Konfidencia-intervallumok 1./ Egy 100 elemű mintából 95%-os biztonsági szinten készített konfidencia intervallum: 177,2; 179,18 . Határozza meg a minta átlagát és szórását, feltételezve, hogy az egész sokaság normális eloszlású valószínűségi változó! (Megoldás: = 2,021; ̅ = 178,19, ∗ = 5) 2./ Tengelyek hossza normális eloszlású valószínűségi változó σ = 0,34 cm szórással. Egy 40 darabos mintában a tengely hosszának átlaga 20,24 cm. Határozza meg 99%-os szinten a konfidencia intervallumot! (Megoldás: = 2,576; . : 20,10 < ! < 20,38) 3./ Lécek hossza normális eloszlású valószínűségi változó σ = 0,2 m szórással. 20 lécet megvizsgálva a hosszuk átlaga 6 m. Az átlag milyen környezetébe esik a léc hossza 0,95 valószínűséggel? (Megoldás: = 1,96; . : 5,912 < ! < 6,088) 4./ Határozza meg az alábbi adatok alapján a 95%-os konfidencia intervallumot! Súly Gyakoriság
61-63 3
64-66 5
67-69 12
70-72 15
73-75 9
76-78 4
79-81 2
(Megoldás: = 50; = 2,105; = 70,52; ∗ = 4,301; . : 63,3 < ! < 71,74) 5./
Egy kollégium diákjainak tömegadatai a következők: Tömeg(kg) 60-62 63-65 66-68 69-71 72-74
Diákok száma 5 18 42 27 8
Határozza meg a diákok tömegének 95%-os konfidencia-intervallumát! (Megoldás: = 100; = 1,98; = 67,45; ∗ = 2,9349; . : 66,87 < ! < 68,03) 6./ Kekszcsomagok tömege normális eloszlású valószínűségi változó σ = 33 g szórással. 10 elemű véletlenszerűen választott minta esetén a tömegek (g-ban mérve): 397,3; 399,6; 401,0; 392,9; 396,8; 400,0; 397,6; 392,1; 400,8; 400,6. Határozza meg 95%-os szignifikaszinten a konfidencia-intervallumot! (Megoldás: = 10; = 1,96; = 387,87; . : 367,42 < ! < 408,32) 7./ Gördülőcsapágy élettartamát vizsgálva - amely az előzetes információk alapján jól közelíthető normális eloszlással - a következő mérési eredményeket kaptuk:
élettartam ( 10 5 fordulat ) gyakoriság
1-2
2-3
3-4
4-5
5-6
6-7
7-8
8-9
9-10
1
2
5
7
10
7
5
3
1
95% valószínűséggel határozza meg a várható értékre vonatkozó konfidenciaintervallumot! (Megoldás: = 41; = 2,021; = 5,573; ∗ = 1,8082; . : 5,002 < ! < 6,144) 8./ Egy cég dolgozói munkába járásra fordított idejét percekben tartalmazza az alábbi táblázat: utazási idő (perc) dolgozók száma
0-20
20-40
40-60
60-80
80-100
100-120
120-140
6
9
15
30
19
10
8
Határozza meg az utazási időre vonatkozó 95%-os konfidencia-intervallumot! (Megoldás: = 97; = 1,99; = 72,474; ∗ = 31,26; . : 66,16 < ! < 78,79)
Egymintás t-próba 1./ Lécek hossza 4 m várható értékű normális eloszlású valószínűségi változó. 100 db lécet kiválasztva a hosszuk átlaga 3,95 m, korrigált szórása 0,15 m. Feltehető-e 95%-os szignifikaszinten, hogy a fűrészgép előírásosan működik? (Megoldás: = 2,021; "# = 3,33 ! $%& "# > a gép nem működik megfelelően) 2./ Ékszíj élettartama egy 20 elemű minta alapján normális eloszlású valószínűségi változó 1145 óra mintaátlaggal és 143 korrigált szórással. Elfogadhatjuk-e a gyártónak azt az állítását, hogy az ékszíjak élettartama 1200 óra. Döntsünk 95%-os szignifikaszinten! (Megoldás: = 2,093; "# = 1,72 ! $%& "# < elfogadható) 3./ Léc hossza normális eloszlású valószínűségi változó 6 m várható értékkel. 60 lécet kiválasztva a hosszuk átlaga 5,95 m, korrigált szórásuk 0,15 m. Megfelelnek-e a lécek hossza az előírásos 6 m-nek? Döntsünk 95%-os szignifikaszinten! (Megoldás: = 2,000; "# = 2,58 ! $%& "# > nem felelnek meg) 4./ Tengely átmérőjéről feltesszük normális eloszlású valószínűségi változó. A mérési adatok a következők mm-ben: 14,9; 15,0; 15,0; 15,1; 15,1; 15,1; 15,2; 15,2; 15,2; 15,2; 15,3; 15,3; 15,4; 15,4; 15,5 Megfelelnek-e a tengelyek, ha az előírás 15,3 mm? Döntsünk 95%-os szignifikaszinten! (Megoldás: = 2,145; = 15,2; ∗ = 0,177 ; nem felelnek meg) "# = 2,58 ! $%& "# >
Egymintás u-próba 1./ Egy gép által gyártott rudak hossza normális eloszlású 420 cm várható értékkel és 12cm szórással. A gép javítása után egy 100 elemű minta átlaga 423 cm. Feltehető-e, hogy a gép ugyanolyan jól működik, mint régen, ha a szórás nem változott? (Megoldás: = 1,96; "# = 2,5 ! $%& "# > nem működik ugyanúgy) 2./ Lécek hossza normális eloszlású valószínűségi változó. 4 m várható értékkel és 0,3m szórással. 50 db lécet kiválasztva a hosszuk átlaga 3,95 m. Feltehető-e 95%-os szignifikaszinten, hogy a fűrészgép előírásosan működik? (Megoldás: = 1,96; "# = 1,178 ! $%& "# < előírásszerűen működik) 3./ Jól felkészült tanulók dolgozatai pontszámának átlaga 70, szórása 6. Egy 36 fős osztály dolgozatainak átlagpontszáma 68,5. Normális eloszlást feltételezve döntse el 95%os biztonsági szinten, hogy a diákok rendesen készültek-e fel a dolgozatra? (Megoldás: = 1,96; "# = 1,5 ! $%& "# < rendesen felkészültek)
Kétmintás F- és t-próba 1./ Az első 100 fős gyerekcsoport átlagsúlya 27,53 kg , a második 144 fős csoporté 26,81kg. Mindkét normális eloszlás szórása 3.48. Döntse el, hogy a két csoport átlagának eltérése véletlen-e? (Megoldás: ( = 100; ( = 27,53; (∗ = 3,48 ) = 144; ) = 26,81; )∗ = 3,48 = 1,97; "# = 1,589 ! $%& "# < → + %& é-é %! + . á. ) 2./ Az első 25 fős munkacsoport 4,11 perces átlaggal és1.85-os szórással oldotta meg a feladatot. A második 24 fős munkacsoport 3,35 perces átlaggal és1,17-es szórással oldotta meg a feladatot. 95%-os szignifikaszinten döntsük el, hogy a két csoport szórásnégyzete tekinthető-e egyformának? (Megoldás: ( = 25; ( = 4,11; (∗ = 1,85 ) = 24; ) = 3,6; )∗ = 1,35 1 = 1,965; 1"# = 1,878 ! $%& 1"# < 1 → 95% $&ó+íűé..%& 6( = 6) ) = 2,01; "# = 1,098 ! $%& "# < → + %& é-é %! + . á. ) 3./
Két minta adatai az alábbiak:
A minta B minta
1,110 1,224 0,949 0,523 0,331 0,754 0,395 0,42 0,61 0,479 0,38 0,317 0,184 0,27
0,21
0,599
Döntse el 95%-os szignifikaszinten, hogy a két csoport szórásnégyzete tekinthető-e egyformának? (Megoldás: ( = 6; ( = 0,8152; (∗ = 0,345 ) = 10; ) = 0,3864; )∗ = 0,1474 1 = 3,22; 1"# = 5,48 ! $%& 1"# > 1 → 95% $&ó+íűé..%& 6( ≠ 6) )
χ8 9:ó;< 1./
Az alábbi táblázat azt mutatja, melyik napokon hány dolgozó hiányzott a gyárból:
Nap Hiányzók száma
HÉTFŐ
KEDD
SZERDA
CSÜTÖRTÖK
PÉNTEK
121
87
87
91
114
A χ) próba alkalmazásával döntse el 95%-os biztonsági szinten, hogy egyenletesen oszlik-e el a hiányzás a hét napjai között? (Megoldás: 2 2 2 2 2 121 − 100 ) + ( 87 − 100 ) + ( 87 − 100 ) + ( 91 − 100 ) + (114 − 100 ) ( 2 χ sz = = 10 ,56 100 χ e2 ( 4 ,95% ) = 9 ,49 Mivel χ sz2 > χ e2 , ezért 95%-os biztonsági szinten a hiányzás nem egyenletesen oszlik el a hét napjai között. 2./ Egy gyártási folyamat során 5 hosszúságú mintákat vesznek, és azokban a selejtek számát figyelik. Egy héten át 500 mintát vettek, és minden mintában feljegyezték a selejtek számát. Az eredményt a következő táblázat tartalmazza: selejt száma a mintában gyakoriság
0
1
2
3
4
5
170
180
120
20
8
2
a./ Számítsa ki a mintánkénti selejtgyakoriságot olyan binomiális eloszlást feltételezve, melynek várható értéke és elemszáma a megfigyelésekkel egyezik. b./ A χ 2 eloszlás segítségével állapítsa meg, hogy a megfigyelt eloszlás tekinthető-e binomiális eloszlásnak? (Megoldás: xi
fi
pi
n ⋅ pi
0
170
5 0,2088 0 ⋅ 0,7912 5 = 0,31 0
155
1
180
5 0,20881 ⋅ 0,7912 4 = 0,4091 1
205
2
120
5 0,2088 2 ⋅ 0,7912 3 = 0,2159 2
108
3
20
5 0,2088 3 ⋅ 0,7912 2 = 0,057 3
28
4
8
5 0,2088 4 ⋅ 0,79121 = 0,0075 4
4
5
2
5 0,2088 5 ⋅ 0,7912 0 = 0,0004 5
0
n = ∑ f i = 500
x = 1,044 .
A feltételezett binomiális eloszlásban a választott minta elemszáma n = 5 . Tudjuk továbbá, hogy m = x = n ⋅ p amiből p =
1,044 = 0,2088 5
Mivel nem teljesül az n ⋅ p ≥ 10 feltétel, ezért csoportokat össze kell vonni. Összevonás után a táblázat
χ sz2 =
fi
n ⋅ pi
170 180 120 30
155 205 108 32
(170 − 155)2 + (180 − 205)2 + (120 − 108)2 + (30 − 32 )2
155 χ e2 (3,95% ) = 7,81
205
108
32
= 5,959
Mivel χ sz2 < χ e2 , ezért 95%-os biztonsági szinten binomiális eloszlású. 3./ Tekinthető-e szabályosnak az a dobókocka, amelyet n = 1200-szor feldobva, az egyes számok gyakoriságára az alábbi eredményeket kaptuk? Dobott szám gyakoriság
1-es 195
2-es 210
3-as 190
4-es 204
5-ös 205
6-os 196
Döntsön 95%-os biztonsági szinten! (Megoldás: 2 2 2 2 2 2 195 − 200 ) + ( 210 − 200 ) + (190 − 200 ) + ( 204 − 200 ) + ( 205 − 200 ) + (196 − 200 ) ( χ = = 2 sz
200
2 sz 2 e
χ = 1,41 χ ( 5,95% ) = 11,1 Mivel χ sz2 < χ e2 , ezért 95%-os biztonsági szinten a dobókocka szabályos. 4./ Egy kockát egymás után 5-ször feldobtak, s a dobott 6-osok számát lejegyezték Ezt a kísérletet 200-szor megismételve a következő táblázatot kapták: ( x a 6-osok számát jelenti az 5 dobásból, f az előfordulási gyakoriságot a 200 kísérletből). 0 66
x f
1 82
2 40
3 10
4 2
5 0
Állíthatjuk-e a kísérlet alapján, hogy a kocka cinkelt? Megoldás: ( χ
2 sz
2 2 2 2 ( 66 − 80,38) ( 82 − 96,46 ) ( 40 − 48,22 ) ( 12 − 14,79 ) = + + +
80,38
χ sz2 = 6,67 ;
96,46
48,22
14,79
χe2 ( 3; 95% ) = 7 ,81
Mivel χ sz2 < χ e2 , ezért 95%-os biztonsági szinten a kocka szabályos.)
Lineáris korreláció és regresszió 1./ Számítsa ki az alábbi táblázatban megadott x és y változók közötti lineáris korrelációs együtthatót! Amennyiben feltételezhető lineáris korreláció, írjuk fel a regressziós egyenes egyenletét! x 1 3 4 6 8 9 11 14 2 4 4 5 7 8 9 y 1 (Megoldás: = 8; = 7; = = 5; ∑ ?) = 524; ∑ =?) = 256; ∑ ? =? = 364 - = 0,977; - ≈ 1 → %á&& & %á- --%&áA ó -%.-%+ ó %.=%% %.=%&% %: = = 0,64 + 0,52 . ) 2./ Állapítsa meg a következő összetartozó mérési adatok közti korreláció erősségét, és amennyiben feltételezhető a két változó közötti lineáris kapcsolt, adja meg a regressziós egyenes egyenletét! xi yi
1,1 6,8
1,9 9,2
2,4 9,7
2,9 10,6
3,6 11,5
3,9 12,8
4,3 13,1
5,1 14,8
5,6 15,9
6,2 16,6
Határozza meg x értékét, ha y értéke 25 ! (Megoldás: = 6; = 100,133; = = 599,833; ∑ ?) = 60185,2; ∑ =?) = 2160255; ∑ ? =? = 360567,4 - = 0,982; - ≈ 1 → %á&& & %á- --%&áA ó -%.-%+ ó %.=%% %.=%&% %: = = 7,44 − 145,16; ℎ = = 25, - = 22,87. ) 3./ Egy üzemben csöveket gyártanak és vágnak 100 cm-es darabokra. Az egy nap alatt elkészült áruból 6 elemű mintát vettünk, és a mintadarabok hosszát és súlyát vizsgáltuk. A kapott adatokat a következő táblázat tartalmazza: Hosszúság ( cm ) xi Súly ( cN ) yi
101,3 609
103,7 626
98,6 586
99,9 594
97,2 579
100,0 605
Határozza meg a korrelációs együtthatót! Ez alapján döntse el, hogy feltételezhető-e lineáris korreláció a két változó között! Ha igen, írja fel a regressziós egyenes egyenletét! (Megoldás: = 10; = 3,7; = = 12,1; ∑ ?) = 161,46; ∑ =?) = 1552,44; ∑ ? =? = 494,07 - = 0,9955; - ≈ 1 → %á&& & %á- --%&áA ó -%.-%+ ó %.=%% %.=%&% %: = = 1,888 + 5,11;
