Řízení posuvu poddajných těles vlnovou metodou

BULLETIN OF APPLIED MECHANICS 4(13),34 ­38 (2008)

34

Řízení posuvu poddajných těles “vlnovou metodou”         O. Marek1, M. Valášek2 1

Katedra mechaniky, Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky, Fakulta strojní, ČVUT v Praze, Česká  republika 2  Prof. Ing. Michael Valášek, DrSc., ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Karlovo nám. 13, 12135  Praha 2, tel.: 22435 7361

Abstrakt Motivací této práce je řízení poddajných mechanických systémů,  konkrétně řízení pohybu jejich pohyblivých částí bez zbytkových  vibrací.   Jako   příklad   takovýchto   systémů   lze   uvést   pružné  rameno   robota,   který   zajišťuje   co   nejpřesněji   polohu   nástroje,  sloupový   jeřáb   a   polohování   jeho   břemene,   části   obráběcích  strojů atd.  Aktuátory   jsou   připojeny   ke   kontinuu   v jednom   místě,   nebo  v blízkém okolí určitého bodu. Zbývající hranice kontinua není  připojena,   je   tedy   volná.   Snahou   aktuátorů   je   polohovat   jistý  „důležitý“ bod kontinua skrze toto pružné prostředí a co nejvíce  eliminovat vibrace v kontinuu jak během pohybu, tak na konci  pohybu,   což   vede   k eliminaci   nežádoucích   zbytkových   vibrací  „důležitého“ bodu.   Byla vyvinuta metoda dopředných a zpětných vln a aplikována  na   určité   typy   kontinua.   Tento   článek   ukazuje,   jak   lze   dále  rozšířit již publikovanou 1D  metodu pro 2D kontinuum. Článek  popisuje,   jak   lze   využít   pro   řízení   pohybu   pružných   těles  vyslaných a odražených vln, jak tyto vlny vypočíst z naměřených  hodnot. Pomocí měření odražené vlny a následně její použití jako  vyslané vlny lze obecně pohyb vln v kontinuu eliminovat, tzn.  dostat   všechny   body   kontinua   do   klidového   stavu.   Při   použití  určité   strategie   lze vibrace   v pružném   tělese   zastavit   právě  v požadované poloze, to znamená eliminovat vznik nežádoucích  zbytkových vibrací.  Existují   stále   určité   nejasnosti,   ale   pokud   platí   princip  superpozice, lze řídit pohyb v několika směrech současně.

Some   ambiguities   still   exist.   If   the   superposition   principle   is  valid, many motions will be able to control simultaneously.

Keywords in English Flexible   system;   lumped   model;   mechanical   waves;   position  control; wave­based control; launch wave; reflected wave Úvod Tento článek popisuje „vlnovou metodu“ řízení poddajných těles  na 1D příkladu a dále popisuje, jak je možné rozšířit tuto metodu  do 2D pro 2D objekty. To znamená, že 2D těleso je připojeno ke  dvěma aktuátorům, kde jeden aktuátor je řídí posuv ve směru x,  druhý   posuv   ve   směru y.   Takto   lze   omezeně   pohybovat   s 2D  tělesem v rovině. Obecná snaha je však umožnit tělesu obecný rovinný pohyb. To  znamená vytvořit takový řídící systém, který by umožnil řídit dva  posuvy a jednu rotaci. 

„Vlny“ v systému se soustředěnými hmotami

Klíčová slova kontinuum; systém se soustředěnými hmotami; mechanické vlny;  řízení polohy; vlnové řízení; vyslaná vlna; odražená vlna Abstract in English The motivation for this work is the control of flexible mechanical  systems,   specifically   the   position   control   of   the   shifting   parts  without the residual vibrations. These systems are for example  long robot arms, gantry cranes, some parts of cutting machines  etc. The actuators are coupled to the continuum close to one point.  The other boundaries are “free”. The actuators are attempting to  position the “important point” at the far end through the flexible  system and eliminate the vibrations during the motion also at the  end of the motion.  The   wave­based   control   method   was   developed.   This   paper  shows   how   to   apply   this   published   1D   method  [1]   to   2D  continuum.   The   paper   shows   how   to   compute   and   use   the  “launch” and “reflected” waves for control. If some strategy is  used,   the   flexible   system   will   be   transposed   to   the   required  position with no residual vibrations.

Fig. 1 Model 1D systému se soustředěnými hmotami

Tento   systém   je   složen   jako   řetězec   pružina­hmota­pružina­ hmota... Řízená poloha aktuátoru je označena jako x0(t), xn(t) je  poloha n­té hmoty v řetězci. Pro popis metody řízení a objasnění  termínu mechanická vlna byl použit právě tento model z důvodu  jednoduchosti   a   zamezení   výskytu     nepředpovídatelných   jevů.  Můžeme si ho ve své podstatě představit jako MKP model tyče  s možností deformace pouze v jednom směru (osový směr). Dynamika systému je z Fig.1 může být modelována klasickým  způsobem,   tj.   n   pohybovými   rovnicemi,   anebo   tzv.   vlnovým  modelem.   Vlnový   model   obsahuje   spojené   bloky   obsahující  přenosové   funkce   G(s)   a   vhodné   okrajové   podmínkz.   G(s)   je  odvozen   pro   pouze   jednu   složku   pohybu   a   předpokládá  nekonečný řetězec hmot.

BULLETIN OF APPLIED MECHANICS 4(13),34 ­38 (2008)

35

Hmotový systém z Fig.1 může být tedy namodelován dle obrázku  Fig.2. To je příklad vlnového modelu.

X0(s) +

A0

G(s)

A1

G(s)

A2

G(s)

­

m1

An x0(t)

G(s) B0

B1 G(s)

B2 G(s)

Bn

+

(1)

Směr šipek v diagramu znázorňuje tok energie.  Hodnoty  ai(t)  a  bi(t)  fyzicky   neexistují,   existuje   pouze   jejich  součet, který je roven poloze určité hmoty xi(t)=ai(t)+bi(t). Proto  je třeba je nějakým způsobem vypočíst z naměřených reálných  hodnot, což je reálný pohyb hmot. Je tedy potřeba najít vztahy,  které nám umožní výše uvažované vlny vypočíst. Můžeme psát

X 0  s = A 0  s B 0  s  X 1  s = A1  s B 1  s  A1 =GA0 B1 =GB0 A0= X 0 −G [ X 1 −GA0 ] B 0 =G [ X 1 −GA0 ] = X 0 − A0

x1(t)

­

G

­

Fig.2 Vlnový model systému hmotového systému s n stupni volnosti

X i  s = Ai  s B i  s 

mn

a0

G(s)

Horní   větev  diagramu   modeluje   „vlnu“   pohybující   se   vpravo,  která   opouští   aktuátor   směrem   do   systému.   Tato   složka   je  popsána   písmenem  A,   tedy  Ai(s)  nebo  ai(t).   Spodní   větev  diagramu modeluje odraženou vlnu pohybující se zpět systémem  směrem k aktuátoru. Tato je označena jako Bi(s) nebo v časové  doméně  bi(t).   Výchylka  Xi(s)  se   získá   jako   superpozice   obou  dvou „vln“, tedy  [2, 4]

m2

b0

+

G

Fig. 3 Schéma výpočtu vln a0 a b0

Jak modelovat analogii přenosu G v časové  doméně? Dle [1,4] lze přenos G aproximovat v tomto případě  jako funkci  jedné proměnné pin produkující výstupní proměnnou pout.  pout(t) = Gpin(t)

(8)

pout pin

k1

c√(k1m1) m1

G

(2)

Fig.4 Schéma modelu přenosu G

(3)

Konstantu tlumení není nutno volit zcela přesně, koeficient c lze  volit v intervalu (0.5; 1).  Hmotu  m1  také není třeba znát zcela  přesně.

(4)

(5) (6) (7)

Pro získání vyslané vlny  a0  a odražené vlny  b0  je tedy potřeba  znát polohu aktuátoru x0 a polohu první hmoty v řetězci x1.  Schematické   znázornění,   jak   vypočíst   vlny  a0  a  b0,   vypadá  následovně:

Pokud   by   se   shrnuly  výše   uvedené   poznatky,   vyplyne,   že   pro  výpočet vyslané a odražené vlny v místě aktuátoru je zapotřebí  znát hodnotu tuhosti k1, hmotnost první hmoty m1 a znát polohy  x0  a  x1  (poloha   aktuátoru   a   poloha   hmoty   m1).   Není   tedy  zapotřebí znát velikost ostatních hmot, ani to, kolik hmot řetězec  obsahuje.   Řízení   se   tedy   obejde   bez   identifikace   mechanické  soustavy, je potřeba znát pouze část, která je poblíž aktuátoru.

Strategie řízení Strategií řízení se rozumí, jak využít vypočtených vln a0(t) a b0(t)  pro   řízený   posuv   daného   1D   kontinua.   Nechť   chceme  s kontinuem posunout o vzdálenost  L. Strategie řízení popisuje,  jak řídit polohu aktuátoru x0(t) a to ve dvou fázích. První fáze je,  pokud x0(t) ≤ L/2, druhá fáze je, pokud poloha aktuátoru je již za  polovinou své požadované dráhy, tedy x0(t) > L/2.  V první fázi je strategie taková, že řídíme  x0(t)  tak, aby vyslaná  vlna a0(t) měla tvar rampy. Obecně tedy a0(t) bude lineární funkcí  času  a0(t)   =   K∙t.   Současně   je   třeba   si   zaznamenat   průběh  odražené vlny b0(t). V druhé   fázi   se   použije   zaznamenaný   invertovaný   a   časově  převrácený   průběh  b0(t)  z první   fáze.   Ten   se   použije   jako  pokračování vyslané vlny a0(t) [3].

BULLETIN OF APPLIED MECHANICS 4(13),34 ­38 (2008)

36

L

x0=a0+b0

L/2 a0=L/2­b0(2t1­t) Fig.6 Posuv desky bez řízení (složka x)

b0 t1

0

a0

t

0 Fig. 4 Průběh mechanických vln při posunu 1D kontinua o vzdálenost L

Aplikace metody na 2D kontinuu Posuv ve 2D:  y0 u2

1

u1

u4

2

Fig.7 Posuv desky bez řízení (složka y) u3

3

4

x0 u10

5

u9

u16

6

7

8

u24

9

10

11

12

x12 u15

u23

Fig. 5 Model testovacího 2D kontinua

Byla  namodelována   testovací  deska   metodou   MKP   s poměrem  stran  3:2  (viz   Fig.5).   K   desce   jsou   přes   tuhosti   připojeny  aktuátory,   jeden   ve   směru  x,   jeden   ve   směru  y.   Na   takovouto  desku byla aplikována teorie řízení pro oba směry současně a to  tak, aby se zamezilo rotaci desky, to znamená, že výsledná síla  od obou by měla směřovat do střediska desky. Tedy požadovaný  posuv ve směru y bude roven ­2/3 posuvu x. ykonc = ­2/3∙xkonc

Fig.8  Posuv   desky   s řízením   –   složka   x   (x0 = x­poloha   aktuátoru,  a0x = vyslaná vlna do x, b0x = odražená vlna x, x12 = x­poloha uzlu 12)

 y12 

(9)

Na   tomto   typu   kontinua   1D   teorie   aplikovaná   pro  oba   směry  současně   funguje.   Výsledky   jsou   patrné   z následujících   grafů,  kde je vyobrazen průběh výchylky aktuátoru a bodu 12, což je  bod na opačném konci desky. 

Fig.9  Posuv   desky   s řízením   –   složka   y   (y0 = y­poloha   aktuátoru,  a0y = vyslaná vlna do y, b0y = odražená vlna y, y12 = y­poloha uzlu 12)

Čistá rotace, obecný rovinný pohyb Rotace   desky   bylo   dosaženo   připojením   rotačního   aktuátoru  k desce  přes  torzní  pružinu  analogicky  tak,   jak  byly  připojeny  předchozí aktuátory. Silový účinek torzního aktuátoru je obecně  moment,   v tomto   případě   je   jeho   účinek   v modelu   simulován 

BULLETIN OF APPLIED MECHANICS 4(13),34 ­38 (2008)

37

silovým zásahem do uzlů 2 a 5 (viz Fig.). Aktuátory pro posuv x  a  y  zůstaly   připojeny.   Pro   testování   čisté   rotace   se   nevyužijí,  budou ale zapotřebí pro nastavení obecné polohy v rovině. y0

2 x0

5

φ0 Fig. 12 Průběh „rotačních“ vln při současném relativním posuvu x=0.4,  y=­0.24 a rotaci o úhel ­0.7 rad Fig. 10 Zavedení rotace desky

Správnost zavedení rotační složky pohybu do modelu desky byla  nejprve ověřena pro samotnou rotaci. Na Fig.11 jsou vykresleny  výsledky pro pootočení o úhel ­0.7 radiánů. Průběh rotačních vln  je analogický s průběhem vln při translaci. 

Fig. 11 Průběh „rotačních“ vln při čisté rotaci o úhel ­0.7 rad

Takto připravená deska se zdá být schopna dosáhnout jakékoliv  polohy v rovině (x, y, φ). Bylo testováno řízení, které se snaží  řídit všechny tři pohyby současně. Posuvy x a y nejsou absolutní ,  ale   relativní,   jelikož   aktuátory   X   a   Y   se   natáčí   se   souřadným  systémem desky. Toto bylo učiněno z důvodu, aby vyslaná vlna  aktuátorem X se vrátila po odražení zpět k aktuátoru X, i když se  deska mezitím pootočí. Při experimentu, který je prozatím ve fázi  simulace,   je   možné   si   takovýto   zásah   dovolit.   Zamezí   se   tak  složitému   přepočítávání   vln   v každém   integračním   kroku   a  vyloučí se možné chyby. Výsledky   nejsou   prozatím   zcela   uspokojující.   Posuvy  v relativních souřadnicích  x  a  y  fungují, k uklidnění „rotačních“  kmitů také dojde. Deska ovšem nedosáhne požadovaného úhlu φ,  jelikož   hodnota   odražené   vlny   se   neustálí   na   hodnotě   vyslané  vlny,   jak   teorie   předpokládá.   Odražená   vlna  b0φ  se   ustálí   na  hodnotě, kterou nelze předem předpovědět.

Pro   řízení   byla   použita   jednodušší   teorie,   která   nepoužívá  zaznamenanou odraženou vlnu z první fáze pro nastavení vyslané  vlny   v druhé   fázi.   Tato   jednodušší   teorie   říká,   že   stačí   řídit  průběh  a0  jako   lineární   funkci   až   do   hodnoty  a0=1/2∙xpožadované.  [1,4]

Závěr Bylo   ukázáno,   že   teorii   odvozenou   na   1D   kontinuu   se  soustředěnými hmotami lze použít i na složitější kontinuum a to  nejen   pro   jeden   směr.  To   bylo   předvedeno   na   posuvu   desky  v obecném směru v rovině. Je vidět, že i v rotační analogii teorie  funguje.  To,  co  zůstává  stále  nefunkční,   je provedení  rotace a  posuvů   desky  současně.   Možná   aplikace  rotačního  aktuátoru  a  torzní   pružiny   na   kontinuum,   ve   kterém   nejsou   žádné   rotační  prvky   (např.   natočení   uzlů),   není   zcela   správný   a   neplatí   zde  princip   superpozice.   V dalším   zkoumání   je   použití   třetího  posuvného   aktuátoru   namísto   rotačního,   který   by   vhodným  umístěním byl schopen požadovanou rotaci desky zajistit. Další  otázkou   také   zůstává,   jak   se   takto   řízený   systém   vyrovná  s vnějším   rušením,   zda   se   systém   ustálí   a   zda   se   ustálí  v požadované poloze.  Pokud by se však takovouto metodu podařilo dostatečně objasnit  a   zprovoznit,   znamenalo   by   to   veliký   pokrok   v oblasti   řízení  mechanických soustav, jelikož by nebylo zapotřebí téměř žádné  identifikace systému a stejný řídící algoritmus by fungoval pro  různé systémy. Acknowledgments 

Supported by grant GA CR, 101/08/H068.  References [1] O’Connor,   W.J.,  Wave­based   Modelling   and   Control   Of   Lumped, Multibody Flexible Systems,  Multibody Dynamics  2005, ECCOMAS Thematic Conference, 2005. [2] O’Connor, W.J., McKeown D.J., A New Approach to Modal  Analysis   and   Frequency   Response   of   Uniform   Chain   Systems,  Multibody Dynamics 2007, ECCOMAS Thematic  Conference, 2007. [3] O’Connor,   W.J.,  Wave­echo   Position   Control   of   Flexible   Systems:   Towards   an   Explanation   and   Theory,   American  Control Conference, Boston, 2004. [4] O’Connor, W.J.,  Slewing Control of Space Structures With   Flexible   Joints:   A   Wave­based   Approach,  Multibody  Dynamics 2007, ECCOMAS Thematic Conference, 2007.