Kiegyenlítő számítások
Bácsatyai László
2010.
1. A tantárgy célja és feladatai Mint tudjuk, a geodézia célja a földi helymeghatározás, vagyis a földi pontok helyének meghatározása valamilyen koordinátarendszerben, s azoknak a későbbiekben térképen történő ábrázolása. E célból a Földön (a felszínen, a felszín alatt, ill. felett) geodéziai méréseket végzünk. A geodéziai mérésekhez tartoznak a levegőből repülőgépekről, ill. a műholdakról készült felvételeken végzett mérések és kiértékelések is. A geodéziai méréseket a mérések eredményeivel dokumentáljuk. Az eredmények rögzítése történhet analóg (mérési jegyzőkönyv), vagy digitális (adatrögzítő) formában. A geodéziai mérések eredményei különböző dimenziójúak. A Föld megismeréséhez mind fizikai, mind geometriai paramétereket meg mindennapos geodéziai munkában a mérések eredményei szög, ill. klasszikus geodéziában a szögek elhelyezkedhetnek a vízszintes, ill. a nevük megfelelően vízszintes, ill. magassági (vagy zenit) szög (1.1. ábra).
elméleti alakjának kell határozni. A távolságértékek. A függőleges síkban,
A távolságok elhelyezkedhetnek vízszintes, ferde és függőleges síkban, nevük megfelelően vízszintes távolság, ferde távolság, valamint magasság, ill. magasságkülönbség. A vízszintes távolságok lehetnek sík derékszögű koordináták, ill. koordinátakülönbségek is. Az 1.1. ábrán a földi mérési eredményeket foglaljuk össze a geodéziai műszerek koordinátarendszerében (műszer-, vagy helyi koordinátarendszer). ζ (helyi függőleges) P
df Z
α
O (műszerálláspont)
ζ (kezdőirány)
β h
η
∆H
dv
ξ
η
ξ
P' (helyi vízszintes sík)
h P’’
1.1. ábra: A klasszikus geodézia mérési eredményei Az 1.1. ábra jelölései:
β - vízszintes szög, dv - vízszintes távolság, df - ferde távolság, α - magassági szög, Z - zenitszög, ∆H - magasságkülönbség, η, ξ , ζ- helyi (állásponti, műszer-) koordináták, h – (itt) műszermagasság.
1
A magassági és a zenitszög egymást 90o-ra egészítik ki. A GPS (Globális Helymeghatározó Rendszer) vevőkkel egy földfelszíni álláspontban kapott mérési eredményekből (műhold-álláspont távolságokból) is szögeket és távolságokat kapunk. Ezek lehetnek az álláspontnak térbeli derékszögű koordinátái a WGS84 forgási ellipszoid középpontjába helyezett koordinátarendszerben (1.2. ábra: X, Y, Z), ill. ezen derékszögű koordinátákkal szigorú függvénykapcsolatban lévő két szögérték, ill. egy távolság (ϕ, λ , h). ellipszoidi normális
Z P h P’ Z
N
Egyenlítő síkja
O
Y
n ϕ
λ
X
Y P’’
X, Greenwich
1.2 ábra: GPS vevők mérési eredményei Az 1.2. ábra jelölései: a - a forgási ellipszoid fél nagytengelye, b - a forgási ellipszoid fél kistengelye, n – az ellipszoidi normális és forgástengely metszéspontja, N – harántirányú görbületi sugár a P’ pontban, X, Y, Z - ellipszoid középpontú térbeli derékszögű koordináták, ϕ - ellipszoidi szélesség, λ - ellipszoidi hosszúság, h – (itt) ellipszoidi magasság. Tantárgyunk a geodéziai mérési eredményeknek, ill. azok hibáinak kezelésével foglalkozik. A mérési eredmények, ill. hibáik kezelésén azon matematikai műveletek összességét értjük, amelynek eredményeként a mérések hibáiból eredő, ellentmondásokkal terhelt mérési eredmények felhasználásával 1. ellentmondásmentes (kiegyenlített) adatrendszert hozunk létre, 2. meghatározzuk a ellentmondásmentes adatrendszer megbízhatóságát mérőszámokat.
jellemző
Az 1. pontban végzendő műveletek összességét kiegyenlítésnek nevezzük. Az adatrendszer mind a kiegyenlített mérési eredményeket, mind az ezekkel valamilyen függvénykapcsolatban lévő - de nem mért - adatokat is tartalmazza. A 2. pontba foglalt feladatokkal a geodéziai hibaelmélet foglalkozik. A két feladat a végrehajtás közben nem különül el egymástól, a kiegyenlített adatokkal egyidejűleg a megbízhatósági mérőszámokat is szolgáltatni kell.
2
Már itt hangsúlyoznunk kell, hogy a kiegyenlítés csak az ellentmondásokat szünteti meg, a mérési hibákat, természetesen, nem. Utóbbiak - az ellentmondások megszüntetésével egyidejűleg - a kiegyenlítés alapjául szolgáló valamilyen előírt, ill. elfogadott matematikai feltételnek megfelelően oszlanak meg a kiegyenlített adatrendszer elemei között. A geodéziai feladat megbízhatósági követelményeitől függően a kiegyenlítés történhet: 2. Szigorú módszerrel (a geodéziai gyakorlat itt a legkisebb négyzetek módszerét részesíti előnyben); 1. Közelítő módszerekkel (kiegyenlítés helyett itt szokásos a közelítő hibaelosztás elnevezés is). A kiegyenlítés elsősorban a szigorú módszerekkel foglalkozik, a közelítő eljárásokat a geodéziai mérésekkel foglakozó tantárgyak részletesen tárgyalják, itt csak röviden térünk majd ki rájuk. ___________________________________________________________________________ Példa: Ha megmérjük egy síkbeli háromszög mindhárom szögét, az elkerülhetetlen mérési hibák miatt a három mérési eredmény összege 180o-tól eltér. Az eltérés értéke az ellentmondás. A kiegyenlítés feladata ekkor olyan - kiegyenlített - értékek számítása a három szögre, amelyeket összeadva, a háromszög szögeinek összege 180o. A kiegyenlítés eredményeként tehát az ellentmondás megszűnik, de ez nem jelenti azt, hogy a kiegyenlített szögértékeket nem terheli mérési hiba. Az utóbbira vonatkozóan információhoz a kiegyenlítés után jutunk. Helyezzük el a sík háromszöget egy sík derékszögű koordinátarendszerben (1.3. ábra). A háromszög csúcsainak derékszögű koordinátái és a háromszög szögei közötti szigorú függvénykapcsolat miatt a szögek kiegyenlítése a derékszögű koordinátákra, mint nem mért adatokra is ellentmondásmentes értékeket szolgáltat (1.3. ábra).
x yC
C
γ xC yA
α A
xA
yB
β B xB
O
y
1.3. ábra: A háromszög szögei és csúcspontjainak koordinátái Az 1.3. ábra jelölései: yA, xA, yB, x B, yC, xC - a háromszög csúcspontjainak koordinátái,
3
α, β , γ - a háromszög szögei. Vegyük észre, hogy - a matematikában megszokott sík derékszögű koordinátarendszerrel ellentétben - a geodéziában az y tengely pozitív ágát az x tengely pozitív ágától jobbra, az óramutató járásának megfelelő irányban kapjuk. E koordinátarendszer használatának oka többek között - az a hagyományos szemlélet, amelynek következtében a geodéziában használatos szögmérő műszereken a vízszintes szöget az óramutató járásával megegyező irányban olvassuk le, mert - mint a jobboldali közlekedést - ezt érezzük természetesnek. A korszerű elektronikus - digitális szögmérő műszerek alternatív lehetőségként tartalmazzák az óramutató járásával ellentétes irányban növekvő fokbeosztást is. ___________________________________________________________________________
4
2. Közvetlen és közvetett mérések Ha a geodéziai mérések közvetlenül magukra a keresett mennyiségekre irányulnak, közvetlen mérésekről, ha a keresett mennyiségekkel valamilyen (függvény-) kapcsolatban álló egyéb mennyiségekre, közvetett mérésekről beszélünk. Általánosan: Legyenek x, y,....., z közvetlen mérési eredmények. Ekkor tetszőleges u = ax + by + ... +cz lineáris, vagy u = f(x, y, ..., z) nem lineáris függvények a közvetett mérések eredményei. ___________________________________________________________________________ 1. példa: A földi helymeghatározás végső eredményei általában derékszögű koordináták. A térképezés során ezen felül - a rendelkezésünkre álló eszköztártól függően - közvetlenül használhatunk poláris koordinátákat, szögeket, távolságokat is. Ha pl. egy mért vízszintes távolságot közvetlenül ábrázolunk a térképen, közvetlen mérésről beszélünk. Ekkor azonban tudnunk kell, hogy az adott távolságot milyen irányban rajzoljuk rá a térképre. Ez utóbbi egy valamilyen szempontból kitüntetett - kezdőirányhoz képest értelmezett szög ismeretét igényli. Vagyis ekkor - a közvetlen távolságmérés mellett - közvetlen szögmérést is kell végezni (2.1. ábra).
ϕ - a közvetlen szögmérés eredménye, d - a közvetlen távolságmérés eredménye. A közvetlen mérések eredményeként a térképen megkapjuk a C pont helyét.
B
C
Kezdő irány
ϕ d
A 2.1. ábra: Példa közvetlen mérésekre Ha a térképezést egy egységes sík derékszögű koordinátarendszerben végezzük, a kezdőirány a koordinátarendszer x tengelyével párhuzamos egyenes (2.2. ábra). Ez esetben a δAC irányszög ismeretére van szükség. A δAC irányszöget közvetlenül nem mérjük, de az adott δAB irányszögű AB irány alapján a
δ AC = δ AB + ϕ
(2.1)
függvény szerint számítható. Ekkor a δAC értéke közvetett mérés eredménye. Végezhetjük a térképezést a derékszögű koordináták, vagy az A ponthoz viszonyított koordinátakülönbségek
5
alapján. Ekkor a koordinátakülönbségek tekinthetők a közvetett mérés eredményeinek, vagyis a 2.2. ábra alapján: +x
B Kezdő irány
δ AB
δ AC C
δ AC
ϕ dAC
A
∆ x = dAC ⋅ cosδ AC
∆ y = dAC ⋅ sinδ AC
+y
2.2. ábra: Példa a közvetett mérésekre ∆ y = d AC ⋅ sinδ AC ∆ x = d AC ⋅ cosδ AC
.
(2.2)
Természetesen, a folyamat megfordítható, vagyis pl. a (2.2) összefüggésekből a δAC kifejezhető: ∆y δ AC = arctan . (2.3) ∆x A közvetlen és közvetett mérések nem rögzíthetők egyszer s mindenkorra. Különböző mérési szituációkban ugyanaz a mérés lehet közvetlen, vagy közvetett is. ___________________________________________________________________________ 2. példa: Az 1.1. ábrán az OPP' háromszög derékszögű. Ha mérjük a df ferde távolságot és az α magassági szöget, vagy a Z zenitszöget, ezek közvetlen mérések. Ezzel szemben a
d v = d f ⋅ cos a , vagy a
d v = d f ⋅ sinZ
(2.4)
vízszintes távolság közvetett mérés eredménye. ___________________________________________________________________________ 3. példa: Az 1.3. és a 2.2. ábrák összevetéséből az
y C = y A + d AC ⋅ sinδ AC x C = x A + d AC ⋅ cosδ AC
(2.5)
6
sík derékszögű koordináták szintén közvetett mérési eredmények. ___________________________________________________________________________
7
3. A mérési eredmények funkcionális és sztochasztikus modellje Függetlenül attól, hogy a keresett mennyiség közvetlen, vagy közvetett mérés eredménye, az adott mennyiségre vonatkozó szükséges mérésen túl ún. fölös (nem fölösleges!) méréseket is végeznünk kell. A szükséges és fölös mérések összességét - matematikai statisztikai analógiával - úgy fogjuk fel, hogy azok egy alapsokaság töredékét, mintáját jelentik. A minta alapján következtetünk majd az alapsokaság olyan - a geodéziában különösen kitüntetett paramétereire, mint a középérték és a szórás. Az alapsokaság csak hipotetikus, de matematikailag úgy kezelhető, mintha létezne. A matematikai kezelhetőség szempontjából ugyanis nincs lényeges különbség egy létező és egy hipotetikus alapsokaság között, hiszen egyiket sem ismerjük, mindkettőre a mérési eredmények alapján következtetünk. Geodéziai mérési eredményeink matematikai feldolgozásakor az alapsokaságra vonatkozó hipotézist egy célszerű és gyakorlati tapasztalatainknak leginkább megfelelő matematikai modell formájában fogalmazzuk meg úgy, hogy az minél egyszerűbb, minél könnyebben kezelhető legyen, s minél jobban megközelítse a valóságot. A geodéziai mérési eredményekre rendkívül sok tényező hat, azokat rendkívül sok hatás éri. A ható tényezők szempontjából a geodéziai mérési eredmények matematikai modelljét két részre bontva adják meg, úgymint: 1. funkcionális modell, 2. sztochasztikus modell. 1) A funkcionális (más néven determinisztikus) modellben érvényesülő ható tényezők száma korlátozott, és, mint a modell neve is mutatja, funkcionálisan (függvényszerűen) kimutatható módon, nyomon követhetően határozzák meg (determinálják) a mérés eredményét, a modellben elfogadott hipotézisekt ől függően. A ható tényezők lehetnek állandók, ill. a hely és/vagy az idő függvényében változók, de mindenképpen ismertek, ill. megismerhetők. A hipotézisekben megfogalmazott "elhanyagolások" tudatosak, többnyire azzal a feltételezéssel, hogy az elhanyagolás nincs számottevő hatással a mérés eredményére, ill. az - a mérés elvégzése után is, pl. korrekcióként - figyelembe vehető. A hipotézisek célja többnyire a mérési modell, s ezzel a számítások egyszerűsítése. A funkcionális modell fontos eleme a modell érvényességi tartományának meghatározása. A funkcionális modell hibás, a valósághoz rosszul "illeszkedik", s mind a mérés, mind a feldolgozás eredményeit meghamisítja, ha egy ható tényezőt nem tudatosan hanyagolunk el, hanem nem ismerjük. Ez ugyanis megakadályozza az érvényességi tartomány meghatározását, s ezzel a mérési eredmények elfogadhatóságának körét. A meg nem ismert hatások a mérési eredmények szabályos hibáihoz vezetnek. ___________________________________________________________________________
1. példa: A közelítéssel gömbnek tekinthető Földet síkkal helyettesítjük. Hipotézisünk, hogy a gömbre vonatkozó geometriai összefüggések helyett mérési eredményeink feldolgozásakor a jóval egyszerűbben megfogalmazható és kezelhető síkra érvényes összefüggéseket alkalmazzuk. Tudjuk például, hogy a gömbön értelmezett háromszög szögeinek összege nagyobb 180o-nál, míg a síkon pontosan 180o. A kettő közötti különbség ε, az ún. gömbi szögfölösleg (3.1. ábra). Az elhanyagolás szándékos, tudatos, feltételezésünk az, hogy "elegendően kis" nagyságú földfelület esetén geodéziai méréseink feldolgozása során nem követünk el egy előre meghatározott, megengedett értéknél nagyobb hibát. Hipotézisünk alkalmazhatóságához természetesen meg kell határoznunk azt a határértéket (az "elegendően kis" földfelület nagyságát), amely felett az elhanyagolás már nem engedhető meg. Legyenek α, β , γ az ABC gömbi háromszög szögei, ekkor levezethető, hogy az
8
ε = α + β + γ − 180 o
(3.1)
gömbi szögfölösleg számítható szögmásodpercben az
ε ′′ =
F ⋅ ρ ′′ R2
(3.2)
összefüggésből, ahol F - a gömbi háromszög felülete, R - a földgömb sugara (mintegy 6370 km), ρ″ pedig az 1 radián - ε kicsinységét figyelembe véve - szögmásodpercekben kifejezett értéke: ρ″ = 206 264,8″.
A
R
α
γ
C
F
β B
β B’
γ α
C’ A’
3.1. ábra: Gömbi szögfölösleg Látjuk tehát, hogy a gömbi szögfölösleg, mint a földgörbület okozta - állandó - ható tényező funkcionálisan kifejezhető, s szükség esetén, akár a mérések elvégzése után is, korrekcióba vehető. Mivel azonban az ε ″ értéke még F = 200 km 2 esetén is csak mintegy 1″, az alsógeodéziában elhanyagolható. Ekkora felület mintegy 8 km sugarú körnek felel meg, a funkcionális modell érvényességi tartománya tehát az összes alsó-geodéziai mérésre kiterjed. Felsőgeodéziai mérések esetén viszont a gömbi szögfölösleg figyelembe nem vétele a modellben szabályos hibát okoz. ___________________________________________________________________________
2. példa: A geodéziai m űszerekkel végzett méréseket helytől és időtől, esetenként egyéb tényezőktől (pl. a vízszintes távolságtól) függően befolyásolják a légkör aktuális hőmérséklete, légnyomása és parciális páranyomása. A ható tényezők összegzett hatása, a refrakció miatt a m űszerálláspontot az irányzott ponttal összekötő vonal (irányvonal) nem egyenes, hanem helytől és időtől függően változó térbeli görbe vonal, a refrakció görbe. Trigonometriai magasságmérésnél két pont magasságkülönbségének meghatározását a vízszintes távolság ismeretében a magassági (vagy a zenit-) szög mérésére vezetik vissza (3.2. ábra). Az ábrán a refrakció görbét az O pont függőleges síkjába eső körnek fogadjuk el (magassági refrakció). A kör feltételezése is a funkcionális modell egyik hipotézise! A 3.2. ábrán r - a refrakció görbe sugara, ∆r - a refrakciós korrekció.
9
zenitfüggő leges
Q’’’
∆r
Z Q’’
l
irányvonal
Z
d V ⋅ cot Z
refrakciógörbe
r
Q
P’
∆H
h
P 3.2. ábra: magassági refrakció hatása A ∆r értékét az alábbi egyszerű levezetésből kaphatjuk meg (3.3. ábra).
Q’’’
dv
P’
s
γ 2
∆r Q”
R
γ
3.3. ábra: A refrakciós korrekció A P’ pontnál lévő szög kerületi szög, a γ középponti szög fele. A P’Q’’Q’’’ háromszög közel derékszögű (szintén hipotézis!), tő le csak a kerületi szöggel egyenlő kis, általában szögperc nagyságrendű γ / 2 szöggel különbözik. Megengedhető s = d v közelítéssel (újabb hipotézis!), mivel γ kis szögérték, írható:
∆ r ≈ dv ⋅
γ
2
.
(3.3)
De
γ≈
dv , r
vagy
10
γ 2
≈
dv 2r
(3.4)
adódik. A γ / 2 értékét a (3.3) összefüggésbe helyettesítve, a refrakciós korrekcióra kapjuk:
∆r ≈
d v2 . 2r
(3.5)
A légkör eltérítő hatása miatt a Q’’ pontot a refrakció görbe mentén látjuk, a Z zenitszög viszont a refrakció görbe P’ pontbeli érintőjéhez tartozik. A keresett magasságkülönbség tehát a 3.2 ábrából kifejezhető a
∆H = d V ⋅ cot Z + h − l − ∆r
(3.6)
alakban, ahol ∆H - mint látjuk - közvetett mérés eredménye. A refrakció görbe sugara a hely, a napszak és a vízszintes távolság függvénye. K. F. Gauss vizsgálatai alapján a refrakció görbe napi átlagos sugara ∼ 49.000 km. A dv = 1,5 km távolságnál ∆r értéke ∆r ≈ 0,00002 km ≈ 2 cm. Ha trigonometriai magasságmérésnél ezt elfogadhatónak tekintjük, a dv = 1,5 km az érvényességi tartomány, amely mellett a ∆r értéke még elhanyagolható. Ennél nagyobb távolságoknál a modellt szabályos hiba terheli. ___________________________________________________________________________ 2) A sztochasztikus modellben a mérésre ható tényezők ismeretlenek, számuk rendkívül nagy és, mint a modell neve is mutatja, sztochasztikusan (véletlenszerűen), nem kimutatható módon befolyásolják a mérés eredményét. A sztochasztikus modellben ható tényezők vezetnek a matematikai feldolgozás ún. véletlen hibáihoz. A geodéziai mérési eredmények feldolgozásánál a sztochasztikus modell hipotézise, hogy a mérési eredményeket normális eloszlásúaknak és függetleneknek tekintjük. A sztochasztikus modell kezelése a matematikai statisztika ismert eszközeivel lehetséges. Amíg a funkcionális modell hipotéziseinek ellenőrzése - mint láttuk - az érvényességi tartomány megállapítását jelenti, a sztochasztikus modell hipotézisei a matematikai statisztikai hipotézisvizsgálat módszereivel ellenőrizhetők. A mérési eredményeket terhelő hibák mindig két részből, egy szabályos és egy véletlen hibarészből állnak, szétválasztásuk, különálló kezelhetőségük a geodéziai mérési eredmények matematikai feldolgozásának alapvető feltétele. Egy nem felderített szabályos hibarész (a funkcionális modell hibája) a feldolgozás eredményét teljesen tönkre teheti. Ha a funkcionális modellt helyesen választjuk meg, ill. helyesen rögzítjük a modell érvényességi tartományát, a matematikai statisztika ismert eszközeivel - gondosan kihasználva m űszereink teljesítőképességét - megfelelő eredményekhez jutunk. A matematikai feldolgozás során a kétfajta modell kezelése történhet úgy, hogy 1. a szabályos részt a feldolgozás előtt kiküszöböljük és történhet 2. együttesen, a szabályos hibarésznek a véletlen hibarésszel közös modellben történő szerepeltetésével. Utóbbi akkor fordul elő, ha a szabályos hibarésznek csak a természetét ismerjük, de a nagyságát nem. A továbbiakban az 1. módszerre helyezzük a hangsúlyt.
11
4. A mérési eredmények sztochasztikus modellje A geodéziai mérési eredmények matematikai feldolgozásakor sokirányú gyakorlati tapasztalattal alátámasztott elméleti megfontolások alapján - mint mondtuk - azzal a feltételezéssel élnek, hogy a mérési eredmények, matematikai statisztikai szóhasználattal: a mintaelemek, mint valószínűségi változók eloszlása normális. Mondanivalónkat egyelőre korlátozzuk arra az esetre, amikor mérési eredményeink egyetlen mérendő mennyiségre vonatkoznak. A 4.1. ábrán az egydimenziós normális eloszlás sűrűségfüggvényét, az ún. haranggörbét mutatjuk be. A haranggörbe az ismert
ϕ (u ) =
(u − U )2 1 ⋅ exp − 2 2 ⋅ σ σ ⋅ 2⋅π
(4.1)
összefüggéssel jellemezhető és azt fejezi ki, hogyan "szórnak" a mérési eredmények a függvény egyetlen maximumhelye, az U érték körül. Az U érték a normális eloszlású alapsokaság középértéke, a σ pedig a szórása. A ϕ (u) függvény szimmetrikus az U értékre. A ϕ (u) függvény végtelen számú mérési eredmény (mintaelem) esetén ábrázolja a mérési eredmények hipotetikus gyakorisági eloszlását. A valóságban a sűrűségfüggvény nem folytonos, részben a mérési eredmények korlátozott száma, részben pedig amiatt, hogy bizonyos értékű mérési eredmények elő sem fordulhatnak. ϕ (u)
ϕ (ε)
Uθ - σ
ϕ (∆)
U -σ
Uθ Uθ + σ
U U +σ
ui
u, ε, ∆
θ εi ∆i
4.1. ábra: a normális eloszlás sűrűségfüggvénye ___________________________________________________________________________
1. példa: Egy maximálisan 1 mm élességű leolvasást lehetővé tevő távolságmérő eszközzel a mérési eredmények is csak mm-es lépésközönként képzelhetők el. ___________________________________________________________________________
12
Ezen túlmenően, az elméleti sűrűségfüggvény aszimptotikusan közelít az abszcisszatengelyhez, holott nyilvánvaló, hogy igen nagy eltérések a középértéktől még akármilyen kis valószínűséggel sem fordulhatnak elő. ___________________________________________________________________________
2. példa: Egy 100 m-es távolság mérésében nem lehet - mondjuk - 120 m az eltérés! ___________________________________________________________________________ Látható, hogy a mérési eredmények és azok középértéke között több-kevesebb eltérés van. Ez az eltérés a mérési eredmény hibája. A 4.1. ábrán együttesen ábrázoljuk mind a funkcionális, mind a sztochasztikus modell hibáit. Mint mondtuk, előbbi a szabályos, utóbbi a véletlen mérési hibarészt jelenti. A véletlen mérési hibák (geodéziai szóhasználattal: valódi hibák) eloszlása a 4.1. ábra szerint a ∆2 1 ⋅ exp − ϕ (∆) = (4.2) 2 σ ⋅ 2⋅π 2⋅σ függvénnyel, az ún. hibagörbével jellemezhető. A függvény argumentumát a (4.1) összefüggésből a ∆ = u-U (4.3) egyszerű transzformációval származtatjuk. A véletlen mérési hibák középértéke 0, szórása σ. A 4.1. ábra jobboldali része alapján következnek a ϕ (∆) hibagörbe alapvető tulajdonságai: 1. A görbe az abszcissza-tengely fölött helyezkedik el, minthogy a függvény értéke semmilyen ∆ érték mellett nem lehet sem negatív, sem zérus; 2. A görbe szimmetrikus a ϕ ( ∆) tengelyre, így az ordináta értékek abszolút értékben egyenlő pozitív és negatív ∆ értékekre egyenlők; 3. A ∆ = 0 helyen a ϕ (∆) ordináta maximális értéket vesz fel; 4. Mivel a ∆ = 0 helyen a görbének maximuma van, ugyanakkor a görbe aszimptotikusan tart az abszcissza-tengelyhez, ezért két inflexiós pontja van. Az inflexiós pontokhoz a ∆ = - σ és a ∆ = + σ nagyságú véletlen hibák tartoznak; 5. Az inflexiós pontokban a görbéhez húzott érintők az abszcissza-tengelyt a ∆ = - 2σ és a ∆ = +2σ helyen metszik. A hibagörbe tulajdonságaival szoros összefüggésben, abból az ismert tényből kiindulva, miszerint a sűrűségfüggvény alatti terület 1, azaz egységnyi, összefoglalhatók a véletlen mérési hibák alábbi tulajdonságai: 1. A ∆ véletlen hiba értéke az U középérték körüli t ⋅ σ szélességű szimmetrikus intervallumba adott P (− t ⋅ σ ≤ ∆ ≤ + t ⋅ σ ) valószínűséggel esik: 4.1. táblázat t P 1 0,6827 2 0,9545 3 0,9973 Annak a valószínűsége tehát, hogy a véletlen hiba értéke a szórás háromszorosát nem haladja meg, 99,7 % ("szinte teljesen bizonyos"). Ez a geodéziai gyakorlat ún. 3σ szabálya; 2. A pozitív és negatív előjelű véletlen hibák azonos valószínűséggel fordulnak elő;
13
3. Abszolút értékben kisebb hibák előfordulási valószínűsége nagyobb; 4. A mérési eredmények számának növekedésével a véletlen hibák számtani középértéke zérus felé tart: n
∑∆ lim
i =1
i
=0;
n
n→∞
(4.4)
5. A véletlen mérési hibákra létezik az alábbi határérték: n
∑∆ lim
2 i
i =1
n
n→∞
=σ 2 .
(4.5)
Ha a mérési hibák számtani középértéke - a (4.4) összefüggéssel szemben - a mintaelem-szám növekedésével nem zérushoz, hanem θ - hoz tart, vagyis n
∑∆ lim n→∞
i =1
n
i
=θ ,
(4.6)
úgy ez az érték a funkcionális modellben elkövetett szabályos hiba. Ebben az esetben a (4.3) összefüggés az ε = u - Uθ = ∆ + θ (4.7) alakot ölti. Az Uθ a szabályos hibarészt tartalmazó mérési eredmény középértéke, ε pedig az ui mérési eredmény véletlen és szabályos hibarészt tartalmazó ún. teljes hibája, melynek ϕ (ε) sűrűségfüggvénye a véletlen hiba sűrűségfüggvényéhez képest az abszcisszatengely mentén a szabályos hiba előjelétől függően balra vagy jobbra - eltolódik. A továbbiakban θ -t a 4.1. ábra szerinti értelemben akkor tekintjük pozitívnak, ha U > Uθ, vagyis θ = U - Uθ . Vegyük észre, hogy a szabályos hiba csak a középérték helyét befolyásolja, a szórás értékét nem. Ha a θ -t ismerjük, a (4.7) összefüggés (4.3) - ba megy át, vagyis mérési eredményeinket a matematikai feldolgozás szempontjából úgy kezelhetjük, hogy azokat csak véletlen hibák terhelik. A funkcionális modell helytelen megválasztását tükröző szabályos hibák hatásának felderítésére a statisztikai hipotézisvizsgálat eszközei nyújthatnak támpontot, de mindezzel együtt is nehezen ellenőrizhetők. A geodéziai mérési gyakorlat az utólagos vizsgálat helyett a szabályos hibák előzetes kiküszöbölését részesíti előnyben, amikor mérési szabályzatokban, utasításokban előírja 1. a funkcionális modell érvényességi tartományának rögzítését (3. fejezet, 1. és 2. példa); 2. a geodéziai m űszerek előzetes vizsgálatát, igazítását, egy etalonnal történő összehasonlítását, ún. komparálását, vagy hitelesítését; 3. a mérés külső körülményeinek (hőmérséklet, légnyomás, szél, napsütés, stb.) nyomon követését és hatásainak vizsgálatát; 4. fentiek figyelembevételével megfelelő mérési technológia megválasztását. ___________________________________________________________________________
3. példa: A pontosan 20 m-es etalontávolságot egy 20 m hosszúságú acél mérőszalaggal mérjük. A komparálás eredménye d = 20,01 m. Egy tetszőleges távolság ennek arányában mindig nagyobbnak adódik, vagyis pl. egy 200 m-es távolságot már (200/20) * 0,01m = 10 cm-rel
14
mérünk nagyobbnak. Ez azt is jelenti, hogy a szalag a valóságban 20 m-nél rövidebb és az a "valódi" hossza a 20 : 20,01 = a : 20 aránypárból számítható:
a=
20 ⋅ 20 = 19,990005 m , 20,01
gyakorlatilag elfogadható közelítéssel a = 19,99 m. Egy ténylegesen mért d távolságot tehát a
k=
20 ≈ 0,9995 20,01
szorzóállandóval szorozva, a szalag hosszából eredő szabályos hiba kiküszöbölhető. Legyen a d távolságra vonatkozó mérési eredmény ld = 132,25 m, ekkor a
k ⋅ 132,25 m = 132,18 m érték már nem tartalmazza a szalag tényleges hosszából eredő szabályos hibát, vagyis a fennmaradó hiba már véletlen jellegű. A θ szabályos hiba értéke a korrigált és a mért távolság különbsége, θ = 132,18 m - 132,25 m = - 0,07 m = - 7 cm. Látjuk, hogy θ értéke nem állandó, hanem a távolságtól lineárisan függ. ___________________________________________________________________________ Nehezebben ellenőrizhetők azok a hibahatások, amelyek a külső körülményekből, ill. a mérési technológia helytelen megválasztásából adódnak. E hibaforrásokat többnyire a megfelelő mérési időpont, ill. mérési módszer megválasztásával küszöbölik ki. ___________________________________________________________________________
4. példa: Két pont magasságkülönbségét geometriai szintezéssel határozzuk meg. Ekkor a mérés külső időjárástól, napszaktól függő - körülményei ellentétes irányban hatnak, ha a méréseket a reggeli és a koraesti órákban is elvégezzük. A reggel elvégzett és a koraesti órákban megismételt mérés átlagából a külső körülmények okozta szabályos hibahatások kiesnek. ___________________________________________________________________________
15
5. A becslés A 4. fejezetben az U és a σ a normális eloszlású alapsokaság paraméterei, a középérték és a szórás. A valóságban e paramétereket többnyire nem ismerjük (ellenpélda: a síkbeli háromszög szögeinek összege 180o , 1. fejezet példája), hanem a mérési eredmények (a mintaelemek) alapján becsüljük. A mérési eredményekből számított közelítést becslésnek, a közelítés számszerű értékét pedig a paraméter becsült értékének fogjuk nevezni. A továbbiakban feltételezzük, hogy méréseinket szabályos hibák nem terhelik. A mérési eredmény eltérése a becsült értéktő l a becsült hiba, vagy, geodéziai szóhasználattal, a mérési javítás. Az alapsokaság paramétereinek és becsült értékeinek megnevezése, esetenként jelölési módja a klasszikus geodéziában megszokott szóhasználaton alapul. Ez a magyarázata a matematikai statisztikában megszokott elnevezésektől való eltéréseknek (5.1. táblázat). 5.1. táblázat Matematikai statisztika
Geodézia
minta
mérési sorozat
elméleti várható érték
valódi érték
becsült hiba
mérési javítás
szórás becsült értéke ismert várható előzetes középhiba érték esetén szórás becsült (tapasztalati) értéke ismeretlen várható érték esetén
utólagos középhiba
szabadságfok
fölös mérések száma
5.1. A szabadságfok A szabadságfok a paraméterek becslésével kapcsolatos matematikai statisztikai fogalom. A szabadságfokok száma szoros összefüggésben van a mérési eredmények számával. A matematikai feldolgozás kezdetekor egy n mérési eredményből álló mérési sorozat (minta) szabadságfokainak száma n. Ha egy mérési sorozatból egy becsült értéket úgy határozunk meg, hogy ahhoz egy másik, már ugyanebből a mérési sorozatból becsült értéket használunk fel, akkor annyi szabadságfokot kell levonnunk az eredetileg n szabadságfokból, ahány becsült értéket az újabb becsült érték meghatározásához felhasználtunk. Azt a tényt ugyanis, hogy becsült értékünk megbízhatóságát a már meghatározott becsült érték becslési hibája is terheli, a becsült érték szabadságfokai számának módosításával tudjuk figyelembe venni. ___________________________________________________________________________
1. példa: Ha egy mérési sorozat középértékét a számtani középpel becsüljük, úgy a szabadságfokok száma n. Ha a szórást a becsült számtani középérték felhasználásával becsüljük, úgy a szabadságfokok száma már n - 1. ___________________________________________________________________________ Ha a szabadságfokok számát nem módosítjuk, torzítás lép fel, matematikai statisztikai szóhasználattal, a becslés nem torzítatlan. Más szempontból nézve, ezt úgy is értelmezhetjük, mint a funkcionális modell hibáját.
16
Ha a mintából mind a középértéket, mind a szórást becsülni akarjuk, a szükséges mérések száma legalább 2. Ha csak magára a mérendő mennyiségre vagyunk kíváncsiak, a szükséges mérések száma 1. Ekkor azonban nincs lehetőségünk a szórás becslésére. A második esetben a szabadságfokok száma megegyezik a fölös mérések számával (5.1. táblázat). Egyetlen mérendő mennyiségre végzett egyetlen mérés esetén a középérték becslése megegyezik a mérés eredményével, a fölös mérések száma 0. Minden további adat 1-gyel növeli a fölös mérések számát. Egyetlen mérendő mennyiségnél tehát a fölös mérések száma f = n - 1. Ha - mint a geodézia eljárásainak többségénél - nem egyetlen, hanem több mérendő mennyiség egyidejű meghatározása a feladat (7. fejezet), az elmondottakat az alábbiakban általánosíthatjuk: Egymással függvénykapcsolatban lévő m számú szükséges mennyiség meghatározásához összesen n számú mérést végzünk. Az m számú mennyiséget a továbbiakban ismeretleneknek fogjuk nevezni. A fölös mérések száma ekkor f = n - m. Ez független attól, hogy magukat a mennyiségeket, vagy a velük valamilyen függvénykapcsolatban álló egyéb mennyiségeket mérjük, ill. keressük. Az általánosítás érvényes az m számú ismeretlen mennyiség valószínűségi eloszlására is: az egydimenziós sűrűségfüggvényt felváltja az m - dimenziós "sűrűségfelület". ___________________________________________________________________________
2. példa: A P pont koordinátáit adott koordinátájú A és B pontokból kiindulva, távolság- és szögmérések felhasználásával akarjuk meghatározni úgy, hogy a koordinátákra közvetlen méréseket nem végzünk, azok közvetett mérések eredményei (5.1. ábra, 2. fejezet, 2.2. ábra és (2.5.) képletek).
+x P dAP
α A
dBP
β B
+y 5.1. ábra: A P pont koordinátáinak meghatározása A - közvetlen - mérési eredmények: α, β , dAP és dBP. Keressük a P pont xP és yP koordinátáinak becsült értékét. A mérési eredmények száma n = 4, a keresett ismeretlenek száma m = 2, ahonnan a fölös mérések száma f = n – m = 4 - 2 = 2. ___________________________________________________________________________
17
5.2. A legkisebb négyzetek elve A matematikai statisztikai becsléselméletben az eloszlási paraméterek valódi értékének becslésére számos, különböző feltételeknek eleget tevő, ill. feltételekből kiinduló módszert dolgoztak ki. A geodéziai mérési eredmények matematikai feldolgozásakor a legkisebb négyzetek elvén alapuló módszert alkalmazzák, idestova már két évszázada. A geodéziai célokra a XIX. század elején Gauss és Legendre által kidolgozott, s a későbbiekben a matematikai statisztikai becsléselmélet integráns részévé vált elv az 5.1. fejezet végén vázolt általános esetben a középértékek becslését abból a feltételből kiindulva írja elő, hogy a mérési eredményeknek az elv alapján becsült értékektől való eltérései, a mérési javítások négyzetösszege minimális (5.1. képlet): F = ∑ vi = ∑ (ui − u j ) = min . n
2
i =1
n
2
( j = 1, 2, ..., m)
(5.1.)
i =1
Az (5.1) képlet jelölései:
u j - a keresett j-ik mérendő mennyiség becsült értéke (j = 1, 2, ..., m); vi = ui − u j - az i. mérési eredményre vonatkozó mérési javítás (becsült hiba); n - az összes mérési eredmény száma. Az (5.1) képletben az i értéke folyamatos, független a mérendő mennyiség sorszámától, j -től. Feltételezve a mérési eredmények normális eloszlását, a legkisebb négyzetek elve az ún. maximum-likelihood (legnagyobb valószínűség) elvvel egyenértékű. Az elv a mérési eredmények matematikai feldolgozására az 1. fejezetben megfogalmazott definíció 1. pontjában rögzített ellentmondásmentes (kiegyenlített) adatrendszert úgy hozza létre, hogy a mérési hibákkal terhelt, egymásnak ellentmondó mérési eredményekhez olyan vi (i = 1,2,..., n) javítási értékrendszert állapít meg, amelyekkel a mérési eredményeket megjavítva, azok között az ellentmondások megszűnnek. Ez az összes lehetséges javítási értékrendszer közül a normális eloszlású mérési eredmények esetén a legvalószínűbb is.
5.3. Egyetlen középérték becslése (egyetlen mennyiségre végzett közvetlen mérések kiegyenlítése) Gyűjtőfogalomként középértéknek nevezzük a mérési eredmények átlagos értékét jellemző paramétert. Az átlagos szó itt a számtani m űveletre utal, a középérték becslése azonban több, pontosan definiált becslést jelent. A két leggyakrabban használt becslés a számtani középérték és a mérési eredmények sorozatának középső értéke, a medián. Egyetlen mennyiségre végzett n számú mérés esetén az (5.1) képlet az n
F = ∑ vi = i =1
2
∑ (u n
i =1
− u ) = min . 2
i
(5.2)
függvénybe megy át, ahol u - a keresett egyetlen mennyiség (ismeretlen) becsült értéke és vi = ui − u . Igazoljuk, hogy az (5.2) feltétel - a legkisebb négyzetek elve - a számtani középértékhez vezet. Az (5.2) függvénynek ott van minimuma, ahol az első deriváltja zérus:
18
d ∑ (ui − u ) n
dF = du
i =1
du
=0
(5.3)
Az összeg deriváltja egyenlő a tagok deriváltjainak összegével:
d ∑ (ui − u ) n
i =1
du
n
=
(
d ∑ ui2 − 2 ⋅ ui ⋅ u + u i =1
2
)
du
= ∑ (− 2 ⋅ ui + 2 ⋅ u ) = −2 ⋅ ∑ ui + 2 ⋅ n ⋅ u = 0 , n
n
i =1
i =1
ahonnan n
u=
∑u
i
i =1
, n amivel állításunkat igazoltuk. A második derivált értéke >
(5.4)
n d 2 ⋅ ∑ (− ui + u ) 2 d F i =1 = 2⋅n > 0 , 2 = du du tehát a szélsőérték valóban minimum. Az u értékét a geodéziában elfogadott szóhasználattal egyszerű számtani középnek nevezzük. A vi = ui − u egyenlőség figyelembe vételével
∑v = ∑u i
i
− n ⋅ u és (5.4) miatt
∑v
i
= 0.
5.4. A szórás becslése: előzetes és utólagos középhiba Az alapsokaság σ szórásának becslését a geodéziában a mérési eredmények megbízhatóságának jellemzésére használjuk. Ez könnyen belátható, u.i. ha figyelembe vesszük, hogy a mérési eredmények középértékeitől való eltérések - valódi, vagy becsült hibák, akkor a szórás egyfajta közepes hibaértéket jelent, ezért is használjuk rá a geodéziában a közepes hiba, röviden középhiba elnevezést (5.1. táblázat). Attól függően, hogy a szórást ismert, vagy ismeretlen középértékű alapsokaság alapján kívánjuk becsülni, megkülönböztetünk előzetes (a priori) és utólagos (a posteriori) középhibákat. Ennek megfelelően előzetes középhibáról beszélünk, ha ismert az alapsokaság U középértéke. A 4. fejezetben a n
∑∆
2 i
lim n→∞
=σ 2
i =1
n
(4.5)
képlettel a szórás négyzetére megfogalmazott határértéket legfeljebb megközelíteni tudjuk, hiszen ez a határérték a geodéziai gyakorlati mérések alapján csak úgy lenne számítható, ha végtelen számú alkalommal mérnénk. Erre viszont nincs meg a lehetőségünk. Ezért véges számú mérési eredményre az előzetes középhiba a (4.5) határérték négyzetgyöke helyett célszerűen a n
µ=±
∑∆ i =1
n
2 i
(5.5)
19
képletből számítható, ahol
∆i = ui – U .
(4.3)
Felhívjuk a figyelmet a középhiba kettős előjelére: a µ középhiba ugyanis - a σ szóráshoz hasonlóan, a 4. fejezetben a véletlen hibák 1. tulajdonsága alapján - az U - ra vonatkozóan egy szimmetrikus tartományt szolgáltat. Ha az alapsokaság U középértékét - pl. az egyszerű számtani középpel - becsüljük, utólagos középhibáról beszélünk. A geodéziai mérési gyakorlat szempontjából megkülönböztetésnek alapvető jelent ősége van:
a
kétfajta
középhiba
közötti
Az előzetes középhiba egy geodéziai mérőm űszer használhatósági kritériuma, a m űszergyártó cég által - etalonnal történt összehasonlítások (hitelesítés, komparálás) eredményeként meghatározott érték, amelyet a m űszerhez mellékelt leírás, ill. a m űszer népszerűsítésére szolgáló prospektus tartalmaz. A felhasználó ezen érték alapján tudja kiválasztani - az általa tervezett mérési megbízhatóságtól függően - az adott célra megbízhatósági szempontból alkalmas m űszert. Az előzetes középhiba értékét meghatározhatja maga a felhasználó is, ehhez azonban az összehasonlítás alapjául szolgáló etalonra van szüksége. ___________________________________________________________________________
3. példa: A geometriai szintezés előzetes középhibájának meghatározásakor szükség van az ún. irányvonal-középingadozás (α ) értékének meghatározására (5.2. ábra). A szintezőm űszerrel a szintezőlécen végzett lécleolvasás előzetes középhibáját jelöljük µ vel. Ez az érték a d m űszer - léc távolság függvénye. Az 5.2. ábra szerint az α irányvonalközépingadozás értéke független a léctávolságtól, s alkalmas arra, hogy vele - mint előzetes középhibával - a szintezőm űszerek teljesítőképességét jellemezzük. Az α értéke az 5.2 ábrából kifejezhető az µ (5.6) α ′′ = ⋅ ρ ′′ d összefüggéssel, ahol ρ″ - mint a 3. fejezetben - az 1 radián szögmásodpercekben kifejezett értéke.
µ
α
talaj szintezőműszer
d
szintezőléc
5.2. ábra: az irányvonal középingadozása Az α értékét meghatározhatjuk, ha - mint etalon - ismert az 1. és 2. pontok m magasságkülönbsége (5.3. ábra).
20
Figyelem! Az 5.2. ábrán a µ és az α értékek középhibák, az 5.3. ábrán az lh és le értékek mérési eredmények, s a szintezőm űszer szabályos hibája miatt az irányvonal nem vízszintes, hanem attól mind az 1., mind a 2. ponton függőlegesen álló szintezőlécre történő irányzásnál kis ε szöggel eltér. Végezzünk n számú mérést az ismert m magasságkülönbségre! Az egyes mérések között - az eredmények függetlenségének biztosítására - változtassuk a műszermagasságot! A lécleolvasást optikai mikrométerrel végezzük, a leolvasás élessége 0,1 mm. A m űszer-léc távolság 30 m = 30000 mm. Az i. mérés eredménye az 5.3. ábra alapján
∆ li = lh i - le i ,
(5.7)
ahol lh - az 1., le - a 2. ponton álló szintezőlécen vett lécleolvasás (hátra és előre leolvasás). Az ε szög hatása kiesik (a funkcionális modell hipotézise), ha a műszer a két szintezőléc között középen helyezkedik el, mert AC = BD.
irányvonal
lh
irányvonal D
C
ε
A
ε
le
B 2.
talaj m
1.
szintezőléc
d
szintezőműszer
d
szintezőléc
5.3. ábra: a magasságkülönbség meghatározása szintezéssel Az i. mérési eredmény valódi hibája (az i. szintezett magasságkülönbség eltérése az m ismert magasságkülönbségtől): ∆ i = ∆li - m . Az (5.5) képlet alapján számíthatjuk az m magasságkülönbség meghatározásának előzetes középhibáját: n
∑∆
2
i
µ
m
=±
i =1
n
.
(5.8)
Az ismert magasságkülönbség legyen m = 1,4460 m. Az n = 10 mérés számszerű eredményét az 5.2. táblázatban foglaljuk össze, a közbenső számításokkal együtt.
21
5.2. táblázat A mérés sorszáma
A mérési eredmények, ∆li
∆ i = ∆li - m
∆ i2
(mm)
(mm 2 )
(m) 1
1,4465
+0,5
0,25
2
1,4458
-0,2
0,04
3
1,4460
0,0
0,00
4
1,4457
-0,3
0,09
5
1,4459
-0,1
0,01
6
1,4458
-0,2
0,04
7
1,4461
+0,1
0,01
8
1,4457
-0,3
0,09
9
1,4462
+0,2
0,04
10
1,4463
+0,3
0,09
∑∆i2 =0,66 mm 2 n
µm =± =±
∑∆
2 i
i =1
n
=
0,66 = ±0,26 mm. 10
Az α irányvonal-középingadozás értéke az (5.6) képlet alapján az alábbi:
0,26 µm ⋅ ρ ′′ = ± ⋅ 206265′′ ≈ ±1,8′′. d 30000 ___________________________________________________________________________ α ′′ =
Az utólagos középhiba meghatározásának célja a meghatározandó ismeretlenekre kapott mérési eredmények alapján utólag az elvégzett mérések megbízhatóságának becslése. Az utólagos középhiba meghatározása mindig a felhasználó feladata, ill. érdeke. Az előzetes és utólagos középhibák összehasonlításából a felhasználó ellenőrizheti az általa végzett mérések korrektségét. Az utólagos középhiba (5.5. fejezet, (5.18) képlet) ugyanis - megfelelő mérésszám esetén - elméletileg megegyezik az előzetes középhiba értékével, az eltérés matematikai ellenőrzése a statisztikai hipotézisvizsgálat (Fisher-teszt, vagy F-próba) útján történhet. A hipotézisvizsgálat negatív eredménye többnyire a funkcionális modell hibájának a következménye.
5.5. A szórás (utólagos) becslése egyetlen középérték esetén A (4.3) összefüggés alapján ∆ i = u i - U ; az (5.2) szerint ui
= u + v i ; innen
∆ i = vi + u - U .
(5.9)
Mindkét oldalt négyzetre emelve és i = 1, 2, .... , n szerint összegezve, kapjuk:
22
∑ ∆ i2 = ∑ vi2 + 2 ⋅ ∑ vi ⋅ (u - U ) + n ⋅ (u - U ) ; n
n
n
i =1
i =1
i =1
2
(5.10)
de (5.9) alapján n
n
∆i ∑ i 1 =
∑u
= ∑ v i + n ⋅ (u - U ) , vagy u = n
n
i
=
i=1
n
i =1
∑ (U + ∆ i ) i=1
n
n
n ⋅U = + n
∆i ∑ i=1 n
, (5.11)
ahonnan n
∆i ∑ i =1
u-U= Viszont vi = ui − u és
n
n
i =1
i =10
n
.
(5.12)
∑ vi = ∑ ui − n ⋅ u = 0 , úgyhogy n
∑∆ i =1
2
1 n = ∑ v + ⋅ ∑ ∆ i , n i =1 i =1 n
2 i
2 i
(5.13)
ahol 2
1 1 n 1 n 2 2 ⋅ ∑ ∆ i = ⋅ ( ∆ 1 + ∆ 2 +...+ ∆ n ) = ⋅ ∑ ∆ i2 + ⋅ ( ∆ 1 ∆ 2 + ∆ 1 ∆ 3 +...+ ∆ n−1 ∆ n ) n i =1 n i =1 n n (5.14) A ∆i véletlen hibák 2. tulajdonsága (4. fejezet) miatt azok részben pozitív, részben negatív előjelűek, ezért az (5.14) kifejezés 2. tagja megfelelően nagy n mellett elhanyagolható, s így (5.13) a n n 1 n ∆ i2 = ∑ v i2 + ⋅ ∑ ∆ i2 (5.15) ∑ n i =1 i =1 i =1 vagy a n
n ⋅ ∑ v i2
n
∑∆
2 i
i =1
=
(5.16)
n −1
i =1
alakot ölti, ahonnan (5.5) alapján n
∑ ∆i µ
2
=
n
∑v
2
i=1
=
n
2 i
i=1
n −1
(5.17)
és végül az utólagos középhibára kapjuk: n
µ= ±
∑v
2 i
i=1
n −1
.
(5.18)
n
A
∑v i =1
i
= 0 egyenlőség a számítások ellenőrzésére szolgál.
A fentiekből következik, hogy az előzetes és az utólagos középhiba elméletileg megegyeznek. Ha viszont mérési eredményeinket szabályos hibák terhelik, úgy az (5.14) képlet 2. tagjának elhanyagolása miatt az utólagos és az előzetes középhiba egymástól szignifikánsan
23
(jelentősen) eltérnek. Mint említettük az 5.4. fejezet végén, az eltérés szignifikanciája az Fpróbával ellenőrizhető. ___________________________________________________________________________
4. példa: Egy ismeretlen ϕ szöget 12-szer mértünk meg. A mérés eredményeit és a közbenső számításokat az 5.3. táblázatban foglaljuk össze. 5.3. táblázat
v i = ϕ i -ϕ
A mérés A mérési sorszáma eredmények, ϕ i
v i2 ( " 2 )
"
o
1
47 35 ' 44 "
- 0,7
0,49
2
40 "
- 4,7
22,1
3
43 "
- 1,7
2,89
4
45 "
+ 0,3
0,09
5
46 "
+ 1,3
1,69
6
43 "
- 1,7
2,89
7
48 "
+ 3,3
10,9
8
45 "
+ 0,3
0,09
9
48 "
+ 3,3
10,9
10
46 "
+ 1,3
1,69
11
47 "
+ 2,3
5,29
12
41 "
- 3,7
13,7
12
12
ϕ=
∑ ϕi
∑v
i
i =1
= 12 = 47 o 3 5′ 44,7 ′′
12
= - 0,4 "
∑v i =1
i=1
2 i
= 72,9 " 2 ;
Végül, a µ ϕ előzetes középhibára a 12
µϕ = ± n
érték adódik. A
∑v i =1
i
∑ vi
12
2
i=1
12 − 1
= ±
∑ 72,9 i=1
12 − 1
= ± 2,7′′
≠ 0 kerekítési hibákra utal.
5.6. A konfidencia-intervallum fogalma A becsült paraméterek konkrét számértékei helyett korrektebb eredményeket kapunk, ha - az eddigi, ún. pontszerű becslések helyett - a becsült értékektő l plusz, ill. mínusz irányban egy egy határoló értéket adunk meg azzal, hogy e határoló értékek által közrefogott intervallum bizonyos valószínűséggel tartalmazza a paraméter valódi értékét. A határoló értékeket konfidencia-határoknak, a konfidencia-határok által közrefogott tartományt konfidenciaintervallumnak (megbízhatósági köznek) nevezzük. Ilyen konfidencia-intervallumként
24
értelmezhetőek a 4. fejezetben a véletlen hibák 1. tulajdonságával kapcsolatban a 4.1. táblázatban bemutatott számértékek, ill. ezt takarja a 3σ szabály és erről szól az 5.4. fejezetben az (5.5) képlet után említett szimmetrikus tartomány. Szigorúbb megfogalmazásban, a konfidencia-intervallum olyan tartomány, amelyre az egységhez tetszőlegesen közel eső β valószínűséggel (konfidencia-szint) állítható, hogy ez a tartomány tartalmazza a paraméter ismeretlen valódi értékét. A mérendő mennyiség valódi értékére felírható konfidencia-intervallum
µ
u − tβ ⋅
n
≤ U ≤ u + tβ ⋅
µ
(5.19)
n
alakú, ahol t β - az ún. Student - eloszlás táblázatából (ld. 1. sz. melléklet) a β konfidencia-szint és az f = n - 1 szabadságfok (fölös mérésszám) függvényében kiválasztható együttható akkor, ha a mérési eredmények eloszlása normális. ___________________________________________________________________________
5. példa: Az előző, 4. példa esetére az 1. sz. melléklet szerint β = 0,95 konfidencia-szint és f = 12 -1 = 11 mellett t β = 2,20. A példa adatait az (5.19) képletbe helyettesítve, kapjuk:
47 o 35′ 44, 7′′ − 2,20 ⋅
2 ,7′′ 12
≤ U ≤ 47 o 35′ 44, 7′′ + 2,20 ⋅
2 ,7 ′′ 12
,
azaz a konfidencia-intervallum az alábbi: 47o 35' 43,0" < U < 47o 35' 46,4". ___________________________________________________________________________ A mérendő mennyiség σ szórására - szintén normális eloszlású mérési eredmények esetén az alábbi konfidencia-intervallum írható fel:
γ1 ⋅ µ ≤ σ ≤ γ 2 ⋅ µ ;
(5.20)
ahol
γ1 =
n −1 , χ 12
γ2 =
n −1 . χ 22
(5.21)
A χ1 és χ 2 értékeket a χ2 eloszlás táblázatából (2. sz. melléklet) választják ki az f = n -1 1- β szabadságfok és a p1 = és a p 2 = 1 − p1 valószínűségek alapján. 2 ________________________________________________________________________
6. példa: A 4. példa esetére ismét β = 0,95 és f = 12 -1 = 11 mellett a χ 2 eloszlás táblázatából p1 = 0,025, p2 = 0,975 és χ12 ≈ 22 ,1 és χ 22 ≈ 3,8 , így a konfidencia intervallum az alábbi:
11 ⋅ 2, 7 < σ < 22 ,1 azaz
11 ⋅ 2, 7 , 3, 8
1,9" < σ < 4,6".
25
Vegyük észre, hogy a 2. mellékletben a χ 2 eloszlás táblázata a p1 = 0,025 és a p2 = 0,975 valószínűségekhez tartozó értékeket nem tartalmazza, ezért a p = 0,01 és p = 0,05, valamint a p = 0,95 és p = 0,99 értékek között lineáris interpolációt alkalmaztunk. Más hasonló esetben az eljárás ugyanez. ___________________________________________________________________________ A mérési eredmények matematikai feldolgozásának eredményeit a geodéziai gyakorlatban, mint láttuk, szokás az u ± µu alakban felírni. Ez a felírásmód az elmondottaknak megfelelően olyan konfidencia-intervallumot fejez ki, ahol tβ = 1 (6.14. képlet). Ehhez esetünkben, a Student - eloszlás táblázata szerint, f = 11 fölös mérésszám esetén, kb. β = 0,7 valószínűség tartozik. A konfidencia-intervallum terjedelme a választott konfidencia-szinttől függ. Minél nagyobb ez a terjedelem, annál nagyobb a valószínűsége annak, hogy az intervallum tartalmazza a valódi értéket. A nagyon nagy terjedelemnek kicsi a gyakorlati jelentősége. Ha viszont szűkítjük a terjedelmet, fokozottan növekszik annak a kockázata, hogy a határokat tévesen adjuk meg, az intervallum már nem fedi le a valódi értéket, következtetésünk biztonsága ezért csökken. Ezért egyrészről a biztonság fokozása, ill. a téves következtetés kockázatának a csökkentése nagy intervallumterjedelmet, másrészről a szakmai értelmezhetőség szűk határokat igényel. A két szempont összeegyeztetése megegyezés kérdése: ennek felel meg a példáinkban is elfogadott 0,95 konfidencia-szint, ekkor a tévedés valószínűsége 1 - 0,95 = 0,05, azaz egyszerűbben megfogalmazva: 100 esetből 5-ször tévedhetünk.
5.7. A kovariancia, a korrelációs együttható és a regressziós egyenlet Két valószínűségi változó kapcsolatának jellemzésére a kovarianciát és a korrelációs együtthatót használjuk. n
n
i =1
i =1
∑ (ui − U )(z i − Z ) ∑ ∆u cov uz =
=
n
i
⋅∆zi
n
.
(5.22)
A fenti képletben cov uz - az előzetes középhibához hasonlóan – az előzetes kovariancia, amely számítható akkor, ha ismerjük az ui és zi valószínűségi változók várható értékeit. A kiegyenlítő számításban valószínűségi változó helyett a mérési eredmény, várható érték helyett a valódi érték kifejezéseket használjuk. Ekkor a ∆ui = u i − U és a ∆zi = z i − Z mennyiségek a mérési eredmények (valódi) véletlen hibái. Belátható, hogy egyetlen mennyiségnek saját magával alkotott kovarianciája a variancia (az előzetes középhiba négyzete): n
µ u2 =
n
∑ (u i − U )(ui − U ) ∑ ∆u2 i =1
n
=
i
i =1
n
.
(5.23)
A korrelációs együttható a
n ∆ui ⋅ ∆zi ∑ (u i − U )(z i − Z ) ∑ i =1 = ruz = i =1 n ⋅ µu ⋅ µz n n ∑ ∆u2i ⋅ ∑ ∆z2i i =1 i =1 n
(5.24)
26
képlettel fejezhető ki, ahol µu és µz az U és Z mérendő mennyiségek előzetes középhibái. Az ruz korrelációs együttható értéke 0 és 1 közé esik. Ha ruz = 0, azt mondjuk, hogy a két mérendő mennyiség korrelálatlan. A korrelálatlanság csak akkor jelent függetlenséget is, ha a mérési eredmények eloszlása normális. r = 1 esetén a korreláció maximális. Mivel a geodéziai mérési eredmények matematikai feldolgozásának egyszerűsítése céljából a méréseknek függetlennek kell lenniük, fontos, hogy milyen megbízhatósággal számítható ki a korrelációs együttható értéke, ill. milyen abszolút értéke mellett tekinthető szignifikánsnak a két mérendő mennyiség függőségére vonatkozóan. A feladatban a szigorú szignifikancia vizsgálattól eltekintünk, saját megítélésünk alapján kell megítélnünk a kapcsolat hiányát, ill. esetleges létezését. A korrelációs együttható becsült értéke alapján két mérési sorozat (minta) közötti lineáris kapcsolat szorosságára következtethetünk* . Kapcsolat esetén az egyik mennyiség (pl. u) mért értékéből a függőségi kapcsolat - a regresszió - alapján becsülhető a másik mennyiség (pl. z) értéke. Lineáris regresszió esetén a z = f(u) függvény geometriai képe egyenes, amelyet ezért regressziós egyenesnek is nevezünk. Legyen két mérési sorozatunk az alábbi mérési eredményekkel:
ui
u1
zi
u2
z1
................ un
z2
................ zn
Az utólagos középhiba (négyzetének) analógiájára nevezzük a
∑ (u n
i =1
c uz =
i
− u )(z i − z ) n −1
n
=
∑v i =1
ui
v zi (5.25)
n −1
kifejezést utólagos kovarianciának. Ekkor a korrelációs együttható tapasztalati értéke megadható az n ∑ vui ⋅ v zi c i =1 ruz = uz = µu ⋅ µ z n 2 n 2 ∑ v ui ⋅ ∑ v zi i =1 i =1
(5.26)
kifejezéssel. A képletek jelölései:
vu i = u i − u; v z i = z i − z;
∑u u=
n
∑z
i
;
z=
n
∑ (u
i
;
µu =
− u)
∑ (z
2
i
n −1
;
µz =
− z)
2
i
n −1
.
*
A korrelációs együttható csak a lineáris kapcsolat jellemzésére megfelelő mérőszám, két valószínűségi változó közötti más függvénykapcsolatról nem kapunk információt. Egy meghatározott függvénykapcsolat szorosságát a korrelációs index méri.
27
Az - empirikus - regressziós egyenes egyenletei kifejezhetők a
z = z + ruz ⋅
µz ⋅ (u − u ) , µu
µ u = u + rzu ⋅ u ⋅ (z − z ) µz
(5.27)
alakban, attól függően, hogy z függőségét vizsgáljuk u - tól, vagy u függőségét z - től. A fenti egyenletekben az eddigi jelölések mellett az egyenesek
bz = ruz ⋅
µz µu
bu = rzu ⋅
µu µz
iránytangenseit regressziós együtthatóknak nevezzük. A
z = a z + bz ⋅ u , u = a u + bu ⋅ z
(5.28)
regressziós egyenesek megkaphatók a legkisebb négyzetek elve alapján is a n
F ( a z , bz ) = ∑ ( z i - a z - b z ⋅ u i ) = min., 2
i =1 n
G (a u , bu ) = ∑ (u i - a u - bu ⋅ z i ) = min. 2
i =1
feltételekből kiindulva. Az összefüggésekben adottak az ui és zi eredmény-párok, keressük a regressziós egyenesek az, bz, ill. au, bu együtthatóit.
7. példa: Elektronikus távmérővel különböző nagyságú, ismert valódi értékű távolságokat mértünk. Az 5.5. táblázatban találhatjuk a mért di távolságokat 0,1 km élességgel és a mért távolságok ∆i valódi hibáinak ∆i abszolút értékeit. Vizsgáljuk meg, találunk-e lineáris összefüggést a di távolságok nagysága és a ∆i értékek között. E célból a táblázat adatai alapján határozzuk meg a korrelációs együtthatót és írjuk fel a regressziós egyenes egyenletét.
28
5.5. táblázat A mérési eredmények
A mérés sorszáma
ui (di ) (km)
Számítások
v u = ui − u
zi ( ∆i )
v z = zi − z
vu2
v 2z
vu ⋅ v z
(mm)
1
1,7
9,1
0,89
1,4
0,792
1,96
1,246
2
0,7
6,5
-0,11
-1,2
0,012
1,44
0,132
3
1,2
9,1
0,39
1,4
0,152
1,96
0,546
4
0,7
2,0
-0,11
-5,7
0,012
32,49
0,627
5
1,0
16,1
0,19
8,4
0,036
70,56
1,596
6
1,2
6,3
0,39
-1,4
0,152
1,96
-0,546
7
0,5
3,4
-0,31
-4,3
0,096
18,49
1,333
8
1,0
6,1
0,19
-1,6
0,036
2,56
-0,304
9
0,6
7,2
-0,21
-0,5
0,044
0,250
0,105
10
0,1
0,1
-0,71
-7,6
0,504
57,76
5,396
11
1,1
13,5
0,29
5,8
0,084
33,64
1,682
12
0,4
3,2
-0,41
-4,5
0,168
20,25
1,845
13
0,2
2,6
-0,61
-5,1
0,372
26,01
3,111
14
1,5
7,3
0,69
-0,4
0,476
0,160
-0,276
15
0,8
21,2
-0,01
13,5
0,000
182,25
-0,135
16
0,4
7,1
-0,41
-0,6
0,168
0,36
0,246
17
0,2
9,3
-0,61
1,6
0,372
2,56
-0,976
18
1,3
8,4
0,49
0,7
0,240
0,490
0,343
19
1,4
10,4
0,59
2,7
0,348
7,290
1,593
20
0,1
5,0
-0,71
-2,7
0,504
7,290
1,917
Átlag:
∑ ui u=
n
∑z z=
n
20
20
∑v
i
=
= 0,81 km = 7,7 mm
i =1
ui
=
= -0,1 km
∑v i =1
zi
=
Σ= 4,568
Σ=
Σ=
469,730
19,454
= -0,1 mm
A táblázatban foglalt számítások alapján számíthatók a következő mennyiségek:
29
∑ (z n
µz = µ ∆ =
i =1
n −1
∑ (u n
µu = µd =
− z)
2
i
=
469,73 = ±4,97 mm ≈ ±5 mm ; 19
=
4,568 = ±0,49 km ≈ ±0,5 km ; 19
− u)
2
i
i =1
n −1
n ∑ vu i ⋅ v z i 19,454 19,454 ruz = i = 1 = = = +0,42 . n 2 n 2 4,568⋅ 469,73 46,321 ∑ vui ⋅ ∑ v zi i =1 i =1 Az ui (di), zi ( ∆i ) pontok és a regressziós egyenes grafikus ábrázolása (az abszcissza tengelyen a távolságok km-ben, az ordináta tengelyen a mérési hibák mm dimenzióban szerepelnek).
∆ (mm)
25 20 15 10 5 0 0
0.5
1
1.5
2
d(km)
A ∆ valódi mérési hibáknak a távolságoktól való függőségét kifejező
z = z + ruz ⋅
µz (u - u ), µu
vagy, más jelölésekkel
∆ = ∆ + ruz ⋅
µ∆ µd
(d - d )
regressziós egyenes egyenlete:
30
∆ = 7,7 mm + 0,42 ⋅
5 ⋅ (d − 0,81) = 7,7 mm + 4,2 ⋅ (d − 0,81) = (4,3 + 4,2 ⋅ d ) mm . 0,5
ahol, hogy az eredményt mm dimenzióban kapjuk meg, a d értékét km-ben kell behelyettesíteni (a 4,2 regressziós együttható dimenziója ui. mm/km). Fentiekből következik, s ezt igazolja a gyakorlat is, hogy az elektronikus távolságmérés eredményét egy távolságtól független és egy távolságfüggő hibatag befolyásolja. Megemlítjük, hogy e példában a fordított esetnek - a távolságnak a valódi hibáktól való függőségének - nincs értelme.
5.8. A súly A geodéziai gyakorlatban gyakran előfordul, hogy az egyes mérési eredmények azonos középértékű, de különböző szórású alapsokaságból származnak. ___________________________________________________________________________
8. példa: Ugyanazt a távolságot különböző megbízhatóságú távolságmérő eszközzel mérjük. A különböző mérőeszközökkel kapott mérési eredmények alapján kívánjuk becsülni a távolság valódi értékét és az egyes mérési eredmények szórását. ___________________________________________________________________________ Nyilvánvaló, hogy a távolság valódi értékét nem becsülhetjük most az egyszerű számtani középértékkel. A feladat megoldásához egy új, a szórás függvényében megadott mérőszámra van szükség, amely mintegy összekötő szerepet tölt be az egyes, különböző szórású mérési eredmények között. Különböző szórások esetén a mérési eredmények (4.1) összefüggéssel adott sűrűségfüggvényei is különbözőek (4.1. ábra). Az ilyen mérési eredményeket csak úgy tudjuk kezelhetővé tenni, ha az összes mérési eredményt ugyanolyan eloszlású (szórású) alapsokaságból származtatjuk. Legyenek az u1 , u2 , ......, un mérési eredmények szórásai rendre σ 12 , σ 22 , ......, σ n2 . Válasszunk olyan c = σ 20 számot, amelyre
c = p1 ⋅ σ 12 = p 2 ⋅ σ 22 = ........ = p n ⋅ σ n2 = σ 02
(5.29)
és amelyet a továbbiakban úgy tekintünk, mint a keresett azonos szórású alapsokaság szórásnégyzetét. Az (5.29) összefüggés akkor áll fenn, ha a pi (i = 1,2, ..., n) szorzókat úgy választjuk meg, hogy azok σ 02 σ 02 σ 02 p1 = 2 ; p 2 = 2 ; ..... ; p n = 2 σ1 σ2 σn
(5.30)
legyenek. A pi (i = 1,2, ..., n) szorzót súlynak nevezzük. A súly - mint látjuk - a szórásnégyzettel fordítottan arányos mennyiség. Egyszerűbben fogalmazva, a súly azt fejezi ki, hányszor megbízhatóbb, pontosabb az egyik mérési eredmény a másiknál. Mivel - mint láttuk - a szórásnégyzet valódi értékét általában nem ismerjük, a számítás kezdetekor a súlyokat a gyakorlatban az (5.5) képlettel megfogalmazott előzetes középhiba alapján számítjuk:
31
µ 02 pi = 2 . µi
(5.31)
A µ 02 értéke lényegében tetszőlegesen választható, megválasztásában csak a súlyok matematikai kezelhetősége játszik szerepet. A kiegyenlítő számításokban szokásos a µ 02 értékét dimenzió nélkülinek tekinteni, ugyanis a kiegyenlítés során könnyebb a különböző dimenziók együttes kezelése. Ekkor a súlyoknak kell dimenziósnak lenniük, ami viszont a súlyok kezelését nehezíti meg. A Geodézia II. tantárgyban a µ 02 -et tekintik dimenziótlan mennyiségnek, úgyhogy itt is követjük ezt a szemléletmódot. Minthogy az eredeti mérési eredményekhez különböző szórások és különböző súlyok tartoznak, mind a számtani közép, mind az ennek alapján becsült utólagos középhiba számításához az eredeti mérési eredményeket módosítanunk kell úgy, hogy azok mindegyike éppen a σ0 (µ0 ) szórású alapsokaságból származzon. Utóbbit úgy érjük el, ha mindegyik mérési eredményt osztjuk a hozzá tartozó szórással (előzetes középhibával) és szorozzuk σ0 (µ0 ) - lal:
u1′ =
µ0 µ µ ⋅ u1 ; u 2′ = 0 ⋅ u 2 ; ...... ; un′ = 0 ⋅ u n µ1 µ2 µn
(5.32)
Ez a transzformáció ú. n. homogenizált mérési eredményekhez vezet, amelyeknek azonos középértéke és szórása van. Figyelembe véve a súlyra adott (5.31) összefüggést, az (5.32) képletek az
u1′ = u1 ⋅ p1 ;
u2′ = u2 ⋅ p 2 ; ...... ; u n′ = un ⋅ pn
(5.33)
alakban is felírhatók. Ezzel a különböző szórású mérési eredményeket úgy kezelhetjük, hogy azok - az (5.33) módosítással - ugyanabból az alapsokaságból származnak, s így már minden további nélkül alkalmazhatók rájuk az (5.2), (5.3), (5.4) és (5.5) fejezetekben mondottak. A mérési eredmények (5.33) transzformációját a gyakorlatban nem végezzük el, hanem az összefüggéseket alakítjuk át úgy, hogy azokban nem a transzformált, hanem az eredeti mérési eredmények szerepeljenek. Jelöljük a homogenizált mérési eredményekből becsült középértéket, a geodéziai
′
gyakorlatban használatos elnevezéssel: a súlyozott számtani közepet u - vel. Az eredeti ui
′
mérési eredmények u - től való
vi = u i − u
′
(5.34)
eltérései az ui mérési eredmények becsült hibái, a mérési javítások (5.3. fejezet). Ezek az ui
′
értékektől egy konstans u értékkel térnek el (5.5. ábra), tehát szórásaik megegyeznek az ui mérési eredmények szórásaival. Az 5.2. fejezetben tárgyalt legkisebb négyzetek elve csak homogenizált mérési javításokra alkalmazható. A
v1′ = v1 ⋅ p1 ;
v 2′ = v 2 ⋅ p2 ; ...... ; vn′ = u n ⋅ pn
(5.35)
átalakítással a vi′ értékek szórásai megegyeznek.
32
ϕ (u)
ϕ (v)
u, v
u′
5.5. ábra: A mérési javítások sűrűségfüggvénye
5.9. A súlyozott számtani közép Alkalmazzuk a legkisebb négyzetek (5.2) feltételét a fenti esetre. Kapjuk: n
n
F = ∑ v i′ = ∑ 2
i =1
i =1
(
pi ⋅ v i
) = ∑ p ⋅v n
2
i
′ = ∑ pi ⋅ ui − u = min . i =1 2
n
2
i
i =1
(5.36)
Az (5.36) függvénynek ott van minimuma, ahol az u szerinti első deriváltja zérus: n ′ n ′2 n 2 ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ∑ pi d p u 2 u p u u ∑ i i d ∑ pi ⋅ (ui − u ) i i ∑ dF i =1 i =1 =0. = i =1 = i =1 ′ ′ du du du ′
n
2
Továbbá: n ′ n − 2 ⋅ ∑ pi ⋅ ui + 2 ⋅ u ⋅ ∑ pi = 0 , i =1
i =1
ahonnan a súlyozott számtani közép: n
∑p
′
u =
i
⋅ ui
i =1
.
n
∑p
(5.37)
i
i =1
′ ′ pi ⋅ vi = ∑ pi ui − u = ∑ pi ⋅ ui − u ⋅ ∑ pi ∑ i =1 i =1 i =1 i =1 n
A
továbbiakban
n
n
figyelembevételével
∑p i =1
i
n
n
és
az
(5.37)
⋅ vi = 0 .
Az utólagos középhiba az (5.18) összefüggés szerint felírható a n
µ0 = ±
∑ v′i
n
2
i =1
n −1
=±
∑p
i
⋅vi
i =1
n −1
2
(5.38)
33
alakban. Tekintettel arra, hogy a homogenizált mérési eredmények szórása (középhibája) megegyezik, s a súly definíciója alapján minden u i′ mérési eredmény súlya p i′ =
µ02 =1, µ02
azaz egységnyi, a µ0 (5.38) képlettel kifejezett értékét az egységsúlyúnak választott mérési eredmény utólagos középhibájának nevezzük (ez elméletileg megegyezik a tetszőlegesen választott előzetes középhibával). A súlyegység utólagos középhibájának és a súly (5.30), ill. (5.31) definíciójának felhasználásával számíthatók az eredeti mérési eredmények utólagos középhibái. A
pi =
µ 02 µi2
összefüggésből ugyanis
µi =
µ0 pi
,
(5.39)
ahol a µ0 helyébe most annak (5.38) képlettel számítható utólagos értékét helyettesítjük. Azonos szórású mérési eredmények esetén természetesen minden súly egységnyi, ekkor nyilvánvalóan minden ui - re igaz, hogy µi = µ0 .
34
6. A hibaterjedés Eddigi fejtegetéseink és meggondolásaink közvetlen mérési eredményekre vonatkoztak (2. fejezet). A geodéziai gyakorlatban igen gyakran előfordul az az eset, hogy egy mérési eredményt más, közvetlenül mért mennyiségek függvényében számítunk (közvetett mérés). A közvetlen mérési eredmények eloszlása (középértéke és szórása-középhibája) alapján meg kell határoznunk ezek függvényeinek (közvetett mérési eredmények) eloszlását, ill. eloszlási paramétereit (a függvények középértékét és középhibáját). Legyen az u1 , u2 , ......, un közvetett mérési eredmények U valódi középértéke az x1 , x2 , ......, xn, az y1 , y2 , ......, yn , ......... és a z1 , z2 , ......, zn közvetlen mérési eredmények X, Y, ... és Z valódi középértékeinek
U = a⋅ X + b⋅ Y + .... +c ⋅ Z
(6.1)
lineáris függvénye. Ekkor az i. közvetett mérési eredményhez tartozó függvényérték az alábbi:
u i = a ⋅ xi + b ⋅ y i + .... + c ⋅ z i
.
(6.2)
Az ui függvényérték eltérése az U valódi értéktől (a függvényérték hibája) kifejezhető az
u i - U = a ⋅ (xi − X) + b ⋅ (yi − Y) + .... + c ⋅ (z i − Z )
(6.3)
alakban. Az előzetes középhiba (5.5) definíciója szerint a függvényérték középhibájának négyzetére írhatjuk: n
2 ∑ (u i - U ) i =1
n
n
= a2 ⋅
2 ∑ (xi − X ) i =1
n
n
+ b2 ⋅
2 ∑ ( yi − Y ) i =1
n
n
+ .... + c 2 ⋅
∑ (z i =1
−Z)
2
i
n
, (6.4)
vagy , ami ugyanaz:
µu2 = a2 ⋅ µx2 + b2 ⋅ µ 2y + .... +c 2 ⋅ µz2 ,
(6.5)
azzal a feltételezéssel, hogy a (6.4) összefüggés jobb oldalának négyzetre emelésekor a vegyes szorzatok, vagyis az (5.22) típusú képletekkel meghatározott kovarianciák értéke zérus. Ez a feltétel a geodéziai gyakorlatban a mérési eredmények függetlenségének feltétele, általában csak részben teljesül, megfelelő mérési módszer, technológia megválasztásával törekednek erre. A (6.5) összefüggés értelemszerűen az utólagos középhibákra is alkalmazható. A (6.5) kifejezés egyetlen függvény és korrelálatlan mérési eredmények esetére a hibaterjedés törvénye. Az együtthatók a = b = ..... = c és a középhibák µx = µy = ..... = µz = µ egyenlősége, vagyis egyenlő súlyú mérési eredmények esetén
µ u2 = n ⋅ µ 2 ,
(6.6)
µu = n ⋅ µ .
(6.7)
vagy
___________________________________________________________________________
35
1. példa: A teodolittal mért vízszintes szög közvetett mérés eredménye, két irányérték különbségeként adódik: ϕ = I j - Ib , (6.8) ahol I j a jobb-, I b pedig a baloldali irányra mért irányérték (6.1. ábra).
Ib Ij ϕ d
6.1. ábra: A vízszintes szög, mint közvetett mérési eredmény Előzetes vizsgálatok alapján az irányértékre vonatkozó egyetlen leolvasás előzetes középhibája: µ I j = µ Ib = µ I = ± 6′′. Ekkor a (6.7) összefüggés alapján kapjuk:
µϕ = ± 2 ⋅ µ I = ± 1,41 ⋅ 6 ≈ ± 8,5′′. ___________________________________________________________________________ A (6.5) összefüggés mindkét oldalát osszuk el a súlyegység középhibájával, µ02 - tel. Kapjuk: 2 2 µ 2y µu2 2 µx 2 2 µz = a ⋅ + b ⋅ + .... + c ⋅ . µ02 µ 02 µ 02 µ 02
(6.9)
A súlyok (5.31) képlettel rögzített definíciója szerint a függvényérték súlyára kapjuk:
a2 b2 c2 1 = + + ..... + , pu px py pz
(6.10)
ahonnan, a = b = c = 1 és egyenlő súlyú mérési eredmények esetén (minden súly egységnyi is), adódik: 1 1 1 1 = + + .... + , pu 1 1 1 vagy, végül 1 =n . pu
(6.11)
1 dimenziója a közvetett mérési pu eredmény dimenziójának négyzete, pu dimenziója pedig ennek reciproka. Ha pl. a közvetett 1 mérési eredmény dimenziója szögmásodperc (”), úgy pu dimenziója 2 . ” Megjegyezzük, hogy, mivel µ02 dimenziótlan, úgy az
36
___________________________________________________________________________
2. példa:
pI j = pIb = pI =
Az 1. példában a középhibák egyenlősége miatt
pϕ =
36 = 1 ” -2 , s ezért 36
1 -2 ” . 2
A fentiekből is látható, hogy a súly viszonylagos mérőszám, a középhibák négyzeteinek arányától, s nem azok konkrét számértékeitő l függ. ___________________________________________________________________________
6.1. A számtani közép és a súlyozott számtani közép középhibája és súlya A hibaterjedés törvénye alapján határozzuk meg a számtani és a súlyozott számtani közép középhibáját és súlyát. Feltételezzük, hogy mindkét becsült középérték, más-más mérési sorozatokból (mintákból) becsülve, más és más lehet, létezik eloszlás- és sűrűségfüggvényük, ezen belül szórásuk (középhibájuk). Mind a számtani, mind a súlyozott számtani közép úgy is tekinthető, mint közvetett mérési eredmény, s így alkalmazható rájuk a hibaterjedés (6.5) összefüggéssel meghatározott törvénye. Az egyszerű számtani közép (5.4) képlete felírható n
∑u u=
i =1
n
i
=
1 n ⋅ ∑ ui n i =1
(6.12)
alakban. A (6.6) figyelembevételével írhatjuk:
µ u2 = n ⋅
1 1 ⋅ µ 2 = ⋅ µ2 2 n n
és n
µu =
µ = n
∑v
2 i
i=1
n ⋅ (n − 1 ))
,
(6.13)
ahol µ - az egyes mérési eredmények középhibája. A (6.13) összefüggés figyelembe vételével az „5.6. A konfidencia-intervallum fogalma” c. fejezet (5.19) képlete átírható az
u − t β ⋅ µu ≤ U ≤ u + t β ⋅ µu
(6.14)
alakban. A számtani közép súlyára, a (6.13) összefüggés µ 02 -tel való osztásával, kapjuk:
µu2 µ 02
=
1 µ2 1 µ2 1 ⋅ 2= ⋅ 2 = , n µ0 n µ n
(6.15)
mert azonos középhibájú mérési eredmények esetén - mint láttuk - µ0 = µ, s ezért
37
1 1 = , pu n ahonnan
pu = n ,
(6.16)
vagyis az egyszerű számtani közép súlya egyenlő a mérési eredmények számával. A (6.16) összefüggés rámutat a súlyok megválasztásának egy egyszerű lehetőségére: több mennyiség mérésekor az egyes mennyiségekre vonatkozó mérési eredmények súlyai az egyes mennyiségekre végzett mérések számával egyenesen arányosak. A súlyozott számtani közép középhibája, az (5.37) lineáris összefüggésből kiindulva, az egyszerű számtani középre bemutatott levezetéshez hasonlóan kapható meg. n
′
∑p
u =
i
⋅ ui
i =1 n
∑p i =1
n
=∑ i=1
i
pi
⋅ ui ,
n
∑p i =1
i
A (6.5) összefüggés alapján kapjuk: n
pi ∑ µ 02 2 i =1 µ =∑ ⋅µ =∑ ⋅ 2 ⋅ µi = ⋅ µ 02 = 2 2 2 n n n i=1 i=1 µi ∑ pi ∑ pi ∑ pi i =1 i =1 i =1 n
2 ′ u
p i2
n
µ 02
pi
2 i
.
n
∑p i =1
(6.17)
i
Végül, a súlyozott számtani közép középhibája az alábbi: n
µ′ = u
∑p
µ0
=
n
∑p i=1
i
i =1
i
⋅ vi2 .
n
∑ p ⋅ (n − 1) i =1
(6.18)
i
n
A (6.18) összefüggés és a súly (5.31) definíciója alapján p ′ = ∑ pi . u
i=1
Felhívjuk újra a figyelmet arra, hogy a fenti összefüggések levezetésekor a sztochasztikus modellben az ui mérési eredmények függetlenségét, korrelálatlanságát tételeztük fel. ___________________________________________________________________________
3. példa: Mérőpályánk ϕ szögét három, különböző megbízhatóságú műszerrel mértük meg. A mérési eredmények a következők: 1. műszer: ϕ1 = 93O 07’ 12” 2. műszer: ϕ 2 = 93O 06’ 58” 3. műszer: ϕ 3 = 93O 07’ 30” Gyári adatok alapján a műszerek megbízhatóságát a következő előzetes középhibákkal jellemezzük: 1. műszer: µ1 = 3” 2. műszer: µ2 = 6”
38
3. műszer:
µ3 = 10”.
Az előzetes középhibákból - µ0 = 10 mellett - az (5.31) alapján számítjuk a súlyokat: µ2 10 2 p1 = 02 = 2 ≈ 11 ′′- 2 µ1 3
µ 02 10 2 p 2 = 2 = 2 ≈ 3 ′′- 2 µ2 6
p3 =
µ 02 10 2 = = 1 ′′- 2 µ 32 10 2
Keressük a ϕ szög becslését, a ϕ súlyozott számtani középértéket, a súlyozott számtani középérték középhibáját és súlyát, a súlyegység utólagos középhibáját, valamint az egyes mérési eredmények utólagos középhibáit. A számítás egyszerűsítése céljából minden mérési eredményből vonjunk le ϕ 0 = 93O 06’ 00” értéket. A maradékokat jelöljük δ ϕ1 , δ ϕ 2 , δ ϕ 3 - mal. Kapjuk: 3
δϕ =
∑p i =1
i
⋅ δϕ i =
3
∑p i =1
11′′ − 2 ⋅ 72′′+3′′− 2 ⋅ 58′′+1′′ − 2 ⋅ 90′′ 1056′′ −1 = = 70,4′′ †. 11′′− 2 +3′′ − 2 +1′′ − 2 15′′ − 2
i
Az alábbi képletekben a súlyok dimenzióit már nem szerepeltetjük. A súlyozott számtani közép:
ϕ = ϕ 0 + δ ϕ = 93 O 06 ′ 00 ′′ + 70, 4 ′′ = 93 O 07 ′ 10, 4′′ . A mérési javítások (becsült hibák): v 1 = 72 ′′ - 70,4 ′′ = + 1,6′′ v 2 = 58′′ - 70,4 ′′ = - 12,4 ′′ v 3 = 90′′ - 70,4 ′′ = + 19,6′′ Ellenőrzés - a mérési javítások súlyozott összege zérus: 3
∑p i =1
i
⋅ v i = + 1,6 ⋅ 11 - 12,4 ⋅ 3 + 19,6 ⋅ 1 = 0 .
A súlyegység utólagos középhibája az (5.38) összefüggésből számítható: n
µ0 = ±
∑p
i
⋅v i
i =1
n −1
2
=
873,6 ≈ ± 20,9 . 3 -1
A (6.18) szerint a súlyozott számtani közép középhibája:
†
Megjegyezzük, hogy, ha a közvetett függvény argumentumai azonos dimenziójúak, mint a fenti példánk esetében, úgy – elkerülendő a súlyok dimenzióinak értelemszerű, de a képletekben zavaró feltüntetését – célszerűbb a súlyegység középhibája dimenzióját a mérési eredmény dimenziójában megválasztani. Ekkor a súly lesz dimenzió nélküli.
39
n
µϕ = ±
∑p i =1
i
⋅ v i2
n
∑ p ⋅ (n − 1) i =1
= ±
873,6 ≈ ± 5,4 ′′ . 15 ⋅ ( 3 - 1)
i
A súlyozott számtani közép súlya: n
pϕ =
∑p
i
= 11 + 3 + 1 = 15 .
i=1
A mérési eredmények utólagos középhibái a súly (5.31) definíciója szerint az alábbiak:
µ1 =
µ0 20,9 = ± = ± 6,3′′ p1 11
µ2=
µ0 20,9 = ± = ± 12,1′′ p2 3
µ3 =
µ0 20,9 =± = ± 20,9′′. p3 1
___________________________________________________________________________ A példa szemléletesen mutatja, hogy az egységsúlyúnak választott 3. mérési eredmény utólagos középhibája egyenlő a súlyegység középhibájával. Az előzetes és utólagos középhibák nagy eltérései (az utólagos középhibák kétszeresei az előzetes középhibáknak) arra utalnak, hogy vagy a sztochasztikus modell hibás, vagy, ami valószínűbb, túl kevés a mérési eredmény. Az eltérés - egyébként minden vizsgálat nélkül is szembetűnő szignifikanciáját (jelentős voltát) statisztikai hipotézisvizsgálattal mutathatnánk ki (ebben az esetben az F-próbával (5.4. fejezet).
6.2. A hibaterjedés törvénye nem lineáris függvény esetén A geodéziai gyakorlatban igen gyakran előforduló eset, hogy a közvetett mérési eredményre felírható függvény nem lineáris (pl. a (2.2) és (2.4) függvények), a hagyományos geodéziai feldolgozási technika viszont csak a lineáris függvényeket tudja kezelni. Ezért, valamint abból a célból, hogy eddigi összefüggéseinket a továbbiakban is használni tudjuk, a nem lineáris függvényeket linearizálnunk kell. A linearizálást hagyományosan Taylor - sorba fejtéssel végezzük. A funkcionális modell alapvető hipotézise itt az, hogy a sorba fejtés eredményeként kapott kifejezés ún. maradék tagja az elsőfokú taghoz képest elhanyagolhatóan kicsi. Legyen az u1 , u2 , .... , un közvetett mérési eredmények U valódi középértéke az x1 , x2 , .... , xn , az y1 , y2 , .... , yn és a z1 , z2 , .... , zn közvetlen mérési eredmények X, Y és Z valódi középértékeinek U = f ( X, Y, ..., Z ) (6.19) nem lineáris függvénye. Ekkor az xi , yi , .... , zi (i = 1, 2, ..., n) mérési eredményekhez tartozó ui közvetett mérési eredmény a következő:
u i = f ( xi , y i , ... , z i )
(6.20)
Az ui mérési eredmény eltérése az U valódi középértéktő l (a függvényérték hibája) felírható az
40
u i − U = f (xi − X, y i − Y, ... , z i − Z )
(6.21)
alakban. Figyelembe véve, hogy
∆ui = u i − U ; ∆xi = xi − X ; ∆yi = yi − Y ; .....; ∆zi = z i − Z ; a (6.19) - re írhatjuk:
U = ui − ∆ui = f ( xi − ∆xi , yi − ∆yi , ... , z i − ∆zi )
(6.22)
Bizonyítható, ha a (6.22) az xi , yi , ... , zi mérési eredmények környezetében legalább kétszer differenciálható, folytonos függvény, úgy e környezetben ∂ ∂ ∂ U = ui − ∆ui = f (x i , yi , ... , zi ) − ⋅ ∆xi + ⋅ ∆y i + .... + ⋅ ∆z i ⋅ f (x i , y i , ... , zi ) − R 2 , ∂y i ∂z i ∂x i
(6.23) A (6.23) összefüggés az n-változós Taylor-sor első differenciálhányadosokra korlátozott alakja, a parciális deriváltak szimbolikus jelölésével, ahol az R2 maradék tagot a funkcionális modell-hipotézisünk értelmében elhanyagoljuk. A funkcionális modell hipotézise itt az, hogy a ∆xi , ∆yi ,..., ∆zi valódi hibák eléggé kicsik ahhoz, hogy a magasabb rendű deriváltakat és a valódi hibákat egynél magasabb hatványon tartalmazó R2 maradék tag elhanyagolható legyen. Figyelembe véve a (6.20) összefüggést és a mérési hibákra adott kifejezéseket visszahelyettesítve, kapjuk:
u i − U = a ⋅ ( xi − X ) + b ⋅ ( y i − Y ) + .... + c ⋅ ( z i − Z ) * ,
(6.24)
ahol
a=
∂f (xi , yi , .... , zi ) ∂f (xi , yi , .... , zi ) ∂f (xi , yi , .... , zi ) ; b= ; ...... ; c = . ∂xi ∂y i ∂zi
A (6.24) kifejezés megegyezik a lineáris függvényekre kapott (6.3) összefüggéssel, s így alkalmazhatók a (6.4) és (6.5) képletek. ___________________________________________________________________________
4. példa: A 2. fejezetben (2.2. ábra) a ∆ y = d AC ⋅ sin δAC ∆ x = d AC ⋅ cosδAC
(2.2)
összefüggésekben a ∆y és a ∆x közvetett mérési eredmények a dAC távolság és a δ AC irányszög nem lineáris függvényei. A (2.1) összefüggéssel ugyanott a δ AC irányszöget a
δAC = δAB + ϕ
(2.1)
függvénnyel adtuk meg. Feltételezzük, hogy az A és B pontok koordinátái - mint kiinduló adatok - hibátlanok (ez a sztochasztikus modell hipotézise). Ekkor a hibaterjedés lineáris függvényekre vonatkozó (6.5) törvénye alapján
*
Hasonló eredményre jutunk, ha nem a Taylor-sorból, hanem a valódi hibák kicsisége miatt a teljes differenciálból indulunk ki (Függelék: F.3. Differenciálszámítási összefoglaló)
41
µδ2 = µϕ2 .
(6.25)
A távolság mért értéke legyen d AC = 1523,35 m, előzetes középhibája pedig µ d = ± 15 mm. Továbbá ϕ = 37 o 30′05′′ , µ ϕ = ± 3′′ . A δ AB irányszög adott koordinátákból számított értéke
δ AB = 41o 22′35′′ , előzetes középhibája pedig a (6.25) összefüggés szerint megegyezik a közvetlenül mért ϕ szög előzetes középhibájával: µδ = µ ϕ = ± 3′′ . Keressük a ∆y és a ∆x koordinátakülönbségeket és ezek µ ∆y és µ ∆x előzetes középhibáit. A (2.2) szerint a koordinátakülönbségek:
∆y = 1523,35 m ⋅ sin (78 o 52′40′′) = 1494,738 m,
∆x = 1523,35 m ⋅ cos(78 o 52′40′′) = 293,858 m . A ∆y függvényérték középhibájának meghatározásához képezzük a (2.2) első képletének dAC és δ AC szerinti első parciális differenciálhányadosait a mérési eredmények helyén:
a=
∂ (d AC ⋅ sin δ AC ) = sinδ AC = sin (78 o 52′40′′) = 0,981 , ∂d AC
b=
∂ (d AC ⋅ sin δ AC ) = d AC ⋅ cosδ AC = 1523,35 ⋅ cos(78 o 52′40′′) = 293858 mm . ∂δ AC
A hibaterjedés törvényének alkalmazásával adódik:
µ 2∆y = a 2 ⋅ µ d2 + b 2 ⋅ Az első tagban az a2 dimenzió nélküli, a
µ δ2 . ρ′′ 2
µ d2 dimenziója mm2, a második tagban a b2
dimenziója ″2 . Utóbbit tehát osztanunk kell az 1 radián ″-ben kifejezett értékének 2 négyzetével, a ρ′′ 2 értékkel. Ekkor a µ ∆y dimenziója szintén mm2 lesz. Kapjuk:
µ ∆2y = 0,981 2 ⋅ 15 2 + 293858 2 ⋅ ahonnan
32 = 216,5 mm 2 + 18 ,3 mm 2 = 234,8 mm 2 , 2 206265
µ ∆y = ±15 ,3 mm .
A ∆x függvényérték előzetes középhibáját hasonló módon kaphatjuk meg:
a=
∂(d AC ⋅ cosδAC ) = cosδAC = cos(78 o52′40′′) = 0,193 , ∂d AC
b=
∂(d AC ⋅ cos δ AC ) = - d AC ⋅ sin δAC = - 1523,35 ⋅ sin (78 o 52′40′′) = - 1494738 mm , ∂δ AC
Továbbá: µ 2∆x = a 2 ⋅ µd2 + b 2 ⋅
µδ2 , ρ′′ 2
42
32 µ = 0,193 ⋅ 15 + 1494738 ⋅ = 8,4 mm 2 + 472 ,6 mm 2 = 481,0 mm2 és 2 206265 2 ∆x
2
2
2
µ ∆x = ±21,9 mm . A µ ∆y és µ ∆x értékek összevetéséből láthatjuk, hogy a µ ∆y értékben a távolságmérés hibája, a µ ∆x értékben az irányszög hibája dominál. A koordináták számítási megbízhatósága tehát irányfüggő, amiből az is következik, hogy azok matematikai értelemben korreláltak lesznek. A két szélső esetben 2 2 1) δ AC = 90O mellett µ∆y = µd , mert b = dAC ⋅ cos δAC = 0 és sinδ AC = 1 és
µ vagyis a
2 ∆x
=d
2 AC
⋅
µ δ2
ρ ′′ 2
, mert a = cos δ AC = 0 ,
µ ∆x csak az irányszög szórásától függ.
2 2 2) δ AC = 0 mellett µ ∆y = d AC ⋅
O
µ δ2 , mert a = sinδAC = 0 és ρ ′′ 2
µ ∆2x = µ d2 , mert b = - d AC ⋅ sin δ AC = 0 , ahol most a µ ∆y függ csak az irányszög szórásától. ___________________________________________________________________________
6.3. A hibaterjedés törvénye mátrixos alakban A fejezet megértéséhez a mátrix-számítás alapvető fogalmainak ismeretére van szükség. Erről rövid összefoglalót a Függelékben adunk. Tetsző leges számú x, y, .... z mérési eredmény
u = a ⋅ x + b⋅ y + .... +c ⋅ z függvényére a hibaterjedés törvénye
µu2 = a 2 ⋅ µ x2 + b 2 ⋅ µ y2 + .... + c 2 ⋅ µ z2
(6.5)
alakú, azzal a feltételezéssel, hogy a mérési eredmények korrelálatlanok. Az összefüggés mind lineáris, mind nem lineáris függvényekre igaz, azzal a különbséggel, hogy nem lineáris esetben az a, b, …., c együtthatók a (6.24) képlet utáni parciális deriváltak. A (6.5) összefüggés egyszerűbben írható fel a
µu2 = a ⋅ K x ⋅ a T
1,n
n, n
n ,1
(6.26)
ún. kvadratikus alakban (Függelék, F.1.2.1. fejezet). A (6.26) kvadratikus alakban kijelölt vektor-mátrix szorzás eredménye skalár. A képletet kifejtve, írhatjuk:
43
µu2
a µ 2x 0 .... 0 0 b 0 µ 2y ... 0 0 = (a b .... c ) ⋅ ⋅ . , .......... .... . 0 0 ... 0 µ 2 z c
ahol
a = (a b .... c ) T
1, n
az a oszlopvektor transzponáltja, n,1
µ x2 0 .... 0 0 0 µ 2y ... 0 0 Kx = n ,n .............. 2 0 0 ... 0 µ z pedig az x, y, …, z mérési eredmények (átlós, diagonális) kovariancia-mátrixa, főátlójában a mérési eredmények középhiba négyzeteivel. ___________________________________________________________________________ 4.a. példa: Az előző fejezet 4. példájában az y irányú koordinátakülönbséget a
∆ y = d AC ⋅ sin δAC képlettel adtuk meg. Írjuk fel a 4. példa ∆ y -ra vonatkozó megoldását mátrixos alakban: a = (sinδ AC T
1, 2
d AC ⋅ cosδ AC ) = (0,981 293858 mm ) , 0,981 , a = 2 ,1 293858 mm
µ d2 0 15 2 mm 2 0 Kx = µ δ2 = 32 2 ,2 0 0 2 ρ ′′ 206265 2
.
A ∆ y koordinátakülönbség középhibanégyzete a mátrix szorzás szabálya szerint (Függelék, F.1.2. fejezet): 15 2 mm 2 0 0,981 T 2 2 = µ ∆y = a ⋅ K x ⋅ a = (0,981 293858 mm) ⋅ ⋅ 3 1, 2 2 , 1 293858 mm 2, 2 0 , 206265 2 32 = 0,9812 ⋅ 15 2 mm 2 + 293858 2 ⋅ mm 2 = 216,5 mm 2 + 18,3 mm 2 = 234,8 mm 2 2 206265 ahonnan µ ∆y = ±15 ,3 mm . ___________________________________________________________________________
44
6.3.1. A hibaterjedés törvénye több függvényre Ha most az n számú x, y, … , z ( x = ( x, y,..., z ) ) mérési eredményre nem egy, hanem m T
1,n
számú
u1 = a1 ⋅ x + b1 ⋅ y + .... + c1 ⋅ z, u 2 = a2 ⋅ x + b2 ⋅ y + .... + c 2 ⋅ z,
.................. u m = am ⋅ x + bm ⋅ y + .... + cm ⋅ z
(mátrixos alakban u = A ⋅ x ) m ,1
m ,n n ,1
függvényt írunk fel, úgy a hibaterjedés eddig egyetlen függvényre felírt törvénye mátrixos alakban a következőképpen módosul:
K u = A ⋅ K x ⋅ AT . m, m
m, n
n ,n
(6.27)
n ,m
Az összefoglaló mátrixos felírásmód lehetővé teszi a szórásnégyzetek és a kovarianciák egyidejű számítását. A (6.27) összefüggésben
µu21 cov12 . ... cov1n cov21 µu2 ..... cov2 n 2 , Ku = m ,m ......... 2 covn1 covn 2 .... µu m
a1 b1 .... c1 a 2 b2 .... c2 A = , m ,n ............ a b .... c m m m
µ x2 0 .... 0 0 0 µ 2y ... 0 0 Kx = , n ,n .............. 2 0 0 ... 0 µ z
a1 b1 T A = n, m c 1
a 2 .... am b2 .... bm . ............ c2 .... cm
A K u diagonális négyzetes mátrix a fő átlójában az ui függvényértékek középhibanégyzeteit, m,m
a fő átlón kívül az ui függvényértékek közötti kovarianciákat tartalmazza. ___________________________________________________________________________
4.b. példa: Alkalmazzuk a fentieket a 4. példa mindkét ∆ y = d AC ⋅ sin δ AC ∆ x = d AC ⋅ cos δ AC
függvényére. Ekkor nyilvánvalóan m = 2, n = 2.
sin δ AC A = 2, 2 cosδ AC sinδ AC A = 2 ,2 d AC ⋅ cosδ AC
d AC ⋅ cosδ AC 0,981 293858 mm = , - d AC ⋅ sin δAC 0,193 - 1494738 mm cosδ AC
0,981 = - d AC ⋅ sinδAC 293858 mm
0,193 , - 1494738 mm
45
µ d2 0 15 2 mm 2 0 2 Kx = µδ = . 32 2, 2 0 0 ρ′′ 2 206265 2
sinδ AC K u = A⋅ K x ⋅ A T = 2 , 2 2, 2 2, 2 2, 2 cosδ AC
µd2 0 sinδ AC d AC ⋅ cosδ AC ⋅ µ δ2 ⋅ - d AC ⋅ sinδAC 0 d AC ⋅ cosδ AC ρ′′ 2
cosδ AC
= - d AC ⋅ sinδ AC
152 mm2 0 0,981 0,193 0,981 293858 mm 2 ⋅ = = ⋅ 3 293858 mm 1494738 mm 0,193 - 1494738 mm 0 206265 2 32 0,981 ⋅ 15 2 mm 2 293858 mm ⋅ 2 0,193 206265 0,981 = = ⋅ 2 293858 mm - 1494738 mm 3 0,193 ⋅ 15 2 mm 2 - 1494738 mm ⋅ 206265 2 32 32 2 0,9812 ⋅ 15 2 + 293858 2 ⋅ 0 ,981 0,193 15 293858 1494738 mm ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ 206265 2 206265 2 = 32 32 2 2 2 0,193 15 1494738 0,981 ⋅ 0,193 ⋅ 15 2 − 293858 ⋅ 1494738 ⋅ ⋅ + ⋅ 206265 2 206265 2
mm 2
A mátrixon belül a kijelölt m űveleteket elvégezve, végül µ ∆2y cov∆y,∆x mm 2 = 234,8 - 50,3 mm2 . Ku = - 50,3 481,0 2 cov∆x,∆y 2, 2 µ ∆x Vegyük észre, hogy a
K u kovariancia mátrix szimmetrikus, diagonális elemei a 2 ,2
koordinátakülönbségek középhibanégyzetei, az átlón kívüli elemei pedig az 5.7. fejezetben az (5.22) összefüggéssel megfogalmazott kovarianciák. A középhibák:
µ ∆y = ±15 ,3 mm és µ ∆x = ±21, 9 mm .
A kovariancia ismeretében az (5.23) képlet szerint számítható a ∆y és a ∆x értékek közötti korrelációs együttható: cov(∆y, ∆x) 50,3 r= =− = −0,15 . µ ∆y ⋅ µ ∆x 15,3 ⋅ 21,9 Különösebb vizsgálat nélkül megállapítható, hogy – ha egyáltalán létezik – a korreláció gyenge.
46
7. Geodéziai hálózatok. Több középérték egyidejű becslése Geodéziai hálózat alatt olyan - a Föld felszínén valamilyen módon megjelölt - pontok rendszerét értjük, amelyek egy része valamilyen (többnyire a vetületi ) koordinátarendszerben ismert, vagyis terepi koordinátáival adott pont, más részük koordinátáit pedig akár közvetlen, akár közvetett mérési eredmények felhasználásával meg kell határoznunk (új pontok). Maguk a mérési eredmények általában nem maguk a keresett koordináták, de kifejezhetők azok függvényében. E függvények lehetnek lineárisak (a magassági hálózatok esetében), s lehetnek nem lineárisak (a vízszintes, ill. GPS hálózatoknál). A hagyományos geodéziai kiegyenlítés lineáris függvényeket követel meg, a nem lineáris függvényeket linearizálnunk kell (6.2. fejezet). A geodéziai hálózatokban végzett mérések egyidejűleg egynél több mennyiség meghatározására irányulnak, a méréseket általában nem közvetlenül a keresett mennyiségekre végezzük. A feladat matematikai szempontból több középérték egyidejű becslését jelenti. ___________________________________________________________________________ 1. példa: Az 1.3. ábra geodéziai hálózatot ábrázol, terepi koordinátáival adottak az A és B pontok, közvetlenül mérjük az α, β és γ szögeket, meg kell határoznunk a C új pontnak a koordinátáit. ___________________________________________________________________________ Több középérték becslésének feladatát úgy tekinthetjük, mint az 5. fejezetben leírtak kiterjesztését több dimenzióra. Az eddigi jelölések és elnevezések többdimenziós megfelelőit a 7.1. táblázatban foglaljuk össze. A fejezet megértéséhez itt is szükség van a mátrix-számítás alapvető fogalmainak ismeretére (Függelék). 7.1. táblázat 1 dimenzió egy dimenziós normális eloszlás, ϕ(u)
Több dimenzió több dimenziós normális eloszlás, ϕ (u)
szórásnégyzet, σ2 ; középhiba négyzete, µ2 kovariancia mátrix, K súly, p
súlymátrix, P
ismeretlen, U
ismeretlenek vektora, Z
mérési eredmény, u
mérési eredmények vektora, u
az ismeretlen mennyiség becsült értéke, u az ismeretlenek vektorának becsült értéke, z súlyegység középhibája, µ 02
súlyegység középhibája, µ 02
mérési javítás, v
mérési javítások vektora, v
1 µ2 súly reciproka, Q = = 2 p µ0
kofaktor-, vagy súlykoefficiens mátrix:
konfidencia-intervallum(megbízhatósági köz)
Q = P −1 =
K
µ 02
konfidencia- (megbízhatósági) (hiper-) ellipszoid, hibaellipszis
47
A táblázatból látszik, hogy az 1 dimenziós esetben a mérési eredmények közvetlenül a keresett ismeretlen ( u ⇒ U ), míg a több dimenziós esetben a mérési eredmények más mennyiségek meghatározására vonatkoznak ( u ⇒ Z ). A súlyegység jelentése mindkét esetben ugyanaz (5.8. fejezet). Az n dimenziós normális eloszlás sűrűségfüggvénye egy sűrűségfelülettel (7.1.ábra) ábrázolható, s az egy dimenziós eset (4.1) képletének kiterjesztéseként az alábbi:
ϕ (u)
u2
u1 7.1. ábra: valószínűségi sűrűségfelület ϕ ( u1 , u2 , .... , un ) =
det K −1
(2 ⋅ π ) n
(u − U ) T ⋅ K − 1 ⋅ ( u − U ) , ⋅ exp − 2
(7.1)
ahol
u1 u2 u = . . un
és
U1 U 2 U = . . U n
sorrendben a mérési eredmények és a mérési eredmények valódi értékeinek vektora, K −1 a 1 kovariancia mátrix inverze. Az egy dimenziós esetben n = 1, u = u, U = U, K −1 = 2 és a
σ
(7.1) összefüggés a (4.2) összefüggésbe megy át. A kovariancia mátrix alakja - a σ2 szórásnégyzetek helyére a becsült µ2 középhibanégyzeteket helyettesítve - az alábbi:
48
µ12 cov12 cov13 ........ cov1n cov 21 µ 22 cov 23 ........ cov 2 n K= .......... .......... .......... .......... .......... .... cov cov n2 cov n3 ........ µ n2 n1
(7.2)
A K mátrix főátlójában a középhibák négyzetei állnak, főátlón kívüli elemei a kovarianciák (6.3. fejezet). A K felírható még (7.1. táblázat) K = µ 02 ⋅ Q
(7.3)
alakban, ahol
µ12 cov12 cov13 cov1n 2 ....... . µ 02 µ02 µ02 µ0 cov 23 cov 2 n µ 22 cov 21 ....... . 2 2 2 Q = µ0 µ0 µ0 µ02 .......... .......... .......... .......... .......... .... cov cov n 2 cov n 3 µ n2 2 n1 ........ . µ µ 02 µ 02 µ02 0
µ12 cov12 cov13 ....... . cov1n 2 1 cov µ cov ....... . cov 21 2 23 2n = 2 ⋅ µ0 .......... .......... .......... .......... ........ cov cov n 2 cov n 3 ........ . µn2 n1 (7.4)
µ 02 - a súlyegység középhibájának négyzete (5.8. fejezet), Q az ún. kofaktor mátrix. A kofaktor
mátrix
főátlójának
Q ii =
µ i2 µ 02
(i=1,2,…,n)
elemeit
kofaktoroknak,
vagy
súlykoefficienseknek is nevezzük. Mind a kovariancia, mind a kofaktor mátrix - az előzetes és utólagos középhiba fogalmát kiterjesztve (5.4 fejezet) - lehet előzetes és lehet utólagos. A (7.4) összefüggésből az (5.39) képlet analógiájaként következik, hogy
µ i = µ 0 ⋅ Q ii .
(7.5)
Vegyük észre, hogy a mérési eredmények függetlensége esetén (széleskörűen elfogadottan, s többnyire egyéb ismeretek hiányában) covij = 0 (i = 1, 2, ... , n; j = 1, 2, ... , n), s ekkor µ12 2 0 0 ........ 0 µ0 2 µ2 0 0 ........ 0 2 . Q= µ0 .................... ............ 2 µ 0 0 0 .......... n2 µ0
(7.6)
A Q mátrix P = Q-1 inverze a súlymátrix. A
49
µ 02 2 0 0 ........ 0 µ1 µ12 0 0 ........ 0 P= µ 22 . .......... .......... .......... . µ 02 0 0 0 .......... µ n2
mátrix szintén átlós mátrix, amelynek főátlójában a (7.6) összefüggés főátlójában szereplő elemek reciprokai, az (5.31) összefüggéssel definiált súlyok állnak. Ha a Q mátrixnak a főátlón kívül - mint a (7.4) képletben - egyéb nem zérus elemei is vannak, a súly definíciója szerint a P mátrix főátlójában - bár ilyenkor is szokásos a súlymátrix kifejezést használni szigorú értelemben nem súlyok állnak).
7.1. Közvetett mérések kiegyenlítése (koordináta-kiegyenlítés) 7.1.1. Lineáris eset A továbbiakban m számú ismeretlen meghatározására n számú mérést végzünk. A kiegyenlítésnek csak az m < n feltétel teljesülése esetén van értelme, m = n esetén nincs fölös mérés, m > n esetén a feladatot nem lehet megoldani. A fölös mérések száma f = n - m. Legyenek a közvetett mérési eredmények valódi értékei a keresett ismeretlenek Z1 , Z2 , .... , Zn valódi értékeinek alábbi lineáris függvényei:
U 1 = a11 ⋅ Z1 + a12 ⋅ Z 2 + ... a1m ⋅ Z m U 2 = a21 ⋅ Z1 + a22 ⋅ Z 2 + ... a 2 m ⋅ Z m ......................... U n = an1 ⋅ Z1 + an 2 ⋅ Z 2 + ... a nm ⋅ Z m
(7.7)
A mérési eredményekhez tartozó függvények (nevezzük ezeket közvetítő egyenleteknek) ekkor a következők: u1 = a11 ⋅ z1 + a12 ⋅ z 2 + ... a1m ⋅ zm
u2 = a21 ⋅ z1 + a22 ⋅ z2 + ... a2 m ⋅ zm .........................
(7.8)
un = an1 ⋅ z1 + an 2 ⋅ z 2 + ... a nm ⋅ z m A z1 , z 2 , ... , z m mennyiségek a keresett ismeretlenek közelítő értékei. A mérési eredmények becsült (kiegyenlített) értékeire írhatjuk:
u1 = a11 ⋅ z1 + a12 ⋅ z 2 + ... a1m ⋅ z m u 2 = a21 ⋅ z 1 + a22 ⋅ z 2 + ... a 2 m ⋅ z m .........................
(7.9)
u n = an1 ⋅ z 1 + an 2 ⋅ z 2 + ... a nm ⋅ z m A (7.9) összefüggések felírhatók az
u1 - v1 = a11 ⋅ ( z10 - δz1 ) + a12 ⋅ ( z20 - δz2 ) + ... + a1m ⋅ (z m 0 - δz m )
50
u2 - v2 = a21 ⋅ ( z10 - δz1 ) + a22 ⋅ ( z20 - δz2 ) + ... + a2 m ⋅ (z m 0 - δz m ) .........................
(7.10)
un - vn = an1 ⋅ ( z10 - δz1 ) + an 2 ⋅ ( z 20 - δz 2 ) + ... + anm ⋅ (z m0 - δzm ) alakban, ahol a z10 , z 20 , ... , z m0 a keresett ismeretlenek közelítő értékei . A (7.9) és (7.10) összefüggések jelölései: − ui : a mérési eredmények kiegyenlített (becsült) értékei, − vi : mérési javítások (becsült hibák) (i = 1, 2, ... , n) , − z j : a ismeretlenek kiegyenlített (becsült) értékei (j = 1, 2, ... , m), − δzj : az ismeretlenek ún. kiegészítő értékei (j = 1, 2, ... , m), az ún. koordináta-kiegészítő értékek. A (7.10) összefüggésekből fejezzük ki a mérési javításokat:
v1 = a11 ⋅ δz1 + a12 ⋅ δz 2 + .... + a1m ⋅ δz m + l1 v 2 = a21 ⋅ δz1 + a22 ⋅ δz 2 + .... + a2 m ⋅ δz m + l 2 .........................
(7.11)
v n = a n1 ⋅ δz1 + an 2 ⋅ δz 2 + .... + anm ⋅ δz m + l n , ahol
li = ui − ai1 ⋅ z10 − ai 2 ⋅ z 20 − ... − aim ⋅ zm0 (i = 1, 2,…, n).
(7.12)
A (7.11) összefüggéseket javítási egyenleteknek, a (7.12)-tel definiált értékeket tiszta tagoknak nevezzük, számuk egyenlő a mérési eredmények számával, n - nel. Az n db összefüggés a következő mátrixos alakban foglalható össze:
v = A ⋅ δz + l ,
n ,1
n,m m ,1
(7.13)
n ,1
A (7.13) az ún. javítási egyenletrendszer. Jelölések:
a11 a12 ........ a1m l1 a 21 a22 ........ a2 m l2 A = ; l = u − A⋅ z0 = . n,m n ,1 n,m m,1 ....................... ... a a ........ a l n1 n 2 nm n u T = (u1 u 2 ..... u n ) , v = (v1 v 2 .... v n ) ; l T
1,n
1, n
1, n
T
= (l1 l 2 .... l n ) ; δz = (δz1 δz 2 .... δz m ) . T
1, m
Az eddig megismert fogalmak birtokában a legkisebb négyzetek elvét most kiterjeszthetjük a több középérték egyidejű becslésének esetére: v ⋅ P ⋅ v = min . , T
1, n
n,n n ,1
(7.14)
ahol, mint feljebb, v - a mérési javítások vektora ((7.13) képlet), P = Q−1 a súlymátrix:
51
µ 02 2 0 0 ........ 0 µ1 µ 02 0 0 ........ 0 P = Q -1 = µ 22 . .......... .......... .......... . µ 02 0 0 0 .......... 2 µn
.
Utóbbi elméletileg nem diagonális, a gyakorlatban viszont - mint mondtuk - egyéb ismeretek T hiányában – mint a fenti képletben - diagonálisnak fogadjuk el. Ekkor a v ⋅ P ⋅ v kvadratikus 1, n
n,n n ,1
alakra fennáll a n
v ⋅ P ⋅ v = ∑ pi ⋅ vi2 T
1, n
n,n n ,1
i =1
egyenlőség. Terjesszük ki az 5.9. fejezetben a súlyozott számtani középre bemutatott levezetést a több dimenziós esetre. A (7.14) függvénynek ott van minimuma, ahol a δz szerinti első deriváltja zérus:
d v T ⋅ P ⋅ v = 2 ⋅ v T ⋅ P ⋅ dv = 0. 1,n
n ,n n ,1
1,n
n ,n n ,1
(7.15)
A (7.13) javítási egyenletrendszer alapján
dv = A ⋅ dδz . n ,1
n, m
m ,1
Behelyettesítve: T T d v ⋅ P ⋅ v = 2 ⋅ v ⋅ P ⋅ A⋅ dδz = 0 , n,n n,n n,m m ,1 1 , n n , 1 1 , n
(7.16)
A (7.16) kifejezés akkor zérus, ha
v ⋅ P⋅ A = 0 , 1,n n ,n n,m 1, m T
T
vagy, ami ugyanaz:
A T ⋅ P⋅ v = 0 .
m,n
n,n n,1
(7.16a)
m,1
A két utolsó összefüggésben 0 és 0T - zérus-vektor. A (7.13)-at (7.16a)-ba helyettesítve, kapjuk: T A ⋅ P ⋅ A ⋅ δz + l = 0 , n,n n,m m,1 n ,1 m ,1
m,n
vagy A ⋅ P ⋅ A ⋅ δz + A ⋅ P ⋅ l = 0 . T
m,n
T
n,n n,m m,1
m,n
n,n n ,1
m,1
(7.17)
52
A (7.17) összefüggés az ún. normálegyenlet-rendszer.
N = A ⋅ P ⋅ A mátrix a T
Az
m, m
m,n
n,n n,m
normálegyenlet-rendszer együttható-mátrixa, a (szimmetrikus) normálmátrix. A keresett ismeretlenek kiegészítő értékeit tartalmazó δz vektort a normálegyenlet-rendszer m ,1
(
δz = - A T ⋅ P⋅ A m,n
m,1
)
−1
n,n n,m
A ⋅ P⋅ l T
m,n
(7.18)
n,n n,1
megoldása szolgáltatja, ahol a zárójeles kifejezés -1 hatványa inverz mátrixot jelöl. Végül, a keresett ismeretlenek becsült (kiegyenlített) vektora, a (7.9) és a (7.10) összefüggések figyelembe vételével, az alábbi: z = z 0 − δz , (7.19) m,1
ahol: z
m,1
T
= (z 1 , z 2 ,....., z m ) ;
m ,1
m,1
z 0 = ( z10 , z 20 , ... , zm0 ) és δz = (δz1, δz2 , .... , δzm ) . T
1,m
m,1
___________________________________________________________________________ 7.1.1.1. A megbízhatósági mérőszámok meghatározása Alkalmazzuk az egynél több függvény esetére felírt hibaterjedés törvényét a koordináta kiegyenlítésre. A keresett ismeretlenek a mérési eredmények
(
δz = D⋅ l = - A T ⋅ P ⋅ A m,1
m,n n ,1
m,n
)
−1
n,n n,m
A ⋅ P⋅ l T
m,n
n,n n ,1
−1
T T ahol D = - A ⋅ Pu ⋅ A ⋅ A ⋅ Pu . Értelemszerűen alkalmazva a hibaterjedés törvényét, m,n m,n n,m m,n n,n n,n írhatjuk:
K δ z = D⋅ K u ⋅ DT , m,n
m,m
n,m
n,n
ahol most a mérési eredmények kovarianciamátrixát K u -val, a keresett ismeretlenekét pedig
K δ z -vel jelöltük. A továbbiakban
K l = K u , mert az l és u vektorok csak egy konstans vektorban n,n
n ,1
n,n
n ,1
különböznek, ami nincs hatással a kovariancia mátrixra. Vegyük észre, hogy diagonális K u n,n
mátrix esetére a hibaterjedés ismert összefüggéseihez jutunk:
µδ2z1 = d112 ⋅ µ u21 + d122 ⋅ µu22 + .... + d12n ⋅ µu2n µδ2z = d 212 ⋅ µu2 + d 212 ⋅ µu2 + .... + d 22n ⋅ µu2 2
1
2
n
..................................................... 2 µδ2zm = dm2 1 ⋅ µu21 + dm2 2 ⋅ µu22 + .... + dmn ⋅ µu2n .
Tudjuk, hogy K u = µ 02 ⋅ Q u és Pu = Q u−1 miatt Qu = Pu−1 és így K u = µ 02 ⋅ Pu− 1 , vagyis a δz n,n
n,n
n,n
n,n
n,n
n,n
n,n
n,n
vektor elemeinek kovariancia mátrixára írható:
53
K δz = µ 02 ⋅ Q δ z = µ 02 ⋅ D ⋅ Pu−1 ⋅ D T . m,m
m,n
m,m
n,m
n,n
−1
T T A D = - A ⋅ Pu ⋅ A ⋅ A ⋅ Pu kifejezést helyettesítve, kapjuk: m.n m,n n,n n,m m,n n,n −1
−1
−1
T T T T Qδz = A ⋅ Pu ⋅ A ⋅ A ⋅ Pu ⋅ Pu−1⋅ Pu ⋅ A ⋅ A ⋅ Pu ⋅ A = A ⋅ Pu ⋅ A . m,n n,m m,n n,m m,n n,m m,n n,m m,m n,n n,n n,n n,n n,n n,n Látjuk, hogy ha a
(
δz = D⋅ l = - A T ⋅ P ⋅ A m,1
m,n n ,1
m,n
)
−1
n,n n,m
A ⋅ P⋅ l T
m,n
n,n n ,1
normál-egyenletrendszer megoldásakor számítjuk a normál mátrix inverzét, úgy
T Q δz = A ⋅ Pu ⋅ A m,m m,n n,n n,m
−1
(7.20)
miatt a keresett ismeretlenek utólagos középhibái számíthatók a
µδz = µ 0 ⋅ Q jj j
(7.21)
összefüggésekből, ahol j = 1, 2, ... , m, Q jj a Qδ z mátrix j-ik főátló-beli eleme, a µ0 pedig a n,n
súlyegység utólagos középhibája. A Qδ z mátrix, természetesen, nem diagonális, hiszen a n,n
matematikai megoldás az ismeretlenek között korrelációkhoz vezet. Végül, a súlyegység középhibája az alábbi: v ⋅ Pu ⋅ v T
µ0 = ±
1,n
n,n n,1
f
(7.22)
ahol f = n - m, a fölös mérések száma. A µ0 értékének számításához szükség van a v
n ,1
vektorra. Ennek számítása a δz vektor ismeretében a m ,1
v = A ⋅ δz + l
n ,1
n,m m ,1
n ,1
javítási egyenletrendszer figyelembe vételével történhet.
54
7.1.1.2. Szögmérés minden kombinációban (egyenlő súlyokkal)
A Z1
B Z2
4
1 2 P
6 5 C
3
Z3 D
7.2. ábra: Szögmérés minden kombinációban
Mérendő mennyiségek Ui
Mérési eredmények ui
Ismeretlenek
Kiegyenlített mérési eredmények
U1 = APB U2 = BPC U3 = CPD U4 = APC U5 = BPD U6 = APD
38 - 31 - 20 46 – 07 - 27 17 - 43 - 49 84 – 38 – 42 63 – 51 – 22 102 – 22 - 31
Z1 Z2 Z3 Z1 + Z2 Z2 + Z3 Z1 + Z2 + Z3
38 – 31 -16,00 46 – 07 – 27,25 17 – 43 – 50,50 84 – 38 – 43,25 63 – 51 – 17,75 102 – 22 – 33,75
zi
U 1 = Z1 U 2 = Z2
1. Közvetítő egyenletek:
U 3 = Z3 U 4 = Z1 + Z 2 U 5 = Z2 + Z3 U 6 = Z1 + Z 2 + Z 3
z10 = 38 − 31 − 20 2. Közelítő értékek:
z 20 = 46 − 07 − 27 ; z 30 = 17 − 43 − 49
38 - 31 - 20 z 0 = 46 - 07 - 27 3 ,1 17 - 43 - 49
3. A javítási egyenletek tiszta tagjai:
55
l1 = l 2 = l3 = 0 ; l 4 = u 4 − z10 − z 20 ; l 5 = u 5 − z 20 − z 30 ; l 6 = u 6 − z10 − z 20 − z 30 v1 = δz1
+0 +0
δz 2
v2 =
δz 3 + 0 v 4 = δz1 + δz 2 − 5,0 δz 2 + δz 3 + 6,0 v5 = v 6 = δz1 + δz 2 + δz 3 − 5,0 v3 =
4. Javítási egyenletek:
v = A⋅ δz + l . 6 ,3 3,1 6,1
6 ,1
A fenti jobboldali mátrix egyenletben
1 0 0 A = 6, 3 1 0 1
0 0 1 0 0 1 ; 1 0 1 1 1 1
l = 6 ,1
δz1 δz = δz 2 ; 3,1 δz 3
0 0 . - 5,0 + 6,0 - 5,0 0
5. A normál-mátrix és tisztatag-vektor :
3 2 1 N = A ⋅ A = 2 4 2 ; 3, 3 3,6 6 ,3 1 2 3
- 10 A ⋅ l = -4 3,6 6 ,1 1
T
T
6. A normál egyenletrendszer megoldása:
(
)
−1
δz = - A T ⋅ A ⋅ A T ⋅ l = − N⋅ A T ⋅ l . 3 ,6 6 ,3 3 ,6 6 ,1 6 ,1 3 ,1 3 ,3 3 ,6 7. Adjungált mátrix képzése: a) Az N mátrix elemeihez tartozó aldeterminánsok: 3 ,3
N 1,1 =
4
2
2
3
N 2,1 = −
N 3,1 =
2 1 2 3
2 1 4
= 8;
2
= −4;
= 0;
N 1,2 = −
N 2,2 =
2
2
1
3
3
1
1
3
N 3,2 = −
= 8;
3 1 2
= −4 ;
2
= −4 ;
N 1,3 =
N 2,3 = −
2
4
1
2
=0 ;
3 2 1
N 3,3 =
= −4 ;
2
3 2
2 4
=8 .
56
b) Az aldeterminánsokból képzett mátrix:
8 -4 0 adjN = - 4 8 - 4 . 3 ,3 0 -4 8
c) Az eredeti mátrix determinánsa: det N = 3 ⋅ 3,3
4
2
2 3
−2⋅
2
2
1
3
+1⋅
2
4
1
2
= 24 − 8 + 0 = 16 .
1 1 0 4 2 adjN 1 1 1 3 ,3 −1 - . = d) Az inverz mátrix: Q δx = N3, 3 = det N 4 2 4 3, 3 3 ,3 1 0 -1 4 2 8) A keresett ismeretlenek:
1 1 0 -4 4 2 - 10 + 4,00 − 1 1 1 1 1 T T δz = - A ⋅ A ⋅ A ⋅ l = − - ⋅ - 4 = − + = − 0,25 . 3,6 6 ,3 3,6 6 ,1 3,1 2 4 4 4 − 1,50 1 1 3 0 -1 + 4 2 2
(
)
9)
38 - 31 - 20 + 4,00 38 - 31 - 16,00 z = z 0 − δz = 46 - 07 - 27 − − 0,25 = 46 - 07 - 27,25 3,1 3 ,1 3 ,1 17 - 43 - 49 − 1,50 17 - 43 - 50,50 Megbízhatósági mérőszámok:
v T ⋅ E ⋅ v v T ⋅ v 45,5 2 2 K δx = µ0 ⋅ Qδx ; µ 0 = = = = 15,2 ; 6v,1 = n−m n−m 3 3 ,3 3 ,3
Ellenőrzés:
0 T A ⋅ v = 0 ; 3 ,6 6 ,1 0
+ 4,00 − 0,25 − 1,50 ; − 1,25 + 4,25 − 2,75
µ0 = ±3,9 .
µ δx = µ 0 ⋅ Q11 = ±2,8′′ 1
µ δx = µ 0 ⋅ Q22 = ±2,8′′ . 2
µ δx = µ 0 ⋅ Q33 = ±2,8′′ 3
57
7.1.1.3. Távolságmérés kombinációban különböző súlyokkal
Z2
Z1 A
B
1
Z3
2
3
C
D
4 5 6 7.3. ábra: Távolságmérés kombinációban
Mérendő mennyiségek Ui U1 = AB U2 = BC U3 = CD U4 = AC U5 = BD U6 = AD
Mérési eredmények ui 200,04 200,01 199,98 400,00 400,02 599,96
Ismeretlenek
Súlyok pi
Kiegyenlített mérési eredmények
Z1 Z2 Z3 Z1 + Z2 Z2 + Z3 Z1 + Z2 + Z3
6 6 6 3 3 2
200,0162 200,0032 199,9829 400,0194 399,9861 600,0023
ui
U 1 = Z1 U 2 = Z2
1. Közvetítő egyenletek:
U 3 = Z3 U 4 = Z1 + Z 2
l 2 = l 2 = l3 = 0
U 5 = Z2 + Z3 U 6 = Z1 + Z 2 + Z 3
2. Közelítő értékek: z10 = z 20 = z 30 = 200 m = 20000 cm 3. A javítási egyenletek tiszta tagjai:
l1 = u 1 −z10 = +4 cm ; l 2 = u 2 −z 20 = +1 cm ; l 3 = u 3 −z 30 = −2 cm ; l 4 = u 4 − z10 − z 20 = 0 cm ; l 5 = u 5 − z 20 − z 30 = +2 cm ; l6 = u6 − z10 − z 20 − z 30 = −4 cm v1 = δz1 v2 = 3. Javítási egyenletek (cm-ben):
+4
δz 2
v3 = v 4 = δz1 + δz 2
+1
δz 3 − 2 +0
v = A⋅ δz + l . 6 ,3 3,1 6 ,1
6,1
δz 2 + δz 3 + 2 v 6 = δz1 + δz 2 + δz 3 − 4 v5 = A fenti jobboldali mátrix egyenletben
58
1 0 0 A = 6, 3 1 0 1
0 0 1 0 0 1 ; 1 0 1 1 1 1
+ 4 +1 - 2 . 0 + 2 - 4
l = 6 ,1
δz1 δz = δz2 ; 3,1 δz 3
A súlymátrix:
6 0 0 P = 6 ,6 0 0 0
0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 6 0 0 0 . 0 0 3 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 2
4. A normál egyenletrendszer együttható mátrixa (normálmátrix) és a tisztatag-vektor:
+ 16 A ⋅ P⋅ l = + 4 3,6 6, 6 6 ,1 − 14
11 5 2 N = A ⋅ P ⋅ A = 5 14 5 ; 3, 3 3,6 6 , 6 6 ,3 2 5 11 T
T
5. A normál egyenletrendszer megoldása: −1
δz = - AT ⋅ P ⋅ A ⋅ A T ⋅ P⋅ l = − N −1 ⋅ A T ⋅ P⋅ l . 3,1 3 ,6 6 ,6 6 ,3 3,6 6 , 6 6 ,1 3,3 3,6 6, 6 6 ,1
6. Adjungált mátrix képzése: a) Az N mátrix elemeihez tartozó aldeterminánsok: 3 ,3
N 1,1 =
14 5 5 11
N 2,1 = −
N 3,1 =
5
2
5 11
5
2
14
5
= 129;
= −45;
= − 3;
N 1,2 = −
N 2,2 =
11
5
2 11
2
2 11
N 3,2 = −
b) Az aldeterminánsokból képzett mátrix:
5
11 2 5 5
= − 45;
= 117;
= − 45;
N 1,3 =
5 14
N 2,3 = −
11 5
N 3,3 =
2
5
= −3 ;
2 5
11
5
5 14
= −45 ;
= 129 .
129 - 45 - 3 adjN = - 45 117 - 45 . 3,3 - 3 - 45 129
59
c) Az eredeti mátrix determinánsa: det N = 11 ⋅
14
3,3
5
5 11
−5⋅
d) Az inverz mátrix: Q δz = N
−1
3, 3
3, 3
5
5
2 11
+ 2⋅
5 14 2
5
= 11 ⋅ 129 − 5 ⋅ 45 − 2 ⋅ 3 = 1188 .
0,1086 - 0,0379 - 0,0025 = - 0,0379 0,0985 - 0,0379 . = det N 3 ,3 - 0,0025 - 0,0379 0,1086 adj N
3 ,3
7) A keresett ismeretlenek kiegészítő értékei:
0,1086 - 0,0379 - 0,0025 + 16 − 1,621 δz = - A ⋅ P ⋅ A ⋅ A ⋅ P ⋅ l = − - 0,0379 0,0985 - 0,0379 ⋅ + 4 = − 0,318 . 3,1 3,6 6,6 6,3 3,6 6,6 6,1 - 0,0025 - 0,0379 0,1086 − 14 + 1,712 −1
T
T
8)
200,0162 z = z 0 − δz = 200,0032 3,1 3,1 3 ,1 199,9829 Megbízhatósági mérőszámok:
Kδz = µ 02 ⋅ Qδz ; 3, 3
3, 3
+ 2,38 + 0,68 − 0,29 ; v = 6 ,1 - 1,94 + 3,39 - 4,23
v ⋅ P⋅ v T
µ 02 = 1,6
6, 6 6 ,1
n−m
v ⋅ P⋅ v T
= 1 ,6
6, 6 6 ,1
3
=
118,81 = 39,6 ; 3
µ 0 = ±6, 29 .
Ellenőrzés:
0 µ δx1 = µ 0 ⋅ Q11 = 6,29 ⋅ 0,1086 = ±2,07 cm T A ⋅ P ⋅ v = − 0,03 ; µ δx2 = µ 0 ⋅ Q22 = 6,29 ⋅ 0,0985 = ±1,97 cm . 3,6 6,6 6,1 − 0,03 µ δx3 = µ 0 ⋅ Q33 = ±2,07 cm
60
7.1.1.4. Szintezési hálózat kiegyenlítése B A 3
1 2
E(2),Z2
D(1),Z1
7 4
5
C F(3) ,Z3 6 7.4. ábra: Szintezési hálózat
Adott alappontok A B C
Mérendő mennyiségek Ui
Mérési eredmények u i, m
1 2 3 4 5 6 7
+6,135 +8,343 +5,614 +1,394 -6,969 -0,930 +6,078
Szintezési vonal hossza, d i km 33,0 33,9 30,4 32,7 31,8 29,9 34,5
Adott alappontok magassága, H (m) 183,506 192,353 191,880
Ismeretlen magasságok
Súlyok p i = 40/d i
Z1 - HA - Z1 + Z2 Z2 - HB - Z1 + Z3 - Z2 + Z3 Z3 - HC Z2 - HC
1,21 1,18 1,32 1,22 1,26 1,34 1,16
Kiegyenlített mérési eredmények ui , m 6,109 8,344 5,605 1,367 -6,977 -0,898 6,078
61
U 1 = Z1 − H A U 2 = −Z1 + Z 2 U 3 = Z2 − H B 1. Közvetítő egyenletek:
U 4 = −Z1 + Z 3 U 5 = −Z 2 + Z 3 U 6 = Z3 − H C U 7 = Z2 − H C
z10 = 183,506 m + 6,135 m = 189,641 m 2. Közelítő értékek:
z 20 = 192,353 m + 5,614 m = 197,967 m ; z 30 = 191,880 m − 0,930 m = 190,950 m
189,641 z 0 = 197,967 3,1 190,950
l1 = u1 − z10 + H A l 2 = u 2 + z10 − z 20 l 3 = u 3 − z 20 + H B 3. A javítási egyenletek tiszta tagjai: l 4 = u 4 + z10 − z 30
l 5 = u 5 + z 20 − z 30 l 6 = u 6 − z 30 + H C l 7 = u 7 − z 20 + H C v1 = δz1
+0
v 2 = - δz1 + δz 2
+ 1,7
+ δz 2
v3 = 4. Javítási egyenletek (cm-ben):
v 4 = −δz1 v5 =
+ δz 3 + 8,5 - δz 2 + δz3 + 4,8
v = A⋅ δz + l . 7 ,3 3,1 7,1
7 ,1
+ δz 3 + 0
v6 = v7 =
+0
+ δz 2
− 0,9
A fenti jobboldali mátrix egyenletben
1 -1 0 A = -1 7 ,3 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0 1; - 1 1 0 1 1 0
δz1 δz = δz2 ; 3 ,1 δz 3
0 + 1,7 0 l = + 8,5 . 7 ,1 + 4,8 0 - 0,9
62
A súlymátrix:
0 0 0 0 1,21 0 0 0 0 0 0 0 1,18 0 0 0 1,32 0 0 0 0 P = 0 0 0 1,22 0 0 0 . 7 ,7 0 0 0 0 1,26 0 0 0 0 0 0 0 1,34 0 0 0 1,16 0 0 0 0 5. A normál egyenletrendszer együttható-mátrixa és a tisztatag vektor:
3,615 - 1,180 - 1,223 N = A ⋅ P ⋅ A = - 1,180 4,913 - 1,258 ; 3 ,3 3,7 7 , 7 7 ,3 - 1,223 - 1,258 3,819
- 12,41 A ⋅ P ⋅ l = - 5,07 3,7 7, 7 7 ,1 16,44
T
T
6. A normál egyenletrendszer megoldása: −1
δz = - A T ⋅ P ⋅ A ⋅ A T ⋅ P ⋅ l = − N −1 ⋅ A T ⋅ P ⋅ l . 3 ,1 3 ,3 3 ,7 7 ,, 7 7 ,1 3,7 7,7 7 ,3 3,7 7,7 7,1 7. Adjungált mátrix képzése: a) Az N mátrix elemeihez tartozó aldeterminánsok: 3 ,3
N 1,1 =
4,913 - 1,258 - 1,258 3,819
N 2,1 = −
N 3,1 =
= 17 ,180 ; N 1,2 = −
- 1,180 - 1,223 - 1,258
3,819
− 1,180 - 1,223 4,913 - 1,258
= 6 ,045 ; N 2,2 =
= 7,494; N 3,2 = −
- 1,180 - 1,258 - 1,223
3,819
3,615 - 1,223 - 1,223
3,819
3,615 - 1,223 - 1,180 - 1,258
b) Az aldeterminánsokból képzett mátrix:
= 6,045 ; N 1,3 =
= 12 ,310 ; N 2,3 = −
= 5,991; N 3,3 =
− 1,180 4,913 - 1,223 - 1,258 3,615 - 1,180 - 1,223 - 1,258
3,615 - 1,180 - 1,180 4,913
= 7 ,494
= 5,991
= 16,370
17,1801 6,0447 7,4940 adj N = 6,0447 12,3101 5,9909 . 3,3 7,4940 5,9909 16,3698
63
c) Az eredeti mátrix determinánsa: det N = 3, 615 ⋅ 3,3
4 ,913 - 1,258 - 1,258
3,819
− ( − 1,180 ) ⋅
- 1,180 - 1,258 - 1,223
3,819
+ ( − 1, 223 ) ⋅
− 1,180
4,913
- 1,223
- 1,258
=
= 3, 615 ⋅ 17 ,180 + 1,180 ⋅ 6 ,045 − 1, 223 ⋅ 7, 494 = 45,8117 .
d) Az inverz mátrix: Q δz 3, 3
0,3750 0,1319 0,1636 =N = = 0,1319 0,2687 0,1308 . 3, 3 det N 3 ,3 0,1636 0,1308 0,3573 −1
adj N 3,3
8. A keresett ismeretlenek kiegészítő értékei (cm-ben):
0,3750 0,1319 0,1636 - 12,41 2,633 −1 T T δz = - A ⋅ P ⋅ A ⋅ A ⋅ P ⋅ l = − 0,1319 0,2687 0,1308 ⋅ - 5,07 = 0,851 . 3,1 3,7 7, 7 7 ,3 3,7 7, 7 7 ,1 0,1636 0,1308 0,3573 16,44 - 3,180 9. Kiegyenlített magasságok (m-ben):
189,615 z = z 0 − δz = 197,958 . 3,1 3 ,1 3,1 190,982 10. Megbízhatósági mérőszámok:
Kδz = µ ⋅ Qδz ; 2 0
3, 3
3, 3
2,63 - 0,08 0,85 v = 2,69 ; 7 ,1 0,77 - 3,18 - 0,05
v ⋅ P⋅ v T
µ = 2 0
1, 7
7 ,7 7 ,1
n−m
v ⋅ P⋅ v T
=
1 ,7
7, 7 7 ,1
7−3
=
32,48 = 8,12 ; 4
A súlyegység középhibája: µ 0 = ±2,85 . Az ismeretlenek kiegyenlítés utáni középhibái:
µδx = µ0 ⋅ Q11 = ±2,85 ⋅ 0,3763 = ±1,74 cm 1
µδx = µ0 ⋅ Q22 = ±2,85 ⋅ 0,2702 = ±1,48 cm . 2
µδx = µ0 ⋅ Q33 = ±2,85 ⋅ 0,3579 = ±1,70 cm 3
A kisebb eltéréseket a kézi számításnál az okozza, hogy a számításokat számítógépes programmal végeztük kerekítések nélkül, a fentiekben viszont a kerekített értékek szerepelnek.
64
7.1.2. Nem lineáris eset Legyenek a közvetett mérési eredmények valódi értékei a keresett ismeretlenek Z1, Z2, .... , Zn valódi értékeinek alábbi nem lineáris függvényei:
U 1 = f 1 (Z 1 , Z 2 , ... , Z m ) U 2 = f 2 (Z 1 , Z 2 , ... , Z m ) ..................................
(7.23)
U n = f n (Z 1 , Z 2 , ... , Z m ) . A közvetítő egyenletek:
u1 = f 1 ( z1 , z 2 , ... , z m ) u 2 = f 2 ( z1 , z 2 , ... , z m ) ..................................
(7.24)
un = f n ( z1 , z 2 , ... , z m ) . A z1 , z 2 , ... , z m mennyiségek a keresett ismeretlenek mérési eredményekhez tartozó (nem ismert) értékei. A mérési eredmények kiegyenlített értékei:
u 1 = f1 (z 1 , z 2 , ... , z m ) u 2 = f 2 ( z 1 , z 2 , ..., z m ) ..................................
(7.25)
u n = f n ( z 1 , z 2 , ... , z m ) . A (7.10) összefüggés mintájára írható:
u1 - v1 = f 1 (z10 - δz1 , z 20 - δz 2 , ... , z m0 - δz m ) u 2 - v 2 = f 2 (z10 - δz1 , z 20 - δz 2 , ... , z m0 - δzm ) ..........................................
(7.26)
u n - vn = f n ( z10 - δz1 , z 20 - δz 2 , ... , z m 0 - δz m ) A (7.26) összefüggésben a z10 , z 20 , ... , z m0 a keresett ismeretlenek közelítő, δz1 , δz2 , ... , δzm a kiegészítő értékei. A jelölésmagyarázat egybeesik a (7.10) képlet utáni jelölésekkel: − u i : a mérési eredmények kiegyenlített (becsült) értékei, − vi : mérési javítások (becsült hibák) (i = 1, 2, ... , n ) , − z j : a ismeretlenek kiegyenlített (becsült) értékei (j = 1, 2, ... , m ), − δ zj : az ismeretlenek ún. kiegészítő értékei (j = 1, 2, ... , m), a koordináta-kiegészítő értékek. A (7.26) nem lineáris függvényeket Taylor-sorba fejtéssel linearizáljuk (6.2. fejezet, (6.23. képlet):
65
∂ ∂ ∂ u i = u i − v i = f i (z10 , z 20 , ... , z m 0 ) − ⋅ δz1 + ⋅ δz 2 + .... + ⋅ δz m ⋅ f i (z1 , z 2 , ... , zm ) ∂z 2 ∂z m ∂z1 ∂f ∂f ∂f − R 2 = f i (z10 , z 20 , ... , z m 0 ) − i ⋅ δ z1 + i ⋅ δz 2 + .... + i ⋅ δz m − R 2 ∂z m ∂z 2 ∂z1
(7.27) és - mint a 6.2. fejezetben - az R2 maradék tagot a funkcionális modell hipotéziseként elhanyagoljuk. A hipotézis akkor fogadható el, ha a z10 , z 20 , ... , z m0 közelítő értékek „elég jók” ahhoz, hogy a magasabb rendű deriváltakat és az ismeretlenek kiegészítő értékeit egynél magasabb hatványon tartalmazó R2 maradék tag elhanyagolható legyen. A közelítő értékek meghatározása általában szintén a mérési eredmények felhasználásával történik. A linearizálás után a nem lineáris eset a lineáris esetre vezethető vissza. A javítási egyenletek:
v1 = a11 ⋅ δz1 + a12 ⋅ δz 2 + .... + a1m ⋅ δz m + l1 v 2 = a21 ⋅ δz1 + a22 ⋅ δz 2 + .... + a2 m ⋅ δz m + l 2 .........................
(7.11)
v n = a n1 ⋅ δz1 + an 2 ⋅ δz 2 + .... + anm ⋅ δz m + l n , ahol, a (7.27) alapján
l i = u i − f i ( z10 , z 20 , ... , z m 0 )
(i = 1, 2,…, n ).
A (7.11) egyenletekben
∂f 1 (z1 , z2 , .... , zm ) ∂f (z , z , .... , zm ) ∂f (z , z , .... , zm ) ; a12 = 1 1 2 ;…. a1m = 1 1 2 ∂ z1 ∂z 2 ∂z m ∂f ( z , z , .... , zm ) ∂f (z , z , .... , zm ) ∂f (z , z , .... , zm ) a 21 = 2 1 2 ; a 22 = 2 1 2 ;…. a 2 m = 2 1 2 ∂z1 ∂z 2 ∂z m a11 =
a n1 =
∂f n ( z1 , z2 , .... , zm ) ; a n2 ∂z1
……………………… ∂f (z , z , .... , zm ) ∂f ( z , z , .... , zm ) = n 1 2 ;…. a nm = n 1 2 . ∂z 2 ∂z m
7.1.2.1. Szabad álláspont meghatározása Tudjuk, hogy a szabad álláspont meghatározásakor a meghatározandó ponton az automata mérőállomással belső irányokat és távolságokat mérünk az ismert pontokon felállított prizmákra. Ha csak belső irányokat mérnénk, legalább 3 belső irány esetén hátrametszésről, 2 belső irány és 2 távolság esetén pedig a beillesztett sokszögvonal egy speciális esetéről beszélnénk, nevezetesen arról, amikor a 2 adott pont közötti egyetlen sokszögpontról mérünk irányt és távolságot a sokszögvonal kezdő- és végpontjára (7.5. ábra). Természetesen, a szabad álláspontnak még egyéb variációi is elképzelhetők. A szabad álláspont koordinátáit a mérőállomás mikroszámítógépe számítja, a felhasználó már csak a kész eredményeket olvassa le, ill. rögzíti.
66
+x limbusz 0 +x’
z
D
δΑΒ δΑP A
dPB
P(y,x) dPA
α
B +y
+y’ 7.5. ábra: Beillesztett sokszögvonal 2 sokszögoldallal
3 belső irány irány esetén nincs fölös mérésünk, 2 belső irány és 2 távolság esetén a mérési eredmények száma n = 4, a meghatározandó ismeretlenek száma pedig m = 3, a pont két koordinátája és a tájékozási szög. A fölös mérések száma n – m = 1, tehát fennáll a kiegyenlítés feltétele. Válasszuk mintapéldaként ezt az egyszerű esetet! Fejezzük ki a mérési eredményeket a meghatározandó ismeretlenek függvényében! Közvetítő egyenletek az iránymérésekre:
yA xA y = arctg B xB
I PA = arctg I PB
−y −z; −x −y −z. −x
Közvetítő egyenletek a távolságmérésekre: d PA =
( y A − y )2 + (x A − x )2 ;
d PB =
( y B − y )2 + (x B − x )2 .
A fenti egyenletekben ismeretlenek az álláspont y P , xP koordinátái és a z tájékozási szög. Legyenek még adottak a mérési eredmények µ I
PA
= µI
PB
= µ I és µd
PA
= µd
PB
= µd előzetes
középhibái, azaz eltekintünk attól, hogy az elektronikus távmérés megbízhatósága függ a mért távolságtól. A koordináták közelítő értékeit∗ a 7.5. ábra alapján, a beillesztett sokszögvonal számításának megfelelően számíthatjuk. Számítjuk a sokszögvonal AB záróoldalának irányszögét:
∗
A sorbafejtés korlátai miatt itt feltélenül szükséges jó közelítő értékek bevezetése!
67
δ AB = arctg
yB − y A . xB − xA
′ = 0 induló irányszöggel számítjuk a sokszögvonalat, ill. a sokszögoldalösszegek tengelyδ AP irányú komponenseit az y’, x’ segédkoordináta-rendszerben, majd meghatározzuk az α szöget:
tgα =
′ + d PB ⋅ sin δ PB ′ ′ d PA ⋅ sin δ AP d PB ⋅ sin δ PB = . ′ + d PB ⋅ cos δ PB ′ ′ d PA ⋅ cosδ AP d PA + d PB ⋅ cos δ PB
′ irányszög: δ PB ′ = δ PA ′ + ϕ = 180 o + I PB − I PA A δ PB limbusz 0 +x’
ϕ
IPB
′ δ PB
P(y,x) IPA
A
B
′ irányszög számítása 7.6. ábra: A δ PB A δ AP irányszög (7.5. ábra): δ AP = δ AB − α .
′ A δ PB irányszög: δ PB = δ AP + δ PB A koordináták közelítő értékei:
y 0 = y A + d PA ⋅ sin δ AP x 0 = x A + d PA ⋅ cos δ AP .
A z tájékozási szög közelítő értéke: z 0 = δ PA − I PA = ± 180 o + δ AP − I PA . Képezzük az alábbi parciális deriváltakat:
∂ I PA a11 = = ∂ y
a12 =
a13 =
(x A − x ) cos δ PA 1 1 ; = − ⋅ − ⋅ =− 2 2 − − x x x x d ( x − x ) + ( y − y ) A A PA A A 2
1
1+
∂ I PA = ∂ x
( y A − y )2 (x A − x )2 1
yA − y
( y A − y ) (x A − x ) ( x A − x )2 2
1+
⋅
2
=
( x A − x )2 y −y ⋅ A 2 2 ( x A − x ) + ( y A − y ) ( x A − x )2
=
sin δ PA ; d PA
∂ I PA = -1 ∂z
68
a 21 =
∂ I PB = ∂ y
a 22 =
∂ I PB = ∂ x
(x B − x ) cos δ PB 1 1 ; = − ⋅ − ⋅ =− 2 2 d PB (x B − x ) + ( y B − y ) x B − x xB − x 2
1
( y B − y )2 1+ (x B − x )2 1
⋅
a23 =
∂ I PB = -1; ∂z
a31 =
∂ d PA = ∂ y 2
a32 =
∂ d PA = ∂ x 2
a33 =
∂ d PA =0 ; ∂ z
a 41 =
∂ d PB = ∂ y 2
a 42 =
∂ d PB = ∂ x 2
a43 =
∂ d PB =0 . ∂z
=
( y B − y ) (x B − x ) (x B − x )2 2
1+
yB − y
2
( yA − y ) (yA − y)
sin δ PB ; d PB
yA − y = − sin δ PA ; d PA
⋅ 2 ⋅ ( y A − y ) ⋅ (− 1) = −
2
⋅ 2 ⋅ (x A − x ) ⋅ (− 1) = −
xA − x = − cos δ PA ; d PA
⋅ 2 ⋅ ( y B − y ) ⋅ (− 1) = −
yB − y = − sin δ PB ; d PB
⋅ 2 ⋅ (x B − x ) ⋅ (− 1) = −
xB − x = − cos δ PB ; d PB
+ (xA − x )
1 2
=
2
1 2
(x B − x )2 y −y ⋅ B 2 2 (x B − x ) + ( y B − y ) (x B − x )2
+ (x A − x )
1
( y B − y )2 + (x B − x )2 1
( y B − y )2 + (x B − x )2
A javítási egyenletek:
cos δ PA sin δ PA ⋅δ y + ⋅ δ x − δ z + l1 ; d PA d PA cos δ PB sin δ PB v 2 = a21 ⋅ δ y + a22 ⋅ δ x + a 23 ⋅ δ z + l 2 = − ⋅δ y + ⋅ δ x − δ z + l2 ; d PB d PB
v1 = a11 ⋅ δ y + a12 ⋅ δ x + a13 ⋅ δ z + l1 = −
v 3 = a31 ⋅ δ y + a32 ⋅ δ x + a33 ⋅ δ z + l 3 = − sin δ PA ⋅ δ y − cos δ PA ⋅ δ x + l 3 ; v 4 = a 41 ⋅ δ y + a 42 ⋅ δ x + a 43 ⋅ δ z + l 4 = − sin δ PB ⋅ δ y − cos δ PB ⋅ δ x + l 4 . A javítási egyenletek tiszta tagjai:
yA xA y − arctg B xB
l1 = I PA − arctg l 2 = I PB
− y0 + z0 ; − x0 − y0 + z0 ; − x0
69
l 3 = d PA −
( y A − y0 )2 + (xA − x0 )2 ;
l 4 = d PB −
( yB − y 0 )2 + (xB − x0 )2 .
A megoldást a (7.22) és (7.23) összefüggésekb ől kapjuk meg: −1
T T δ z = - A ⋅ P ⋅ A ⋅ A ⋅ P ⋅ l ; 3,1 3,4 4,4 4,3 3,4 4,4 4 ,1 z = z0 − δ z ,
3,1
3,1
3,1
ahol
δy δz = δx az ismeretlenek kiegészítő értékei; 3,1 δz y z = x a keresett ismeretlenek; 3,1 z
y0 z 0 = x0 az ismeretlenek közelítő értékei; 3,1 z 0 l1 l2 l = a javítási egyenletek tisztatagjai. 4 ,1 l 3 l 4 Továbbá
cos δ PA sin δ PA − d PA d PA cos δ sin δ PB PB A = − 4 ,3 d PB d PB − sin δ − cosδ PA PA − sin δ − cosδ PB PB
-1 - 1 a javítási egyenletrendszer együttható mátrixa; 0 0
70
µ 02 2 µI 0 P = 4,4 0 0
0
0
µ 02 µ I2
0
0
µ 02 µ d2
0
0
0 0 a súlymátrix; 0 2 µ0 µ d2
N = A ⋅ P ⋅ A a normálmátrix; A ⋅ P ⋅ l a tisztatagok vektora. A P mátrixról feltételezzük, T
3, ,3
3,4
T
4,4 4,3
3,4
4,4 4 ,1
hogy az egyes mérési eredmények egymástól függetlenek. A megbízhatósági mérőszámokat a (7.20) – (7.22) összefüggésekb ől kapjuk: Kofaktor-, vagy súlykoefficiens mátrix: −1
T Q δz = A ⋅ Pu ⋅ A . 3,3 3,4 4, 4 4,3 Kovariancia-mátrix: K = µ 02 ⋅ Q .
A keresett ismeretlenek utólagos középhibái:
µ δz = µ 0 ⋅ Q jj . j
j = 1, 2, 3, Q jj a Q δz mátrix j-ik főátló-beli eleme, a µ0 pedig a súlyegység utólagos 3 ,3
középhibája. A Q δz mátrix nem diagonális, hiszen a matematikai megoldás az ismeretlenek 3 ,3
között korrelációkhoz vezet. A súlyegység középhibája:
µ 0 = ± v T ⋅ P⋅ v , 1, 4
4 ,4 4 ,1
mert most f = 4 – 3 =1 a fölös mérések száma. A µ0 értékének számításához szükség van a v
4,1
vektorra. Ennek számítása a δz vektor ismeretében a m ,1
v = A⋅ δz + l
4 ,1
4 ,3 3,1
3,1
javítási egyenletrendszer figyelembe vételével történhet.
71
Példa a szabad álláspontra
+x
z limbusz 0 A
P ′ δ PB
+x’ B
259500 457300
+y 7.7. ábra: Számpélda
Adott pontok koordinátái: Pontszám
y (m)
x (m)
A
457403,26
259799,79
B
458170,52
259654,24
Mérési eredmények:
I PA = 243 - 57 - 13,5 I PB = 74 - 00 - 36,1 d PA = 274,889 m d PB = 508,812 m . A mérési eredmények előzetes középhibái:
µ I = ±3′′ ;
µ d = ±5 mm .
Meghatározandók a P pont koordinátái! Közelítő értékek számítása:
δ AB = arctg
yB − yA 767,26 = arctg = 100 - 44 - 29,2 ; xB − xA − 145,55
′ = δ PA ′ + ϕ = 180 o + I PB − I PA = 180 o + {74 − 00 − 36,1} − {243 − 57 − 13,5} = 10 − 03 − 22,6 ; δ PB tgα =
′ ′ d PB ⋅ sin δ PB 508,812 ⋅ sin δ PB = ; ′ ′ d PA + d PB ⋅ cos δ PB 274,889 + 508,812 ⋅ cos δ PB
α = 6 − 31 − 56,9 ;
δ AP = δ AB − α = {100 − 44 − 29,2} − {6 − 31 − 56,9} = 94 − 12 − 32,3 ; ′ = {94 − 12 − 32,3} + {10 − 03 − 22,6} = 104 − 15 − 54,9 δ PB = δ AP + δ PB δ PA = 180 o + {94 − 12 − 32,3} = 274 − 12 − 32,3 .
72
A koordináták közelítő értékei:
y0 = yA + d PA ⋅ sin δ AP = 457403,26 + 274,889 ⋅ sin {94 − 12 − 32,3} = 457677 ,41 m ;
x0 = xA + d PA ⋅ cos δ AP = 259799,79 + 274,889 ⋅ cos{94 − 12 − 32,3} = 259779 ,61 m . A z tájékozási szög közelítő értéke: z 0 = δ PA − I PA = ±180 o + {94 − 12 − 32,3} − {243 − 57 − 13,5} = 30 − 15 − 18,8 .
A javítási egyenletrendszer együttható mátrixa:
cos δ PA ⋅ ρ ′′ − d PA cos δ PB ⋅ ρ ′′ A = − 4 ,3 d PB − sin δ PA − sin δ PB
sin δ PA ⋅ ρ ′′ d PA sin δ PB ⋅ ρ ′′ d PB
− cosδ PA − cosδ PB
−1 − 0,05507 0,09989 −1 = 0,9973 0 − 0,9692 0
− 0,7483 0,3929
− 0,07339 0,2464
−1 −1 0 0
Az A mátrix A(1,1), A(1,2), A(2,1) és A(2,2) elemeinek dimenziója ”/mm, ha a távolságokat 4, 3
mm-ben helyettesítjük be. A többi elemnek nincs dimenziója. A javítási egyenletrendszer tisztatagjai:
=
y − y0 + z0 I PA − arctg A xA − x0 l1 y − y0 + z0 l2 I PB − arctg B l = = x − x = B 0 4 ,1 l3 l d PA − ( y A − y 0 )2 + (x A − x0 )2 4 d − ( y − y )2 + (x − x )2 B 0 B 0 PB {243 − 57 − 13,5}− {274 − 12 − 35,7} + {30 − 15 − 18,8} { 74 - 00 - 36,1} − {104 − 15 − 53,4} + {30 − 15 − 18,8} = 274889 − (− 274150 )2 + 20180 2 5 08812 − 493110 2 + (− 125370 )2
- 3,4 1,5 - 2,7 14 ,2
Az l1 és l2 elemek dimenziója szögmásodperc (”), az l3 és l4 elemek dimenziója mm. 4. A javítási egyenletek:
v1 = a11 ⋅ δ y + a12 ⋅ δ x + a13 ⋅ δ z + l1 = −0,05507 ⋅ δ y − 0,7483 ⋅ δ x − δ z − 3,4 ; v2 = a21 ⋅ δ y + a22 ⋅ δ x + a 23 ⋅ δ z + l 2 = 0,09989 ⋅ δ y + 0,3929 ⋅ δ x − δ z + 1,5 ; v3 = a31 ⋅ δ y + a32 ⋅ δ x + a33 ⋅ δ z + l 3 = 0,9973 ⋅ δ y − 0,07339 ⋅ δ x − 2,7 ; v4 = a 41 ⋅ δ y + a42 ⋅ δ x + a43 ⋅ δ z + l 4 = −0,9692 ⋅ δ y + 0,2464 ⋅ δ x + 14,2 . A megállapodott dimenzióknak megfelelően az első két egyenlet tagjai ”, a 3. és 4. egyenlet tagjai mm dimenziójúak.
73
5. A súlymátrix:
µ 02 2 µI 0 P= 4,4 0 0
0
0
µ 02 µ I2
0
0
µ µ
0
0 2,8 0 0 = 0 0 0 µ 02 µ d2
2 0 2 d
0
0
0
2,8
0
0
1
0
0
0 0 . 0 1
A súlyok meghatározásánál a súlyegység középhibájának µ 0 = ±5 -öt választottunk, ahonnan
25 ≈ 2,8′′ − 2 . A 9′′ 2 távolságmérés előzetes középhibája µ d = ±5 mm. A főátló utolsó két eleme ekkor - µ 0 = ±5 25 mellett = 1 mm -2 . 2 25 mm µ 02 = 5 2 = 25 . De µ I = ±3′′ , ezért a súlymátrix főátlójának első két eleme
6. A normál egyenletrendszer együttható-mátrixa és a tisztatag vektor:
1,97039 - 0,08673 - 0,12550 T N = A ⋅ P ⋅ A = - 0,08673 2,06620 0,99512 ; 3,4 4, 4 4 ,3 3 ,3 - 0,12550 0,99512 5,60000
- 15,51 A ⋅ P ⋅ l = 12,47 3,4 4 , 4 4 ,1 5,32 T
7. A normál egyenletrendszer megoldása: −1
δz = − A ⋅ P ⋅ A ⋅ A ⋅ P ⋅ l = − N −1 ⋅ A ⋅ P ⋅ l . 3,1 3 ,4 4 , 4 4 ,3 3 ,4 4, 4 4 ,1 3 , 3 3 ,4 4 , 4 4 ,1 T
T
T
8. Adjungált mátrix képzése: a) Az N mátrix elemeihez tartozó aldeterminánsok: 3 ,3
N1,1 =
2,06620 0,99512 0,.99512 5,60000
= 10,58048 ; N 1,3 =
N 2,1 = −
N1,2 = −
- 0,08673 0,99512 - 0,12550 5,60000
- 0,08673 2,06620 - 0,12550 0,99512
- 0,08673 - 0,12550 = 0,36079; 0,99512 5,60000 N 2,3 = −
N 2,2 =
= 0,36079;
= 0,17300;
1,97039 - 0,12550 = 11,01841; - 0,12550 5.60000
1,97039 - 0.08673 = -1,94989; - 0,12550 0,99512
74
N 3,1 =
- 0,08673 - 0,12550 = 0,17300; 2,06620 0,99512 N 3,3 =
N 3,2 =
1,97039 - 0,12550 = -1,94989; - 0.08673 0,99512
1,97039 - 0,08673 = 4,06370. - 0,08673 2,06620
b) Az aldeterminánsokból képzett mátrix:
10,58048 0,36079 0,17300 adj N = 0,36079 11,01841 - 1,94989 . 3 ,3 0,17300 - 1,94989 4,06370
c) Az eredeti mátrix determinánsa:
det N = 1,97039 ⋅ 3,3
2,06620 0,99512 0,99512 5,60000
( −0,12550) ⋅
d) Az inverz mátrix: Q δz 3, 3
+ 0,08673 ⋅
- 0,08673 2,06620 - 0,12550 0,99512
- 0,08673 0,99512 - 0,12550 5,60000
+
= 20,79463.
0,50881 0,01735 0,00832 =N = = 0,01735 0,52987 - 0,09377 . 3 ,3 det N 3,3 0,00832 - 0,09377 0,19542 −1
adj N
3 ,3
9. A keresett ismeretlenek kiegészítő értékei:
0,50881 0,01735 0,00832 - 15,51 7,63 −1 T T δz = - A ⋅ P ⋅ A ⋅ A ⋅ P ⋅ l = − 0,01735 0,52987 - 0,09377 ⋅ 12,47 = - 5,84 . 3,1 3,4 4, 4 4 ,3 3,4 4, 4 4,1 0,00832 - 0,09377 0,19542 5,32 0,26 A két első kiegészítő érték dimenziója mm, a harmadiké szögmásodperc ”. 10. Kiegyenlített ismeretlenek (a P pont koordinátái m-ben és a tájékozási szög ”-ben):
z = z 0 − δz = 3,1 3 ,1 3 ,1
y 457677,402 x = 259779,616 . z 30 − 15 − 18,5
11. Mérési javítások és kiegyenlített mérési eredmények:
0,291 - 0,291 v = ; 4,1 5,340 5,364
I PA = 243 - 57 - 13,2 I PB = 74 - 00 - 36,4 d PA = 274,884 m
.
d PB = 508,807 m .
Az 1. és 2. mérési javítás ”, a 3. és 4.mérési javítás mm dimenziójú.
75
12. Megbízhatósági mérőszámok:
v ⋅ P⋅ v T
µ = 2 0
1, 4
4, 4 4 ,1
n−m
v ⋅ P⋅ v T
=
1, 4
4 , 4 4 ,1
4−3
= 57 ,76 ;
A súlyegység középhibája: µ0 = ±7,6 . Az ismeretlenek kiegyenlítés utáni középhibái:
µδx = µ 0 ⋅ Q11 = ±7,6′′ ⋅ 0,50881 = ±5,4 mm 1
Kδz = µ ⋅ Qδz ;
µδx = µ 0 ⋅ Q22 = ±7,6′′ ⋅ 0,52987 = ±5,5 mm .
2 0
3, 3
2
3, 3
µδx = µ0 ⋅ Q33 = ±7,6′′ ⋅ 0,19542 = ±3,4′′ 3
A súlyegység µ 0 = ± 7,6 utólagos középhibája nagyobb az előzetesen felvett értéknél. Ennek szignifikanciáját a már említett F-próbával vizsgálhatjuk. Ezt most nem végezzük el, de a szemmel látható különbség – csekély mértékű - szabályos hibára utal a mérési eredményekben. Megjegyezzük még, hogy mivel az adott pontok koordinátái cm élességgel ismertek („cm” nagyságrend ű a megbízhatóságuk), a „mm” nagyságrend ű ismeretlenek (koordináta kiegészítő értékek) nem hoznak lényegi módosulást a P pont közelítő koordinátáiban. Ez rámutat arra, hogy ilyen nagy megbízhatóságú mérési eredmények mellett a kiegyenlítés szerepe az ellentmondások megszüntetésére, ill. a mérési eredmények utólagos megbízhatóságának meghatározására korlátozódik. 7.1.2.2. A GPS mérések közvetítő és javítási egyenletei
k. műhold e ki ⋅ ρ ik
rk i. antenna
Ri
C 7.8. ábra: Az abszolút helymeghatározás elve
Az ismert térbeli helyzetű k. m űholdon és az ismeretlen helyzetű i . vevőben is egy-egy tökéletesen szinkronizált és pontos órát helyeztek el. A m űhold által a GPS-id őskálán pontosan ismert t0 id őpontban kibocsátott kódolt jel a vevőhöz ∆t id ő múlva érkezik. Ha ezt a
76
futási id őt sikerül megmérni, akkor a futási id őb ől, a c fénysebesség ismeretében, a mesterséges hold és a vevő közötti ρ geometriai távolság meghatározható:
∙∆
(7.28)
Ha a t 0 id őpontban az ismert térbeli koordinátájú S2 és S3 m űholdakra is történik távolságmérést és a holdak geometriai szempontból megfelelő elhelyezkedésűek, akkor a vevő helyzete térbeli ívmetszéssel meghatározható. Geometriailag ez azt jelenti, hogy az ismert m űhold-pozíciókban a mért távolsággal azonos sugarú gömböket képzelünk el, és a három darab gömb metszéspontja adja meg a vevő helyzetét. A két gömb által kimetszett körnek és a harmadik gömbnek geometriailag két metszéspontja van. Ha azonban a realitásokat is figyelembe vesszük (vagyis azt, hogy a vevő a térbeli koordináta-rendszer origója körüli 6380 km sugarú gömbfelszín közelében, a Föld-közelben helyezkedik el, a m űholdak pedig a felszíntől kb. 20000 km-re), akkor a másik lehetséges geometriai megoldás a valóságos esetben kizárható. Az egyértelm ű geometriai megoldás másik lehetőségét az jelenti, ha nem három, hanem négy "távolságmérést" végzünk. Látni fogjuk, hogy más megfontolásból ugyan, de ez utóbbi a valóságos eset. Vektoros alakban:
ρ ik = r k − R i
(7.29)
,
ahol
ρ ik - az i . antenna és a k. m űhold geometriailag értelmezett távolsága, Ri - a vevő ismeretlen helyvektora (a vektor ismeretlen komponensei Xi , Yi , Zi),
r k - a m űhold ismert helyvektora (a vektor ismert komponensei xk , yk ,zk). A három mért távolságra a három ismeretlen összetevő kiszámítására három egyenlet írható fel. A gyakorlatban a m űholdak és a vevők óráit nem tudják tökéletesen szinkronizálni, a vevőkben lévő órák pontatlanabbak, mint a m űholdakon, azaz a vevőnek órahibája (δ) van a mesterséges holdak óráihoz képest. Emiatt a mért távolság egy c ⋅ δ = ∆ρ értékkel hibás lesz, a két óra eltérése miatt a "valódi" távolság helyett csak az ún. pszeudo- (ál-) távolság mérhető. Az órajárás (drift) a helymeghatározásra felírható egyenletrendszerbe ismeretlenként bevihető: a háromdimenziós helymeghatározás 3 ismeretlen koordinátájával együtt ezért összesen négy ismeretlent kell meghatározni. A négy ismeretlen meghatározásához négy m űholdra történ ő egyidejű (szinkron) távolságmérés szükséges. A ρ i + ∆ρ = c ⋅ δ pszeudotávolságokat jelöljük a továbbiakban Pi - val. A 4 db ismert térbeli koordinátájú mesterséges holdra egyidejűleg mért pszeudotávolságra az alábbi közvetítő egyenletrendszer írható fel: k
k
Pi 1 = Pi 2 =
(x1 − X i )2 + ( y 1 − Yi )2 + (z1 − Z i )2 + c⋅ δ (x2 − X i )2 + ( y 2 − Yi )2 + (z 2 − Z i )2 + c ⋅ δ
Pi =
( x3 − X i )
Pi 4 =
(x4 − X i )2 + ( y 4 − Yi )2 + (z 4 − Z i )2
3
2
(7.30)
+ ( y 3 − Yi ) + ( z 3 − Z i ) + c ⋅ δ 2
2
+ c⋅δ
Itt az xk, zk, zk mennyiségek a k = 1, 2, 3, 4 mesterséges holdak ismert térbeli derékszögű koordinátái a kérdéses id őpontban (epochában). A négy egyenlet négy ismeretlent tartalmaz: a
77
vevőantenna Xi, Yi, Zi koordinátáit és a δ órahibát. A négy egyenletb ől Taylor-sorba fejtéssel történ ő linearizálás után a 4 ismeretlen meghatározható:
A⋅ δz + l = 0
4 ,4 4 ,1
4 ,1
4 ,1
(7.31)
A fenti mátrix-egyenletben
− − A= 4, 3 − −
x1 − X i 0
ρ10
x2 − X i0
ρ 20 x3 − X i0
ρ 30
x4 − X i0
ρ 40
− − − −
y1 − Yi0
ρ 10
y 2 − Yi 0
ρ 20 y3 − Yi 0
ρ 30
y 4 − Yi 0
ρ 40
− − − −
z1 − Z i 0
ρ10
z2 − Zi0
ρ 20 z3 − Z i 0
ρ 30
z 4 − Z i0
ρ 40
c c δX δY z = δ δZ c 3,1 δ ; c ;
Pi1 − ρ10 − c ⋅ δ 0 Pi 2 − ρ 20 − c ⋅ δ 0 l = 3 4 ,1 Pi − ρ 30 − c ⋅ δ 0 4 Pi − ρ 40 − c ⋅ δ 0
Az A mátrix elemei a (7.30) összefüggések Xi, Yi, Zi és δ szerinti első parciális deriváltjaiból adódnak. Az Xi0, Yi0, Zi0 mennyiségek a vevőantenna közelítő koordinátái, a ρk0 értékek a vevő-m űhold közelítő távolságok, δ 0 az órahiba közelítő értéke, célszerűen zérus. Négynél több mesterséges hold követése esetén túlhatározott egyenletrendszert kell megoldani a legkisebb négyzetek módszere szerint. Ekkor a
v = A⋅ δz + l
n,1
n,4 4,1
n ,1
javítási egyenletrendszerben az A mátrix sorainak száma megegyezik a követett m űholdak n számával. A bemutatott eljárás a GPS-szel történ ő abszolút helymeghatározás modellje.
7.2. Közvetlen (feltételes) mérések kiegyenlítésének fogalma (korrelátakiegyenlítés) Több középérték egyidejű becslését, ill. a 7.1. fejezetben bemutatott feladatot megoldhatjuk másképpen is. E másik módszer leggyakrabban az ún. korreláta-kiegyenlítés, amely – szintén a legkisebb négyzetek elvéb ől kiindulva – teljesen hasonló eredményekhez vezet, mind a keresett ismeretlenek, mind a megbízhatósági mérőszámok meghatározásának tekintetében. Korábban a geodéziai hálózatokban elfogadott mérési technológia, ill. a megoldandó normálegyenletrendszer mérete határozta meg, hogy melyik módszert alkalmazzák. A korszerű számítástechnika jobban kedveli a koordináta-kiegyenlítést, könnyebb algoritmizálhatósága, a kiinduló (közvetítő) egyenlet-típusok meghatározott, viszonylag alacsony száma miatt. A megoldandó egyenletrendszer mérete ma már nem tekinthető elsődleges kérdésnek. A módszernél a mérési eredmények között fennálló, általánosan a
ϕ j = ϕ j (u1 , u 2 , ... ,u n ) = 0
(j = 1, 2,..., m )
(7.34)
összefüggésekkel megfogalmazható feltételi egyenletekb ől indulnak ki. A (7.28) képletben m - a fölös mérések száma.
78
A legkisebb négyzetek szélsőérték-feladatát e módszernél az ún. Lagrange-módszer alapján T oldják meg. A v ⋅ Pu ⋅ v = min . feltétel helyett a vele egyenértékű 1,n
n,n n,1
v ⋅ Pu ⋅ v − 2 ⋅ k T ⋅ ( B ⋅ v − w ) = min . T
1,n
n,n n,1
1, m
m,n n,1
m,1
(7.35)
ún. relatív minimumot keresik. A (7.35) képletben
v - mérési javítások vektora,
n ,1
Pu - súlymátrix, n,n
w - az ellentmondás vektor,
m ,1
B - a lineáris, vagy linearizált ϕ j = ϕ j (u1 , u 2 , ... ,u n ) = 0 feltételi egyenletek együttható
m,n
mátrixa. A relatív minimum feltételében szereplő segédmennyiségeket (Gauss-féle) korrelátáknak nevezik, innen származik a korreláta-kiegyenlítés elnevezés:
k - a korreláták vektora.
m ,1
A legkisebb négyzetek elve akkor teljesül, ha
B⋅ v − w = 0 .
m,n n ,1
m ,1
(7.36)
A korreláta-kiegyenlítés során először - a koordináta-kiegyenlítéssel ellentétben - a mérési javításokat határozzák meg, azaz keresik a közvetlen mérési eredmények kiegyenlített értékeit, a kísérő megbízhatósági mérőszám-számítással együtt, a keresett ismeretleneket (általában a koordinátákat) pedig ezután - a mérési javítások ismeretében - számítják ki. E célból - első lépésként - meg kell keresni azokat a – független - függvénykapcsolatokat, feltételeket, amelyek a mérend ő mennyiségek között fennállnak. A független feltételek száma a fölös mérések számával egyezik meg. A korreláta-kiegyenlítés egyik legfőbb nehézsége éppen a független feltételek összeállítása. Alkalmazása – a már említett okok mellett – emiatt is szorult háttérbe.
7.2.1. Analógia a Geodézia II. jegyzet „7.5. Záróhibák elosztása” c. fejezetével A korreláta-kiegyenlítés egyszerűen analógiába hozható a címben jelzett jegyzet „7. Hibaelmélet, 7.5. Záróhibák elosztása” c. fejezetével (a továbbiakban: Hibaelmélet). Ott láttuk, hogy a geodéziai gyakorlatban igen gyakori feladat, hogy a mérési eredmények összegének egy megadott számértéknek kell lenni. Az ott felsorolt példák egyike volt a szintezési vonalak kiegyenlítése. Általános esetben, pl. szintezési hálózatoknál, egyidejűleg nem egy, hanem több feltételi egyenlet záróhibáit (ellentmondásait) kell elosztani. Gyakran előfordul az is, hogy a feltételi egyenletek nem lineárisak, pl. a sokszögvonalak koordináta záróhibáinak számításakor. Utóbbi esetben a feltételi egyenleteket először linearizálni kell.
79
A Hibaelmélet (7.55) képletét írjuk fel a
u1 − v1 + u2 − v2 + .... + un − vn = U
(a)
alakban. Az (a) képletben u i a mérési eredményeket, vi a mérési javításokat, U a mérési eredmények összegének hibátlan (vagy hibátlannak tekinthető) értékét jelenti. Az (a) képletnek megfelel a „Hibaelmélet” (7.57) képletével egyenértékű
v1 + v2 + ... + vn = w
(b)
összefüggés. A (b) képletben
w = ( u1 + u 2 + ... + u n ) − U = ∑ u i − U
(c)
a záróhiba, vagy – más néven – az ellentmondás (a német Widerspruch szó kezd őbetűje). A (b) képlet mátrixos formában a
v1 v2 . v1 + v2 + ... + vn = (1 1 ... 1) ⋅ = w , . . v n
(d)
B⋅ v = w
(e)
vagy, ami ugyanaz, a 1 ,n n ,1
m ,1
alakban írható fel. A fenti egy feltételi egyenletnek több feltétel esetén a
B⋅ v − w = 0
m,n n ,1
m ,1
(7.36)
lineáris, vagy linearizált egyenletrendszer egyenletrendszer felel meg. A (7.36) mátrix egyenlet jelölései v1 w1 b11 b12 ....... . b1 n v2 w2 . . b21 b22 ....... . b2 n ; w = . v = B = ; m,n n ,1 m ,1 .......... .......... ........ . . b b m1 m2 ....... . bmn . . v w n m A B mátrix együtthatói tetszőlegesek lehetnek. Az egyes javításoknak a mérési eredményhez tartozó súllyal fordított arányban kell lenni: nagyobb súlyú mérési eredményhez kisebb, kisebb súlyú méréshez nagyobb javítás tartozik. Ezt a „Hibaelméletben” a (7.58) összefüggések fejezték ki:
v1 =
k k k ; v2 = ; ….. ; v n = . p1 p2 pn
Az ezekben az összefüggésekben lévő mérési javítások mátrixos alakban az alábbiak szerint fejezhetők ki:
80
1 1 0 ........ 0 1 v1 p1 p1 1 v2 1 1 . 0 ........ 0 . p2 v = = ⋅ ⋅ k = p2 ⋅ k = P −1 ⋅ B T ⋅ k n ,1 n,n n,1 1,1 . . . .......... .......... ..... . . 1 1 v 0 0 ....... . 1 p n pn n
(f)
Általánosítsuk az (f) képletet tetszőleges m számú feltételi egyenlet esetén. Kapjuk:
v = P −1 ⋅ B T ⋅ k
n ,1
n,n
(g)
n,m m ,1
Az (f) és (g) képletekben k = k és k egyelőre ismeretlen számértékek, a korreláta, ill. a 1,1
m ,1
korreláták vektora. A „Hibaelmélet” (7.59) képletében szerepelnek a súlyok reciprokai: 1 1 = q1 ; = q2 ; ….. ; p1 p2
1 = qn . pn
Ezen összefüggéseknek mátrixos formában általánosan a súlymátrix inverze, a 1 0 ........ 0 p 1 1 ........ 0 0 p2 (h) P −1 = =Q n,n n,n .......... .......... ..... 0 0 ....... . 1 pn súlykoefficiens (kofaktor) mátrix felel meg. Ugyancsak a „Hibaelmélet” (7.59) képletében szereplő v1 = q1 ⋅ k ; v2 = q2 ⋅ k ; …. ; vn = qn ⋅ k mérési javításokat általánosan a v = Q⋅ B T ⋅ k
n ,1
(i)
n,n n,m m ,1
mátrixos összefüggés váltja fel. A k értéke mátrix alakban a „Hibaelmélet” (7.61) képletével egyenértékű −1
1 0 0 q ........ 1 1 w 0 q2 ........ 0 . , k = (1 1 ... 1) ⋅ ⋅ ⋅w = .......... .......... ..... . qi ∑ i 0 0 ....... .q . n 1
(j)
81
azaz a −1
k = B⋅ Q⋅ B T ⋅ w 1,1 1,n n,n n,1 1,1
(k)
összefüggéssel kapható meg, amely m > 1 esetén a −1
k = B ⋅ Q⋅ B T ⋅ w m ,1 m,n n,n n,m m,1
(l)
képlettel helyettesíthető. A k ismeretében a javítások v vektora az (i) összefüggéssel számítható. Végül, a kiegyenlített mérési eredmények az
u = u− v ,
n ,1
n ,1
(m)
n ,1
a súlyegység középhibája pedig a
v ⋅ Pu ⋅ v T
µ0 = ±
1,n
n,n n,1
(n)
f
képletből kapható meg. Az alábbiakban – egy, ill. több feltétel esetére - 2 egyszerű lineáris példát mutatunk be. Egy szintezési vonal kiegyenlítésére számpéldát a Geodézia II. jegyzet „Hibaelmélet” részében (7.5. Záróhibák elosztása fejezet) találunk. 1. példa:
C
γ
α A
β B
7.9. ábra: Háromszögfeltétel A fenti háromszög α, β, γ szögeire végzett mérési eredményeknek ki kellene elégíteniük az alábbi egyszerű, ún. háromszögfeltételt: u α + u β + u γ = 180 0 . 0 A mérési eredmény u α + u β + u γ − 180 = w eltérése a szögfeltételi egyenlet ellentmondása.
Egyenlő súlyú mérések esetén a kiegyenlítés mindhárom mérési eredményt a megfelelő irányban az ellentmondás harmadával módosítja:
w w w u α + u β + u γ = uα − + u β − + uγ − − 1800 = 0 . 3 3 3
82
2. példa: B A 3
1 2
E
D
7 4
5
C F 6
7.10. ábra: Feltételek a szintezési hálózatban A 7.1.1.4. fejezet szintezési hálózatában 4 független feltételt (a mérési eredmények száma 7, a keresett ismeretlenek száma 3, azaz a fölös mérések száma 4) fogalmazhatunk meg a mérési eredményekre: H A + u1 + u 4 − u 6 = H C ;
H A + u1 + u 2 − u 3 = H B ; u2 − u 4 + u5 = 0 ; u5 − u6 + u7 = 0 . A fenti feltételekből látszik, hogy a szintezési poligonokat alkotó szintezési vonalakra mért – előjelhelyes – magasságkülönbségeknek zérus értékűeknek kell lenniük. A hálózatra több feltétel is felírható, de azok már nem függetlenek a fenti négytől. A mérési eredmények hibái miatt a fenti feltételek akkor teljesülnek, ha a jelentkező w1 , w2 , w3 , w4 ellentmondásokat szétosztjuk az egyes mérési eredményekre:
H A + (u1 − v1 ) + (u 4 − v4 ) − (u 6 − v6 ) = H C ; H A + (u1 − v1 ) + (u 2 − v2 ) − (u 3 − v3 ) = H B ;
(u 2 − v2 ) − (u 4 − v4 ) + (u5 − v5 ) = 0 ; (u5 − v5 ) − (u6 − v6 ) + (u 7 − v7 ) = 0 . A fenti egyenletekben a vi (i = 1,2,...,7) mérési javítások – ugyanúgy, mint az előző példában a w1 , w2 , w3 , w4 ellentmondásoktól függnek, értéküket a legkisebb négyzetek elvéből kiindulva, a fenti módon határozzák meg. A koordináta-kiegyenlítéshez hasonlóan itt is
83
meghatározhatók mind a mérési eredmények, mind a keresett ismeretlenek megbízhatósági mérőszámai.
7.3. Az egypont-kiegyenlítés A geodéziai hálózatokat – példáinktól eltérően – nem egy, hanem általában több (adott és ismeretlen új) pont alkotja. A szigorú kiegyenlítés a pontok együttes meghatározását írja elő. Ha a tetszőleges számú meghatározandó hálózati pontot nem együttesen, hanem egyenként határozzuk meg a kiegyenlítés fenti módszereinek valamelyikével, az éppen aktuális egy új pont meghatározását egypont-kiegyenlítésnek nevezzük. A meghatározott pontot a későbbiekben véglegesnek fogadjuk el és a többi – ugyancsak pontonként végrehajtott kiegyenlítésnél már adottnak tekintjük. A geodéziai feldolgozó programok jelentős része az alappontok koordinátáit ezzel a módszerrel határozza meg. A 7.1.2.1. fejezetben a szabad álláspontra bemutatott példa egyben egypont-kiegyenlítés is.
84
7.4. A konfidencia- és hibaellipszis, talpponti görbe és a közepes ponthiba Az „5.6. A konfidencia-intervallum fogalma” c. fejezetben vázoltuk, hogy „a konfidenciaintervallum olyan tartomány, amelyre az egységhez tetszőlegesen közel eső β valószínűséggel (konfidencia-szint) állítható, hogy ez a tartomány tartalmazza a paraméter ismeretlen valódi értékét”. A konfidencia-intervallumot egyetlen mért mennyiségre vonatkozóan az
µ µ ≤ U ≤ u + tβ ⋅ n n
(5.19)
u − tβ ⋅ µu ≤ U ≤ u + tβ ⋅ µu
(6.14)
u − tβ ⋅ vagy az
összefüggéssel írható le, ahol u - a minta számtani közepe, U – valódi (elméleti várható) érték, µ – középhiba, µ u – a számtani közép középhibája, tβ - a Student-eloszlás táblázatából a β konfidencia-szinthez és az f = n - 1 szabadságfokhoz (fölös mérésszámhoz) tartozó érték (Ff(t β)=1-β /2, ahol Ff az f szabadságfokú Student-eloszlás függvényt jelöli) akkor, ha a mérési eredmények eloszlása normális. A (6.14) - négyzetre emelés után - egyenértékű az
(u − U )2 ≤ µu2 ⋅ tβ2 ,
(6.14a)
vagy, a µ u2 középhiba négyzetnek az összefüggés baloldalra vitele után, a
(u − U )2 µ
2 u
≤ t β2
(6.14b)
kifejezéssel. Megjegyezzük, hogy az 1 és f = n-1 szabadságfokok (az 1 a keresett ismeretlenek száma) mellett t β2 = Fβ , vagyis a Student-eloszlás 1. mellékletbeli értékei megegyeznek az F-eloszlás 3. mellékletbeli értékeinek négyzetgyökével. A 7.1. táblázat szerint több dimenzió esetén a konfidencia-intervallum szerepét a konfidencia (megbízhatósági) hiper-ellipszoid veszi át. Erre a - többdimenziós lineáris terekre vonatkozó - matematikai absztrakcióra nem térünk ki, tanulmányainkat a síkra korlátozzuk. Egy pont sík derékszögű koordinátarendszerben lévő, y és x koordinátákkal becsült helyzetét a kétdimenziós konfidencia-ellipszoiddal, a konfidencia-ellipszissel jellemezhetjük. Ekkor a (6.14) képlet µ u2 értékét a pont helyzetét jellemző K yx = µ02 ⋅ Q yx kovariancia mátrix veszi át. 2 ,2
2 ,2
A (6.14)-ben µ u a nevezőben van, így az alábbi összefüggésekben a Q yx 2
kofaktor
2 ,2
(súlykoefficiens) mátrix (illetve a pontok koordinátáira vonatkozó almátrix) inverze szerepel:
(y − Y
µ02 ⋅ Qyy x − X )⋅ 2 µ ⋅Q yx 0
−1
µ 02 ⋅ Q yx y − Y ⋅ ≤ 2 ⋅ Fβ , µ 02 ⋅ Qxx x − X
(7.37)
vagy
(y − Y
−1
Q yy Q yx y − Y 2 ⋅ x − X ) ⋅ x − X ≤ 2 ⋅ µ0 ⋅ Fβ , Q Q xx yx
(7.37a)
ahol Y, X - az ismeretlen ponthely koordinátáinak valódi értékei,
85
y, x - az ismeretlen ponthely koordinátáinak becsült értékei, µ 02 - a súlyegység utólagos középhiba-négyzete,
Fβ - az F-eloszlás táblázatából (3. sz. melléklet) a β konfidencia-szint, f1 = 2 és f = n - m (fölös mérésszám) szabadságfokok (a 2 a meghatározott, ill. kiválasztott ismeretlenek száma) függvényében kiválasztható együttható akkor, ha a mérési eredmények eloszlása normális. Az egyenlőtlenség jeltől eltekintve, a (7.37), ill. a (7.37a) összefüggések egy ellipszist határoznak meg, melynek tengelyméretei a választott konfidencia-szinttől függnek. Ez az ellipszis a konfidencia-ellipszis. A konfidencia-ellipszis tengelyei egy olyan y ′ , x ′ koordinátarendszer tengelyeivel párhuzamosak, amely az y, x koordinátarendszerből sík derékszögű koordináta transzformációval származtatható (7.11. ábra). A 7.11. ábra koordinátarendszerében a becsült P( y, x) ponthelyet tekintjük origónak. A konfidencia-ellipszis egyenlete az y ′ , x ′ koordinátarendszerben:
x-X
x’ – X’
′ ′ P( y − Y , x − X ), y − Y ′, x − X ′
ω P( y , x )
y-Y
y’ – Y’
7.11. ábra: A konfidencia-ellipszis tengely-irányai 1 y′ − Y ′ x′ − X ′ ⋅ λ1 0
0 ′ ⋅ y −Y′ ≤ 2⋅ µ2 ⋅ F . 0 β 1 x′ − X ′ λ2
(7.38)
A (7.38) képletben λ 1 és λ2 a (7.37a) képletben lévő Q yy Q yx = Q yx 2, 2
Q yx Q yy
mátrix sajátértékei.
86
A mátrix sajátértékei (Függelék) meghatározhatók a mátrix karakterisztikus egyenletéből. A Q yy Q yx mátrix karakterisztikus egyenlete az alábbi: Q yx = Q yx Q yy 2, 2 λ − Q yy -Q yx λ ⋅ E − Q yx = = 0. (7.39) 2, 2 -Q yx λ − Qxx 2, 2 A (7.39) képletben a jelölés determinánst, esetünkben másodrend ű determinánst jelent, az E - egységmátrix. A (7.39) determináns kifejtésével a
(λ − Q )⋅ (λ − Q ) − Q yy
xx
2 yx
= λ 2 − (Q yy + Qxx ) ⋅ λ + Q yy ⋅ Qxx − Q yx2 = 0
(7.40)
λ - ra nézve másodfokú egyenlethez jutunk, amelynek megoldásából a keresett λ1 és λ2 sajátértékekre kapjuk: λ1 = λ2 =
Q yy + Qxx − Qyy + Qxx +
(Q
− Qxx ) + 4 ⋅ Q 2yx 2
yy
(Q
2
− Qxx ) + 4 ⋅ Qyx2
, ill.
2
yy
2
.
(7.41)
A konfidencia-ellipszis tengelyirányai (az ω szög) az alábbi összefüggéssel határozhatók meg: tg 2ω = −
2 ⋅ Q yx Q yy − Q xx
=
2 ⋅ Q yx Q xx − Q yy
.
(7.42)
ω szög úgy értendő, hogy az X tengely pozitív féltengelye legyen az óramutató járásával megegyez ően ω szöggel az X’ tengely pozitív féltengelyébe forgatva. Annak meghatározásához, hogy ω melyik tér negyedben van, figyelembe kell venni a számláló, illetve a nevező előjelét. Az
A (7.38) összefüggésben kijelölt mátrix-szorzás elvégzése után – az egyenlőtlenség jelétől most eltekintve – a konfidencia-ellipszis 2 2 y′ − Y ′ x′ − X ′ + ≤1 (7.43) 2 2 2 ⋅ µ0 ⋅ Fβ ⋅ λ1 2 ⋅ µ0 ⋅ Fβ ⋅ λ2 alakú egyenletéhez jutunk. A konfidencia-ellipszis féltengelyeinek hosszát a (7.43) összefüggés nevezői határozzák meg: a = µ0 ⋅ 2 ⋅ Fβ ⋅ λ2
és
b = µ0 ⋅ 2 ⋅ Fβ ⋅ λ1 .
(7.44)
A (7.44) képletekben az F-eloszlás táblázatbeli értéke szerepel, így a konfidencia-ellipszis féltengelyeinek hossza a β konfidencia-szint megválasztásától függ. Az f = n - m (fölös mérésszám) szabadságfok függvényében adott konfidencia-szinten az ellipszis féltengelyeinek hossza meghatározható. A 7.2. táblázatban az a = 3 ⋅ µ0 ⋅ λ2 ,
a = 2 ⋅ µ0 ⋅ λ2 és a = µ0 ⋅ λ2 értékekhez tartozó valószínűségek találhatók, az f = n - m függvényében, vagyis azok a valószínűségek, amelyekre a
2 ⋅ Fβ érték rendre 3, 2, ill. 1-
gyel egyenlő. Látjuk, hogy elméletileg végtelen számú mérést feltételezve (f = ∞), az a = µ0 ⋅ λ2 és b = µ0 ⋅ λ1 féltengelyekkel megadott konfidencia-ellipszishez a pont
87
ismeretlen valódi helyére vonatkozóan ≈ 39% - os valószínűség tartozik. Ezt a konfidenciaellipszist standard hibaellipszisnek (7.12. ábra) nevezzük. A µ y = µ0 ⋅ Qyy = µ0 ⋅ λ2 és a µ x = µ 0 ⋅ Qxx = µ 0 ⋅ λ1 koordináta-középhibák az y és az x tengelyek irányában fejezik ki a pont megbízhatóságát. A hibaellipszis azt feltételezi, hogy a pont ismeretlen valódi helye a becsült ponthelyzettől tetszőleges irányba eshet. A becsült ponthelyzet középhibáját tetszőleges γ’ irányban a talpponti görbe (7.12. ábra) adja meg, amelynek egyenlete a vesszős koordinátarendszerben az alábbi:
µ s2 = µ 02 ⋅ (λ1 ⋅ sin 2γ ′ + λ2 ⋅ cos 2 γ ′ ) .
(7.45)
A (7.45) képletben γ ′ = γ − ω . 7.2. táblázat 2 ⋅ Fβ
3
2
1
0,684
0,553
0,293
2
0,818
0,667
0,333
3
0,875
0,719
0,350
4
0,905
0,750
0,360
5
0,924
0,770
0,366
6
0,936
0,784
0,370
8
0,951
0,802
0,376
10
0,960
0,814
0,379
12
0,965
0,822
0,381
15
0,970
0,830
0,384
20
0,976
0,838
0,386
25
0,978
0,844
0,387
30
0,980
0,847
0,388
100
0,986
0,859
0,392
∞
0,989
0,866
0,394
f=n–m 1
88
x µ 0 ⋅ λ2
µ 0 ⋅ λ1
x’
γ ω
P1
P( y , x )
µs
γ’
y y’ 7.12. ábra: A hibaellipszis és a talpponti görbe
A hibaellipszis mellett a becsült ponthelyzet megbízhatósági mérőszámaként alkalmazható a közepes ponthiba:
M = b 2 + a 2 = µ 0 λ1 + λ2 = µ 0 Q yy + Qxx = µ y2 + µ x2 .
(7.46)
A (7.46) összefüggésben b és a a hibaellipszis féltengelyei, λ1 és λ2 a (7.41) összefüggéssel meghatározott sajátértékek, µ y = µ 0 Q yy és
µ x = µ 0 Qxx az y és x irányú koordináta-
középhibák. A közepes ponthiba geometriailag a becsült ponthely körül M sugárral rajzolható kört, az ún. hibakört jelenti. A hibakör nem tévesztendő össze azzal a speciális esettel, amikor - pl. a szimmetrikus eloszlás-viszonyok miatt - a hibaellipszis két féltengelye egyenlő nagyságú: a = b. A hibaellipszis és a közepes ponthiba tehát különböző megbízhatósági mérőszám-fogalmak! __________________________________________________________________________ Példa:
A szabad álláspontra vonatkozó példa µ0 = ±7,6 súlyegység középhibája és a
Q δz 3, 3
0,50881 0,01735 0,00832 =N = = 0,01735 0,52987 - 0,09377 3 ,3 det N 3,3 0,00832 - 0,09377 0,19542 −1
adj N
3 ,3
inverz mátrix alapján írjuk fel a P pont becsült helye konfidencia- (hiba-) ellipszisének és az ellipszishez simuló talpponti görbének egyenletét, végül, számítsuk ki a közepes ponthibát! A Q δz = N −1 inverz mátrix y és x koordinátákra vonatkozó almátrixa: 3, 3
3 ,3
0,50881 Q yx = 2, 2 0,01735
0,01735 0,52987
Helyettesítsünk be a (7.35) összefüggésbe! Kapjuk:
89
tg 2ω =
2 ⋅ Q yx Q xx − Q yy
=
2 ⋅ 0,01735 = 1,64767 , 0,52987 − 0,50881
ahonnan ω = 29 − 22 − 23,4 . A sajátértékeket a (7.41) összefüggésekből számíthatjuk:
λ1 = = =
λ2 =
Q yy + Qxx −
(Q
− Qxx ) + 4 ⋅ Q yx2 2
yy
2
0,50881 + 0,52987 −
=
(0,50881 − 0,52987)2 + 4 ⋅ 0,017352 2
1,03868 − 0,02106 + 0,0012041 1, 03868 − 0,04059 = = 0,49904 2 2 2
Q yy + Q xx +
(Q
− Q xx ) + 4 ⋅ Q 2yx 2
yy
2
=
1,03868 + 0,04059 = 0,53963 . 2
2 ⋅ Fβ = 1 esetén:
A standard hibaellipszis féltengelyeinek hossza
a = µ 0 ⋅ λ 2 = 7,6 ⋅ 0,53963 ≈ 5,6 mm, b = µ 0 ⋅ λ1 = 7,6 ⋅ 0,49904 ≈ 5,4 mm. A talpponti görbe egyenlete a vesszős koordinátarendszerben:
µ s2 = µ 02 ⋅ (λ1 ⋅ sin 2 γ ′ + λ 2 ⋅ cos 2 γ ′ ) = 57,8 ⋅ (0,49904 ⋅ sin 2 γ ′ + 0,53963 ⋅ cos 2 γ ′ ) . A közepes ponthiba:
M = µ 0 ⋅ Q yy + Qxx = µ0 ⋅ λ1 + λ2 = ±7,6 ⋅ 0,50881+ 0,52987 ≈ ±7,75 mm . ___________________________________________________________________________
7.4.1. Abszolút és relatív konfidencia-ellipszis Az eddigiekben a konfidencia-ellipszissel, ill. a hozzá kapcsolódó egyéb fogalmakkal egyetlen új hálózati pont vizsgálatakor foglalkoztunk. Ilyenkor abszolút konfidencia- (hiba-) ellipszisrő l beszélünk. Több új pont esetén a pontokból kiválasztott két, i. és j. új pont egymáshoz képesti (relatív) megbízhatóságának vizsgálatakor a súlykoefficiens (kofaktor) mátrix főátlója mentén a két új ponthoz tartozó 4*4 méretű Q yx almátrixot az alábbi 4, 4
transzformációval 2*2 méretű, ún. relatív kofaktor-mátrix-szá alakítjuk át:
Q ∆y∆x = M⋅ Q yx ⋅ M , T
2 ,2
2, 4
4 ,4
4 ,2
(7.47)
90
Q ∆y∆y ahol Q ∆y∆x = 2, 2 Q ∆y∆x
Q ∆y∆x ; Q ∆x∆x
−1 0 1 0 M = ; 2, 4 0 -1 0 1
Q yx 4, 4
Q yi yi Q yi xi Q yi y j Q xi yi Q xi xi Q xi y j = Q y j yi Q y j xi Q y j y j Qx y Q x x Q x y j i j j j i
Q yi x j Q xi x j . Q yjxj Q x j x j
A (7.52) mátrix-szorzást elvégezve, a Q ∆y∆x mátrixra kapjuk: 2, 2
Q yi xi +Q y j x j − Q yi x j − Q y j xi Q ∆y∆y Q ∆y∆x Q yi yi +Q y j y j -2 ⋅ Q y j yi . = Q ∆y∆x = Q Q Q +Q − Q − Q Q +Q 2 ⋅ Q 2, 2 ∆x∆x y j xj yi x j y j xi x i xi x j xj x j xi ∆y∆x yi xi A fenti összefüggésben figyelembe vettük, hogy Q y j yi =Qyi y j , Qx j xi =Qxi x j , ..... , stb., vagyis a
Q yx mátrix szimmetrikus mátrix. 4 ,4
A fejezet eddigi fejtegetéseit - teljesen hasonlóan - a Q ∆y∆x mátrixra alkalmazva, két pont 2 ,2
relatív konfidencia-, ill. hibaellipsziséhez jutunk.
91
8. Közelítő kiegyenlítés A korszerű és pontos geodéziai m űszerek (automata mérőállomások, GPS vevők) elterjedésével a megfelelő számítógépes szoftver birtokában egyszerűen végrehajtható, de elméletében meglehetősen nehézkes szigorú kiegyenlítést gyakran helyettesítik közelítő módszerekkel. Sok esetben nem is kiegyenlítésrő l, hanem hibaelosztásról beszélnek. E közelítő módszerek általános jellemzője, hogy a legkisebb négyzetek elve helyett egyszerű, könnyen áttekinthető eljárást alkalmaznak a pontok végleges helyének meghatározására. A módszerek alkalmazhatóságának kritériuma, hogy a szükséges és fölös mérések bevonásával az ugyanazon pontokra több úton kapott közelítő koordináták egymástól egy megadott értéknél nagyobb értéktől ne térjenek el. A közelítő kiegyenlítésnek (hibaelosztásnak) a geodéziai gyakorlatban sűrűn előforduló tipikus példája a sokszögelés.
92
FÜG G E LÉK F.1. A mátrix-számítás alapfogalmai A mátrix-számítás olyan matematikai diszciplína, amelynek feladata nagy kiterjedésű numerikus problémák áttekinthető módon történő kezelése. A mátrix-számítás összefüggései felhasználásával különleges mátrix-megoldásokra, bonyolult számítási eljárások világos értelmezésére nyílik lehetőség.
F.1.1. Meghatározás és jelölések Mátrix: n ⋅ m számú mennyiséget tartalmazó, n db sorból és m db oszlopból álló derékszögű rendszer. Az n ⋅ m szimbólum a mátrix dimenziója, vagy mérete. Ha a mátrix csak egy oszlopból áll, a neve vektor (= oszlopvektor). A mátrix elemi mennyiségek szimbóluma, amelynek hagyományos értelemben nincs értéke (mint pl. a determinánsnak, amelynek értéke kiszámítható). Mátrixok jelölése: A mátrixokban szereplő mennyiségeket ( ) – ben foglaljuk össze. A mátrixokat szimbolikusan a latin ABC félkövér nagy betűivel, a vektorokat – ha csak az értelmezés ennek nem mond ellent (pl. a (7.1) képlet) - a latin ABC félkövér kisbetűivel jelöljük. A legtöbb esetben szükség van a mátrixok méretének szemléltetésére: e méreteket a mátrix-jelölések alatt vessző (,) elválasztással, sor – oszlop sorrendben adjuk meg. Különleges mátrixok: 1. Ha egy mátrix sorainak és oszlopainak száma egyenlő (m = n), a mátrixot n-ed (m-ed) rend ű négyzetes mátrixnak nevezzük. Így pl. az
a11 a12 a13 A = a 21 a 22 a 23 3,3 a a 31 32 a33 mátrix 3 - rend ű négyzetes mátrix. Az a11 , a 22 , a 33 elemek az A mátrix főátlóját 3,3
(diagonálisát) alkotják. Egy négyzetes mátrix szimmetrikus, ha a főátlóra szimmetrikus elemei egyenlők. Így pl. az A mátrix szimmetrikus, ha a12 = a21 , a13 = a31 és a23 = a32 . 3,3
1. A főátló alatt, vagy felett csak zérus elemeket tartalmazó mátrix felső , vagy alsó háromszög-mátrix. Így a
b11 b12 b13 B = 0 b22 b23 3,3 0 0 b 33 mátrix 3 - rend ű felső háromszög-mátrix. 2. A főátlón kívül mindenütt zérus elemeket tartalmazó mátrix neve átlós (diagonális) mátrix. Így a
p11 0 0 P = 0 p22 0 3,3 0 0 p 33
93
mátrix 3-rend ű átlós mátrix. Átlós mátrixok p1 = p11 , p 2 = p 22 , p 3 = p33 jelölésbeli egyszerűsítés.
esetén
használatos
a
3. A főátlóban csak 1 elemeket tartalmazó mátrix az egységmátrix. Így a
1 E = 0 3,3 0
0 1 0 0 1
0
mátrix 3 - rend ű egységmátrix. 4. Azt a mátrixot, melynek minden eleme 0, zérus-, vagy null-mátrixnak nevezzük. Így a
0 0 = 0 3,3 0
0 0 0
0 0 0
mátrix 3 - rend ű zérus-mátrix. Transzponált mátrix: Ha egy mátrix sorait és oszlopait felcseréljük, transzponált mátrixhoz 9 2 - 5 T jutunk. A transzponált mátrixot T szimbólummal fogjuk jelölni. Így pl. a C = 2,3 -1 - 3 8 9 -1 T mátrix a C = 2 - 3 mátrix transzponáltja, ill. fordítva, a C mátrix transzponáltja a C 2,3 3,2 3,2 - 5 8 mátrixnak. A meghatározásból következik, hogy az oszlopvektor transzponáltja egy egy T sorból álló mátrix, neve sorvektor. Így a v = (v1 v 2 v3 .. vn ) sorvektor transzponáltja a 1, n
v1 v2 v v = 3 oszlopvektornak. n,1 . . v n F.1.2. Számítási műveletek mátrixokkal Két mátrix egyenlő, ha dimenziójuk azonos és a megfelelő (homológ) elemeik egyenlők. Így, a
a11 a12 a13 0 4 − 5 a21 a22 a23 = − 1 2 6 a a 31 32 a33 2 3 2 mátrixok egyenlősége azt jelenti, hogy a 11 = 0, a 12 = 4, … , s í. t. Mátrix szorzása skalárral: a mátrix minden elemét szorozzuk ugyanazzal a skalárral:
94
0 4 − 5 0 16 − 20 4 ⋅ − 1 2 6 = − 4 8 24 . 2 3 2 8 12 8 Két mátrix összege (különbsége) csak azonos méretű mátrixokra értelmezhető, az eredménymátrix mérete ugyanaz, elemei pedig az adott mátrixok megfelelő elemeinek összegei (különbségei):
0 4 − 5 − 4 8 24 − 4 12 19 + = . − 1 2 6 8 12 8 7 14 14 Mátrixok összeadása és kivonása kommutatív és asszociatív:
A + B = B + A; A + B – C = (A + B) – C = A + (B – C). Az A és B n,m
m,p
mátrixok szorzata olyan C mátrix, amelynek cij elemét megkapjuk, ha az n,p
A mátrix i. sorának elemeit megszorozzuk a B mátrix j. oszlopának megfelelő elemeivel
n,m
m,p
és a szorzatokat összeadjuk: a i1 ⋅ b1 j + a i 2 ⋅ b 2 j + .... + a im ⋅ b mj = c ij .
Innen következik, hogy két mátrix csak akkor szorozható össze, ha a szorzandó mátrix sorai és a szorzó mátrix oszlopai egyenlő hosszúak. A szorzat-mátrix sorainak száma megegyezik a szorzandó mátrix sorainak, oszlopainak száma pedig a szorzó mátrix oszlopainak számával. Legyen − 4 8 24 1 0 4 −5 ; A = B = 8 12 8 0 , 2 ,3 3,4 − 1 2 6 - 1 3 5 - 5 ekkor
− 4 8 24 1 37 33 7 25 0 4 −5 ⋅ 8 12 8 0 = . C = 2, 4 − 1 2 6 - 1 3 5 - 5 14 34 22 - 31 A mátrix-szorzás m űvelete nem kommutatív. Az A ⋅ B mellett B ⋅ A csak akkor létezik, ha B dimenziója megegyezik az A T mátrix dimenziójával, de A ⋅ B ekkor sem egyenlő B ⋅ A - val. Pl.
4 4 5 6 4 (1 2 3) ⋅ 5 = 8 10 12 , de 5 ⋅ (1 2 3) = 32 . 6 12 15 18 6 Ezért mindig egyértelm űen meg kell adni, hogy egy mátrixszal balról, vagy jobbról szorzunk. T T Pl. egy A ⋅ P ⋅ A mátrix-kifejezést egy D mátrixszal balról szorozva, a D ⋅ A ⋅ P ⋅ A , m,n
n,n n,m
m,m
m,m m,n
n,n n,m
jobbról szorozva, az A ⋅ P ⋅ A ⋅ D kifejezéshez jutunk. T
m,n
n,n n,m m,m
A mátrix-szorzás asszociatív:
A ⋅ B ⋅ C = (A ⋅ B) ⋅ C = A ⋅ (B ⋅ C) = D .
n,m m,r r,p
n,r
r,p
n,m
m,p
n,p
95
A mátrix-szorzás disztributív:
A ⋅ B + C = A ⋅ B + A ⋅ C és m,r m,r n,m m,r n,m m,r
n,m
(A + B )⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C . n,m
n,m
m,r
n,m m,r
n,m m,r
A mátrix-szorzás a mátrix-számítás legjelentősebb alapm űvelete, szinte minden számítási eljárás a szorzásra visszavezethető.
F.1.2. Különleges esetek és a szorzási szabály alkalmazásai Egy mátrix egységmátrixszal való szorzása balról és jobbról a mátrixot nem változtatja meg, az egységmátrix szerepe hasonló, mint az 1 szerepe a skaláris szorzatnál: E⋅ A = A⋅E = A.
Egy mátrix szorzásakor átlós mátrixszal balról és jobbról a sorokat (oszlopokat) a megfelelő főátlóbeli elemmel szorozzuk meg:
1 0 0 4 - 5 4 - 5 0 2 0 ⋅ 5 7 = 10 14 ; 0 0 3 6 - 2 18 - 6 Szorzás transzponált mátrixszal: diagonális)
4 - 5 8 - 15 2 0 = 10 21 . 5 7 ⋅ 6 - 2 0 3 12 - 6
A ⋅ A , ill., szimmetrikus (egyszerűbb esetben T
az
m,n
n,m
P mátrix esetén a A ⋅ P ⋅ A alakú mátrix-szorzatok eredménye szimmetrikus T
n,n
m,n
n,n n,m
mátrix: a11 a21 a31 a12 a22 a32 a a a 11 23 33
p a 41 1 0 a 42 ⋅ 0 a 43 0
0 0 0 a11 p 2 0 0 a21 ⋅ 0 p 3 0 a 31 0 0 p4 a41
4 4 4 pi ⋅ ai21 ∑ pi ⋅ ai1 ⋅ ai 2 ∑ pi ⋅ ai1 ⋅ ai 3 a12 a13 i∑ =1 i=1 i =1 4 4 a 22 a23 4 2 = ∑ pi ⋅ ai 2 ⋅ ai1 ∑ pi ⋅ ai 2 ∑ pi ⋅ ai 2 ⋅ ai 3 i = 1 i = 1 i =1 a32 a33 4 4 4 2 a 42 a43 ∑ p ⋅ a ⋅ a ∑ p ⋅ a ⋅ a ∑ pi ⋅ ai 3 i=1 i i 3 i1 i=1 i 13 i 2 i =1
Könnyen belátható, hogy a főátlóra szimmetrikus elemek egyenlők. A
v ⋅ v , ill., szimmetrikus (egyszerűbb esetben diagonális) P mátrix esetén a v ⋅ P ⋅ v T
1, n
T
n ,1
n,n
1, n
n,n n ,1
alakú mátrix-szorzatokat négyzetes (kvadratikus) formának (alaknak) nevezzük, a szorzat eredménye skalár:
(v1
v2 v3
p1 0 v4 ) ⋅ 0 0
0 0 0 v1 p2 0 0 v 2 4 ⋅ = ∑ pi ⋅ vi2 . 0 p3 0 v3 i =1 0 0 p 4 v4
Több tényezőb ől álló mátrix-szorzat transzponáltja a transzponált mátrixok fordított sorrendben vett szorzata: T
A ⋅ B ⋅ C = C T ⋅ B T ⋅ A T . r,m m,n p,r n,m m,r r,p Tetsző leges számú tényezőb ől álló mátrix-szorzat eredménye skalár, ha az első tényező soraz utolsó pedig oszlopvektor.
96
Egyenletrendszerek mátrixos jelöléssel: a szorzási szabály lehetővé teszi, hogy tetszőleges méretű lineáris egyenletrendszereket mátrix-egyenlet formájában fejezzük ki: Az
x1 − 2 ⋅ x2 + 3 ⋅ x3 − 6 = 0, 2 ⋅ x1 + 3 ⋅ x2 − 4 ⋅ x3 + 1 = 0, − 5 ⋅ x1
+ x2 − 2 ⋅ x3 − 8 = 0
egyenletrendszer kifejezhető az
A⋅ x − l = 0 3,3 3,1
3,1
3,1
illetve az
1 - 2 3 x1 6 0 2 3 - 4 ⋅ x2 − 1 = 0 , vagy az - 5 1 - 2 x 8 0 3
x1 1 - 2 3 - 6 0 x2 2 3 - 4 1 ⋅ = 0 - 5 1 - 2 8 x3 0 1
alakban.
F.1.3. Ortogonális és inverz mátrixok Egy A négyzetes mátrix ortogonális, ha kielégíti a következő egyenleteket:
AT ⋅ A = E, vagy A ⋅ AT = E . cos γ - sin γ mátrix ortogonális, mert Az A = 2, 2 sin γ cos γ cos γ - sinγ
sinγ cos γ - sinγ cos 2 γ + sin 2 γ - cosγ ⋅ sin γ + sin γ ⋅ cosγ 1 0 = ⋅ = , 0 1 cos γ sinγ cos γ − sin γ ⋅ cosγ + cosγ ⋅ sin γ sin 2γ + cos 2 γ
vagy cos 2 γ + sin 2 γ cosγ ⋅ sin γ − sin γ ⋅ cosγ 1 cos γ - sinγ cos γ sinγ = ⋅ = 0 sin 2 γ + cos 2 γ sinγ cos γ - sinγ cos γ sin γ ⋅ cosγ − cosγ ⋅ sin γ
0 . 1
Egy A négyzetes mátrix inverze olyan A-1 mátrix, amely kielégíti a
A -1 ⋅ A = E, vagy az A ⋅ A −1 = E egyenleteket. Az A-1 csak akkor létezik, ha az A mátrix determinánsa nem 0 ( A ≠ 0 ). Az inverz mátrix jelentését szemléltetjük az alábbi példán: Legyen y = A ⋅ x ; A ≠ 0 egy 3 ismeretlenes lineáris egyenletrendszer: 3,1
3, 3 3 ,1
y1 = 5 ⋅ x1 + 6 ⋅ x 2 − 4 ⋅ x3 , y2 =
x1 +
x 2 + 2 ⋅ x3 , vagy
y3 = 2 ⋅ x1 + 2 ⋅ x2 + 3 ⋅ x3 ,
y1 5 y2 = 1 y 2 3
6 1 2
- 4 x1 2 ⋅ x2 . 3 x3
97
Könnyen belátható, hogy az y = A ⋅ x egyenletrendszer egyenértékű az x = B ⋅ y ; B ≠ 0 3,1
3, 3 3 ,1
3,1
3 ,3 3,1
egyenletrendszerrel:
x1 = − y1 − 26 ⋅ y 2 + 16 ⋅ y3 , x2 =
y1 + 23 ⋅ y 2 − 14 ⋅ y3 ,
x3 =
2 ⋅ y2 − 3 ⋅ y3 ,
x1 − 1 − 26 16 y1 23 − 14 ⋅ y2 . x2 = 1 x 0 2 − 1 y3 3
vagy
Gy őződjünk meg arról, hogy B ⋅ A = A ⋅ B = E ! A mátrix-szorzás elvégzése után nyilvánvaló, hogy B valóban az A inverze, vagyis B = A-1 . Az inverz mátrix néhány alapvető tulajdonsága: 1. Szimmetrikus mátrix inverze szintén szimmetrikus. 2. Átlós mátrix inverze szintén átlós: a főátlóbeli elemei egyenlők az eredeti mátrix főátlóbeli elemeinek reciprokával. 3. Háromszög-mátrix inverze szintén – ugyanolyan típusú – háromszög-mátrix, főátlóbeli elemei megegyeznek az eredeti mátrix megfelelő elemeinek reciprokával. Ha A T ⋅ A = E és A ⋅ A -1 = E, úgy A T ⋅ A ⋅ A -1 = E ⋅ A -1 = A T ⋅ E = A -1 , amib ől következik, hogy A T = A -1 , vagyis egy ortogonális mátrix inverze egyenlő a transzponáltjával.
F.1.4. Mátrixok invertálása Egy A négyzetes mátrix invertálásán a mátrix inverzének meghatározását értjük. A klasszikus megoldásban az A mátrix inverzét az A ∗ ú.n. adjungált mátrix segítségével határozzák meg:
A −1 =
1 ⋅ A∗ . A
A fenti összefüggésben A az A mátrix determinánsa, az adjungált mátrix pedig
A11 - A12 A∗ = + .
- A 21
+
A 22
-
- ... + ... ,
ahol A ij az A mátrix i . sorában és j. oszlopában lévő elemhez tartozó aldetermináns. Az A ∗ adjungált mátrix az aldeterminánsokból álló mátrix transzponáltja. Szimmetrikus mátrixoknál, természetesen, a transzponált az eredeti mátrixszal egyezik meg.
3 Az adjungált mátrix segítségével határozzuk meg az N = 2 3,3 1 inverzét!
2 4 2
1 2 normál-mátrix 3
Az N mátrix elemeihez tartozó aldeterminánsok: 3,3
98
N 11 =
4 2
= 8,
N12 =
N 21 =
2 1 = 4, 2 3
N 31 =
2 1 = 0, 4 2
2 3
2 2
2 4
= 4,
N 11 =
N 22 =
3 1 = 8, 1 3
N 23 =
3 2 = 4, 1 2
N 32 =
3 1 = 4, 2 2
N 33 =
3 2 = 8. 2 4
1 3
1 2
= 0,
Az aldeterminánsokból képzett – adjungált - mátrix:
N 11 N ∗ = - N 12 N 13
N 31 8 - N 32 = - 4 N 33 0
- N 21 N 22 - N 23
0 - 4 . 8
-4 8 -4
Az N mátrix determinánsa : 3,3
N = 3⋅
4 2 2 3
− 2⋅
2 2 1 3
+ 1⋅
2 4 1 2
= 24 − 8 + 0 = 16.
Az inverz mátrix:
N −1
1 1 0 4 2 1 1 1 1 - . = ⋅ N∗ = N 2 4 4 1 0 -1 4 2
A 3 - rendűnél magasabb rendű mátrixok esetében az adjungált mátrix segítségével történő invertálás körülményes.
F.1.5. Mátrix sajátértékei és karakterisztikus egyenlete Egy A négyzetes mátrix karakterisztikus egyenletét az alábbi, ún. karakterisztikus n,n
determináns definiálja:
λ − a11 - a21
λ ⋅ E− A = n,n
n,n
- a12
... - a1n
λ − a22 ... - a2 n
. . - a n1
.
- an 2 ... λ − ann
Az egyenlet λ -ban nyilvánvalóan n – rendű algebrai kifejezés, amelynek gyökeit karakterisztikus gyököknek, gyakrabban az A mátrix sajátértékeinek nevezzük. Legyenek A sajátértékei λ 1 , λ2 , … , λn , ekkor
(λ − λ1 ) ⋅ (λ − λ2 ) ⋅ ⋅ ⋅ (λ − λn ) = λ ⋅ n,En − A . n,n Elvégezve a λ = 0 helyettesítést, kapjuk:
99
(− 1)n ⋅ (λ1 ⋅ λ2 ⋅ ⋅ ⋅ λn ) = (− 1)n ⋅ A
és
A = λ1 ⋅ λ2 ⋅ ⋅ ⋅ λn .
Ha a λ1 , λ2 , .... , λn sajátértékek bármelyike zérus, az A mátrix A zérus: azokat a mátrixokat, amelyeknek determinánsa zérus, nevezzük. Az A-1 inverz mátrix F.1.3. fejezetbeli kifejezésében az tehát az inverz mátrix nem határozható meg . Következésképpen, inverze nem létezik.
determinánsának értéke is szinguláris mátrixoknak A = 0 miatt a nevező 0, a szinguláris mátrixoknak
A
λ ⋅ E − A = (λ − λ1 ) ⋅ (λ − λ2 ) ⋅ ⋅ ⋅ (λ − λn ) = 0 n,n
n,n
egyenletet az A mátrix karakterisztikus egyenletének nevezzük. Az egyenletnek n db gyöke n,n
van és minden egyes gyökre találhatunk egy nem zérus vektort, amely kielégíti az alábbi egyenletet: λ ⋅ E− A ⋅ x = 0 .
(
)
n,n
n,n
n,1
Az x vektorokat az A mátrix sajátvektorainak nevezzük. n,1
n,n
Ha az A egy valós szimmetrikus mátrix (elemei valós számok), úgy létezik olyan S mátrix, n,n
n,n
amelyre a D = S ⋅ A⋅ S mátrix diagonális. A D diagonális mátrix sajátértékei maguk a -1
n,n
n,n
n,n
n,n n,n
diagonális elemek, mert karakterisztikus determinánsa
λ − d11
n,n
... 0
λ − d 22 ... 0
0
λ ⋅ E− D =
0
,
. .
n,n
... λ − d nn
0
(λ − λ1 )⋅ (λ − λ2 ) ⋅ ⋅ ⋅ (λ − λn ) = (λ − d11 ) ⋅ (λ − d22 )⋅ ⋅ ⋅ (λ − d nn ) = 0 .
azaz
-1 T -1 T Ha az S mátrix ortogonális, úgy D = S ⋅ A⋅ S = S ⋅ A⋅ S , mert S = S .
n,n
n,n
n,n
n,n n,n
n,n
n,n n,n
n,n
n,n
100
F.3. Differenciálszámítási összefoglaló Differencia- és differenciálhányados Az f(x) függvény x helyen felírt differenciahányadosa definíció szerint a függvényérték változás és a független változó (x) megváltozásának a hányadosa:
∆y ∆f ( x ) f ( x + ∆x ) − f ( x ) = = . ∆x ∆x ∆x Az f(x) függvény x helyen érvényes differenciálhányadosa differenciahányadosa határértéke, amennyiben az létezik:
f ′( x ) =
definíció
szerint
a
dy df ( x ) ∆f ( x ) f ( x + ∆x ) − f ( x ) = = lim = lim . (1) ∆ x → 0 ∆ x → 0 dx dx ∆x ∆x
y
f (x )
f ( x + ∆x)
∆y = ∆f ( x)
dy
α
f (x )
∆x = dx tan α =
∆f ( x) ∆x
x+∆x
x
x
A differenciahányados geometriailag a két pontot összekötő húr meredeksége, míg a differenciálhányados az f(x) függvény x pontbeli érintőjének meredekségét adja meg. Pontbeli differenciálhatóság
y
α
α x
101
Ha valamely x = a helyen az (1) határérték nem létezik, baloldali és jobboldali határérték azonban igen, akkor ezt a két határértéket baloldali, illetve jobboldali differenciálhányadosnak nevezzük (jelölés f ′(a − 0) és f ′(a + 0) ) és azt mondjuk, hogy a függvény „balról” és „jobbról” differenciálható. A baloldali és jobboldali differenciálhányados geometriai értelme: f ′(a − 0) = tanα1 , f ′(a + 0) = tanα 2 . Ilyen esetben a megfelelő abszcisszájú pont a görbének töréspontja. Parciális differenciálhányados Parciális deriváltnak, vagy differenciálhányadosnak többváltozós függvény valamelyik változója szerinti differenciálhányadosát nevezzük. Utóbbi kifejezés azt jelenti, hogy az összes többi változót a differenciálás szempontjából állandónak tekintjük, és úgy járunk el, mintha a függvény a kiválasztott egyetlen változó függvénye volna. Azaz, az u = f ( x, y , z ,..., t ) többváltozós függvény x szerinti parciális deriváltja (jelölések:
∂f ∂u ; u ′x ; ; f x′ ∂x ∂x
∂u f (x + ∆x , y , z ,...,t ) − f (x , y , z,...,t ) = lim . ∂x ∆x→0 ∆x
n független változós függvénynek n elsőrend ű parciális deriváltja van:
∂u ∂u ∂u ∂u , , ,..., . ∂t ∂x ∂y ∂z A parciális deriváltak számíthatók az egyváltozós függvényekre vonatkozó differenciálási szabályok alapján (ld. később), a többi változókat állandóknak tekintve. Differenciál és teljes differenciál A független változó differenciálja növekményével egyenlő, amelynek tetszőleges értéket adhatunk (az első ábrán ∆x = dx ). Az y = f ( x) egyváltozós függvény differenciálja a differenciálhányadosnak és az x független változó differenciáljának a szorzatával egyenlő:
dy = f ′( x ) ⋅ dx . Az első ábrán dy az x abszcisszájú pontban a görbéhez húzott érintő ordinátájának a dx abszcissza növekményhez tartozó növekménye. Ha u = f ( x, y , z ,..., t ) differenciálható függvény, akkor e függvény teljes differenciálja (deriváltja) az alábbi:
du =
∂u ∂u ∂z ∂u ⋅ dx + ⋅ dy + ⋅ dz .... + ⋅ dt . ∂x ∂y ∂z ∂t
Deriválási szabályok a) két függvény összegének (különbségének) deriváltja: [ f (x ) + g (x )]′ = f ′(x) + g ′(x ) [ f (x ) − g (x)]′ = f ′(x ) − g ′(x ) b) két függvény szorzatának deriváltja:
[ f (x ) ⋅ g (x )]′ = f ′(x ) ⋅ g (x ) + f (x ) ⋅ g ′(x ) 102
n tényezőb ől álló szorzat differenciálhányadosa olyan n tagú összeggel egyenlő, amelynek kadik tagját az eredeti szorzatból kapjuk oly módon, hogy abban a k-adik tényezőt a saját differenciálhányadosával helyettesítjük. c) állandó tényezőt tartalmazó függvény differenciálhányadosa: az állandó tényező kiemelhető a differenciálás elé:
[c ⋅ f (x )]′ = c ⋅ f ′(x ) d) két függvény hányadosának deriváltja: ′ f ′( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g ′( x ) f (x ) g (x ) = g 2 (x ) e) az összetett függvény deriválása:
[ f (g (x ))]′ = f ′(g (x )) ⋅ g ′(x )
Természetesen ezeknek az összefüggéseknek csak akkor van értelmük, ha mindegyik függvény az adott pontban külön-külön deriválható. Az összetett függvény deriválási szabálya szemléletesebb a differenciálhányados jelölési módban:
df ( g ( x )) df ( g ( x )) dg ( x ) = ⋅ dx dg (x ) dx . Mindamellett ez a jelölés azzal a veszéllyel jár, hogy azt hihetnénk, itt ugyanazok a szabályok érvényesek, mint az egyszerű aritmetikában és a dg „kiegyszerűsíthető“. Ez természetesen nem így van. Implicit függvény deriváltja
Előfordul, hogy egy feladatban a függvénykapcsolat nem adható meg explicit formában: Példa az explicit megadásra (y kifejezhető):
f (x ) = 3 ⋅ x − 2 , vagy y = 3 ⋅ x − 2 . Példa az implicit megadásra (az f(x) függvényt y jelöli, és y nem fejezhető ki):
y − y2 = 5 . x Implicit deriváláskor minden y-t tartalmazó kifejezést összetett függvényként kezelünk, pl. a fenti példában y deriváltja y', vagy y2 deriváltja 2 ⋅ y ⋅ y ′ : y − y2 = 5 x
⇒ deriválás
y ′ ⋅ x − y ⋅1 - 2 ⋅ y ⋅ y′ = 0 x2
⇒
y′ =
y x − 2⋅ x2 ⋅ y
.
kifejezzük y ′ − t
Vegyük észre, hogy többnyire a derivált is implicit alakú!
103
Függvények széls őértéke
y
maximum
f(x0 )
f(x0 )
O
minimum x0
x0
x
Helyi maximumnak, illetve minimumnak az y = f ( x) függvény olyan nevezzük, amelyekre f ( x0 + h ) < f ( x0 ) (maximum), illetve
f ( x0 + h ) < f ( x0 )
f (x 0 ) értékeit
(minimum),
valahányszor h elég kicsi abszolút értékű (akár pozitív h, akár negatív). Helyi maximum, illetve minimum (közös néven helyi szélsőérték) tehát olyan f ( x 0 ) függvényérték, amely az összes környező függvényértéknél nagyobb, illetve kisebb. Folytonos függvénynek helyi szélsőértéke csak olyan pontban lehet, amelyben: szükséges feltétel: a differenciálhányados zérus. A szélsőérték fogalma geometriailag úgy interpretálható, hogy a függvény görbéjének a szélsőértékeknek megfelelő pontokban rajzolt érintője párhuzamos az Ox tengellyel (vannak egyéb esetek is, ezekre itt nem térünk ki). elégséges feltétel: a differenciálhányados a vizsgált helyen előjelet vált. Elemi függvények differenciálhányadosai Az elemi függvények értelmezési tartományuk minden pontjában differenciálhatók (speciális esetekben egyes különálló pontokat kivéve, pl. 1 f ( x ) = x ⋅ sin ), x amely függvényre az x = 0 helyen az (1) határérték nem létezik). Egy elemi függvény deriváltját, vagy differenciálhányadosát (deriváltfüggvényét, azaz differenciálhányadosfüggvényét) a határértékszámítás eszközeivel egy általános x = a helyen tudjuk levezetni. Mivel az x = a hely egy általános hely, a teljes függvényre érvényes lesz az eredmény. Szakaszokból álló f(x) függvény esetén a differenciálhányados függvény is szakaszokból áll. A differenciálhányados függvény az x = a helyen is értelmezhető, ha létezik a differenciahányados határértéke, ellenkező esetben nem. A gyakorlatban az elemi függvények levezetéssel kapott deriváltfüggvényeit az alábbi táblázatból kereshetjük ki, illetve memorizálhatjuk (egyetemi hallgatónak ajánlatos!).
104
Függvény
Függvény
C állandó
Differenciálhányados 0
x
1
lg x
xn 1 x 1 xn x
n ⋅ x n −1 1 − 2 x n − n +1 x 1 2⋅ x 1
sin x cos x
n
x
n⋅ x ex n
ex ax
log a x
Differenciálhányados 1 1 ⋅ log a e = x x ⋅ ln a 1 0,4343 ⋅ log e ≈ x x cos x
− sin x
tan x
arcsinx
1 cos 2 x 1 − sin 2 x 1
arccos x
1− x 1
cot x
n −1
a x ⋅ ln a
−
arctan x
Függvény arccot x
Differenciálhányados 1 − 1+ x2
shx
chx
chx thx
shx 1 ch 2 x 1 − 2 sh x
cthx Arshx
1
Archx
1+ x2 1
2
1 − x2 1 1+ x2
Arthx Arcthx
x2 −1 1 1− x2 1 − 2 x −1
Többváltozós függvények hatványsorba fejtése
Ha az u = f ( x, y , z,...,t ) többváltozós függvény az x = x0 , y = y 0 , z = z0 ,..., t = t 0 helyek környezetében legalább kétszer differenciálható, folytonos függvény, úgy e környezetben az
∂ ∂ ∂ ∂ u = f ( x 0 , y 0 , z 0 ,...t 0 ) − ⋅ (x − x 0 ) + ⋅ ( y − y 0 ) + ⋅ (z − z 0 ) .... + ⋅ (t − t 0 ) ⋅ ∂y ∂z ∂t ∂x ⋅ f (x , y , z ,..., t ) − R2 összefüggés az n - változós Taylor-sor első differenciálhányadosokra korlátozott alakja, a parciális deriváltak szimbolikus jelölésével. Az R2 maradék tag elhanyagolható akkor, ha az x − x 0 , y − y 0 z − z 0 ,...,t − t 0 különbségek eléggé kicsik ahhoz, hogy a magasabb rendű deriváltakat egynél magasabb hatványon tartalmazó R2 maradék tag elhanyagolható legyen. Ha y = f ( x ) az x = x 0 hely környezetében legalább kétszer differenciálható, folytonos egyváltozós függvény, a fenti összefüggés az alábbi formára egyszerűsödik:
y = f ( x0 ) −
df ( x) ⋅ (x − x0 ) − R2 . dx
105
M E L LÉ K LE T E K 1. sz. melléklet: A Student – eloszlás táblázata
β
0,683
0,95
0,99
1
1,84
12,71
63,66
2
1,32
4,30
9,92
3
1,20
3,18
5,84
4
1,14
2,78
4,60
5
1,11
2,57
4,03
6
1,09
2,45
3,71
8
1,07
2,31
3,36
10
1,05
2,23
3,17
12
1,04
2,18
3,06
15
1,03
2,13
2,95
20
1,02
2,09
2,85
25
1,02
2,06
2,79
30
1,02
2,04
2,75
100
1,01
1,98
2,63
∞
1,00
1,96
2,58
f
106
2. sz. melléklet: A χ 2 - eloszlás táblázata
p=
1- β 2
0,01
0,05
0,95
0,99
1
6,64
3,84
0,00
0,00
2
9,21
5,99
0,10
0,02
3
11,34
7,81
0,35
0,12
4
13,28
9,49
0,71
0,30
5
15,09
11,07
1,14
0,55
6
16,81
12,59
1,64
0,87
8
20,09
15,51
2,73
1,65
10
23,21
18,31
3,94
2,56
12
26,22
21,03
5,23
3,57
15
30,58
25,00
7,26
5,23
20
37,57
31,41
10,85
8,26
25
44,31
37,65
14,61
11,52
30
50,89
43,77
18,49
14,95
f
107
3. sz. melléklet: Az F-eloszlás táblázata β = 0,95 esetén f1
1
2
3
5
8
10
1
161,45
199,50
215,71
230,16
238,88
241,88
2
18,51
19,00
19,16
19,30
19,37
19,40
3
10,13
9,55
9,28
9,01
8,85
8,79
4
7,71
6,94
6,59
6,26
6,04
5,96
5
6,61
5,79
5,41
5,05
4,82
4,74
6
5,99
5,14
4,76
4,39
4,15
4,06
8
5,32
4,46
4,07
3,69
3,44
3,35
10
4,96
4,10
3,71
3,33
3,07
2,98
12
4,75
3,89
3,49
3,11
2,85
2,75
15
4,54
3,68
3,29
2,90
2,64
2,54
20
4,35
3,49
3,10
2,71
2,45
2,35
25
4,24
3,39
2,99
2,60
2,34
2,24
30
4,17
3,32
2,92
2,53
2,27
2,16
100
3,94
3,09
2,70
2,31
2,03
1,93
∞
3,85
3,00
2,61
2,22
1,95
1,84
f
108
Tartalomjegyzék
1. A TANTÁRGY CÉLJA ÉS FELADATAI ---------------------------------------------------------- 1 2. KÖZVETLEN ÉS KÖZVETETT MÉRÉSEK------------------------------------------------------- 5 3. A MÉRÉSI EREDMÉNYEK FUNKCIONÁLIS ÉS SZTOCHASZTIKUS MODELLJE -- 8 4. A MÉRÉSI EREDMÉNYEK SZTOCHASZTIKUS MODELLJE ----------------------------- 12 5. A BECSLÉS----------------------------------------------------------------------------------------------- 16 5.1. A szabadságfok ----------------------------------------------------------------------------------------- 16 5.2. A legkisebb négyzetek elve -------------------------------------------------------------------------- 18 5.3. Egyetlen középérték becslése (egyetlen mennyiségre végzett közvetlen mérések kiegyenlítése) --------------------------------------------------------------------------------------------- 18 5.4. A szórás becslése: előzetes és utólagos középhiba ---------------------------------------------- 19 5.5. A szórás (utólagos) becslése egyetlen középérték esetén -------------------------------------- 22 5.6. A konfidencia-intervallum fogalma ---------------------------------------------------------------- 24 5.7. A kovariancia, a korrelációs együttható és a regressziós egyenlet ---------------------------- 26 5.8. A súly ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 31 5.9. A súlyozott számtani közép -------------------------------------------------------------------------- 33 6. A HIBATERJEDÉS ------------------------------------------------------------------------------------- 35 6.1. A számtani közép és a súlyozott számtani közép középhibája és súlya---------------------- 37 6.2. A hibaterjedés törvénye nem lineáris függvény esetén ----------------------------------------- 40 6.3. A hibaterjedés törvénye mátrixos alakban--------------------------------------------------------- 43 6.3.1. A hibaterjedés törvénye több függvényre .................................................................... 45 7. GEODÉZIAI HÁLÓZATOK. TÖBB KÖZÉPÉRTÉK EGYIDEJ Ű BECSLÉSE ----------- 47 7.1. Közvetett mérések kiegyenlítése (koordináta-kiegyenlítés)------------------------------------ 50 7.1.1. Lineáris eset ................................................................................................................... 50 7.1.2. Nem lineáris eset ............................................................................................................ 65 7.2. Közvetlen (feltételes) mérések kiegyenlítésének fogalma (korreláta-kiegyenlítés) ------- 78 7.2.1. Analógia a Geodézia II. jegyzet „7.5. Záróhibák elosztása” c. fejezetével................ 79 7.3. Az egypont-kiegyenlítés ------------------------------------------------------------------------------ 84 7.4. A konfidencia- és hibaellipszis, talpponti görbe és a közepes ponthiba ------------------- 85 7.4.1. Abszolút és relatív konfidencia-ellipszis...................................................................... 90 8. KÖZELÍTŐ KIEGYENLÍTÉS ------------------------------------------------------------------------ 92 F.1. A MÁTRIX-SZÁMÍTÁS ALAPFOGALMAI --------------------------------------------------- 93 F.1.1. Meghatározás és jelölések ------------------------------------------------------------------------- 93 F.1.2. Számítási m űveletek mátrixokkal ---------------------------------------------------------------- 94 F.1.2. Különleges esetek és a szorzási szabály alkalmazásai ---------------------------------------- 96 F.1.3. Ortogonális és inverz mátrixok ------------------------------------------------------------------- 97 F.1.4. Mátrixok invertálása -------------------------------------------------------------------------------- 98 F.1.5. Mátrix sajátértékei és karakterisztikus egyenlete ---------------------------------------------- 99 F.3. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSI ÖSSZEFOGLALÓ------------------------------------------- 101
109
