JURUSAN TEKNIK MESIN FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2012

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

SIMULASI NUMERIK KONVEKSI ALAMI DALAM KOTAK 2-D DENGAN VARIASI KEMIRINGAN DENGAN METODE SKEMA KOMPAK ORDE TINGGI

SKRIPSI

Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Teknik

Oleh : DANDUN MAHESA PRABOWOPUTRA NIM. I1409013

JURUSAN TEKNIK MESIN FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2012 commit to user


digilib.uns.ac.id

SIMULASI NUMERIK KONVEKSI ALAMI DALAM KOTAK 2-D DENGAN VARIASI KEMIRINGAN DENGAN METODE SKEMA KOMPAK ORDE TINGGI Disusun oleh :

Dandun Mahesa Prabowoputra NIM. I1409013

Dosen Pembimbing I

Dosen Pembimbing II

Eko Prasetya Budiana, S.T,M.T. NIP. 197109261999031002

Purwadi Joko Widodo, S.T,M.Kom NIP. 197301261997021001

Telah dipertahankan di hadapan dosen tim penguji pada hari kamis tanggal 26 Juli 2012

1. D.Danardono, S.T,M.T,PhD. NIP. 196905141999031001

…………………………..

2. Tri Istanto, S.T,M.T. NIP. 197308202000121001

…………………………..

3. Wibawa Endra Juwana, S.T,M.T. NIP. 197009112000031001

…………………………..

Mengetahui,

Ketua Jurusan Teknik Mesin

Koordinator Tugas Akhir

Didik Djoko Susilo, S.T,M.T. commit to user Wahyu Purwo Raharjo, S.T,M.T. NIP. 197203131997021001 NIP. 197202292000121001

ii


digilib.uns.ac.id

MOTTO DAN PERSEMBAHAN Motto Ilmu itu seperti udara, siapapun bisa mendapatkannya . Asalkan dia mau untuk menghirupnya. (anonym) Manusia tidak memilih dirinya untuk menjadi luar biasa, melainkan mereka memilih untuk melakukan hal-hal yang luar biasa. (Sir Edmund Hillary)

Happiness is when what you think, what you say, and what you do are in harmony. ( Mahatma Gandhi)

Persembahan Tugas Akhir ini saya persembahkan kepada : Bapak (Alm. Handoyo Cipto) , Ibu (Hariani Pancawati) Kakak ( Jati Kusuma, Indira Putri Andini, Lindawati) dan Adikku (Gandita putri Cipta Cahayani)

commit to user

iii


digilib.uns.ac.id

ABSTRAK

DANDUN MAHESA P, Simulasi Numerik Konveksi Alami Dalam Kotak 2-D Dengan Variasi Kemiringan Dengan Metode Skema Kompak Orde Tinggi Penelitian ini dilakukan untuk mengetahui fenomena yang terjadi, meliputi pola aliran dan distribusi temperatur pada permasalahan Konveksi alami, pada kotak 2D dengan variasi kemiringan. Variasi sudut dilakukan pada kemiringan 00, 300, 450, 900, 1200, 1350, 1500, dan 1800. Tulisan ini menguraikan metode untuk penyelesaiaan konveksi alami kondisi steady dalam kotak 2D dengan variasi kemiringan. Metode ini didasarkan pada skema Runge–Kutta untuk diskritisasi waktu dan skema kompak beda hingga orde-4 untuk diskritisasi ruang.Penyelesaian permasalahan tekanan dengan menggunakan metode kompresibilitas tiruan. Metode beda hingga dituliskan dengan bahasa Fortran sedangkan distribusi temperatur dan pola aliran divisualisasikan dengan perangkat lunak Matlab. Visualisasi menunjukan bahwa pola aliran dan mekanisme perpindahan panas dipengaruhi oleh besarnya sudut kemiringan. Perbandingan nilai hasil pada metode ini dengan nilai hasil metode lain seperti MLB, DQ analysis, dan algoritma pseudo–spectral Chebsyev, yang dipublikasikan oleh peneliti lain pada penelitian sebelumnya, menunjukan kedekatan yang membuktikan metode ini dapat diterima. Penelitian ini Metode skema kompak orde-tinggi mampu memberikan hasil yang baik untuk kasus konveksi alami pada kotak 2D dengan bilangan Rayleigh mencapai 107. Program yang telah dibuat telah mampu mencapai persamaan kontinuitas mendekati angka 0 yaitu pada nilai 10-3.2 sampai 10-3,59.

Kata kunci : konveksi alami, skema kompak, skema Runge – Kutta , sudut kemiringan .

commit to user

iv


digilib.uns.ac.id

ABSTRACT

DANDUN MAHESA P, Numerical Simulation of natural convection in 2D cavity with inclination variation by Higher-Order Compact Schemes method The research was conducted to determine the phenomena, including stramlines and temperature distribution in a natural convection problem, the 2D cavity with inclination variations. Variations of the inclination angle 00, 300, 450, 900, 1200, 1350, 1500, and 1800. This paper outlines a method for solving steady state natural convection in a 2D cavity with a variation of the inclination. The method is based on the RungeKutta scheme for time discretization and compact finite difference scheme order-4 for the discretization of space. The pressure problems were solved by using the artificial compressibility method. The finite difference method was written in Fortran language whereas the temperature and flow patterns were visualized with Matlab software. The visualization showed that the flow pattern and heat transfer mechanisms are influenced by the magnitude of the inclination. Comparison of the results of this method with the results of other method MLB, DQ analysis, and pseudo–spectral Chebsyev, in previous studies, showes the closeness which proves this method is acceptable. This research method of high-order compact schemes can give good results for the case of natural convection in a 2D cavity with the Rayleigh number reaches 107. The programs that have been made is able to reach the continuity equation close to 0, i.e at 10-3.2 to 10 -3.59. Key words : natural convection, compact schemes, Runge-Kutta schemes, Inclination angles

commit to user

v


digilib.uns.ac.id

KATA PENGANTAR Puji dan syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, yang senantiasa melimpahkan rahmat, hidayah serta kekuatan kepada Penulis, sehingga Penulis dapat melaksanakan penelitian dan menyelesaikan laporan Tugas Akhir dengan judul “ SIMULASI NUMERIK KONVEKSI ALAMI DALAM KOTAK 2-D DENGAN VARIASI KEMIRINGAN

DENGAN

METODE SKEMA KOMPAK ORDE TINGGI ”, sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Teknik di Jurusan Teknik Mesin Fakultas Teknik Universitas Sebelas Maret Surakarta. Dalam penyusunan Tugas Akhir ini penulis banyak memperoleh bantuan dari berbagai pihak yang sangat berarti demi kesempurnaan Tugas Akhir ini. Oleh sebab tersebut pada kesempatan ini penulis mengucapkan rasa terima kasih sedalam dalamnya kepada : 1. Didik Djoko Susilo, S.T.,M.T., selaku Ketua Jurusan Teknik Mesin UNS. 2. Bapak Eko Prasetya Budiana, ST.,MT., selaku Pembimbing I tugas akhir, atas bimbingan, nasehat, kesabaran, motivasi dan ilmu pengetahuan yang diajarkannya. 3. Bapak Purwadi Joko Widodo, S.T.,M.Kom, selaku Pembimbing II tugas akhir, atas bimbingan, nasehat, kesabaran dan ilmu pengetahuan yang diajarkannya. 4. Bapak Heru Sukanto, ST.,MT, selaku Pembimbing Akademik. 5. Bapak–bapak dosen dan staf karyawan di lingkungan Teknik Mesin UNS, atas didikan, nasehat, ilmu yang diajarkan dan kerjasamanya. 6. Ayah, Ibu, kakak dan adik yang selalu memberikan dorongan semangat dan doa kepada Penulis terima kasih untuk kasih sayangnya. 7. Teman–teman Teknik Mesin transfer angkatan 2009 dan teman–teman Teknik Mesin UNS 8. Seluruh pihak yang telah membantu Penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Dengan segenap bantuan dan dukungan yang telah diberikan kepada penulis commit to user semoga akan mendapat limpahan berkah dari Allah SWT.

vi


digilib.uns.ac.id

Penulis menyadari bahwa Tugas Akhir ini masih belum dapat dikatakan sempurna, untuk itu dengan sangat dan rendah hati penulis menerima kritikan maupun saran yang membangun demi kesempurnaan Tugas Akhir tersebut. Akhir kata penulis berharap Tugas Akhir ini dapat bermanfaat bagi para pembaca pada umumnya dan penulis pada khususnya.

Surakarta, Juli 2012

Penulis

commit to user

vii


digilib.uns.ac.id

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL........................................................................................ i HALAMAN PENGESAHAN ……………………………………………..... ii MOTTO DAN PERSEMBAHAN……………………………………….. ..... iii ABSTRAK…………………………………………………………………. .. iv ABSTRACT………………………………………………………………… ... v KATA PENGANTAR…………………………………………………… ..... vi DAFTAR ISI………………………………………………………………. ... viii DAFTAR GAMBAR……………………………………………………… ... x DAFTAR TABEL ............................................................................................ xii DAFTAR NOTASI.................................………………………………….. ... xiii DAFTAR LAMPIRAN……. ........................................................................... xv BAB I

PENDAHULUAN ............................................................................ 1 1.1 Latar Belakang Masalah.............................................................. 1 1.2 Perumusan Masalah .................................................................... 2 1.3 Batasan Masalah ......................................................................... 3 1.4 Tujuan Penelitian ........................................................................ 3 1.5 Manfaat Penelitian ...................................................................... 3 1.6 Sistematika Penulisan ................................................................. 3

BAB II LANDASAN TEORI ....................................................................... 5 2.1 Tinjauan Pustaka ......................................................................... 5 2.2 Dasar Teori…………………………………………………...... 6 2.2.1 Persamaan Atur Konveksi Alami……………………....... 7 2.2.2 Diskritisasi Waktu……………………………………… .. 8 2.2.3 Diskritisasi Ruang……………………………………… .. 8 2.2.4 Metode Kompresibilitas Tiruan ......................................... 11 BAB III PELAKSANAAN PENELITIAN..................................................... 12 3.1 Alat dan Bahan............................................................................. 12 3.1.1. Alat…………………… .................................................... 12 commit to user 3.1.2. Bahan……………………………………… ..................... 12

viii


digilib.uns.ac.id

3.2 Garis Besar Penelitian .................................................................. 12 3.3 Diskritisasi Persamaan Atur......................................................... 14 3.3.1 Diskritisasi Persamaan Momentum ............................... 14 3.3.2 Diskritisasi Persamaan Energi ....................................... 15 3.3.3 Diskritisasi Metode Kompresibilitas Tiruan ................. 16 3.4 Diskritisasi Syarat Batas .............................................................. 16 3.4.1 Syarat Batas Kecepatan ................................................. 17 3.4.2 Syarat Batas Tekanan .................................................... 18 3.4.3 Syarat Batas Temperatur ............................................... 18 3.5 Algoritma Pemrograman.............................................................. 19 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ........................................................ 21 4.1 Validasi Program ......................................................................... 21 4.2 Simulasi Konveksi Alami Dalam Kotak 2D ................................ 25 BAB V PENUTUP.......................................................................................... 40 5.1 Kesimpulan .................................................................................. 40 5.2 Saran ............................................................................................ 41 DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 42 LAMPIRAN ..................................................................................................... 44

commit to user

ix


digilib.uns.ac.id

DAFTAR GAMBAR Gambar 3.1

Diagram Alir Penelitian............................................................ 13

Gambar 3.2

Kondisi batas dan syarat batas.................................................. 16

Gambar 3.3

Kotak 2D dengan kemiringan

Gambar 3.4

Diagram Alir Program .............................................................. 20

Gambar 4.1

Kondisi batas dan syarat batas penelitian ................................. 21

Gambar 4.2

Perbandingan Isotermal penelitian Munir dengan

............................................... 17

hasil penelitian pada(a) kemiringan ( ) =400, (b) kemiringan ( ) = 1200, (c) kemiringan ( ) = 1600 .......... 24 Gambar 4.3

Isotermal pada Ra = 106, sudut

Gambar 4.4

Isotermal pada Ra = 106, (a) sudut (b) sudut

Gambar 4.5

Gambar 4.7

Gambar 4.8

Gambar 4.9

= 00

= 300 ..................................................................... 30

streamlines pada Ra = 106, (a) sudut (b)) sudut

= 1500

= 1800 .................................................................... 29

streamlines pada Ra = 106, (a) sudut (b) sudut

= 1200

= 1350 .................................................................... 28


= 600

= 900 ...................................................................... 27


= 300

= 450 ...................................................................... 26


Gambar 4.6

= 00 .................................... 25

= 450

= 600 ................................................................... 31

Gambar 4.10 streamlines pada Ra = 106, (a) sudut = 900 (b) sudut = 1200 ..................................................................... 32 Gambar 4.11 streamlines pada Ra = 106, (a) sudut = 1350 (b) sudut

= 1450 .................................................................... 33

Gambar 4.12 Stream Function untuk rasio 2:1 .............................................. 34 Gambar 4.13 Isotermal untuk rasio 2:1 .......................................................... 34 Gambar 4.14 Komponen gaya apung dalam kotak miring............................. 36 Gambar 4.15 konvergensi untuk Ra=106 dan Sudut Kemiringan 00 .............. 37 user Gambar 4.16 konvergensi untuk commit Ra=106 to dan Sudut Kemiringan 300 ............ 37

x


digilib.uns.ac.id

Gambar 4.17 konvergensi untuk Ra=106 dan Sudut Kemiringan 450 ............ 37 Gambar 4.18 konvergensi untuk Ra=106 dan Sudut Kemiringan 600 ............ 38 Gambar 4.19 konvergensi untuk Ra=106 dan Sudut Kemiringan 900 ............ 38 Gambar 4.20 konvergensi untuk Ra=106 dan Sudut Kemiringan 1200 .......... 38 Gambar 4.21 konvergensi untuk Ra=106 dan Sudut Kemiringan 1350 .......... 39 Gambar 4.22 konvergensi untuk Ra=106 dan Sudut Kemiringan 1500 .......... 39

commit to user

xi


digilib.uns.ac.id

DAFTAR TABEL Tabel 2.1 Koefisien Runge-Kutta orde-4 dari Carpenter dan Kennedy......... 8 Tabel 4.1 Hasil Perhitungan dan Perbandingan untuk Ra=106 ....................... 22 Tabel 4.2 Hasil Perhitungan dan Perbandingan untuk Ra=107 ....................... 22 Tabel 4.3 Hasil nilai Nu rata-rata dan Perbandingan untuk Ra=105 ................ 23 Tabel 4.4 Hasil nilai Nu rata-rata dan Perbandingan untuk Ra=106 ............... 23

commit to user

xii


digilib.uns.ac.id

DAFTAR NOTASI

a

: koefisien skema kompak

aM

: koefisien skema Runge-Kutta

b


bM

: koefisien skema Runge-Kutta

c

: konstanta persamaan konveksi 1-D

g

: percepatan gravitasi (m/s2)

H

: tinggi kotak

HM

: variabel untuk skema Runge-Kutta

i,j

: indek nodal

k

: numerical wave number

Lr

: variabel referensi untuk panjang kotak

nx

: jumlah index arah x

ny

: jumlah indek arah y

Nu

: bilangan Nusselt

p

: tekanan

u

: kecepatan arah x

v

: kecepatan arah y

Vr

: variabel referensi untuk kecepatan

x,y

: koordinat

Pr

: bilangan Prandtl

Ra

: bilangan Rayleigh

t

: variabel waktu

tr

: variabel reverensi untuk waktu

Huruf Yunani a


b

: koefisien ekspansi volumetri

d

: operator diferensial

¶

: operator diferensial parsial

e

: konstanta metode kompresibilitas commit tiruan to user

xiii


F

: variabel generik

F’

: variabel turunan pertama

F”

: variabel turunan kedua

r

: densitas

q

: variabel temperatur

Ø

: sudut kemiringan

j

: stream function

S

: jumlah

digilib.uns.ac.id

commit to user

xiv


digilib.uns.ac.id

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1. Non-Dimensional Persamaan Atur .............................................. 44 Lampiran 2. Skema kompak beda-hingga........................................................ 47 Lampiran 3. Program Penyelesaian Konveksi Alami ...................................... 49 Lampiran 4. Program Perhitungan Tambahan ................................................ 55 Lampiran 5. Program Untuk Visualisasi Hasil ............................................... 60

commit to user

xv


digilib.uns.ac.id

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah Proses perpindahan panas dapat terjadi melalui tiga cara, yaitu secara konduksi, konveksi, dan radiasi. Perpindahan panas konveksi adalah perpindahan panas yang terjadi di antara permukaan benda dengan fluida yang bergerak ketika temperatur keduanya berbeda. Perpindahan panas secara konveksi berdasarkan jenis penyebab aliran fluida yang terjadi, dikategorikan menjadi dua kategori yaitu konveksi paksa dan konveksi alami. Konveksi paksa (forced convection) adalah konveksi yang mana aliran fluida yang terjadi disebabkan adanya alat-alat eksternal, seperti fan, pompa, aliran udara atmosfer (angin). Sedangkan konveksi alami (natural convection) adalah perpindahan panas antara suatu permukaan dan fluida yang mengalir diatasnya, dimana aliran fluida disebabkan oleh adanya perbedaan densitas fluida yang ditimbulkan oleh pemanasan dan pendinginan. Densitas fluida akan berkurang jika fluida mendapat pemanasan sehingga fluida akan mengapung dan daerah yang ditinggalkan akan diisi oleh fluida yang relatif dingin. Fluida yang relatif panas jika mendekati dinding yang relatif dingin densitasnya akan meningkat sehingga akan mengalir turun akibat tarikan gaya grafitasi. Dengan demikian densitas merupakan driving force sirkulasi fluida. Konveksi alami memegang peranan penting dalam rekayasa industri seperti: perancangan

alat

penukar

kalor,

perancangan

ventilasi,

pendinginan

transformator, pendinginan kabel bawah tanah dan pendinginan komponen elektronika. Penelitian mengenai fenomena pada konveksi alami telah banyak dilakukan baik secara eksperimental maupun secara numerik. Penelitian secara eksperimen laboratorium untuk mengetahui fenomena yang terjadi pada proses konveksi alami membutuhkan biaya yang cukup mahal dan proses yang cukup rumit. Oleh karena itu, dikembangkan penelitian secara numerik yang membutuhkan biaya yang jauh lebih murah. Berbagai metode pendekatan numerik commit to user untuk mengetahui fenomena konveksi alami telah dilakukan, dengan

1

2 digilib.uns.ac.id


menggunakan model matematika dari persamaan kontinyuitas, persamaan NavierStokes dan persamaan energi. Penelitian konveksi alami secara numerik berkembang pesat sejalan dengan perkembangan komputer digital berkecepatan tinggi yang semakin pesat. Perkembangan penelitian secara numerik terus berkembang dari tahun ke tahun. Le Quere (1990) meneliti konveksi alami dalam kotak 2-D dengan diskritasi pseudo-spectral yang didasarkan pada polinomial Chebyshev, kemudian Wilson dan Demuren (1998) menggunakan skema kompak untuk mendiskritisasi turunan ruang dan skema Runge-Kutta untuk mendiskritisasi turunan waktu pada simulasi aliran fluida tak mampat. Lo (2009) meneliti konveksi alami pada kotak 2D dan 3D dengan DQ analisis menggunakan formulasi velocity-vorticity. Azwadi (2010) melakukan penelitian pada konveksi alami pada kotak 2D dengan sudut kemiringan dimana metode yang digunakan adalah metode lattice Boltzmann, begitu juga Munir dan Sidik (2011) meneliti konveksi alami pada kotak 2D dengan kemiringan menggunakan metode lattice Boltzmann. Sen (2012) meneliti persamaan konveksi untuk kondisi unsteady dengan metode skema kompak orde4 secara implisit. 1.2 Perumusan Masalah Perumusan masalah dalam penelitian ini adalah : 1.

Bagaimana membuat diskritisasi pada permasalahan konveksi alami dalam kotak 2-D, dengan menggunakan skema kompak beda hingga orde-4 untuk diskritisasi ruang dan skema Runge-Kutta orde-4 untuk diskritisasi waktu dengan variasi kemiringan.

2.

Bagaimanakah

membangun

sebuah

sistem

(program)

yang

mengimplementasikan model yang telah dibuat agar dapat dikomputasikan oleh komputer. 3.

Bagaimanakah membuat visualisasi 2-D berdasarkan hasil komputasi numerik yang telah dilaksanakan.

commit to user

3 digilib.uns.ac.id


1.3 Batasan Masalah Masalah pada penelitian ini dibatasi pada persoalan konveksi alami pada kotak

2-D

dengan

variasi

kemiringan.

Penyelesaian

masalah

tersebut

menggunakan skema kompak beda hingga orde-4 untuk diskritisasi ruang, dan skema Runge-Kutta orde-4 untuk diskritisasi waktu, untuk memperoleh vektor kecepatan dan distribusi temperatur. 1.4 Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah mengekplorasi skema kompak orde-tinggi untuk menyelesaikan permasalahan dan mengetahui fenomena yang terjadi pada konveksi alami pada kotak 2-D dengan variasi kemiringan. Hal tersebut meliputi vektor kecepatan dan distribusi temperatur. 1.5 Manfaat Penelitian Manfaat dari penelitian ini adalah : 1.

Untuk mengembangkan ilmu pengetahuan, terutama dalam bidang komputasi numerik dinamika fluida dan perpindahan panas.

2.

Untuk mengetahui penerapan skema kompak orde tinggi pada permasalahan konveksi alami 2D.

1.6 Sistematika Penulisan Sistematika penulisan yang digunakan : 1.

BAB I : PENDAHULUAN Berisi dasar-dasar dan latar belakang pengambilan tugas akhir dan penyusunan skripsi.

2.

BAB II : LANDASAN TEORI Berisi tentang tinjauan pustaka, dasar teori konveksi alami, skema kompak beda hingga orde-4 untuk pendekatan turunan ruang dan skema RungeKutta orde-4 untuk pendekatan turunan waktu serta metode kopresibilitas tiruan. commit to user

4 digilib.uns.ac.id


3.

BAB III : PELAKSANAAN PENELITIAN Berisi tentang alat dan bahan yang digunakan dalam penelitian, cara penelitian, diskritisasi persamaan atur.

4.

BAB IV : HASIL DAN PEMBAHASAN Berisi data hasil penelitian (simulasi) dan pembahasannya.

5.

BAB V : PENUTUP Berisi kesimpulan yang diperoleh dan saran-saran bagi penelitian selanjutnya.

6.

DAFTAR PUSTAKA

7.

LAMPIRAN

commit to user


digilib.uns.ac.id

BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Tinjauan Pustaka Prosedur numerik dengan orde akurasi tinggi telah dikembangkan untuk menyelesaikan persamaan Navier-Stokes pada problem aliran fluida tak mampat 2-D dan 3-D. Metode tersebut didasarkan pada skema Runge-Kutta untuk diskritisasi waktu dan skema kompak beda hingga

untuk diskritisasi ruang.

Persamaan tekanan diselesaikan dengan metode kompresibilitas tiruan. Le Querre (1990) menggunakan algoritma pseudo–spectral Chebsyev untuk meneliti konveksi alami pada kotak 2D dengan dinding kiri di panasi, dinding kanan didinginkan, serta dinding atas dan bawah adiabatik. Dengan metode ini dapat menghilangkan osilasi numerik dan mencapai hasil yang akurat hingga nilai Ra 108. Wilson dan Demuren (1998), menggunakan skema kompak beda hingga untuk diskritasi ruang dan skema Runge-Kutta untuk diskritasi waktu pada simulasi aliran fluida tak mampat. Pada penelitian ini skema kompak beda hingga digunakan untuk diskritisasi turunan ruang dan skema Runge-Kutta orde-empat untuk diskritasi turunan waktu. Sulistyono (2006) melakukan penelitian untuk mengetahui fenomena yang terjadi pada konveksi alami kotak 2D dengan berbagai variasi kemiringan dengan menggunakan metode beda hingga. Zhao dan Dai (2007) menggunakan metode skema kompak orde-4 dalam permasalahan perpindahan panas konduksi dengan kondisi batas Neumann. Laizet (2009) menggunakan skema kompak orde tinggi untuk meneliti aliran fluida tak mampat . Lo (2009) meneliti konveksi alami dengan sudut kemiringan pada kotak 2D dan 3D dengan DQ analisis menggunakan formulasi velocity-vorticity. Azwadi (2010) melakukan penelitian pada konveksi alami pada kotak 2D dengan sudut kemiringan 200-1600, dimana metode yang digunakan adalah metode lattice Boltzmann. Kondisi batas yang digunakan adalah pemanasan dari samping kiri, dan pendinginan dari samping kanan serta perfectly conducting wall pada bagian atas dan bawah.

commit to user

5


6 digilib.uns.ac.id

Munir dan Sidik (2011) meneliti konveksi alami pada kotak 2D dengan kemiringan menggunakan metode lattice Boltzmann. Dimana kondisi batas yang digunakan adalah pemanasan dari samping kiri, dan pendinginan dari samping kanan serta perfectly conducting wall pada bagian atas dan bawah pada penelitian pertama, dan isolasi pada bagian atas dan bawah pada penelitian berikutnya. Sen (2012) meneliti persamaan konveksi untuk kondisi unsteady dengan metode skema kompak orde-4 secara implisit. 2.2 Dasar Teori Konveksi alami adalah perpindahan panas di antara sebuah permukaan dan fluida yang bergerak di atasnya dengan gerakan fluida yang disebabkan gaya apung (buoyancy force) yang timbul karena perbedaan density akibat perbedaan tekanan di dalam aliran (Oosthuizen,1999). Dewasa ini, berkembang metode Lattice Boltzmann (MLB), dimana MLB merupakan teknik simulasi yang sangat berguna untuk pemodelan fluida dengan banyak fase dan komponen. Dinamika fluida umumnya mencakup partikelpartikel mikroskopik, sehingga kalkulasinya sangat rumit yang tidak bisa diselesaikan sepenuhnya melalui metode tradisional.MLB berbasis pada model partikel mikroskopik dan persamaan kinetik, memberikan alternatif numerik untuk memecahkan masalah ini, namun MLB memiliki tingkat kerumitan boundaries dan beban komputasi yang tinggi.Penghitunga fase yang lebih banyak memerlukan ketelitian yang tinggi menyebabkan waktu hitung lebih panjang. Sedangkan untuk skema kompak beda hingga dengan akurasi orde-4 dan orde-6, ternyata skema tersebut memiliki resolusi yang lebih baik dibanding skema beda hingga biasa. Skema kompak beda hingga orde-4 memiliki grid stensil yang sama dengan skema beda hingga orde-dua, hal ini mempermudah penerapan metode ini pada model matematika, akurasinya tinggi, fleksibel, dan pengoperasianya lebih mudah. Persamaan atur konveksi alami terdiri dari persamaan kontinyuitas, persamaan momentum dan persamaan energi. Model matematika dari persamaan atur konveksi alami terdiri dari persamaan diferensial parsial orde-1 dan orde-2. commit to user Agar persamaan atur konveksi alami dapat diaplikasikan dalam bahasa program

7 digilib.uns.ac.id


maka terlebih dahulu dibuat diskritisasi persamaan atur. Diskritisasi waktu dilakukan dengan skema Runge-Kutta orde-4 dan diskritisasi ruang dengan skema kompak beda hingga orde-4. 2.2.1 Persamaan atur konveksi alami Pada konveksi alami dengan perbedaan temperatur yang kecil, maka berlaku pendekatan Boussenesq, yaitu dalam analisis mengenai aliran pada konveksi alami, properties fluida diasumsikan konstan kecuali perubahan density terhadap temperatur yang menyebabkan munculnya gaya apung (buoyancy force) (Oosthuizen, 1999). Sehingga untuk permasalahan 2-D persamaan atur konveksi alami dalam bentuk variabel tak berdimensi adalah sebagai berikut (Quere,1990): Pesamaan Kontinuitas : ) 

焸



0



(2.1)

Persamaan Navier Stokes : ) 





焸

焸

) 





焸

焸

) 





焸





焸









Persamaan Energi : 



 

焸

.

焸 .

.





 ) 



焸



焸

焸





 ) 





焸興os cos ∅

焸興os sin ∅

(2.2) (2.3)

(2.4)

Persamaan di atas diperoleh dengan membagi variabel berdimensi dengan variabel referensi. Variabel referensi untuk panjang adalah Lr=H, untuk kecepatan Vr=(a/H)Ra-0.5, dimana Ra=(gbDTH3)/(na), untuk variabel waktu tr=(H2/a)Ra-0.5, untuk temperatur (q) didefinisikan sebagai berikut : q=(T-Tr)/(Th-Tc), dan Tr=(Th+Tc)/2 dimana T adalah variabel berdimensi untuk suhu, Tr adalah variabel referensi untuk suhu, Th adalah variabel berdimensi untuk suhu yang tinggi dan Tc adalah variabel berdimensi untuk suhu yang rendah sedangkan Pr=(n/a). commit to user

8 digilib.uns.ac.id


2.2.2 Diskritisasi waktu Diskritisasi waktu untuk persamaan momentum menggunakan skema RungeKutta orde-4 dari Williamson (Wilson dan Demuren,1998) yang didefinisikan sebagai berikut :

u

M +1

=u +b M

M +1

DtHi

M

(2.5)

dimana : Dt = langkah waktu bM = koefisien skema Runge-Kutta aM = koefisien skema Runge-Kutta uiM= komponen kecepatan arah xi pada sub tingkat ke-M PiM= tekanan M Hi = -u d u M - ¶P M + Pr d u M + a M H M -1 j x i i xx i i 0.5

Ra

(2.6)

Tabel 2.1. Koefisien Runge-Kutta orde-4 dari Carpenter dan Kennedy M 1 2 3 4 5

aM 0 -0.41789047 -1.19215169 -1.69778469 -1.51418344

bM 0.14965902 0.37921031 0.82295502 0.69945045 0.15305724

2.2.3 Diskritisasi Ruang Skema beda-hingga orde-2 untuk turunan pertama memiliki galat dispersi yang besar, sedangkan skema kompak beda hingga memiliki kelebihan yaitu akurasi tinggi, fleksibel dan pengoperasiannya lebih mudah. commit to user

9 digilib.uns.ac.id


a. Turunan pertama. Bentuk diskritisai turunan pertama dengan pendekatan skema kompak beda hingga orde-4 dan orde-6 dirumuskan oleh Wilson dan Demuren (1998). Bentuk persamaanya adalah :

aFi-1 + Fi +aFi+1 = '

'

'

a b (Fi +1 - Fi -1) + (Fi +2 - Fi -2 ) 2Dx 4Dx

(2.7)

dengan : Dx

= Lx/Nx

Nx

= jumlah grid point

Fi'

= turunan pertama dari variabel F i terhadap x

a, a, b = koefisien skema kompak Turunan terhadap y dan z dapat dilakukan dengan cara yang sama. Untuk skema orde-empat maka ;a=1/4, a=3/2 dan b=0. Untuk skema orde-6 maka;

a=1/4, a=14/9, dan b=1/9. Untuk syarat batas diselesaikan dengan skema kompak orde-3 dengan persamaan sebagai berikut :

F1' + a bs F '2 =

1 3 å absi F i Dx i =1

(2.8)

a bs = 2 dan a bs 1 = - 5 / 2 , a bs 2 = 2 , a bs1 = 1 / 2 adalah koefisien orde-3 dari

syarat batas pada i=1. Persamaan yang sama juga digunakan untuk syarat batas pada i=N. Untuk skema orde-6, syarat batas diselesaikan dengan skema ekplisit bedahingga orde-5 untuk titik i=1 dan i=N. Persamaan syarat batas adalah sebagai berikut :

F1' =

1 8 å absi F i Dx i =1

(2.9)

commit to user

10 digilib.uns.ac.id


dimana : abs1=-296/105

abs5=-215/12

abs2=415/48

abs6=791/80

abs3=-125/8

abs7=-25/8

abs4=985/48

abs8=245/336

Untuk syarat batas pada i=2 dan i=N-1 juga digunakan skema ekplisit orde-lima sebagai berikut :

F '2 =

1 8 å anbi F i Dx i =1

(2.10)

dimana : anb1=-3/16

anb5=115/144

anb2=-211/180

anb6=-1/3

anb3=109/48

anb7=23/40

anb4=-35/24

anb8=-1/72

b. Turunan kedua Persamaan skema kompak beda hingga untuk turunan kedua adalah sebagai berikut :

aF"i-1 + F"i + aF"i+1 =

a

(Dx)

2

(Fi+1 - 2Fi + Fi-1 ) +

b

4(Dx)

2

(Fi+2 - 2Fi + Fi-2 )

(2.11)

dimana :

F"i

= turunan kedua dari variabel F i terhadap x

a , a, b

= koefisien skema kompak beda hingga turunan kedua

Untuk orde-empat, a=1/10, a = 6 / 5 , b=0 dan untuk orde-enam, a=2/11,

a = 12 / 11, b=3/11. Kondisi batas pada i=1 dan i=N diselesaikan dengan skema kompak orde-3 sebagai berikut :

F"i + a bs F"2 =

1

4

(Dx)2 å i =1

absi F i

(2.12)

dimana, abs =11 dan abs1=13, abs2=-27, abs3=15 dan abs4 =-1 adalah koefisien skema kompak orde-3.

commit to user



2.2.4 Metode Kompresibilitas Tiruan (Artificial Compressibility) Konsep metode kompresibilitas tiruan adalah menambahkan turunan terhadap waktu pada persamaan kontinyuitas. Bentuk modifikasi persamaan adalah :

¶p + eÑV = 0 ¶t

(2.13)

Dimana e adalah konstanta positif. Persamaan ini tidak mempunyai arti fisik jika kondisi tunak belum tercapai.

commit to user


digilib.uns.ac.id

BAB III PELAKSANAAN PENELITIAN 3.1 Alat dan Bahan 3.1.1. Alat a. Laptop dengan spesifikasi Intel(R) Pentium(R) Dual CPU T2390 @1.86GHz, Memori 3062 MB b. Perangkat lunak Mikrosoft Fortran Power Station 4.0 dan Matlab c. Printer Canon iP 1980 3.1.2. Bahan a. Perangkat lunak hasil implementasi penyelesaian numerik persamaan NavierStoke, persamaan kontinuitas, dan persamaan energi dengan skema kompak beda hingga digunakan untuk diskritisasi turunan ruang dan skema RungeKutta orde-4 untuk diskritasi turunan waktu. b. Data-data referensi untuk bahan penyusunan kode. 3.2 Garis Besar penelitian Penelitian dilakukan dengan cara membuat implementasi program untuk menyelesaikan persamaan momentum, persamaan energi dan persamaan kontinyuitas dengan pendekatan skema kompak orde-4 dan skema Runge-Kutta orde-4. Langkah-langkah penelitian yang dilakukan adalah seperti berikut : 1. Mengumpulkan literatur 2. Mempelajari literatur a. Mempelajari penelitan-penelitian yang pernah dilakukan b. Mempelajari persamaan atur yang berhubungan dengan permasalahan 3. Merencanakan algoritma program a. Membuat diskritisasi persamaan atur b. Menyusun bagan alir program 4. Menulis bagan alir dalam bahasa program (Fortran) 5. Menjalankan program 6. Validasi Program

commit to user 7. Memperbaiki kesalahan pemrograman

12



a. Kesalahan penulisan b. Kesalahan algoritma 8. Membuat visualisasi hasil program dengan perangkat lunak Matlab 9. Menyusun laporan penelitian Garis besar penelitian tersebut dapat dibuat diagram alir sebagai berikut : Mulai Mengumpulkan dan Mempelajari literatur - literatur

Membuat diskritisasi persamaan atur

Membuat algoritma program

Menulis bagan alir dalam bahasa fortran

Menjalankan program

Program benar

tidak

ya Membuat visualisasi dengan Matlab Analisa hasil Kesimpulan

Selesai Gambar 3.1. Diagram Alir Penelitian commit to user



3.3 Diskritisasi Persamaan Atur Persamaan atur konveksi alami terdiri dari persamaan kontinuitas, persamaan momentum dan persamaan energi. Model matematika dari persamaan atur konveksi alami terdiri dari persamaan diferensial parsial orde-1 dan orde-2. Agar persamaan atur konveksi alami dapat diaplikasikan dalam bahasa program maka terlebih dahulu dibuat diskritisasi persamaan atur. Diskritisasi waktu dilakukan dengan skema Runge-Kutta orde-4 dan diskritisasi ruang dengan skema kompak beda hingga orde-4. Matrik yang terbentuk dari diskritisasi turunan ruang adalah matrik tridiagonal yang bisa diselesaikan dengan algoritma Thomas. 3.3.1 Diskritisasi persamaan momentum a.

Persamaan momentum arah x: �. �

�.

㻘

�

�.

㻘鶈

�

�

� .

㻘

�

�

Diskritisasi waktu (Runge-Kutta) : ,

�

,

,

㻘䫠

,

㻘

�

A,

鶈,

∆

cos ∅ 㻘

9,

㻘

� . �

㻘䫠

cos ∅

(3.1)

(3.2)

,

A, 㻘

,

䫠

AA, 㻘 99,

5

(3.3)

Diskritisasi Ruang ( Skema Kompak orde- 4) : · Turunan pertama �

A

�,

�

A

�,

� �5

AA

�

9,

�

· Turunan kedua �,

㻘

A, 㻘

�

㻘

A, 㻘

�

㻘

㻘

9, 㻘

�

AA, 㻘

� �5

A

�,

A

�,

9,

�

∆

∆

∆

AA �, to user commit ∆

,

�,

�,

�

�,

,

2

�,

(3.4)

�,

(3.6)

,

(3.5)

�

㻘

�,

(3.7)



� �5

99,

�

�

㻘

99, 㻘 �5

99,

�

,

∆

2

�

,

㻘

,

�

(3.8)

b. Persamaan momentum arah y : �

�

㻘

�

㻘鶈

�

�

�

�

�

㻘

�

㻘

�

Diskritisasi waktu (Runge-Kutta) : �

,

,

㻘

,

鶈A ,

,

㻘䫠

�

∆

㻘䫠

�

sin ∅

(3.9)

(3.10)

,

鶈 , 鶈9 ,

䫠

9, 㻘

sin ∅ 㻘

�

5

鶈AA , 㻘鶈99 , (3.11)

,

Diskritisasi Ruang ( Skema Kompak orde- 4) : · Turunan pertama � � �

鶈A

鶈9 ,

�

�,

9,

�

�

㻘鶈A , 㻘鶈A �

㻘鶈9 , 㻘鶈9 , 㻘

· Turunan kedua � 鶈AA �5

� 鶈99 , �5

�,

�

9, 㻘

�

�,

�

9,

�

㻘鶈99 , 㻘

� 鶈99 , �5

鶈

∆

鶈,

∆

�

㻘鶈AA , 㻘 �5 鶈AA

∆

�,

�

鶈,

�,

�

�

鶈

∆

鶈,

∆

鶈

鶈,

鶈,

�,

�

(3.12)

�,

(3.13)

�

(3.14)

�

2鶈 , 㻘鶈

2鶈 , 㻘鶈 ,

�,

(3.15) �

(3.16)

3.3.2. Diskritisasi persamaan energi �

㻘

�

�

㻘鶈

�

�

�

�

�

�

Diskritisasi waktu (Runge-Kutta) : ,

�

,

㻘

�

∆

,

㻘

�

�

commit to user

(3.17)

(3.18)



,

A,

,

�

鶈, 9, 㻘

AA , 㻘 99 ,

Diskritisasi Ruang ( Skema Kompak orde- 4) :

㻘

,

(3.19)

· Turunan pertama �

A

�

9,

1, 1

㻘 A, 㻘

㻘 9, 㻘

· Turunan kedua � �5

AA

� �5

99 ,

�, �

1 4

1 4

3

A 㻘1,

4∆A 3

9 , 㻘1

㻘1,

4∆A

, 㻘1

�,

∆

�

㻘 AA , 㻘 �5 AA �

㻘 99 , 㻘 �5 99 ,

�

(3.20)

1,

,

�, ,

∆

(3.21)

1

�

2

,

㻘

2

,

㻘

(3.22)

�, ,

�

(3.23)

3.3.3. Diskritisasi metode kompresibilitas tiruan. �

, ,

,

㻘

A,

�

∆

(3.24)

,

9, 㻘

(3.25)

,

3.4 Diskritisasi Syarat Batas

Dalam penelitian ini kasus yang dibahas adalah konveksi alami dalam kotak 2-D dengan dinding bawah di panasi, dinding atas didinginkan, serta dinding kiri dan kanan adiabatik dengan variasi kemiringan. Untuk kondisi batas domain adalah pada seluruh dinding kecepatan bernilai nol sedangkan syarat batas tekanan dan temperatur adalah seperti berikut : q = -0.5

¶p =0 ¶y ¶p ¶q = 0 ¶x = 0 ¶x

¶p =0 ¶x

¶q =0 ¶x

¶p =0 ¶y q = 0.5 commit to user Gambar 3.2. Kondisi batas dan syarat batas



∅

Gambar 3.3. Kotak 2D dengan kemiringan ∅

3.4.1. Syarat batas kecepatan · Turunan pertama. Untuk i=1 dan i=nx A�,

A

鶈A�, 鶈A

�

� ∆ �

,

� ∆

�

� ∆ �

,

� ∆

3

3鶈

3

,

3鶈

,

,

,

㻘1 1

�

� ∆ �

9,

� ∆

�

鶈9 ,�

� ∆ �

鶈9 ,

� ∆

· Turunan kedua.

3

3

,

,

㻘1

,

1 鶈

1

,

,

㻘1 鶈

Untuk j=1 dan j=ny 9,�

,

,

,

3鶈 , 㻘 1 鶈 ,

3鶈 ,

1 鶈,

3

㻘 48

,

㻘3

,

3 鶈

㻘3 鶈

3

,

㻘 48

�,

,

48

3 鶈 , 㻘 48鶈 ,

㻘3 鶈,

2 鶈�,

,

48鶈 ,

,

2

(3.25)

�,

2

�,

48鶈

,

,

㻘3

48

㻘 48鶈

,

2

,

,

(3.27)

2 鶈

,

2 鶈 ,� �

(3.28)

(3.29)

,� �

(3.26)

2

(3.30)

,

(3.31)

2 鶈,

(3.32)

Untuk i=1 dan i=nx AA�, 㻘 11 AA,

AA

,

㻘 11

AA

�,

�

∆

�

∆

13

13

�,

27

27

commit ,to user

, �,

㻘1 㻘1

,

(3.33)

, ,

,

(3.34)



鶈AA�, 㻘 11鶈AA 鶈AA

,

�

,

∆

�,

∆

㻘 11鶈AA

�

13鶈�,

13鶈

27鶈

27鶈

,

㻘1 鶈

,

㻘1 鶈

�,

鶈

, ,

(3.35)

,

鶈

(3.36)

,

Untuk j=1 dan j=ny 99,� 㻘 11

99,

㻘 11

99,

99,

∆ �

∆

㻘 11鶈99 ,

�

�

鶈99 ,� 㻘 11鶈99 , 鶈99 ,

�

∆ �

∆

�

13

13

,�

27

27

,

13鶈 ,�

13鶈 ,

㻘1

, ,

�

㻘1

, ,

�

(3.38)

,

27鶈 , 㻘 1 鶈 ,

27鶈 ,

(3.37)

,

鶈,

㻘1 鶈,

(3.39)

鶈,

(3.40)

3.4.2. Syarat batas tekanan Untuk i=1 dan i=nx A�,

(3.41)

A

(3.42)

,

Untuk j=1 dan j=ny 9,�

(3.43)

9,

(3.44)

3.4.3. Syarat batas temperatur · Turunan pertama Untuk i=1 dan i=nx �

qA�, qA

� ∆ ,

�

� ∆

3q

3q

, ,

㻘1 q 1 q

, ,

3 q

,

㻘3 q

commit to user

㻘 48q ,

,

48q

2 q�, �,

(3.45) 2 q

,

(3.46)



Untuk j=1 dan j=ny q9 ,�

(3.47)

q9 ,

(3.48)

· Turunan kedua Untuk i=1 dan i=nx qAA�, 㻘 11qAA qAA

,

�

,

㻘 11qAA

∆

�

�,

∆

13q�,

13q

,

27q

,

27q

㻘1 q 㻘1

�,

q

,

q

(3.49)

,

q

,

,

(3.50)

Untuk j=1 dan j=ny q99 ,� 㻘 11q99 , q99 , 㻘 11q99 ,

∆ �

�

∆

�

13q ,�

13q ,

27q , 㻘 1 q ,

27q ,

�

㻘1

q,

q,

(3.51) q,

(3.52)

3.5. Algoritma Pemrograman Algoritma pemrograman tersebut dapat dituliskan sebagai berikut : 1. Tentukan kondisi awal dan kondisi batas untuk semua variabel (u,v,q,p). 2. Hitung

turunan

pertama

(ux,uy,vx,vy,qx,qy,px,py)

dan

dari

kecepatan,

turunan

kedua

temperatur dari

dan

tekanan

kecepatan

temperatur(uxx,uyy,vxx,vyy,qxx,qyy) dengan skema kompak orde-empat. 3. Hitung kecepatan(u,v) dengan skema Runge-Kutta orde-empat. 4. Hitung tekanan dengan metode artificial compressibility. 5. Hitung temperatur(q)dengan skema Runge-Kutta orde-4. 6. Periksa apakah sudah mencapai batas perhitungan atau belum, jika belum kembali ke langkah 2, jika sudah ke langkah 7. 7. Tulis hasil 8. Selesai

commit to user

dan



Bagan alir program yang akan dibuat adalah sebagai berikut: MULAI DATA AWAL SYARAT BATAS

TENTUKAN TURUNAN PERTAMA UNTUK u,v,p,q DAN TURUNAN KEDUA UNTUK u,v,q SELESAIKAN PERSAMAAN MOMENTUM UNTUK MEMPEROLEH Um+1 DAN vm+1

HITUNG TEKANAN pm+1 DENGAN METODE ARTIFICIAL COMPRESSIBILITY SELESAIKAN PERSAMAAN ENERGI UNTUK MEMPEROLEH qm+1

PERIKSA KONVERGENSI ? Y TULIS HASIL

SELESAI

Gambar 3.4. Diagram Alir Program commit to user

T


digilib.uns.ac.id

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Validasi Program Validasi program dilakukan dengan cara membandingkan hasil dari proses simulasi dengan hasil penelitian yang telah dilakukan oleh Le Quere. Domain pada Penelitian Le Quere adalah penyelesaian permasalahan konveksi alami pada kotak 2D, dengan aspek rasio 1:1, dengan kondisi dinding bawah dan atas merupakan dinding adiabatis, dinding kiri mendapat pemanasan dan dinding kanan mendapat pendinginan. q = -0.5

¶p =0 ¶y

¶p ¶q =0 =0 ¶x ¶x

¶p =0 ¶x

¶q =0 ¶x

¶p =0 ¶y q = 0.5 Gambar 4.1. Kondisi batas dan syarat batas Penelitian Kondisi Batas Le Quere sama dengan kondisi batas pada penelitian pada sudut kemiringan ( ) = 900 . Hasil Perhitungan akan dibandingkan dengan penelitian Le Quere pada Ra=106, dan Ra=107. Hasil perhitungan dan perbandingan dengan hasil penelitian Le Quere disajikan dalam tabel 4.1 dan 4.2.

commit to user

21



Tabel.4.1 Hasil Perhitungan dan Perbandingan untuk Ra=106 Skema Kompak

Le Quere

jmiddle

0.0162925

0.0163864 0.57

jmax

0.01683449

0.016811

0.14

X

0.15

0.15

0.00

Y

0.55

0.547

0.55

0.064892

0.0648344 0.09

0.85

0.85

0.00

0.220252

0.220559

0.14

0.04

0.038

5.26

8.73409

8.8252

1.03

Numiddle

8.821

8.8252

0.05

Numax

17.157

17.536

2.16

Numin

0.9845

0.97946

0.51

umax(1/2,y) Y vmax(x,1/2) X Nuwall

Beda (%)

Tabel 4.2 Hasil Perhitungan dan Perbandingan untuk Ra=107 Skema Kompak

Le Quere

Beda (%)

jmiddle

0.009213797

0.00928496 0.77

jmax

0.00960185

0.00953872 0.66

X

0.0867

0.086

0.81

Y

0.5533

0.556

0.49

0.047195

0.046986

0.44

0.88

0.879

0.11

0.221108

0.221118

0.00

0.02

0.021

4.76

Nuwall

16.21204

16.523

1.88

Numiddle

16.53448

16.523

0.07

Numax

40.3283

39.3948

2.37

Numin

1.375111 commit to user 1.36636

0.64

umax(1/2,y) Y vmax(x,1/2) X



Sudut kemiringan yang lain dilakukan validasi dengan membandingkan dengan hasil penelitian yang telah dilakukan oleh Lo. Domain untuk penelitian.Lo pada permasalahan konveksi alami, kotak 2D dengan aspek rasio 1 :1, dengan kondisi dinding bawah dan atas merupakan dinding adiabatis, dinding kanan mendapat pemanasan dan dinding kiri mendapat pendinginan. Kondisi Batas ini sama dengan kondisi batas pada penelitian pada sudut kemiringan ( ) = 2700. Pada penelitian Lo kotak dimiringkan berlawanan dengan arah jarum jam. Hasil Perhitungan akan dibandingkan dengan penelitian Lo pada Ra=105, dan Ra=106. Hasil perhitungan Nusselt rata-rata dan perbandingan dengan hasil penelitian Lo disajikan dalam tabel 4.3 dan 4.4. Tabel 4.3 Hasil nilai Nusselt rata-rata dan Perbandingan untuk Ra=105 Sudut Kemiringan 2700

Skema Kompak

Lo

Beda (%)

4.518

4.521

0.066

2550

3.95

3.953

0.076

2400

3.025

3.028

0.099

2100

1.378

1.378

0.000

Tabel 4.4 Hasil nilai Nusselt rata-rata dan Perbandingan untuk Ra=106 Sudut Kemiringan 2700 0

255

0

240

0

210

Skema Kompak

Lo

Beda (%)

8.735

8.823

0.997

7.439

7.522

1.103

5.266

5.323

1.071

1.566

1.568

0.128

Validasi secara visual dilakukan dengan membandingkan hasil visual isotermal dengan hasil visual isotermal pada penelitian Munir. Hasil penelitian Munir menggunakan metode lattice Boltzmann dan kondisi batas yang sama dengan kondisi batas pada penelitian. Perbandingan ditunjukan dengan gambar commit to user berikut :



(a)

(b)

(c) Gambar 4.2. perbandingan Isotermal penelitian Munir dengan Hasil penelitian pada (a) kemiringan ( ) =400, (b) kemiringan ( ) = 1200, (c) kemiringan ) = 1600 commit to (user



Hasil perhitungan yang ditunjukan tabel 4.1 sampai 4.4

menunjukkan

kedekatan yang baik antara hasil penelitian dengan hasil penelitian Le Quere maupun Lo. Secara visual, hasil penelitian menunjukan kemiripan dengan penelitian yang dilakukan Munir. Sehingga dapat dikatakan hasil penelitian dari skema kompak orde tinggi memiliki kesesuaian yang baik. 4.2. Simulasi Konveksi Alami dalam kotak 2D Simulasi kasus konveksi alami dalam kotak 2-D ditampilkan dengan susunan grid sebesar 101 x 101, bilangan Prandtl (Pr) = 0.71 , langkah waktu dt = 0.005 dan angka Rayleigh yang digunakan adalah Ra = 106 dengan rasio 1:1 . Hasil simulasi selengkapnya dapat dilihat pada gambar berikut : · Distribusi temperatur :

Isolasi

Isolasi

Dingin

Panas Gambar 4.3 Isotermal pada Ra = 106, sudut

commit to user

= 00



Dingin Isolasi

Isolasi

Panas

(a)

Dingin Isolasi

Isolasi Panas

(b) Gambar 4.4 Isotermal pada Ra = 106to , (a) sudut commit user

= 300 (b) sudut

= 450



Isolasi

Dingin

Panas Isolasi

(a)

Panas

dingin

Isolasi

Isolasi (b) Gambar 4.5 Isotermal pada Ra = 106, (a) sudut commit to user

= 600 (b) sudut

= 900



Isolasi Panas

Dingin Isolasi

(a)

Panas

Isolasi

Isolasi Dingin

(b) commit to user Gambar 4.6 Isotermal pada Ra = 106, (a) sudut

= 1200 (b) sudut

= 1350



Panas

Isolasi

Isolasi

dingin

(a) Panas

Isolasi

Isolasi

dingin (b) Gambar 4.7 Isotermal pada Racommit = 106, to (a)user sudut

= 1500 (b) sudut

= 1800



· streamlines :

(a)

(b) Gambar 4.8 streamlines pada Ra = 106, (a) sudut commit to user

= 00 (b) sudut

= 300



(a)

(b) Gambar 4.9 streamlines padacommit Ra = 10to6, user (a) sudut

= 450 (b) sudut

=600



(a)

(b) Gambar 4.10 streamlines pada Ra = 106, (a) sudut

commit to user

= 900 (b) sudut

= 1200



(a)

(b) Gambar 4.11 streamlines pada Ra = 106to , (a) sudut commit user

= 1350 (b) sudut

= 1500



Simulasi kasus konveksi alami dalam kotak 2-D ditampilkan dengan susunan grid sebesar 81 x 41, bilangan Prandtl (Pr) = 0.71 , langkah waktu dt = 0.0005, sudut

= 00 dan angka Rayleigh yang digunakan adalah Ra = 106 dengan

rasio 2:1. Hasil simulasi selengkapnya dapat dilihat pada gambar berikut :

Gambar 4.12 Streamlines untuk rasio 2:1

Dingin

Isolasi

Isolasi

Panas Gambar 4.13 Isotermal untuk rasio 2:1 commit to user



Hasil plot isotermal pada gambar 4.3 sampai dengan gambar 4.7 menunjukan distribusi temperatur secara visual. Gambar 4.3 pada sudut

= 00,

terlihat bahwa pergerakan fluida panas bergerak keatas karena adanya gaya apung (buoyancy force). Hal ini disebabkan karena density yang turun akibat dari temperatur panas, sedangkan fluida dingin bergerak ke bawah karena density lebih besar serta adanya gaya gravitasi. Temperatur fluida yang dekat dengan dinding sangat terpengaruh oleh temperatur di dinding. Gambar 4.3 menunjukkan pengaruh nilai Ra pada distribusi temperatur, dimana bagian yang relatif panas di bagian kiri bawah semakin condong ke atas dan distribusi temperatur yang relatif dingin di bagian kanan bawah semakin condong ke bawah, hal ini karena pengaruh kecepatan gerakan fluida yang membawa panas pada nilai Ra tersebut. Hal ini pun terjadi pada kemiringan kotak untuk sudut

= 300,450,600 , 900 ,

1200, 1350 dan 1500 yang di tunjukan pada gambar 4.4 sampai 4.7. Gambar isotherm tersebut Di sini terlihat bahwa kecepatan fluida pada dinding kiri dan kanan relatif cepat dari pada bagian tengah. Pada dinding yang dipanaskan, fluida mendapat pemanasan sehingga densitas fluida mengecil . Penyusutan densitas pada dinding yang dipanaskan menyebabkan terjadinya gaya apung sehingga fluida bergerak ke atas. Aliran fluida setelah mencapai dinding atas bergerak turun dan selanjutnya membelok ke arah dinding yang didinginkan dan mengalami pendinginan. Gerakan fluida turun setelah mencapai dinding atas disebabkan oleh pengaruh inersia. Hal ini terjadi karena nilai Bilangan Prandtl untuk udara adalah Pr<1 sehingga keseimbangan persamaan aliran dipengaruhi oleh inersia. Untuk nilai Pr>1 maka pengaruh inersia akan semakin berkurang sehingga keseimbangan persamaan aliran dipengaruhi oleh friction dan buoyancy. Setelah mencapai dinding dingin fluida membelok ke bawah, karena temperatur dinding lebih rendah, sehingga fluida mengalami pendinginan sehingga densitasnya meningkat, dengan demikian kecepatan aliran bertambah karena pengaruh gaya gravitasi. Setelah mencapai dinding bawah aliran fluida bergerak ke atas karena pengaruh inersia kemudian berbelok ke dinding yang dipanaskan dan mengalami pemanasan pada dinding kiri. . Dimana fenomena ini menjelaskan commit to user arah gaya apung, dimana dapat digambarkan seperti gambar 4.14 berikut :



TC TH

TC TH

Gambar 4.14 Komponen gaya apung dalam kotak miring Gambar 4.7 (b), untuk kemiringan sudut

= 1800 menunjukan tidak terjadi

perpindahan panas secara konveksi, melainkan perpindahan panas terjadi secara konduksi. Hal ini dikarenakan pemanasan terjadi pada bagian atas, dan pendinginan terjadi pada bagian bawah. Sehingga fluida tidak terjadi pergerakan, dan efek gaya apung (buoyancy force) tidak terjadi pada sudut ini. Gambar. 4.8 dan Gambar 4.11 menunjukkan plot dari streamlines untuk sudut kemiringan sudut

= 300,450,600 , 900 , 1200, 1350 dan 1500. Simulasi pada

Ra 106 dengan sudut kemiringan

≥ 300, fluida yang dekat dengan dinding panas

dipanaskan dan naik karena pengaruh gaya apung (buoyancy force). Kemudian fluida yang didinginkan oleh dinding dingin, fluida terjadi peningkatan density yang kemudian akan turun. Hal

ini digambarkan secara sederhana melalui

gambar 4.14. Hasil simulasi untuk sudut kemiringan

> 300, pada bagian tengah

muncul sel lebih dari satu karena tingginya gaya tarik gravitasi di sepanjang dinding vertikal dari kotak. Sedangkan untuk hasil simulasi pada sudut kemiringan yang lebih rendah (

< 300), hanya sel pusat tunggal muncul karena

kecepatan aliran yang lebih tinggi di sepanjang dinding panas dan dingin. Hasil simulasi untuk sudut kemiringan

=00 yang ditunjukan gambar 4.8

(a) terdapat satu gulungan sel, dimana bila rasio ditingkatkan maka akan terlihat beberapa gulungan sel. gulungan sel itu biasa disebut benard sell. Hal ini nampak lebih jelas pada simulasi kasus dengan rasio 2:1. Dimana hal ini ditunjukan pada plot Streamlines gambar 4.12. Gambar tersebut menunjukan adanya 2 benard sell. commit to user



Gambar 4.15 konvergensi untuk Ra=106 dan Sudut Kemiringan 00



commit to user





Gambar 4.20 konvergensi untuk Ra=106 dan Sudut Kemiringan 1200 commit to user




Gambar 4.22 konvergensi untuk Ra=106 dan Sudut Kemiringan 1500 Gambar kurva konvergensi pada gambar 4.15 sampai gambar 4.22 menunjukan nilai

logaritma -3,2 sampai -3,59. Nilai logaritma tersebut

menunjukan bahwa program yang telah dibuat telah mampu mencapai persamaan kontinuitas mendekati angka 0 yaitu pada nilai 10-3.2 sampai 10-3,59. Sehingga dari gambar kurva konvergensi menunjukan bahwa skema kompak orde tinggi dapat mencapai persamaan kontinuitas mendekati 0 untuk berbagai sudut kemiringan.

commit to user


digilib.uns.ac.id

BAB V PENUTUP

5.1 Kesimpulan Dari penelitian dan pembahasan yang telah dilakukan, dapat ditarik beberapa kesimpulan yaitu : a. Hasil penelitian pada domain kotak 2D pada sudut kemiringan 900 menunjukkan kedekatan nilai yang baik dengan hasil penelitian Querre pada Ra = 106 dan Ra = 107. Pada sudut kemiringan 2700, 2550, 2400, dan 2100 menunjukan kedekatan nilai yang baik dengan hasil penelitian Lo. Prosentase perbedaan kurang dari 5% secara keseluruhan. b. Metode skema kompak orde-tinggi mampu memberikan hasil yang baik untuk kasus konveksi alami pada kotak 2D dengan bilangan Rayleigh mencapai 107. c.

Konveksi alami pada kotak 2D dengan kemiringan telah dapat disimulasikan dengan penyelesaian persamaan Navier Stokes menggunakan metode skema kompak orde-tinggi , dimana ditunjukan dengan gambar pola streamlines, dan distribusi temperatur.

d. Pada kotak 2D dengan pemanasan dari bawah ( sudut kemiringan 00) terjadi konveksi alami dengan pola aliran fluida membentuk benard sell. e. Arah pergerakan fluida pada kotak 2D yang dimiringkan mengikuti arah bouyancy forcé, dimana pada sisi panas bergerak keatas, dan pada sisi dingin bergerak kebawah. f. Pada kotak 2D dengan pemanasan dari atas ( sudut kemiringan 1800) tidak terjadi perpindahan panas konveksi, melainkan perpindahan panas secara konduksi. g. program yang telah dibuat telah mampu mencapai persamaan kontinuitas mendekati angka 0 yaitu pada nilai 10-3.2 sampai 10-3,59. commit to user

40



5.2 Saran Untuk lebih mengembangkan ilmu pengetahuan dibidang simulasi numerik, penulis memberikan saran : a.

Dilakukan penelitian lebih lanjutmengenai konveksi alami pada bidang 3D

b.

Melakukan pengembangan dengan metode yang dapat menghasilkan keakuratan lebih tinggi, misalnya metode Lattice Boltzmann.

commit to user

JURUSAN TEKNIK MESIN FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2012

Recommend Documents