ISSN WAHANA Volume 66, Nomor 1, 1 Juni 2016

ISSN 0853 – 4403

WAHANA Volume 66, Nomor 1, 1 Juni 2016

PENENTUAN JALUR TERPENDEK MENGGUNAKAN ALJABAR MIN-PLUS. Studi Kasus : Distribusi Kentang Jalur Pangalengan, Bandung - Jakarta

Rani Kurnia Putri Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas PGRI Adi Buana Surabaya email : [email protected]

Abstrak Penggunaan Sistem Event Diskrit (SED) dalam memodelkan, menganalisa dan mengontrol sistem-sistem yang kompleks menjadi salah satu fokus dalam dunia akademik. Gambaran karakteristik SED adalah ‘kedinamikaanya’ yaitu ‘event driven’ dimana hal tersebut bertolak belakang dengan ‘time driven’. Suatu event berkaitan dengan awal atau akhir dari suatu aktifitas. Event terjadi dengan waktu diskrit, dan interval diantara event tidak harus identik (bisa deterministic atau stokastik). Aljabar Max-plus dapat menentukan dan menganalisis berbagai sifat sistem, tetapi pendekatan hanya bisa diterapkan pada sebagian klas SED, yaitu pada klas SED yang dapat diuraikan dengan model waktu invariant max-linier. Selain aljabar max-plus, dalam John and George juga disinggung beberapa varian aljabar yang serupa dengan aljabar max-plus, yaitu aljabar min-plus (dengan operasi minimum dan penjumlahan) dan aljabar max-min (dengan operasi maksimum dan minimum). Artikel ini akan membahas tentang penentuan jalur terpendek menggunakan aljabar min-plus dengan studi kasus pada jalur distribusi kentang di pangalengan, Bandung menuju pasar Kramat jati Jakarta. Hal ini penting untuk dilakukan karena Kentang memiliki waktu kerusakan yang relatif singkat, dan kentang memiliki sifat, bila satu kentang membususk, maka kentang yang membusuk tersebut akan ‘menulari’ kentang yang lain, sehingga dalam waktu cepat kentang tersebut akan membusuk semuanya. Sehingga semakin cepat pendistribusian kentang sampai ke tangan konsumen akan semakin baik. Kata kunci: Aljabar Min-Plus, Jalur Terpendek, Distribusi Kentang

kedinamikaan dari SED dikarakteristikkan

1. Pendahuluan

oleh

Penggunaan Sistem Event Diskrit

‘kesinkronan’

dan

‘kongruensi’.

(SED) dalam memodelkan, menganalisa dan

Sinkronisasi memerlukan ketersediaan dari

mengontrol sistem-sistem yang kompleks

beberapa

menjadi salah satu fokus dalam dunia

bersamaan.. Kongruensi ada pada saat

akademik.

seorang pengguna harus memilih beberapa

Gambaran

karakteristik SED

adalah ‘kedinamikaanya’ yaitu ‘event driven’

resources

pada

saat

yang

resource.

dimana hal tersebut bertolak belakang

Aljabar Max-plus dapat menentukan

dengan ‘time driven’. Suatu event berkaitan

dan menganalisis berbagai sifat sistem, tetapi

dengan awal atau akhir dari suatu aktifitas.

pendekatan hanya bisa diterapkan pada

Event terjadi dengan waktu diskrit, dan

sebagian klas SED, yaitu pada klas SED

interval diantara event tidak harus identik

yang dapat diuraikan dengan model waktu

(bisa deterministic atau stokastik). Umumnya

invariant max-linier (Subiono, 2015). Selain 7

ISSN 0853 – 4403


aljabar max-plus, dalam John and George

Definisi 2.1.1. Definisi aljabar max-plus

(2010) juga disinggung beberapa varian

Diberikan ℝ𝜀 ≝ ℝ ∪ {𝜀} dengan ℝ adalah

aljabar yang serupa dengan aljabar max-plus,

himpunan semua bilangan real dan 𝜀 ≝ −∞.

yaitu aljabar min-plus (dengan operasi

Pada ℝ𝜀 didefinisikan operasi berikut: ∀x, y

minimum dan penjumlahan) dan aljabar max-

∈ℝ𝜀 ,

min

x⊕ y ≝ max{x, y} dan x ⊗ y ≝ x + y.

(dengan

operasi

maksimum

dan

minimum).Dalam beberapa referensi yang

untuk selanjutnya operasi ⊕ dibaca o-plus

disebutkan diatas, telah diberikan gambaran

dan operasi ⊗ dibaca o-times dan juga

singkat

dapat

penulisan (ℝ𝜀 ,⊕, ⊗) ditulis sebagai ℝ𝑚𝑎𝑥 .

diselesaikan menggunakan aljabar max-plus

Selain definisi diatas, dalam aljabar max-

yaitu masalah-masalah dalam teori graf.

plus.

masalah-masalah

yang

Seperti halnya dalam aljabar max-plus, dengan

pendekatan

aljabar

min-plus

Definisi 2.1.2. Definisi pangkat

diharapkan masalah-masalah yang terkait

Untuk setiap x ∈ℝ𝑚𝑎𝑥 dan untuk semua

dapat diselesaikan.

𝛼∈ℝ, maka

Artikel ini akan membahas tentang

𝑥 ⊗𝛼 = 𝛼×𝑥, untuk 𝛼∈ℝ

penentuan jalur terpendek menggunakan aljabar min-plus dengan studi kasus pada

2.2. Aljabar Min-Plus (Subiono, 2015)

jalur distribusi kentang di pangalengan,

Aljabar min-plus merupakan dual dari aljabar

Bandung menuju pasar Kramat jati Jakarta.

max plus, diberikan definisi aljabar min-plus.

Hal ini penting untuk dilakukan karena Kentang memiliki waktu kerusakan yang

Definisi 2.2.1. Definisi aljabar min-plus

relatif singkat, dan kentang memiliki sifat,

Dual dari plus adalah minus, sehingga

bila satu kentang membususk, maka kentang

Aljabar

yang membusuk tersebut akan ‘menulari’

ℝ𝑚𝑖𝑛 = (ℝ𝜀′ ,⊕′ ,⊗) dimana ℝ𝜀′ = ℝ ∪ {𝜀 ′ }

kentang yang lain, sehingga dalam waktu

dengan 𝜀 ′ = +∞ dan 𝑥 ⊕′ 𝑦 = min⁡{𝑥, 𝑦}

cepat kentang tersebut akan membusuk semuanya.Sehingga

semakin

min-plus

didefinisikan

sebagai

untuk semua 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ𝜀′ . Struktur aljabar min-

cepat

plus ℝ𝑚𝑖𝑛 = (ℝ𝜀′ ,⊕′ ,⊗) isomorfik dengan

pendistribusian kentang sampai ke tangan

struktur

konsumen akan semakin baik.

aljabar

max-plus

ℝ𝑚𝑎𝑥 =

(ℝ𝜀 ,⊕′ ,⊗). Misalkan pemetaan

2. Kajian Pustaka

𝑓:⁡ℝ𝑚𝑎𝑥 → ℝ𝑚𝑖𝑛

2.1 Aljabar Max-Plus (Subiono, 2015)

Dengan 𝑓(𝑥) = −𝑥 untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 .

Sebelum membahas mengenai aljabar min-

Didapat untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥

plus, terlebih dahulu diberikan definisi struktur aljabar max-plus. 8

ISSN 0853 – 4403


𝑛×𝑝

𝑓(𝑥 ⊕ 𝑦) = −(𝑥 ⊕ 𝑦) = −𝑚𝑎{𝑥, 𝑦}

𝑝×𝑚

Dan untuk matriks A∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 dan B ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥

= min{−𝑥, −𝑦}

perkaliaan

′

= 𝑓(𝑥) ⊕ 𝑓(𝑦)

A⊗ B

didefinisikan

sebagai

berikut:

Dan

[𝛼 ⊗ 𝐵]𝑖,𝑗 =

𝑝 𝑘=1⨁𝑎𝑖,𝑘

⊗ 𝑏𝑘,𝑗

𝑓(𝑥 ⊕ 𝑦) = −(𝑥 ⊕ 𝑦) = (−𝑥) + (−𝑦) = 𝑓(𝑥) ⊕ 𝑓(𝑦).

2.4. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Jelas bahwa pemetaan 𝑓 adalah bijektif.

Pengertian nilai eigen (eigenvalue) dan vektor eigen (eigenvector) yang bersesuaian

2.3. Vektor dan Matriks dalam Aljabar

dari suatu matriks persegi A berukuran n x n

Max-Plus

sebagaimana dijumpai dalam aljabar linier

Himpunan matriks n× m dalam aljabar max-

biasa, juga dijumpai dalam aljabar max-plus,

plus dinyatakan dalam ℝ𝑛×𝑚 𝑚𝑎𝑥 . Didefinisikan

yaitu bila diberikan suatu persamaan

n = {1,2,3, . . . , n}, untuk n ∈ℕ. Elemen dari ℝ𝑛×𝑚 𝑚𝑎𝑥

𝐴⨂𝑥 = 𝜆⨂𝑥

pada baris ke-i kolom ke-j

Dalam hal ini masing – masing vektor x ∈

dinyatakan dengan aij untuk i∈ n dan j∈ m.

ℝ𝑛𝑚𝑎𝑥 dan 𝜆 ∈ ℝ, dinamakan vektor eigen

Dalam hal ini matriks A dapat dituliskan

dan nilai eigen dari matriks A dengan vektor

sebagai

x ≠ (𝜀, ⋯ ,𝜀)T.

matriks

𝑎1,1 𝑎2,1 𝐴=[ ⋮ 𝑎4,1

𝑎1,2 𝑎2,2 ⋮ 𝑎4,2

… 𝑎1,𝑚 … 𝑎2,𝑚 ⋱ ⋮ ] … 𝑎𝑛,𝑚

2.5. Matriks dan Graf (Subiono, 2015) Misalkan diberikan matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑛𝑥𝑛 𝑚𝑎𝑥

ada kalanya elemen aij juga dinotasikan

suatu graf berarah dari matriks 𝐴adalah

sebagai

𝒢(𝐴) = (𝐸, 𝑉). Graf [𝐴]𝑖,𝑗 , 𝑖 ∈ 𝑛, 𝑗 ∈ 𝑚

Untuk matriks A, B ∈

𝒢(𝐴) mempunyai n

titik, dan himpunan semua titik dari 𝒢(𝐴)

ℝ𝑛×𝑚 𝑚𝑎𝑥 penjumlahan

dinyatakan oleh V. Suatu garis dari titik 𝑗 ke

matriks A⊕B didefinisikan sebagai

titik 𝑖 ada bila 𝑎𝑖𝑗 ≠ 𝜀 , garis ini dinotasikan

[𝐴 + 𝐵]𝑖,𝑗 = 𝑎𝑖,𝑗 ⨁𝑏𝑖,𝑗

oleh (𝑗, 𝑖) dengan demikian (𝑗, 𝑖) ∈ 𝒟. Bobot

Untuk i ∈ n dan j ∈ m. Catatan bahwa,

dari garis (𝑗, 𝑖) adalah nilai dari 𝑎𝑖,𝑗 yang

untuk A, B ∈ ℝ𝑛×𝑚 𝑚𝑎𝑥 berlaku bahwa A⊕B =

dinotasikan oleh 𝓌(𝑗, 𝑖) = 𝑎𝑖,𝑗 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 . Bila

B⊕A, sebab [A⊕B]ij = max {𝑎𝑖,𝑗 , 𝑏𝑖,𝑗 } =

𝑎𝑖𝑗 = 𝜀, maka garis (𝑗, 𝑖) tidak ada.

max {𝑏𝑖,𝑗 , 𝑎𝑖,𝑗 } = [B⊕A]ij, untuk i ∈ n dan j

Suatu

∈ m. Untuk A ∈

barisan

(𝑖2 , 𝑖3 ),… , (𝑖𝑙−1 , 𝑖𝑙 ) ℝ𝑛×𝑚 𝑚𝑎𝑥

dari

garis suatu

(𝑖1 , 𝑖2 ), graf

dan skalar 𝛼∈ℝ𝑚𝑎𝑥

dinamakan suatu path. Suatu path dikatakan

perkalian dengan skalar didefinisikan sebagai

elementer bila tidak ada titik terjadi dua kali

berikut

dalam path tersebut. Suatu sirkuit adalah

[𝛼 ⊗ 𝐴]𝑖,𝑗 = 𝛼 ⊗ 𝑎𝑖,𝑗 , untuk i ∈ n dan j ∈ m.

path 9

elementer

tertutup,

yaitu

(𝑖1 , 𝑖2 ),

ISSN 0853 – 4403


(𝑖2 , 𝑖3 ),… , (𝑖𝑙⁡−1 , 𝑖𝑙 ).

Bobot

path𝑝 = (𝑖1 , 𝑖2 ),

dari

suatu

3.2 Tahapan Penelitian

(𝑖2 , 𝑖3 ),… , (𝑖𝑙−1 , 𝑖𝑙 )

Adapun tahapan-tahapan penelitiannya

dinotasikan |𝑝|𝑤 dan diberikan oleh |𝑝|𝑤 =

sebagai berikut:

𝑤(𝑖1 , 𝑖2 ) + 𝑤(𝑖2 , 𝑖3 ) + ⋯ + ⁡𝑤(𝑖𝑙−1 , 𝑖𝑙 )=

a. Studi literatur dan pengumpulan ata

(𝑎𝑖2,𝑖2 + 𝑎𝑖3,𝑖2 + ⋯ + 𝑎𝑖,𝑖𝑙−1 ),

b. Mengkaji

sedangkan

dan

menganalisis

model

matematika Aljabar Min-Plus

panjang dari path𝑝 atau banyaknya garis dalam path 𝑝 dinotasikan oleh |𝑝|𝑙 .

c. Merumuskan Penyelesaian Numerik.

Himpunan semua path dari titik 𝑖 ke titik 𝑗

d. Analisa hasil dan pembahasan

dengan panjang 𝑘 dinotasikan oleh 𝑃(𝑗, 𝑖; 𝑘).

Pada tahapan

ini hasil yang telah

Bobot rata-rata dari path𝑝 adalah bobot dari

diperoleh dianalisis untuk kemudian

𝑝 dibagi oleh banyaknya garis dalam path𝑝,

diambil kesimpulan e. Simpulan

yaitu: |𝑝|𝑤 (𝑎𝑖2,𝑖2 + 𝑎𝑖3,𝑖2 + ⋯ + 𝑎𝑖,𝑖𝑙−1 ) = |𝑝|𝑙 (𝑙 − 1)

4. Hasil dan Pembahasan 4.1 Jalur Pangalengan– Pasar Induk Kramat Jati Jakarta

Teori 2.5.1 Misalkan matriks A berukuran

Jalur

𝑛𝑥𝑛. Graf 𝒢(𝐴) tidak memuat sirkuit bila dan hanya bila 𝐴

⊕𝑘

tempuh

untuk

mendistribusikan kentangdaripangalengan,

= 𝜀(𝑛, 𝑛),⁡⁡⁡⁡∀𝑘 ≥ 𝑛.

kabupaten

bandungmenuju

PasarKramatjatiJakartaPusat dapat melalui 3. Metode Penelitian 3.1 Tempat Penelitian

beberapadaerahyangberbeda.

ruteperjalanannyadapat dilihat dalam tabel-

Penelitian ini dilaksanakan di Desa

tabel dibawah ini.

Pulosari Kecamatan pangalengan Kabupaten Bandung Provinsi Jawa Barat. Tabel 1. Tabel Jalur Tempuh Melalui Jalan Tol Cipularang dan Jalur Pantura Melalui JalanTol Cipularang danJalurPantura/ JalanTolJakarta-Cikampek No

Jaluryang dilalui

1

Jalan rayapangalengan, jalangandasari,

37,3 km (1 jam19 menit))

2

jalan soreangkopo, jalanrayakopo sayati Jalan tol cipularangdan jalurpantura,

141 km (1 jam56 menit)

JarakTempuh

jalan tolJakarta-cikampek, jalan T.B. Simatupang, Cijantung/Kramat 3

Jati/Cililitan Jalan rayabogor, jalan pedati, jalan H.

2,5 km (8menit)

Taiman Ujung 4

rute-

DESTINASI 10

ISSN 0853 – 4403


Tabel 2. Tabel Jalur Tempuh melalui Jalan Raya Cianjur - Ciawi Melalui JalanRaya Ciawi-Cianjur No

Jaluryang dilalui

JarakTempuh

1

Jalan rayapangalengan, jalangandasari,

37,3 km (1 jam19 menit)

jalan rayasoreangkopo, Jalan rayakopo sayati 2

Jalan tol padaleunyi dan jalan nasionalIII

60,9 km (1 jam34 menit)

kejalanIr.H. Djuanda/ JalanLabuanCianjur/Jalan RayaCiawi– Cianjur/ Jalan RayaPuncak– Cianjur 3 4

Bogor Jalan tol jagorawi, jalanpondok gede

48,7 km (1 jam47 menit) 41,6 km (33menit)

5

(Jakartatimur) Jalan pondok gede, Jalanrayabogor,

2,2 km (8menit)

jalan merpatidan jalan kramat utaradari jalan H.Taiman Ujung 6

DESTINASI

Tabel 3. Tabel Jalur Tempuh Melalui Jalan Nasional III Melalui JalanNasionalIII No 1

Jaluryang dilalui

JarakTempuh

Jalan rayapangalengan, jalan situ

180 km (5 jam 23 menit)

cileunca, jalanrayapangalengan, Tangu, Kebon kelapa, jalan pahlawan, dangdeur, jalan rayakamasan banjaran, jalan gandasari/kebun kelapa, jalan raya soreangkopo/jalan terusan kopo, jalan rayakopo sayati, jalan rayakopo, jalan keluartolpasir koja, jalan tolpadaleunyi, padalarang/cianjur/sukabumi, jalan nasionalIII, Jalan Parahyangan, Jalan nasionalIII, jalan rayacibogo, jalan mekargalih, jalanrayacariu, jalan raya jonggolcariu, 2

Jalan rayainpres, jalan merpati, jalan

1,1 km(4menit)

kramat utara, jalan H.Taiman ujung 11

ISSN 0853 – 4403


DESTINASI

3

Untuk

4.2 Penentun Lintasan Terpendek Menggunakan Aljabar Min-Plus

proyek diatas dapat diubah menjadi:

Pangalenganbandung menuju Pasar Induk Kramat jati, bersifat sekali jalan (onePerjalanan Pangalengan-Jakarta

dapatditempuhmelaluitigapilihanrute,yaitu melalui

Melalui

JalanTolCipularang,melalui

JalanRaya

Ciawi–Cianjur,danyang

terakhir

melaluiJalan NasionalIII.Setiapjaluryangdipilih,memilik iwaktu tempuhyangberbeda-beda. Ruteyang ditempuhakan dimodelkan kedalambentukjaringan

proyek

sehinggamemudahkanperhitungan pencarianjalurterpendekmenggunakan aljabar

min-

plus.Dalamjaringanproyekini,titikmenyatak anpersimpangan menyatakansuatu bobotbusur

jalan, jalan,

menyatakanwaktu

perhitungan

menggunakan aljabar min-plus, jaringan

Masalahpenentuanjalurterpendekrute

way).

memudahkan

busur sedangkan tempuh,

sehinggabobotbusur akan selalu bernilai positif.

12

ISSN 0853 – 4403


Jaringan proyek berbentuk graf dapat diubah menjadi bentuk matriks sebagai berikut: 𝐴

𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 24,01 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 13,29 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 5,7 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 6 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 125 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 4,5 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 1,5 𝜀 = 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 10 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 0,8 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 [ 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀

𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 43,8 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 1,1 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 20,4 𝜀 𝜀 𝜀 50,9 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀⁡⁡⁡ 𝜀 47,5 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 36,9 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 73 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 22,3 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 24 𝜀 ] perhitungan matriks𝐴∗ . Matriks 𝐴∗

Arti dari matriks tersebut adalah untuk

diperoleh

atau +∞. Dengan kata lain tidak ada rute

𝐴 ⊕′ 𝐴2 ⊕′ 𝐴3 ⊕′ … ⊕′ 𝐴16 . Penyelesaian

perjalanan pada graf tersebut. Rute tersebut dapat

dinyatakan

sebagai

dari

dari

𝐴∗ = 𝐴⊗(𝑘−1) =

matriks A pada baris 1 kolom 1 bernilai 𝜀

perhitungan

matriks

berukuran 16 kali 16 tersebut akan sukar

⁡𝐴(1,1) = 𝜀,

begitu pula seterusnya untuk baris dan

dilakukan

dengan

perhitungan

kolom yang lain.

sehingga akan dilakukan secara numerik menggunakan software scilab.

Untuk mendapatkan jalur optimal menggunakan Aljabar Min-Plus diperlukan

13

manual,

ISSN 0853 – 4403


n

dimana hal tersebut dapat disimpulkan Hasil perhitungan menggunakan

bahwa distribusi kentang dari Pangalengan-

software Scilab yang disinkronisasi dengan

Bandung menuju pasar Kramat Jati-Jakarta

toolbox MAXPLUSV16072014, diperoleh

ditempuh dengan jarak yang minimum yaitu

nilai-nilai yang optimal pada Matriks 𝐴∗,

166km. Dalam hal ini ditunjukkan pada 14

ISSN 0853 – 4403


matriks 𝐴∗ (16,1). Artinya rute awal berada

[2]

Andersen,

M.H.,

2002,

Max-Plus

di state 1 dan berakhir di state 16 dengan

Algebra:

Properties

And

jalur yang di lalui yaitu:

Applications, Master of Science in

Jalan raya pangalengan, jalan gandasari,

Mathematic Thesis Department of

jalan soreang kopo, jalan raya kopo sayati,

Mathematics, Laramie, WY. [3] John S. Baras and George

jalan raya kopo, jalan keluar tol pasir koja, jalan tol padaleunyi,

Theodorakopoulos. 2010. Path

padalarang/cianjur/sukabumi, jalan

Problems in Networks. Synthesis

nasional III, Jalan Parahyangan, Jalan

Lectures on Communication

nasional III, jalan raya cibogo, jalan mekar

Networks. Morgan & Claypool

galih, jalan rayacariu, jalan raya

Publishers. [4] Kentang Pangalengan dan Kertasari

jonggolcariu, Jalan raya inpres, jalan merpati, jalan kramat utara, jalan H.Taiman

Bandung Jadi Komoditi Ekspor,

ujung, DESTINASI

2013, www.fokusjabar.com. [5] Rudhito, Andy, 2013, Sistem Persamaan

5.KESIMPULAN

Linear Min-Plus dan Penerapannya

Kesimpulan yang diperoleh dalam penelitian

pada Masalah Lintasan Terpendek,

ini adalah:

Prosiding, FMIPA UNY Yogyakarta

1. Model sistem jaringan didasarkan pada

[6] Subiono, 2015, Aljabar Max Min-plus

model graf berarah yang perhitungan

dan Terapannya, Buku Ajar Aljabar

jalur terpendeknya disesuaikan dengan

Max-plus,

perhitungan aljabar min-plus

Nopember, Surabaya.

2. Jalur terpendek yang diperoleh untuk jalur distribusi kentang menggunakan perhitungan aljabar min-plus adalah sepanjang 166 km, diawali di Jalan Raya Pangalengan dan berakhir di Jalan H.Taiman Ujung.

6. DAFTAR PUSTAKA [1] Adzkiya, Dieky, 2009, Membangun Model Petri Net Lampu Lalu Lintas dan Simulasinya, Tesis Magister Matematika,

Istitut

Sepuluh

Nopember, Surabaya.

15

Institut

Sepuluh

ISSN WAHANA Volume 66, Nomor 1, 1 Juni 2016

Recommend Documents