Definice ovládání, řízení a regulace (řízení bez a se zpětnou vazbou). Základní veličiny a přenosy. Praktické příklady: dynamo s cizím buzením, servomechanismus, regulace teploty. Identifikace a aproximace regulovaných soustav. 1.
Řízení – cílevědomé působení na řízený objekt s cílem dosáhnout předem daného stavu Ovládání – řízení bez zpětné vazby, akční veličina jen dle žádané hodnoty, užíváme když chceme změnit přenos soustavy, jednoduché aplikace (křižovatka, jednoduché topení) - nutná velmi dobrá znalost soustavy, pak může y sledovat w (1. základní úloha) - nelze kompenzovat poruchu (2. zákl. úloha) Regulace – řízení se zpětnou vazbou, akční veličina dle reg. odchylky, reaguje i na poruchy (ty mohou nastat kdekoliv) - ústřední člen = vlastní algoritmus řízení - ústř. člen + výk. zes. + akční org. = regulátor
Základní veličiny: - regulovaná veličina (y) - výstupní veličina řízeného systému - řídící veličina, žádaná hodnota, vstupní veličina (w) - hodnota a časový průběh této proměnné určuje jaká má být hodnota a časový průběh regulované veličiny - regulační odchylka (e) - rozdíl mezi žádanou hodnotou a regulovanou veličinou (když Fz=1) - vstupní veličina regulátoru (epsilon) – to co jde do regulátoru když přenos zpětné vazby není 1 - akční veličina, regulační veličina (u nebo x) - vstupní veličina regulované soustavy a výstupní veličina regulátoru - porucha (v) - veličina, která působí buď na vstupu, výstupu nebo na libovolném místě regulované soustavy. V praxi může na jednu soustavu působit několik poruch v různých místech. Signálové poruchy obvykle značíme v. Základní přenosy: - přenos otevřené smyčky F0 = Fr * Fs * Fz - přenos řízení Fw = FrFs / 1 + F0 (jak se přenáší w na y, za předpokl. nulové poruchy) - přenos poruchy Fu = Fs / 1 + F0 (jak se přenáší u na y, předpokl. nulová w a porucha je na vstupu soustavy) - přenos odchylky (jak se řídící veličina w přenáší na regulační odchylku e) Fe = 1 / 1 + F0 (Fz = 1) Fe = 1 + F0 – FrFs / 1 + F0 (Fz <> 1) - přenos akční veličiny Fa = Fr / 1 + F0 (jak se řídící veličina w přenáší na akční veličinu x) Praktické příklady: regulace teploty – nejčastějí na konst. hodnotu, úkolem řízení je pouze kompenzace poruch, které působí na řízený systém. Řadíme sem i takové systémy, u kterých se žádaná hodnota sice čas od času mění ale mezi tím je konstantní (teplota v obytných prostorech den-noc). Stačí zde regulátor s jedním stupněm volnosti, protože řeším požadavek jen na 1 základní úlohu.
servomechanismus – sledování polohy, žádaná hodnota se mění předem neznámým způsobem a hlavním úkolem řízení je zajistit její co nejpřesnější sledování regulovanou veličinou. Úloha kompenzace poruch je zde obvykle druhořadá a primární je zajištění co nejrychlejší a nejvěrnější shody řídící a řízené veličiny. Užívá se rozvětveného reg. obvodu:
dynamo s cizím buzením - ???? Identifikace regulovaných soustav - na konkrétním již realizovaném systému, cílem je stanovení odpovídajícího matematického modelu. Měřená soustava není obvykle izolována od působení poruch, které zkreslují výsledek měření. - Měření přechodové charakteristiky - vhodné pro soustavy s předpokládanými časovými konstantami v rozmezí jednotek až tisíců sekund - Měření s použitím harmonického signálu - pro rychlejší soustavy, neboť po každé změně frekvence je třeba počkat, až dozní přechodný děj vyvolaný touto změnou. Totéž platí v případě, kdy nejsou zaručeny nulové počáteční podmínky. Nevýhodou je nutnost předem odhadnout frekvenční rozsah, ve kterém se dynamické vlastnosti soustavy projeví. Aproximace regulovaných soustav - nahradit přesné hodnoty jejich přibližným odhadem. Proces aproximace lze obecně uplatnit na kterýkoliv popis vlastností soustavy: - diferenciální/diferenční rovnici, přesně popisující dynamiku soustavy lze nahradit rovnicí nižšího řádu, nebo jiného tvaru, kterou lze snáze řešit - frekvenční charakteristiku lze ve zvoleném frekvenčním pásmu nahradit charakteristikou jednoduššího systému - časovou odezvu (přechodovou nebo impulsní charakteristiku) nahradíme odezvou některého ze zvolených aproximačních systémů (soustav) - skutečné rozložení nul a pólů nahradíme rozložením, ve kterém budou pouze dominantní póly a nuly. V praxi se nejčastěji aproximuje změřená přechodová k exp(− dp) charakteristika charakteristikou zvolené aproximační F3 ( p ) = (T1 p + 1)(T2 p + 1) soustavy. Jde-li o přetlumené soustavy (bez kmitavých členů) používá se soustava prvního (F1) nebo druhého řádu bez (F2) nebo se zpožděním (F3), nebo soustava n-tého řádu se stejnými časovkami (F4). K rozhodnutí o typu vhodné aproximace je potřebné znát polohu inflexního bodu i a velikost parametrů nazývaných doba průtahu Tu a doba náběhu Tn . Pro přenos F1(p) platí T=Tn a d=Tu . Přenos F2(p) a F3(p) je vhodný pro výšku inflexního bodu menší než 0,264. Pro větší hodnoty je vhodné použít aproximaci přenosem typu F4(p).
2. Standardní přenosy ve zpětnovazebním řízení. Ustálené hodnoty proměnných. Standardní struktury regulačních obvodů, charakteristický polynom. Vliv diskretizace (bloková schémata). Standardní přenosy:
z těchto standardních tvarů můžeme určit vlastnosti přenosů - přenos otevřené smyčky F0 = Fr * Fs * Fz charakteristika začíná v nule, pokud obsahuje reg. nebo soustava integrátor, odchází do nekonečna, jinak je na ustálené hodnotě - přenos řízení Fw = FrFs / 1 + F0 (jak se přenáší w na y, za předpokl. nulové poruchy) pokud není v reg. nebo soust. integrátor je ustál. přenos menší než 1, aby byl 1, muselo by být nekonečné zesílení - přenos poruchy Fu = Fs / 1 + F0 (jak se přenáší u na y, předpokl. nulová w a porucha je na vstupu soustavy) úplné vyregulování poruchy jen v případě integrátoru v regulátoru - přenos odchylky (jak se řídící veličina w přenáší na regulační odchylku e) Fe = 1 / 1 + F0 (Fz = 1) Fe = 1 + F0 – FrFs / 1 + F0 (Fz <> 1) souvisí s přenosem řízení, pokud Fw=1, pak Fe=0. pokud obsahuje reg. nebo soustava integrátor, pak je přenos odchylky 0. - přenos akční veličiny Fa = Fr / 1 + F0 (jak se řídící veličina w přenáší na akční veličinu x) ustálené hodnota řízení pouze když je integrátor v soustavě Ustálené hodnoty proměnných Pro spojité veličiny platí (věta o konečné hodnotě funkce): Pro diskrétní platí
x( ∞ ) = lim x (t ) = lim p ⋅ X ( p )
x( ∞ ) = lim x(nT ) = lim(1 − z − 1 ) ⋅ X ( z ) n→ ∞
z→ 1
t→ ∞
p→ 0
Standardní struktury regulačních obvodů Regulační obvod s jedním stupněm volnosti FR – přenos regulátoru (zahrnuje i přenosy výkonových a akčních členů) FS – přenos soustavy FZ – přenos ve zpětné vazbě (přenos měřicího čidla). V některých případech je přenos roven jedné Regulační obvody se dvěma stupni volnosti Tento typ regulátoru zajišťuje zároveň správné sledování žádané hodnoty a současně potlačení poruchy. Náročné udělat analogově, ale číslicově je to běžné. Charakteristický polynom Jmenovatelový polynom ze všech standardních přenosů: 1+F0, většinou ho značíme Δ(p) Charakteristická rovnice systému: Δ(p) = 0 Stabilita: kořeny charakteristické rovnice v levé polorovině komplexní roviny p. Vychází z ní kriteria stability, např. Hurwitzovo a Routh-Schurovo. Vliv diskretizace - regulátor neví co se děje s průběhem mezi okamžiky vzorkování, proto filtrujeme vyšší frekvence filtrem - zavádí do soustavy časové zpoždění (0.5*Tvz) - průběhy, které nesplňují Shannonův teorém (fvz > 2 * fmax), nejsou rekonstruovatelné - čím větší fvz tím více se blížíme reálnému průběhu, ale jsme limitování výpočetním výkonem Aby byl diskretizovaný PID stejný jako spojitý, musí: - splněn Shannon teorém - fitrace vyšších frekvencí - malá Tvz - filtrace derivační složky
3. Stabilita obvodů se zpětnou vazbou. Stabilita diskrétních a diskretizovaných systémů. Nyquistovo kriterium stability, algebraická kriteria. Stabilita obvodů se zpětnou vazbou Stabilní systém: po skončení budícího (vstupního) signálu se vrací do původního stavu + odezva na omezený budící signál je rovněž omezená => póly přenosové funkce leží v levé polorovině roviny p Póly přenosové funkce (kořeny polynomu ve jmenovateli) svou polohou určují i charakter přechodného děje (kmitavý, tlumený, pomalý a pod). Stabilita diskrétních a diskretizovaných systémů Stabilní systém: po skončení budícího (vstupního) signálu se vrací do původního stavu + odezva na omezený budící signál je rovněž omezená => póly přenosové funkce leží v jednotkové kružnici. Nyquistovo kriterium stability založeno na znalosti průběhu frekvenční charakteristiky otevřeného obvodu (zesílení jen zvětšuje měřítko charakteristiky). Výhody: - data lze zjistit analyticky, ale stačí i experimentálně - může být použito i pro regulační obvody s dopravním zpožděním, kde nelze použít algebraických kritérií. - stabilitu zkoumáme i z hlediska kvalitativního - jak dalece je obvod stabilní. Nyquistovo kriterium: Uzavřený zpětnovazební obvod je stabilní, jestliže frekvenční charakteristika otevřeného obvodu v komplexní rovině obíhá při změně frekvence od −inf do inf bod (−1, 0) v kladném směru tolikrát, kolik pólů přenosu otevřené smyčky leží v pravě polorovině. Zjednodušené Nyquistovo pro žádné nestabilní póly: Prochází-li frekvenční charakteristika rozpojeného obvodu kritickým bodem –1, je obvod na hranici stability.
Algebraická kriteria stability - vychází z charakteristického polynomu - určují stabilitu pro rozsah parametrů, ne jen pro konkrétní hodnotu - pracný, složitý výpočet pro vyšší řády
Hurwitzovo kritérium 1) Všechny koeficienty charakteristické rovnice musí být kladné a žádný z koeficientů a0 až an nesmí být roven nule 2) Všechny subdeterminanty příslušné prvkům na hlavní diagonále Hurwitzovy matice sestavené z koeficientů charakteristické rovnice musí být kladné. Hurwitzovu matici sestavíme dle obrázku, determinanty jsou ale pak rohové výseky z transponované Hurw. matice!!!
Routh- Schurovo kritérium Schéma redukce je následující:
• napíšeme koeficienty redukované rovnice do řádku od nejvyšší mocniny k nejnižší (možno i naopak) • podtrhneme sudé koeficienty v pořadí (každý druhý) • každý podtržený koeficient násobíme podílem dvou nejvyšších koeficientů an / an-1 a výsledek napíšeme do druhého řádku posunutý o jedno místo vlevo • druhý řádek (který má členy vždy ob jeden prvního řádku) odečteme od prvého řádku a dostaneme třetí řádek • koeficienty třetího řádku jsou koeficienty rovnice o jeden stupeň nižší, než byla redukovaná rovnice, neboť na místě nejvyššího koeficientu jsme dostali nulu • redukci provádíme tímto způsobem dále až na rovnici 2. stupně (tři koeficienty). Nulu na začátku řady koeficientů neuvažujeme. Koeficienty u všech redukovaných rovnic musí být kladné. To je podmínka stability.
4.
PID regulátory (přenosy, realizace, vlastnosti). Návrh PID regulátorů různými metodami (optimální modul, frekvenční návrh). PSD regulátory pro diskrétní (a diskretizované) systémy.
PID regulátory Přenos ideálního PID regulátoru
Přenos reálného PID regulátoru
Realizace Analogové řízení je pomalu vytlačováno číslicovými regulátory. Jsou však případy kdy je nutné požít analogový regulátor: • Pokud požadujeme široké frekvenční pásmo • Pokud realizujeme řídící algoritmy ve výbušném prostředí • Pokud navýšení ceny vzniklé použitím číslicového řešení není kompenzováno dodatečnými funkcemi (snadné nastavení konstant regulátoru, monitorování průběhů,…) Vlastnosti P-složka: Proporcionální regulátor zesiluje regulační odchylku a takto zesílenou (zejména výkonově) akční veličinou působí na regulovanou soustavu. P regulátor zmenšuje ustálené odchylky, nezajišťuje však jejich nulovost. P regulátor může při nevhodném nastavení způsobit nestabilitu uzavřeného obvodu. I-složka: zavedena pro potlačení trvalé ustálené odchylky. Vnáší do přenosu otevřené smyčky astatismus (pól v počátku, u diskrétních systémů v bodě 1,0), tj. fázový posun o -90° => zmenšení zásoby stability. Také prodlužuje periodu kmitů. D-složka: zavedena pro zrychlení regulačního děje a zlepšení stability. Velká derivační složka zesiluje šumy a rozkmitává akční veličinu a tím i regulovanou veličinu, malá derivační složka zase může způsobovat nestabilitu. reálná D složka je fitrována díky realizační konstantě ve jmenovateli => nerozkmitává tolik. Návrh PID regulátorů různými metodami Metoda optimálního modulu Přechodný děj bude optimální, jestliže amplituda frekvenčního přenosu řízení bude mít hodnotu blízkou 1 do co nejvyšších frekv. a nebude mít rezonanční překmit. Přenos řízení předpokládáme ve tvaru: Fw ( p) =
Fw ( jω ) = 1 ,
d Fw ( jω ) dω
≤ 0
bm p m + ... + b1 p + b0 an p n + an − 1 p n − 1... + a1 p + a0
Ten umocníme na druhou, dosadíme p=j*omega a porovnáme s rovnicí: Fw ( jω ) =
Bm ω 2 m + Bm − 1ω 2( m − 1) + ... + B1ω 2 + B0 An ω 2 n + An − 1ω 2( n − 1) + ... + A1ω 2 + A0
B0 = b02
,
2
B1 = b12 − 2b0 b2
A0 = a 02 ,
A1 = a12 − 2a 0 a 2
B2 = b22 − 2b3 b1 + 2b4 b0
,
A2 = a 22 − 2a3 a1 + 2a 4 a 0
.............
Podmínky optimál. modulu (počet podmínek je dán počtem volitelných konst.):
Bi B0 ≤ Ai A0
pro i = 1,2,3...
Metoda frekvenčních charakteristik Charakteristika otevřeného obvodu musí být v decibelech, pak platí:
Sestavení: každé p v čitateli dělá sklon + 20 a ve jmenovateli -20 a začíná platit of frekvence 1/T, kde T je časová konstanta. Optimální je když: - charakteristika protíná osu 0dB na co nejvyšších frekvencích (ovlivňuje rychlost přech. děje) - protíná osu 0dB pod sklonem -20dB/dek a to co nejdále na obě strany od omega řezu (fázová bezpečnost)
PSD regulátory pro diskrétní (a diskretizované) systémy Nejprve sestavíme přenosovou funkci Fw dle požadavků. Z přenosové funkce řízení a poruchy lze vyjádřit předpis pro regulátor.
R( z ) =
1 Fw ( z ) S ( z ) 1 − Fw ( z )
R( z ) =
1 1 − Fv ( z ) S ( z )
Fyz. realizovatelnost: regulátor musí mít v přenosu z^-1, z^-2, ... jinak by regoval na budoucí vzorky. Nulová odchylka: kde G je libovolný polynom. Konečný děj: Fw obsahuje celý čitatelový polynom spojité části (silná podm.), Fw tovří polynom o konečném počet členů (slabá podm.)
Diskrétní ekvivalent PID regulátoru PSD regulátor - proporcionálně-sumačně diferenční 1. K přenosu soustavy připojíme přenos fiktivního dopravního zpoždění o velikosti T/2. Tímto krokem respektujeme skutečnost, že spojité řízení bylo nahrazeno diskrétním. 2. Pro takto upravenou soustavu navrhneme spojitý PID regulátor podle daných požadavků. 3. K navrženému PID regulátoru najdeme PSD ekvivalent podle následujících převodních vztahů: R ( p ) = k R (1 + Td p +
1 ) Ti p
z−1 −1 , R ( z ) = k R 1 + d d (1 − z ) + d i −1 1 − z T T dd = d , di = T Ti
5. Metoda geometrického místa kořenů. Integrální kriteria kvality regulace. Regulace na konečný počet kroků. Metoda geometrického místa kořenů - Walter Evans, 50. léta, také metoda kořenového hodografu - umožňuje sledovat rozložení kořenů charakteristického polynomu při změně zesílení v otevřené smyčce - vychází z rozložení nul a pólů přenosu otevřené smyčky (což často známe narozdíl od kořenů char. rov.) - z F0 určíme póly a nuly a nakreslíme je do souřadnic
n = počet pólů
alfa – kořeny, beta – póly
Integrální kriteria kvality regulace a) Lineární kritérium Z hlediska výpočtu integrálu je nutné, aby byl systém aperiodický. JL =
∫ [ e(t ) − e(∞ )]dt ∞
0
b) Usměrněné lineární kritérium J UL =
∫
∞ 0
e(t ) − e(∞ ) dt
c) Kvadratické kritérium Kritérium přikládá větší váhu větším odchylkám. Nevýhodou kvadratického kritéria je kmitavý výsledek odezvy s relativně vysokým překmitem. JK =
∫ [ e(t ) − e(∞ )] ∞
0
2
dt
d) ITAE kritérium Integral of Time multiplied by Absolute value of Error ITAE patří mezi váhová kritéria. Váha odchylky narůstá lineárně s časem. Analytický výpočet prakticky není možný kvůli přítomnosti nelineární funkce absolutní hodnoty.
J ITAE =
∞
∫ e(t ) − e(∞ ) t ⋅ dt 0
Regulace na konečný počet kroků - volba přenosu řízení Fw - konečná doba regulačního děje může být: - silná: i mezi okamžiky vzorkování, Fw musí obsahovat celý čitatelový polynom ze spojité části - slabá: jen v okamžicích vzork., Fw musí tvořit polynom o konečném počtu členů - mohou být i další požadavky, například určitá hodnota v některém kroku po skoku w, apod.
6. Rozvětvené obvody: s pomocnou řídící veličinou, akční veličinou, s měřením poruchy, s modelem (zejména pro soustavy s dopravním zpožděním). Schmidtův regulátor. Vícerozměrové řídicí systémy. Autonomnost, invariantnost. - více vazeb mezi jednotlivými členy regul. obvodu - důvod: vyšší požadavky na kvalitu regulace a) obvody s pomocnou regulovanou veličinou Často používaná při regulaci teploty a u servomechanismů Umožňuje odstranění astatismu v soustavě – v případě použití I,PI,PID jako hlavního regulátoru zlepšuje stabilitu systému Zavedením pomocné regulované veličiny měřené v blízkosti vstupu soustavy lze zrychlit reakci na vznik poruchového signálu Příklady: S2 – terč, kde je cílem ovládat jeho natočení, S1 – motor otáčející terčem, u – prokluz terče na hřídeli, R2 – regulátor otáček motoru, R1 – regulátor polohy, akční vel. jsou otáčky R1- regulace teploty v kádi, R2 – regulace množství plynu a tím i regulace tepla dodávaného do kádě b)
obvody s pomocnou akční veličinou
Musí být možné působit na soustavu nejméně dvěmi akčními veličinami řád přenosu nebo alespoň časovky akčních veličin by měly být různé. Hlavní regulátor většinou I,PI (zajištění co nejmenší ustálené odchylky), vedlejší PD (rychlost regulace) Příklad: regulovanou veličinou je teplota Č, akční veličiny jsou množství protékající páry (hlavní) a odebírané množství vody (vedlejší). c)
obvody s měřením poruchy
porucha u(t) prochází článkem s přenosem Su(p) a přičítá se k výstupu regulované soustavy tuto poruchu měříme a přes regulátor R2 přičítáme k akční veličině x1(t) u tohoto systému lze dosáhnout úplné invariantnosti Příklad: vytápění velkých budov, porucha je venkovní teplota, tu měříme
d)
obvody s modelem regulované soustavy
akční veličina x(t) působí jak na regulovanou soustavu S(p), tak na model M(p) předpokládáme, že součástí regulované soustavy je článek s dopravním zpožděním o velikosti Δ model obsahuje stejný článek, mimo to je však k dispozici nezpožděný výstup systému Schmidtův regulátor (Opravdu nevím jestli je to ono) - pomocný regulátor ve zpětné vazbě - možné současně splnit požadavek na přenos řízení i poruchy (při filtru vstupního signálu) - může zlepšit dynamické vlastnosti, obvykle přidává vyšší derivace k hlavnímu signálu - může měnit astatismus soustavy Vícerozměrové řídicí systémy Vícerozměrová soustava má n výstupních veličin y1, v2,-,yn, stejný počet akčních veličin x1, x2,-, xn, a tentýž počet poruch u1, u2,-, un. Stejný počet poruch nemusí být, ale vždy je možné doplnit nulovou poruchou (aby seděly maticové počty).
Autonomnost změna k-té žádané hodnoty způsobí změnu k-té regulované veličiny a na ostatní se neprojeví. Autonomnost je jedním z hlavních požadavků kladených na vícerozměrové systémy: - úplná - statická (pouze v ustáleném stavu) - selektivní (týká se pouze vybraných veličin) To by bylo splněno za předpokladu, že všechny přenosy
S ij , i ≠ j , v matici S by byly nulové (tzn.
matice S by byla diagonální). Invariantnost Neměnnost, odolnost proti poruchovým signálům, snažíme se jí dosáhnout nejčastěji kompenzací poruch. U obvodu s měřením poruchy je možné teoreticky dosáhnout úplné kompenzace poruchového signálu (tzv. invariantnosti) soustavy vůči poruše. Tento stav nastane, S u + R2 S = 0 je-li splněna podmínka. S R2 = − u Praktické realizovatelnost této podmínky je omezena na případy, kdy je přenos Su S vyššího nebo alespoň stejného řádu jako přenos S.
7. Adaptivní regulační obvody: MRAC, STURE, PSC. Použití fuzzy matematiky v řízení. - v reálných reg. systémech se během provozu mění vlastnosti řízeného objektu - proces řízení tak ztrácí původní kvalitu - adaptivní regulátor se v průběhu přizpůsobuje změnám MRAC (Model Reference Adaptive Control) - adaptace podle referenčního modelu, který určuje požadované vlastnosti otevř. nebo uzavř. smyčky - srovnává se výstup z modelu a výstup ze soustavy a dle toho se upravují parametry nebo i struktura regulátoru
STURE (Self-Tuning Regulators) - samočinně se nastavující regulátory - struktura pevně určena, mění se jen parametry, často Z-N nebo modifikovaná Z-N - průběžná identifikace - problémy se stabilitou (robustnost), obvykle doplněno rozhodovacími pravidly
PSC (Parameter Scheduling Control) - měření důležitých stavových proměnných, tj. určení pracovního bodu kolem kterého systém zrovna pracuje - pro jednotlivé podoblasti jsou např. fornou tabulky dány struktury a hodnoty parametrů regulátorů. Fuzzy matematika při řízení - rozšíření log. operátorů na fuzzy množiny (prvek má stupeň příšlušnosti) - lingvistická proměnná – hodnoty jsou výrazy jazyka - termy (horká, teplá, vlažná, studená) - každý term má funkci příslušnosti, která určuje např. jaké teploty a jak moc přísluší k pojmu studená Regulace: 1) fuzzifikace – převod naměřené hodnoty na pojem (0°C -> „hodně studená“) 2) inferenční mechanizmus – báze pravidlel (když je hodně studená, začni hodně topit) 3) defuzzifikace – převod pojmu na výstupní hodnotu (hodně topit -> 1000W) Rozložení funkcí příslušnosti může být nerovnoměrné, nejčastěji jsou funkce příslušnosti tvaru pily. Velice složité nastavování, vhodné pro systémy s neznámým modelem.
