íslicová technika Radek Ma ík
Ma ík Radek
1
íselné soustavy
a aritmetické operace
Ma ík Radek
2
P evody mezi soustavami (z 10) Výsledek dostaneme vy íslením z-adického ísla ve tvaru ady. (101,11)2 = 1.22 + 0.21 + 1.20 + 1.2-1 + 1.2-2 = (5,75)10 (276,4)8 = 2.82 + 7.81 + 6.80 + 4.8-1 = (190,5)10 (8E2,A)16 = 8.162 + 14.161 + 2.160 + 10.16-1 = = (2274,625)10 Ma ík Radek
3
P evody mezi soustavami (10 2) íslo p ed desetinnou árkou d líme dv ma a zapisujeme zprava doleva zbytky p i d lení: (364)10 = (101101100)2 182 91 45 22 11 5 2 1 Ma ík Radek
4
P evody mezi soustavami (10 2) íslo za des. árkou násobíme dv ma a zapisujeme zleva doprava p enosy p ed des. árkou: (0,364)10 = (0,01011101…)2 = (0,36328125)10 728 1,456 912 1,824 1,648 1,296 592 1,184 Ma ík Radek
5
P evody mezi soustavami (8
2)
íslo ve dvojkové soustav rozd líme od desetinné árky do t í lenných skupin: (11101100,11001)2 = (11 101 100 , 110 01)2 = = (354,62)8 Každou cifru v oktalové soustav zapíšeme jako trojciferné dvojkové íslo: (27,31)8 = (10 111,011 001)2 Jedna íslice soustavy o základu z = 2n odpovídá n íslicím binární soustavy Ma ík Radek
6
P evody mezi soustavami (16
2)
íslo ve dvojkové soustav rozd líme od desetinné árky do ty lenných skupin: (101101100,101101)2 = (1 0110 1100 , 1011 01)2 = (16C,B4)16 Každou cifru v hexadecimální soustav zapíšeme jako ty ciferné dvojkové íslo: (E7,1A)16 = (1110 0111,0001 101)2 Ma ík Radek
7
Logické funkce - sou in S2
S1 0 = open 1 = closed
0 = open 1 = closed
L 0 = off 1 = on
S1 0 0 1 1
S2 0 1 0 1
L 0 0 0 1
(b) pravdivostní tabulka
(a) Obvod Dva spína e v sérii Ma ík Radek
8
Logické funkce - sou et S1
S2
L
S1 0 0 1 1
S2 0 1 0 1
L 0 1 1 1
(b) Pravdivostní tabulka (a) Obvod Dva paralelní spína e Ma ík Radek
9
Úplný soubor logických funkcí sou in + negace negovaný sou in sou et + negace ...
Ma ík Radek
10
Schematické zna ky podle SN
Ma ík Radek
11
Nonekvivalence A B
=1
Y
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y 0 1 1 0
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y 1 0 0 1
Ekvivalence A B
=1
Y
Ma ík Radek
12
a,b
00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
Všechny funkce dvou prom nných 01 10 11 0 0 0 f=0 nulová funkce 0 0 1 f = ab log. sou in 0 1 0 f = ab´ 0 1 1 f=a identita a 1 0 0 f =a´b 1 0 1 f=b identita b 1 1 0 f = a´b+ab´ nonekvivalence 1 1 1 f = a+b log. sou et 0 0 0 f = a´b´ 0 0 1 f = ab+a´b´ ekvivalence 0 1 0 f = b´ negace b 0 1 1 f = a+b´ 1 0 0 f = a´ negace a 1 0 1 f = a´+b 1 1 0 f = a´+b´ 13 1 1 1Ma ík Radekf = 1
Ma ík Radek
14
Booleova algebra ZákonyBooleovy algebry Vyjád ení logických funkcí pravdivostní tabulka logický výraz mapa
Ma ík Radek
15
Základní zákony Booleovy algebry (8 axiom ) 1. komutativita:
a + b = b + a,
a.b = b.a
2. asociativita: a + (b + c) = (a + b) + c, 3. distributivita: a + (b.c) = (a + b).(a + c), 4. neutralita 0 a 1: a + 0 = a, 5. vlastnosti komplementu: a a 1 a 0 0, 6. agresivita 0 a 1 : 7. idempotence a a a, a a b a, 8. absorbce
Ma ík Radek
a.(b.c) = (a.b).c a.(b + c) = (a.b) + (a.c) a.1 = a
aa a 1 a a a a
0 1 a b
a
16
Odvozené zákony a a, dvojí negace a a b ab absorbce negace a a b a b , a b a b, ab a b de Morgan ab a c bc ab a c , a b a c b c consensus
Ma ík Radek
a b a c
17
P íklad aplikace zákon Booleovy algebry Nalezn te MNDF funkce f zadanou Booleovým výrazem: f = a d + b c d + a b (c +d) + b c d Distributivní zákon:
f = a d + b c d + a b c +a b d + b c d
zákon absorbce negace:
{ a d + a b d = d( a + b) }
f = ad+ bcd+a bc+ bd+ b c d
Absorbce negace:
{ b d + b c d = b (d + c) } f = ad+ bcd+a bc+ bd+ b c
Absorbce negace:
{ a b c + b c = b( c + a) } f = ad+a b + bcd+ b d+ b c
Absorbce:
f = ad+a b + b d+ b c
consensus:
f = ad + a b
+ b c
Ma ík Radek
a to je MNDF 18
Zákon negace zobecn ný zákon negace (logické funkce) : F (a , b , ... , z , 0 , 1 , , ) F( a , b , ... , z , 1 , 0 , , )
Vyjád ení logické funkce slovní popis algebraický výraz tabulka mapa jednotková krychle Ma ík Radek
19
Algebraický (Booleový) výraz p edstavuje funkci nad B. Jednu funkci lze popsat více výrazy. Používá se standartní (kanonický) tvar. Tento tvar se též n kdy nazývá normální formou. term - výraz tvo ený pouze prom nnými v p ímém a negovaném tvaru a operací logického sou tu nebo sou inu P-term (sou inový term) - term s operací sou inu S-term (sou tový term) - operace sou tu minterm - P-term obsahující všechny nezávislé prom nné maxterm - S-term obsahující všechny nezávislé prom nné vstupní písmeno - kombinace hodnot vst. prom nných Ma ík Radek
20
Každou log. funkci je možno vyjád it pomocí sou tu minterm nebo sou inu maxterm Každý minterm (resp. maxterm) nabývá hodnoty log1 (resp. log0) práv pro jedno vstupní písmeno dané log. funkce Stavový index - desítkový zápis kombinace hodnot nezávisle prom nných Úplná normální disjunktní forma (UNDF) log. výraz tvo ený sou tem všech minterm Úplná normální konjunktivní forma (UNKF) - log. výraz tvo ený sou inem všech maxterm . Ma ík Radek
21
Pravdivostní tabulka se všemi mintermy a maxtermy
UNDF: f (c , b , a ) c ba UNKF: f (c , b , a ) c b Seznam stavových index f (c , b , a )
c b a cb a cb a
a c b a c b a c b a
(zkrácený tabulkový tvar):
(1, 2, 4, 6)
(0, 3, 5, 7)
Ma ík Radek
22
UNDF obsahuje tolik minterm , kolik je po et vstupních písmen, pro které nabývá uvažovaná logická funkce hodnoty 1 UNKF obsahuje tolik maxterm , kolik je po et vstupních písmen, pro které nabývá uvažovaná logická funkce hodnoty 0 Vytvo ení UNDF z UNKF - roznásobením UNKF z UNDF ur íme dopln k množiny minterm s hodnotou 1 pro p íslušná vstupní písmena ur íme maxtermy UNKF je sou in t chto maxterm
Ma ík Radek
23
Algebraické výrazy nabývají ady forem, které nejsou ist disjunktivní nebo konjunktivní. Nazýváme je smíšené formy. Disjunktivní nebo konjunktivní formou m žeme popsat všechny výrazy - používá se pro minimalizaci Tyto formy lze snadno transformovat do Shefferovy algebry (samé NANDy) nebo Pierceovy algebry (samé NORy)
Ma ík Radek
24
Vénovy diagramy A ab´c´ ab´c C
a´b´c
abc a´bc
a´b´c´ abc´ a´bc´
B
Mapa je Vén v diagram, kde jednotlivé oblasti mají tvar obdélník Ma ík Radek
25
Mapy Svobodova
Ma ík Radek
26
Tabulka Grayova kódu Ma ík Radek
27
Ma ík Radek
28
Rozší ení Svobodovy a Karnaughovy mapy
Ma ík Radek
29
