Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics

The Mathematics Education into the 21st Century Project Proceedings of the International Conference The Decidable and the Undecidable in Mathematics Education Brno, Czech Republic, September 2003

Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice Drahomíra Holubová Resume Polookruhy, které nejsou okruhy, mají významné zastoupení ve školské matematice. Tento příspěvek uvádí příklady komutativních a nekomutativních polookruhů, které nejsou okruhy.

Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics Resume The semi-rings, which are not rings, play a considerable role in educational mathematics. This article show examples of commutative and of non-commutative semirings, which are not rings.


Algebraická struktura polookruh je z hlediska četnosti výskytu ve školské matematice základní školy nejvýznamnější algebraickou strukturou se dvěma operacemi. Bude proto tato část příspěvku věnována přehledu pojmů týkajicích se především algebraických operací a algebraických struktur se dvěma operacemi. Definice 1. Binární (algebraická) operace o v (neprázdné) množině M je zobrazení z množiny M × M do množiny M .Místo [ x, y, z ] ∈ o píšeme x o y = z a místo „binární (algebraická) operce“ budeme obvykle říkat jen „operace“. Definice 2. Vlastnosti binární operace o v množině M : a) ND: neomezeně definovaná – právě když pro každé prvky x, y ∈ M existuje z ∈ M , že x o y = z . b) K: komutativní – právě když pro každé prvky x, y ∈ M platí x o y = y o x . c) A: asociativní – právě když pro každé prvky x, y, z ∈ M platí ( x o y ) o z = = x o ( y o z) . d) EN: v množině M existuje neutrální prvek vzhledem k operaci o - právě když existuje e ∈ M , že pro každé x ∈ M platí x o e = e o x = x ; e je neutrální prvek množiny M vzhledem k operaci o . e) EI: v množině M ke každému prvku existuje prvek inverzní vzhledem k operaci o - právě když ke každému x ∈ M existuje x ∈ M , že platí x o x = x o x = e; x je inverzní prvek k prvku x ∈ M vzhledem k operaci o . f) ZR: v množině M jsou řešitelné základní rovnice vzhledem k operaci o - právě když ke každým prvkům a, b ∈ M existuji prvky x, y ∈ M , že platí a o x = b a y o a = b .

Pro každou operaci o v množině M platí: • Existuje nejvýše jeden neutrální prvek v množině M vzhledem k operaci o . • Je-li operace asociativní, pak ke každému prvku existuje nejvýše jeden prvek inverzní. • Aby operace o mohla mít některou z vlastností K, A, ZR musí mit vlastnost ND ( K ⇒ ND, A ⇒ ND, ZR ⇒ ND ). • Aby operace o mohla mít vlastnost EI, musí mít vlastnost EN ( EI ⇒ EN ). • Jestliže má operace o vlastnost A pak má vlastnost EI právě tehdy, když má vlastnost ZR ( A ⇒ ( EI ⇔ ZR ) ). ∗D o : jsou-li v množině M definovány dvě binární operace oa ∗ a pro každé tři prvky x, y, z ∈ M platí: x ∗ ( y o z ) = ( x ∗ y ) o ( x ∗ z ) a ( y o z ) ∗ x = ( y ∗ x) o ( z ∗ x) , pak říkáme, že operace ∗ je distributivní vzhledem k operaci o . Definice 3. Algebraické struktury typu ( M , ⊕, ) se dvěma operacemi: a) polookruh – operace ⊕ má vlastnosti K a A, operace má vlastnost A a platí D ⊕ , b) okruh – polookruh, jehož operace ⊕ má vlastnost EI, neutrální prvek množiny M vzhledem k operaci ⊕ nazýváme nulový a začínáme o, c) těleso – okruh, kde platí ( M − {o}, ) je grupa ( značí tentokrát tzv. restrikci, tj. zúžení původní operace ze struktury ( M , ⊕, ) na množinu M − {o}) .


komutativní, půjde vždy o algebraickou strukturu komutativní, Je-li operace v opačném případě o nekomutativní. Operace ⊕, po řadě nazýváme sčítání a násobení.Prvky inverzní u operace ⊕ nazýváme opačné.U operace nazýváme neutrální prvek jednotkový, značíme 1, inverzní prvky nazýváme převrácené. V předcházejícím odstavci jsme se seznámili s některými důležitými typy algebraických struktur se dvěma operacemi.Ve školské matematice, jmenovitě v aritmetice, nalézáme pouze polookruhy komutativní (pro úplnost uvedeme na závěr odstavce i příklad nekomutativního polookruhu).Proto po uvedení příkladů polookruhů majících širší a základní působnost sestavíme přehled nejdůležitějších vlastností komutativních polookruhů. Příklady komutativních polookruhů, které nejsou okruhy a jsou, případně mohou být studovány ve školské matematice (a to i na základní škole), jsou přehledně uvedeny v [3], kde jsou též stručně připomenuty jejich základní vlastnosti. Výčet uvedených příkladů doplníme ještě několika dalšími příklady komutativních polookruhů, které nejsou okruhy, uvedenými v [2]. množina všech nezáporných reálných čísel, pak algebraická struktura ( , +, ⋅) , Je-li kde + , ⋅ jsou obvyklá sčítání a násobení reálných čísel, je komutativní polookruh, který není okruh, s nulovým a jednotkovým prvkem a s neomezeně proveditelným dělením. množina všech kladných reálných čísel, pak algebraická struktura ( , +, ⋅) , kde Je-li +, ⋅ jsou obvyklá sčítání a násobení reálných čísel, je komutativní polookruh, který není okruh, bez nulového prvku, s jednotkovým prvkem a s neomezeně proveditelným dělením. , kde je množina všech Algebraická struktura racionálních čísel, + a ⋅ jsou obvyklá sčítání a násobení racionálních čísel, je komutativní polookruh, který není okruh, bez nulového prvku a bez jednotkového prvku (a nemůže tedy být s neomezeně proveditelným dělením). , kde je množina všech Algebraická struktura reálných čísel, + a ⋅ obvyklá sčítání a násobení reálných čísel, je komutativní polookruh, který není okruh, bez nulového prvku a bez jednotkového prvku. Dále uvedeme některé vlastnosti komutativního polookruhu ( M , ⊕, ): Sčítání i násobení jsou obecně komutativní a obecně asociativní operace v množině M (tzn., že například n sčítanců můžeme v libovolném pořadí a libovolně uskupené do závorek sečíst a dostaneme vždy stejný výsledek). Násobení je obecně distributivní vzhledem ke sčítání (tzn. násobíme-li m sčítanců n sčítanci, vynásobíme po řadě každý z m sčítanců každý z n sčítanců a všechny vzniklé součiny dvou prvků sečteme). Pro každé prvky a,b,c libovolného komutativního polookruhu ( M , ⊕, ) platí (většina uvedených vět je v [1] , kde jsou některé i dokázány): Existuje-li rozdíl a b , pak platí (a b) ⊕ b = a, (a ⊕ c) (b ⊕ c) = a (a ⊕ b) b = a.

b


Existují-li rozdíly a

c ,b

c, pak platí ( a ⊕ b ) c = (a

c) ⊕ b = a ⊕ (b c).

Existují-li rozdíly b c,a b,a (b c), pak platí a (b c) = (a ⊕ c) b = = (a Ө b) ⊕ c . Existuje-li rozdíl a

(b ⊕ c), pak platí a (b ⊕ c) = (a

b ) c=(a c) b.

(b c)= (a ⊕ c)

Existují-li rozdíly a b,a c,b c. pak platí (a c)

(b ⊕ c) =a b.

Existuje-li podíl a b, pak platí (a b) b = a . Je-li b ≠ o , pak (a b) b = a. Existují-li podíly a c,b c, pak platí (a b)

c=(a c)

Existují-li podíly b c,a (b c), pak platí a (b c) = (a

b = a (b c).

c) b.

Existuje-li podíl a (b c) a je b ≠ o, c ≠ o , pak platí a (b c) = (a Existuje-li podíl a b a c ≠ o , pak platí (a c )

b)

c.

(b c) = a b.

Existují-li podíly a b, a c, b c, pak platí (a c)

(b c) = a b.

Lze říci, že všechny běžně studované polookruhy (zejména číselné polookruhy) ve školské matematice jsou komutativními polookruhy. Existují však i nekomutativní polookruhy, které nejsou okruhy a o kterých je možno říci, že nejsou komplikované. Pro potvrzení předcházejícího sdělení uvedeme dva takové případy: 1. případ: Je daná množina M = {a, b} a ostré lineární uspořádání a < b .Binární operace ⊕ a jsou definovány takto: x ⊕ y = max{x, y}, x y = y. Operační tabulky obou operací tedy vypadají následovně:

Pro vlastnosti jednotlivých operací platí: ⊕ : ND ∧ A ∧ K ∧ EN ∧ ¬ EI ∧ ¬ ZR : ND ∧ A ∧ ¬ K ∧ ¬ EN ∧ ¬ EI ∧ ¬ ZR ∧

Vlastnost A pro operaci a vlastnost D ⊕ je asi nutné potvrdit experimentálně, zbývající vlastnosti jsou patrné z tvarů operačních tabulek operací. Můžeme proto vyslovit následující závěr:


Algebraická struktura ( M , ⊕, ) je konečný nekomutativní polookruh s nulovým prvkem (je to prvek a), bez jednotkového prvku, který není okruh. Ke stejnému závěru bychom zřejmě dospěli i pro případy: M = {a, b, c} , ostré lineární uspořádání a < b < c; M = {a, b, c, d }, ostré lineární uspořádání a < b < c < d atd. 2. případ: Je dána množina všech čtvercových matic 2. řádu nad jsou po řadě sčítání a násobení matic.

0

a binární operace ⊕,

Není těžké zjistit, že operace mají tyto vlastnosti: ⊕ : ND ∧ K ∧ A ∧ EN ∧ ¬ EI ∧ ¬ ZR : ND ∧ ¬ K ∧ A ∧ EN ∧ ¬ EI ∧ ¬ ZR ∧ D ⊕ Tzn. že algebraická struktura ( M , ⊕, ) je nekonečný nekomutativní polookruh  0, 0  1, 0  ) a jednotkovým prvkem (matice  s nulovým prvkem (matice    ), který není  0, 0   0, 1  okruh. Vezmeme-li místo množiny množinu (množina všech nenulových přirozených čísel), dostaneme nekonečný nekomutativní polookruh bez nulového a jednotkového prvku, který není okruh. Je zřejmé, že ke stejným závěrům dospějeme i v případech, když vezmeme množinu všech čtvercových matic n-tého řádu, pro n > 2.

Literatura [1] Drábek, Jaroslav – Liška, Jan – Viktora, Václav et al.: Základy elementární aritmetiky pro učitelství 1. stupně ZŠ. 1. vydání, Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1985, 223 s. [2] Holubová, Drahomíra: Izomorfní vnoření polookruhu všech nezáporných racionálních čísel.Rigorózní práce obhájena 1.2.2002 na Pedagogické fakultě Masarykovy univerzity v Brně, 124 s. [3] Viktora, Václav: Izomorfní vnoření polookruhů.In Sborník prací Pedagogické fakulty UJEP v Brně, svazek 40, Brno: UJEP v Brně, 1974, s. 45-57.

Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics

Recommend Documents