Kata kunci : algoritma harmony search, resource-constrained project scheduling, penjadwalan

Penerapan Algoritma Harmony Search pada Resource-Constrained Project Scheduling Problem (RCPSP) Rizky Imansyah Putra 1) dan Purwanto 2) Jurusan Matematika Universitas Negeri Malang Email: [email protected]

ABSTRAK : Resource-Constrained Project Scheduling (RCPSP) adalah perluasan dari project scheduling. Resource-Constrained Project Scheduling berkembang untuk memperhitungkan durasi penjadwalan pengerjaan proyek dengan kendala sumberdaya yang terbatas sehingga bisa ditentukan durasi pengerjaan proyek yang minimum tanpa melebihi sumberdaya yang tersedia. Algoritma Harmony Search pada RCPSP memiliki tujuh langkah, yaitu inisialisasi masalah, memasukan data RCPSP, inisialisasi parameter Algoritma Harmony Search, inisialisasi harmony memory (HM), membangkitkan vektor solusi baru, meng-update harmony memory (HM), mengecek kriteria pemberhentian. Kata kunci : algoritma harmony search, resource-constrained project scheduling, penjadwalan. ABSTRACT : Resource-Constrained Project Scheduling is an expansion of project scheduling problem. Resource-Constrained Project Scheduling developed for search the duration of the project scheduling with resource constraints so that it can be determined that the minimum duration of the construction project without exceeding available resources. Harmony Search Algorithm of RCPSP has seven steps, they are initialization of the optimization problem, enter data of RCPSP, initialization of algorithm parameters, initialization of harmony memory, generate new vector solution, harmony memory update, check the termination criterion. Keywords : harmony search algorithm, resource-constrained project scheduling, scheduling. 1. Pendahuluan

Penjadwalan proyek dengan menggunakan Critical Path Method (CPM) hanya berfokus pada hubungan ketergantungan antar aktivitas dengan asumsi ketersediaan sumberdaya yang tidak terbatas. Namun, dalam kenyataannya dalam pengerjaan suatu proyek sumberdaya yang tersedia sangatlah terbatas guna meminimalisasi pengeluaran sehingga manajer proyek sering sulit untuk melakukan penjadwalan proyek. Maka akan ditemukan suatu masalah penjadwalan kegiatan-kegiatan dengan kendala sumberdaya terbatas atau ResorceConstrained Project Scheduling Problem (RCPSP). Beberapa metode heuristik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan Resource-Constrained Project Scheduling Problem seperti shortest task first, most resource first, minimum slack first (gray-kidd algorithm), dan most successors. Sedangkan metode metaheuristik untuk menyelesaikan RCPSP seperti algoritma genetika, ant colony optimization, dan particle swarm optimization. Beberapa

1) Rizky Imansyah Putra adalah mahasiswa Jurusan Matematika Universitas Negeri Malang 2) Purwanto adalah dosen Jurusan Matematika Universitas Negeri Malang

algoritma metaheuristik GA, ACO, dan PSO telah diuji coba pada kasus RCPSP seperti pada paper yang ditulis oleh Tchomte (2007) dan Goncalves (2004). Oleh karena itu, bahwa penulisan skripsi kali ini akan dicoba metode metaheuristik yang lain yaitu Harmony Search. Pada skripsi ini akan dijelaskan langkah-langkah pengerjaan Algoritma Harmony Search dengan proses manual dan hasilnya akan dibandingkan dengan hasil dari Algoritma CPM. Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah mengidentifikasi bagaimana penyelesaian RCPSP menggunakan Algoritma Harmony Search dengan proses manual dan bagaimana solusi yang diperoleh dari perhitungan menggunakan Algoritma Harmony Search dibandingkan dengan Algoritma CPM. 2. Masalah RCPSP Resource-Constrained Preoject Scheduling Problem atau RCPSP adalah masalah penjadwalan aktivitas-aktivitas pada proyek harus memenuhi precedence constraints dan resource constraints. Yang dimaksud dengan precedence constraints adalah dimana aktivitas pendahulu harus sudah selesai dijadwalkan sebelum kegiatan lain dijadwalkan. Sedangkan resource constraints adalah suatu kendala dimana sumberdaya yang diperlukan oleh setiap aktivitas tidak boleh melebihi sumberdaya yang tersedia. Berikut ini adalah formulasi matematika dari RCPSP dengan fungsi tujuan untuk meminimasi durasi proyek (Setiawan;2010): min⁡ {max 𝑓𝑖 |𝑖 = 1,2, … , 𝑁} ………………. (1) subject to : 𝑓𝑖 − 𝑓𝑗 ≥ 𝑑𝑖 ……………………(2) ∀𝑗 ∈ 𝑃𝑖 : 𝑖 = 1,2, … , 𝑁 𝐴𝑡 𝑟𝑖𝑘 ≤ 𝑅𝑘 …………………….(3) 𝑘 = 1,2, … , 𝐾; 𝑡 = 𝑠1 , 𝑠2 , … , 𝑠𝑁 Dimana: 𝑁= jumlah aktivitas yang terdapat pada proyek 𝑓𝑖 = waktu penyelesaian aktivitas 𝑖 (𝑖 = 1,2, … , 𝑁) 𝑑𝑖 = durasi aktivitas 𝑖 𝑃𝑖 = predecessor aktivitas 𝑖 𝑅𝑘 = jumlah sumberdaya tipe 𝑘 yang tersedia (𝑘 = 1,2, … , 𝐾) 𝐾= jumlah tipe sumberdaya 𝑟𝑖𝑘 = jumlah sumberdaya tipe 𝑘 yang diperlukan oleh aktivitas 𝑖 𝐴𝑡 = sekelompok aktivitas yang berjalan pada waktu ke-𝑡 𝑠𝑖 = 𝑓𝑖 − 𝑑𝑖 𝑠𝑖 = waktu mulai aktivitas 𝑖 Persamaan (1) merepresentasikan fungsi tujuan dari RCPSP. Persamaan (2) merepresentasikan precedence constraints. Persamaan (3) merepresentasikan resource constraints. Untuk pembahasan kali ini, akan dibahas RCPSP dengan kebutuhan suatu himpunan sumberdaya diasumsikan tetap. Atau lebih dikenal dengan Single-Mode Resource-Constrained Project Scheduling Problem (SMPRCPSP). Berikut ini adalah contoh visualisasi dari RCPSP:

Gambar 1 ilustrasi RCPSP Apabila pada kasus Gambar 1 jumlah sumberdaya yang tersedia sebanyak 5 unit, maka Gambar 2 merupakan salah satu bentuk pemjadwalan

Gambar 2 Visualisasi Bentuk Jadwal 3. Algoritma Harmony Search

Berikut ini adalah langkah-langkah dari algoritma Harmony Search secara umum menurut konsep di atas (Hadwan;2013): 1. Inisialisasi optimalisasi masalah dan parameter algoritma. 2. Inisialisasi harmony memory. 3. Membangkitkan vektor solusi yang baru. 4. Meng-update harmony memory. 5. Ulangi langkah 3 dan 4 hingga kriteria pemberhentian. Penjelasan untuk langkah-langkah Algoritma Harmony Search secara umum adalah: 1) Inisialisasi Parameter Algoritma Harmony Search Pada langkah pertama, optimalisasi masalah ditetapkan berdasarkan fungsi tujuan dan parameter algoritma diinisialisasi sebagai berikut:  HMS (Harmony Memory Size) adalah banyak solusi yang disimpan pada HM (Harmony Memory). HMS hampir sama seperti banyak populasi pada Algoritma Genetika.  HMCR (Harmony Memory Considering Rate) digunakan selama proses improvisasi untuk menentukan apakah variable dari solusi tersebut dapat mengambil semua nilai tersebut pada HM. HMCR memilih suatu nilai antara [0,1].



PAR (Pitch Adjusting Rate) juga digunakan selama proses improvisasi untuk menentukan apakah variable dari solusi tersebut harus diganti ke suatu nilai tetangga. PAR memilih suatu nilai antara [0,1].

2) Membangun Harmony Memory Pada langkah kedua, suatu himpunan inisial solusi dari ukuran HMS dibangkitkan untuk membangun HM. HM digambarkan sebagai suatu matriks 2 dimensi. Baris menunjukan suatu himpunan solusi atau disebut vektor solusi 𝑋 𝑖 , sedangkan kolom menunjukan variabel keputusan untuk tiap solusi. Setiap solusi 𝑋 𝑖 dapat dilihat sebagai salah satu susunan urutan. Berikut ini adalah contoh matriks harmony memory :

 x11  2  x1 HM   ...  HMS 1  x1  x HMS  1

x12

...

x22

...

...

...

x2HMS 1 ... x2HMS ...

x1N   xN2  ...   xNHMS 1  xNHMS 

Gambar 4 Matriks Harmony Memory 3) Improvisasi Harmony Baru Pada langkah ini, suatu vektor baru 𝑋 ′ = (𝑥1′ , 𝑥2′ , … , 𝑥𝑁′ ) dibangkitkan berdasarkan pada tiga aturan, yaitu: (i) mempertimbangkan memory, (ii) pencocokan nada, dan (iii) pemilihan acak. Membangkitkan suatu harmony baru disebut improvisasi. Dalam mempertimbangkan memory, nilai dari pemilihan pertama 𝑥1′ untuk vektor baru dipilih berdasarkan nilai yang tersedia pada HM dari himpunan 𝑥11 , 𝑥12 , … , 𝑥1𝐻𝑀𝑆 , dengan kemungkinan HMCR ∈ [0,1]. Nilai keputusan dari 𝑥2′ , 𝑥3′ , … , 𝑥𝑁′ dipilih dengan cara yang sama. Jika nilai acak yang terpilih dengan kemungkinan 1 − 𝐻𝑀𝐶𝑅, maka nilai vektor solusi dipilih dari range yang mungkin dari nilai tersebut. 𝑥𝑖′

𝑥𝑖 ∈ 𝑥𝑖1 , 𝑥𝑖2 , … , 𝑥𝑖𝐻𝑀𝑆 dengan kemungkinan HMCR 𝑥𝑖 ∈ 𝑋𝑖 dengan kemungkinan (1 − HMCR)

Setiap komponen berdasarkan dari pertimbangan memory diuji untuk menentukan apakan dapat dijadikan pencocokan nada. Langkah ini menggunakan parameter PAR, dengan pemilihan sebagai berikut 𝑥𝑖′ + 𝑟𝑎𝑛𝑑 −1,1 ∗ 𝑏𝑤 dengan kemungkinan PAR 𝑥𝑖′ dengan kemungkinan (1 − PAR) Dimana 𝑏𝑤 (bandwidth) adalah suatu nilai sebarang. 𝑥𝑖′

4) Meng-update Harmony Memory Apabila nilai vektor solusi yang baru lebih baik daripada nilai vektor solusi terjelek pada harmony memory dilihat dari sudut pandang nilai fungsi tujuan, maka vektor terjelek akan dikeluarkan dan digantikan oleh vektor solusi baru. Jika nilai vektor solusi yang baru lebih buruk dari pada nilai vektor solusi terjelek, maka tidak akan terjadi perubahan pada harmony memory. 5) Mengecek kriteria pemberhentian Apabila kriteria pemberhentian telah tercapai, maka iterasi dihentikan. Apabila belum tercapai maka ulangi langkah 3 dan 4 hingga kriteria pemberhentian dipenuhi. 4. HASIL DAN PEMBAHASAN

Algoritma Harmony Search pada Penyelesaian Resource-Constrained Project Scheduling Problem Penerapan Algoritma Harmony Search supaya dapat menyelesaikan RCPSP harus melalui beberapa langkah sebagai berikut: 1) Inisialisasi masalah. 2) Memasukan data RCPSP. 3) Inisialisasi parameter Algoritma HS. 4) Inisialisasi harmony memory. 5) Membangkitkan vektor solusi baru. 6) Meng-update harmony memory. 7) Mengecek kriteria pemberhentian. Berikut penjelasan dari langkah-langkah tersebut (Setiawan;2010): 1) Inisialisasi Masalah Pada tahap ini diperkenalkan masalah yang akan diselesaikan, masalah dalam skripsi kali ini adalah RCPSP dengan fungsi tujuan meminimasi durasi proyek (Csebfalvi;2009) 𝐦𝐢𝐧 𝑓 𝑥 𝑥 = {𝑥𝑖 ≤ 𝑥𝑖 ≤ 𝑥𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑁 }} Jika dianalogikan pada musik, 𝑥 adalah melodi yang nilai keindahannya ditunjukan oleh 𝑓(𝑥). Dengan kata lain, semakin rendah nilai 𝑓(𝑥), semakin tinggi kualitas melodi tersebut. Pada band, jumlah musisi ditunjukan oleh 𝑁 sedangkan dalam RCPSP menunjukan banyaknya kegiatan dalam proyek tersebut, dan musisi 𝑖 bertanggung jawab untuk bunyi 𝑥𝑖 . Misal 𝑥𝑖 , 𝑥𝑖 ≤ 𝑥𝑖 ≤ 𝑥𝑖 menyatakan waktu mulai pengerjaan aktivitas 𝑖. 𝑥𝑖 (𝑥𝑖 ) menyatakan waktu paling cepat (lambat) suatu aktivitas 𝑖 dapat dimulai pengerjaannya. 2) Memasukan Data RCPSP Untuk memodelkan RCPSP, dimisalkan sebagai berikut: Suatu proyek terdiri dari 𝑁 aktivitas 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑁} dengan durasi tiap aktivitas 𝐷𝑖 . Selanjutnya, aktivitas 𝑖 = 0 (𝑖 = 𝑁 + 1) didefinisikan menjadi aktivitas dummy dengan tidak memerlukan sumberdaya dan lama durasi 0. Aktivitas-

aktivitas tersebut berhubungan dengan precedence dan resource constraints. Misal 𝐼𝑃𝑆 = 𝑖 → 𝑗|𝑖 ≠ 𝑗, 𝑖 ∈ 0,1, … , 𝑁 , 𝑗 ∈ 1,2, … , 𝑁 + 1 merupakan himpunan hubungan kegiatan sebelum dan sesudah.Pada proses pengerjaan, aktivitas 𝑖 membutuhkan 𝑅𝑖𝑟 unit sumberdaya tipe 𝑟 ∈ {1,2, … , 𝑅} selama durasi pengerjaan. Karena sumberdaya 𝑟 hanya tersedia 𝑅𝑟 unit pada suatu periode pengerjaan. 3) Inisialisasi Parameter Algoritma HS Algoritma Harmony Search (HS) telah dikembangkan oleh Lee dan Geem (2004) pada suatu analogi dengan proses improvisasi musik dimana para pemain alat music mengiprovisasi nada dari masing-masing alat musik yang mereka kuasai sehinggga mendapatkan harmoni yang baik. Harmoni-harmoni tersebut kemudian disimpan ke dalam harmony memory (HM) supaya dapat dibandingkan dan dicari harmoni yang lebih baik. Banyak HM disebut sebagai harmony memory size (HMS). Agar harmony memory dapat digunakan secara efektif, Algoritma HS mengadopsi suatu parameter harmony memory considering rate (HMCR). Seperti yang telah dibahas pada Bab II, jika rate ini terlalu rendah, maka hanya sedikit harmoni elit yang terpilih dan dapat menyebabkan proses konvergensi terlalu lambat. Jika rate terlalu besar, maka akan menyebabkan nada-nada pada HM banyak terpakai dan tidak sempat mengeksplorasi nada lain, sehingga sulit mencapai solusi yang bagus. Oleh karena itu, menurut Setiawan (2010) biasanya digunakan HMCR = 0.7 − 0.95. Parameter berikutnya adalah bandwidth (bw). Bandwidth ini berguna untuk mengubah frekuensi nada, berikut adalah formulasi penyesuaian nada: 𝑥𝑛𝑒𝑤 = 𝑥𝑜𝑙𝑑 + 𝑏𝑤 ∗ 𝜀 Keterangan: 𝑥𝑛𝑒𝑤 = variabel keputusan yang baru 𝑥𝑜𝑙𝑑 = variabel keputusan yang lama 𝑏𝑤 = bandwidth 𝜀 = nilai random antara [-1,1] Parameter yang berhubungan dengan bw adalah PAR. Untuk PAR yang bernilai rendah bw yang sempit dapat menyebabkan proses konvergensi lambat dikarenakan keterbatasan eksplorasi pada ruang pencarian yang besar. Sebaliknya, jika PAR yang tinggi dan bw yang lebar dapat menyebabkan solusi-solusi yang ada terlalu menyebar dari potensi maksimal. Sehingga, biasanya digunakan PAR = 0.1 − 0.5. 4) Inisialisasi Harmony Memory Pada bagian ini dibangkitkan vektor solusi secara random. Vektor solusi pada Algoritma HS merepresentasikan nilai prioritas aktivitas proyek. Kemudian pada setiap iterasi dilakukan pembaruan sesuai dengan mekanisme Algoritma HS. Vektor solusi dituliskan sebagai berikut 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 𝑋𝑖 = [𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑁−1 𝑥𝑁 ].

Keterangan: 𝑋𝑖 =vektor solusi 𝑖=indeks vektor solusi 𝑥𝑁𝑖 =nilai prioritas aktivitas 𝑁=banyak aktivitas Vektor solusi dibangkitkan sebanyak HMS. Bila vektor solusi telah dibangkitkan maka akan terbentuk matriks harmony memory seperti pada penjelasan sebelumnya. 5) Membangkitkan Vektor Solusi yang Baru Membangkitkan vektor solusi yang baru dilakukan melalui 3 cara, yaitu:  Apabila bilangan random 𝑟1 yang dibangkitkan lebih besar dari HMCR maka akan dibangkitkan variabel keputusan yang baru secara random 𝑉𝐾𝐵 𝑖 = 𝑟𝑎𝑛𝑑[𝐵𝐵 𝑖 , 𝐵𝐴 𝑖 ] Dengan 𝑉𝐾𝐵(𝑖) = variabel keputusan baru 𝐵𝐵(𝑖) = irisan batas bawah variabel keputusan 𝑖 𝐵𝐴(𝑖) = irisan batas atas variabel keputusan 𝑖  Apabila bilangan random 𝑟1 yang dibangkitkan lebih kecil dari HMCR dan pembangkitan bilangan random 𝑟2 lebih besar dari PAR, maka variabel keputusan 𝑖 akan diambil dari HM. 𝐷1 = 𝑖𝑛𝑡 1 + 𝐻𝑀𝑆 − 1 𝑟𝑎𝑛𝑑 𝐷2 = 𝐻𝑀 𝐷1, 𝑖 𝑉𝐾𝐵 𝑖 = 𝐷2 Dengan 𝐷1 = nilai yang menyatakan pemilihan lokasi pada HM secara random dan 𝑖𝑛𝑡 adalah bilangan bulat. 𝐷2 = nilai variabel keputusan yang diambil dari HM.  Apabila bilangan random 𝑟1 yang dibangkitkan lebih kecil dari HMCR dan pembangkitan bilangan random 𝑟2 lebih kecil dari PAR, maka variabel keputusan 𝑖 akan diambil dari HM. 𝐷3 = 𝐷2 + 𝑏𝑤 ∗ 𝜀 𝑉𝐾𝐵 𝑖 = 𝐷3 Dengan 𝐷3 = nilai variabel keputusan setelah dilakukan penyesuaian. 𝑏𝑤 = bandwidth 𝜀 = bilangan random dengan interval [−1,1] Kemudian dilakuakn pengecekan batas dari variabel keputusan. Apabila 𝐷3 < 𝐵𝐵, maka 𝐷3 = 𝐵𝐵. Apabila 𝐷3 > 𝐵𝐴, maka 𝐷3 = 𝐵𝐴. Ketiga cara tersebut dilakukan mulai 𝑖 = 1 hingga 𝑁. 6) Meng-update Harmony Memory Langkah-langkah pemilihan HM sebagai berikut:  Melakukan proses penjadwalan untuk vektor solusi baru yang telah dibentuk pada langkah 5.  Menghitung durasi proyek dari solusi baru.  Jika vektor solusi baru lebih baik daripada vektor solusi yang terjelek pada HM, maka vektor solusi terjelek akan dikeluarkan dan digantikan oleh vektor solusi yang baru.

7) Mengecek Kriteria Pemberhentian Apabila kriteria pemberhentian telah tercapai maka proses penghitungan selesai, jika belum tercapai maka kembali ke langkah 5. Contoh: Akan dilakukan pengerjakan proyek dengan jumlah sumberdaya dalam

bahasan kali ini diartikan sebagai pekerja yang tersedia sebanyak 5 orang dan aktivitas-aktivitas sebagai berikut: Tabel 1 Daftar Aktivitas Proyek Aktivitas

Durasi

A B C D E F G H

2 3 4 3 5 7 4 3

Sumberdaya (Pekerja) 1 3 2 3 2 3 3 2

Aktivitas Pendahulu 1 1 2 4 3 6 5,7

Dari data yang terdapat pada tabel 1, akan dibuat salah satu model penjadwalan dalam diagram precedence seperti di bawah ini

Gambar 5 Bentuk Penjadwalan 1 Proyek Pada interval [5,7] sumberdaya yang diperlukan melebihi sumberdaya yang tersedia, sehingga proses pengerjaan tidak dapat dilanjutkan. Dengan menggunakan Algoritma CPM yang telah dimodifikasi (Seda;2009) sehingga dapat menyelesaikan masalah RCPSP, diperoleh lama pengerjaan proyek selama 23 hari dan penjadwalan baru dengan diagram precedence sebagai berikut:

Gambar 6 Bentuk Penjadwalan Baru Proyek Akan dicari solusi lain dengan menggunakan Algoritma Harmony Search. Iterasi 1:  Langkah 1 Mencari solusi minimum untuk permasalahan penjadwalan proyek 1 dengan fungsi tujuan 𝐦𝐢𝐧 𝑓 𝑥 𝑥 = {𝑥𝑖 ≤ 𝑥𝑖 ≤ 𝑥𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑁 }}, jumlah pekerja yang tersedia adalah 5 orang selama proses pengerjaan.  Langkah 2 Data Resouce-Constrained Project Scheduling Problem yang dibutuhkan untuk mencari solusi minimum dapat diperoleh dari tabel 1.  Langkah 3 Akan dipilih secara random parameter untuk Algoritma HS dengan menggunakan Ms Excel, diperoleh: HMS dipilih antara [1,3], terpilih HMS = 3 HMCR dipilih antara [0.5,0.93], terpilih HMCR = 0,7 PAR dipilih antara [0.1,0.5], terpilih PAR= 0,3 bw (Bandwidth) = 10 Kriteria pemberhentian dipilih 2 iterasi. Solusi baru dipilih dari durasi pengerjaan proyek terkecil atau terpendek.  Langkah 4 Dibangkitkan vektor solusi sebanyak HMS, dengan vektor solusi pertama mengambil solusi dari Algoritma CPM Dengan vektor solusi pertama 𝑋1 = [0 2 5 5.5 9 9 16 20]. Dibangkitkan vektor solusi kedua 𝑋2 = [0 2.5 2 6 16 9 16.5 21] dengan lama pengerjaan 24 hari. Dibangkitkan vektor solusi ketiga 𝑋3 = [0 2.5 2 6 10 9 16 20] dengan lama pengerjaan 23 hari.  Langkah 5 Mencari vektor solusi baru 𝑋 ′ dari Harmony Memory berikut 0 2 5 5.5 9 9 16 20 𝐻𝑀 = 0 2.5 2 6 16 9 16.5 21 0 2.5 2 6 10 9 16 20

Dicari vektor solusi baru sesuai langkah-langkah Algoritma Harmony Search untuk RCPSP sehingga pada iterasi 1 diperoleh vektor solusi baru 𝑋 ′ = 0 2 2 5 9 9 16 20 dengan durasi pengerjaan proyek selama 23 hari. Dengan bentuk penjadwalan seperti Gambar 7

Gambar 7 Bentuk Penjadwalan Solusi Iterasi 1 Proyek 1  Langkah 6 Solusi ini lebih baik dari vektor solusi 𝑋2 pada HM yang membutuhkan waktu 24 hari, sehingga vektor solusi baru 𝑋 ′ menggantikan vektor solusi 𝑋2 . Jadi Harmony Memory yang baru adalah 𝐻𝑀 =

0 2 5 5.5 9 9 16 20 0 2 2 5 9 9 16 20 0 2.5 2 6 10 9 16 20

 Langkah 7 Karena kriteria pemberhentian belum terpenuhi, maka ulangi langkah 5 dengan HM yang baru. Iterasi 2: Iterasi 2 dilakukan dengan cara mengulangi langkah 5 dengan parameter yang tetap seperti iterasi 1. Diperoleh vektor solusi baru ′ 𝑋 = 0 2 2 5 8 8.7 15 19 yang mempunyai durasi selama 22 hari. Karena kriteria pemberhentian telah terpenuhi, maka iterasi selesai. Sehingga diperoleh solusi pengerjaan proyek dengan waktu selama 22 hari. 5. Analisa

Pada contoh di atas solusi dari Algoritma HS lebih minimum dibandingkan menggunakan CPM. Karena pada Algoritma HS solusi dibangkitkan secara random dari gabungan solusi-solusi pada Harmony Memory yang telah memenuhi syarat dari RCPSP termasuk solusi dari perhitungan dengan CPM, sedangkan pada CPM solusi diperoleh dari penjadwalan proyek biasa yang belum ditentukan batas sumberdaya yang tersedia dan menggunakan dasar earliest start dan lastest finish. Pada Algoritma HS terdapat beberapa iterasi yang telah ditentukan pada kriteria pemberhentian. Untuk contoh di atas ditetapkan dua iterasi sebagai kriteria pemberhentian, pada iterasi pertama diperoleh vektor solusi

dengan lama pengerjaan proyek selama 23 hari, vektor solusi ini menggantikan vektor solusi pada HM karena solusi lebih baik. Solusi inilah yang mengakibatkan Algoritma HS dapat membangkitkan solusi yang lebih minimum pada iterasi kedua. 6. Kesimpulan Untuk menyelesaikan Resouce-Constrained Project Scheduling Problem dengan menggunakan Algoritma Harmony Search harus dilakukan tujuh langkah berikut: inisialisasi masalah, memasukan data RCPSP, inisialisasi parameter Algoritma HS, Inisialisasi harmony memory, membangkitkan vektor solusi baru, Meng-update harmony memory, mengecek criteria pemberhentian. Pada langkah inisialisasi harmony memory vektor solusi dibangkitkan dari solusi dari perhitungan dengan menggunakan CPM dan vektor solusi yang lain dibangkitkan secara random dengan memenuhi syarat RCPSP yaitu precedence constraints dan resource constraints. Vektor-vektor solusi tersebut digabungkan sebanyak 𝑁 kolom dengan 𝑁 adalah banyak aktivitas pada proyek dan baris sebanyak HMS yang berguna untuk langkah berikutnya yaitu membangkitkan vektor solusi baru. Variabel keputusan untuk membangkitkan vector solusi baru ini diperoleh dari iterasi-iterasi hingga memenuhi kriteria pemberhentian. Jika dibandingkan dengan Algoritma Critical Path Method, solusi Algoritma Harmony Search tidak selalu merupakan solusi terbaik, karena pencarian solusi dilakukan secara random, sehingga solusi yang diperoleh sangat beragam. Pencarian solusi RCPSP menggunakan Algoritma HS lebih memerlukan waktu yang lebih lama daripada pencarian soslusi menggunakan Algoritma CPM. Namun, lama waktu yang diperlukan untuk mendapatkan solusi menggunakan Algoritma HS tergantung pada kriteria pemberhentian yang dipilih. 7. Saran Dalam skripsi ini, masih disajikan RCPSP dengan hanya dibatasi satu tipe sumberdaya dan suatu aktivitas tidak dapat dihentikan pada tengah-tengah pengerjaan. Permasalahan suatu proyek pada kenyataannya memiliki keterbatasan sumberdaya yang beragam tipe dan suatu kegiatan dapat dihentikan jika ada suatu kegiatan yang lebih penting diselesaikan terlebih dahulu. Hal ini dapat dijadikan bahan penelitian yang lebih lanjut sehingga solusi yang diperoleh mendekati permasalahan pada dunia proyek sesungguhnya.

Daftar Pustaka Aldous, J.M dan Wilson, R.J. 1990. Graph and Applications, an Introductory Approach. London: Springer-Verlag. Badri, Sofwan. 1987. Dasar-dasar Network Planning. Jakarta : Rineka Cipta. Chakraborty, P., Ghosh, G., Das, S., Jain, D. 2009. An Improve Harmony Search Algorithm with Differential Mutation Operator. Fundamental Informaticae Vol. 95 No. 1-26.(online) (http://academic-work.googlecode.com/). Diakses 2 Februari 2013.

Csebfalvi, Gyorgy. Csebfalvi, Aniko. Szendroi, Etelka. 2008. A Harmony Search Metaheuristic for the Resource-Constrained Project Scheduling Problem and its Multi-mode Version. Dari notice university of pecs PhD student goverment. (Online) (http://www.gphd.ktk.pte.hu/), diakses pada 2 Februari 2013. Goncalves, Jose F., Mendes, Jorge J., Resende, Mauricio. 2004. A Genetic Algorithm for the Resource Constrained Multi-Project Scheduling Problem. AT&T Labs Techinal Report TD-668LM4. Hadwan, M., Ayob, M., Sabar, N.R., Qu, Roug. 2013.A harmony search algorithm for nurse rostering problem. Information Science. (online) (http://www.elsevier.com/locate/ins), diakses 26 Februari 2013. Kolisch, R., dan Sprecher, A. 1996. PSPLIB-A Project Scheduling Problem Library. European Journal of Operational Research. (http://www.omdb.wi.tum.de/psplbi), diakses 26 Februari 2013. Lee, Kang Seok dan Geem, Zong Woo. 2004. A new meta-heuristic algorithm for continuous engineering optimization: harmony search theory dan practice. Dari full-text scientific database offering journal, articles, dan book chapter (online) (http://www.sciencedirect.com/) diakses pada 6 September 2012. Petterson, J.H., Sowinski, R., Talbot, F.B., Weglarz, J. 1989. An algorithm for a general class of precedence and resource constrained scheduling problem. Dari The European digital mathematics library (https://www.eudml.org/doc), diakses 2 Februari 2013. Sastrohadiwiryo, B. Siswanto. 2007. Pengantar Manajemen. Jakarta : Bumi Aksara. Seda, M., Matousek, R., Osmera, P., Pivonka, P., Sandera, C. 2009. A Flexible Heuristic Algorithm for Resource-Constrained Project Scheduling. Dari full-text scientific database offering journal, articles, dan book chapter (online) (http://www.sciencedirect.com/) diakses pada 6 September 2012. Setiawan, Achmad dan Santosa, Budi. 2010. Penerapan Algoritma Harmony Search dalam Penyelesaian Resource-Constrained Project Scheduling Problem. Dari digital repository (online) (http://www.digilib.its.ac.id/), diakses 5 September 2012. Soeharto, Iman. 1990. Manajemen Proyek dari Konseptual sampai Operasional. Jakarta : Erlangga. Stanimirovic, Ivan., Petrkovic, Marko., Stanimirovis, Predrag., dan Ciric, Miroslav. 2009. Heurustic Algorithm For Single Resource Constrained Project Scheduling Problem Based On The Dynamic Programming. Yugoslav Journal of Operation Research Vol. 19, No. 2. (http://core.kmi.open.ac.uk/), diakses 2 Februari 2013. Tchomte, Sylverin K., Gourgand, M., Quilliot, A. 2007. Solving ResourceConstrained Project Scheduling Problem with Partical Swarm Optimization. Regular Papers.