Játékok (domináns stratégia, alkalmazása

Játékok (domináns stratégia, Nash-egyensúly). A Nashegyensúly koncepciójának alkalmazása. 2016.03.30.

Játékelmélet és közgazdaságtan  1914: Zermelo (sakk)  1944. Neumann-Morgenstern: Game Theory and Economic Behavior  1994. közgazdasági Nobel díj John C. Harsanyi, University of California, USA, John F. Nash, Princeton University, USA, Reinhard Selten, Rheinische Friedrich - Wilhelms - Universität Bonn: a nem-kooperatív játékok elméletében az egyensúlyanalízis terén végzett úttörő munkásságukért.  2005. közgazdasági Nobel díj Robert Aumann –Thomas Schelling: konfliktus és kooperáció jobb megértéséért a játékelméleti elemzésben

Játékelmélet  Játék: döntési helyzet, amelyben a szereplők kölcsönös függnek egymástól –döntés eredménye a többiek válaszától (döntésétől) függ (pl. néhány szereplő a piacon)  Játékelmélet a közgazdaságtanban: a piaci szereplők közötti stratégiai interakciók vizsgálatára alkalmas matematikai módszer  A játék leírásához szükséges:  a játékosok halmaza  a stratégiák halmaza  a különböző stratégiakombinációk kimenetele („kifizetések”)

Példa: döntés a piacra vitt mennyiségről Egy piacon 2 vállalat van jelen, a piacra vitt termelési mennyiségről döntene. A vállalatok szimultán hozzák meg döntésüket (nem tudják, a másik hogyan dönt). A piaci keresletet a p=140-Q függvény írja le. Mindkét vállalat határköltsége konstans és MC=AC=20. Tegyük fel, hogy mindkét vállalatnak két lehetséges stratégiája (kínálati döntése) van:  q= 30 (alacsony output)  q= 40 (magas output) Mennyit visznek piacra, ha mindkettő saját profitját akarja maximalizálni?

Példa: döntés a piacra vitt mennyiségről S2

S1 Q1=30 Q1=40

Q2=30

Q2= 40

1800, 1800

1500, 2000

2000, 1500

1600, 1600

P=140-Q AC1=AC2=20

Példa: döntés a piacra vitt mennyiségről S2

S1 Q1=30 Q1=40

Q2=30

Q2= 40

1800, 1800

1500, 2000

2000, 1500

1600, 1600

1. Vállalat domináns stratégiája Q=40 2. Vállalat domináns stratégiája: Q=40 Nash egyensúly Pareto hatékony-e?

Fogolydilemma Egy súlyos bűntény kapcsán két gyanúsítottat letartóztat a rendőrség. Mivel nem áll rendelkezésre elegendő bizonyíték a vádemeléshez, ezért elkülönítik őket egymástól és mindkettejüknek ugyanazt az ajánlatot teszik. Amennyiben az első fogoly vall és társa hallgat, akkor az előbbi büntetés nélkül elmehet, míg a a másik, aki nem vallott, 10 év börtönt kap. Ha az első tagadja meg a vallomást és a második vall, akkor az másodikat fogják elengedni és az első kap 10 évet. Ha egyikük sem vall, akkor egy kisebb bűntényért 1 évet kapnak mindketten. Ha mindketten vallanak, mindegyikük 5 évet kap.

Fogolydilemma 2. fogoly

Tagad

Tagad

Vall

1,1

10,0

0,10

5,5

1. fogoly Vall

Fogolydilemma 2. fogoly

Tagad

Tagad

Vall

1,1

10,0

0,10

5,5

1. fogoly Vall

Fogalmak A játék megadásához szükséges információk:  a játékosok halmaza ; N=1,2,3…n  si (i=1,2…n): az i-edik játékos stratégiája, és Si: stratégiahalmaz, az összes lehetséges stratégia (és siSi)  A kifizetés: eredmény, amelyet az i-edik játékos elér a j-edik játékos stratégiája mellett: i(si,sj) A játékosok célja a saját kifizetés maximalizálása (nem kooperatív játék)

Kifizetési mátrix (normál forma) j Sj1

Sj2

si1

i(si1,sj1), j(si1,sj1)

i(si1,sj2), j(si1,sj2)

si2

i(si2,sj1), j(si2,sj1)

i(si2,sj2), j(si2,sj2)

i

Domináns stratégia  Szigorúan domináns stratégia: si*Si, ha minden sjSj , ij esetén teljesül, hogy i(si*,sj)> i(si’,sj), minden si’Si-re.  Másképpen: az a stratégia, amely nem függ attól, hogy a másik játékos mit választ – bármely más stratégiánál nyereségesebb, függetlenül attól, hogy mit lép a többi játékos.

Domináns stratégia  Gyengén domináns stratégia: si*Si, ha minden sjSj , ij esetén teljesül, hogy i(si*,sj) i(si’,sj), minden si’Si-re, de legalább egy sjSj-re teljesül, hogy i(si*,sj)> i(si’,sj),  Másképpen: ha legalább olyan nyereséges, mint bármely más (si’Si )stratégia, függetlenül attól, hogy mit lép a többi játékos; és legalább egy esetben nyereségesebb is.

Nash stratégia - Nash egyensúly Nash-stratégia vagy „a legjobb válasz stratégia”  si*Si, ha adott sjSj , ij esetén teljesül, hogy i(si*,sj)> i(si’,sj), minden si’Si-re. (ez a stratégia hozza a maximális kifizetést)  Minden szigorúan domináns stratégia egyben szigorú Nash-stratégia is. Nash egyensúly: ha minden játékos Nashstratégiát választott, azaz i(si*,sj*)> i(si’,sj*), minden si*,si’Si

Nash-egyensúly Nash egyensúly:olyan stratégiakombináció, amelyben egyik játékosnak sem származik előnye abból, ha stratégiáján változtat, amíg a többi játékos azonos módon játszik tovább Vagy: minden játékos stratégiája legjobb válasz a többiek egyensúlyi stratégiájára

Nemek harca játék Kapcsolatuk elején tartó párnak el kell döntenie, hogyan töltsék az estét. Legelső – közös – preferenciájuk az, hogy együtt legyenek. A fiú azonban bokszmeccsre szeretne menni, a lány viszont az operába. A legrosszabb változat az volna, ha külön-külön töltenék az estét.

Nemek harca Fiú Bokszmeccs

Opera

Bokszmeccs

2,3

1,1

Opera

1,1

3,2

Lány

Nemek harca nincs domináns stratégia 2 db NE

Fiú

Bokszmeccs

Opera

Bokszmeccs

2,3

1,1

Opera

1,1

3,2

Lány

Chickens game (Gyáva nyúl játék) 2. kitér

Nem tér ki

kitér

3,3

2,4

Nem tér ki

4,2

1,1

1.

Fogalmak  Gyengén domináns stratégia, szigorúan domináns stratégia  Nash stratégia, Nash egyensúly  Kifizetési mátrix