Sbírka příklad˚ u Matematika II pro strukturované studium
Kapitola 9: Aplikace integrál˚ u funkcí jedné proměnné Chcete-li ukonˇ cit prohl´ıˇ zen´ı stisknˇ ete kl´ avesu Esc. Chcete-li pokraˇ covat stisknˇ ete kl´ avesu Enter.
. – p.1/19
Aplikace integrál˚ u funkcí jedné proměnné • Ploˇ sn´ y obsah obrazce • D´ elka rovinn´ e kˇ rivky • Objem rotaˇ cn´ıho tˇ elesa • Fyzik´ aln´ı aplikace Zpˇ et
. – p.2/19
Plošný obsah obrazce • Pˇ r´ıklad 9.1.1 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafem funkce y = sin x, x ∈ 0, π a osou x. • Pˇ r´ıklad 9.1.2 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafem funkce 1 y = x , x ∈ 1, 3 a osou x. • Pˇ r´ıklad 9.1.3 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafem funkce 1 y = x , x ∈ 1, ∞) a osou x. • Pˇ r´ıklad 9.1.4 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafem funkce 1 y = x2 , x ∈ 1, ∞) a osou x. • Pˇ r´ıklad 9.1.5 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafem funkce 3
y = x 2 , x ∈ 0, 4 a osou x. • Pˇ r´ıklad 9.1.6 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafy funkc´ı y = sin |x| a y = (x − 2π)(x + 2π)/10, x ∈ −2π, 2π. • Pˇ r´ıklad 9.1.7 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho pol´ arn´ı osou a jedn´ım z´ avitem Archimedovy spir´ aly dan´ e v pol´ arn´ıch souˇ radnic´ıch rovnic´ı r = ϕ. Zpˇ et
. – p.3/19
Příklad 9.1.1 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafem funkce y = sin x, x ∈ 0, π a osou x. ?
Zpˇ et
. – p.4/19
Příklad 9.1.1 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafem funkce y = sin x, x ∈ 0, π a osou x.
Výsledek: Ploˇ sn´ y obsah je P = 2 . Zpˇ et
. – p.4/19
Příklad 9.1.1 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafem funkce y = sin x, x ∈ 0, π a osou x.
Návod: Pouˇ zijte vztah b |f (x)| dx.
P = a
Zpˇ et
. – p.4/19
Příklad 9.1.1 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafem funkce y = sin x, x ∈ 0, π a osou x.
Řešení: Nakresl´ıme obr´ azek plochy, jej´ıˇ z obsah poˇ c´ıt´ ame (f (x) = sin x): 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Nyn´ı vypoˇ cteme obsah plochy: π |f (x)| dx =
P = 0
π sin x dx = 0
π − cos x = − cos π − (− cos 0) = 2. 0
Zpˇ et
. – p.4/19
Příklad 9.1.1 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafem funkce y = sin x, x ∈ 0, π a osou x.
Maple: V´ ypoˇ cet obsahu plochy a nakreslen´ı plochy. > int(sin(x),x=0..Pi); 2 >
plot(sin(x),x=0..Pi); 1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
Zpˇ et . – p.4/19
Příklad 9.1.1 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafem funkce y = sin x, x ∈ 0, π a osou x.
Mathematica: V´ ypoˇ cet obsahu plochy a nakreslen´ı plochy. P = Integrate[Sin[x], {x, 0, Pi}] 2 Plot[Sin[x], {x, 0, Pi}];
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Zpˇ et
. – p.4/19
Příklad 9.1.2 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafem funkce y = a osou x. ?
1 x,
x ∈ 1, 3 Zpˇ et
. – p.5/19
Příklad 9.1.2 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafem funkce y = a osou x.
1 x,
x ∈ 1, 3
Výsledek: Ploˇ sn´ y obsah je P = ln 3 . Zpˇ et
. – p.5/19
Příklad 9.1.2 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafem funkce y = a osou x.
1 x,
x ∈ 1, 3
Návod: Pouˇ zijte vztah b |f (x)| dx.
P = a
Zpˇ et
. – p.5/19
Příklad 9.1.2 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafem funkce y = a osou x.
1 x,
x ∈ 1, 3
Řešení: Nakresl´ıme obr´ azek plochy, jej´ıˇ z obsah poˇ c´ıt´ ame (f (x) =
1 x ):
1 0.8 0.6 0.4 0.2 1.5
2
2.5
3
Nyn´ı vypoˇ cteme obsah plochy: 3
3 |f (x)| dx =
P = 1
1
1 dx = x
3 ln x = ln 3 − ln 1 = ln 3. 1
Zpˇ et
. – p.5/19
Příklad 9.1.2 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafem funkce y = a osou x.
1 x,
x ∈ 1, 3
Maple: V´ ypoˇ cet obsahu plochy a nakreslen´ı plochy. > int(1/x,x=1..3); ln (3) >
plot(1/x,x=1..3); 1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
1
1.5
2
2.5
3
x
Zpˇ et . – p.5/19
Příklad 9.1.2 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafem funkce y = a osou x.
1 x,
x ∈ 1, 3
Mathematica: V´ ypoˇ cet obsahu plochy a nakreslen´ı plochy. Integrate[1/x, {x, 1, 3}] Log[3] Plot[1/x, {x, 1, 3}];
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4
1.5
2
2.5
3
Zpˇ et
. – p.5/19
Příklad 9.1.3 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafem funkce y = a osou x. ?
1 x,
x ∈ 1, ∞) Zpˇ et
. – p.6/19
Příklad 9.1.3 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafem funkce y = a osou x.
1 x,
x ∈ 1, ∞)
Výsledek: Ploˇ sn´ y obsah je P = ∞ . Zpˇ et
. – p.6/19
Příklad 9.1.3 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafem funkce y = a osou x.
1 x,
x ∈ 1, ∞)
Návod: Pouˇ zijte vztah b |f (x)| dx.
P = a
Zpˇ et
. – p.6/19
Příklad 9.1.3 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafem funkce y = a osou x.
1 x,
x ∈ 1, ∞)
Řešení: Nakresl´ıme obr´ azek plochy, jej´ıˇ z obsah poˇ c´ıt´ ame (f (x) =
1 x ):
1 0.8 0.6 0.4 0.2 2
4
6
8
10
Nyn´ı vypoˇ cteme obsah plochy: ∞
∞ |f (x)| dx =
P = 1
1
1 dx = x
∞ ln x = 1
lim ln x − ln 1 = ∞.
x−>∞
Zpˇ et
. – p.6/19
Příklad 9.1.3 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafem funkce y = a osou x.
1 x,
x ∈ 1, ∞)
Maple: V´ ypoˇ cet obsahu plochy a nakreslen´ı plochy. > int(1/x,x=1..infinity); ∞ > plot(1/x,x=1..10); 1
0.8
0.6
0.4
0.2
2
4
6
8
10
x
Zpˇ et . – p.6/19
Příklad 9.1.3 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafem funkce y = a osou x.
1 x,
x ∈ 1, ∞)
Mathematica: V´ ypoˇ cet obsahu plochy a nakreslen´ı plochy. Limit[Integrate[1/x, {x, 1, b}], b → Infinity] ∞ Plot[1/x, {x, 1, 10}];
1 0.8 0.6 0.4 0.2 2
4
6
8
10
Zpˇ et
. – p.6/19
Příklad 9.1.4 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafem funkce 1 y = x2 , x ∈ 1, ∞) a osou x. ?
Zpˇ et
. – p.7/19
Příklad 9.1.4 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafem funkce 1 y = x2 , x ∈ 1, ∞) a osou x.
Výsledek: Ploˇ sn´ y obsah je P = 1 . Zpˇ et
. – p.7/19
Příklad 9.1.4 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafem funkce 1 y = x2 , x ∈ 1, ∞) a osou x.
Návod: Pouˇ zijte vztah b |f (x)| dx.
P = a
Zpˇ et
. – p.7/19
Příklad 9.1.4 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafem funkce 1 y = x2 , x ∈ 1, ∞) a osou x.
Řešení: Nakresl´ıme obr´ azek plochy, jej´ıˇ z obsah poˇ c´ıt´ ame (f (x) =
1 x2
):
1 0.8 0.6 0.4 0.2 2
4
6
8
10
Nyn´ı vypoˇ cteme obsah plochy: ∞
∞ |f (x)| dx =
P = 1
1
1 dx = x2
1 − x
∞ 1
= 1.
Zpˇ et
. – p.7/19
Příklad 9.1.4 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafem funkce 1 y = x2 , x ∈ 1, ∞) a osou x.
Maple: V´ ypoˇ cet obsahu plochy a nakreslen´ı plochy. > int(1/xˆ2,x=1..infinity); 1 >
plot(1/xˆ2,x=1..10); 1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 2
4
6
8
10
x
Zpˇ et . – p.7/19
Příklad 9.1.4 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafem funkce 1 y = x2 , x ∈ 1, ∞) a osou x.
Mathematica: V´ ypoˇ cet obsahu plochy a nakreslen´ı plochy. Integrate[1/x∧ 2, {x, 1, Infinity}] 1 Plot[1/x∧ 2, {x, 1, 10}];
1 0.8 0.6 0.4 0.2 2
4
6
8
10
Zpˇ et
. – p.7/19
Příklad 9.1.5 3
Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafem funkce y = x 2 , x ∈ 0, 4 a osou x. ?
Zpˇ et
. – p.8/19
Příklad 9.1.5 3
Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafem funkce y = x 2 , x ∈ 0, 4 a osou x.
Výsledek: Ploˇ sn´ y obsah je P =
64 5
.
Zpˇ et
. – p.8/19
Příklad 9.1.5 3
Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafem funkce y = x 2 , x ∈ 0, 4 a osou x.
Návod: Pouˇ zijte vztah b |f (x)| dx.
P = a
Zpˇ et
. – p.8/19
Příklad 9.1.5 3
Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafem funkce y = x 2 , x ∈ 0, 4 a osou x.
Řešení: 3
Nakresl´ıme obr´ azek plochy, jej´ıˇ z obsah poˇ c´ıt´ ame (f (x) = x 2 ): 8 6 4 2 1
2
3
4
Nyn´ı vypoˇ cteme obsah plochy: 4
4 |f (x)| dx =
P = 0
0
3 x2
dx =
2 5 x2 5
4 0
=
64 2 · 32 = . 5 5
Zpˇ et
. – p.8/19
Příklad 9.1.5 3
Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafem funkce y = x 2 , x ∈ 0, 4 a osou x.
Maple: V´ ypoˇ cet obsahu plochy a nakreslen´ı plochy. > int(xˆ(3/2),x=0..4); 64 5 >
plot(xˆ(3/2),x=0..4); 8
6
4
2
0 0
1
2
3
4
x
Zpˇ et . – p.8/19
Příklad 9.1.5 3
Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafem funkce y = x 2 , x ∈ 0, 4 a osou x.
Mathematica: V´ ypoˇ cet obsahu plochy a nakreslen´ı plochy. Integrate[x∧ (3/2), {x, 0, 4}] 64 5
Plot[x∧ (3/2), {x, 0, 4}];
8 6 4 2 1
2
3
4
Zpˇ et
. – p.8/19
Příklad 9.1.6 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafy funkc´ı y = sin |x| a y = (x − 2π)(x + 2π)/10, x ∈ −2π, 2π. ?
Zpˇ et
. – p.9/19
Příklad 9.1.6 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafy funkc´ı y = sin |x| a y = (x − 2π)(x + 2π)/10, x ∈ −2π, 2π.
Výsledek: Ploˇ sn´ y obsah je P =
16 3 15 π
.
Zpˇ et
. – p.9/19
Příklad 9.1.6 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafy funkc´ı y = sin |x| a y = (x − 2π)(x + 2π)/10, x ∈ −2π, 2π.
Návod: Pouˇ zijte vztah b |f1 (x) − f2 (x)| dx ,
P = a
kde f1 (x) = sin |x| a f2 (x) = (x − 2π)(x + 2π)/10 . Zpˇ et
. – p.9/19
Příklad 9.1.6 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafy funkc´ı y = sin |x| a y = (x − 2π)(x + 2π)/10, x ∈ −2π, 2π.
Řešení: Nakresl´ıme obr´ azek plochy, jej´ıˇ z obsah poˇ c´ıt´ ame (f1 (x) = sin |x|, f2 (x) = (x − 2π)(x + 2π)/10 ): 6 4 2 -6 -4 -2
-2 -4 -6
2
4
6
Postup: Obˇ e funkce jsou sud´ e (ovˇ eˇ rte!), proto m˚ uˇ zeme integrovat pouze od nuly do 2π a v´ ysledek vyn´ asobit dvˇ ema. Na tomto intervalu je x nez´ aporn´ e, lze tedy odstranit absolutn´ı hodnotu ve funkci f1 . Protoˇ ze na tomto intervalu plat´ı f1 ≥ f2 , m˚ uˇ zeme odstranit i absolutn´ı hodnotu u rozd´ılu funkc´ı. T´ım dost´ av´ ame 2π P =
2π 2π |f1 (x)−f2 (x)| dx = 2 (f1 (x)−f2 (x)) dx = 2 (sin x−(x−2π)(x+2π)/10) dx = 0
−2π
x3 − 4π 2 x)/10 = 2 − cos x − ( 3
0
2π 0
=
16 3 π . 15
Zpˇ et . – p.9/19
Příklad 9.1.6 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafy funkc´ı y = sin |x| a y = (x − 2π)(x + 2π)/10, x ∈ −2π, 2π.
Maple: V´ ypoˇ cet obsahu plochy a nakreslen´ı plochy. > y1:=sin(abs(x)); f1 := sin (|x|) >
f2:=(x-2*Pi)*(x+2*Pi)/10;
>
f2 := 1/10 (x − 2 π) (x + 2 π) int(abs(f1-f2),x=-2*Pi..2*Pi); π3
16 15 >
plot([f1,f2],x=-2*Pi..2*Pi); 1 x -6
-4
-2
0
2
4
6
0
-1
-2
-3
-4
Zpˇ et . – p.9/19
Příklad 9.1.6 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho grafy funkc´ı y = sin |x| a y = (x − 2π)(x + 2π)/10, x ∈ −2π, 2π.
Mathematica: V´ ypoˇ cet obsahu plochy a nakreslen´ı plochy. f1 = Sin[Abs[x]] Sin[Abs[x]] f2 = (x − 2 ∗ Pi) ∗ (x + 2 ∗ Pi)/10 1 10 (−2π
+ x)(2π + x)
Integrate[Abs[f1 − f2], {x, −2 ∗ Pi, 2 ∗ Pi}] 16π 3 15
Plot[{f1, f2}, {x, −2 ∗ Pi, 2 ∗ Pi}];
1 -6 -4 -2
-1
2
4
6
-2 -3 -4 Zpˇ et . – p.9/19
Příklad 9.1.7 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho pol´ arn´ı osou a jedn´ım z´ avitem Archimedovy spir´ aly dan´ e v pol´ arn´ıch souˇ radnic´ıch rovnic´ı r = ϕ. ?
Zpˇ et
. – p.10/19
Příklad 9.1.7 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho pol´ arn´ı osou a jedn´ım z´ avitem Archimedovy spir´ aly dan´ e v pol´ arn´ıch souˇ radnic´ıch rovnic´ı r = ϕ.
Výsledek: Ploˇ sn´ y obsah je P =
4 3 3π
.
Zpˇ et
. – p.10/19
Příklad 9.1.7 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho pol´ arn´ı osou a jedn´ım z´ avitem Archimedovy spir´ aly dan´ e v pol´ arn´ıch souˇ radnic´ıch rovnic´ı r = ϕ.
Návod: Pouˇ zijte vztah β P = α
1 2 r dϕ. 2
Zpˇ et
. – p.10/19
Příklad 9.1.7 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho pol´ arn´ı osou a jedn´ım z´ avitem Archimedovy spir´ aly dan´ e v pol´ arn´ıch souˇ radnic´ıch rovnic´ı r = ϕ.
Řešení: Nakresl´ıme si plochu v pol´ arn´ıch souˇ radnic´ıch. 1 -2
-1 -2 -3 -4
2
4
6
Nyn´ı vypoˇ cteme plochu obrazce. 2π P = 0
1 2 r dϕ = 2
2π 0
2π 1 2 1 1 4 3 3 3 ϕ dϕ = ϕ = (2π) = π . 2 6 6 3 0
Zpˇ et
. – p.10/19
Příklad 9.1.7 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho pol´ arn´ı osou a jedn´ım z´ avitem Archimedovy spir´ aly dan´ e v pol´ arn´ıch souˇ radnic´ıch rovnic´ı r = ϕ.
Maple: V´ ypoˇ cet obsahu plochy a nakreslen´ı plochy. > r:=phi: > int(rˆ2/2,phi=0..2*Pi); 4 π3 3 >
plot([r,phi,phi=0..2*Pi],coords=polar);
1 -2
0
2
4
6
0
-1
-2
-3
-4
Zpˇ et . – p.10/19
Příklad 9.1.7 Urˇ cete ploˇ sn´ y obsah P rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho pol´ arn´ı osou a jedn´ım z´ avitem Archimedovy spir´ aly dan´ e v pol´ arn´ıch souˇ radnic´ıch rovnic´ı r = ϕ.
Mathematica: V´ ypoˇ cet obsahu plochy a nakreslen´ı plochy. r:=φ; Integrate[r ∧ 2/2, {φ, 0, 2Pi}] 4π 3 3
{φ, 0, 2 ∗ Pi}]; ParametricPlot[{r ∗ Cos[φ], r ∗ Sin[φ]}, Sin[φ]},{φ, 1 -2
-1 -2 -3 -4
2
4
6
Zpˇ et
. – p.10/19
Délka rovinné křivky 3 • Pˇ r´ıklad 9.2.1 Urˇ cete d´ elku l grafu funkce y = x 2 , x ∈ 0, 4.
• Pˇ r´ıklad 9.2.2 Spoˇ ctˇ ete d´ elku l kˇ rivky dan´ e parametrick´ ymi rovnicemi x
=
cos t
y
=
sin t
t
∈
0, 2π.
• Pˇ r´ıklad 9.2.3 Spoˇ ctˇ ete d´ elku l kˇ rivky dan´ e parametrick´ ymi rovnicemi x
=
cos3 t
y
=
sin3 t
t
∈
0, 2π.
Zpˇ et
. – p.11/19
Příklad 9.2.1 3
Urˇ cete d´ elku l grafu funkce y = x 2 , x ∈ 0, 4. ?
Zpˇ et
. – p.12/19
Příklad 9.2.1 3
Urˇ cete d´ elku l grafu funkce y = x 2 , x ∈ 0, 4.
Výsledek: l=
3 8 2 (10 27
. − 1) = 9,07342 .
Zpˇ et
. – p.12/19
Příklad 9.2.1 3
Urˇ cete d´ elku l grafu funkce y = x 2 , x ∈ 0, 4.
Návod: Pouˇ zijte vztah b l=
1 + (y )2 dx.
a
Zpˇ et
. – p.12/19
Příklad 9.2.1 3
Urˇ cete d´ elku l grafu funkce y = x 2 , x ∈ 0, 4.
Řešení: Nakresl´ıme si kˇ rivku do kart´ ezsk´ ych souˇ radnic. 8 6 4 2 1
2
4
3
4
Nyn´ı vypoˇ cteme d´ elku kˇ rivky. 4 l=
1 + (y )2 dx =
0
1+ 0
=
9 3 8 (1 + x) 2 27 4
4 0
=
3 1 x2 2
4
2 dx =
1+ 0
9 x dx = 4
3 8 . (10 2 − 1) = 9,07342. 27
Zpˇ et
. – p.12/19
Příklad 9.2.1 3
Urˇ cete d´ elku l grafu funkce y = x 2 , x ∈ 0, 4.
Maple: >
>
>
y:=xˆ(3/2);
y := x3/2 l:=simplify(int(sqrt(1+(diff(y,x))ˆ2), x=0..4)); √ 8 l := 80 10 − 27 27 evalf(l); 9.073415289
>
plot(xˆ(3/2),x=0..4); 8
6
4
2
0 0
Zpˇ et
1
2
3
4
x
. – p.12/19
Příklad 9.2.1 3
Urˇ cete d´ elku l grafu funkce y = x 2 , x ∈ 0, 4.
Mathematica: Vypoˇ cteme d´ elku kˇ rivky a nakresl´ıme si kˇ rivku. y = x∧ (3/2); l = Integrate[Sqrt[1 + D[y, x]∧ 2], {x, 0, 4}] √
8 27 −1 + 10 10 N [%] 9.07342 Plot[x∧ (3/2), {x, 0, 4}]; 8 6 4 2 1
2
3
4
Zpˇ et
. – p.12/19
Příklad 9.2.2 Spoˇ ctˇ ete d´ elku l kˇ rivky dan´ e parametrick´ ymi rovnicemi
?
x
=
cos t
y
=
sin t
t
∈
0, 2π. Zpˇ et
. – p.13/19
Příklad 9.2.2 Spoˇ ctˇ ete d´ elku l kˇ rivky dan´ e parametrick´ ymi rovnicemi x
=
cos t
y
=
sin t
t
∈
0, 2π.
Výsledek: D´ elka je l = 2π, je to jednotkov´ a kruˇ znice. Zpˇ et
. – p.13/19
Příklad 9.2.2 Spoˇ ctˇ ete d´ elku l kˇ rivky dan´ e parametrick´ ymi rovnicemi x
=
cos t
y
=
sin t
t
∈
0, 2π.
Návod: Pouˇ zijte vztah t2 l=
(x )2 + (y )2 dt.
t1
Zpˇ et
. – p.13/19
Příklad 9.2.2 Spoˇ ctˇ ete d´ elku l kˇ rivky dan´ e parametrick´ ymi rovnicemi x
=
cos t
y
=
sin t
t
∈
0, 2π.
Řešení: Nejdˇ r´ıve si kˇ rivku nakresl´ıme, je to jednotkov´ a kruˇ znice. 1 0.5
-1
-0.5
0.5
1
-0.5 -1
Nyn´ı vypoˇ cteme d´ elku kˇ rivky. 2π l= 0
(x )2 + (y )2 dt =
2π 0
2π cos2 t + sin2 t dt = 1 dt = 2π. 0
Zpˇ et . – p.13/19
Příklad 9.2.2 Spoˇ ctˇ ete d´ elku l kˇ rivky dan´ e parametrick´ ymi rovnicemi x
=
cos t
y
=
sin t
t
∈
0, 2π.
Maple: Vypoˇ cteme d´ elku kˇ rivky a nakresl´ıme si kˇ rivku. > x:=sin(t): y:=cos(t): > l:=int(sqrt(diff(x,t)ˆ2+diff(y,t)ˆ2),t=0..2*Pi); >
l := 2 π plot([sin(t), cos(t), t=0..2*Pi]); 1
0.5
0 -1
-0.5
0
0.5
1
-0.5
-1
Zpˇ et . – p.13/19
Příklad 9.2.2 Spoˇ ctˇ ete d´ elku l kˇ rivky dan´ e parametrick´ ymi rovnicemi x
=
cos t
y
=
sin t
t
∈
0, 2π.
Mathematica: Vypoˇ cteme d´ elku kˇ rivky a nakresl´ıme si kˇ rivku. x = Cos[t]; y = Sin[t]; l = Integrate[Sqrt[D[x, t]∧ 2 + D[y, t]∧ 2], {t, 0, 2Pi}] 2π ParametricPlot[{x, y}, {t, 0, 2 ∗ Pi}, AspectRatio → 1]; 1 0.5
-1
-0.5
0.5
1
-0.5 -1
Zpˇ et . – p.13/19
Příklad 9.2.3 Spoˇ ctˇ ete d´ elku l kˇ rivky dan´ e parametrick´ ymi rovnicemi
?
3
x
=
cos t
y
=
sin t
t
∈
0, 2π.
3
Zpˇ et
. – p.14/19
Příklad 9.2.3 Spoˇ ctˇ ete d´ elku l kˇ rivky dan´ e parametrick´ ymi rovnicemi 3
x
=
cos t
y
=
sin t
t
∈
0, 2π.
3
Výsledek: D´ elka je l = 6, tato kˇ rivka se naz´ yv´ a asteroida. Zpˇ et
. – p.14/19
Příklad 9.2.3 Spoˇ ctˇ ete d´ elku l kˇ rivky dan´ e parametrick´ ymi rovnicemi 3
x
=
cos t
y
=
sin t
t
∈
0, 2π.
3
Návod: Pouˇ zijte vztah t2 l=
(x )2 + (y )2 dt.
t1
Zpˇ et
. – p.14/19
Příklad 9.2.3 Spoˇ ctˇ ete d´ elku l kˇ rivky dan´ e parametrick´ ymi rovnicemi 3
x
=
cos t
y
=
sin t
t
∈
0, 2π.
3
Řešení: 1
Nejdˇ r´ıve si kˇ rivku nakresl´ıme.
0.5
-1
-0.5
0.5
1
-0.5 -1
2π l= 0
=
2π 0
(x )2 + (y )2 dt =
2π
(−3 cos2 t sin t)2 + (3 sin2 t cos t)2 dt =
0
9 cos4 t sin2 t + 9 sin4 t cos2 t dt =
2π
9 cos2 t sin2 t (cos2 t + sin2 t) dt =
0
Dalˇ s´ı . – p.14/19
Příklad 9.2.3 Spoˇ ctˇ ete d´ elku l kˇ rivky dan´ e parametrick´ ymi rovnicemi 3
x
=
cos t
y
=
sin t
t
∈
0, 2π.
3
Řešení: 2π√ 2π 2π 3 = 9 cos2 t sin2 t dt = |3 cos t sin t| dt = |2 cos t sin t| dt = 2 0
0
3 = 2
0
2π | sin 2t| dt = 6. 0
Zpˇ et
. – p.14/19
Příklad 9.2.3 Spoˇ ctˇ ete d´ elku l kˇ rivky dan´ e parametrick´ ymi rovnicemi 3
x
=
cos t
y
=
sin t
t
∈
0, 2π.
3
Maple: Vypoˇ cteme d´ elku kˇ rivky a nakresl´ıme si kˇ rivku. > x:=sin(t)ˆ3: y:=cos(t)ˆ3: > l:=int(sqrt(diff(x,t)ˆ2+diff(y,t)ˆ2),t=0..2*Pi); >
l := 6 plot([sin(t)ˆ3, cos(t)ˆ3, t=0..2*Pi]); 1
0.5
0 -1
-0.5
0
0.5
1
-0.5
-1
Zpˇ et . – p.14/19
Příklad 9.2.3 Spoˇ ctˇ ete d´ elku l kˇ rivky dan´ e parametrick´ ymi rovnicemi 3
x
=
cos t
y
=
sin t
t
∈
0, 2π.
3
Mathematica: Vypoˇ cteme d´ elku kˇ rivky a nakresl´ıme si kˇ rivku. x = Cos[t]∧ 3; y = Sin[t]∧ 3; l = Integrate[Sqrt[D[x, t]∧ 2 + D[y, t]∧ 2], {t, 0, 2Pi}] 6 ParametricPlot[{x, y}, {t, 0, 2 ∗ Pi}, AspectRatio → 1]; 1 0.5
-1
-0.5
0.5
1
-0.5 -1
Zpˇ et . – p.14/19
Objem rotačního tělesa • Pˇ r´ıklad 9.3.1 Urˇ cete objem V rotaˇ cn´ıho tˇ elesa vznikl´ eho rotac´ı plochy ohraniˇ cen´ e 3
grafem funkce y = x 2 , x ∈ 0, 4 okolo osy x. • Pˇ r´ıklad 9.3.2 Urˇ cete objem V√rotaˇ cn´ıho tˇ elesa vznikl´ eho rotac´ı plochy, kter´ a je 2 ohraniˇ cen´ a grafy funkc´ı y = 1 − x , y = 1 − x okolo osy x. Zpˇ et
. – p.15/19
Příklad 9.3.1 Urˇ cete objem V rotaˇ cn´ıho tˇ elesa vznikl´ eho rotac´ı plochy ohraniˇ cen´ e grafem funkce 3
y = x 2 , x ∈ 0, 4 okolo osy x. ?
Zpˇ et
. – p.16/19
Příklad 9.3.1 Urˇ cete objem V rotaˇ cn´ıho tˇ elesa vznikl´ eho rotac´ı plochy ohraniˇ cen´ e grafem funkce 3
y = x 2 , x ∈ 0, 4 okolo osy x.
Výsledek: Objem je V = 64π . Zpˇ et
. – p.16/19
Příklad 9.3.1 Urˇ cete objem V rotaˇ cn´ıho tˇ elesa vznikl´ eho rotac´ı plochy ohraniˇ cen´ e grafem funkce 3
y = x 2 , x ∈ 0, 4 okolo osy x.
Návod: Pouˇ zijte vztah b y
V =π
2
dx.
a
Zpˇ et
. – p.16/19
Příklad 9.3.1 Urˇ cete objem V rotaˇ cn´ıho tˇ elesa vznikl´ eho rotac´ı plochy ohraniˇ cen´ e grafem funkce 3
y = x 2 , x ∈ 0, 4 okolo osy x.
Řešení: Nakresl´ıme si plochu, kter´ a rotuje a rotaˇ cn´ı tˇ eleso jehoˇ z objem poˇ c´ıt´ ame. y 5 0 -5 5 8
z 0
6
-5
4
0
2 1
2
3
4
1 x
(
2
3
4
Nyn´ı vypoˇ cteme objem rotaˇ cn´ıho tˇ elesa. 4 V =π
2
4
y dx = π 0
0
x4 x dx = π 4 3
4 0
= 64π .
Zpˇ et
. – p.16/19
Příklad 9.3.1 Urˇ cete objem V rotaˇ cn´ıho tˇ elesa vznikl´ eho rotac´ı plochy ohraniˇ cen´ e grafem funkce 3
y = x 2 , x ∈ 0, 4 okolo osy x.
Maple: Nejdˇ r´ıve nakresl´ıme plochu, kter´ a rotuje. > plot([0,xˆ(3/2)],x=0..4,filled=true,color=[white,grey]); 8
6
4
2
0
1
2 x
3
4
Nyn´ı vypoˇ cteme objem tˇ elesa. > y:=xˆ(3/2): > v:=int(Pi*yˆ2,x=0..4); v := 64 π Zpˇ et
. – p.16/19
Příklad 9.3.1 Urˇ cete objem V rotaˇ cn´ıho tˇ elesa vznikl´ eho rotac´ı plochy ohraniˇ cen´ e grafem funkce 3
y = x 2 , x ∈ 0, 4 okolo osy x.
Mathematica: Nejdˇ r´ıve nakresl´ıme plochu, kter´ a rotuje. << Graphics`FilledPlot` Fills → {{{Axis, 1}, GrayLevel[.7]}}]; 4},Fills FilledPlot[x∧ (3/2), {x, 0, 4}, 8 6 4 2 1
2
3
4
Nyn´ı vypoˇ cteme objem tˇ elesa. y = x∧ (3/2); v = Integrate[Pi y ∧ 2, {x, 0, 4}] 64π Zpˇ et
. – p.16/19
Příklad 9.3.2 Urˇ cete cn´ıho tˇ elesa vznikl´ eho rotac´ı plochy, kter´ a je ohraniˇ cen´ a grafy funkc´ı √ objem V rotaˇ 2 y = 1 − x , y = 1 − x okolo osy x. ?
Zpˇ et
. – p.17/19
Příklad 9.3.2 Urˇ cete cn´ıho tˇ elesa vznikl´ eho rotac´ı plochy, kter´ a je ohraniˇ cen´ a grafy funkc´ı √ objem V rotaˇ 2 y = 1 − x , y = 1 − x okolo osy x.
Výsledek: π 3
.
Zpˇ et
. – p.17/19
Příklad 9.3.2 Urˇ cete cn´ıho tˇ elesa vznikl´ eho rotac´ı plochy, kter´ a je ohraniˇ cen´ a grafy funkc´ı √ objem V rotaˇ 2 y = 1 − x , y = 1 − x okolo osy x.
Návod: Objem se v dan´ em pˇ r´ıpadˇ e vypoˇ cte podle vzorce: 1
2
1−x
V =π 0
1 dx − π
(1 − x)
2
dx .
0
Zpˇ et
. – p.17/19
Příklad 9.3.2 Urˇ cete cn´ıho tˇ elesa vznikl´ eho rotac´ı plochy, kter´ a je ohraniˇ cen´ a grafy funkc´ı √ objem V rotaˇ 2 y = 1 − x , y = 1 − x okolo osy x.
Řešení: Nakresl´ıme si plochu, kter´ a rotuje a rotaˇ cn´ı tˇ eleso jehoˇ z objem poˇ c´ıt´ ame. 1 0.5 1 0.8 0.6 0.4 0.2
0
z -0.5
0.2 0.4 0.6 0.8
1 0.5 -1 1 0.5 y 0 0 -0.5 -0.5 x -1 -1
1
Nyn´ı vypoˇ cteme objem rotaˇ cn´ıho tˇ elesa. 1 V
=
0
π
dx − π
(1 − x) 0
=
2
1−x
π
1
1−
1 1 − (1 − 1 + 3 3
=
2
dx = π
x3 x− 3
1 0
x3 2 − x−x + 3
1 0
π . 3
Zpˇ et
. – p.17/19
Příklad 9.3.2 Urˇ cete cn´ıho tˇ elesa vznikl´ eho rotac´ı plochy, kter´ a je ohraniˇ cen´ a grafy funkc´ı √ objem V rotaˇ 2 y = 1 − x , y = 1 − x okolo osy x.
Maple: >
plot([1-x,sqrt(1-xˆ2)],x=0..1,filled=true,color=[white,grey]); 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
>
0.2
0.4
x
0.6
0.8
1
V:=Pi*int(1-xˆ2,x=0..1)-Pi*int((1-x)ˆ2,x=0..1); π V := 3
Zpˇ et
. – p.17/19
Příklad 9.3.2 Urˇ cete cn´ıho tˇ elesa vznikl´ eho rotac´ı plochy, kter´ a je ohraniˇ cen´ a grafy funkc´ı √ objem V rotaˇ 2 y = 1 − x , y = 1 − x okolo osy x.
Mathematica: << Graphics`FilledPlot` FilledPlot[{Sqrt[1 − x ∧ 2], 1 − x}, {x, 0, 1}, Fills → {{{1, 2}, GrayLevel[.7]}}];
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8
1
V = Pi Integrate[1 − x∧ 2, {x, 0, 1}]− Pi Integrate[(1 − x)∧ 2, {x, 0, 1}] π 3
Zpˇ et
. – p.17/19
Fyzikální aplikace • Pˇ r´ıklad 9.4.1 Urˇ cete pr´ aci, kterou je tˇ reba vykonat pro pˇ renesen´ı vaˇ s´ı mil´ e (vaˇ seho mil´ eho) z povrchu Zemˇ e do nekoneˇ cna, uvaˇ zujeme-li pouze gravitaˇ cn´ı pole Zemˇ e. Zpˇ et
. – p.18/19
Příklad 9.4.1 Urˇ cete pr´ aci, kterou je tˇ reba vykonat pro pˇ renesen´ı vaˇ s´ı mil´ e (vaˇ seho mil´ eho) z povrchu Zemˇ e do nekoneˇ cna, uvaˇ zujeme-li pouze gravitaˇ cn´ı pole Zemˇ e. ?
Zpˇ et
. – p.19/19
Příklad 9.4.1 Urˇ cete pr´ aci, kterou je tˇ reba vykonat pro pˇ renesen´ı vaˇ s´ı mil´ e (vaˇ seho mil´ eho) z povrchu Zemˇ e do nekoneˇ cna, uvaˇ zujeme-li pouze gravitaˇ cn´ı pole Zemˇ e.
Výsledek: . Oznaˇ c´ıme-li si hmotnost Zemˇ e M = 6,0 × 1024 kg, hmotnost pˇren´ aˇ sen´ e osoby m = 60 kg, . 6 polomˇ er Zemˇ e R = 6,4 × 10 m a Newtonovu gravitaˇ cn´ı konstantu . −11 2 −2 κ = 6,7 × 10 m Nkg , je pr´ ace W =
κM m . = 3,8 × 109 J. R
Zpˇ et
. – p.19/19
Příklad 9.4.1 Urˇ cete pr´ aci, kterou je tˇ reba vykonat pro pˇ renesen´ı vaˇ s´ı mil´ e (vaˇ seho mil´ eho) z povrchu Zemˇ e do nekoneˇ cna, uvaˇ zujeme-li pouze gravitaˇ cn´ı pole Zemˇ e.
Návod: . Oznaˇ c´ıme-li si hmotnost Zemˇ e M = 6,0 × 1024 kg, hmotnost pˇren´ aˇ sen´ e osoby m = 60 kg, . 6 polomˇ er Zemˇ e R = 6,4 × 10 m a Newtonovu gravitaˇ cn´ı konstantu . −11 2 −2 κ = 6,7 × 10 m Nkg , je podle Newtonova gravitaˇ cn´ıho z´ akona pˇ ritaˇ zliv´ a gravitaˇ cn´ı s´ıla F , kterou mus´ıme pˇ rekon´ avat, rovna F =
κM m , x2
kde x je vzd´ alenost od stˇ redu Zemˇ e. Mechanick´ a pr´ ace W je pak integr´ al t´ eto s´ıly . Zpˇ et
. – p.19/19
Příklad 9.4.1 Urˇ cete pr´ aci, kterou je tˇ reba vykonat pro pˇ renesen´ı vaˇ s´ı mil´ e (vaˇ seho mil´ eho) z povrchu Zemˇ e do nekoneˇ cna, uvaˇ zujeme-li pouze gravitaˇ cn´ı pole Zemˇ e.
Řešení: . Oznaˇ c´ıme-li si hmotnost Zemˇ e M = 6,0 × 1024 kg, hmotnost pˇren´ aˇ sen´ e osoby m = 60 kg, . 6 polomˇ er Zemˇ e R = 6,4 × 10 m a Newtonovu gravitaˇ cn´ı konstantu . −11 2 −2 κ = 6,7 × 10 m Nkg , je podle Newtonova gravitaˇ cn´ıho z´ akona pˇ ritaˇ zliv´ a gravitaˇ cn´ı s´ıla F , kterou mus´ıme pˇ rekon´ avat, rovna F =
κM m , x2
kde x je vzd´ alenost od stˇ redu Zemˇ e. Mechanick´ a pr´ ace W je pak integr´ al t´ eto s´ıly ∞
∞ F dx =
W = R
R
κM m 1 ∞ κM m . 9 = 3,8 × 10 dx = κM m − = . x2 x R R
Zpˇ et
. – p.19/19
Příklad 9.4.1 Urˇ cete pr´ aci, kterou je tˇ reba vykonat pro pˇ renesen´ı vaˇ s´ı mil´ e (vaˇ seho mil´ eho) z povrchu Zemˇ e do nekoneˇ cna, uvaˇ zujeme-li pouze gravitaˇ cn´ı pole Zemˇ e.
Maple: Nejdˇ r´ıve vypoˇ cteme vzorec pro pr´ aci. > unassign(’r’,’x’,’k’,’M’,’m’); > f:=k*M*m/xˆ2; >
m f := kM x2 w:=int(f,x=r..infinity) assuming r>0;
w :=
kM m r
Nyn´ı dosad´ıme konstanty. > k:=6.7e-11: M:=6e24: m:=60: r:=6.4e6: > w; 3768750000.0 Zpˇ et
. – p.19/19
Příklad 9.4.1 Urˇ cete pr´ aci, kterou je tˇ reba vykonat pro pˇ renesen´ı vaˇ s´ı mil´ e (vaˇ seho mil´ eho) z povrchu Zemˇ e do nekoneˇ cna, uvaˇ zujeme-li pouze gravitaˇ cn´ı pole Zemˇ e.
Mathematica: Nejdˇ r´ıve vypoˇ cteme vzorec pro pr´ aci. f = k ∗ M ∗ m/x∧ 2; w = Integrate[f, {x, r, Infinity}] kmM r
Nyn´ı dosad´ıme konstanty. r = 6.4 ∗ 10∧ 6; 60;r k = 6.7 ∗ 10∧ − 11; M = 6 ∗ 10∧ 24; m = 60; w 3.76875 × 109 Zpˇ et
. – p.19/19
