Katedra obecné elektrotechniky
Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava
3. ELEKTRICKÉ OBVODY ST ÍDAVÉHO PROUDU Ur eno pro studenty bakalá ských studijních program na FBI
3.1. Úvod 3.2. Základní pojmy z teorie st ídavého proudu 3.3. Symbolicko - komplexní metoda, fázory 3.4. Výkon st ídavého proudu 3.5. Pasivní dvojpóly v obvodu st ídavého proudu 3.6. Sériové a paralelní azení pasivních prvk 3.7. Rezonance 3.8. Kompenzace ú iníku 3.9. Neharmonické pr b hy
Ing. Václav Kolá Doc.Ing. Václav Vrána,CSc íjen 2006
Elektrické obvody st ídavého proudu
3.1 Úvod
Doposud jsme se zabývali obvody, kde obvodové veli iny (proud a nap tí) m ly v ustáleném stavu konstantní, asov nezávislé hodnoty. Krom t chto veli in se lze velmi asto v praxi setkat s obvody, jejichž veli iny se s asem m ní - obvody st ídavé.
3.2 Základní pojmy z teorie st ídavého proudu
Výklad základních pojm , pro st ídavý proud se vztahuje na jakoukoliv st ídavou veli inu (tedy nap . na nap tí). D ležité jsou zejména harmonické pr b hy st ídavých veli in (sinusové). Jejich asový pr b h se opakuje v pravidelných intervalech - periodách (cyklech, kmitech) - obr.3.1 . Délka jedné periody se nazývá doba kmitu T, její hodnota je závislá na kmito tu sít f (rovnice 3.1). 1 (s;Hz) f Jednotkou kmito tu je hertz (Hz), který má rozm r (s-1). T=
Okamžitá hodnota i(t) = i
(3.1)
st ídavého proudu se zna í vždy malým písmenem a je dána
i(t) = Im.sin(ω.t + )
vztahem
(3.2)
je nejvyšší okamžitá hodnota které harmonický proud dosahuje a nazývá se maximální nebo vrcholová hodnota, amplituda, ω se nazývá úhlová rychlost, platí pro ni vztah 2π ω = 2π ⋅ f = . (3.3) T je úhel posunu nulové hodnoty proti po átku sou adnic Pro okamžitou hodnotu sinusového proudu bez fázového posunu pak platí vztah
, kde
Im
i(t) = Im.sin(ωt)
(3.4)
Harmonický pr b h nemusí obecn za ínat z nulové hodnoty, je to dáno volbou po átku asové osy. Pr b h má potom v ase t=0 po áte ní fázový úhel , který m že být kladný tak i záporný. i
i
Im .sin( .t x + )
Im
i
ωt
ωt
0 ωt
tx
0 .t x
π/2 π
Τ 2π
Obr. 3.1 St ídavý proud sinusového pr b hu bez
Obr.3.2 St ídavý proud sinusového pr b hu s
posunutého po átku
posunutým po átkem
2
Elektrické obvody st ídavého proudu
Harmonické pr b hy dvou veli in téhož kmito tu mohou být v i sob vzájemn posunuty o úhel ϕ, kterému íkáme fázový posuv, pro který platí vztah
ϕ = ψ2- ψ1
(3.5)
V elektrických obvodech jde o veli iny, proudu a nap tí. Pro fázový posuv je tato i1 situace znázorn na na obr.3.3 . i2 Pokud druhý pr b h p ed prvním p edbíhá, je úhel ϕ kladný, pokud se zpož uje, je ωt záporný. 0 Upozorn ná: ψ1 V praxi je asto velmi d ležité dbát na ϕ=ψ2-ψ1 znaménko fázového posuvu. Pon kud zvláštψ2 ní význam má situace, kdy nap íklad dvé veli iny mají nulový fázový posuv, íkáme, Obr. 3.3 Dva harmonické proudy posunuté o úhel ϕ že jsou ve fázi a jestliže mají posuv rovný π, íkáme, že jsou v protifázi. Mezi základní pojmy ve st ídavých obvodech pat í st ední a efektivní hodnota veli in. St ední hodnota odpovídá velikosti stejnosm rného proudu, který p enese za jednotku asu stejný náboj, jako daný st ídavý proud. Je i to vlastn výška obdélníku o stejné ploše, jako je plocha mezi pr b hem proudu a S1=S2 nulovou osou, jak je uvedeno na obrázku S1 3.4 . Pro harmonický proud ji po ítáme S2 Im pro jednu p lperiodu, protože ob p lperiIav ody jsou stejné, ale s opa ným znaménωt kem a za celou periodu by byla st ední hodnota nulová. (Pro jiné pr b hy kde není st ední hodnota za celou periodu nuObr. 3.4 St ední hodnota st ídavého proudu. lová, ji po ítáme za celou periodu a udává nám vlastn stejnosm rnou složku veli iny.) St ední hodnota se obvykle zna í velkým písmenem s indexem av (average), nap . Iav. Pro st ední hodnotu harmonického pr b hu platí vztah 3.6 . i
T /2
1 2 (3.6) I av = i ( t ) dt = ⋅ I m T 0 π 2 Efektivní hodnota st ídavého proudu charakterizuje tepelný výkon proudu. Zna í se velkým písmenem bez indexu, nap . I a je to nejb žn ji udávaná hodnota všech harmonických obvodových veli in. (nap . hodnota nap tí v naší síti 230 V je práv efektivní hodnota tohoto nap tí), rovn ž v tšina m icích p ístroj proud a nap tí m í jejich efektivní hodnoty. Efektivní hodnotu st ídavého proudu i(t) si lze p edstavit jako velikost konstantního stejnosm rného proudu, který by p i pr chodu stejným rezistorem zapojeným do obvodu vyvinul za jednotku asu stejné teplo Q jako daný pr b h st ídavého proudu. P i odvození efektivní hodnoty se vychází z d íve uvedeného vztahu 2.10 (p=R·i2) Dosazením do rovnosti práci stejnosm rného proudu velikosti I a st ídavého proudu i za dobu jedné periody, (za práci W dosazujeme integrál z výkonu ) dostaneme vztah: T
T
R ⋅ I ⋅ T = i (t )dt z n hož efektivní hodnota I = 2
2
0
3
1 ⋅ i 2 dt T 0
(3.7) Elektrické obvody st ídavého proudu
Jestliže za i dosadíme rovnici harmonického proudu vyjde nám jako výsledek vztah. I=
Im
(3.8)
2
Pom r Im/I se nazývá vrcholový initel kv, pro harmonické pr b hy má hodnotu práv
2.
3.3 Symbolicko - komplexní metoda, používaná k ešení st ídavých obvod , fázory K zjednodušení matematického popisu a ešení st ídavých obvod , je výhodné vyjad ovat obvodové veli iny, tedy proudy a nap tí pomocí fázor . Fázorem rozumíme znázorn ní veli iny komplexním íslem, jehož argument se rovná po áte nímu fázovému úhlu a jehož absolutní hodnota se rovná efektivní hodnot dané veli iny. POZNÁMKA 1 – Pro veli inu a(t ) = A ⋅ 2 ⋅ cos(ω ⋅ t +Ψ 0 ) je fázor A a exp j 0 . POZNÁMKA 2 – Podobné znázorn ní absolutní hodnotou rovnou amplitud se n kdy také nazývá „fázor“.(objevuje se ve starších literaturách) POZNÁMKA 3 – Fázor se m že reprezentovat také graficky.
P íklad uvedeme op t pro proud: Velikost fázoru je rovna efektivní hodnot proudu a lze si snadno p edstavit jeho otá ení proti sm ru otá ení hodinových ru i ek úhlovou rychlostí ω, která je totožná s úhlovou rychlostí proudu. P itom v ase nula je nato en o po áte ní fázový úhel ψ. Pr m t koncového bodu otá ejícího se fázoru do svislé osy násobený p epo ítacím koeficientem rovným 2 nám potom v každém okamžiku udává okamžitou hodnotu proudu. jak ukazuje obrázek 3.5, jedna vlna proudu vznikne oto ením fázoru kolem dokola, o 2π radián (360°). (Sinusovka vlastn vzniká asovým rozvojem otá ivého pohybu.) Takovýto otá ející se fázor ozna ujeme podtrženým malým písmenem, nap . i . I m i
i (t)
i
ωt
ω
Im i(0)
ψ I
x
ψ
0
Ief =I
ωt
Obr. 3.5 Konstrukce asového pr b hu proudu pomocí fázoru P i kladném úhlu ψ je fázor na po átku oto en v kladném sm ru otá ení, p i záporném ψ naopak. Otá ení fázoru ale uvažujeme, pouze hledáme-li okamžitou hodnotu veli iny. Jinak vystaíme s fázory v jejich po áte ní poloze (p i t=0), protože harmonická veli ina je jednozna n dána svou amplitudou a po áte ním úhlem. Takovýto zastavený fázor už není funkcí asu, proto ho zna íme velkým písmenem.
4
Elektrické obvody st ídavého proudu
Fázor je reprezentován komplexním íslem , což nám umožní provád t s ním pom rn snadno veškeré pot ebné matematické operace (násobení – d lení). Zp sob ozna ení fázoru, se kterými se m žete setkat v literatu e je n kolik, bu to tu n I, I , I , my se p idržíme ozna ení s podtržením I . Dále existuje n kolik zp sob jak fázor zapsat: Problematika komplexního po tu je popsána v samostatném u ebním textu SYMBOLICKÉ ZOBRAZENÍ VELI IN.
Složkový tvar - konkrétní p íklad fázoru je na obr. 3.6 a jeho zápis by byl I = (4+j3) A . (Komplexní íslo píšeme Im do závorky, protože jednotka pat í k ob ma jeho složI 3j kám.) 5 2j – Verzorový tvar, používá p evážn v elektrotechnice, ψ =36,9° I =I ψ, kde I je efektivní hodnota proudu a ψ je po áte ní fázový úhel ve stupních, p ípadn v radiánech. -1 1 2 3 4 Fázor z obrázku by se v tomto p ípad zapsal -j Re – I = 5 A 36,9° . (Jednotka se píše hned za hodnotu prouObr. 3.6 du, protože fázový úhel ψ už nemá rozm r proudu.) P íklad fázoru v – T etím tvarem je exponenciální (Euler v) tvar, známý komplexní rovin též z matematiky. I =Ι . ejψ, kde e je základ p irozených logaritm . V exponenciálním tvaru se musí zapisovat úhel v radiánech, nikoli ve stupních. Dále je opakování základních matematických operací s komplexními ísly(tato látka by již m la být student m známá z matematiky). P i výpo tech budeme používat pouze složkový a verzorový tvar komplexních ísel. V principu jdou všechny pot ebné matematické operace (s ítání, od ítání, násobení, d lení a vytvo ení komplexn sdruženého ísla) provád t ve složkovém tvaru, ale n kdy je výhodn jší používat tvar verzorový. Proto si objasníme p evod mezi t mito tvary. – Ze složkového tvaru na verzorový. I = x+jy = I ψ kde absolutní hodnota proudu I a po áte ní fázový úhel se spo ítají dle –
vztah
I =
x
2
+ y
ψ = a rc tg
2
(3.10)
y x
Pozor, jestliže je reálná složka fázoru x záporná, je nutné k výslednému úhlu p i íst 180°, jestliže je reálná složka nulová, vztah sice nedokážeme vy íslit, ale limitním ešením bychom dostali ψ = +90° (y>1) nebo -90° (y<1). – Z verzorového tvaru na složkový. I = I ψ= x+jy Složky x a y vypo ítáme podle vztahu 3.11 . x = I cos(ψ) y = I sin(ψ) (3.11) Nyní už k samotným matematickým operacím. – S ítání a od ítání. K t mto operacím používáme složkový tvar komplexního ísla, provádí se to tak, že s ítáme (ode ítáme) zvláš reálnou a zvláš imaginární složku. Nap íklad sou et dvou proud , které jsou: I1 = x1 + j y1 ; I2 =x2 + j y2 I1 + I2 = x1 + x2 +j(y1+y2) – Násobení se provádí ve verzorovém tvaru, a to tak, že absolutní hodnoty dvou fázor se vynásobí, a jejich fázové úhly se se tou. Vynásobení p edchozích fázor by vypadalo: I 1 = I1 ψ 1; I 2 = I2 ψ 2 I 1. I 2 = I1.I2 (ψ1+ψ2) 5
Elektrické obvody st ídavého proudu
–
D lení se provádí op t ve verzorovém tvaru, absolutní hodnoty fázor se vyd lí a fázové úhly se ode tou. I 1 I1 = ψ −ψ 2 I 2 I2 1 Pomocí t chto operací m žeme provád t všechny výpo ty p i ešení st ídavých obvod analogicky jako u stejnosm rných, s tím rozdílem, že všechny veli iny budou fázory (komplexní ísla).
3.4 Výkony st ídavého proudu Pro okamžitou hodnotu elektrického výkonu platí vztah 2.9, i,u,p i p ( p= u· i ) Grafický pr b h výkonu na u + + obecné zát ži, kde harmonické u Z nap tí a proud mají vzájemný P fázový posun ϕ je na obrázku 3.7 . π 2π 0 ωt Okamžitý výkon má také i i harmonický pr b h, ale dvojnáϕ sobný kmito et, oproti kmito tu nap tí a proudu a má ur itou Obr. 3.7 Nap tí, proud a výkon na obecné zát ži st ední hodnotu. Záporné znaménko výkonu znamená, že v této chvíli zát ž vrací energii zpátky do zdroje. Dosadíme-li si do vztahu pro výkon za nap tí a proud harmonické pr b hy, dostaneme vztah 3. 12 .
p = 2 ⋅ U ⋅ sin(ω t ) ⋅ 2 ⋅ I ⋅ sin(ω t + ϕ ) = U ⋅ I ⋅ cos ϕ − U ⋅ I ⋅ cos( 2ω t + ϕ )
(3.12)
Abychom mohli výkon popsat konstantní hodnotou a ne asovým pr b hem, zavádíme (podobn jako jsme pro proud a nap tí zavedli efektivní hodnoty) t i druhy výkonu, inný, jalový, a zdánlivý, které už nejsou funkcí asu.
3.4.1 inný výkon Je to st ední hodnota z pr b hu výkonu. Tento výkon se za ur itou dobu p em uje na jiný druh energie, koná užite nou práci, odtud název inný, ozna uje se písmenem P a jeho jednotkou je watt (W). Vyjád íme-li si ze vztahu 3.12 st ední hodnotu výkonu, dostaneme pro inný výkon vztah:
P = U·I·cos ϕ
(3.13)
kde cos ϕ nazýváme ú iník (v elektrotechnice je d ležitá veli ina).
3.4.2 Jalový výkon ást výkonu, která se v ur itým ase vrací do zdroje, nazýváme jalovým výkonem. Oznauje se Q, jiné možné ozna ení podle je Pq a jeho jednotkou je var (ze slov voltampér reaktan ní, protože jalový výkon se realizuje na reaktanci). Platí pro n j vztah:
Q = U·I·sin ϕ 6
(3.14) Elektrické obvody st ídavého proudu
Tento výkon nám nekoná žádnou užite nou práci, ale je nutný pro funkci spot ebi tvo ení elektrického nebo magnetického pole).
(k vy-
3.4.3 Zdánlivý výkon Zdánlivý výkon ur itým zp sobem shrnuje inný a jalový výkon. Zna íme ho písmenem S jiné možné ozna ení je PS a jeho jednotkou je voltampér (V·A). Pro zdánlivý výkon platí:
S = U·I
(3.15)
Tento výkon nám udává zatížení elektrických zdroj , nap . transformátor . Dále si m žeme zavést ješt jeden pojem komplexní zdánlivý výkon, který vypo ítáme ze vztahu: S = U·I* = P + j Q (3.16) +j Kde I* je komplexn sdružená hodnota proudu. Jednotkou komplexního zdánlivého výkonu je op t voltampér (V·A). Jak je vid t, z komplexního zdánlivého výkonu m žeme potom rozd lením na reálnou a imaginární ást získat inný a jalový výkon. inný, jalový a zdánlivý výkon m žeme tedy znázornit pomocí fázor , p i emž inný a jalový mají vzájemný fázový posun π/2 a zdánlivý je jejich sou tem. Tuto situaci znázor uje fázorový diagram výkon na obr. 3.8 .
jQ
ϕ
S
P +1 Obr. 3. 8 Fázorový diagram výkon
3.5 Pasivní dvojpóly v obvodu st ídavého (harmonického) proudu V této kapitole se budeme zabývat chováním ideálních pasivních prvk (rezistoru, indoktoru a kapacitoru) v obvodech harmonického proudu. Pokud bychom cht li uvažovat reálné prvky, museli bychom je nahradit takovouto kombinací n kolika ideálních prvk (viz. kapitola 3.6).
3.5.1 Rezistor Mezi okamžitými hodnotami proudu a nap tí na rezistoru platí vztah 2.8 u = R·i (Ohm v zákon pro okamžité hodnoty). To znamená, že velikost proudu je v každém okamžiku p ímo úm rná velikosti nap tí. Proto platí Ohm v zákon i pro efektivní hodnoty proudu a nap tí a tím i pro fázory proudu a nap tí na rezistoru. I=U/R (3.17) I=U/R (3.18)
7
Elektrické obvody st ídavého proudu
Mezi nap tím a proudem není žádný fázový posuv, ϕ =0, cos(ϕ)=1, sin(ϕ)=0, jak je také vid t na obrázku 3.11 , proto ze vztahu 3.13 plyne, že inný vý- i kon na rezistoru je: U2 P =U ⋅I = R⋅I2 = (3.19) R Kde U a I jsou efektivní hodnoty. Ze vztahu 3.14 je jasné, že se na rezistoru nerealizuje žádný jalový výkon.
u,i,p +j
p U
R I
u
+1
0
2π
ωt
i u Obr. 3. 9 asový pr b h nap tí, proudu a výkonu na rezistoru a fázorový diagram
3.5.2 Induktor Pro okamžité hodnoty nap tí a proudu na induktoru platí vztah 2.12 , když za proud dosadíme vztah pro harmonický proud 3.5 , vyjde nám pro nap tí vztah 3.20:
d I ⋅ sin(ω t + ψ ) di = L ⋅ I m ⋅ ω ⋅ cos(ω t + ψ ) = I m ⋅ X L ⋅ sin(ω t + ψ + π 2 ) =L m dt dt (3.20) Kde XL je takzvaná induktivní reaktance, její jednotkou je Ohm (Ω) a je to konstanta úm rnosti mezi velikostí nap tí a u proudu na cívce. P evrácená hodu,i,p +j i p nota reaktance se nazývá (indukU tivní) susceptance BL=1/XL . L i ϕ = π/2 X = ω ·L (3.21) u= L
L
Ze vztahu 3.20 je vid t, že nap tí se p edbíhá p ed proudem o π/2 (90°), ϕ = π/2. Napíšeme-li Ohm v zákon pro induktor v komplexním tvaru, vyjde nám:
I
u
+1
2π ω t
0
U = jObr. X L ⋅ I3. 10 asový pr b h nap tí, proudu a výkonu na induktoru a fázorový diagram U I = −j XL U = XL·I = j. ..L . I (3.22) Obdobn platí Ohm v zákon i pro absolutní hodnoty proudu a nap tí: U = XL·I = ..L . I
(3.23)
Protože mezi nap tím a proudem na induktoru je fázový posun ϕ =π/2, realizuje se na induktoru pouze jalový výkon. Jalovému výkonu na induktoru p isuzujeme kladné znaménko (u kapacitoru to bude naopak. Pr b hy nap tí a proudu na induktoru a jejich fázorový diagram jsou na obr. 3.10 . Stru n e eno, induktor se chová v i proudu jako setrva ný len, (akumuluje energii v podob proudu), proto se pr b h proudu opož uje za pr b hem nap tí.
8
Elektrické obvody st ídavého proudu
3.5.3 Kapacitor Mezi nap tím a proudem na kapacitoru platí vztah 2.15 , když si z tohoto vztahu vyjád íme U a dosadíme harmonický pr b h proudu, vyjde nám pro nap tí ešení:
I I 1 1 ⋅ i dt = ⋅ I m ⋅ sin(ω t + ψ )dt = m ⋅ − cos(ω t + ψ ) = m ⋅ sin(ω t + ψ − π 2 ) C C ω ⋅C BC (3.24) Kde BC je kapacitní susceptance, jednotkou je siemens, ale ast ji se používá p evrácená hodnota susceptance - kapacitní reaktance XC, jednotkou je ohm (Ω). 1 1 XC = = (3.25) BC ω ⋅ C Mezi nap tím a proudem je op t fázový posuv π/2, ale v opa ném sm ru než u induktoru, nap tí se zpož uje za proudem, ϕ =−π/2 . asový pr b h a fázorový diagram nap tí a proudu na induktoru nám ukazuje obrázek 3.13 . Podobn jako u induktoru m žeme i pro kapacitor napsat Ohm v zákon jak v komplexním tvaru pro fázory, tak i pro absolutní hodnoty proudu a nap tí: u=
U = XC-.I = -j.XC·I U = XC·I
(3.26)
Analogicky s induktorem se také na kapacitoru realizuje pouze jalový výkon, kterému ovšem C p isuzujeme tentokrát záporné i znaménko. To znamená, že jalový výkony kapacitoru a induktou ru se mohou vzájemn ode ítat. Toho se ve skute nosti také využívá (kompenzace ú iníku).
3.6 Sériové a paralelní azení pasivních prvk
u,i,p
u
+j
i
p
I
ϕ =-π/2
+1
0
2π ω t
U Obr. 3. 11 asový pr b h nap tí, proudu a výkonu na kapacitoru a fázorový diagram
V praxi se ale v elektrických obvodech setkáváme s s reálnými prvky, jejichž náhradní schéma lze vytvo it z ideálních prvk zapojených seriov pop . paraleln . R znou kombinací ideálních prvk dosáhneme zajímavých vlastností obvodu, které budou rozebrány dále. Abychom mohli vy ešit pom r mezi nap tím a proudem u libovolného obvodu, zavedeme si pojem impedance a admitance. Impedance je pom r mezi nap tím a proudem, je to ur itá analogie odporu, zahrnuje v sob jak odpory R, tak i reaktance X. Protože nap tí i proud máme vyjád eny jako komplexní ísla, musí být i impedance vyjád ena komplexním íslem. I když to z fyzikální podstaty není fázor (neotá í se v ase), zna íme ji stejn jako fázory. Ozna ení impedance je Z, jednotkou je ohm (Ω). N kdy používáme pouze absolutní hodnotu impedance, která se zna í prost Z. P evrácenou hodnotou impedance je admitance, je to op t ur itá analogie vodivosti, oznauje se Y a její jednotkou je siemens. Absolutní hodnota admitance se zna í Y.
9
Elektrické obvody st ídavého proudu
Y=
1 Z
(3.27)
3.6.1 Sériové azení prvk +j Všemi prvky prochází stejný proud I I, a celkové nap tí je rovno sou tu nap tí na jednotlivých prvcích. Na obUC UL rázku 3.12 máme sériové azení reUR U R zistoru, kapacitoru a induk nosti. FáR U UL +UC zorový diagram nám znázor uje nap tí ϕ a proudy v obvod a pomocí grafickéU UL I UR +1 ho sou tu eší výsledné nap tí L v obvod . UC Nap tí na jednotlivých prvcích buC UC dou: UR = R·I ; UL = jXL·I ; UC = -jXC·I Obr. 3.12 Sériové azení prvk R, L, C a Výsledné nap tí potom bude: jejich fázorový diagram jX ·I -jX ·I = R·I+ U= L C = I·(R+j(XL-XC)) Jestliže je impedance pom r nap tí ku proudu, tak pro impedanci sériového azení R, L, C potom platí vztah 3.28 : Z = R + j(XL-XC)
(3.28)
3.6.2 Paralelní azení prvk P i paralelním spojení n kolika prvk je na všech stejné nap tí U, a výsledný proud I je dán sou tem díl ích proud . Na obrázku 3.15 máme paralelní +j kombinaci R, L, C a p íslušný fázoI rový diagram. Jednotlivé díl í proudy budou: IR IL IC IC U U U IR U IR = ; IL = ; IC = U R R jX L - jX C ϕ L C IL +IC I +1 IR Pro celkový proud tedy platí: IC U U U IL I= + + = R j X L - jX C Obr. 3.15 Paralelní azení prvk R, L, C a jejich fázorový diagram 1 1 1 =U ⋅ +j − R XC XL
V tomto p ípad bude výhodn jší, vypo ítáme li výslednou admitanci obvodu, a impedanci pak získáme jako její p evrácenou hodnotu. 1 1 1 Y= +j − = G + j( BC − B L ) (3. 29) R XC XL
10
Elektrické obvody st ídavého proudu
Kde G je vodivost rezistoru a BC a BL jsou susceptance induktoru a kapacitoru.
3.6.3 Sériov paralelní azení prvk Máme-li v obvod složit jší sério - paralelní azení prvk , postupujeme metodou postupného zjednodušování, analogicky jako u stejnosm rných obvod (kapitola 2.3.1), s tím rozdílem, že všechny veli iny jsou fázory (komplexní ísla). Jestliže máme v obvod více zdroj , m žeme použít metodu Kirchoffových rovnic (kapitola 2.3.2), nebo metodu smy kových proud (kapitola 2.3.3). Pro ešení t mito metodami musí mít všechny zdroje v obvod stejný kmito et f. P i ešení složit jších obvod máme asto za úkol slovn popsat výsledný charakter obvodu (zát že) v i zdroji. Tento charakter vychází z fázového posunu mezi celkovým proudem a nap tím. P i emž jak jsme d íve uvedli, úhel se po ítá od nap tí k proudu. Charakter obvodu také ur uje znaménko jalového výkonu dodávaného do obvodu. Spokojíme-li se s hrubším odhadem, posta í nám t i typy charakter odporový (ϕ =0), induktivní (ϕ >0) a kapacitní (ϕ <0). Chceme-li být ale zcela p esní, musíme rozeznávat 5 druh charakter zát že: – Odporový - jestliže ϕ =0, Q=0. – Odporov induktivní - jestliže 0<ϕ <π/2, Q>0. Obvod se nám chová jako spojení rezistoru a induktoru (nap . reálná cívka). – Induktivní - ϕ = π/2, Q>0. Tento stav nastane, máme-li v obvod ideální induktor, eventueln s ideálním kapacitorem, p i emž ovšem induktivní složka p evažuje. – Odporov kapacitní - jestliže -π/2<ϕ <0, Q<0. Obvod se navenek chová jako spojení rezistoru a kapacitoru (nap . reálný kondenzátor). – Kapacitní charakter - jestliže ϕ = -π/2, Q<0. Tento p ípad nastane, máme-li v obvod ideální kapacitor. M že tam být spolu s ním i ideální induktor, ale kapacitní složka musí p evažovat. Fázorové diagramy jednotlivých p ípad znázor uje obrázek 3.16 . +j
+j
ϕ =0 U
ϕ
U
+j
ϕ
U
+j I
I
ϕ
U
ϕ
U
+1 +1 +1 +1 I I odporový odporov -induktivní induktivní odporov -kapacitní kapacitní charakter charakter charakter charakter charakter Obr. 3.16 fázorové diagramy jednotlivých druh zát že I
+1
+j
3.7 Rezonance U každého st ídavého obvodu který obsahuje induktory, kapacitory a eventueln rezistory (platí to i pro reálné obvody s cívkami, kondenzátory a odporníky) m že nastat p i ur itém kmito tu napájecího nap tí stav, p i n mž je fázový posun roven nule. Tedy výsledné (celkové) nap tí a proud jsou ve fázi, obvod se chová jako by m l pouze zapojen odpor. Tento stav je d ležitý v technické praxi, asto ho využíváme p i kompenzaci ú iníku (bude popsáno dále), v oscilátorech, ladicích obvodech. Jindy se mu ale snažíme zabránit, protože m že být nebezpe ný (vzniká p ep tí). Rezonance m že nastat v libovolném obvod , který obsahuje induk nosti a kapacity a to p i ur itém kmito tu, který nazýváme rezonan ním.. 11
Elektrické obvody st ídavého proudu
P i hledání rezonan ního kmito tu, postupujeme tak, že si vyjád íme vztah pro impedanci, nebo admitanci obvodu, a její imaginární ást položíme rovnu nule.
3.8. Kompenzace ú iníku Mnoho b žn používaných spot ebi má induktivn odporový charakter, nap íklad asynchronní motory, transformátory, svá e ky, zá ivková svítidla ap. Tyto spot ebi e pot ebují ke své innosti jalový výkon induktivního charakteru. Ten ale nekoná žádnou práci. Jalový výkon se pouze p elévá po vedení mezi zdrojem a spot ebi em a zp sobuje ztráty. Princip kompenzace spo ívá v tom, že pot ebný induktivní jalový výkon vyrobíme v kondenzátorech (nebo synchronních kopenzátorech, což jsou specielní synchronní stroje) p ímo u spot ebi e a po vedení p ivádíme bu pouze inný výkon, nebo velikost jalového výkonu podstatn zmenšíme. To bude mít za následek zmenšení proudu protékajícího p ívodním vedením a tím pádem menší ztráty, nebo p i stejných ztrátách m žeme použít vedení s menším pr ezem. V energetických sítích bývá obvyklé, že se kompenzuje tak, aby cos byl 0,95 induktivního charakteru. Kompenzaci provádíme nej ast ji jako trojfázovou, protože rozvod v tšina spot ebi v pr myslu bývají trojfázové. P i kompenzaci pomocí kondenzátor zapojujeme t i kondenzátory do hv zdy, nebo ast ji do trojúhelníka. Kompenzace m že bu to regulovaná nebo neregulovaná. Regulace se provádí bu to nespojit , tak že místo jednoho kondenzátoru je v každé fázi paralelní baterie kondenzátor a automatický regulátor provádí jejich p ipojování nebo odpojování podle pot eby jalového výkonu v síti. Nebo m že být regulace spojitá pomocí výkonových polovodi ových prvk . Tento zp sob je složit jší. Podle umíst ní m žeme mít kompenzaci – Individuální - každý spot ebi má své vlastní kompenza ní kondenzátory. Výhodou je to, že tato kompenzace v tšinou nemusí být regulovaná a že kompenzace se provede co nejblíže spot ebi i, takže po p ívodním vedení se nemusí p elévat žádný jalový výkon. Nevýhodou je že ke každému spot ebi i pot ebujeme kompenza ní kondenzátory. Tato kompenzace se používá nap íklad v klasických zá ivkách, kde v každém svítidle bývá kompenza ní kondenzátor. – Skupinová - kompenzuje se najednou n kolik spot ebi p ipojených na jeden rozvad , nap . spot ebi e v jedné díln . Zde ušet íme po et kompenza ních kondenzátor , ale nevýhodou je, že kompenzace musí být regulovaná, protože spot ebi e nepracují vždy sou asn a velikost odebíraného jalového výkonu se m ní. – Centrální - kompenzace se provádí centráln v rozvodn pro celý závod, výhody a nevýhody jsou obdobné jako u skupinové kompenzace. Jak se vypo ítá velikost pot ebné kondenzátorové baterie si uvedeme na následujícím p íklad zá ivkového svítidla. Schéma, náhradní schéma a fázorový diagram je na obr. 3.22.
12
Elektrické obvody st ídavého proudu
IV
IV
Im
I
IC
IC
I
IC
tlumivka L
kompenza ní kondenzátor
U
zá ivková trubice
startér
C
U
ϕk ϕ
U IV
Re
R
I schéma zá ivkového svítidla
náhradní schéma
fázorový diagram
Obr. 3.22. schéma a fázorový diagram zá ivkového svítidla s filtra ním kondenzátorem.
V tomto p ípad se inný výkon odebíraný ze spot ebi em p ed a po kompenzaci nem ní, pro jalový výkon kompenza ního kondenzátoru lze odvodit vztah: QC = P·(tg ϕ - tg ϕk) Kde:
(3.35)
P je inný výkon odebíraný spot ebi em, QC je jalový výkon kondenzátorové baterie ϕ a ϕk jsou fázové posuvy p ed a po kompenzaci, (ϕ respektive cosinus ϕ v tšinou udává výrobce za ízení)
Známe-li pot ebný jalový výkon, p íslušnou kapacitu kondenzátoru vypo ítáme jako
C= Kde:
QC ω ⋅U 2
(3.36)
ω
je úhlová rychlost napájecí sít U je nap tí na které je kondenzátor p ipojen. V p ípad že by se jednalo o trojfázovou kompenzaci, byla by kapacita jednoho kondenzátoru t etinová.
3.9 Neharmonické asové pr b hy obvodových veli in V praxi se ale vyskytují i proudy a nap tí s pr b hy neharmonickými, zvlášt v obvodech kde se používají nelineární prvky (nap . polovod. m ni e). P i ešení takovýchto obvod vycházíme z toho, že každý periodický pr b h s úhlovou rychlostí ω lze rozložit na adu harmonických pr b h , které nazýváme harmonické složky. Jejich kmito ty tím i úhlové rychlosti jsou násobkem základní ho kmito tu Nap tí a proud potom ešíme jako sou et t chto všech harmonických složek. Tomuto rozkladu se íká Fourierova ada a existují matematické postupy, podle kterých se provádí. My se jimi nebudeme dále zabývat, uvedeme si pouze jako p íklad rozklad nap tí obdélníkového pr b hu se základním kmito tem 50 Hz (ω = 314 rad·s1 ) a s amplitudou 10 V na sedm harmonických složek. Pro vyšší p esnost, bychom museli po ítat více harmonických složek.
13
Elektrické obvody st ídavého proudu
Pro toto obdélníkové nap tí rozložené na 7 harmonických platí: u(t) =12,73·sin(ω t) + 4,24·sin(3·ω t) + 2,55·sin(5·ω t) + 1,82·sin(7·ω t) první harmonická
t etí harmonická
pátá harmonická
sedmá harmonická
Pr b h neobsahuje druhou a tvrtou harmonickou složku (žádné sudé), protože je symetrický podle asové osy. 15 P vodní pr b h i jeho náhrau p vodní pr b h nap tí (V) du pomocí p ti harmonických 10 složek ukazuje obrázek 3.18 . náhrada pr b hu sedmi harmonickými
5 0
π
2π
ωt (rad)
-5
-10 -15 Náhrada pr b hu sedmi harmonickými u 15 (V) 10
první harmonická složka t etí harmonická složka
5 0
π
2π
-5
-10
ωt (rad)
pátá harmonická složka sedmá harmonická složka
-15 Rozklad p vodního pr b hu na jednotlivé harmonické složky Obr. 3.20 Náhrada obdélníkového pr b hu adou vyšších harmonických
14
Elektrické obvody st ídavého proudu
