Kansrekenen [B-KUL-G0W66A]

KU Leuven

Kansrekenen [B-KUL-G0W66A] Notities

Tom Sydney Kerckhove

Gestart 8 februari 2015 Gecompileerd 25 maart 2015

Docent: Prof. Tim Verdonck

Inhoudsopgave 1 Voorkennis 1.1 Verzamelingen . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Basisbegrippen . . . . . . . . . . . 1.1.2 De algebra van verzamelingen . . . 1.1.3 Koppels en het carthesisch product 2 Combinatoriek 2.1 Variaties . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Permutaties . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Combinaties . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Binomium van Newton . . . . 2.3.2 Multinomiale ontwikkeling . 2.3.3 Het aantal deelverzamelingen

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

3 Kansruimten 3.1 Sigma algebra’s . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Kansmaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Traditionele kansruimten . . . . . . . . . . 3.4 Voorwaardelijke kans en onafhankelijkheid 3.4.1 Voorwaardelijke kans . . . . . . . 3.4.2 Kettingregel . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Wet van de totale kans . . . . . . . 3.4.4 Stelling van Bayes . . . . . . . . . 3.4.5 Handige rekenregels . . . . . . . . 3.4.6 Onafhankelijkheid . . . . . . . . . 3.4.7 Systeembetrouwbaarheid . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

3 3 3 5 10

. . . . . .

12 12 13 13 14 15 15

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

16 16 18 20 21 21 22 23 23 23 24 25

4 Stochastische Veranderlijken 4.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Types stochastische veranderlijken . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Discrete stochastische veranderlijken . . . . . . . . 4.2.2 Continue stochastische veranderlijken . . . . . . . 4.3 Momenten van een stochastische veranderlijken . . . . . . 4.3.1 Verwachtingswaarde en variantie . . . . . . . . . . 4.3.2 Som en product van stochastische veranderlijken . 4.3.3 Ongelijkheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4 Hogere momenten en momentgenererende functie 4.4 Kentallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Kentallen van locatie . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Kentallen van schaal . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Kentallen van scheefheid . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

26 26 27 27 28 29 29 30 32 32 33 33 34 36

1

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

2

INHOUDSOPGAVE 4.5

. . . . . . .

36 36 38 41 41 41 41

. . . . . . . . .

42 42 43 43 43 44 44 44 45 46

6 Benaderingen van verdelingen 6.1 Limietstellingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Practische benaderingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47 47 47

7 Voorbeelden 7.1 Combinatoriek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Gemengde voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Kansruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48 48 49 50

8 Oefeningen 8.1 Kansruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Stochastische veranderlijken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51 51 55

4.6

Belangrijke verdelingen . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Discrete verdelingen . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Continue verdelingen . . . . . . . . . . . . Transformatie van stochastische veranderlijken . . 4.6.1 Monotone transformatie . . . . . . . . . . . 4.6.2 Integraaltransformatie . . . . . . . . . . . . 4.6.3 Genereren van stochastische veranderlijken

5 Bivariate verdelingen 5.1 Verdeling van een stochastisch koppel . . . . . . . . 5.1.1 Marginale verdeling . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Onafhankelijkheid . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Voorwaardelijke verdeling . . . . . . . . . . 5.2 Karakteristieken van een stochastisch koppel . . . . 5.2.1 Momenten en momentgenererende functie . 5.2.2 Covariantie en correlatie . . . . . . . . . . . 5.2.3 Eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Bivariate normale verdeling . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

Hoofdstuk 1 Voorkennis 1.1 1.1.1

Verzamelingen Basisbegrippen

Definitie 1.1. Een verzameling is een geheel van onderling verschillende, ongeordende objecten. Deze objecten noemt men de elementen van de verzameling. de

Definitie 1.2. Een formele beschrijving van een verzameling met behulp van een predikaat p ziet er als volgt uit. {x | p(x )} Dit is de verzameling van all elementen die aan het predikaat p voldoen.

Definitie 1.3. Twee verzamelingen A en B zijn gelijk als en slechts als ze dezelfde elementen bevatten. A = B ⇔ ∀x : x ∈ A ⇔ x ∈ B Stelling 1.4. De transitiviteit van ’=’: Gegeven drie willekeurige verzamelingen A, B en C. (A = B) ∧ (B = C) ⇒ A = C Bewijs. A = B ∧ B = C ⇔ (∀x : x ∈ A ⇔ x ∈ B) ∧ (∀x : x ∈ B ⇔ x ∈ C) ⇒ ∀x : ((x ∈ A ⇔ x ∈ B) ∧ (x ∈ B ⇔ x ∈ C)) ⇔ ∀x : (x ∈ A ⇔ x ∈ C) ⇔A=C 

Definitie 1.5. Een verzameling A is een deelverzameling van een verzameling B als en slechts als B alle elementen van A bevat. A ⊆ B ⇔ ∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ B 3

4

HOOFDSTUK 1. VOORKENNIS Stelling 1.6. De anti-symmetrie van ’⊆’: Gegeven twee willekeurige verzamelingen A en B. A ⊆ B∧B ⊆ A⇔A=B Bewijs. A ⊆ B ∧ B ⊆ A ⇔ (∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ (∀x : x ∈ B ⇒ x ∈ A) ⇔ ∀x : ((x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ (x ∈ B ⇒ x ∈ A)) ⇔ ∀x : x ∈ A ⇔ x ∈ B ⇔A=B



Stelling 1.7. De transitiviteit van ’⊆’: Gegeven drie willekeurige verzamelingen A, B en C. A ⊆ B∧B ⊆C ⇔A ⊆C Bewijs. A ⊆ B ∧ B ⊆ C ⇔ (∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ (∀x : x ∈ B ⇒ x ∈ C) ⇒ ∀x : ((x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ (x ∈ B ⇒ x ∈ C)) ⇔ ∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ C ⇔A⊆C



Definitie 1.8. Een verzameling A is een strikte deelverzameling van een verzameling B als en slechts als A een deelverzameling is van B en niet gelijk is aan B. A ( B ⇔ A ⊆ B ∧a , B Definitie 1.9. De universele verzameling U is de verzameling van alle mogelijke elementen waarvan sprake is. U = {x | true} Stelling 1.10. Elke verzameling A is een deelverzameling van het universum U . A⊆U Bewijs. Inderdaad. Kies een willekeurige verzameling A. Elk element van A zit ook in U . ∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ U 

Definitie 1.11. De lege verzameling ∅ is de verzameling die geen enkel element bevat. Stelling 1.12. De lege verzameling ∅ is een deelverzameling van elke verzameling. Bewijs. Inderdaad. Kies een willekeurige verzameling A. Elk element van ∅ (geen enkel element) zit ook in A. ∀x : x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A 

5

HOOFDSTUK 1. VOORKENNIS

Definitie 1.13. Een singleton is een verzameling met precies e´ e´ n element.

1.1.2

De algebra van verzamelingen

Unie Definitie 1.14. De unie A ∪ B van twee verzamelingen A en B is de verzameling die zowel de elementen van A als de elementen van B bevat. A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B} Eigenschap 1.15. De unie is commutatief. A∪B = B ∪A Bewijs. A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B} = {x | x ∈ B ∨ x ∈ A} = B ∪ A



Eigenschap 1.16. De unie is idempotent A∪A =A Bewijs. A ∪ A = {x | x ∈ A ∨ x ∈ A} = {x | x ∈ A} = A



Stelling 1.17. Elke verzameling A is een deelverzameling van elke unie A ∪ B van die verzameling met een andere verzameling B. A ⊆ A∪B Bewijs. ∀x : x ∈ A ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B



Stelling 1.18. A ⊆ B ⇔A∪B =B Bewijs. {x | x ∈ A ∨ x ∈ B} = B ⇔ ∀a ∈ A : a ∈ B



Stelling 1.19. De unie is associatief A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C Bewijs. A ∪ {x | x ∈ B ∨ x ∈ C} = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B ∨ x ∈ C} = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B} ∪ C



Stelling 1.20. De identiteitswet voor de unie A∪∅ =A Bewijs. A ∪ ∅ = {x | x ∈ A ∨ x ∈ ∅} = A



Stelling 1.21. De nulwet voor de unie A∪U = U Bewijs. A ∪ U = {x | x ∈ A ∨ x ∈ U } = {x | x ∈ A ∨ true} = U



6

HOOFDSTUK 1. VOORKENNIS Doorsnede Definitie 1.22. De doorsnede A ∩ B van twee verzamelingen A en B is de verzamling die enkel de elementen bevat die zowel in A als in B zitten. A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} Eigenschap 1.23. De doorsnede is commutatief. A∩B = B ∩A Bewijs. A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} = {x | x ∈ B ∧ x ∈ A} = B ∩ A



Eigenschap 1.24. De doorsnede is idempotent A∩A =A Bewijs. A ∩ A = {x | x ∈ A ∧ x ∈ A} = {x | x ∈ A} = A



Stelling 1.25. De doorsnede A ∩ B is een deelverzameling van A. A∩B ⊆ A Bewijs. A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} ⊆ {x | x ∈ A} = A



Stelling 1.26. A ⊆ B ⇔A∩B =A Bewijs. ∀x : (x ∈ A ⇒ x ∈ B) ⇔ {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} = A



Stelling 1.27. De identiteitswet voor de doorsnede A∩U = A Bewijs. A ∩ U = {x | x ∈ A ∧ x ∈ U } = {x | x ∈ A ∧ true} = A



Stelling 1.28. De nulwet voor de doorsnede A∩∅ = ∅ Bewijs. A ∩ ∅ = {x | x ∈ A ∧ x ∈ ∅} = {x | x ∈ A ∧ f alse} = ∅



Definitie 1.29. Twee verzamelingen A en B zijn disjunct als en slechts als ze geen gemeenschappelijke elementen hebben. A∩B = ∅ Stelling 1.30. De eerste absorptiewet. A ∪ (A ∩ B) = A

7

HOOFDSTUK 1. VOORKENNIS

Bewijs. A ∪ (A ∩ B) = A ∪ {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} = {x | x ∈ A ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ B)} = {x | x ∈ A} = A  Stelling 1.31. De tweede absorptiewet. A ∩ (A ∪ B) = A Bewijs. A ∩ (A ∪ B) = A ∩ {x | x ∈ A ∨ x ∈ B} = {x | x ∈ A ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ B)} = {x | x ∈ A} = A  Stelling 1.32. De doorsnede is distributief ten opzichte van de unie. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Bewijs. A ∩ (B ∪ C) = A ∩ {x | x ∈ B ∨ x ∈ C} = {x | x ∈ A ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C)} = {x | (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C)} = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)  Stelling 1.33. De unie is distributief ten opzichte van de doorsnede. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Bewijs. A ∪ (B ∩ C) = A ∪ {x | x ∈ B ∧ x ∈ C} = {x | x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C)} = {x | (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ C)} = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 

Complement Definitie 1.34. Het complement van een verzameling A ten opzichte van de universele verzameling U is de verzameling van alle elementen die niet in A zitten, maar wel in U . Ac = {x | x < A} Andere notaties voor het complement zijn A0, A. Stelling 1.35. Het complement van het complement van een verzameling is opnieuw de originele verzameling. (Ac )c = A c

Bewijs. Ac = {x | x < Ac } = {x | x ∈ A} = A



Stelling 1.36. De complementaire wet voor de unie. De unie van een verzameling en haar complement is het universum. A ∪ Ac = U

8

HOOFDSTUK 1. VOORKENNIS Bewijs. A ∪ Ac = {x | x ∈ A ∨ x ∈ Ac } = {x | true} = U



Stelling 1.37. De complementaire wet voor de doorsnede. De doorsnede van een verzameling en haar complement is leeg.. A ∩ Ac = ∅ Bewijs. A ∩ Ac = {x | x ∈ A ∧ x ∈ Ac } = {x | f alse} = ∅



Stelling 1.38. De eerste wet van De Morgan. (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc Bewijs.

(A ∪ B)c = {x = {x = {x = Ac

| x < (A ∪ B)} | ¬(x ∈ A ∨ x ∈ B)} | (x < A) ∧ (x < B)} ∩ Bc



Stelling 1.39. De tweede wet van De Morgan. (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc Bewijs.

(A ∩ B)c = {x = {x = {x = Ac

| x < (A ∩ B)} | ¬(x ∈ A ∧ x ∈ B)} | (x < A) ∨ (x < B)} ∪ Bc



Verschil Definitie 1.40. Het verschil van een verzameling A met een andere verzameling B is de verzameling van alle elementen van A die niet in B zitten. A \ B = {x | x ∈ A ∧ x < B} Propositie 1.41. Voor twee verzamelingen A en B geldt dat zowel de doorsnede als de verschillen onderling disjunct zijn. (1) (A ∩ B) ∩ (A \ B) = ∅ (2) (A \ B) ∩ (B \ A) = ∅ (3) (B \ A) ∩ (A ∩ B) = ∅ Bewijs. Bewijs elk deel afzonderlijk: •

(A ∩ B) ∩ (A \ B) = = = =

{x {x {x {x

| x ∈ A ∧ x ∈ B} ∩ {x | x ∈ A ∧ x < B} | (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∧ x < B)} | (x ∈ B) ∧ (x < B)} | f alse} = ∅

9

HOOFDSTUK 1. VOORKENNIS •

•

(A \ B) ∩ (B \ A) = {x | x ∈ A ∧ x < B} ∩ {x | x ∈ B ∧ x < A} = {x | (x ∈ A ∧ x < B) ∧ (x ∈ B ∧ x < A)} = {x | f alse} =∅ (B \ A) ∩ (A ∩ B) = = = =

{x {x {x {x

| x ∈ B ∧ x < A} ∩ {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} | (x ∈ B ∧ x < A) ∧ (x ∈ A ∧ x ∈ B)} | (x ∈ A) ∧ (x < A)} | f alse} = ∅



Stelling 1.42. Het verschil van twee verzamelingen kan worden herschreven als de doorsnede met het complement. A \ B = A ∩ Bc Bewijs. A \ B = {x | x ∈ A ∧ x < B} = {x | x ∈ A} ∩ {x | x < B} = A ∩ Bc



Definitie 1.43. Het symmetrisch verschil van twee verzamelingen A en B is de verzameling van alle elementen die in precies e´ e´ n van de twee verzamelingen zit. A∆B = {x | (x ∈ A ∧ x < B) ∨ (x ∈ B ∧ x < A)} Stelling 1.44. Het symmetrisch verschil van twee verzamelingen kan worden herschreven als de unie van de twee verschillen. A∆B = A∇B = A ÷ B = A B = (A \ B) ∪ (B \ A) Stelling 1.45. Het symmetrisch verschil van twee verzamelingen kan worden herschreven als een enkelvoudig verchil. A∆B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) Machtsverzameling Definitie 1.46. De machtsverzameling P (A) is de verzameling van alle deelverzamelingen van een verzameling A. P (A) = {S | S ⊆ A}

Definitie 1.47. Een partitie P van een verzameling X is een deelverzameling van de machtsverzameling P (x ) van X met de volgende eigenschappen: • De verzamelingen zijn niet leeg. ∀A ∈ P : A , ∅ • De verzamelingen zijn onderling disjunct. ∀A, B ∈ P : A , B ⇒ A ∩ B = ∅

10

HOOFDSTUK 1. VOORKENNIS • De verzamelingen samen vormen X . ∀x ∈ X : ∃A ∈ P : x ∈ A

1.1.3

Koppels en het carthesisch product

Definitie 1.48. Een geordend paar of een koppel zijn twee elementen die in een bepaalde volgorde samen horen. (a, b)

Definitie 1.49. De gelijkheid tussen koppels is zo gedifineerd dat de overeenkomstige elementen gelijk zijn. (a, b) = (c, d ) ⇔ (a = c ∧ b = c)

Definitie 1.50. Het carthesisch product A × B van twee verzamelingen A en B is de verzameling der koppels (x, y) met x ∈ A en y ∈ B A × B = {(x, y) | x ∈ A ∧ y ∈ B} Stelling 1.51. Het carthesisch product is distributief ten opzichte van de unie. A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) Bewijs. A × (B ∪ C) = = = =

{(x, y) {(x, y) {(x, y) {(x, y)

| x ∈ A ∧ y ∈ (B ∪ C)} | x ∈ A ∧ (y ∈ B ∨ y ∈ C)} | (x ∈ A ∧ y ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ y ∈ C)} | (x ∈ A ∧ y ∈ B)} ∪ {(x, y) | (x ∈ A ∧ y ∈ C)} = (A × B) ∪ (A × C) 

Stelling 1.52. Het carthesisch product is distributief ten opzichte van de doorsnede. A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) Bewijs. A × (B ∩ C) = = = =

{(x, y) {(x, y) {(x, y) {(x, y)

| x ∈ A ∧ y ∈ (B ∩ C)} | x ∈ A ∧ (y ∈ B ∧ y ∈ C)} | (x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ C)} | (x ∈ A ∧ y ∈ B)} ∩ {(x, y) | (x ∈ A ∧ y ∈ C)} = (A × B) ∩ (A × C) 

Stelling 1.53. Zij A, B, C en D verzamelingen, dan geldt volgende gelijkheid. (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D)

HOOFDSTUK 1. VOORKENNIS

11

Bewijs. (A × B) ∩ (C × D) = = = =

{(x, y) | x ∈ A ∧ y ∈ B} ∩ {(x, y) | x ∈ C ∧ y ∈ D} {(x, y) | x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ x ∈ C ∧ y ∈ D} {(x, y) | x ∈ A ∧ x ∈ C ∧ y ∈ B ∧ y ∈ D} {x | x ∈ A ∧ x ∈ C} × {y | y ∈ B ∧ y ∈ D} = (A ∩ C) × (B ∩ D) 

Definitie 1.54. Het carthesisch product van een verzameling A met zichzelf wordt wel eens als A2 genoteerd. A2 = A × A

Definitie 1.55. Een n-koppel of n-tal zijn n elementen die in een bepaalde volgorde voorkomen. (a 1 , a 2 , . . . , an )

Definitie 1.56. Het n-voudig Carthesis product tussen n verzamelingen is de verzameling van alle n-tallen over die verzamelingen. A1 × A2 × . . . × An = {(a 1 , a 2 , . . . , an ) | ai ∈ Ai }

Definitie 1.57. Het n-voudig Carthesis product van een verzameling A met zichzelf wordt als An genoteerd. An = A × A × . . . × A

Hoofdstuk 2 Combinatoriek 2.1

Variaties

Definitie 2.1. Een variatie van p ∈ N verschillende elementen uit n ∈ N elementen (met p ≤ n) is een geordend p-tal van verschillende elementen gekozen uit een gegeven verzameling van n elementen. p

Stelling 2.2. Het aantal variaties van p elementen uit n is gelijk aan Vv . Vpn =

p−1 Y

(n − i)

i=0

Bewijs. We moeten een rij van lengte p vormen met n elementen. Voor de eerste plaats is er vrije keuze, dus n elementen. Voor de tweede plaats is er keuze uit de overgebleven n − 1 elementen. Voor Qp−1 de i-de plaats is er dan keuze uit de overgebleven n − 1 elementen. er zijn dus i=0 (n −p) mogelijke manieren om p elementen te kiezen uit n zonder herhalingen.  Eigenschap 2.3.

Vn0 = 1

Bewijs. Vn0

=

0−1 Y

(n − i) = 1

en Vnn = n!

en

Vnn

i=0

=

n−1 Y

(n − i) = n!

i=0



Definitie 2.4. Een herhalingsvariatie van p ∈ N elementen uit n ∈ N elementen is een geordend p-tal van verschillende elementen gekozen uit een gegeven verzameling van n elementen. p

Stelling 2.5. Het aantal herhalingsvariaties van p elementen uit n is gelijk aan V v . n

V p = np Bewijs. Voor elk element van het p-tal is er keuze uit n elementen. Er zijn dus np mogelijke herhalingsvariaties van p elementen uit n. 

12

13

HOOFDSTUK 2. COMBINATORIEK

2.2

Permutaties

Definitie 2.6. Een permutatie van n ∈ N elementen is een variatie van n uit n elementen. Opmerking 2.7. Soms wordt een permutatie ook beschreven als een bijectie van een eindige verzameling naar zichzelf. Deze noties komen overeen in de zin dat de variatie beschreven in bovenstaande definitie een beschrijving geeft van de bijectie in de andere definitie.

Definitie 2.8. Een herhalingspermutatie van n ∈ N elementen waarvan pi elementen telkens P tot soort i behoren (met ri=1 pi = n) is een geordend n-tal van elementen waarvan de i-de pi elementen telkens tot soort i behoren. p1 ,p2 ,...,pr

Stelling 2.9. Het aantal herhalingspermutaties van p elementen uit n is gelijk aan P n ! n n! p1 ,p2 ,...,pr Pn = Qr = p1 p2 · · · pr i=1 pi

.

EXTRA: bewijs

2.3

Combinaties

Definitie 2.10. Een combinatie van p elementen uit n is een deelverzameling van die n elementen. Opmerking 2.11. Bij een combinatie speelt de volgorde van de elementen dus geen rol. p

Stelling 2.12. Het aantal combinaties van p elementen uit n is Cn . ! n n! p = Cn = p p!(n − p)! p

Bewijs. Het aantal variaties Vn van p elemenen uit n, (waar de volgorde wel een rol speelt) is teveel. Het is zelfs precies Pp keer teveel want we kunnen de elementen in het n tal nog permuteren. p Cn

p

V n! = n = Pp p!(n − p)! 

Opmerking 2.13.

n  p

lezen we als “n kies p”.

Eigenschap 2.14.

Cnn = Cn0 = 1

Bewijs. Cnn =

n! n! =1= = Cn0 n!(n − n)! 0!(n − 0!)



14

HOOFDSTUK 2. COMBINATORIEK Eigenschap 2.15.

n−p

p

Cn = Cn Bewijs.

n−p

Cn

= = =

n! (n−p)!(n−(n−p))! n! (n−p)!(n−n+p)! n! p!(n−p)!

p

= Cn



Eigenschap 2.16. De formule van Pascal. p

p+1

Cn + Cn Bewijs.

p

p+1

Cn + Cn

= = = = =

p+1

= Cn+1

n! n! p!(n−p)! + (p+1)!(n−(p+1))! n! n! p!(n−p)(n−p−1)! + (p+1)p!(n−p−1))! n!(p+1)+n!(n−p) (p+1)p!(n−p)(n−p−1)! (n+1)n! (p+1)!(n−p)! (n+1)! (p+1)!((n+1)−(p+1)!

p+1

= Cn+1



Definitie 2.17. Een herhalingscombinatie van p elementen uit n is een ongeordend p-tal van elementen waarbij herhaling mogelijk is. Opmerking 2.18. De notie van een “ongeordend p-tal” is ietwat vaag. In feite hebben we nood aan een structuur die geen orde oplegt en herhaling van elementen toelaat. Noch een geordend p-tal, noch een verzameling is hiervoor dus bruikbaar. p

Stelling 2.19. Het aantal herhalingscombinaties van p elementen uit n is C n . ! n +p −1 p p C n = Cn+p−1 = p

2.3.1

Binomium van Newton

Stelling 2.20. Het binomium van Newton. n

(a + b) =

n X i=0

! n n−i i = a b i

EXTRA: bewijs

Definitie 2.21. De co¨efficienten

n  i

worden daarom ook de binomiaalco¨efficienten genoemd.

15

HOOFDSTUK 2. COMBINATORIEK

2.3.2

Multinomiale ontwikkeling

Stelling 2.22. De multinomiale ontwikkeling. n

!Y k k X X n * * + = xini + n n · · · n k i=1 Pk , 1 2 , i=1 i=1 n i =n

Definitie 2.23. De co¨efficienten genoemd.

2.3.3

n n 1 n 2 ··· nk





worden daarom ook de multinomiaalco¨efficienten

Het aantal deelverzamelingen

Stelling 2.24. Het aantal deelverzamelingen |P (V )| van een verzameling V is 2|V | . Bewijs. Het aantal deelverzamelingen van i elementen van V is C i|V | . Het totaal aantal deelverzaP|V | i C |V | . Gebruik nu het binomium van newton met a = b = 1 om het gezochte melingen is dan i=0 resultaat te bekomen. |V | X i=0

C i|V |

! X ! |V | |V | X |V | |V | (|V |−i) i = = 1 1 = (1 + 1) |V | = 2|V | i i i=0 i=0 

Hoofdstuk 3 Kansruimten Definitie 3.1. Een stochastisch experiment is een experiment waarvan de uitkomst op voorhand onbekend is.

Definitie 3.2. Het universum van een stochastisch experiment is de verzameling van alle mogelijke uitkomsten.

Definitie 3.3. Een gebeurtenis van een stochastisch experiment is een deelverzameling van het universum.

Definitie 3.4. Een Bernoulli experiment is een stochastisch experiment met maar twee mogelijke uitkomsten.

3.1

Sigma algebra’s

Definitie 3.5. Een sigma algebra of σ -algebra A is een verzameling A van deelverzamelingen van een universum Ω die voldoet aan de volgende drie axioma’s. 1. Ω ∈ A 2. A ∈ A ⇒ AC ∈ A 3. (∀n ∈ N : An ∈ A) ⇒

n∈N An

S

∈A

De structuur Ω, A wordt een meetbare ruimte genoemd en de verzamelingen in A noemen we gebeurtenissen. Stelling 3.6. Zij A een sigma-algebra. ∅∈A Bewijs. De eerste twee axioma’s, samen met ΩC = ∅ geeft de stelling.

16



17

HOOFDSTUK 3. KANSRUIMTEN Stelling 3.7. Zij A een sigma-algebra. [

(∀n ∈ {1, . . . , n} : An ∈ A) ⇒

An ∈ A

n∈{1,...,n}

Bewijs. We kunnen in het derde axioma de n + 1, ... gebeurtenissen gelijkstellen aan de lege verzameling om een eindige unie te bekomen.  Stelling 3.8. Zij A een sigma-algebra. (∀n ∈ N : An ∈ A) ⇒

\

An ∈ A

n∈N

Bewijs. Het eerste axioma, samen met stelling 3.7 en de tweede wet van de morgan1 geeft de stelling.  Stelling 3.9. Zij A een sigma-algebra. (∀n ∈ {1, . . . , n} : An ∈ A) ⇒

\

An ∈ A

n∈{1,...,n}

Bewijs. We kunnen in stelling 3.8 de n + 1, ... gebeurtenissen gelijkstellen aan het universum om een eindige doorsnede te bekomen.  Stelling 3.10. Zij A een sigma-algebra. ∀A, B ∈ A : A4B ∈ A Bewijs. Het symmetrisch verschil A4B is gelijk aan (A ∪ B) ∩ (A ∩ B)C .2 en het eerste axioma samen om de stelling te bekomen.

3

Neem nu stelling 3.7, 3.8 

Definitie 3.11. {∅, Ω} noemen we de triviale σ -algebra. Definitie 3.12. Ω, {∅, Ω} noemen we de triviale meetbare ruimte. Definitie 3.13. De de machtsverzameling van een universum noemen we de discrete σ -algebra. Tegenvoorbeeld 3.14. De unie van een aantal σ -algebra’s is niet noodzakelijk een σ -algebra. Bewijs. Beschouw de σ -algebra’s B en C: B = {∅, {0}, {1, 2}, {0, 1, 2}}

en

{∅, {1}, {0, 2}, {0, 1, 2}}

De unie hiervan is geen σ -algebra: B ∪ B = {∅, {0}, {1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}} De unie van {0} en {1} zit er namelijk niet in.4 1 Zie

stelling 1.39 op pagina 8. stelling 1.42 op pagina 9. 3 Zie stelling 1.45 op pagina 9. 4 Zie stelling 3.7 op pagina 17. 2 Zie



18

HOOFDSTUK 3. KANSRUIMTEN

3.2

Kansmaten

Definitie 3.15. Zij A een kansruimten. Een kansmaat is een afbeelding P : A → [0, 1] ⊂ R met de volgende eigenschappen. 1. P (Ω) = 1 2. ∀A ∈ A : P (A) ≥ 0 3. De aftelbare additiviteit of σ -additiviteit: Zij (An )n een aftelbaar-oneindige rij van onderling disjuncte verzamelingen. X [ P (An ) P * An + = ,n∈N - n∈N De structuur Ω, A, P noemen we een kansruimte.

Definitie 3.16. Zij (An )n een rij verzamelingen, dan noemen we deze rij … • … stijgend als ∀n : An ⊆ An+1 geldt: An ↑ • … dalend als ∀n : An ⊇ An+1 geldt: An ↓ • … monotoon als ze stijgend of dalend is.

Definitie 3.17. Zij (An )n een stijgende rij verzamelingen: An ↑ lim An =

n→∞

∞ [

An

n∈N

Definitie 3.18. Zij (An )n een dalende rij verzamelingen: An ↓ lim An =

n→∞

∞ \

An

n∈N

Stelling 3.19. Zij Ω, A, P een kansruimte en {An | n ∈ {1, . . . , N }} N paarsgewijze disjuncte gebeurtenissen. N N [ X * + An = P (An ) P ,n=1 - n=1 Bewijs. Kies voor de n + 1, . . . gebeurtenissen in het derde axioma van een kansmaat telkens de lege gebeurtenis om de stelling te bekomen.  Stelling 3.20. Zij Ω, A, P een kansruimte. ∀A ∈ A : P (AC ) = 1 − P (A)

19

HOOFDSTUK 3. KANSRUIMTEN Bewijs. Begin met de uitdrukking Ω = A ∪ AC . Pas nu stelling 3.19 toe: P (Ω) = P (A) + P (AC ) 1 = P (A) + P (AC ) C P (A ) = 1 − P (A)

 Gevolg 3.21. P (∅) = 0 Stelling 3.22. Zij Ω, A, P een kansruimte en (An )n een monotone rij verzamelingen.   P lim An = lim P (An ) n→∞

n→∞

Bewijs. We bewijzen de stelling voor een stijgende rij verzamelingen (An )n . Herschrijven we het linker lid, dan krijgen we de volgende unie: S  ∞ P (limn→∞ An ) = P A n   n∈N S∞ (An \ An−1 ) = P A1 n=2 P∞ = P (A1 ) + n=1 P (An \ An−1 ) PN = P (A1 ) + limN →∞ n=1 (P (An ) − P (An−1 )) PN = P (A1 ) + limN →∞ n=1 P (An ) − P (A1 ) = limn→∞ P (An )  Eigenschap 3.23. Zij Ω, A, P een kansruimte. ∀A, B ∈ A : P (B) = P (B ∩ A) + P (B ∩ AC ) Bewijs. P (B) = P ((B ∩ A) ∪ (B ∩ AC )) = P (B ∩ A) + P (B ∩ AC ) met (B ∩ A) en (B ∩ AC ) disjunct.5



Eigenschap 3.24. Zij Ω, A, P een kansruimte. ∀A, B ∈ A : P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) Bewijs. P (A ∪ B) = P ((A ∩ BC ) ∪ (A ∩ B) ∪ (AC ∩ B)) = P (A ∩ BC ) + P (A ∩ B) + P (AC ∩ B) = (P (A ∩ BC ) + P (A ∩ B)) + ((P (AC ∩ B) + P (A ∩ B)) − P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)  Eigenschap 3.25. Zij Ω, A, P een kansruimte. ∀A, B ∈ A : P (A \ B) = P (A ∪ B) − P (B) Bewijs. P (A ∪ B) = P (B ∪ (A \ B)) = P (B) + P (A \ B) 5 Zie

stelling 3.19 op pagina 18.



20

HOOFDSTUK 3. KANSRUIMTEN Eigenschap 3.26. Zij Ω, A, P een kansruimte. ∀A, B ∈ A : A ⊆ B ⇒ P (A) ≤ P (B)

Bewijs. P (A) = P (B \ (B ∩ AC )) = P (B) − P (B ∩ AC ) ≤ P (B) vanwege axioma 2 en eigenschap 3.25.  Eigenschap 3.27. Zij Ω, A, P een kansruimte. ∀A ∈ A : P (A) ≤ 1 Bewijs. A is steeds een deelverzameling van Ω. Gebruik nu eigenschap 3.26.

3.3



Traditionele kansruimten

Definitie 3.28. De uniforme kansmaat is een kansmaat die enkel gedefini¨eerd is voor eindige verzamelingen. |A| P : A → [0, 1] ⊂ R : A 7→ |Ω|

Definitie 3.29. De discrete kansmaat (?) is een kansmaat die enkel gedefini¨eerd is voor aftelbare verzamelingen. P : A → [0, 1] ⊂ R : A 7→ pi P Hier is het natuurlijk essentieel dat i pi = 1 geldt.

Definitie 3.30. Zij C ⊆ Ω een collectie deelverzamelingen van een universum. De σ -algebra σ (C) voortgebracht door C is de kleinste σ -algebra die C bevat. • σ (C is een σ -algebra. • C ⊆ σ (C) • Elke σ -algebra A met C ⊆ A omvat σ (C). Stelling 3.31. De σ -algebra opgespannen door een collectie deelverzamelingen van een universum is uniek. Bewijs. Als er immers nog een (even kleine) sigma algebra zou zijn die aan de voorwaarde voldoet dan zouden ze gelijk zijn volgens de derde eigenschap.  Eigenschap 3.32. Voor elke collectie deelverzamelingen C ⊆ Ω bestaat σ (C). Bewijs. Niet constructief bewijs van existentie Beschouw voor een gegeven collectie deelverzamelingen C de verzameling X : X = {A ⊆ P (Ω) | A is een σ -algebra. ∧ C ⊆ A}

21

HOOFDSTUK 3. KANSRUIMTEN

Merk allereerst op dat X niet leeg is omdat P (Ω) altijd een σ -algebra is (en C omvat).6 We moeten nog de kleinste σ -algebra selecteren uit X . Bekijk hiervoor B: \ B= A A∈X

B omvat nu zeker C omdat C een deel is van elke A ∈ X . We tonen nu aan dat B een σ -algebra is. EXTRA: bewijs dit.

• Ω∈A • A ∈ A ⇒ AC ∈ A • (∀n ∈ N : An ∈ A) ⇒

n∈N An

S

∈A 

Definitie 3.33. De Borel σ -algebra op R is de σ -algebra voortgebracht door C: {] − ∞, a] | a ∈ R} {[a, b] | a, b ∈ R} Stelling 3.34. Het theorema van Vitali Er bestaat geen uniforme kansverdeling op het interval [0, 1]. Zonder bewijs

3.4 3.4.1

Voorwaardelijke kans en onafhankelijkheid Voorwaardelijke kans

Definitie 3.35. Zij Ω, A, P een kansruimte. De voorwaardelijke kans of conditionele kans van een gebeurtenis A gegeven een gebeurtenis B (met P (B) , 0) is P (A|B). P (A|B) =

P (A ∩ B) P (B)

Eigenschap 3.36. Zij Ω, A, P een kansruimte. ∀A ∈ A : P (A|A) = 1 Bewijs. ∀A ∈ A : P (A|A) =

P (A ∩ A) P (A) = =1 P (A) P (A)



Eigenschap 3.37. Zij Ω, A, P een kansruimte. Elke gebeurtenis is onafhankelijk van zijn universum. ∀A ∈ A : P (A|Ω) = P (A) 6 Zie

definitie 3.13 op pagina 17.

22

HOOFDSTUK 3. KANSRUIMTEN Bewijs. ∀A ∈ A : P (A|Ω)

P (A ∩ A) P (A) P (A) = = = P (A) P (A) P (Ω) 1



Stelling 3.38. Zij Ω, A, P een kansruimte en B een gebeurtenis in A met kans groter dan nul. De functie PB is een kansmaat. PB : A → [0, 1] ⊂ R : A 7→ P (A|B) Bewijs. We gaan elke definierende eigenschap van een kansmaat af. • PB (Ω) = P (Ω|B) =

P (Ω∩B) P (Ω)

=

• ∀A ∈ A : PB (A) =

P (A∩B) P (B)

≥0

P (B) P (B)

=1

• Zij (An )n een paarsgewijs disjuncte rij van gebeurtenissen in A. S∞  S P (( n=1 An ) ∩B ) ∞ A = PB n=1 n S∞ P (B) P ( n=1 (An ∩B) ) = P (B) P∞

P (A ∩B)

= n=1P (B)n P∞ = n=1 PB (An ) 

3.4.2

Kettingregel

Stelling 3.39. Zij Ω, A, P een kansruimte. Zij {A1 , A2 , . . . , Ak } meer dan e´ e´ n gebeurtenis in A. k i−1 k \ \ Y * * + P Ai = P .Ai | Aj +/ j=1 , i=1 - i=1 , P (A1 ∩ A2 · · · Ak = P (A1 )P (A2 |A1 )P (A3 |A1 ∩ A2 ) · · · P (Ak |A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ Ak−1 )

Bewijs. Bewijs door volledige inductie op N \ {0, 1}: • De stelling geldt voor k = 2 vanuit de definitie van voorwaardelijke kans:7 P (A1 |A2 ) =

P (A1 ∩ A2 ) ⇒ P (A1 ∩ A2 ) = P (A1 )P (A2 |A1 ) P (A2 )

• Uit de stelling voor k = n volgt dat de stelling geldt voor k = n + 1: We gebruiken hier het basisgeval. T  T   n+1 n P =P Ap ∩ An+1 i=1 Ak i=1  T  T  n+1 = P An+1 | ni=1 Ap P Ak i=1    T Q T n+1 = ni=1 P Ai | i−1 A P A j k i=1   Q Tj=1 i−1 = n+1 P A | A i i=1 j=1 j  7 Zie

definitie 3.35 op pagina 21.

23

HOOFDSTUK 3. KANSRUIMTEN

3.4.3

Wet van de totale kans

Stelling 3.40. Zij Ω, A, P een kansruimte en X een partitie van Ω waarin ∀A ∈ X : P (A) > 0 geldt. X ∀B ∈ A : P (B) = P (A)P (B|A) A∈X

EXTRA: bewijs

3.4.4

Stelling van Bayes

Stelling 3.41. Zij Ω, A, P een kansruimte en X een partitie van Ω waarin ∀A ∈ X : P (A) > 0 geldt. Zij B een gebeurtenis in A met P (B) > 0. P (A)P (B|A) C∈X P (C)P (B|C)

∀A ∈ X : P (A|B) = P EXTRA: bewijs

3.4.5

Handige rekenregels

Stelling 3.42. Zij Ω, A, P een kansruimte en X een partitie van Ω waarin ∀A ∈ X : P (A) > 0 geldt. Zij X een gebeurtenis in Ω. X P (A|X ) = 1 A∈X

Bewijs. P

A∈X

P (A|X ) = = = = =

P (A∩X ) P A∈X P (X ) A∈X P (A∩X ) S P (X ) P ( A∈X A∩X ) S P (X ) P ( A∈X A)∩X P (X ) P (Ω∩X ) P (X ) P (X ) P (X )

P

= =1



Stelling 3.43. Zij Ω, A, P een kansruimte en (Ai )n een rij in A. P* ,

[ n

n−1 X \ + * An = P (A1 ) + P An ∩ ACi + n>1 , i=1 -

Bewijs. We bewijzen, nog sterker, dat de bewering geldt voor elke aftelbare verzameling Ai ∈ A in A. Bewijs door volledige inductie op N: • De stelling geldt voor n = 1   P (A1 ∪ A2 ) = P (A1 ∪ AC1 ∩ A2 = P (A1 ) + P (AC1 ∩ A2 )

24

HOOFDSTUK 3. KANSRUIMTEN • Uit de stelling voor k = n volgt de stelling voor k + 1.

C n n−1 n n+1 n [ X \ [ [ [ * * + * + * + ACi + Ai ∩ An+1 +/+P * Ai + = P (A1 )+ P *An ∩ P Ai = P An+1 ∪ Ai = P . n>1 , i=1 i=1 , i=1 , - , i=1 ,, i=1 -



3.4.6

Onafhankelijkheid

Definitie 3.44. Zij Ω, A, P een kansruimte. We noemen twee gebeurtenissen A en B uit A onafhankelijk als het volgende geldt over hun kans: P (A ∩ B) = P (A) · P (B)

Definitie 3.45. Zij Ω, A, P een kansruimte en A en B twee afhankelijke gebeurtenissen uit A dan noemen we de afhankelijkheid … • … positieve afhankelijkheid als P (A ∩ B) > P (A)P (B) geldt. • … negatieve afhankelijkheid als P (A ∩ B) < P (A)P (B) geldt. Stelling 3.46. Zij Ω, A, P een kansruimte en A en B twee onafhankelijke gebeurtenissen uit A. P (A|B) = P (A) Bewijs. P (A|B) =

P (A ∩ B) P (A) · P (B) = = P (A) P (B) P (B)



Stelling 3.47. Zij Ω, A, P een kansruimte en A en B twee afhankelijke gebeurtenissen uit A, dan zijn er twee mogelijkheden: • A en B zijn positief afhankelijk: P (A|B) > P (A). • A en B zijn negatief afhankelijk: P (A|B) < P (A).

Definitie 3.48. Een verzameling gebeurtenissen noemen we paarsgewijs onafhankelijk als elke twee gebeurtenissen onafhankelijk zijn.

Definitie 3.49. Een eindige verzameling gebeurtenissen X noemen we onderling onafhankelijk als het volgende geldt: \ Y * + ∀Y ∈ P (X ) : P A = P (A) ,A∈Y - A∈Y

25

HOOFDSTUK 3. KANSRUIMTEN

Eigenschap 3.50. Een onderling onafhankelijke verzameling gebeurtenissen is ook zeker paarsgewijs onafhankelijk. EXTRA: bewijs

Definitie 3.51. Een oneindige verzameling gebeurtenissen X noemen we onderling onafhankelijk als elke eindige deelverzameling gebeurtenissen onderling onafhankelijk is.

3.4.7

Systeembetrouwbaarheid Figuur 3.1: Een serieel systeem

Figuur 3.2: Een parallel systeem

Definitie 3.52. Een serieel systeem is een systeem met twee componenten dat werk als en slechts als beide componenten werken. Stelling 3.53. In een serieel systeem S met componenten A en B met respectievelijke faalkansen pA en pB is de kans pS dat het systeem werkt als volgt. pS = pA + pB − pApB TODO: bewijs p 23

Definitie 3.54. Een parallel systeem is een systeem met twee componenten dat werk als en slechts als e´ e´ n van beide componenten werkt. Stelling 3.55. In een parallel systeem S met componenten A en B met respectievelijke faalkansen pA en pB is de kans pS dat het systeem werkt als volgt. pS = pApB TODO: bewijs p 24

Hoofdstuk 4 Stochastische Veranderlijken 4.1

Inleiding

Definitie 4.1. B(R) is de σ -algebra voortgebracht door C = {] − ∞, a] | −∞ < a < +∞}.

Definitie 4.2. Zij Ω, A, P een kansruimte. Een re¨ee functie X als volgt noemen we een stochastische veranderlijke, een stochastische variabele, een stochastiek, een toevalsvariabele of een termrandom variabele. X : Ω→R ∀B ∈ B(R) : X −1 (B) = {ω | X (ω) ∈ B} We noemen X dan een A-meetbare afbeelding.

Definitie 4.3. Een B(R)-meetbare afbeelding in de meetbare ruimte R, B(R) noemen we Borelmeetbaar. Stelling 4.4. Een afbeelding X : R → R is een stochastische variabele in de meetbare ruimte R, B(R) als en slechts als het volgende geldt: ∀a ∈ R : X −1 (] − ∞, a]) = {ω | X (ω) ≤ a} ∈ A Zonder bewijs

Stelling 4.5. Een Borel-meetbare afbeelding introduceert een kansmaat PX (B) op B(R). PX (B) = P (X ∈ B) = P (X −1 (B)) PX (B) = P ({ω ∈ Ω | X (ω) ∈ B}) EXTRA: bewijs

Definitie 4.6. Zij Ω, A, P een kansruimte en X : Ω → R een stochastische veranderlijke, dan definieren we de overeenkomstige verdelingsfunctie FX als volgt: F : R → R : FX (a) = PX (] − ∞, a]) = P ({ω | X (ω) ≤ a}) = P (X ≤ a) 26

HOOFDSTUK 4. STOCHASTISCHE VERANDERLIJKEN

27

Stelling 4.7. Zij X een stochastische veranderlijke in de kansruimte Ω, A, P, dan is de afbeelding FX een verdelingsfunctie als de volgende beweringen gelden. 1. FX is monotoon stijgend. ∀a, b ∈ R : a ≤ b ⇒ FX (a) ≤ FX (b) 2. lima→+∞ FX (a) = 1 en lima→−∞ FX (a) = 0 3. FX is rechts continu.

∀a ∈ R : lim FX (a + h) = FX (a) >

h →0

Zonder bewijs

Stelling 4.8. Zij FX een verdelingsfunctie voor een kansruimte Ω, A, P ). P (a < X ≤ b) = FX (b) − FX (a) EXTRA: bewijs

Stelling 4.9. Zij FX een verdelingsfunctie voor een kansruimte Ω, A, P ). P (X > a) = 1 − FX (a) EXTRA: bewijs

Definitie 4.10. De kwantielfunctie QX voor een kansruimte Ω, A, P ) is de inverse functie van de verdelingsfunctie FX . De waarde QX (p) is de kleinste waarde a waarvoor FX (a) ≥ p geldt.

Definitie 4.11. Het 25%, 50% en 75% kwantiel worden respectievelijk het eerste, tweede en derde kwartiel genoemd.

Definitie 4.12. Het tweede kwartiel wordt ook wel de mediaan genoemd.

4.2 4.2.1

Types stochastische veranderlijken Discrete stochastische veranderlijken

Definitie 4.13. We noemen een stochastische veranderlijke X in een kansruimte Ω, A, P discreet als het beeld pi van X slechts in een aftelbaar aantal punten xi niet nul is. pi = P ({ω ∈ Ω | X (ω) = xi }) = P (X = xi )

28

HOOFDSTUK 4. STOCHASTISCHE VERANDERLIJKEN

Definitie 4.14. We noemen de rij (pi )i de discrete verdeling van een discrete stochastische veranderlijke X als het volgende geldt: X pi = 1 ∀i : pi ≥ 0 en i

Stelling 4.15. De kansverdeling van een discrete stochastische veranderlijke X heeft een eenvoudigere formule: X FX (a) = P (X ≤ a) = pi x i ≤a

EXTRA: bewijs

4.2.2

Continue stochastische veranderlijken

Definitie 4.16. We noemen een stochastische veranderlijke X in een kansruimte Ω, A, P continu als de kans op elk punt nul is… ∀x ∈ Ω : PX ({x }) = 0 … en de verdelingsfunctie FX een continue functie is.

Definitie 4.17. Wanneer de verdelingdsfunctie FX van een continu¨e stochastische veranderlijke continu afleidbaar is, defini¨eren we de dichtheidsfunctie of kansdichtheid fX als volgt: fX (x ) : R → R : x → fX (x ) =

dFX (x ) dx

Stelling 4.18. De kansverdeling van een continu¨e stochastische veranderlijke X valt te berekenen met een integraal: Z FX (a) = P (X ≤ a) =

a

fX (x )dx

−∞

EXTRA: bewijs

Stelling 4.19. Zij FX de kansverdeling van een continu¨e stochastische veranderlijke X . FX (b) − FX (a) = P (a < X ≤ b) =

b

Z a

fX (x )dx

EXTRA: bewijs

Stelling 4.20. Zij FX de kansverdeling van een continu¨e stochastische veranderlijke X . PX (]a, b[) = PX ([a, b[) = PX (]a, b]) = PX ([a, b]) EXTRA: bewijs

29

HOOFDSTUK 4. STOCHASTISCHE VERANDERLIJKEN

4.3 4.3.1

Momenten van een stochastische veranderlijken Verwachtingswaarde en variantie

Definitie 4.21. Zij Ω, A, P een kansruimte, X een stochastische veranderlijke met verdelingsfunctie FX , dan definiert men de verwachtingswaarde van X als E[X ]: E[X ] =

+∞ X −∞

( xdF (x )(x ) =

i xi pi +∞ x fX (x )dx −∞

P

R

als FX discreet is als FX continu is

Opmerking 4.22. Merk op dat E[X ] niet steeds bestaat. Stelling 4.23. Beschouw een Borel-meetbare afbeelding д : R → R, dan is д ◦ X opnieuw een stochastische verabele. EXTRA: bewijs

Eigenschap 4.24. Zij X : Ω → R een stochastische variabele en a ∈ R een constante. E[aX ] = aE[X ] EXTRA: bewijs

Eigenschap 4.25. Zij X : Ω → R een stochastische variabele en b ∈ R een constante. E[X + b] = E[X ] + b EXTRA: bewijs

Eigenschap 4.26. Zij X : Ω → R een stochastische variabele en b ∈ R een constante. E[b] = b EXTRA: bewijs

Eigenschap 4.27. |E[X ]| ≤ E[|X |] EXTRA: bewijs

Definitie 4.28. De verwachtingswaarde E[X ] wordt ook wel het eerste moment genoemd.

Definitie 4.29. Het eerste absolute moment definieren we als E[|X |].

30

HOOFDSTUK 4. STOCHASTISCHE VERANDERLIJKEN

Definitie 4.30. De variantie van een stochastische veranderlijke X definieren we als V ar [X ]: V ar [X ] = E[(X − E[X ]) 2 ]

Definitie 4.31. De standaardafwijking van een stochastische veranderlijke X definieren we p als V ar [X ]. Stelling 4.32. We kunnen V ar [X ] eenvoudig berekenen. ( P 2 i (xi − E[X ]) pi R V ar [X ] = +∞ (x − E[X ]) 2 fX (x )dx −∞

als FX discreet is als FX continu is

EXTRA: bewijs

Eigenschap 4.33. Zij X : Ω → R een stochastische variabele en a ∈ R een constante. V ar [aX ] = a 2V ar [X ] TODO: bewijs: oefening

Eigenschap 4.34. Zij X : Ω → R een stochastische variabele en b ∈ R een constante. V ar [X + b] = V ar [X ] TODO: bewijs: oefening

Eigenschap 4.35. Zij X : Ω → R een stochastische variabele en b ∈ R een constante. V ar [b] = 0 TODO: bewijs: oefening

4.3.2

Som en product van stochastische veranderlijken

Definitie 4.36. Zij X en Y beide stochastische variabelen in een kansruimte Ω, A, P, dan definieren we de som van stochastische variabelen als X + Y : (X + Y )(ω) = X (ω) + Y (ω) Stelling 4.37. De som van twee stochastische variabelen is opnieuw een stochastische variabele. EXTRA: bewijs

HOOFDSTUK 4. STOCHASTISCHE VERANDERLIJKEN

31

Definitie 4.38. Zij X en Y beide stochastische variabelen in een kansruimte Ω, A, P, dan definieren we het product van stochastische variabelen als XY : (X + Y )(ω) = X (ω)Y (ω) Stelling 4.39. Het product van twee stochastische variabelen is opnieuw een stochastische variabele. EXTRA: bewijs

Eigenschap 4.40. Zij X en Y beide stochastische variabelen in een kansruimte Ω, A, P. E[X + Y ] = E[X ] + E[Y ] TODO: bewijs p 44

Definitie 4.41. Twee stochastische variabelen X en Y in een kansruimte Ω, A, P noemen we onafhankelijk als het volgende geldt: P ((X ∈ A) ∩ (Y ∈ B)) = P (X ∈ A)P (Y ∈ A) Eigenschap 4.42. Zij X en Y twee onafhankelijke stochastische variabelen in een kansruimte Ω, A, P. E[XY ] = E[X ]E[Y ] TODO: bewijs p 45

Eigenschap 4.43. Zij X en Y twee onafhankelijke stochastische variabelen in een kansruimte Ω, A, P. V ar [X + Y ] = V ar [X ] + V ar [Y ] TODO: bewijs p 45

Eigenschap 4.44. Zij X en Y twee onafhankelijke stochastische variabelen in een kansruimte Ω, A, P. V ay[XY ] = V ar [X ]V ar [Y ] + E[X ]2V ar [Y ] + V ar [X ]E[Y ]2 TODO: bewijs p 45

Stelling 4.45.

TODO: bewijs p 46

V ar [X ] = E[X 2 ] − E[X ]2

32

HOOFDSTUK 4. STOCHASTISCHE VERANDERLIJKEN

4.3.3

Ongelijkheden

Grenzen voor het eerste absolute moment Stelling 4.46. Zij Ω, A, P een kansruimte en X een willekeurige stochastische variabele op Ω. ∞ X

P (|X | ≥ n) ≤ E (|X |) ≤ 1 +

n=1

∞ X

P (|X | ≥ n)

n=1

TODO: bewijs p 47

Gevolg 4.47. E (|X |) bestaat als en slechts als

n=1 P (|X |

P∞

≥ n) convergeert.

Stelling 4.48. Zij X een stochastische variabele, dan bestaat E[|X |k ] voor alle k kleiner dan n als E[|X |n ] bestaat. EXTRA: bewijs

Gevolg 4.49. Zij X een positieve stochastische veranderlijke die alleen gehele waarden kan aannemen. ∞ X P (X ≥ n) E[X ] = n=1

EXTRA: bewijs

De ongelijkheid van Chebyshev Stelling 4.50. De ongelijkheid van Chebyshev Zij X een stochastische variabele en ϕ : R → R een functe zodat E[ϕ (X )] bestaat. 1. Als ϕ positief, even en niet-dalend is voor alle x ≥ 0 geldt het volgende: ∀a ≥ 0 : P (|X | ≥ a) ≤

E[ϕ (X )] ϕ (a)

2. Als ϕ positief en niet-dalend is voor alle x ∈ R geldt het volgende: ∀a ∈ R : P (X ≥ a) ≤

E[ϕ (X )] ϕ (a)

TODO: bewijs p 50

Gevolg 4.51. Zij X een stochastische variabele met E[|X |n ] < ∞, n > 0, dan geldt het volgende: ∀a > 0 : P (|X | ≥ a) ≤ a −n E[|X |n ] Zij bovendien E[X ] = µ en V ar [X ] = siдma 2 < ∞, dan geldt ook: σ2 ∀a > 0 : P (|X − µ | ≥ a) ≤ 2 a

4.3.4

Hogere momenten en momentgenererende functie

33

HOOFDSTUK 4. STOCHASTISCHE VERANDERLIJKEN

Definitie 4.52. Voor elk natuurlijk getal k ≥ 1 definieert men het ruwe moment van orde k als αk (X )… αk (X ) = E[X k ] … en het centrale moment van orde k als µk (X ). µk (X ) = E[(X − E[X ])k ] Definitie 4.53. De momentgenererende functie (MGF) van X is gedefinieerd als MX (t ). ( P tx als FX discreet is i e pi + tX MX : R → R : t → MX (t ) = E[e ] = R +∞ tx e f (x )dx als FX continu is −∞ Stelling 4.54. MX (t ) =

∞ X αi t i i=1

i!

EXTRA: bewijs

Stelling 4.55. αk =

dk M (t ) X dt k t=0

EXTRA: bewijs

Stelling 4.56. Zij X en Y twee stochastische veranderlijken zodat Y = aX + b. MY (t ) = e bt MX (at ) EXTRA: bewijs

Eigenschap 4.57. Zij X en Y onafhankelijke stochastische veranderlijken, dan geldt het volgende: ∀t : MX +Y (t ) = MX (t )MY (t ) TODO: bewijs p 53

4.4 4.4.1

Kentallen Kentallen van locatie

Gemiddelde Definitie 4.58. We definieren het gemiddelde µ (X ) van een stochastische variabele X als E[X ]. Voordelen Eenvoudig Expliciet Lineair

Nadelen Niet robuust

HOOFDSTUK 4. STOCHASTISCHE VERANDERLIJKEN

34

Mediaan Definitie 4.59. We definieren de mediaan Med (X ) van een stochastische variabele X als het tweede kwartiel: 1. F −1 (1/2) als er precies e´ e´ n x bestaat zodat F (x ) = 1/2 geldt. 2. Het punt waar F een discontinu¨e sprong maakt van < 1/2 naar > 1/2 als er g´ee´ n zo’n x-en bestaan 3. Het middelpunt van het interval waarop F (x ) = 1/2 geldt als er meerdere van zo’n x-en bestaan. Opmerking 4.60. Via dezelfde regels kunnen we de kwantielfunctie definieren zodat elk beeld ervan bestaat. Voordelen Nadelen Robuuster Niet altijd eenvoudig te berekenen Bestaat altijd Stelling 4.61. Als een verdeling f symmetrisch is ten opzichte van een middelpunt c…: ∀t : f (c − t ) = f (c + t ) … dan is c zowel het gemiddelde als de mediaan van de bijhorende stochastische variabele. EXTRA: bewijs

Modus Definitie 4.62. De modus van een stochastische variabele wordt gedefinieerd als de meest voorkomende waarde. Voordelen

Nadelen Niet altijd uniek

Definitie 4.63. Een verdeling met twee modi noemt men een bimodiale verdeling.

Definitie 4.64. Een verdeling met meer dan twee modi noemen we een multimodiale verdeling.

4.4.2

Kentallen van schaal

Variantie en standaardafwijking

HOOFDSTUK 4. STOCHASTISCHE VERANDERLIJKEN

35

Definitie 4.65. De variantie van een stochastische veranderlijke X definieren we als V ar [X ] met notatie σ (X ) 2 .

Definitie p 4.66. De standaardafwijking van een stochastische veranderlijke X definieren we als σ = V ar [X ]. Voordelen Nadelen Makkelijk te berekenen Niet altijd uniek Mooie eigenschappen Niet robuust Interkwartiel Definitie 4.67. Het interkwartiel (IQR) of de interkwartielafstand is gedefinieerd als de afstand tussen het eerste en het derde kwartiel. IQR = F −1 (3/4) = F −1 (1/4) Voordelen Nadelen Bestaat altijd Robuust Median absolute deviation Definitie 4.68. De median absolute deviation (MAD) is gegeven door de mediane absolute afwijking van de mediaan. MAD = Med |X − Med (X )| Voordelen Nadelen Bestaat altijd Nog robuuster Stelling 4.69. Voor symmetrische verdelingen is het interkwartiel precies gelijk aan twee keer de MAD. Variantiebreedte Definitie 4.70. De variantiebreedte is de totale breedte waarover de kansmassa zich uitstrekt. Voordelen

Nadelen Meestal +∞ Niet robuust

HOOFDSTUK 4. STOCHASTISCHE VERANDERLIJKEN

36

Variatieco¨efficient Definitie 4.71. De variatieco¨efficient ν (X ) van een stochastische variabele X vergelijkt de standaardafwijking met het gemiddelde. p V ar [X ] ν (X ) = E[X ] EXTRA: voordelen en nadelen

4.4.3

Kentallen van scheefheid

Definitie 4.72. De scheefheidsco¨efficient van een stochastische variable definieren we als γ1. µ3 γ1 = 3 σ EXTRA: voordelen en nadelen EXTRA: andere kentallen van scheefheid

4.5 4.5.1

Belangrijke verdelingen Discrete verdelingen

Discrete uniforme verdeling Definitie 4.73. De discrete uniforme verdeling is gedefinieerd op een eindig universum Ω = {x 1 , . . . , xn }. ∀i ∈ {1, . . . , n} : pi = P ({xi }) = 1/n Bernoulli verdeling Definitie 4.74. Een Bernoulli verdeling is gedefinieerd voor een Bernoulli experiment. P (X = 1) = p

en

P (X = 0) = q = 1 − p

We noemen p de kans op succes. We noteren een stochastische variabele met een Bernoulli verdeling als volgt: X ∼ B(1, p) Binomiaalverdeleing Definitie 4.75. Een binomiaalverdeling is de verdeling van de som Y van n bernoulli-verdeelde

37

HOOFDSTUK 4. STOCHASTISCHE VERANDERLIJKEN stochastische veranderlijken Xi met slaagkans p. Y =

n X

Xi

i=1

Y ∼ B(n, p) Ω is dus {1, . . . , n}.

! n k n−k p q P (Y = k ) = k

Geometrische verdeling Definitie 4.76. Een Geometrische verdeling is de verdeling die optreedt als we een bernoulli experiment met slaagkans θ uitvoeren tot het slaagt. P (X = i) = (1 − θ )i p X ∼ Geom(θ ) Negatief binomiaalverdeling Definitie 4.77. Een Geometrische verdeling is de verdeling die optreedt als we een bernoulli experiment met slaagkans p uitvoeren tot het r keer slaagt. ! i +r −1 P (X = i) = (1 − θ )r θ i i X ∼ N B(r, θ ) Hypergeometrische verdeling Definitie 4.78. Een hypergeometrische verdeling is een verdeling Y over een universum {1, . . . , n} als volgt: s  N −s  P (Y = i) =

i

n−i

N  n

Y ∼ H (N , s, n) EXTRA: meer uitleg?

Poissonverdeling Definitie 4.79. De Poissonverdeling P (α ) met parameter a ∈ R+ is gedefinieerd op Ω = N als volgt: αi pi = P (X = i) = e −α i!

HOOFDSTUK 4. STOCHASTISCHE VERANDERLIJKEN

4.5.2

38

Continue verdelingen

Continue uniforme verdelingen Definitie 4.80. De stochastische variabele X volgt een continue uniforme verdeling op [a, b] als X de volgende dichtheid heeft. fa,b (x ) =

1 1[a,b] (x ) b −a

Exponentiele verdeling Definitie 4.81. De exponentiele verdeling met parameter a is een stochastische veranderlijke met de volgende dichtheidsfunctie. ( −at ae als t ≥ 0 fa (t ) = 0 als t < 0 X ∼ ε (α ) Univariate normale verdeling Definitie 4.82. De standaard normale verdeling N (0, 1) is gedefinieerd door haar dichtheidsfunctie ϕ (x ): 1 2 e− 2x ϕ (x ) = √ 2π

Definitie 4.83. Een stochastische veranderlijke die standaard normaal verdeeld is wordt genoteerd met Z .

Definitie 4.84. De verdelingsfunctie van een standaard normale verdeling noteren we als Φ(x ). Z x Φ(x ) = ϕ (t )dt −∞

Definitie 4.85. De algemene normale verdeling N (µ, σ 2 ) met µ ∈ R en σ ∈ R+ is de verdeling van X = σZ + µ. (x −µ ) 2

f µ,σ Stelling 4.86.

e − 2σ 2 = √ σ 2π

x − µ  x − µ  FX (x ) = FZ =Φ σ σ

HOOFDSTUK 4. STOCHASTISCHE VERANDERLIJKEN

39

χn2 -verdeling Definitie 4.87. De gammafunctie is als volgt gedefinieerd: Z ∞ Γ(t ) = x t−1e −x dx voor t > 0 0

Stelling 4.88.

∀t ∈ R+ : Γ(t + 1) = tγ (t )

EXTRA: bewijs

Stelling 4.89. ∀n ∈ N : Γ(n + 1) = n! EXTRA: bewijs

Stelling 4.90. Γ

1 2

√ = π

EXTRA: bewijs

Stelling 4.91. De formule van Stirling Γ(t ) ∼ lim  t→∞

 t − 1  t−1 p 2π (t − 1) e

Γ(t ) =1  t−1 p t−1 2π (t − 1) e

TODO: wut

Definitie 4.92. Zij Z 1 , . . . , Zn n standaard normale verdelingen. De som X van deze Zi noemen we chi-kwadraat verdeeld met n vrijheidsgraden. X ∼ χn2 x n  e − 2 x 2 −1   x>0 n 2 2 Γ ( n2 ) f χn2 (x ) =    0 x≤0 

Gammaverdeling Definitie 4.93. De gammaverdeling met parameters γ , β ∈ R+ is gedefinieerd door de dichtheidsfuncite fγ ,β : −x x γ −1e β fγ ,β = γ 1x >0 β Γ(γ )

40

HOOFDSTUK 4. STOCHASTISCHE VERANDERLIJKEN X ∼ Γγ ,β tn verdeling

Definitie 4.94. De Student verdeling met n vrijheidsgraden is gedefinieerd als de verdeling van T : Z T =√ X/n Stelling 4.95. De verdeling is symmetrisch met dichtheid ftn (t ) ftn (t ) =  Waarbij:

Kn 2

1 + tn

 n+1 2

  Γ n+1 2   Kn = √ nπ Γ n2

Zonder bewijs

Cauchy verdeling Definitie 4.96. De Cauchy verdeling is de t 1 verdeling. Eigenschap 4.97. Zij X en Y twee standaard normaal verdeelde stochastische variabelen, dan is Cauchy verdeeld. TODO: bewijs p 71 TODO: opmerkingen hier

F -verdeling Definitie 4.98. Zij W ∼ χm2 en V ∼ χn2 onafhankelijk, dan noemt men de verdeling van X de F -verdeling. W/m X = V/n X ∼ Fm,n Stelling 4.99. De dichtheidsfunctie van de Fm,n -verdeling is fm,n m

fm,n

Lognormale verdeling

−1   Km,n x 2 n+m x > 0  (n+mx ) 2 = 0 x≤0    m n m 2 n 2 Γ m+n 2     Km,n = m n Γ 2 Γ 2

X Y

HOOFDSTUK 4. STOCHASTISCHE VERANDERLIJKEN

41

Definitie 4.100. Een stochastische variabele is lognormaal verdeeld met parameters µ ∈ R en σ ∈ R+ als het volgende geldt: ln(Y ) = N (µ, σ 2 )

4.6 4.6.1

Transformatie van stochastische veranderlijken Monotone transformatie

Stelling 4.101. Zij X een continue stochastische veranderlijke met dichtheidsdfunctie fX zodat fX (x ) = 0 voor x < S. Zijn h : R → R een functie zodat U = h(X ) opnieuw een stochastische veranderlijke is. Zij bovendien h een differentieerbare, strikt stijgende of strikt dalende functie op S, dan is de dichtheidsfunctie van U fU : −1   fX (h −1 (u)) dhdu(u) u ∈ h(S )  fU (u) =  u < h(S )  0 EXTRA: bewijs

4.6.2

Integraaltransformatie

Eigenschap 4.102. Zij X een continue stochastische veranderlijke met verdelingsfunctie FX strikt stijgend op FX−1 (]0, 1[) en beschouw de transformatie U = FX (X ), dan geldt U ∼ U[0, 1]. EXTRA: bewijs

4.6.3

Genereren van stochastische veranderlijken

Eigenschap 4.103. Zij U ∼ U [0, 1] en beschouw de transformatie X = F −1 (U ), dan is F de verdelingsfunctie van X . EXTRA: bewijs

Hoofdstuk 5 Bivariate verdelingen 5.1

Verdeling van een stochastisch koppel

Definitie 5.1. Zij X en Y twee stochastische veranderlijken in een kansruimte Ω, A, P. Een stochastische vector van dimensie 2 of stochastisch koppel is een koppel stochastische veranderlijken (X , Y ): (X , Y ) : Ω → R2 : ω → (X (ω), Y (ω)) (X ,Y )

Ω, A, P → R2 , B(R2 ), PX ,Y Hierin is B(R2 ) de kleinste σ -algebra die de deelverzameling van de vorm ] − ∞, a 1 ]×] − ∞, a 2 ] met a 1 , a 2 ∈ R bevat. PX ,Y (] − ∞, x]×] − ∞, y] = P (X 1 (] − ∞, x]) ∩ Y −1 (] − ∞, y])) FX ,Y = P (X ≤ x, Y ≤ y) FX ,Y (x, y) is stijgend in elk argument. FX ,Y (x, y) is rechts congruent in elk argument. lim FX ,Y (x, y) = 0 en lim FX ,Y (x, y) = 1

x→−∞

x→+∞

TODO: dit beter uitschrijven

discreet:

∀x, y ∈ R : P ({X = x }, {Y = y}) = P (X = x, Y = y) ∀x, y ∈ R : P (X = x, Y = y) ≥ 0 XX P (X = x, Y = y) = 1 x

y

P (B) =

X

P (X = x, Y = y)

(x,y)∈B

continu: ∀x, y ∈ R : FX ,Y (x, y) =

x

Z

−∞

Z

y

fX ,Y (u, v) dv du

−∞

∀x, y ∈ R : fX ,Y (x, y) ≥ 0 Z

+∞ Z +∞ −∞

fX ,Y (u, v) dv du = 1

−∞

42

43

HOOFDSTUK 5. BIVARIATE VERDELINGEN fX ,Y (x, y) =

5.1.1

∂ 2 FX ,Y (x, y) ∂x ∂y

Marginale verdeling

Definitie 5.2. Zij (X 1 , X 2 ) een koppel stochastische veranderlijken met gezamenlijke verdelingsfunctie FX 1 ,X 2 (x 1 , x 2 ), dan noemen we de verdelingsfunctie van Xi de marginale verdelingsfunctie van FX 1 ,X 2 . FX 1 (x 1 ) = FX 1 ,X 2 (x 1 , +∞) Voor een koppel discrete stochastische veranderlijken spreken we over een marginale kansverdeling P (Xi = xi ): X P (X 1 = x 1 ) = P (X 1 = x 1 , X 2 = x 2 ) x2

Voor een koppel continue stochastische veranderlijken spreken we over een marginale kansdichtheidsfunctie fX i (xi ). Z fX 1 (x 1 ) =

5.1.2

+∞

−∞

fX 1 ,X 2 (x 1 , x 2 )dx 2

Onafhankelijkheid

Definitie 5.3. Twee stochastische veranderlijken X en Y in een kansruimte Ω, A, P heten onafhankelijk als voor alle BX , BY ∈ B(R) de volgende gebeurtenissen onderling onafhankelijk zijn. {X ∈ BX } en {Y ∈ BY } FX ,Y (x, y) = FX (x )FY (y) Voor een koppel discrete stochastische veranderlijken: P (X = x, Y = y) = P (X = x )P (Y = y) Voor een koppel continue stochastische veranderlijken: fX ,Y (x, y) = fX (x ) fY (y)

5.1.3

Voorwaardelijke verdeling

Definitie 5.4. Zij (X , Y ) een discrete stochastische vector in een kansruimte Ω, A, P met gezamelijke kansverdeling P (X = x, Y = y). De voorwaardelijke verdeling van X gegeven Y = y is P (X = x |Y = y). P (X = x |Y = y) =

P (X = x, Y = y) als P (Y = y) > 0 P (Y = y)

Definitie 5.5. Zij (X , Y ) een continue stochastische vector in een kansruimte Ω, A, P met gezamelijke dichtheidsfunctie fX ,Y . De voorwaardelijke dichtheidsfunctie van X gegeven Y = y

44

HOOFDSTUK 5. BIVARIATE VERDELINGEN is fX |Y (x |y). fX |Y (x |y) =

5.2 5.2.1

fX ,Y (x, y) fY (y)

Karakteristieken van een stochastisch koppel Momenten en momentgenererende functie

Definitie 5.6. Zij X , Y een stochastisch koppel en д : R2 → R een Borel-meetbare functie. De verwachtingswaarde van д(X , Y ) is dan als volgt gedefinieerd. Voor een discreet koppel: XX д(x, y)P (X = x, Y = y) E[д(X , Y )] = x

y

Z

+∞

Voor een continu koppel: E[д(X , Y )] =

д(x, y) fX ,Y (x, y) dx dy

−∞

… als ze bestaat.

Definitie 5.7. Ruwe momenten: stel д(x, y) = x r x yry E[X r x Y ry ] TODO: wut

Definitie 5.8. Centrale momenten stel д(x, y) = (x − µx )r x (y − µy )ry E[(X − µx )r x (Y − µy )ry ]

Definitie 5.9. gezamelijke momentgenererende functie stel д(x, y) = e tx x+ty y MX ,Y (tx , ty ) = E[e tx X e ty Y ]

5.2.2

Covariantie en correlatie

Definitie 5.10. De covariantie van X en Y wordt gedefinieerd als Cov (X , Y ): Cov (X , Y ) = E[(X − E[X ])(Y − E[Y ])] TODO: specifiek voor discrete e continue koppels

HOOFDSTUK 5. BIVARIATE VERDELINGEN

45

Definitie 5.11. De correlatieco¨efficient van X en Y wordt gedefinieerd als Corr (X , Y ): Cov (X , Y ) Corr (X , Y ) = p V ar [X ]V ar [Y ]

5.2.3

Eigenschappen

Stelling 5.12. Zij X en Y twee onafhankelijke stochastische veranderlijken en д : R2 → R een Borel-meetbare functie zodat ∀x, y ∈ R : д(x, y) = дx (x )дy (y) geldt: E[д(x, y)] = E[дx (x )]E[дy (y)] Gevolg 5.13. MX ,Y (tx , ty ) = MX (tx )MY (ty ) EXTRA: bewijs

Stelling 5.14. p |Cov (X , Y )| ≤ V ar [X ]V ar [Y ] EXTRA: bewijs

Stelling 5.15. Als X en Y onafhankelijk zijn: E[XY ] = E[X ]E[Y ] en Cov (X , Y ) = 0 EXTRA: bewijs

Gevolg 5.16. −1 ≤ Corr (X , Y ) ≤ 1 EXTRA: bewijs

Gevolg 5.17. Y = aX + b

Corr (X , Y ) = sдn(a)

EXTRA: bewijs

Stelling 5.18. E[aX + bY ] = aE[X ] + bE[Y ] EXTRA: bewijs

Stelling 5.19.

EXTRA: bewijs

V ar [aX + bY ]a 2V ar [X ] + b 2V ar [Y ] + 2abCov (X , Y )

46

HOOFDSTUK 5. BIVARIATE VERDELINGEN Gevolg 5.20. X en Y onafhankelijk: V ar [aX + bY ]a 2V ar [X ] + b 2V ar [Y ] EXTRA: bewijs

5.3

Bivariate normale verdeling

Definitie 5.21. Een stochastisch koppel (X , Y ) heeft een bivariate normale verdeling als de gezamelijke verdelingsfunctie van X en Y gegeven wordt door fX ,Y als volgt:

fX ,Y (x, y) =

e

− 12

1 1−ρ 2

met µx , µy ∈ R, σx , σy ∈ R+0 en ρ ∈ [0, 1]. TODO: meer uitleg hierbij

 x −µ  2 σx

x

−2ρ

 x −µ  2  y−µy  2  y−µy  2 ! x + σy σx σy

p 2πσx σy 1 − ρ 2

Hoofdstuk 6 Benaderingen van verdelingen 6.1

Limietstellingen

Stelling 6.1. De centrale limietsstelling (CLT) P Zij Xi n identiek verdeelde stochastische veranderlijken en S = i X 1 . S − nµ →Z √ nσ ! S − nµ ∀x ∈ R : lim P √ ≤ x = Φ(x ) n→∞ nσ Zonder bewijs

Stelling 6.2. De stelling vna De Moivre-Laplace Zij Xi n onafhankelijke stochastische veranderlijken die allemaal Bernoulli verdeeld zijn met paraP meter p ∈]0, 1[ en S = i Xi . S − nµ →Z √ nσ TODO: bewijs p 94

Stelling 6.3. De limietstelling van Poisson Zij Xi n binomiaal verdeelde stochastische veranderlijken. Als limn→+∞,pi →0 npi = α geldt, dan ook: Xi → X met X ∼ P (α )

6.2

Practische benaderingen

47

Hoofdstuk 7 Voorbeelden 7.1

Combinatoriek

Variaties Voorbeeld 7.1. Het aantal manieren om 4 studenten uit 10 aan te duiden om 4 verschillende oefeningen te maken is V104 .

Herhalingsvariaties 2

Voorbeeld 7.2. Het aantal verschillende bytes is V 8 .

Permutaties Voorbeeld 7.3. Het aantal manieren om 5 mensen aan een tafel te zetten is P5 . Voorbeeld 7.4. Het aantal manieren om 5 personen aan een ronde tafel te zetten is P4 . Omdat de tafel rond is kunnen we e´ e´ n persoon vast kiezen en de andere vier op de vier overige plaatsen zetten.

Herhalingspermutaties EXTRA: voorbeeld

Combinaties 4 . Voorbeeld 7.5. Het aantal manieren om een groepje van 4 studenten uit 10 aan te duiden is C 10

Voorbeeld 7.6. Het aantal manieren om 5 keer hetzelfde aantal ogen te gooien met 5 dobbelstenen is C 61 . Voorbeeld 7.7. Het aantal manieren om 4 keer hetzelfde aantal ogen te gooien met 5 dobbelstenen is C 61 · C 51 .

Herhalingscombinaties EXTRA: voorbeeld

48

HOOFDSTUK 7. VOORBEELDEN

7.1.1

49

Gemengde voorbeelden

Voorbeeld 7.8. Het aantal manieren om twee teams van 6 uit 12 spelers te kiezen is C126 /2. We kiezen 6 mensen uit 12 om een team te vormen. De andere 6 mensen vormen dan het andere team. We delen door twee omdat het niet uitmaakt wie de tegenstanders zijn.

50

HOOFDSTUK 7. VOORBEELDEN

7.2

Kansruimten

Voorbeeld 7.9. Het gooien van een dobbelsteen, met mogelijke uitkomsten Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} is een stochastisch experiment. Voorbeeld 7.10. Bij het gooien van een dobbelsteen is “het gooien van meer dan drie ogen” gebeurtenis A = {4, 5, 6}. Voorbeeld 7.11. Het opgooien van een munstuk, met twee mogelijke uitkomsten Ω = {kop, munt } is een bernoulli experiment Voorbeeld 7.12. Twee personen kiezen lukrook een geheel getal tussen 1 en 5, maar mogen niet hetzelfde getal kiezen. Dit is een stochastisch experiment met universum Ω = {(a, b) | a, b ∈ {1, 2, 3, 4, 5} ∧ a , b}

Sigma algebra’s Voorbeeld 7.13. Voor het experiment van een worp met een muntstuk met universum {kop, munt } is A = {∅, {kop}, {munt }, Ω} een σ -algebra.

Kansmaten Traditionele kansruimten Voorbeeld 7.14. In het experiment van het opgooien van een muntstuk is er voor de meetbare ruimte {kop, munt }, {∅, {kop}, {munt }, Ω} een uniforme kansmaat: P ({kop}) = P ({munt }) = EXTRA: dobbelsteen EXTRA: kaartspel EXTRA: geiger-muller teller

Voorwaardelijke kans en onafhankelijkheid

1 2

Hoofdstuk 8 Oefeningen 8.1

Kansruimten

Oefening 8.1. Een bepaalde vorm van kanker (in het beginstadium) treft 3 Belgen op 1000. Men heeft een zeer betrouwbare maar dure test ontwikkeld die deze vorm van kanker moet opsporen: niet- getroffen personen reageren positief op de test in 5% van de gevallen (vals alarm). Slechts 2% van de personen die deze vorm van kanker hebben in zijn beginstadium, reageren negatief (nietdetecteren van de kanker). Is het rendabel voor de staat om elke Belg te testen? We beginnen met definities van notatie: • Als we willekeurig een Belg kiezen is de kans

3 1000

• Als we een Belg zonder kanker testen is de kans • Als we een Belg met kanker testen is de kans

dat die kanker heeft: P (K ) =

5 100

2 100

3 1000 .

dat de test postief uitslaagt: P (P |G) =

5 100 .

dat de test negatief uitslaagt: P (N |K ) =

2 100 .

• We zoeken nu de kans dat een Belg kanker heeft, gegeven dat de test positief uitslaagt: P (K |P ) Merk eerst op dat de kans dat een test enkel positief op negatief kan uitslaan, en een belg enkel al dan niet kanker kan hebben. P (P ) + P (N ) = 1 ∧ P (K ) + P (G) = 1 Er is dus ook het volgend verband:1 P (P | ·) + P (N | ·) = 1 ∧ P (K | ·) + P (G | ·) = 1 Hierna kunnen we de wet van de totale kans gebruiken: P (P ) = P (K )P (P |K ) + P (G)P (P |G) = P (K )(1  − P (N  |K) + (1 − P (K ))P (P |G) 3 2 3 5 = 1000 1 − 100 + 1 − 1000 100 = 5.279% We gebruiken de stelling van Bayes2 om P (K |P ) te berekenen. P (K |P ) = = =

P (K )P (P |K ) P (K )P (P |K )+P (G)P (P |G) P (K )(1−P (N |K )) P (K )(1−P (N |K ))+(1−P (K ))P (P |G) 3 2 1000 ( 1− 100 ) 3 2 3 5 1000 ( 1− 100 ) + ( 1− 1000 ) 100

= 5.567% 1 Zie 2 Zie

stelling 3.42 op pagina 23. stelling 3.41 op pagina 23.

51

52

HOOFDSTUK 8. OEFENINGEN

Oefening 8.2. Er wordt een vraag gesteld en je mag kiezen tussen m antwoorden waarvan er e´ e´ n het juiste antwoord is. De kans dat je het antwoord weet, is gelijk aan p. Toon aan dat de voorwaardelijke kans dat je het antwoord wist, gegeven dat je juist geantwoord hebt, gelijk is aan x: x=

mp mp + 1 − p

Bewijs. Definities: • Noem P (J ) de kans dat je de vraag juist had. P (J ) + P (F ) = 1 • Noem P (W ) de kans dat je het antwoord wist. P (W ) + P (N ) = 1 • Veronderstel dat, wanneer je het antwoord niet weet, je altijd wilekeurig gokt en het anders altijd juist hebt. P (J |W ) = 1 Omdat je willekeurig gokt wanneer je het antwoord niet weet, is het volgende ook gegeven: P (J |N ) =

1 m

We zoeken nu P (W |J ). We gebruiken hiervoor de stelling van Bayes: P (W |J ) = = =

P (W )P (J |W ) P (W )P (J |W )+P (N )P (J |N ) p p+(1−p) ( m1 ) mp mp+1−p

 Oefening 8.3. Zij Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Beschouw C = {{1, 2, 3, 4}, {3, 4, 5, 6}} en zij σ (C) de σ -algebra voortgebracht door C. Bepaal σ (C). ∅ en Ω moeten zeker tot σ (C) behoren.34 {∅, Ω} ⊂ σ (C) Het complement van alle elementen in C moet tot σ (C) behoren. {{5, 6}, {1, 2}} ⊂ σ (C) De unie en de doorsnede van elke twee elementen in C moet tot σ (C) behoren. {3, 4} ∈ σ (C) {1, 2, 5, 6} ∈ σ (C) σ (C) = {{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}, {1, 2, 3, 4}, {3, 4, 5, 6}, {1, 2, 5, 6}, {1, 2, 3, 4, 5, 6}} 3 Zie 4 Zie

definitie 3.5 op pagina 16. stelling 3.6 op pagina 16.

53

HOOFDSTUK 8. OEFENINGEN Oefening 8.4. Zij Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Noem A = P (Ω). Beschouw P: ∅ 7→ 0      {1} 7→ r6    6−r {2} → 7 P: A→R:  6     {i} → 7 0 met i ∈ {3, 4, 5, 6}   P  7 x ∈A P (x )  A → Is P een kansmaat? Ja: Bewijs. We gaan de definierende eigenschappen van een kansmaat af: • P (Ω) =

r 6

+

6−r 6

=1

• ∀A ∈ A : P (A) ≥ 0 • De laatste eigenschap geldt vanuit de definitie van P.  Oefening 8.5. Twee studenten spreken af om samen te gaan eten in de Alma ergens tussen 12u en 13u. Op de dag zelf vergeten ze echter het exacte tijdstip van deze afspraak. Onderstel dat beiden nu lukraak arriveren tussen twaalf en e´ e´ n en dat ze slechts 10 minuten aan de ingang blijven staan wachten totdat de andere persoon eventueel opdaagt. Wat is de kans dat ze op deze manier samen de Alma binnengaan? y

x Figuur 8.1: Het universum Noem x ∈ [0, 60] de aankomsttijd van de eerste student. Noem y ∈ [0, 60] de aankomsttijd van de tweede student. De gebeurtenis waarin de twee studenten elkaar tegenkomen noemen we A en duiden we aan op de grafiek. A = {(a, b) | |a − b| ≤ 10} We berekenen de gevraagde kans nu als de verhouding van de oppervlakken. P (A) = 1 −

2·50·50 2·

60 · 60

=

11 36

54

HOOFDSTUK 8. OEFENINGEN

Oefening 8.6. Beschouw een blad met parallelle lijnen op afstand d van elkaar. Gooi lukraak een naald van lengte L (veronderstel L < d) op het blad. Wat is de kans dat de naald minstens e´ e´ n van de evenwijdige lijnen snijdt? L 2

d α

We definieren eerst Ω:   π π  Ω = (a, α ) | a ∈ [0, d[ ∧ α ∈ − , 2 2 d

α Figuur 8.2: Het universum De gebeurtenis dat een naald een lijn overlapt is aangeduid. Het is de unie van het deel van het universum waar a ≥ d − L2 sin(α ) geldt en het deel waar a ≤ L2 sin(α ) geldt. 

 L L (a, α ) | (a, α ) ∈ Ω) ∧ a ≥ d − sin(α ) ∨ a ≤ sin(α ) 2 2

We berekenen de oppervlakte van het gekleurde deel dus als volgt: 1 − 2* ,

π 2

Z 0

L d − sin(α ) dα − 2

π 2

Z 0

L 2L sin(α ) dα + = 2 - πd

Oefening 8.7. Een vaas bevat 5 rode en 10 zwarte ballen. Trek lukraak een bal uit de vaas en noteer de kleur. Na elke trekking wordt de bal teruggelegd en wordt er e´ e´ n extra bal van dezelfde kleur toegevoegd. Beantwoord de volgende vragen: • Gegeven dat de eerste n ballen allemaal zwart zijn, bereken de kans dat de n + 1-ste bal ook zwart is en bereken de limiet: lim P (Zn+1 |Z 1 ∩ Z 2 ∩ · · · ∩ Zn )

n→+∞

55

HOOFDSTUK 8. OEFENINGEN

• Gegeven dat de tweede tot en met de n + 1-ste bal allemaal zwart zijn, bereken de kans dat de eerste getrokken bal zwart was en bereken de limiet: lim P (Z 1 |Z 2 ∩ Z 3 ∩ · · · ∩ Zn+1 )

n→+∞

Voor de trekking zijn er 5 rode en 10 en zwarte ballen. Wanneer er r rode en z zwarte ballen zijn is de kans p dat er een zwarte bal getrokken word als volgt te berekenen: p=

z z +r

• Na n zwarte ballen zijn er 10 + n zwarte ballen en nog steeds 5 rode ballen. P (Zn+1 |Z 1 ∩ Z 2 ∩ · · · ∩ Zn ) =

10 + n 10 + n = 5 + 10 + n 15 + n

lim P (Zn+1 |Z 1 ∩ Z 2 ∩ · · · ∩ Zn ) = lim

n→+∞

n→+∞

10 + n =1 15 + n

• Bekijk eerst ook nog de vorige situatie waarbij de eerste bal rood is: 5 15

P (R 1 ) =

10 6 + 10 10 + (n − 1) 9+n P (Zn+1 |R 1 ∩ Z 2 ∩ · · · ∩ Zn ) = = 6 + 10 + (n − 1) 15 + n Gebruik dan zo’n beetje elke rekenregel. P (Z 2 |R 1 ) =

P (Z 1 |Z 2 ∩ Z 3 ∩ · · · ∩ Zn+1 ) = = = = = = = =

P (Z 1 ∩Z 2 ∩Z 3 ∩···∩Z n+1 ) P (Z 2 ∩Z 3 ∩···∩Z n+1 ) P (Z 1 )P (Z 2 |Z 1 )P (Z 3 |Z 2 ∩Z 1 )· ··· ·P (Z n+1 |Z 1 ∩Z 2 ∩···∩Z n ) P (Z 1 ∩Z 2 ∩Z Q 3 ∩···∩Z n+1 )+P (R 1 ∩Z 2 ∩Z 3 ∩···∩Z n+1 ) n 10+i i=1 15+i 10+i +P (R 1 ∩Z 2 ∩Z 3 ∩···∩Z n+1 ) i=1 15+i Qn 10+i Qn 10+ii=1515+i Q 9+i + 15 ni=1 15+i i=1 15+i Q n 10+i i=1 15+i 10+n Qn 9+i 5 Qn 9+i i=1 i=1 15+i 10 15+i + 15 Q 10+n 9+i n i=1 15+i 10 10+n 5 Qn 9+i i=1 15+i 10 + 15 10+n 10 10+n 5 10 + 15

Qn

(

)

(

)

10+n 500+50n

10 + n =1 n→+∞ 500 + 50n

lim P (Zn+1 |Z 1 ∩ Z 2 ∩ · · · ∩ Zn ) = lim

n→+∞

8.2

Stochastische veranderlijken

Oefening 8.8. Om naar de campus te komen moet ik de bus nemen in het station van Leuven. De wachttijd (in minuten) heeft dichtheidsfunctie: f c   5 x    1  f : R → R : x 7→  c 2 − 5 x   0 

als x ∈ [0, 5[ als x ∈ [5, 10[ elders

56

HOOFDSTUK 8. OEFENINGEN • Bepaal c zodat f een dichtheidsfunctie is. Opdat f een dichtheidsfunctie zou zijn moet de volgende integraal 1 zijn. R +∞ R 10 f (x ) dx = f (x ) dx −∞  R 10  R 05 c = 0 5 dx + 5 c 2 − 15 dx 75c = 25c 10 + 10c − 10 = 50c 10 c moet dus

1 5

zijn. De functie is dus de volgende:    f :R→R: x → 7    

2 5

−

x 25

1 25 x

0

als x ∈ [0, 5[ als x ∈ [5, 10[ elders

• Wat is de kans dat de totale wachttijd ten hoogste drie minuten is? R3 P (X ≤ 3) = −∞ f (x ) dx R3 x = 0 25 dx 9 = 50 • Wat is de kans dat de totale wachttijd ten hoogste acht minuten is? R8 P (X ≤ 8) = −∞ f (x ) dx  R5 x R8 1 = 0 25 dx + 5 25 − 25 x dx 25 39 = 50 + 65 − 50 23 = 25 • Wat is de kans dat de totale wachttijd tussen drie en acht minuten ligt P (3 ≤ X ≤ 8) = P (X ≤ 8) − P (X ≤ 3) =

9 35 7 23 − = = 25 50 50 10

• Wat is de kans dat de totale wachttijd kleiner is dan twee minuten of groter is dan zes minuten? R2 R +∞ P (X ≤ 2 ∨ X ≥ 6) = −∞ f (x ) dx + 6 f (x ) dx  R2 x R 10  1 = 0 25 dx + 6 25 − 25 x dx f g2 f g 10 1 1 = 50 x 2 + 52 [x]10 x2 − 50 6 0 6 4 + 58 − 100−36 = 50 50 = 25 Oefening 8.9. Aan een bepaalde universiteit zijn er voor het tweede jaar burgerlijk-ingenieur 350 studenten ingeschreven. Bij het begin van het academiejaar worden ze door lottrekking ingedeeld in 11 groepen: 10 groepen (genummerd van 1 tot en met 10) van dertig studenten en 1 groep (groepsnummer 11) van 50 studenten. • E´en van de studenten is Jan. Noem X de grootte van de groep waarin deze student terecht komt. X kan je aanzien als een toevalsvariabele. Bepaal E[X ]. Jan kan ofwel in een groep met 30 studenten terecht komen, ofwel in een groep met 50 studenten. P (X = 30) =

10 · 30 300 = 10 · 30 + 1 · 50 350

en

P (X = 50) =

1 · 50 50 = 10 · 30 + 1 · 50 350

57

HOOFDSTUK 8. OEFENINGEN We kunnen nu E[X ] bepalen: E[X ] = 30 ·

50 11500 300 + 50 · = = 32.85... 350 350 350

• Men beschikt verder over 11 assistenten: eveneens door lottrekking wordt aan ieder een groep toegewezen. Noem Y de grootte van de groep die aan de oudste assistent wordt toegekend. Bepaal E[Y ]. De oudste assistent kan eveneens ofwel aan een groep van 30 studenten, ofwel aan een groep met 50 studenten toegekend worden. P (Y = 30) =

10 11

en

P (X = 50) =

1 11

We kunnen nu E[Y ] bepalen: E[Y ] = 30

10 1 350 + 50 = = 31.81... 11 11 11

Oefening 8.10. Omdat het verkeer tussen twee steden A en B vaak gehinderd wordt door voertuigen die in panne staan, besluit de plaatselijke overheid maatregelen te nemen door een vliegende brigade van automecaniciens op te richten. Deze wil men laten opereren vanuit een basisstation ergens tussen de twee steden in (zeg in een punt b), zodat de gemiddelde verplaatsing van het nog op te richten station tot de bestuurder in panne minimaal is op lange termijn. Hierbij is het zo dat het volgende kansmodel de plaats X tussen de 2 steden waar een panne optreedt, het best weergeeft: ( x als 0 ≤ x ≤ 2 fX (x ) = 2 0 elders Ter informatie: stad A bevindt zich in de oorsprong en stad B in het punt met als x-co¨ordinaat 2. Bovendien komt 1 eenheid overeen met 10 kilometer. Er zijn nu twee zinvolle manieren denkbaar om uitdrukking te geven aan de verplaatsing die telkens moet gebeuren, namelijk: |X −b| of (X −b) 2 . Werken met X − b is immers niet aangewezen aangezien je in dat geval een negatieve afstand kan uitkomen. • Vindt b ∈ [0, 2] zodat E[|X − b|] minimaal wordt. Bereken vervolgens FX (b). R +∞ E[|X − b|] = −∞ fX (x ) dx R2 = 0 |x − b| x2 dx Rb R2 = 0(b − x ) x2 dx + b (x − b) x2 dx  Rb R2 1 2 2 = 2 0 (bx − x ) dx + b (x − bx ) dx R  Rb R2 R2 b = 12 0 bx dx − 0 x 2 dx + b x 2 dx − b bx dx   = 12 12 [x 2 ]b0 − 31 [x 3 ]b0 + 31 [x 3 ]b2 − 12 [x 2 ]b2   = 21 12 b 2 − 31 b 3 + 13 (8 − b 3 ) − 21 (8 − b 2 ) 3 = 43 + b − b6   d 4 b3 =0 db 3 + b − 6 2 1 − b2 =0 2 − b2 =√0 |b| = 2

HOOFDSTUK 8. OEFENINGEN

58

√ E[|X − b|] is dus minimaal wanneer b = 2 geldt. We berekenen tenslotte FX (b) als volgt: √ 2 b FX (b) = = 2 2 • Bereken E[X ]. EXTRA: oefening

• Vindt vervolgens b ∈ [0, 2] zodat E[(X − b) 2 ] minimaal wordt. EXTRA: oefening

Oefening 8.11. Veronderstel dat n studenten, waaronder jezelf en een vriend(in), lukraak achter elkaar worden gezet. Noem Y het aantal mensen dat tussen jullie twee in staat. Y in{0, 1, . . . , n − 2}. Bewijs E[Y ] = n−2 8 . Bewijs. We bekijken eerst de mogelijkheden: • Het totaal aantal manieren om n mensen op een rij te zetten is Pn = n!. • Het aantal manieren waarop we kunnen staan met 0 mensen ertussen is 2(n − 1) · Pn−2 . • Het aantal manieren waarop we kunnen staan met 1 persoon ertussen is 2(n − 2) · Pn−2 . • Het aantal manieren waarop we kunnen staan met i mensen ertussen is 2(n − 1 − i) · Pn−2 . De factor stamt van het feit dat je jezel en je vriend(in) kan omwisselen, de factor (n − 1 − i) komnt van het aantal plaatsen waar de groep met (en tussen) jou en je vrien(in) kan staan en de factor Pn−2 komt van het aantal manieren dat de andere mensen kunnen staan. P n−2 ) E[Y ] = n−2 i · (2(n−1−i)·P n! Pi=0 (2(n−1−i)·(n−2)!) = n−2 i=0 i · n! P n−2 = 2(n−2)! i · (n − 1 − i) i=0 n! 2(n−2)! Pn−2 = n!  i=0 (in − i − i 2 ) Pn−2 Pn−2 Pn−2 2  = 2(n−2)! in − i − i=0 i=0 i=0 i n!  Pn−2 Pn−2 2  2(n−2)! (n − 1) i=0 i − i=0 i = n!   2(n−2)! (n − 1) n(n−1) − n(n−1)(2(n−1)+1) = n! 2 6  n(n−1) n(2(n−1)+1)  = 2(n−1)! − n! 2 6 (2(n−1)+1) 2n! (n−1) = n! − 2 6 3(n−1)−(2(n−1)+1) = 3 = n−2 3  Bewijs. Alternatief: Noem Xi het aantal mensen in groep Gi : • G 1 : de mensen tussen jullie. • G 2 : de mensen links van beide. • G 3 : de mensen links van beide.

59

HOOFDSTUK 8. OEFENINGEN Elk van de n − 2 mensen komt in e´ e´ n van de drie groepen terecht en met dezelfde kans. E (X 1 ) = E (X 2 ) = E (X 3 ) Bovendien geldt X 1 + X 2 + X 3 = n − 2. n − 2 = E (X 1 + X 2 + X 3 ) n − 2 = E(X 1 ) + E (X 2 ) + E (X 3 ) n − 2 = 3E (X 1 ) n−2 = E (X 1 ) 3



Oefening 8.12. Een kandidaat neemt deel aan een quiz waarbij opeenvolgende vragen gesteld worden. Hij mag naar de volgende ronde overstappen als hij 50 vragen juist beantwoord heeft. Om aan een saldo van 50 juiste antwoorden te komen, mag de kandidaat zich hoogstens 4 keer vergissen. Bereken de kans dat de kandidaat in de volgende ronde raakt, als men veronderstelt dat de kans om een goed antwoord te geven 0.9 bedraagt. Noem X het aantal keer dat de kandidaat zich vergist voordat hij 50 juiste antwoorden geeft. X is dat negatief binomiaal verdeeld. X ∼ N B(r = 50, p = 0.9) We zoeken nu de volgende kans: P (X ≤ 4) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4)   (Formularium: Binomiaalverdeling: P (X = k ) = k+rk −1 pr (1 − p)k )           50 + 50 (0.9) 50 (0.1) + 51 (0.9) 50 (0.1) 2 + 53 (0.9) 50 (0.1) 3 + 54 (0.9) 50 (0.1) 4 = 49 (0.9) 0 1 2 3 4 = ··· = 0.361447 Oefening 8.13. Het aantal eieren dat door een vogel gelegd wordt, is Poisson verdeeld met parameter λ. De kans dat een ei voor het uitbroeden vernietigd wordt, is p. Zoek de kans dat geen enkel ei uitgebroed wordt. Noem X het aantal eieren dat gelegd worden. X ∼ P (γ ) Noem Y het aantal eieren dat uitgebroed worden. Y |X = n ∼ B(n, p) We zoeken nu de kans P (Y = 0), maar we kennen enkel Y |X = n, niet Y . P (Y = 0) =

+∞ X k=0

P (Y = 0|X = k )P (X = k )

60

HOOFDSTUK 8. OEFENINGEN k

−λ λ (Formularium: n  Poissonverdeling: P (X = k ) = e k! ) (Formularium: Binomiaalverdeling: P (Y = k |X = n) = k pk (1 − p)n−k )

P+∞ P (Y = 0|X = k )P (X = k ) P (Y = 0) = k=0 P+∞ k  k k = k=0 0 p (1 − p)k−k e −λ λk! P+∞ pk λk e −λ = k=0 k! P+∞ (pλ)k −λ =e k=0 k! = e −λe px = e −λ(1−p) (Formularium: Formules bovenaan: e k =

xk k=0 k! )

P∞

Oefening 8.14. Veronderstel dat de snelheid van auto’s op een bepaald stuk weg normaal verdeeld is. Men heeft experimenteel bepaald dat 5% van de auto’s trager dan 100 km/u rijdt en dat 20% van de auto’s sneller dan 130 km/u rijdt. Hoeveel procent van de auto’s gaat sneller dan 145 km/u? Noem X de snelheid van een auto. We gaan ervan uit dat X normaal verdeeld is: X ∼ N (µ, σ 2 ) We hebben de volgende gegevens over X … P (X ≤ 100) = 0.05 en P (X > 130) = 0.2 … en zoeken de volgende kans:

P (X > 145)

Omdat X normaal verdeeld is, gelden deze kansen ook voor de Z -scores van deze snelheden. ( 100−µ P (X ≤ σ ) = 0.05 130−µ P (X ≤ σ ) = 1 − 0.2 (Tabel Standaard normale verdeling: De waarde waarvoor P (X ≤ a) = 0.05 geldt is a = −1.645 (Onthoudt, de tabel is symmetrisch rond 0.) en de waarde waarvoor P (X ≤ b) geldt is b = 0.84.) ( 100−µ ( = −1.645 µ = 119.859 σ −→ 130−µ σ = 12.072 = 0.84 σ We kunnen nu de gevraagde kans berekenen:  145 − 119.859  P (X > 145) = 1 − P (X ≥ 145) = 1 − P Z ≤ = 1 − P (Z ≤ 2.082) = 0.019 12.072 (Tabel Standaard normale verdeling: De waarde in de tabel bij 2.082 is 0.981.) Oefening 8.15. Een lognormale verdeling wordt voorgesteld als model om de SO 2 concentratie boven een bos te beschrijven. Stel dat de SO 2 concentratie gemiddelde 1.9 en standaardafwijking 0.9 heeft. Wat is de kans dat de concentratie op een gegeven moment tussen 5 en 10 ligt? Noem X de SO 2 concentratie boven het bos. Noem Y = ln(X ). We zoeken de volgende kans: P (5 ≤ X ≤ 10)

61

HOOFDSTUK 8. OEFENINGEN We berekenen µY en σY vanuit µX en σX : (Formularium: Lognormale verdeling: µX = e µY + σ2   µ Y + 2Y  µ = e  X     σ 2 = e 2µY +σY2 e σY2 − 1  X

σ2 Y 2

 2  2 en σX2 = e 2µY +σY e σY − 1 ) ( −→

µX = 0.5407 σX = 0.4499

We kunnen de gezochte kans nu berekenen: Y ∼ N (µY = 0.5407, σY2 = 0.44992 ) P (5 ≤ X ≤ 10) = P (ln(5) ≤ Y ≤ ln(10) ! ! ! ln(5) − µY ln(10) − µY ln(10) − µY ln(5) − µY =P ≤Z ≤ =P Z ≤ −P Z ≤ σY σY σY σY = P (Z ≤ 3.9161) − P (Z ≤ 2.3755) (Tabel Standaard normale verdeling: De waarde in de tabel bij 3.9161 staat er niet in, dus we nemen 0.999 en de waarde in de tabel bij 2.3755 is 0.991.) = 0.999 − 0.991 = 0.008 Foute oplossing: gemiddelde en standaardafwijking slaan op X , niet op ln(X )! Noem X de SO 2 concentratie boven het bos. X is lognormaal verdeeld: ln(X ) ∼ N (µ = 1.9, σ 2 = 0.92 ) We zoeken de volgende kans:

P (5 ≤ X ≤ 10)

We weten dat de logaritmische functie ongelijkheden behoudt (want ze is stijgend): P (ln(5) ≤ ln(X ) ≤ ln(10)) We gebruiken dat X lognormaal verdeeld is: ln(10) − 1.9 ln(5) − 1.9 P (ln(5) ≤ ln(X ) ≤ ln(10)) = P ≤Z ≤ 0.9 0.9 ! ! ln(10) − 1.9 ln(5) − 1.9 =P Z ≤ −P Z ≤ 0.9 0.9

!

= P (Z ≤ 0.4473) − P (Z ≤ −0.3228) (Tabel Standaard normale verdeling: De waarde in de tabel bij 0.4473 is 0.67 en de waarde bij −0.3228 is 0.375.) = 0.67 − 0.37 = 0.3

Bibliografie

62

Todo list EXTRA: bewijs . . . . . . . . . EXTRA: bewijs . . . . . . . . . EXTRA: bewijs dit. . . . . . . . EXTRA: bewijs . . . . . . . . . EXTRA: bewijs . . . . . . . . . EXTRA: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs p 23 . . . . . . . TODO: bewijs p 24 . . . . . . . EXTRA: bewijs . . . . . . . . . EXTRA: bewijs . . . . . . . . . EXTRA: bewijs . . . . . . . . . EXTRA: bewijs . . . . . . . . . EXTRA: bewijs . . . . . . . . . EXTRA: bewijs . . . . . . . . . EXTRA: bewijs . . . . . . . . . EXTRA: bewijs . . . . . . . . . EXTRA: bewijs . . . . . . . . . EXTRA: bewijs . . . . . . . . . EXTRA: bewijs . . . . . . . . . EXTRA: bewijs . . . . . . . . . EXTRA: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs: oefening . . . . TODO: bewijs: oefening . . . . TODO: bewijs: oefening . . . . EXTRA: bewijs . . . . . . . . . EXTRA: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs p 44 . . . . . . . TODO: bewijs p 45 . . . . . . . TODO: bewijs p 45 . . . . . . . TODO: bewijs p 45 . . . . . . . TODO: bewijs p 46 . . . . . . . TODO: bewijs p 47 . . . . . . . EXTRA: bewijs . . . . . . . . . EXTRA: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs p 50 . . . . . . . EXTRA: bewijs . . . . . . . . . EXTRA: bewijs . . . . . . . . . EXTRA: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs p 53 . . . . . . . EXTRA: bewijs . . . . . . . . . EXTRA: voordelen en nadelen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 14 21 23 23 25 25 25 26 27 27 28 28 28 28 29 29 29 29 29 30 30 30 30 30 31 31 31 31 31 31 32 32 32 32 33 33 33 33 34 36

64

BIBLIOGRAFIE EXTRA: voordelen en nadelen . . . . . . . . . . . EXTRA: andere kentallen van scheefheid . . . . . EXTRA: meer uitleg? . . . . . . . . . . . . . . . . EXTRA: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EXTRA: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EXTRA: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: wut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs p 71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: opmerkingen hier . . . . . . . . . . . . . . EXTRA: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EXTRA: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EXTRA: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: dit beter uitschrijven . . . . . . . . . . . . TODO: wut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: specifiek voor discrete e continue koppels EXTRA: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EXTRA: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EXTRA: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EXTRA: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EXTRA: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EXTRA: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EXTRA: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EXTRA: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: meer uitleg hierbij . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs p 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . EXTRA: voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . EXTRA: voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . EXTRA: dobbelsteen . . . . . . . . . . . . . . . . . EXTRA: kaartspel . . . . . . . . . . . . . . . . . . EXTRA: geiger-muller teller . . . . . . . . . . . . . EXTRA: oefening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EXTRA: oefening . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36 36 37 39 39 39 39 40 40 41 41 41 42 44 44 45 45 45 45 45 45 45 46 46 47 48 48 50 50 50 58 58