KATALOG POŽADAVKŮ ZKOUŠEK SPOLEČNÉ ČÁSTI MATURITNÍ ZKOUŠKY platný od školního roku 2009/2010
MATEMATIKA VYŠŠÍ ÚROVEŇ OBTÍŽNO OBTÍŽNOSTI STI
Zpracoval:
Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání
Schválil:
Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 11. 3. 2008 pod č. j. 3243/2008-2/CERMAT
KATALOG POŽADAVKŮ ZKOUŠEK SPOLEČNÉ ČÁSTI MATURITNÍ ZKOUŠKY platný od školního roku 2009/2010
MATEMATIKA
VYŠŠÍ ÚROVEŇ OBTÍŽNOSTI
Zpracoval: Schválil:
Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 11. 3. 2008 pod č. j. 3243/2008-2/CERMAT
Obsah Úvod Požadavky k maturitní zkoušce Základní specifikace zkoušky Příklady testových úloh
Úvod Účel a obsah katalogu Katalogy požadavků k maturitní zkoušce poskytují všem jejich uživatelům informace o požadavcích kladených na žáky vzdělávacích programů v oborech středního vzdělání s maturitní zkouškou. Maturitní zkouška z matematiky má charakter didaktického testu a je připravována ve dvou úrovních obtížnosti. Rozdíly mezi úrovněmi obtížnosti jsou vymezeny rozsahem a hloubkou ověřovaných znalostí a dovedností a odlišnostmi v typu použitých testových úloh s otevřenou odpovědí. Tento katalog vymezuje požadavky k maturitní zkoušce vyšší úrovně obtížnosti. Zkouška z matematiky ve vyšší úrovni obtížnosti má mimo jiné též splňovat vstupní požadavky vysokých škol. Pedagogické dokumenty ke katalogu a k maturitní zkoušce Základem pro zpracování katalogu jsou stávající platné pedagogické dokumenty: Učební dokumenty pro gymnázia. Praha, Fortuna 1999. Standard vzdělávání ve čtyřletém gymnáziu. Praha, Fortuna 1999. Učební osnovy pro SOŠ a SOU, č. 21307/2000 ze 16. 6. 2000, a dále učební osnovy matematiky pro technická, přírodovědná a ekonomická lycea. Zpracovatelé katalogu využili jako podpůrné prameny také publikované standardy a didaktické materiály. Při zpracování katalogu byla zohledněna skutečnost, že na některých středních školách jsou již ověřovány rámcové vzdělávací programy.
(1) FUCHS, E., BINTEROVÁ, H. a kol. Standardy a testové úlohy z matematiky pro střední odborná učiliště. Praha: Prometheus, 2003, ISBN 80–7196–294–5.
(2) FUCHS, E., KUBÁT, J. a kol.. Standardy a testové úlohy z matematiky pro čtyřletá gymnázia. Praha: Prometheus, 1998. ISBN 80–7196–095–0.
(3) FUCHS, E., PROCHÁZKA, F. a kol. Standardy a testové úlohy z matematiky pro střední odborné školy. Praha: Prometheus, 1998. ISBN 80–7196–097–7.
(4) Měření vědomostí a dovedností – nová koncepce hodnocení žáků. Praha: ÚIV, 1999. 78 s. ISBN 80–211–0333–7. Přel. z: Measuring Student Knowledge and Skills. Paris: OECD, 1999. 82 pp.
Požadavky k maturitní zkoušce Očekávané znalosti a dovednosti pro zkoušku matematika ve vyšší úrovni obtížnosti jsou v prvé části uvedeny pěti hlavními kategoriemi kompetencí, které by během výuky matematiky na střední škole měly být zohledňovány. Osvojení matematických pojmů a dovedností Žák dovede: • užívat správně matematické pojmy (definovat pojmy a určit jejich obsah, charakterizovat pojem různými způsoby, třídit pojmy a nalézat vztahy mezi nimi, zobecňovat pojmy a vztahy mezi nimi) • numericky počítat a užívat proměnnou (provádět základní početní operace, odhadnout výsledek výpočtu, využít efektivní způsoby výpočtu, upravit výrazy s čísly a proměnnými, stanovit definiční obor výrazu, na základě reálné situace sestavit výraz s proměnnými) • pracovat s rovinnými a prostorovými útvary (rozpoznat a pojmenovat geometrické útvary, využívat geometrickou představivost při analýze rovinných a prostorových vztahů, měřit a odhadovat výsledek měření, řešit početně geometrickou úlohu, řešit konstrukčně geometrickou úlohu) • matematicky argumentovat (používat různé typy tvrzení, rozlišit definici a větu, rozumět logické stavbě matematické věty, dokázat jednoduchou matematickou větu, vytvořit, ověřit, zdůvodnit nebo vyvrátit hypotézu) Matematické modelování Žák dovede: • matematizovat reálné situace (odhalit kvantitativní nebo prostorové vztahy a zákonitosti, vytvořit matematický model reálné situace) • pracovat s matematickým modelem • ověřit vytvořený model z hlediska reálné situace (vyjádřit výsledek řešení modelu v kontextu reálné situace, vyhodnotit výsledek modelované situace) • kombinovat různé modely téže situace Vymezení a řešení problému Žák dovede: • vymezit problém • analyzovat problém • zvolit vhodnou metodu řešení problému (popsat problém vzorcem, užít známý algoritmus, vytvořit algoritmus řešení) • vyřešit problém • diskutovat o výsledcích • aplikovat osvojené metody řešení problémů v jiných tématech a oblastech Komunikace Žák dovede: • číst s porozuměním matematický text • vyhodnotit informace kvantitativního i kvalitativního charakteru obsažené v grafech, diagramech, tabulkách atd. • přesně se vyjádřit (užívat jazyk matematiky včetně symboliky a terminologie, zdůvodnit matematické tvrzení, obhájit vlastní řešení problému, prezentovat výsledky řešení úlohy (geometrické konstrukce, na dobré grafické úrovni)
• prezentovat získané informace a výsledky (zpracovat získané údaje formou grafů, diagramů, tabulek atd., použít různé formy znázornění matematických situací) Užití pomůcek Žák dovede: • • • •
využít informační zdroje (odborná literatura, internet atd.) efektivně řešit problémy pomocí kalkulátoru a PC použít kalkulátor a PC k prezentaci řešení problémů použít tradiční prostředky grafického vyjadřování
Druhá část požadavků obsahuje již konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků tak, jak byly týmem spolupracovníků v zastoupení všech typů středních škol a odborných ústavů určeny.
1.
Číselné obory
Žák dovede: 1.1 • • • •
Přirozená čísla
provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit přirozené číslo na prvočinitele užít pojem dělitelnosti přirozených čísel a znaky dělitelnosti určit největší společný dělitel a nejmenší společný násobek přirozených čísel
1.2
Celá čísla
• provádět aritmetické operace s celými čísly • užít pojem opačné číslo 1.3 • • • • •
pracovat s různými tvary zápisu racionálního čísla a jejich převody provádět operace se zlomky provádět operace s desetinnými čísly včetně zaokrouhlování, určit řád čísla řešit praktické úlohy na procenta a užitím trojčlenky znázornit racionální číslo na číselné ose
1.4 • • • • • • • • •
Racionální čísla
Reálná čísla
zařadit číslo do příslušného číselného oboru provádět aritmetické operace v číselných oborech užít pojmy opačné číslo a převrácené číslo znázornit reálné číslo nebo jeho aproximaci na číselné ose určit absolutní hodnotu reálného čísla a chápat její geometrický význam zapisovat a znázorňovat intervaly, jejich průnik, sjednocení a doplněk užít druhé a třetí mocniny a odmocniny provádět operace s mocninami s celočíselným exponentem užít mocninu s racionálním exponentem a ovládat početní výkony s mocninami a odmocninami
1.5 • • • • •
Komplexní čísla
užít Gaussovu rovinu k zobrazení komplexních čísel vyjádřit komplexní číslo v algebraickém i goniometrickém tvaru vypočítat absolutní hodnotu a argument komplexního čísla a chápat jejich geometrický význam sčítat, odčítat, násobit a dělit komplexní čísla v algebraickém tvaru násobit, dělit, umocňovat a odmocňovat komplexní čísla v goniometrickém tvaru užitím Moivreovy věty
2.
Algebraické výrazy
Žák dovede: 2.1
Algebraický výraz
• určit hodnotu výrazu • určit nulový bod výrazu 2.2
Mnohočleny
• provádět početní operace s mnohočleny • rozložit mnohočlen na součin užitím vzorců a vytýkáním 2.3
Lomené výrazy
• provádět operace s lomenými výrazy • stanovit definiční obor lomeného výrazu 2.4
Výrazy s mocninami a odmocninami
• provádět operace s výrazy obsahujícími mocniny a odmocniny
3.
Rovnice a nerovnice
Žák dovede: 3.1 • • • • • • • •
stanovit definiční obor rovnice řešit lineární rovnice o jedné neznámé a rovnice s neznámou ve jmenovateli řešit rovnice obsahující výrazy s neznámou v absolutní hodnotě vyjádřit neznámou ze vzorce užít rovnice při řešení slovní úlohy řešit rovnice s parametrem řešit početně i graficky soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých řešit soustavy tří lineárních rovnic o třech neznámých
3.2 • • • •
Lineární rovnice a jejich soustavy, rovnice s neznámou ve jmenovateli
Kvadratické rovnice
řešit neúplné i úplné kvadratické rovnice užít vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice užít kvadratickou rovnici při řešení slovní úlohy řešit kvadratické rovnice s parametrem
• řešit kvadratické rovnice s reálnými koeficienty v oboru komplexních čísel • řešit soustavy lineární a kvadratické rovnice o dvou neznámých 3.3
Rovnice s neznámou pod odmocninou
• řešit rovnice s neznámou pod odmocninou, při řešení rovnic rozlišit ekvivalentní a neekvivalentní úpravy 3.4 • • • •
Lineární a kvadratické nerovnice a jejich soustavy
řešit lineární nerovnice s jednou neznámou a jejich soustavy řešit rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru řešit nerovnice obsahující lineární výrazy s neznámou v absolutní hodnotě řešit početně i graficky kvadratické nerovnice
4.
Funkce
Žák dovede: 4.1
Základní poznatky o funkcích
• užít různá zadání funkce v množině reálných čísel a užít s porozuměním pojmy: definiční obor, obor hodnot, hodnota funkce v bodě, graf funkce • určit průsečíky grafu funkce s osami soustavy souřadnic, sestrojit graf funkce, přiřadit předpis funkce y = f(x) ke grafu funkce • rozhodnout, zda je funkce sudá nebo lichá, prostá, omezená, periodická, stanovit definiční obory a obory hodnot funkcí, intervaly monotonie a body, v nichž funkce nabývá lokální a globální extrémy • sestrojit z grafu funkce y = f(x) grafy funkcí y = f(x–m ) + n, y = f(x), y = f(x) • určit funkci inverzní k dané funkci (načrtnout její graf), užít poznatky o složené funkci • modelovat reálné závislosti pomocí funkcí 4.2 • • • • • •
Lineární funkce
užít pojem a vlastnosti přímé úměrnosti určit lineární funkci, sestrojit její graf, využívat geometrický význam parametrů a, b v předpisu funkce y = ax + b určit předpis lineární funkce z daných bodů nebo grafu funkce sestrojit graf lineární funkce s absolutními hodnotami a určit vlastnosti funkce řešit reálné problémy pomocí lineární funkce
4.3
Kvadratické funkce
• určit kvadratickou funkci, vysvětlit význam parametrů v předpisu kvadratické funkce, upravit předpis funkce, sestrojit graf • stanovit definiční obor a obor hodnot funkce, najít bod, v němž nabývá funkce extrému, určit intervaly monotonie • sestrojit graf kvadratické funkce s absolutní hodnotou a určit její vlastnosti • řešit reálné problémy pomocí kvadratické funkce 4.4
Mocninné funkce
• určit mocninnou funkci s celočíselným exponentem, funkce druhá a třetí odmocnina, sestrojit grafy těchto funkcí • stanovit definiční obor a obor hodnot, určit intervaly monotonie 4.5
Lineární lomená funkce
• užít pojem a vlastností nepřímé úměrnosti • určit lineární lomenou funkci, upravit předpis funkce, určit asymptoty, načrtnout graf lineární lomené funkce posunutím grafu nepřímé úměrnosti • stanovit definiční obor a obor hodnot lineární lomené funkce, určit intervaly monotonie • sestrojit graf lineární lomené funkce s absolutní hodnotou a určit její vlastnosti • řešit reálné problémy pomocí lineární lomené funkce 4.6
Exponenciální a logaritmické funkce, rovnice a nerovnice
• určit exponenciální funkci a sestrojit její graf • užívat s porozuměním pojmu inverzní funkce pro definování logaritmické funkce, určit logaritmickou funkci a sestrojit její graf • stanovit definiční obor a obor hodnot u obou funkcí, určit typ monotonie v závislosti na hodnotě základu,
• řešit exponenciální a logaritmické rovnice a jednoduché nerovnice, užít logaritmu a jeho vlastností • aplikovat poznatky o exponenciálních a logaritmických funkcích při řešení reálných problémů 4.7
Goniometrické funkce, rovnice a nerovnice
užít pojmu orientovaný úhel a jeho hodnoty v míře stupňové a obloukové definovat goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku definovat goniometrické funkce v oboru reálných čísel, užít jednotkové kružnice načrtnout grafy goniometrických funkcí y=f(x) a grafy funkcí y=a∙f(bx+c)+d, určit jejich definiční obor, obor hodnot, užít vlastností • užít vztahy mezi goniometrickými funkcemi • řešit goniometrické rovnice a jednoduché nerovnice • aplikovat poznatky o goniometrických funkcích při řešení reálných problémů • • • •
5.
Posloupnosti a řady, finanční matematika
Žák dovede: 5.1
Základní poznatky o posloupnostech
• aplikovat znalosti o funkcích při úvahách a řešení úloh o posloupnostech • určit posloupnost vzorcem pro n‑tý člen, rekurentně, graficky 5.2
Aritmetická posloupnost
• určit aritmetickou posloupnost a používat pojem diference • užít základní vzorce pro aritmetickou posloupnost 5.3
Geometrická posloupnost
• určit geometrickou posloupnost a používat pojem kvocient • užít základní vzorce pro geometrickou posloupnost 5.4
Limita posloupnosti a nekonečná geometrická řada
• s porozuměním užívat pojmy vlastní a nevlastní limita posloupnosti, konvergentní a divergentní posloupnost • využít věty o limitách posloupnosti k výpočtu limity posloupnosti • určit podmínky konvergence nekonečné geometrické řady a vypočítat její součet 5.5
Využití posloupností pro řešení úloh z praxe
• využít poznatků o posloupnostech v reálných situacích, zejména v úlohách finanční matematiky a dalších praktických problémech
6.
Planimetrie
Žák dovede: 6.1
Planimetrické pojmy a poznatky
• správně užít pojmy bod, přímka, polopřímka, rovina, polorovina, úsečka, úhly – vedlejší, vrcholové, střídavé, souhlasné, středové a obvodové, znázornit objekty • užít s porozuměním polohové a metrické vztahy mezi geometrickými útvary v rovině (rovnoběžnost, kolmost a odchylka přímek, délka úsečky a velikost úhlu, vzdálenosti bodů a přímek) • rozlišit konvexní a nekonvexní útvary, popsat a správně užívat jejich vlastnosti • při řešení úloh využívat množiny všech bodů dané vlastnosti 6.2
Trojúhelníky
• pojmenovat základní objekty v trojúhelníku, správně užít jejich vlastností, pojmů užívat s porozuměním (strany, vnitřní a vnější úhly, osy stran a úhlů, výšky, těžnice, střední příčky, kružnice opsaná a vepsaná) • při řešení úloh argumentovat s využitím poznatků vět o shodnosti a podobnosti trojúhelníků • aplikovat poznatky o trojúhelnících (obvod, obsah, výška, Pythagorova a Euklidovy věty, poznatky o těžnicích a těžišti) v úlohách početní geometrie • aplikovat poznatky o trojúhelnících v úlohách konstrukční geometrie • řešit praktické úlohy užitím trigonometrie pravoúhlého a obecného trojúhelníku 6.3
Mnohoúhelníky
• rozlišit základní druhy čtyřúhelníků, popsat a správně užít jejich vlastnosti (různoběžníky, rovnoběžníky, lichoběžníky), pravidelné mnohoúhelníky • pojmenovat, znázornit a správně užít základní objekty ve čtyřúhelníku (strany, vnitřní a vnější úhly, osy stran a úhlů, kružnice opsaná a vepsaná, úhlopříčky, výšky), popsat a užít vlastností konvexních mnohoúhelníků • užít poznatky o čtyřúhelníku (obvod, obsah, vlastnosti úhlopříček a kružnice opsaná nebo vepsaná) a mnohoúhelníku v úlohách početní geometrie • využít poznatky o mnohoúhelnících v úlohách konstrukční geometrie 6.4
Kružnice a kruh
• pojmenovat, znázornit a správně užít základní objekty v kružnici a kruhu, popsat a užít jejich vlastnosti (tětiva, kružnicový oblouk, kruhová výseč a úseč, mezikruží) • užít polohové vztahy mezi body, přímkami a kružnicemi • aplikovat metrické poznatky o kružnicích a kruzích (obvod, obsah, velikost obvodového a středového úhlu) v úlohách početní geometrie • aplikovat poznatky o kružnici a kruhu v úlohách konstrukční geometrie 6.5
Geometrická zobrazení
• popsat a určit shodná zobrazení (souměrnosti, posunutí, otočení) a užít jejich vlastnosti • popsat a určit stejnolehlost nebo podobnost útvarů a užít jejich vlastnosti • aplikovat poznatky o shodnosti a podobnosti v úlohách konstrukční geometrie
10
7.
Stereometrie
Žák dovede: 7.1 • • • •
Polohové vlastnosti útvarů v prostoru
určit vzájemnou polohu bodů, přímek, přímky a roviny, rovin rozhodnout o kolmosti nebo rovnoběžnosti přímek a rovin zobrazit jednoduchá tělesa ve volném rovnoběžném promítání konstruovat rovinné řezy hranolu a jehlanu
7.2
Metrické vlastnosti útvarů v prostoru
• určit vzdálenost bodu od přímky a roviny, odchylku dvou přímek, přímky a roviny, dvou rovin 7.3
Tělesa
• charakterizovat jednotlivá tělesa, vypočítat jejich objem a povrch (krychle, kvádr, hranol, jehlan, rotační válec, rotační kužel, komolý jehlan a kužel, koule a její části) • využít poznatků o tělesech v praktických úlohách
8.
Analytická geometrie
Žák dovede: 8.1
Souřadnice bodu a vektoru v rovině i prostoru
• určit vzdálenost dvou bodů a souřadnice středu úsečky • užít pojmy: vektor a jeho umístění, souřadnice vektoru a velikost vektoru • provádět operace s vektory (součet vektorů, násobek vektoru reálným číslem, skalární a vektorový součin vektorů) • určit velikost úhlu dvou vektorů 8.2
Přímka a rovina
• užít parametrické vyjádření přímky v rovině a prostoru, obecnou rovnici přímky a směrnicový tvar rovnice přímky v rovině • užít parametrické vyjádření roviny a obecnou rovnici roviny • určit a aplikovat v úlohách polohové a metrické vztahy bodů, přímek a rovin 8.3
Kuželosečky
• charakterizovat jednotlivé druhy kuželoseček, použít jejich vlastnosti a analytické vyjádření. • určit vzájemnou polohu přímky a kuželosečky
11
9.
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika
Žák dovede: 9.1
Kombinatorika
• rozpoznat kombinatorické skupiny (variace s opakováním, variace, permutace, a kombinace bez opakování), určit jejich počty a užít je v reálných situacích • počítat s faktoriály a kombinačními čísly • užít binomickou větu při řešení úloh 9.2
Pravděpodobnost
• použít pojmy náhodný jev, jistý jev, nemožný jev, opačný jev, nezávislost jevů, sjednocení a průnik jevů • určit pravděpodobnost náhodného jevu, vypočítat pravděpodobnost sjednocení nebo průniku dvou jevů 9.3
Statistika
• vysvětlit a použít pojmy statistický soubor, rozsah souboru, statistická jednotka, statistický znak, četnost a relativní četnost • vypočítat četnost a relativní četnost hodnoty znaku, sestavit tabulku četností, graficky znázornit rozdělení četností • určit charakteristiky polohy a variability (průměry, modus, medián, rozptyl, směrodatná odchylka) • vyhledat a vyhodnotit statistická data v grafech a tabulkách
12
Základní specifikace zkoušky z matematiky Maturitní zkouška matematika ve vyšší úrovni obtížnosti bude ověřovat matematické znalosti a dovednosti žáků formou didaktického testu, který bude tvořen úlohami uzavřenými, otevřenými se stručnou odpovědí a několika otevřenými úlohami se širokou odpovědí. V uzavřených úlohách je vždy právě jedna alternativa v nabídce správná. V průběhu didaktického testu budou mít žáci k dispozici Matematické, fyzikální a chemické tabulky pro střední školy, budou moci používat kalkulátor bez grafického režimu a rýsovací potřeby. Následující tabulka uvádí přibližné procentuální zastoupení jednotlivých témat v testu. Tematické okruhy 1. Číselné množiny 2. Algebraické výrazy 3. Rovnice a nerovnice 4. Funkce 5. Posloupnosti a řady, finanční matematika 6. Planimetrie 7. Stereometrie 8. Analytická geometrie 9. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika
% 5–10 10–20 15–25 10–20 5–10 10–15 5–15 10–20 5–10
13
6. Planimetrie 7. Stereometrie 8. Analytická geometrie 9. Kombinatorika, statistika Příklady testovýchpravděpodobnost, úloh
10–15 5–15 10–20 5–10
Testové úlohy jsou uvedeny jen jako samostatné ukázky, jejich zastoupení necharakterizuje strukturu testu. Příklady testových úloh Soubor ukázek proto nelze považovat za sestavený test. Testové úlohy jsou uvedeny jen jako samostatné ukázky, jejich zastoupení necharakterizuje strukturu testu. Soubor ukázek proto nelze považovat za sestavený test. V ukázkách uzavřených úloh jsou autorská řešení označena tučnou sazbou písmena uvádějícího správnou V ukázkách uzavřených úloh jsou autorská řešení označena tučnou sazbou písmena, uvádějícího danou odpověď. U otevřených úloh je správné řešení připojeno pod úlohou. odpověd. U otevřených úloh je správné řešení připojeno pod úlohou.
1. Číselné množiny 1. Číselné množiny
Úloha Úloha 1 1 Na Jistý počet vstupenek prvního druhu za za 48 Kč Na divadelní divadelní představení představeníbyly bylyzakoupeny zakoupenydva dvadruhy druhyvstupenek. vstupenek. Jistý počet vstupenek prvního druhu 48 Kč a o pět vstupenek po 68 Kč více. Za vstupenky bylo celkem zaplaceno 1 500 Kč. Kolik vstupenek a o pět vstupenek po 68 Kč více. Za vstupenky bylo celkem zaplaceno 1 500 Kč. Kolik vstupenek každého druhu každého druhu bylo zakoupeno? bylo zakoupeno?
Řešení: 10 10 aa 15. Řešení: 15. Úloha 2 2 Úloha Výnosy knížky jsou jsou sníženy sníženy vždy Výnosy zz vkladní vkladní knížky vždy o 15% o 15% daň. daň. Vklad Vklad ve ve výši výši 55 000 Kč 55 000 Kč vynesl vynesl za za rok rok čistý čistý úrok úrok3 740 Kč. Jaká byla roční úroková míra? Výsledek zaokrouhlete na desetiny procenta. 3 740 Kč. Jaká byla roční úroková míra? Výsledek zaokrouhlete na desetiny procenta. Řešení: 8,0 % Řešení: 8,0 % Úloha 3 3
§ 1 1· ¨15 3 .27 2 ¸ ¨ ¸ 3 9 ¹ : Vypočítejte © a výsledek zapište pomocí mocnin s racionálním exponentem. 2 1 1 4 3 § · 3 27 ¨ 25 4 .9 8 ¸ ¨ ¸ © ¹ Řešení: 3
19 4
12
Úloha 4 Kolejnice délky 25 m se při zvýšení teploty vzduchu o 20 °C prodlouží o 6 mm. Nejnižší teplota (–15 °C) byla naměřena 12. února a nejvyšší teplota 35 °C 18. července téhož roku. Jaký byl největší rozdíl v délkách této kolejnice v průběhu roku, jestliže délka kolejnic se mění v závislosti na teplotě vzduchu lineárně? A) 6 mm B) 12 mm C) 15 mm D) 18 mm
14
B) D) C) D)
12 mm 18 mm 15 mm 18 mm
Úloha 5 5 Úloha V Gaussově rovině zobrazte všechna komplexní čísla z, pro která platí: z i Úloha 5 Řešení: V Gaussově rovině zobrazte všechnay komplexní čísla z, pro která platí: z i Řešení:
2. 2.
3iy 2i 3i 2ii 0i
1
2
x
-i 0
1
2
x
-i
Úloha 6 5
Úloha§6 61 3 ·¸ Úloha Výraz ¨¨ i ¸ 5 je roven: §© 21 23 ·¹ Výraz ¨¨ i ¸ je roven: 2 1 2 ¸¹3 © A) i 21 23 A) i 32 12 i B) 23 21 i B) 1 3 2 2 i C) 21 23 1 3 i C) 2 D) 2i 21 23 D) i 2 2
13 13
15
2. výrazy 2. Algebraické Algebraické výrazy 2. Algebraické výrazy
2. 2. Algebraické Algebraické výrazy výrazy Úloha Úloha 1 1 3 2 Rovnost ((xx22 + Rovnost + 1)( 1)(xx – –a a)+ )+ 2 2= = xx3 + +3 3 xx2 + + xx + +b b Úloha 1 Úloha 1 2 3 b. 2 Určete hodnoty parametrů a, Určete hodnoty parametrů a, b . Rovnost ( x – a )+ 2 = x 3 x 2 + 1)(x 3+ 2+x+b Rovnost (x + 1)(x – a)+ 2 = x + 3 x + x + b Určete Určete hodnoty hodnoty parametrů parametrů a, a, b b.. Řešení: a = –3, b = 5 Řešení: a = –3, b = 5 Řešení: Řešení: a a= = –3, –3, b b= =5 5
Úloha Úloha 2 2 2 xx 33 Úloha 2 xx 2 4 4 xx 4 4 Úloha 2 Upravte výraz Upravte výraz 33 22 22 x x 2 xx x 4 x x x x 4x2 4 4 Upravte výraz Upravte výraz 2 ^ ` Řešení: x 2 ; R \ 1 ; 2 2 x x 2 Řešení: x 2 ; R \ ^x 1; 2x` 2 Řešení: Řešení: xx 2 2 ;; R R \\ ^^ 1 1;; 2 2`` Úloha Úloha 3 3 xx3 2 xy y Úloha Úloha 3 2 xy y : Výraz Výraz x 2x xyy y : x 2x xyy y : Výraz Výraz : xx yy xx yy yy xx A) A) xx yy xy xy yy xx A) A) xx xy yy xy B) B) xx xy xy yy B) B) xx xy C) yy C) xy x y x C) D) C) D) xx x yy y x
D) D)
xx 1 xx 1 xx 1 1 xx
yy 1 1 yy yy 1 1 yy
platí platí pro pro všechna všechna xx R R .. platí platí pro pro všechna všechna xx R R ..
aa určete určete jeho jeho definiční definiční obor. obor. aa určete určete jeho jeho definiční definiční obor. obor.
lze lze pro pro všechna všechna xx > > 0, 0, yy > >0 0 upravit upravit na na tvar: tvar: lze lze pro pro všechna všechna xx > > 0, 0, yy > >0 0 upravit upravit na na tvar: tvar:
xx yy yy xx
Úloha Úloha 4 4 Rozhodněte o Rozhodněte o každém každém zz následujících následujících tvrzení, tvrzení, zda zda je je pravdivé pravdivé (ANO), (ANO), nebo nebo nepravdivé nepravdivé (NE). (NE). Úloha 4 Úloha 4 4.1 Pro libovolná dvě reálná čísla a, b platí a b b a . ( ANO – NE) Rozhodněte o každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé (ANO), nebo nepravdivé (NE). 4.1 Pro libovolná reálná čísla a,tvrzení, b platí zda a jeb pravdivé b a .(ANO), nebo nepravdivé(ANO Rozhodněte o každémdvě z následujících (NE). – NE) 500 502 4.1 Pro reálná (ANO – NE) 2 499 4.1 Pro libovolná dvě reálná čísla čísla a, a, b b platí platí a a b b b b a a .. – NE) 2 500libovolná 2 502 5dvě 2 499 2 (((ANO ANO – NE) 4.2 5 2 ANO – NE) 4.2 500 502 2 500 502 2 2 499 2 2 2 499 5 2 ( ANO – 4.2 1 1 52 (ANO – NE) NE) 4.2 1 1 2 2 2 2 4.3 Pro každá dvě nezáporná čísla a, b platí a b a b . (ANO – NE 2 2 4.3 Pro každá dvě nezáporná čísla a, b platí a b a 11 b 11 . (ANO – NE)) 2 2 4.3 Pro a, (ANO – )) 80každá 80dvě 80 ·· §§ 80 80 ·· čísla §§ 80 ·· §§ 80 ·· §§nezáporná 4.3 Pro každá dvě nezáporná čísla a, b b platí platí a a b b a a2 b b 2 .. (ANO –– NE NE 80 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 4.4 0 ( ANO NE) ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 4.4 35 ¸ ¨ 80 55 ¸ 0 (ANO – NE) 25 45 §©¨§© 80 25 ·¹¸·¹¸ §©¨§©¨ 80 35 ·¹·¹¸ §©§©¨ 80 45 ·¹¸·¹¸ §©¨§©¨ 80 55 ·¹·¹¸ 0 80 80 80 ¨ 4.4 ((ANO ¨¨ 25 ¸¸ ¨¨ 35 ¸¸ ¨¨ 45 ¸¸ ¨¨ 55 ¸¸ 0 4.4 ANO – – NE) NE) ©© 25 ¹¹ ©© 35 ¹¹ ©© 45 ¹¹ ©© 55 ¹¹
14 14 14 14
16
3. Rovnice a nerovnice 3. Rovnice a nerovnice 3. Rovnice a nerovnice Úloha 11 Úloha 3. Rovnice a nerovnice Na cestě mezi městy A a B Na cestě mezi městy A a C A a C leží leží město městoB. B.Vzdálenost Vzdálenostměst městA, A,BBjeje10 km 10 kma vzdálenost a vzdálenostměst městB,B,CCjeje50 km. 50 km.Z měst Úloha 1 -1 současně vyjeli dva cyklisté směrem k městu C. Rychlost cyklisty vyjíždějícího z města A byla 25 km.h , rychlost Z měst a B současně dva cyklisté směrem k městu vyjíždějícího A byla Na cestě mezi městy A vyjeli a C leží město B. Vzdálenost měst A,C.BRychlost je 10 kmcyklisty a vzdálenost měst B,zCměsta je 50 km. Úloha 1Avyjíždějícího dohonil druhého. Ve které vzdálenosti odkteré města A to bylo?od cyklisty z města B 20 km.h-1z. První -1 -1 25 km.h , rychlost cyklisty vyjíždějícího města B 20 km.h . První dohonil druhého. Ve vzdálenosti Z měst A a B současně vyjeli dva cyklisté směrem k městu C. Rychlost cyklisty vyjíždějícího z města A byla Na cestě mezi městy A a C leží město B. Vzdálenost měst A, B je 10 km a vzdálenost měst B, C je 50 km. -1to bylo? -1 města A A) 45 km 25měst km.h cyklisty města Bk20 km.hC.. První dohonil druhého. Ve které vzdálenosti Z A a, rychlost B současně vyjelivyjíždějícího dva cyklistézsměrem městu Rychlost cyklisty vyjíždějícího z města A byla od A) 45 -1to km -1 B) 50 km města A bylo? 25 km.h , rychlost cyklisty vyjíždějícího z města B 20 km.h . První dohonil druhého. Ve které vzdálenosti od C) 55 km B) 50 A) města A45 tokm bylo? D) 60 km C) 55 km B) 50 km A) 45 D) 60 km C) 55 B) 50 km D) 60 km C) 55 km Úloha 2 D) 60 km x 3 x 1 Úloha 2 Řešte v R rovnici 4. x 3 x 1 Úloha Řešte v2R rovnici x 3 x 5 4 .
x 3
x 51
Řešte v R rovnici 4. Řešení: x 1 9 ; x 2x 3 4 x5 Řešení: x 1 9 ; x 2 4 Řešení: Úloha 3 x 1 9 ; x 2 4 Úloha Řešte v3R nerovnici x 2 4 x 8 < x 2 . Řešte v3R nerovnici x 2 4 x 8 < x 2 . Úloha Řešte v R nerovnici x2 4x 8 < x 2 . Řešení: 6; 2 Řešení: 6 ; 2 Úloha 4 6 ; 2 Řešení: Úloha 4 Kvadratická rovnice x 2 2 x 1 m 3m 7 0 s parametrem m R má imaginární kořeny pro: 2 Úloha 4 m rovnice Kvadratická A) 2, 3 x 2 x 1 m 3m 7 0 s parametrem m R má imaginární kořeny pro: 2 Kvadratická 1 m 3m 7 0 s parametrem m R má imaginární kořeny pro: A) m 2f, ,3 2 x 32, x f m rovnice B) A) B) C) C) B) D) D) C) D)
22,,33`2 3, f m ^ f m ^ f 2,,3` 2 3, f m^ 2, 3` m 2, 3
15 15 15
17
4. Funkce
4.
Funkce
Úloha11 Úloha Automobilmá mána napočátku počátkujízdy jízdy30 litrů 30 litrůbenzinu benzinuv nádrži. v nádrži.Průměrná Průměrnáspotřeba spotřebajeje8 litrů 8 litrůna na100 km. 100 km. Automobil Automobil jede Automobil -1 . Který z grafů by mohl znázorňovat lineární funkci, která jede po dálnici průměrnou rychlostí 80 km.h po dálnici průměrnou rychlostí 80 km.h-1 . Který z grafů by mohl znázorňovat lineární funkci, která určujeurčuje závislost závislost objemu benzinu v nádrži b (v litrech) na době jízdy auta t objemu benzinu v nádrži b (v litrech) na době jízdy auta t (v hodinách)? (v hodinách)?
A)A)
b l
B)
B)
b l
30
30
20
20
10
10
0
1
2
3
4
5
t h
C)C)
b l
0
30
20
20
10
10 1
2
3
4
5
t h
2
3
4
t h
5
D) D)
b l
30
0
1
0
1
2
3
4
5
t h
Úloha 2 Úloha 2 se měří v Celsiových nebo Fahrenheitových stupních. Teplota f ve Fahrenheitových stupních je Teplota Teplota měří teploty v Celsiových nebo Fahrenheitových stupních. f ve Fahrenheitových stupních je lineární c v Celsiových stupních. Přitom hodnotěTeplota 8 °C odpovídá 46,4 °F a 24 °C odpovídá lineárnísefunkcí funkcí teploty v Celsiových stupních. Přitomstupních, hodnotěkterá 8 °Codpovídá odpovídá2046,4 75,2 °F. Určetec hodnotu ve Fahrenheitových °C. °F a 24 °C odpovídá 75,2 °F. Určete hodnotu ve Fahrenheitových stupních, která odpovídá 20 °C. Řešení:68,0 °F 68,0 °F Řešení:
16
18
Úloha Úloha 3 3 Závislost Úloha 3 hmotnosti m radioaktivní látky na čase t při její radioaktivní přeměně je dána vzorcem t
Závislost hmotnosti m radioaktivní látky na čase t při její radioaktivní přeměně je dána vzorcem m m0 0 ,5 Tt , kde m0 značí počáteční hmotnost látky v čase t = 0 a T je tzv. poločas přeměny (doba, za
m m0se 0 ,m 5 T0 zmenší , kde mna počáteční hmotnost látky v čase t = 0jodu a T je131 tzv. přeměny (doba, za polovinu). Poločas přeměny radionuklidu I jepoločas 8 dní. Vypočítejte hmotnost kterou 0 značí 131 m0 =přeměny zbylého za polovinu). 5 dní, jestliže 0,1 g. radionuklidu jodu I je 8 dní. Vypočítejte hmotnost m0 zmenší na Poločas kterou seradionuklidu A) 65 mg zbylého radionuklidu za 5 dní, jestliže m0 = 0,1 g. B) 6,5 mg A) 65 mg C) 0,65mg mg B) 6,5 D) 0,065 mg C) 0,65 mg
D) 0,065 mg Úloha 4 Řešte nerovnice v daných oborech a výsledek zapište intervalem. Úloha 4 Úlohanásledující 4 pro vx daných 10 , 10oborech a výsledek zapište intervalem. 4.1 3 x t 3nerovnice Řešte následující 2 pro x R 10 , 10 4.1 3x dx xt 3 4.2 4.3 log 4.2 x 2 d3 x t 0 pro x R 4.4 4.3
cos3xx
pro x R0 , 2π
cos x < sin x pro x 0 , 2π 4.4 § π 5π · Řešení: x 10 , 6 , x 0 , 1 , x 1, f , x ¨ , ¸ 4 54π ¹· ©§ π Řešení: x 10 , 6 , x 0 , 1 , x 1, f , x ¨ , ¸ ©4 4 ¹
17 17
19
5. Posloupnosti a řady, finanční matematika 5. Posloupnosti a řady, finanční matematika
Úloha Úloha 1 1 Firma posledních pět pět let let výrobu výrobu každý každý rok rok oo 10 % oproti předcházejícímu předcházejícímu roku. roku. O O kolik procent firma Firma zvyšovala zvyšovala za za posledních 10 % oproti kolik procent zvýšila výrobu za posledních pět let? Výsledek zaokrouhlete na celá procenta. firma zvýšila výrobu za posledních pět let? Výsledek zaokrouhlete na celá procenta. Řešení: 61 % Řešení: 61 % Úloha 2 V posloupnosti an fn 1 je a1 = 0, a2 = 2 a pro všechna n N platí an2 an 2an1 . Šestý člen této posloupnosti je roven: A) 24 A) 24 B) 49 B) 49 C) 52 C) 52 D) 58 D) 58 Úloha 3 Slečna Hermína disponuje částkou 8 500 korun, proto se rozhodla navštívit velký svět financí. Zaujal ji plakát Úloha 3 firmy „MOULA & spol.“, v němž stálo: Slečna Hermína disponuje částkou 8 500 korun, proto se rozhodla navštívit velký svět financí. Zaujal ji plakát firmy „MOULA & spol.“, v němž stálo: Naše firma zhodnotí Vaše peníze! Za 100 dnů si splníte své sny! Za jednorázovou investici hodnotěVaše 10 000 korunZa a více za 100 dnů. Naše firma vzhodnotí peníze! 100 garantujeme dnů si splníte6% svézisk sny! Dokonce investici i investice pod 10 000 korunkorun Vám přinese za 100 dnů 3% Za jednorázovou v hodnotě 10 000 a více garantujeme 6%zisk. zisk za 100 dnů. Chybí i investice Vám peníze? Půjčíme Vám až Vám 10 000 korunza na100 100dnů dnů!3% zisk. Dokonce pod 10 000 korun přinese Teprve až uplyne celých 100 dnů, zaplatíte 15% úrok z půjčené Chybí Vám peníze? Půjčíme Vám až 10 000 korun na 100částky. dnů!
Hermína by ráda investovala 000 korun, a proto zvažovala možnost půjčky. Zodpovězte následující otázky Teprve až10 uplyne celých 100 dnů, zaplatíte 15% úrok z půjčené částky. za předpokladu, že firma dostojí svým slibům. 3.1 Jaký bude zisk Hermíny, pokud si žádné peníze nepůjčí a investuje jen částku 8 500 korun? Hermína by ráda investovala 10 000 korun, a proto zvažovala možnost půjčky. Zodpovězte následující otázky za 3.2 O kolik korun se zvýší její zisk, pokud si chybějící peníze od firmy půjčí a investuje 10 000 korun? předpokladu, že firma dostojí svým slibům. 3.3 Pokud by měla Hermína o něco méně než 8 500 korun, investice s půjčkou by se jí mohla stále ještě 3.1 Jaký bude zisk Hermíny, pokud si žádné peníze nepůjčí a investuje jen částku 8 500 korun? vyplatit. Naopak pro nízké částky je výhodnější investice bez půjčky. Pro jakou částku přinášejí obě 3.2 O kolik korun se zvýší její zisk, pokud si chybějící peníze od firmy půjčí a investuje 10 000 korun? možnosti (investice částky s půjčkou i bez půjčky) stejný zisk? 3.3 Pokud by měla Hermína o něco méně než 8 500 korun, investice s půjčkou by se jí mohla stále ještě vyplatit. Naopak částky je výhodnější investice bez půjčky. jakou Řešení: 3.1: pro 255nízké Kč, 3.2: Zisk se zvýší o 120 Kč. 3.3: Možnosti jsouPro stejné pročástku částkupřinášejí 7500 Kč.obě možnosti (investice částky s půjčkou i bez půjčky) stejný zisk?
Řešení: 3.1: 255 Kč, 3.2: Zisk se zvýší o 120 Kč. 3.3: Možnosti jsou stejné pro částku 7500 Kč.
18
20
Úloha 4 Výchozí Úloha 4 text k úlohám 4.1 a 4.2 Čísla 1, 26 a 36 jsou tři členy konečné aritmetické posloupnosti. Je mezi nimi uveden první Výchozí text k úlohám 4.1 a 4.2 a poslední posloupnosti. Čísla 1, 26 ačlen 36 jsou tři členy konečné aritmetické posloupnosti. Je mezi nimi uveden první a poslední člen posloupnosti. 4.1 4.1 Určete takovéposloupnosti. posloupnosti. Určete interval, interval, do do něhož něhož patří patří největší největší možná možná diference diference ddtakové A)
B)
C) D)
0; 2,5 2,5; 4 4 ; 5,5
Do žádného z uvedených intervalů.
4.2 Kolik 4.2 členů by měla aritmetická posloupnost (viz výchozí text) pro diferenci d=0,25 ?
Kolik členů by měla aritmetická posloupnost (viz výchozí text) pro diferenci d = 0,25 ? A) 4.2 140 A) 140by měla aritmetická posloupnost (viz výchozí text) pro diferenci d = 0,25 ? B) 141 Kolik členů B) 141 C) A) 147 140 C) 147 diferenci nejsou splněny podmínky v zadání úlohy. D) B) Pro danou 141 D) Pro C) 147 danou diferenci nejsou splněny podmínky v zadání úlohy. D) Pro danou diferenci nejsou splněny podmínky v zadání úlohy. Úloha 5 k n 2 4n Úloha 5 Pro kterou hodnotu k R je lim 2? nof k 2 2n nn214 Pro kterou hodnotu k R je lim 2? nof 2n 1 2 A) 0 A) 0 B) 2 A) 2 0 B) C) 4 B) 4 2 C) D) 8 8 C) 4 D)
D) 8 Úloha 6
1 Úloha Která z6uvedených řad nemá součet ? 21 Která z uvedených 1 1 1 řad 1nemá součet 2 ? A) ..... 41 81 16 1 32 1 A) ..... 24 28 216 232 .... B) 3 2 9 27 2 2 81 2 2 4 8 .... B) C) 13 9 27 81 .... 3 9 2 4 27 8 C) 13 3 3 3.... 3 9 27 ... D) 4 3 83 16 3 32 3 ... D) 4 8 16 32
19
21
6. Planimetrie 6. Planimetrie 6. Planimetrie
Úloha 1 Úloha 1 má délku o 10 cm Vypočtěte obsah kruhu, Kružnice o 10 cmvětší, větší,než nežjejeobvod obvodpravidelného pravidelnéhošestiúhelníku šestiúhelníkudo donínívepsaného. vepsaného. Vypočtěte Kružnice má délku o 10 cm větší, než je obvod pravidelného šestiúhelníku do ní vepsaného. Vypočtěte jehož hranici tvoří tato kružnice. obsah kruhu, jehož hranici tvoří tato kružnice. obsah kruhu, jehož hranici tvoří tato 3,14. Poznámka: Počítejte s hodnotou π kružnice. Poznámka: Počítejte s hodnotou π 3,14. Řešení: 44 005 cm 005 cm22 Řešení: 4 005 cm2 Úloha 2 Úloha Je dána2přímka p, kružnice k S ; r a bod O ( O p k ). Na kružnici k určete bod K a na přímce p bod P ( P z K ) Je dána přímka p, kružnice k S ; r aKP bod tak, aby bod O byl středem úsečky . O ( O p k ). Na kružnici k určete bod K a na přímce p bod P ( P z K ) tak, aby bod O byl středem úsečky KP. Řešení: Řešení: Náčrtek: Náčrtek: Rozbor: Rozbor: K je obrazem P ve středové souměrnosti S 0 se středem v O k K je obrazem P ve středové souměrnosti S 0 se středem v O Zápis konstrukce: k Zápis p´ 1. pƍ; pkonstrukce: ƍ = S 0 p S p´ 1. Kp;ƍ; Kpƍ=k S0 ppc 2. S K1 k pc ; KKO 2. Kl 3. K1 K 3. l KO 4. P; P p l KO p K O 4. P ; P p l KO p Diskuse: O P Diskuse: a) k p c … nemá řešení P P1 a) ppcc ^ b) kk K `… … nemá jedno řešení řešení P1 b) ppcc ^^KK,`K… jedno řešení kk 1` … dvě řešení c) c) k pc ^K , K 1` … dvě řešení Úloha 3 Úloha 3 vnitřních úhlů šestiúhelníku tvoří aritmetickou posloupnost. Nejmenší úhel má velikost 70º. Určete Velikosti Velikosti vnitřních úhlů šestiúhelníku Úloha 3 zbývajících velikosti vnitřních úhlů. tvoří aritmetickou posloupnost. Nejmenší úhel má velikost 70º. Určete velikosti zbývajících vnitřních úhlů. Velikosti vnitřních úhlů šestiúhelníku tvoří aritmetickou posloupnost. Nejmenší úhel má velikost 70º. Určete velikosti zbývajících vnitřních úhlů. Řešení: 90º, 110º, 130º, 150º, 170º Řešení: 90º, 110º, 130º, 150º, 170º Řešení: 90º, 110º, 130º, 150º, 170º
21 21
22
Úloha Úloha44 V Úloha 4 UUjsou Vrovině rovině jsouumístěny umístěnydva dvarůzné různébody bodyPPa aQQ. . VVlevém rovinyUU. . levémsloupci sloupcijsou jsouzapsány zapsányčtyři čtyřirůzné různémnožiny množinybodů bodůXXroviny Ke Kekaždé každémnožině množinězapsané zapsanév v4.1 4.1ažaž4.4 4.4přiřaďte přiřaďtejeden jedenzezešesti šestiobrázků obrázkůAAažažF,F,v vněmž němžjejepříslušná příslušnámnožina množina zobrazena. zobrazena. obr. obr. obr.BB obr.AA o úsečky PQ . Přímka Osa ^X^XUU; ; PXQ q`q` 4.1 Přímkappkolmá kolmák kúsečce úsečce Osa o úsečky PQ. PXQ 90 90 4.1 PQ procházející .. PQ procházejícíbodem bodemQQ oo pp 4.2 4.2
^X^XUU; ;XPXPXQXQ 22PQPQ``
4.3 4.3
^X^XUU; PX; PX QXQX
4.4 4.4
^X^XUU; ;XPXPXQXQ
22
22
2
``
2 PQ PQ
QQ
PP
QQ
PP
obr. obr. obr.DD obr.CC Kružnice Kružnice k s průměrem PQ .. Kružnice k s průměrem PQ Kružnicek ks sprůměrem průměremPQ PQ P a Q . kromě bodů kromě bodů P a Q.
kk
PQ PQ` `
PP
SS
kk QQ
PP
SS
QQ
obr. obr.EE .. Polopřímka QP Polopřímkaopačná opačnák kpolopřímce polopřímceQP
PP
QQ
obr. obr.FF Elipsa Elipsas sohnisky ohniskyP,P,QQa ahlavní hlavní PQ . poloosou délky poloosou délky PQ .
PP
SS
QQ
Řešení: – C,4.2–F, 4.2 – F,4.3–B, 4.3 – 4.4–E B,4.4–E 4.4 – E 4.1–C, Řešení:4.1 4.1–C, 4.2–F, 4.3–B,
2222
23
7. Stereometrie
7.
Stereometrie
Úloha 1 V krychli ABCDEFGH , kde AB 6 cm, je bod P vnitřním bodem hrany HG, bod Q vnitřním bodem hrany EH a bod R vnitřním bodem hrany BF. Sestrojte řez krychle rovinou PQR. Řešení:
Q
H
P
G
X E
D A
T
F
R
C
B
6. Planimetrie Úloha 2 2 Úloha Pro odstraňování ropnýchhavárií haváriína naotevřeném otevřenémmoři mořise sepoužívají používajíspeciální speciálníhmoty, hmoty,které kteréjsou jsouschopny schopny svým Pro odstraňování ropných svým velkým Úloha 1 2 2 povrchu takové hmoty je schopen absorbovat ažropy. velkým povrchem absorbovat ropu z mořské hladiny. 1 cm povrchem absorbovat ropu z mořské hladiny. 1 cm povrchu takové hmoty je schopen absorbovat až 20 g Kružnice má délku o 10 cm větší, než je obvod pravidelného šestiúhelníku do ní vepsaného. Vypočtěte 20 g ropy. Z krychle výchozí suroviny o hraně 1 m byla technologickým způsobem bez materiálových ztrát Z krychle výchozí suroviny o hraně 1 m byla technologickým způsobem bez materiálových ztrát vyrobena směs obsah kruhu, jehož hranici tvoří tato kružnice. vyrobena směs kuliček o středním průměru 2 mm. Kuliček, které lze připravit za uvedených podmínek, je Poznámka: Počítejte s hodnotou π 3,14. přibližně: 3,14. které lze připravit za uvedených podmínek, je přibližně: Poznámka: Počítejte s hodnotou π Kuliček, kuliček o středním 2 mm. Řešení: 4 005 cm2 průměru A) 240 tisíc A) 240 tisíc B) 24 milionů B) Úloha 224 milionů C) 120 milionů 120 milionů C) Je dána přímka p, kružnice k S ; r a bod O ( O p k ). Na kružnici k určete bod K a na přímce p bod P ( P z K ) D) 240 milionů D) 240 milionů tak, aby bod O byl středem úsečky KP. Úloha 3 Řešení: Určete 3počet tělesových úhlopříček v konvexním pětibokém kolmém hranolu. Úloha Náčrtek: Určete počet tělesových úhlopříček v konvexním pětibokém kolmém hranolu. Rozbor: Řešení: 10 10 P ve středové souměrnosti S 0 se středem v O KŘešení: je obrazem k Zápis konstrukce: Úloha 4 p´ 1. ƍ; pƍ pravidelný = S 0 p šestiboký hranol ABCDEFA´B´C´D´E´F´ a dvojice rovin: Jepdán S Úloha 4 k pc a) ABC, D´E´F´ b) ABB´, CC´F´ c) BDD´, A´AE d) A´F´F, EDD´ 2. ; K JeKdán pravidelný šestiboký hranol ABCDEFA´B´C´D´E´F´ a dvojice rovin: K1 e) ACF´, A´B´D 3. l KOD´E´F´ a) ABC, b) ABB´, CC´F´ c) BDD´, A´AE d) A´F´F, EDD´ e) ACF´, A´B´D K Určete 4. P; P počet p ldvojic KO rovin, které NEJSOU rovnoběžné. p O A) právě jedna Určete počet dvojic rovin, které NEJSOU rovnoběžné. Diskuse: B) právě dvě P a) k p c … nemá řešení A) jedna C) právě právě tři P1 c ^Ktři` … jedno řešení b) k pnež B) dvě D) právě více C) právě třipc ^K , K 1` … dvě řešení c) k D) více než tři Úloha 5 6. Planimetrie V kotli 3 tvaru polokoule o vnitřním průměru 86 cm je hladina vody 5 cm pod okrajem kotle. Kolik litrů vody je Úloha v kotli? vnitřních úhlů šestiúhelníku tvoří aritmetickou posloupnost. Nejmenší úhel má velikost 70º. Určete Velikosti 5 zbývajících Úloha 1 Poznámka: Počítejtevnitřních s hodnotou π 3,14. velikosti úhlů. V kotli tvaru polokoule o vnitřním cm je hladina vody 5 cmdo pod okrajem kotle. Kolik litrů vody je Kružnice má délku o 10 cm větší, nežprůměru je obvod86 pravidelného šestiúhelníku ní vepsaného. Vypočtěte v kotli?kruhu, obsah jehož130º, hranici tvoří tato kružnice. Řešení: 90º, 110º, 150º, 170º Poznámka: Počítejte s hodnotou π 3,14. 23
l 2 Řešení: 4137,5 005 cm Úloha 2
24 Je dána přímka p, kružnice k S ; r a bod O ( O p k ). Na kružnici k určete bod K a na přímce p bod P ( P z K ) tak, aby bod O byl středem úsečky KP.
8. Analytická geometrie 8. Analytická geometrie 8. Analytická geometrie Úloha 1 8. Analytická geometrie
V rovnoběžníku ABCD je dán střed souměrnosti S>2; 0@ a vektory AB 5; 1 a AD 1; 3 . 8. Analytická geometrie Úloha 1 Úlohaz 1uvedených bodů je vrcholem daného rovnoběžníku? Který V rovnoběžníku ABCD je dán střed souměrnosti S>2; 0@ a vektory AB 5; 1 a AD 1; 3 . A) V rovnoběžníku Úloha 1 A> 3; 1@ABCD je dán střed souměrnosti S>2; 0@ a vektory AB 5; 1 a AD 1; 3 . Který z uvedených bodů je vrcholem daného rovnoběžníku? B)rovnoběžníku B>5; 1@ ABCD Který z uvedených bodůjejedán vrcholem daného rovnoběžníku? V střed souměrnosti S>2; 0@ a vektory AB 5; 1 a AD 1; 3 . A) A> 3; 1@ > @ A) A 3 ; 1 @ C ) C 5 ; 1 Který z uvedených bodů je vrcholem daného rovnoběžníku? B) B>5; 1@ B) B D) D>5; 1; 1@ A) C) CA>5;31@; 1@ >5; 1@ C C B)) B D) D>>5; 1; 11@@ Úloha 2C D)) D>5;11;@1@ C Množina > 1; 1@ c , kolmých k vektorům a = (–1; 1; 2) a b = (–2; 0; 5) je pro t R \ ^0` : D) Úloha 2Dvektorů Úloha 2 A) (–5t; t; 2t) Množina vektorů c , kolmých k vektorům a = (–1; 1; 2) a b = (–2; 0; 5) je pro t R \ ^0` : t; –t; 2t)c , kolmých k vektorům a = (–1; 1; 2) a b = (–2; 0; 5) je pro t R \ ^0` : B) Množina vektorů Úloha 2(–5 A) (–5t;tt;;t2; 2 C) (5 t)tt)) A) (–5t;(–5 t;vektorů 2t) A) t ; t ; 2 Množina c , kolmých k vektorům a = (–1; 1; 2) a b = (–2; 0; 5) je pro t R \ ^0` : t;; –t;t;52 B) D) (–5t;(–5 (–2 t)tt)) B) –t;tt2t) ; –t; 2 B) (–5 A) (–5t;tt;;t2; 2 C) (5 t)t) C) (5t; t;(52t) C) t;tt;;–t2;t;5 t)2 B) (–5 D) (–2 t)t) Úloha D) t; 5t) D) (–2t;3(–2 t; t; 5t) C) t; t; střed 2t) v bodě S >3; –4@ a prochází počátkem soustavy souřadnic. Jaké je její analytické vyjádření? Kružnice(5má D) Úloha 3(–2t; t; 5t) Úloha 3 Kružnice v bodě S >3; –4@ a prochází počátkem soustavy souřadnic. Jaké je její analytické vyjádření? 2 střed Úloha 3 xmá y 2 6vxbodě 8 y S 0>3; –4@ a prochází počátkem soustavy souřadnic. Jaké je její analytické vyjádření? Řešení: Kružnice mástřed Úloha 3 Kružnice má střed v bodě S [ 3; –4] a prochází počátkem soustavy souřadnic. Jaké je její analytické vyjádření? 2 střed Kružnice y 2 6vxbodě 8 y S 0>3; –4@ a prochází počátkem soustavy souřadnic. Jaké je její analytické vyjádření? Řešení: xmá Úloha 4 x 2 y 2 6 x 8 y 0 Řešení: Řídící přímka paraboly má rovnici x = 2. Ohniskem paraboly je bod F [–4; 2]. Jaká je vrcholová rovnice dané 2 2 Řešení: Úloha 4 x y 6 x 8 y 0 paraboly? Úloha 4 Řídící přímka má rovnici x = 2. Ohniskem paraboly je bod F [–4; 2]. Jaká je vrcholová rovnice dané y paraboly x rovnici Řešení: 2 2 12má 1 Řídící přímka paraboly x = 2. Ohniskem paraboly je bod F [–4; 2]. Jaká je vrcholová rovnice dané Úloha 4 paraboly? paraboly? Řídící přímka paraboly 2. Ohniskem paraboly je Fbod 2].jeJaká je vrcholová přímka paraboly je bod [–4; F[–4; 2]. Jaká vrcholová rovnicerovnice dané dané y paraboly má x =x 2.= Ohniskem Řešení: 2 2 12má x rovnici 1rovnici Řešení: y 2 2 12 x 1 paraboly?
Řešení:
y 2 2
12 x 1
25 25 25 25
25
9. pravděpodobnost, statistika 9. Kombinatorika, Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 9. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Úloha Úloha 1 1 Řešte Řešte rovnici: rovnici:
1· §§ xx ·· §§ xx ¨¨ ¸¸ ¨¨ 1·¸¸ xx 22 ¨© 2 ¸ ¨ 2 ¸ © 2 ¹¹ ©© 2 ¹¹
Řešení: rovnice nemá řešení. Řešení: rovnice Řešení: rovnice nemá nemá řešení řešení Úloha 2 Úloha Úloha 2 2 Do finále žákovské němž se probojovala 4 turnaje vvv žákovské kopané,vvv němž utkákaždé každédružstvo družstvoss každým, s každým, probojovala 4 družstva. Každé Do finále turnaje turnaje žákovské kopané, kopané, němž se seseutká utká každé družstvo každým, sese probojovala 4 družstva. družstva. Každé utkání bude trvat dvakrát 45 minut a mezi každým poločasem a každým zápasem je desetiminutová utkání utkání bude trvat 45 minut a mezi každým poločasem a každým zápasem je desetiminutová přestávka. Každé budedvakrát trvat dvakrát 45 minut a mezi každým poločasem a každým zápasem je desetiminutová přestávka. Jaká cena, kterou zaplatí pronájem hřiště, jestliže každou Jaká je minimální cena, kterou organizátor zaplatí za pronájem jestliže za každou započatou přestávka. Jaká je je minimální minimální cena, kterou organizátor organizátor zaplatí za za hřiště, pronájem hřiště, jestliže za za každou hodinu zaplatí započatou 200 Kč? hodinu započatou hodinu zaplatí zaplatí 200 200 Kč? Kč?
Řešení: 2 200 Kč Řešení: 2 Řešení: 2 200 200 Kč Kč Úloha 3 Úloha Úloha 3 3 karet je očíslovánpřirozenými přirozenýmičísly číslyod 1 do Karty zamícháme a jednu z nich náhodně vytáhneme. Soubor 1 24. Karty zamícháme aa jednu zz nich náhodně vytáhneme. Soubor karet karet jejeočíslován očíslován přirozenými čísly odod 1 do do 24.24. Karty zamícháme jednu nich náhodně vytáhneme. Určete pravděpodobnost, že číslo karty je dělitelné číslem 4 nebo číslem 6. Určete pravděpodobnost, že číslo karty je dělitelné číslem 4 nebo číslem 6. 1 1 Řešení: Řešení: 3 3 Úloha Úloha 4 4 Úloha 4 Ve A, B, B, C, C, D. D. V tabulce V jsou uvedeny uvedeny počty počty žáků žáků a průměrné Ve škole škole jsou jsou 4 4 třídy třídy druhého druhého ročníku ročníku označené označené písmeny písmeny A, V tabulce tabulce jsou aaznámky průměrné známky vv těchto průměrné známky zz matematiky matematiky těchto třídách. třídách. z matematiky v těchto třídách. Průměrná Průměrná Průměrná známka známka známka zz matematiky matematiky z matematiky A 28 2,51 A 28 2,51 A 28 2,51 B 24 2,12 B 24 2,12 B C 2432 2,12 2,63 C 32 2,63 C D 3230 2,63 2,41 D 30 2,41 D 30 2,41 Vypočtěte průměrnou známku z matematiky Vypočtěte průměrnou známku z matematiky žáka žáka ve ve druhém druhém ročníku ročníku této této školy. školy. Vypočtěte průměrnou známku z matematiky žáka ve druhém ročníku této školy. Řešení: Řešení: 2,44 2,44 Třída Třída Třída
Počet žáků Počet žáků Počet žáků
26 26
26
Úloha 55 Úloha je statistika statistika dopravních dopravních přestupků přestupků ve ve sledovaném sledovaném období. období. VV grafu grafu je (Například deseti řidičům bylo v tomto období odebráno po bodech za za jeden jeden přestupek.) přestupek.) (Například deseti řidičům bylo v tomto období odebráno po 55 bodech Dopravní pĜestupky 17 15
14 poþet pĜestupkĤ
12 10 8
7 5
1
2
3
4
5
6
7
8
4
9
3
10
2
11
3
12
poþet odebraných bodĤ za jeden pĜestupek
5.1 Určete průměrný počet bodů odebraných jeden přestupek. 5.1 Určete průměrný počet bodů odebraných za za jeden přestupek. 5.2 Kolikrát počet odebraných bodů překročil bodů průměrnou hodnotu? 5.2 V kolika přestupcích počet odebraných překročil průměrnou hodnotu? 5.3 Určete modus. 5.3 Určete modus. 5.4 Určete medián. 5.4 Určete medián. 5.5 Vypočtěte směrodatnou odchylku 5.5 Vypočtěte směrodatnou odchylku Řešení: 5.1 4,52 bodu; 5.2 ve 42 případech; 5.3 2 body; 5.4 4 body; 5.5 2,94 bodu; Řešení: 5.1 4,52 bodu; 5.2 ve 42 případech; 5.3 2 body; 5.4 4 body; 5.5 2,94 bodu;
27
27
28
KATALOG NAJDETE KE STAŽENÍ NA STRÁNKÁCH: www.cermat.cz www.m2010.cz
Katalog požadavků zkoušek společné části maturitní zkoušky
ZKUŠEBNÍ PŘEDMĚT: MATEMATIKA VYŠŠÍ ÚROVEŇ OBTÍŽNOSTI Platnost: od školního roku 2009/2010 Zpracoval: Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání Schváleno: MŠMT dne 11. 3. 2008 pod č. j. 3243/2008-2/CERMAT Vydáno: březen 2008
