KOMPUTASI DEKOMPOSISI WAVELET HAAR BERBASIS ALJABAR MAX-PLUS Dosen Pembimbing : Dr. Mahmud Yunus Dr. Subiono
Hergian Dinarina 1209201009 Pascasarjana Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya
TRANSFORMASI WAVELET ANALISIS
DEKOMPOSISI
HAMPIRAN
DETAIL
CITRA RESULT
REKONSTRUKSI
SINTESIS
Proses analisis adalah suatu proses mengolah sinyal utama menjadi satu sinyal hampiran dan beberapa sinyal detail. Sedangkan proses sintesis dapat disebut juga sebagai proses kebalikan dari proses analisis.
TRANSFORMASI WAVELET HAAR MAX-PLUS Matematika Morfologi
Transformasi Wavelet Haar klasik
Transformasi Wavelet Haar Morfologi (Max/Min)-[Heijmans,dkk] Aljabar max-plus Transformasi Wavelet-Haar MaxPlus
TESIS INI.. ANALISIS
SINTESIS
FORMULA
ALGORITMA
Transformasi Wavelet-Haar MaxPlus CONTOH-CONTOH dan IMPLEMENTASI
Transformasi Wavelet Haar Sinyal hampiran
Sinyal Detail
Operator hampiran (rataan) dan operator detail adalah sebagai berikut,
TINJAUAN PUSTAKA
TRANSFORMASI WAVELET HAAR
Transformasi Wavelet Morfologi Haar Transformasi Wavelet Morfologi Haar [Heijmans,dkk] max
min
TINJAUAN PUSTAKA
WAVELET MORFOLOGI HAAR
Skema proses analisis
Skema proses sintesis
Contoh
Misalkan sinyal utama
Proses analisis sinyal utama tersebut akan menghasilkan hasil dekomposisi yaitu :
Bagian terang adalah sinyal hampiran, dan bagian yang berwarna gelap adalah sinyal-sinyal detail. Adapun prosesnya dapat dilihat lebih mudah dalam skema sebelumnya.
Formula wavelet Haar max-plus
Operator hampiran pada wavelet Haar klasik
Operator detail :
Pada wavelet morfologi Haar, operator hampiran tersebut diganti menjadi :
Sedangkan operator detail tidak mengalami perubahan.
Proses Analisis 1-dimensi
Formula operator hampiran untuk proses sintesis menggunakan wavelet morfologi Haar adalah :
Sedangkan untuk operator detail tidak ada perubahan, yaitu :
Selanjutnya dilakukan penyesuaian operator, antara operator pada matematika morfologi dan aljabar maxplus. Operator maksimum diganti dengan operator oplus, sedang penjumlahan diganti o-time.
Haar klasik
Haar max-plus
Sedangkan operator pengurangan, dilakukan sebagai berikut : Haar klasik
Haar max-plus
Cara tersebut dilakukan pada seluruh formula wavelet Haar morfologi yang telah ada sebelumnya. Dan dengan cara yang sama, dapat ditulis menjadi :
Proposisi 4.2.1
Formula untuk proses analisis (1-dimensi) menggunakan wavelet Haar max-plus adalah : Formula operator hampiran adalah :
Sedangkan formula operator detail :
Proses Sintesis 1-dimensi
Formula untuk proses sintesis menggunakan wavelet morfologi Haar adalah :
Dan,
Serta,
Contoh proses sintesis dengan sinyal hampiran dan detail terlihat pada skema sebelumnya
Sebelum membentuk formula untuk proses sintesis, operator minimum pada wavelet morfologi, terlebih dahulu juga akan diganti dengan operator maksimum, dengan cara seperti berikut ini :
Proposisi 4.2.3
Formula untuk proses sintesis (1-dimensi) menggunakan wavelet Haar max-plus adalah :
And
Also
Proses Analisis 2-dimensi
Hal ini menjadi perbedaan antara dekomposisi sinyal dengan wavelet Haar klasik dengan wavelet Haar max-plus. Pada wavelet Haar klasik, proses analisis pada 2dimensi adalah separable, yaitu dengan cara mengerjakan setiap baris (sebagai 1dimensi), kemudian mengerjakan kolom-kolomnya(sebagai 1-dimensi).
Formula proses morfologi
analisis
wavelet
Haar
Disini dilakukan beberapa tahap pengalihan operator, dari operator wavelet Haar morfologi menjadi operator yang berlaku pada aljabar max-plus. adapun perubahannya seperti berikut ini :
Dengan demikian, diperoleh formula proses analisis untuk 2-dimensi adalah :
Proposisi 4.2.2
Formula untuk proses analisis (2-dimensi) menggunakan wavelet Haar max-plus adalah : Operator hampiran :
Operator detail :
Formula proses morfologi
sintesis
wavelet
Haar
Formula untuk proses sintesis (2-dimensi) menggunakan wavelet Haar max-plus adalah :
dan
Setelah 2 formula dikerjakan, formula berikut ini adalah tahap akhir dari proses untuk perolehan sinyal utama.
Untuk memperoleh formula wavelet Haar max-plus, dilakukan cara yang sama seperti sebelumnya. Formula wavelet Haar max-plus untuk proses sintesis adalah :
Proposisi 4.2.4
Proses sintesis dimulai dengan formula :
Kemudian dilanjutkan dengan :
Tahap akhir proses dengan formula :
Berikutnya akan diberikan contoh dekomposisi sinyal 2dimensi dengan sebuah matrik X berukuran NxN, dengan k N= 2 , untuk suatu k . Matrik tersebut mempunyai elemen sebanyak M
Contoh
Sinyal utama 2-dimensi, dengan k=2, dalam bentuk matrik 4x4
Hasil proses analisis tahap pertama :
Tahap akhir :
Daerah gelap pada matrik merupakan sinyal detail, sedangkan untuk daerah terang adalah sinyal detail. Dari hasil dekomposisi sinyal utama pada 2-dimensi juga menghasilkan sebuah sinyal hampiran dan beberapa sinyal detail.
Algoritma (wavelet Haar klasik 1-dimensi) : Array X ukuran N, dengan N 2k untuk suatu k : Array Hampiran XH Array Detail XD Langkah-langkah : 1. Hitung nilai mean(Xi,(Xi+1)) dan masukkan ke dalam array XHi 2. Hitung nilai (Xi-(Xi+1))/2 dan masukkan ke dalam array XDi 3. Lakukan langkah 1 dan 2 sebanyak 2k 1
Input Output
Algoritma (wavelet Haar klasik 2-dimensi) Input : matrik X ukuran NxN dengan N 2k, untuk k jumlah elemen matrik M Output : Array Hampiran XH Array Detail XD Langkah-langkah : 1. Hitung nilai mean(Xi,(Xi+1)) perbaris dan masukkan ke dalam array XHi 2. Hitung nilai (Xi-(Xi+1))/2 dan masukkan ke dalam array XDi 3. Ulangi langkah 1 dan 2 untuk semua kolom 3. Lakukan langkah 1, 2, dan 3 sebanyak k level
Algoritma (wavelet Haar max-plus 1-dimensi) : Array X ukuran N, dengan N 2k untuk suatu k : Array Hampiran XH Array Detail XD Langkah-langkah : 1. Hitung nilai max(Xi,(Xi+1)) dan masukkan ke dalam array XHi 2. Hitung nilai (Xi-(Xi+1)) dan masukkan ke dalam array XDi 3. Lakukan langkah 1 dan 2 sebanyak 2k 1
Input Output
Algoritma (wavelet Haar max-plus 2-dimensi)
Input Output
k N 2 : matrik X ukuran NxN dengan untuk k
: matrik Hampiran XH berukuran N 2 N 2 matrik Detail horisontal Xh berukuran N 2 N 2 matrik Detail vertikal Xv berukuran N 2 N 2 matrik Detail diagonal Xd berukuran N 2 N 2 Langkah-langkah : 1. Hitung XHi menggunakan formula hampiran pada proposisi 4.2.2 2. Hitung Xhi, Xvi, dan Xdi menggunakan formula detail pada proposisi 4.2.2 3. Ulangi sampai k level
Pengujian untuk dekomposisi 1-dimensi
Pada operator rataan, melakukan penjumlahan sebanyak 1 kali dan dilanjutkan pembagian 1 kali. Sedangkan pada operator max, dilakukan pengurangan 2 kali. Untuk operator detail, pada formula Haar klasik, dilakukan pengurangan 1 kali dan kemudian pembagian 1 kali, akan tetapi pada Haar Max-Plus, hanya dilakukan pengurangan 1 kali.
Untuk perhitungan waktu yang dibutuhkan, dimisalkan : a : waktu untuk 1 kali penjumlahan b : waktu untuk 1 kali pengurangan c : waktu untuk 1 kali pembagian Dengan, a
Pengujian untuk dekomposisi 2-dimensi
Dimisalkan matrik A berukuran NxN, dengan N 2k , untuk k dengan jumlah elemen matrik sebanyak M. Wavelet Haar klasik :
Dekomposisi sinyal 2-dimensi dengan wavelet Haar klasik dilakukan sampai k level, dengan tiap level membutuhkan 3M proses dekomposisi. Pengerjaan untuk tiap baris dan kolom sama seperti pada 1dimensi. Sehingga total waktu yang dibutuhkan adalah 3/2M(a+b+2c)
Sedangkan untuk wavelet Haar max-plus :
Dekomposisi sinyal 2-dimensi dengan wavelet Haar max-plus juga dilakukan sampai k level, dengan tiap level membutuhkan M proses dekomposisi. Sedangkan untuk tiap levelnya, dilakukan 4 perhitungan untuk mendapatkan sinyal hampiran, detail horisontal, detail vertikal dan detail diagonal. Dengan demikian, total waktu yang dibutuhkan adalah M/4(9a+6b+3c)=M/4(9a+6b+3c) Karena 3/2M(a+b+2c) =M(6/4a+6/4b+12/4c)=M/4(6a+6b+12c) maka : 9a+6b+3c=6a+3a+6b+3c < 6a+6b+6c < 6a+6b+12c Oleh karena itu, dekomposisi wavelet Haar max-plus 2-dimensi juga membutuhkan waktu yang lebih singkat.
Implementasi formula
Dimisalkan terdapat gambar seperti berikut :
Gambar tersebut akan diproses dalam grayscale, dimana untuk komputer 8-bit terdapat 255 warna dari hitam(0) menuju putih(255). Tepi gambar tersebut akan dikonfersi dalam bilangan 0-255 yang selanjutnya ditulis dalam bentuk matrik.
Dalam contoh kali ini, matrik yang akan dibentuk adalah matrik sederhana berukuran 16x16, dengan alas berwarna hitam dan garis tepi berwarna putih, seperti berikut ini :
