M7150
T����� ��������� ������� �� �������
Z�������� J��� K����� 2011 h�p://jza.smerem.cz
Ú��� Následující stránky obsahují zdigitalizované výpisky z přednášek předmětu M7150 Teorie kategorií na brněnské Masarykově univerzitě v podzimním semestru akademického roku 2010/2011 a dále z knihy Category theory od Steva Awodeye. Na závěr jsou přidány naskenovné zápisky ze dvou přednášek, které jsem měl k dispozici v tomto semestru.
výpisků i ve formě vyhledávatelného textu - v prohlížeči pdf dokumentů je tedy možné vyhledávat např. mezi nadpisy hlavních kapitol a definicemi.
Vzhledem k tomu, že byl z velké čás� využit zdroj v anglickém jazyce, neodpovídá na několika místech terminologie českým zvyklostem (konečný vs. terminální prvek apod.), nicméně tento drobný nedostatek by neměl mít vliv Vybrané definice a tvrzení odpovídají na správnost obsažených tvrzení. pouze představám autora o požadavcích na ústní zkoušku a v žádném případě ne- Závěrem přeji, ať tato pomůcka jsou oficiálním výběrem látky potřebné slouží co nejlépe a přivítám vaše komentáře a připomínky na emailu k jejímu úspěšnému složení.
[email protected]. Důležitá hesla, definované termíny a některá tvrzení jsou zanesena do Autor
D���� ������ ��������� Category theory / Steve Awodey.. -- 1st. pub.. -- Oxford : Clarendon Press, 2006.. -- xi, 256 s. h�p://dml.cz/browse-author-items?id=3494 h�p://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf
M7150
Te o r i e k a t e g o r i í
Kategori e
Funktor
Izomorf i z m u s
Monomorfizmus
Epimorfizmus
Počáteční objekt Terminální objekt Štěpení Katego r i e s konečnými produkty
Součinov ý d i a g ra m
Zachovává b i n á r n í s o u č i n
Součin ( o b j e kt ů )
Ek valizáto r ( eka l i zér )
Koekva l i záto r ( ko e kva l i zé r )
Grupa v kate go r i i C
Homom o r f i z m u s g r u p v kate go r i i C
KATEGORIE: DEFINICE, PŘÍKLADY, KONSTRUKCE KATEGORIÍ, SPECIÁLNÍ OBJEKTY A MORFIZMY KATEGORIE
PŘÍKLADY KATEGORIÍ
KONSTRUKCE KATEGORIÍ
FUNKTOR
IZOMORFIZMUS
MONOMORFIZMUS EPIMORFIZMUS UMP
POČÁTEČNÍ OBJEKT
TERMINÁLNÍ O B J E K T
SOUČINY A SOUČTY: DEFINICE, PŘÍKLADY KA RT ÉZ S KÝ S O U Č I N:
SOUČINOVÝ DIAGRAM:
SOUČINY JSOU JEDNOZNAČNÉ AŽ NA IZOMORFIZMUS
SOUČIN:
SOUČET:
S O U Č E T O B J E K T Ů A , B V K AT E G O R I I k J E J E J I C H S O U Č I N E M V K AT E G O R I I K o p P Ř Í K L A DY S O U Č I N Ů :
PŘÍKLADY SOUČTŮ:
SOUČINY A SOUČTY: DEFINICE, PŘÍKLADY KA RT ÉZ S KÝ S O U Č I N:
SOUČINOVÝ DIAGRAM:
SOUČINY JSOU JEDNOZNAČNÉ AŽ NA IZOMORFIZMUS
SOUČIN:
SOUČET:
S O U Č E T O B J E K T Ů A , B V K AT E G O R I I k J E J E J I C H S O U Č I N E M V K AT E G O R I I K o p P Ř Í K L A DY S O U Č I N Ů :
PŘÍKLADY SOUČTŮ:
FUNKTORY: DEFINICE, PŘÍKLADY, DIAGRAMY FU NKTO R
SOUČINOVÝ DIAGRAM:
P Ř Í K L A D Y FUNKTORŮ
VĚRNÝ FUNKTOR
PLNÝ FUNKTOR
MONOMORFIZMUS
MORFIZMUS F: K1
K2 JE MONOMOR-
FIZMUS
JE PROSTÉ PRO
K(x,f )
LIBOVOLNÉ x K KONTRAVARIANTNÍ FUNKTOR
DIAGRAMY
DIAGRAM
PŘIROZENÉ TRANSFORMACE: DEFINICE, PŘÍKLADY, YONEDOVO LEMMA, REPREZENTOVATELNÉ FUNKTORY PŘ I ROZ E NÁ T R A NS FORMACE
PŘÍKLADY PŘIROZENÝCH TRANSFORMACÍ
POSTUP K YONEDOVU VNOŘENÍ
YONEDOVO VNOŘENÍ
R E P R E Z E N TOVAT E L N Ý F U N K TO R
YONEDOVO LEMMA
KARTÉZSKY UZAVŘENÉ KATEGORIE: TYPOVANÝM λ- KALKULEM KA RT ÉZ S KY U ZAV ŘENÁ K AT E G O R I E
DEFINICE, PŘÍKLADY, SOUVISLOST
(CCC)
MOCNINA HODNOCENÍ
TRANSPOZICE
KATEGORIE TYPŮ
PŘÍKLADY
CCC
S
LIMITY: (KO)EKVALIZÁTORY, PULLBACKY, PUSHOUTY, LIMITY, KOLIMITY, LIMITY POMOCÍ SOUČINŮ A EKVALIZÁTORŮ PŘÍKLAD EKVALIZÁTORU
E K VA L I Z ÁT O R
PŘÍKLAD KOEKVALIZÁTORU
KO E K VA L I Z ÁTO R
PRO KAŽDÝ MONOID M
EXISTUJÍ MNOŽINY
R AG
A DIAGRAM KOEKVALIZÁTORU
PUSHOUT
PULLBACK
EKVALIZÁTOR
URČUJE PULLBACK A OPAČNĚ
POKUD JSOU OBA ČTVERCE PULLBACKY, JE I OBDÉLNÍK PULLBACK. POKUD JSOU OBDÉLNÍK A PRAVÝ ČTVEREC PULLBACKY, JE I LEVÝ ČTVEREC PULLBACK.
K AT E G O R I E K M A KONEČNÉ SOUČINY A E K VA -
KUŽEL
L I Z ÁT O R Y P R ÁV Ě K D Y Ž M Á PULLBACKY A TERMINÁLNÍ O B J E K T 1
MORFIZMUS KUŽELŮ
KUŽELY A KUŽELOVÉ MORFIZMY TVOŘÍ KATEGORII CONE(D) LIMITA
KATEGORIE MÁ VŠECHNY KONEČNÉ
PŘÍKLAD LIMITY
LIMITY, POKUD MÁ KONEČNÉ PRODUKTY A EKVALIZÁTORY
REPREZENTOVATELNÝ FUNKTOR ZACHOVÁVÁ LIMITY
KONTRAVARIANTNÍ REPREZENTOVATELNÝ FUNKTOR ZOBRAZUJE VŠECHNY KOLIMITY NA LI MITY
PŘÍKLAD KOLIMITY
KOLIMITA
ADJUNGOVANÉ FUNKTORY: A DJ U N KC E
F R E Y D O V A V Ě TA
DEFINICE, PŘÍKLADY, FREYDOVA VĚTA PŘÍKLADY ADJUNKCÍ
OKRUH 8 NEBUDE ZKOUŠEN.
