°; ε C = 45°; ε C1 = 31°; ε C2 = 14°.

4

3. ábra

b.) Számítás A számításos megoldás során nagyrészt a szerkesztést követjük. Ehhez először tekintsük a 4. ábrát! Egyrészt:

  m a  a1  tg 45    a 2  tg45 ,  2 innen:

  a 2  a1  tg  45   ;  2

(a)

másrészt:

a  a1  a 2 ; most ( a ) és ( b ) - vel: 4. ábra

(b)

5

      a  a1  a1  tg 45    a1  1  tg 45   , innen:    2 2  a a1  ;     1  tg 45    2

(c)

továbbá ( b ) és (c ) - ből:

      a 1 a 2  a  a1  a   a  1            1  tg 45    1  tg 45      2 2        1  tg 45   1 tg 45     a 2 2  a  a  ,             1  tg 45   1  tg  45   1  ctg 45      2 2 2

tehát:

a2 

a .     1  ctg 45    2

(d)

Ezután az ábrák szerint:

m m  , innen ma a 2 m  a 2  tg; tg 

(e)

most ( d ) és ( e ) - vel:

m

a  tg .     1  ctg 45    2

(f)

Hasonlóan:

m , t a 2   sin  2 m tg  . a 2  t  sin  tg 

Most megint az ábrák alapján:

(g)

(h)

6

t  b  a1  a 2  b a1  a 2   b  a, tehát:

t  b  a.

(i)

Fejezzük ki ( g ) - t ( d ), ( e ), ( i ) - vel!

tg 



a 2  tg tg   t t a 2   sin  1   sin  1  2 2 a 2 2

tg  t  sin  a   1  ctg 45    2

tg ,     sin   b   1   1 1  ctg 45    2  a   2 

tehát:

tg 

tg .     sin   b   1   1 1  ctg 45    2  a   2 

(j)

Innen β már visszakereséssel számítható. Hasonlóan ( h ) - ból:

tg 

tg .  b       1  sin   1 1  ctg 45    a    2  

(k)

Innen γ már visszakereséssel számítható. Az εC szög az ábrákról azonnal adódik:

C  90 .

(l)

Az εC1 és εC2 szögeket egy korábbi dolgozatunk – címe: A szintvonalas eljárásról – eredményének felhasználásával számítjuk ki. A képlet:

7

Ezt alkalmazva az itteni esetre:

tg C1 

sin  C ; tg  cos  C tg

(m)

most ( k ), ( l ), ( m ) - mel:

sin 90  cos  tg C1    tg tg   cos 90   sin  tg tg cos   , 1  sin   b       1  sin  1 1  ctg 45    a    2 

tehát:

tg C1 

cos  1 sin   b      1  sin   1 1  ctg 45    a    2 

.

(n)

Innen εC1 már visszakereséssel számítható. Ennek ismeretében pedig:

 C2   C  C1 .

(o)

A fenti képletekbe helyettesítve az adatokat a következő eredmények adódnak:

m  4,899 (m);

  46,83 ;

 C  45, 00 ;

t  5, 000 (m);

  37,59 ;  C1  31,55 ;

 C2  13, 45.

A szerkesztéssel / méréssel és a számítással kapott számszerű eredmények egyezése elfogadható. A szögmérési pontatlanságokért a gyári hibás szögmérő eszköz is okolható.

8 A példabeli tető torzfelületéről Tekintsük az 5. ábrát! Itt kékkel a kezdő érintősíkot, pirossal a torzfelületet színeztük.

5. ábra Jelöljük a torzfelület egy tetszőleges pontját P - vel! Ennek koordinátái: ( xP, yP, zP ). A felület egyenletéhez a következőképpen juthatunk. Az 5. ábra alapján: z P  y P  tg (x P ); (1)

m ; a 2  x P  tg m  a 2  tg; tg (x P ) 

most ( 1 ), ( 2 ), ( e ) - vel:

zP  yP 

a 2  tg y P  tg  . a 2  x P  tg 1  x P  tg a2

Elhagyva a P indexet, a felület egyenlete:

(2) (e)

9

y  tg . x 1   tg a2

z(x, y) 

(3)

A ( d ) képlet szerint:

a2 

a .     1  ctg 45    2

(d)

Most ( 3 ) és ( d ) - vel:

z(x, y) 

y  tg y  tg  ,  x     x 1  tg 1   1  ctg  45    tg a  a  2    1  ctg 45    2

tehát:

 y  tg ,     x   1   tg 1  ctg 45      a 2      ahol :   0  x  b  a  cos  ,   a 0 y   b  a  sin  ,     1  ctg  45     2   a  tg 0z .       1  ctg  45     2  z(x, y) 

(4)

Hasonlítsuk össze az ( 1 ) és ( 4 ) képleteket! Leolvasható, hogy

tg(x) 

tg   x   1   tg 1  ctg 45     a 2 

.

(5)

10 Eszerint mondhatjuk, hogy a felületet egy olyan egyenes - sereg alkotja, melynek meredeksége az x - tengely mentén folytonosan csökken. Szokás ezt a felületfajtát vonalfelületnek is nevezni – [ 2 ]. Nézzük meg a felület néhány metszetét! I. z = konst = z0 ; ekkor ( 3 ) és ( * ) szerint:

z0 

(*)

z z tg y  tg  y 0  0   x  c1  c 2  x; x tg  tg  a 2 1   tg a2

(e-1)

ez egy egyenes egyenlete. II. y = konst = y0 ; ekkor ( 3 ) és ( ** ) szerint:

z

( ** )

y0  tg c3  ; x 1  c  x 4 1   tg a2

( hip )

ez egy hiperbola egyenlete. III. x = konst = x0 ; ekkor ( 3 ) és ( *** ) szerint:

z

( *** )

y  tg  c5  y; x0 1   tg a2

(e-2)

ez egy egyenes egyenlete. Az ( e - 1 ) és az ( e - 2 ) eredmények az 5. ábrán is megfigyelhetők. A metszeti hiperbola - ág lefutásának jellegét a 6. ábrán szemlélhetjük. Látjuk, hogy a tető szerkezetének építése során nem csak a szarufák, de a vízszintes helyzetű egyenes tetőlécek is gond nélkül elhelyezhetők. Ez már nem mondható el egy véges merevségű lemez felerősítésével kapcsolatban, annak megcsavarodása miatt.

Önállóan megoldandó feladatok F1. Határozza meg az ET1, FT2, GT3 szarufa - hosszakat! F2. Mutassa meg, hogy a tetőidom csak síkokat tartalmaz, ha ~ δ = 0, illetve ~b=a! F3. Határozza meg a példabeli torzfelület csavarodását!

11 z 1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

x -0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

-0.2

-0.4

-0.6

6. ábra

Irodalom: [ 1 ] – Kotsis Endre: Épületszerkezettan Egyetemi Nyomda, Budapest, 1945. [ 2 ] – http://hu.wikipedia.org/wiki/Vonalfel%C3%BClet

Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2010. november 6.

2.6