JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 5. No. 2, 107 - 118, Agustus 2002, ISSN : 1410-8518 __________________________________________________________________ REFORMULASI DARI SOLUSI 3-SOLITON UNTUK PERSAMAAN KORTEWEG-de VRIES Dian Mustikaningsih dan Sutimin Jurusan Matematika FMIPA Universitas Diponegoro Abstract The solution of 3-soliton for Korteweg-de Vries (KdV) equation can be obtained by the Hirota Method. The reformulation of the 3soliton solution was represented as the superposition of the solution of each individual soliton. Moreover, the asymptotic form of 3-soliton solution was obtained by limiting of the t parameter. The phase shift of each individual soliton are analysed in detail based its asymptotic form. The results of the analysis shown that the first soliton always have a phase shift called forward, the second soliton have some possibility (there is no phase shift, have a forward phase shift, or have a backward phase shift), and for the third soliton always have a phase shift called backward. Kata kunci : Soliton, fase, soliter. 1. PENDAHULUAN Berbagai fenomena alam yang terdapat di sekitar kita, salah satu fenomena yang terjadi adalah gelombang. Meskipun mekanisme fisik untuk masing-masing proses dari gelombang-gelombang dapat berbeda, tetapi semuanya mempunyai gejala umum bahwa gelombang-gelombang tersebut disebabkan adanya gangguan fisik yang tidak putus-putus dan merambat melalui suatu medium. Gelombang merambat dengan kecepatan yang bergantung pada sifat medium. Dalam tulisan ini dibahas sifat interaksi gelombang soliter yang dari persamaan Korteweg-deVries (KdV). Solusi soliter dan solusi multi soliton (solusi 3-soliton) dari persamaan KdV digunakan metode hirota (operator bilinier hirota). Solusi 3-soliton ini selanjutnya akan dinyatakan sebagai reformulasi dari superposisi individu soliton dan akan dianalisis pergeseran fase untuk masing – masing soliton.
107
Reformulasi dari Soliton 3 … (Dian Mustikaningsih dan Sutimin) __________________________________________________________________ 2.
GELOMBANG SOLITER UNTUK PERSAMAAN KORTEWEG-DE VRIES Gelombang soliter merupakan gelombang tunggal yang merambat dengan
satu puncak gelombang, tanpa mengalami perubahan bentuk dan kecepatan baik sebelum maupun sesudah tumbukan. Profil dari gelombang soliter merupakan fungsi sech. Untuk menjelaskan gelombang soliter ini, diberikan suatu persamaan Korteweg-deVries (KdV). Dalam bentuk normal, persamaan KdV adalah ut – 6uux + uxxx = 0 . Selanjutnya,
untuk
(1)
menyelesaikan
persamaan
KdV
didefinisikan
transformasi koordinat bergantung, u(x,t) = ƒ(x – ct) = ƒ (ξ)
(2)
dengan ξ = x – ct, c konstanta sebarang. Jika persamaan (2) didifferensialkan ke-t diperoleh dan ke-x, kemudian disubstitusikan ke persamaan KdV (1) maka diperoleh
df df d 3 f −c −6f + = 0. dξ dξ dξ 3
(3)
Dengan mengintegralkan persamaan (3) sebanyak 2 kali dan menggunakan df d2 f syarat f , , , ... → 0 untuk ξ → ± ∞ (syarat batas untuk gelombang dξ dξ 2 soliter) diperoleh 2
1 1 df − c f 2 − f 3 + = 0 2 2 dξ atau
df = ± dξ . f 2f +c
df Solusi akan diperoleh jika dξ menyelesaikan persamaan (5) diperoleh
108
(4) (5)
2
≥ 0, dan (2ƒ + c) ≥ 0 . Dengan
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 5. No. 2, 107 - 118, Agustus 2002, ISSN : 1410-8518 __________________________________________________________________
( )
± e
ξ
u− c = u+ c
1 c
.
(6)
Sehingga solusi gelombang soliter dari persamaan KdV adalah u(x, t) = − 12 c sech 2
1 2
c (x − ct) .
(7)
Profil gelombang dari persamaan (7) untuk u positif diperlihatkan pada gambar 1, dengan c = ¼.
Gambar 1. Profil gelombang soliter u(x, t) = 12 c sech 2 12 c (x − ct) pada t = – 50 dan t = 50, yang merambat dalam arah x
3.
SOLUSI 3-SOLITON DARI PERSAMAAN KDV DENGAN METODE HIROTA Misalkan solusi gelombang soliter u = wx , maka persamaan KdV dapat
ditulis menjadi wxt – 6wxwxx + wxxxx = 0,
(8)
kemudian apabila diintegralkan terhadap x dan menggunakan syarat wt , wx , wxx , …→0 untuk x → ± ∞ maka persamaan (12) dapat ditulis menjadi wt – 3wx2 +wxxx = 0.
(9)
109
Reformulasi dari Soliton 3 … (Dian Mustikaningsih dan Sutimin) __________________________________________________________________ w=2
Dengan mengambil
fx f
dan didifferensialkan terhadap x dan t, maka
diperoleh persamaan KdV hirota ff xt − f x f t + 3 f xx2 + ff xxxx − 4 f x f xxx = 0 .
(10) Dengan menggunakan operator bilinier
∂ ∂ D D ( f .g ) = − ∂t ∂t 1 m t
m
n x
n
∂ ∂ f (x, t) g (x 1 , t1 ) − ∂x ∂x 1 x1 = x
(11)
t1 = t
maka persamaan (10) menjadi B (ƒ.ƒ ) = Dx ( Dt + Dx3 ) (ƒ.ƒ ) = 2. 0 = 0
(12)
yang merupakan bentuk bilinear dari persamaan KdV. Solusi gelombang soliter dapat digeneralisasi ke solusi N-soliton, yang lebih mudah diselesaikan dengan mengambil parameter sebarang ε, misalkan solusi N-soliton secara umum dapat ditulis
u(x, t) = 2
∂2 ln f (x, t) ∂x 2
(13)
∞
dengan f ( x, t) = 1 + ∑ ε n f n (x, t)
(14)
n =1
∞
dan
f n = ∑ exp(2θ n ) ,
(15)
n =1
dimana θ n = an x + ω n t + α n , n = 1, 2, 3, …. apabila persamaan (15) disubstitusikan ke persamaan (16) maka diperoleh ∞ B(1.1)+ εB( f1.1 +1. f1) + ε 2B( f 2 .1 + f1. f1 +1. f 2 ) + ... + ε r B ∑ f r −m. f m + ... = 0 (16) m=0 r
dimana
∑f
m=0
f = fr−0 f0 + fr−1 f1 + fr−2 f2 +...+ fr−(r−1) fr−1 + fr−r fr .
r−m m
Jika diasumsikan f 0 = 1 dan karena ε sebarang parameter maka εr (r = 1,2,… ) tidak identik dengan nol sehingga persamaan (16) dapat dinyatakan oleh B (1.1) = 0,
110
(17)
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 5. No. 2, 107 - 118, Agustus 2002, ISSN : 1410-8518 __________________________________________________________________ B (ƒ1.1 + 1.ƒ1 ) = 0,
(18)
B(ƒ2.1 + ƒ1.ƒ1 + 1.ƒ2 ) = 0,
(19)
B(ƒ3.1 + ƒ2.ƒ1 + ƒ1.ƒ2 + 1.ƒ3 ) = 0,
(20)
begitu seterusnya. Karena
∂ 2a D t D x (a.1) = = D t D x (1.a) ∂t∂x
, maka B (ƒn.1) =
B (1.ƒn ), dan B(ƒn.ƒn+1) = B(ƒn+1.ƒn), untuk n = 1, 2, 3,… sehingga dari persamaan (17) – (20) dapat ditulis menjadi Dƒ1 = 0,
(21)
2 Dƒ2 = - B(ƒ1.ƒ1),
(22)
Dƒ3 = - B(ƒ1.ƒ2 ).
(23)
Menurut persamaan (15), dimisalkan f1 = exp (2θ1 ) + exp ( 2θ 2 ) + exp ( 2θ 3 ) ,
(24)
dengan variabel fase θ i = ai x + ω i t + α i , i = 1, 2, 3. Substitusi ƒ1 ke persamaan (21), diperoleh
{(2ω
1
) (
) (
+ 8a13 + 2ω 2 + 8a23 + 2ω 3 + 8a33
)}
(exp (2θ1 ) +exp (2θ 2 ) + exp (2θ 3 ) ) = 0
(25)
Persamaan (25) akan menentukan relasi dispersi non linier untuk solusi 3-soliton ω i = − 4ai3 , i = 1, 2, 3 sehingga variabel fase dapat ditulis menjadi
θ i = ai x − 4ai3 t + α i , i = 1, 2, 3. Apabila ƒ1 disubstitusikan ke persamaan (22) maka
Df 2 = 3a1a2(a1 − a2 ) 2 exp (2θ1 + 2θ 2 ) + 3a1a3 (a1 − a3 ) 2 exp (2θ1 + 2θ 3 ) + 3a2 a3(a2 − a3 ) 2 exp (2θ 2 + 2θ 3 ) .
(26)
Kemudian apabila persamaan (26) diintegralkan terhadap x dan t untuk menghilangkan operator D maka diperoleh f 2 = A12 exp (2θ1 + 2θ 2 ) + A13 exp (2θ1 + 2θ 3 ) + A 23 exp ( 2θ 2 + 2θ 3 )
(27)
111
Reformulasi dari Soliton 3 … (Dian Mustikaningsih dan Sutimin) __________________________________________________________________ 2
a − a2 , dengan A12 = 1 a1 + a2
2
a −a A13 = a11 + a33 ,
2
a −a A 23 = a22 + a33 .
(28)
Dengan cara yang sama untuk memperoleh ƒ3 f3 =
( a1 − a2 ) 2 ( a1 − a3 ) 2 ( a2 − a3 ) 2 exp ( 2θ1 + 2θ 2 + 2θ 3 ) ( a1 + a2 ) 2 ( a1 + a3 ) 2 ( a2 + a3 ) 2
a − a2 dengan A123 = 1 a1 + a2 Substitusi ƒ1, ƒ2,
2
2
(36)
2
a1 − a3 a2 − a3 . (37) a1 + a3 a2 + a3 dan ƒ3 ke persamaan (14) dengan mengambil ε = 1
dan ƒn = 0, n = 4, 5, …, diperoleh f (x, t) = 1 + (exp (2θ1 ) + exp (2θ2 ) + exp (2θ3 ) ) + (A12 exp (2θ1 + 2θ2 ) +
(38)
A13 exp (2θ1 + 2θ3 ) + A 23 exp (2θ2 + 2θ3 ) + A123 exp (2θ1 + 2θ2 + 2θ3 )). .
Dengan mengambil exp (2θ1 ) = h1 , exp (2θ2 ) = h 2 , dan exp ( 2θ3 ) = h 3 , sehingga persamaan (38) dapat ditulis menjadi
f = 1 + h1 + h 2 + h 3 + A12 h1h 2 + A13h1h 3 + A 23h 2 h 3 + A123h1h 2 h 3
(39)
dimana A12, A13, A23, dan A123 dinyatakan pada persamaan (29) dan (37). Menurut persamaan (18), maka solusi 3-soliton dari persamaan KdV adalah
u(x, t) = 2
∂ fx ∂x f
(40)
dengan ƒ dinyatakan pada persamaan (40) dan
f x = 2a1h1 + 2a2 h 2 + 2a3h 3 + 2(a1 + a2 )A12 h1h 2 + 2( a1 + a3 )A13 h 1h 3 + 2(a2 + a3 )A 23 h 2 h 3 + 2(a1 + a2 + a3 ) A123 h 1h 2 h 3 .
(41)
Profil gelombang untuk solusi 3-soliton dari persamaan KdV diperlihatkan pada gambar 2 – 4, dengan mengambil a1 = 1, a2 = 3 / 4, a3 = 1 / 3, dan α = 0.
112
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 5. No. 2, 107 - 118, Agustus 2002, ISSN : 1410-8518 __________________________________________________________________
Gambar 2. Profil gelombang dari solusi 3-soliton pada t=–30 (sebelum tumbukan)
Gambar 3. Profil gelombang dari solusi 3-soliton pada t = 0 (saat tumbukan)
Gambar 4. Profil gelombang dari solusi 3-soliton pada t = 30 (setelah tumbukan) 4. REFORMULASI SOLUSI 3-SOLITON Solusi 3-soliton dari persamaan KdV pada persamaan 3.48 dapat dinyatakan sebagai superposisi soliton individu. Proposisi : Solusi N-soliton (N = 3) dari persamaan KdV ditulis dalam bentuk 3
u = ∑ un
(42)
n =1
113
Reformulasi dari Soliton 3 … (Dian Mustikaningsih dan Sutimin) __________________________________________________________________
dimana u n = 2an
∂ ∂g tanh g n = 2an n sech 2 g n ∂x ∂x
(43)
f g n = θ n + 12 ln n , fn dengan
(44)
θ n = an x + an3 t + α n , n = 1, 2, 3.
Fungsi f n dan f n untuk kasus N = 3 adalah
f1 = 1 + exp(2θ 2 ) + exp(2θ 3 ) + A 23exp(2θ 2 + 2θ 3 ), f 2 = 1 + exp(2θ1 ) + exp(2θ 3 ) + A13exp(2θ1 + 2θ 3 ), f 3 = 1 + exp(2θ1 ) + exp(2θ 2 ) + A12exp(2θ1 + 2θ 2 ), (45)
f1 = 1 + A12 exp(2θ 2 ) + A13exp(2θ 3 ) + A123 exp(2θ 2 + 2θ 3 ), f 2 = 1 + A12 exp(2θ1 ) + A 23 exp(2θ 3 ) + A123 exp(2θ1 + 2θ 3 ), f 3 = 1 + A13exp(2θ1 ) + A 23 exp(2θ 2 ) + A123 exp(2θ1 + 2θ 2 ), Bukti : Dari persamaan (39), persamaan (45) dapat ditulis menjadi f 1 = 1 + h 2 + h 3 + A 23 h 2 h 3 ,
f 1 = 1 + A 12 h 2 + A 13 h 3 + A 123 h 2 h 3 ,
f 2 = 1 + h 1 + h 3 + A 13 h 1 h 3 , f 3 = 1 + h 1 + h 2 + A 12 h 1 h 2 ,
f 2 = 1 + A 12 h 1 + A 23 h 3 + A123 h 1 h 3 , f 3 = 1 + A 13 h 1 + A 23 h 2 + A 123 h 1h 2 ,
kemudian jika diatas disubstitusikan ke persamaan (44) diperoleh
1 + A12 h 2 + A13h 3 + A123h 2 h 3 , g1 = θ1 + 12 ln 1 + h 2 + h 3 + A 23h 2 h 3 1 + A12 h1 + A 23h 3 + A123h1h 3 , g 2 = θ 2 + 12 ln 1 + h1 + h 3 + A13h1h 3
(47)
1 + A13h1 + A 23h 2 + A123h1h 2 . g 3 = θ 3 + 12 ln 1 + h1 + h 2 + A12 h1h 2 Perhatikan bahwa, a1 tanh g1 + a 2 tanh g 2 + a 3 tanh g 3 2a1h1 + 2a2 h 2 + 2a3h 3 + 2(a1 + a2 )A12 h1h 2 + 2(a1 + a3 )A13h1h 3 + = 114
2(a2 + a3 )A 23h 2 h 3 + 2(a1 + a2 + a3 )A123h 2 h 2 h 3 1+ h1 + h 2 + h 3 + A12 h1h 2 + A13h1h 3 + A 23h 2 h 3 + A123h1h 2 h 3
− (a1 + a2 + a2 )
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 5. No. 2, 107 - 118, Agustus 2002, ISSN : 1410-8518 __________________________________________________________________ 3
∑a
atau
n =1
n
tanh g n =
fx − (a1 + a2 + a2 ). f
(48)
Apabila persamaan (48) dikalikan dengan dua dan didiferensialkan terhadap x, maka 3
∂
∑ ∂x 2a n =1
n
tanh g n = 2
∂ fx ∂ − 2 (a1 + a2 + a2 ) ∂x f ∂x
(49)
diperoleh 3
∑u n =1
5.
n
=2
∂ fx . ∂x f
(51)
BENTUK ASYMPTOTIK SOLUSI 3-SOLITON Dalam pembahasan bentuk asymptotik dari solusi 3-soliton akan ditinjau
perambatan gelombang pada transformasi koordinat bergerak dengan mengambil parameter t → ± ∞. Tanpa mengurangi keumumam diasumsikan a1 > a2 > a3 > 0 dan mengambil α n = 0, sehingga untuk variabel fase θ n = an x − an3 t n + α n , n = 1, 2, 3, berlaku
θ n = an x − an3 t .
(52)
(i) Pada t → −∞. Untuk θ i = konstan, θ 2 ,θ 3 → −∞ , maka diperoleh
u ≈ u 1 = 2 a12 sech 2 (θ 1 )
(53)
yang ekuivalen dengan solusi soliton pertama tanpa mengalami pergeseran fase. Untuk θ 2 = konstan ,θ 3 → −∞ ,θ 1 → ∞ maka diperoleh
u ≈ u 2 = 2a22 sech 2 (θ 2 + 12 lnA12 ).
(54) yang ekuivalen dengan solusi soliton kedua yang mengalami perubahan fase sebesar 12 lnA12 . Untuk θ 3 = konstan ,θ 2 → ∞ ,θ 1 → ∞ maka diperoleh u ≈ u 3 = 2a32 sech 2 (θ 3 + 12 (lnA13 + lnA 23 ) )
(55)
yang ekuivalen dengan solusi soliton ketiga yang mengalami pergeseran fase sebesar
1 2
(lnA12 + lnA13 ) .
115
Reformulasi dari Soliton 3 … (Dian Mustikaningsih dan Sutimin) __________________________________________________________________ (ii) Pada t → ∞.
Dengan cara yang sama, diperoleh u ≈ u 1 = 2a12 sech 2 (θ 1 + 12 (lnA12 + lnA13 ) ) .
u ≈ u 2 = 2a22 sech 2 (θ 2 + 12 lnA23 )
u ≈ u 3 = 2a32 sech 2 (θ 3 )
6.
(56)
PERGESERAN FASE SOLUSI 3-SOLITON Pergeseran fase merupakan perubahan arah fase masing-masing soliton
sebelum dan sesudah tumbukan terhadap soliton yang lain. Pergeseran fase ini dijelaskan terhadap arah sumbu x karena gelombang soliton berjalan sepanjang sumbu x. Misal ∆n menyatakan pergeseran fase soliton ke-n (n=1, 2, 3) antara t = −∞ (sebelum tumbukan) dan t = ∞ (setelah tumbukan), maka pergeseran fase dapat dihitung melalui bentuk asymptotik atau limit-limit asymptotik. Menurut persamaan (53) maka pada t = −∞ soliton ke pertama tidak mengalami pergeseran fase (∆(t →-∞) = 0) sedangkan menurut persamaan (56) maka pada t = ∞ soliton pertama mengalami pergeseran fase (∆(t →∞)) sebesar 1 2 a1
(ln A12 + ln A13 ) sehingga diperoleh ∆1 = −
1 2
(ln A12 + ln A13 ) . a1
Dengan cara yang sama
(57)
akan diperoleh pergeseran fase soliton kedua
dan ketiga masing – masing adalah sebagai berikut:
(ln A12 − ln A 23 ) . a+2 ln A ) 1 (ln A 13 23 . ∆3 = 2 a3
∆2 =
1 2
(58)
Jika 0 < Aij < 1 dengan i = 1, 2, 3 dan j = 1, 2, 3 maka ∆1 > 0, mengakibatkan u1 selalu mengalami pergeseran fase maju sepanjang sumbu x dan ∆3 < 0, mengakibatkan u3 selalu mengalami pergeseran fase mundur, ∆2 mempunyai beberapa kemungkinan, sebagai berikut :
116
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 5. No. 2, 107 - 118, Agustus 2002, ISSN : 1410-8518 __________________________________________________________________ 1)
∆2 bernilai nol, jika ln A12 = lnA23 atau a 22 = a1a 3 , yaitu u2 tidak mengalami pergeseran fase .
2)
∆2 bernilai positif, jika ln A12 > lnA23 atau a22 < a1a3 , yang mengakibatkan u2 mengalami pergeseran fase maju.
3)
∆2 bernilai negatif, jika ln A12 < lnA23 atau a22 > a1a3 , yang mengakibatkan u2 mengalami pergeseran fase mundur.
7.
KESIMPULAN Solusi 3-soliton dari persamaan Korteweg-de Vries (KdV) dapat diperoleh
dengan Metode Hirota. Reformulasi solusi 3-soliton dinyatakan sebagai superposisi solusi masing-masing individu soliton. Sedangkan bentuk asymptotik solusi 3-soliton diperoleh melalui proses pelimitan terhadap parameter t. Pergeseran fase dari masing-masing individu soliton dibahas secara detail berdasarkan bentuk asymptotiknya. Soliton pertama dan ketiga selalu mengalami pergeseran fase karena selisih antara pergeseran fase sebelum dan setelah tumbukan tidak pernah nol, dimana soliton pertama mengalami pergeseran fase maju dan soliton ketiga mengalami pergeseran fase mundur. Soliton kedua tidak selalu mengalami pergeseran fase karena selisih antara pergeseran fase sebelum dan setelah tumbukan dapat bernilai nol, tergantung pada bilangan gelombang individu soliton, dimana apabila kuadrat bilangan gelombang soliton kedua sama dengan hasil kali bilangan gelombang soliton pertama dan ketiga maka soliton kedua tidak mengalami pergeseran fase, apabila kuadrat bilangan gelombang soliton kedua lebih kecil dari hasil kali bilangan gelombang soliton pertama dan ketiga maka soliton kedua mengalami pergeseran fase maju, dan apabila kuadrat bilangan gelombang soliton kedua lebih besar dari hasil kali bilangan gelombang soliton pertama dan ketiga maka soliton kedua mengalami pergeseran fase mundur.
117
Reformulasi dari Soliton 3 … (Dian Mustikaningsih dan Sutimin) __________________________________________________________________ DAFTAR PUSTAKA 1. Alonso, Marcelo, Fundamental University Physic, 2nd Editions, AddisonWerlag Publishing Com Inc, Washington D. C, 1980, 232-241, 253-255.. 2. Ayres F. Jr, Teori dan Soal-Soal Diferensial dan Integral Kalkulus, Erlangga, Jakarta, 1998, Edisi 2, 264-265, 269-270 3. Baisuri H. M, Kalkulus, Universitas Indonesia Press, Jakarta, 1986, 431-441, 459-461. 4. Bullough R. K, Laudrey P. J, Solitons, Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, New York, 1980, 1-13, 65-67, 157-167, 373-375. 5. Drazin P. G, Johnson R. S, Solitons : Analisis Introduction, Cambridge University Press, New York, 1990.1-16, 21-22, 73-81, 102-109. 6. Haeussler E. F, Jr, Paul R, Introductory Mathematical Analysis, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1983, 959-961, 7. Heck, Andre, Introduction of Maple with 84 Illustrations, Springe-Verlag, New York, 1993. 8. Humi, Mayer, and Miller W. B, Boundary Value Problems And Partial Differential Equations, PWS-KENT Publishing Co, Boston, 1991, 36-40. 9. Logan J. D, An Introduction to Nonlinear Partial Differential Equations, A Wiley-Interscience Publication, John Wiley & Sons Inc, New York, 1981, 1-9, 36-47, 116-121. 10. Toda, Morikazi, Mathematic and Its Aplications Non Linear
Waves and
Solitons, Kluwer Akademic Publishers, Norwell, 1983, 47-70, 143-147, 163172.
118
