Jurnal MIPA 39 (1) (2016): 78-84
Jurnal MIPA http://journal.unnes.ac.id/nju/index.php/JM
MODEL VOLATILITAS ARCH(1) DENGAN RETURN ERROR BERDISTRIBUSI SKEWED STUDENT-T E D Saputri, D B Nugroho, A Setiawan Prodi Matematika , Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana, Indonesia
Info Artikel
Abstrak
_______________________
__________________________________________________________________________________________
Sejarah Artikel: Diterima Februari 2016 Disetujui Maret 2016 Dipublikasikan April 2016
Model volatilitas Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (ARCH) lag 1, dimana return error berdistribusi skewed Student-t, diaplikasikan untuk runtun waktu return kurs beli harian Euro (EUR) dan Japanese Yen (JPY) terhadap Indonesian Rupiah (IDR) dari Januari 2009 sampai Desember 2014. Metode indepence chain MetropolisHastings (IC-MH) yang efisien dibangun dalam algoritma Markov Chain Monte Carlo (MCMC) untuk memperbarui nilai-nilai parameter dalam model yang tidak bisa dibangkitkan secara langsung dari distribusi posterior. Meskipun 95% interval highest posterior density dari parameter skewness memuat nol untuk semua data pengamatan, tetapi sebagian besar distribusi posteriornya berada di daerah negatif, yang mengindikasikan dukungan terhadap distribusi skewed Student-t. Selain itu diperoleh nilai derajat kebebasan disekitar 15 dan 18, yang mengindikasikan dukungan terhadap heavytailedness.
_______________________ Keywords: distribusi skewed Student-t, independence-chain Metropolis–Hastings, kurs beli, MCMC, model ARCH _____________________________
Abstract __________________________________________________________________________________________ Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (ARCH) volatility model of lag 1, where return error has a skewed Student-t distribution, for the buying rate Euro (EUR) and Japanese Yen (JPY) to Indonesian Rupiah (IDR) from January 2009 to December 2014,. An efficient independence chain MetropolisHastings (IC-MH) method is developed in an algorithm Markov Chain Monte Carlo (MCMC) to update the parameters of the model that could not be sampled directly from their posterior distributions. Although 95% highest posterior density interval from skewness parameter contains zero for all the data, most of the posterior distribution located in the negative area, indicating support for the skewed Student-t distribution into the return error. Furthermore the value of degrees of freedom is found around 15 and 18, indicating support for the heavy-tailedness.
© 2016 Universitas Negeri Semarang Alamat korespondensi: Jl. Diponegoro 52–60 Salatiga 50711 Jawa Tengah; E-mail:
[email protected]
ISSN 0215-9945
78
E D Saputri, D B Nugroho, A Setiawan/ Jurnal MIPA 39 (1) (2016): 78-84
PENDAHULUAN
JPY terhadap IDR atas periode harian dari Januari 2009 sampai Desember 2014.
Beberapa studi keuangan telah memperlihatkan bahwa data runtun waktu seperti return saham dan return kurs (nilai tukar) mata uang asing mempunyai karakteristik utama yaitu skewness, heavy tailedness, dan pengelompokan volatilitas (simpangan baku). Terkait dengan pengelompokan volatilitas, model yang populer dalam literatur yaitu model ARCH yang pertama kali diperkenalkan oleh Engle (1982).
METODE MODEL ARCH (1) DENGAN RETURN ERROR BERDISTRIBUSI SKT Salah satu distribusi yang mengakomodasi flexible skewness dan heavy-tailedness pada return error yaitu SKT yang diusulkan oleh Nakajima & Omori (2012), yang dinyatakan seperti berikut:
Studi ini difokuskan pada model volatilitas ARCH lag 1, disingkat ARCH(1), yang dinyatakan dengan persamaan berikut (Tsay 2002): (
√
( Dimana ,
)
∑
,
. dengan
-
( IG
), dan
menyatakan
] SKT, = 10
0.4
adalah harga aset pada saat t. f(x)
dimana
/,
distribusi inverse-Gamma. Ketika , distribusi di atas tereduksi menjadi distribusi Student-t. Untuk mengintrepetasikan parameter-parameter ( ), yaitu hubungan antara skewness dan heavytailedness, plot fungsi kepadatan dari distribusi SKT untuk beberapa nilai parameter k dan ν disajikan pada Gambar 1. Semakin kecil nilai k menunjukkan skewness yang semakin negatif atau condong ke kiri, dan berlaku sebaliknya. Sementara itu, semakin besar nilai derajat kebebasan , distribusinya menjadi kurang condong.
Dengan dan untuk menjamin positivitas dan stasioneritas dari variansi (volatilitas kuadrat) (Lo, 2003). Studi ini menggunakan mean-corrected return yang didefinisikan seperti berikut: [
)√
Sebagai suatu pendekatan yang menjanjikan untuk model dengan heavy-tailedness dan skewness yang fleksibel, distribusi non-central Student-t (NCT) dan skewed Student-t (SKT) telah didiskusikan berturut-turut oleh Johnson et al. (1995) dan Aas & Haff (2006). Saputri et al. (2015) telah mempelajari model volatilitas ARCH(1) dengan return error berdistribusi NCT. Berbeda dengan itu, studi ini mengasumsikan return error berdistribusi SKT. Disini model diestimasi dengan menggunakan metode MCMC. Studi empiris dari model volatilitas dilakukan dengan menggunakan data riil kurs beli EUR dan
0.3
k =0 k = -0.5
k = -2 k = -3 k = -5
0.2
k = -1 k = -1.5
0.1 0
-8
-6
-4
0
2
4
6
SKT, k = -3
0.4
=5 = 10 = 20
0.3 f(x)
-2
= 30 = 50 = 100
0.2 0.1 0
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
x
Gambar 1. Plot fungsi kepadatan distribusi SKT.
79
E D Saputri, D B Nugroho, A Setiawan/ Jurnal MIPA 39 (1) (2016): 78-84
Sekarang model volatilitas ARCH(1) dengan return error berdistribusi SKT, disingkat ARCHskt(1), dirumuskan sebagai berikut: √ [ (
)
√
]
.
/
(
untuk model ARCHskt(1) dikerjakan berdasarkan langkah-langkah berikut: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
)
Inisialisasi , , , . Membangkitkan nilai acak | Membangkitkan nilai acak | Membangkitkan nilai acak | Membangkitkan nilai-nilai acak | Membangkitkan nilai acak |
, , , , ,
yang dijelaskan berikut ini. Langkah 0:
Ketika , model di atas tereduksi ke model ARCH(1) dengan returns error berdistribusi Student-t, yang telah dianalisis oleh Safrudin et al. (2015).
Nilai-nilai awal yang ditetapkan untuk parameter yaitu .
/
Metode MCMC untuk Model ARCHskt(1) Langkah 1:
Dinotasikan ( ), ( ), dan ( ). Distribusi posterior gabungan untuk model ARCHskt(1) dapat dirumuskan sebagai berikut: (
| )
( | (
)
Dengan hanya memperhatikan paramater pada distribusi posterior gabungan, log posterior untuk parameter dinyatakan sebagai berikut: ( )
( | )
√
{
0
.
√
/1
(
∏ 0 . /1
{
}
∑[
(
(
)
(
)
)
) √
dengan ( | ) merupakan fungsi likelihood dan ( ) merupakan distribusi prior gabungan dari parameter model. Mengikuti kesepakatan umum, ditetapkan prior sebagai berikut: ( ) (
)
} √
(
)
) ∑
∏
( |
)
(
)
(
)
(
(
)
)]
Dalam hal ini, karena posterior tidak mengikuti suatu distribusi tertentu, maka parameter dibangkitkan dengan menggunakan metode ICMH dengan melakukan beberapa tahapan sebagai berikut (Tierney, 1994): Tahap 1: membangkitkan proposal ). ( -(
Algoritma MCMC untuk membangkitkan nilai-nilai acak parameter dari distribusi posterior
Tahap 2: menghitung rasio probabilitas ( | ) ) penerimaan ( . ( |
80
)
E D Saputri, D B Nugroho, A Setiawan/ Jurnal MIPA 39 (1) (2016): 78-84
Tahap 3: membangkitkan
(
). (
)+, Tahap 4: jika * ( maka proposal diterima, jika tidak maka proposal ditolak.
∑
)
)
) dan dengan . Dalam √ ( kasus ini, parameter k dapat dibangkitkan secara langsung dari distribusi normal, yaitu ( ), dimana:
Dalam kasus ini, dan ditentukan menggunakan metode yang didasarkan pada tingkah laku distribusi di sekitar modus (Albert 2009). Dicari sedemikian sehingga ( ) dan selanjutnya dihitung , * ( )+- .
(∑
Langkah 2:
)
dan
Berdasarkan distribusi posterior gabungan, log posterior untuk parameter dinyatakan sebagai berikut : ( )
(
(∑
)
(∑
( |
)
Langkah 4:
(
)
Berdasarkan distribusi posterior gabungan, log posterior untuk parameter ν dinyatakan sebagai berikut:
∑
( ) √ (
)
0
.
/1
√
)
)
. /
∑[
(
)
(
(
√ )]
) )
(
(
) )
]
)
Langkah 5: Berdasarkan distribusi posterior gabungan, posterior untuk parameter dinyatakan sebagai berikut:
Langkah 3: Berdasarkan distribusi posterior gabungan, log posterior untuk parameter k dinyatakan sebagai berikut: ( |
∑[ ( )
Dalam kasus ini, posterior untuk parameter ν tidak mengikuti suatu distribusi tertentu. Karena itu, parameter ν dibangkitkan dengan menggunakan metode IC-MH dengan proposalnya ). adalah , -(
Karena posterior tidak mengikuti suatu distribusi tertentu, maka parameter dibangkitkan dengan menggunakan metode ICMH seperti pada pembangkitan parameter .
( )
( |
( ∑
( (
)
( ) dimana
)
81
(
)
( |
)
E D Saputri, D B Nugroho, A Setiawan/ Jurnal MIPA 39 (1) (2016): 78-84
√ (
[
( ( | )
Estimasi Parameter
) ) ]
Algoritma MCMC dikerjakan dengan membangkitkan sebanyak 15000 nilai acak untuk setiap parameter, dimana 5000 nilai acak pertama dihilangkan dan sisanya disimpan sebagai keluaran MCMC. Selanjutnya, nilai acak yang disimpan digunakan untuk menghitung rerata posterior, standard deviation (SD), 95% highest posterior density (HPD) interval, yang diestimasi menggunakan metode dari Chen & Shao (1999), dan integrated autocorrelation time (IACT). IACT ditafsirkan sebagai banyaknya iterasi MCMC yang diperlukan untuk menghasilkan nilai-nilai acak yang saling bebas (lihat Geweke 1992 untuk pengestimasiannya).
√
Karena posterior tidak mengikuti suatu distribusi tertentu, maka parameter dibangkitkan menggunakan metode IC-MH ( ) dan rasio dengan proposalnya yaitu penerimaannya yaitu (
)
( | ( |
) )
HASIL DAN PEMBAHASAN Data yang diamati
Tabel 1 menyajikan ringkasan hasil simulasi posterior dari parameter-parameter dalam model ARCHskt(1). Berdasarkan Tabel 1, nilai-nilai IACT yang diperoleh mengindikasikan bahwa metode MCMC yang dikonstruksi untuk setiap parameter adalah sangat efisien. Ini juga bisa dilihat dari plot b a k posterior yang ditampilkan dalam Gambar 3, 0.4 30 0.6 dimana nilai-nilai setiap parameter 20 berfluktuasi -0.2 0.4 posterior. di0.4sekitar rerata 10
Model ARCHskt(1) dan algoritma MCMC diaplikasikan pada data return harian kurs beli EUR dan JPY terhadap IDR atas periode Januari 2009 sampai Desember 2014 seperti yang digunakan oleh Saputri et al. (2015). Dari uji normalitas Jarque–Bera dan uji autokorelasi Ljung–Box diperoleh informasi bahwa return JPY 0.04 harian untuk kedua data adalah berdistribusi 0.02 tak0 normal dan tidak berautokorelasi sesuai -0.02 dengan asumsi model. Plot return untuk kedua -0.04 data pengamatan ditampilkan pada Gambar 2.
0 500010000
kurs beli
0.4
-0.06
0
500
1000
0.3
1500
0.2 0 500010000
EUR
0 500010000
0 500010000
b
0.4
-0.02
0 500010000 0
500
1000
0.4
1500
waktu
0.4
-0.2
0.2
-0.8
0.4
0 500010000
k 0.4
30
0.6
0
0 500010000 30 20 10
-0.5 0 500010000
a
0.02 kurs beli
-0.8 0.5
0.4
0.04
20 10
0 500010000
0 500010000
0 500010000
0.5
30 nilai-nilai0 parameter20 -0.5 10
Gambar 3. Plot , , , 0.3 0.2 (dari kiri ke kanan) yang dibangkitkan pada 0 500010000 0 500010000 0 500010000 0 500010000 model V-ARCHskt(1) untuk kurs beli JPY (atas) dan EUR (bawah) terhadap IDR atas periode Januari 2009 hingga Desember 2014.
JPY 0.04 0.02 kurs beli
0 500010000
0
waktu
-0.04
0.2
0 -0.02 -0.04 -0.06
0
500
1000
1500
Merujuk pada parameter distribusi SKT, nilai parameter derajat kebebasan ditemukan berada di sekitar 18 untuk data EUR dan sekitar 15 untuk data JPY. Hal ini membuktikan bahwa distribusi return error mempunyai ekor yang tebal (heaviertail) daripada normal.
waktu
EUR 0.04
kurs beli
Gambar 2. Plot return harian kurs beli EUR 0.02 (atas) dan JPY (bawah) terhadap IDR atas 0 periode Januari 2009 sampai Desember 2014. -0.02 -0.04
0
500
1000
1500
waktu
82
E D Saputri, D B Nugroho, A Setiawan/ Jurnal MIPA 39 (1) (2016): 78-84
Tabel 2. Ringkasan hasil uji KS untuk error
Untuk parameter k, diketahui bahwa 95% interval HPD memuat nol. Faktanya, sebagian besar nilai k berada di daerah negatif seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4, yang mengindikasikan adanya bukti dukungan terhadap distribusi SKT daripada distribusi normal, Student-t, dan NCT untuk return error pada semua data pengamatan. Hasil ini juga didukung (KStest) a oleh uji Kolmogorov–Smirnov b k 2000 2000 2000 2000 yang ditampilkan pada Tabel 2, artinya bahwa 1000 1000 SKT ditolak 1000 untuk semua 1000 asumsi distribusi data. 0
0
0.5
1
0
2000
1000
1000
500
0
0
0
0.5
1
0 -1 2000
0
0
1
0
20
Data EUR JPY
D 0,1366 0,1013
p-value 0,0000 0,0000
.
Keterangan Student-t Student-t
Lebih lanjut, variansi (volatilitas kuadrat) ARCHskt(1) untuk return kurs beli EUR dan JPY terhadap IDR atas periode Januari 2009 sampai Desember 2014 berturut-turut dinyatakan seperti berikut:
40
1000
1000
500
JPY 8
0
0.5
1
0
0.5
1
0 -1
0
0
1
0
20
40
6
a
b 2000
2000
2000
1000
1000
1000
1000
0
0
0
0.5
2000
1
0
1000
0.5
0 1 -1 2000
0
4 Runtun waktu variansi return untuk kedua data 2 pengamatan ditampilkan dalam Gambar 5.
k
2000
0
1
2 t
0
0
20
0
500
1000
1500
1000
1500
1000
1500
EUR
40
3
1000
1000 500 1000 500 Gambar 4. Histogram distribusi posterior untuk 0 0 kiri ke kanan) 0 parameter , 0 0, ,0.5 (dari dari 0 0.5 1 1 -1 0 1 0 20 40 ARCHskt(1) untuk kurs beli EUR (atas) dan JPY (bawah) terhadap IDR atas periode Januari 2009 hingga Desember 2014.
2
2
t
1
0
0
500 waktu
JPY 8
Tabel 1. Ringkasan estimasi model ARCHskt(1).
6
Paraa b k meter Data: Return kurs beli EUR terhadap IDR Rerata
0,335
0,255
–0,244
18,893
SD
0,022
0,044
0,210
6,042
LB
0,292
0,173
–0,685
7,919
UB
0,378
0,340
0,172
31,322
IACT
49,2
22,0
13,4
0
0,394
–0,210
0
500 EUR
3
Gambar 5. Plot runtun waktu variansi untuk 2 2 return kurs beli EUR (atas) dan JPY (bawah) t terhadap IDR atas periode Januari 2009 sampai 1 Desember 2014 pada model ARCHskt(1). 0
0
SIMPULAN
46,7
500
1000
1500
waktu
Studi ini menyajikan metode MCMC yang efisien untuk mengestimasi model ARCHskt(1). Hasil empiris dengan menggunakan data return harian kurs beli JPY dan EUR terhadap IDR atas periode Januari 2009 sampai Desember 2014 menunjukkan adanya bukti dukungan dalam penggunaan distribusi SKT untuk return error pada semua data pengamatan yang diindikasikan oleh sebagian besar distribusi posterior
Data: Return kurs beli JPY terhadap IDR 0,427
4 2
Waktu komputasi: 550,1230 (detik) Rerata
2 t
15,419
SD 0,029 0,061 0,143 3,606 LB 0,374 0,285 –0,487 8,376 UB 0,490 0,515 0,076 22,239 IACT 34,3 23,6 7,2 45,2 Waktu komputasi: 512,8559 (detik)
83
E D Saputri, D B Nugroho, A Setiawan/ Jurnal MIPA 39 (1) (2016): 78-84 Lo,
M. S. (2003). Generalized autoregressive conditional hetroscedastic time series model. A project submitted in partial fulfillment of requirements fordegree of master of science, Simon Fraser University. Nakajima, J., & Omori, Y. (2012). Stochastic volatility model with leverage and asymmetrically heavy-tailed error using GH skew Student’s tdistribution. Comput. Stat. Data Anal., 56, 36903704. Safrudin, I. M, Nugroho, D. B, & Setiawan, A. (2015). Estimasi MCMC untuk return volatility dalam model ARCH dengan return error berdistribusi Student-t. Prosiding Sendika Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, FKIP UMP, 3439. Saputri, E. D, Nugroho, D. B, & Setiawan, A. (2015). Model volatilitas ARCH(1) dengan returns error berdistribusi non-central Student-t. Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, FMIPA UNY, 233240. Tierney, L. (1994). Markov chain for exploring posterior distributions. Annals of Statistics, 22 (4), 17011762. Tsay, R. S. (2002). Analysis of financial time series (2nd ed.). John Wiley & sons.
parameter skewness k berada pada daerah negatif dan nilai derajat kebebasannya cukup kecil. DAFTAR PUSTAKA Aas, K., & Haff, I. H. (2006). The generalized hyperbolic skew Student’s t-distribution, Journal of Financial Econometrics, 4, 275309. Albert, J. (2009). Bayesian computation with R (2nd ed.). Springer. Chen, M. H, & Shao, Q. M. (1999). Monte Carlo estimation of Bayesian credible and HPD intervals. Journal of Computational and Graphical Statistics, 8, 6992. Engle, R. F. (1982). Autoregressive conditional heteroskedasticity with estimates of the variance of The United Kingdom Inflation. Journal of Econometrica, 50 (4), 987-1007. Geweke, J. (1992). Evaluating the accuracy of sampling-based approaches to the calculation of posterior moments dalam Bayesian Statistics 4 (eds. J. M. Bernardo, J. O. Beger, A. P. Dawid dan A. F. M. Smith), 169194. Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1995). Continuous Univariate Distributions (2nd ed.). John Wiley & Sons.
84
E D Saputri, D B Nugroho, A Setiawan/ Jurnal MIPA 39 (1) (2016): 78-84
85
