is5arto.staff.ugm.ac.id

Statistika Analisis Data Time Series

13-Sep-16 h2p://is5arto.staff.ugm.ac.id

Universitas Gadjah Mada Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan Prodi Pascasarjana Teknik Sipil

1

•  Haan, C.T., 1982, Sta+s+cal Methods in Hydrology, 1st Ed., 3rd Prin5ng, The Iowa State Univ. Press, Ames, Iowa, USA. •  Chapter 14, pp 275-288

13-Sep-16

•  Acuan

h2p://is5arto.staff.ugm.ac.id

Analisis Data Time Series

2

•  Data yang diperoleh dari operasi (observasi, pengukuran, eksperimen) urut menurut waktu •  Data 5me series berupa •  hasil observasi atau pengukuran pada waktu-waktu tertentu (diskrit) •  hasil perata-rataan pada suatu selang waktu •  hasil observasi atau pengukuran secara menerus (kon5nu)

•  Sekumpulan 5me series adalah himpunan dari sejumlah 5me series hasil pengukuran variabel yang sama •  Time series tunggal disebut realisasi •  Kelompok 5me series beranggota sejumlah realisasi

13-Sep-16

•  Time series data


Data Time Series

3

•  peris5wa atau kejadian yang bersifat determinis5k •  peris5wa atau kejadian yang bersifat stokas5k •  campuran peris5wa atau kejadian determinis5k+stokas5k

•  Data 5me series hidrologi •  umumnya berupa data komponen stokas5k yang disuperposisikan pada data komponen determinis5k •  contoh •  temperatur udara harian menunjukkan pola musiman (komponen determinis5k) dan perubahan atau fluktuasi dari pola musiman, yang bersifat random (acak)

13-Sep-16

•  Data 5me series dapat berasal atau bersusun dari


Data Time Series

4

komponen stokas5k komponen periodik

data 5me series hidrologi

komponen pola kecenderungan komponen determinis5k

komponen loncatan komponen gabungan periodik+pola+loncatan


13-Sep-16

Data Time Series

5


Contoh data 5me series yang terdiri dari komponen stokas5k dan determinis5k

6

•  Perubahan DAS yang berlangsung selama beberapa tahun à memunculkan perubahan pola debit aliran permukaan •  Perubahan lingkungan secara alamiah dan perlahan atau perubahan lingkungan akibat ulah manusia dapat menimbulkan perubahan pola data 5me series

•  Loncatan (jump)

•  Bencana alam (gempa, kebakaran hutan) •  Pembendungan aliran sungai oleh dam

•  Periodik

•  Faktor astronomis •  Periodik yang bersifat tahunan, bulanan, mingguan

13-Sep-16

•  Pola, kecenderungan (trend)


Data Time Series Deterministik

7

•  Data yang diperoleh dari pengamatan atau pengukuran pada waktu-waktu tertentu yang dipisahkan menurut waktu Δt •  Data yang diperoleh dari pengamatan nilai atau variabel yang merupakan fungsi waktu, yang terjadi pada waktu Δt •  hujan rerata bulanan (Δt = 1 bulan) •  debit puncak tahunan (Δt = 1 tahun) •  hujan harian (Δt = 1 hari)

•  Kon5nu

•  Data yang diperoleh dari pengamatan atau pengukuran secara menerus (kon5nu) •  muka air dari AWLR •  curah hujan dari ARR

•  Walaupun data kon5nu, tetapi dalam analisis, data dibaca pada waktu-waktu tertentu

•  curah hujan dibaca per selang waktu tertentu, misal se5ap 5 menit •  curah hujan dibaca pada data puncak, selang waktu antar data 5dak beraturan

13-Sep-16

•  Diskrit


Skala Waktu

8


13-Sep-16

AWLR dan ARR

Automa5c Water Level Recorder, AWLR Automa5c Rainfall Recorder, ARR

9


Data Muka Air Sungai

Automa5c Water Level Recorder, AWLR

Untuk analisis, data dibaca se5ap jam (Δt = 1 jam) atau se5ap muka air ekstrem (pasang ter5nggi dan surut terendah)

10


Data Curah Hujan, ARR

Automa5c Rainfall Recorder, ARR

11

•  Selang waktu konstan, Δt konstan •  Data 5me series 5dak selalu merupakan fungsi waktu, namun dapat pula data hasil pengamatan atau pengukuran dalam fungsi yang lain, misal fungsi jarak/ruang (spa+al) •  data lebar sungai di se5ap tampang lintang •  lebar sungai adalah variabel random •  jarak tampang lintang adalah variabel ruang

•  Variabel random dalam data 5me series •  Variabel random kon5nu

•  kedalaman (volume) hujan per hari

13-Sep-16

•  Yang dibahas pada bab ini


Skala Waktu

•  Variabel random diskrit

•  hari hujan (1) dan hari 5dak hujan (0) per hari

12

•  pdf X(t):

X(t) p(x;t) à perilaku probabilis5k X(t) pada waktu t

•  Jika sifat-sifat suatu 5me series 5dak berubah terhadap waktu, maka 5me series tersebut disebut proses permanen (sta+onary) •  Time series permanen: p(x;t1) = p(x;t2), t1 ≠ t2 •  Time series tak-permanen: p(x;t1) ≠ p(x;t2)

13-Sep-16

•  Proses stokas5k:


Proses Stokastik

13

•  realisasi tunggal selama suatu selang waktu à dikenal sebagai +me average proper+es •  beberapa realisasi pada waktu tertentu à dikenal sebagai ensemble proper+es

•  Apabila +me average proper+es = ensemble proper+es, maka 5me series tsb memiliki sifat ergodic

13-Sep-16

•  Sifat-sifat 5me series dapat diperoleh dari atau didasarkan pada


Proses Stokastik

14

1 Xi = T

T

∫ X (t)dt 0 n

i

1 X i = ∑ X i (t j ) n j=1 !

ensemble average pada waktu t

1 m X(t) = ∑ X i (t) m i=1 !

X(t) =

∞

∫ X(t)p(x;t)dx

−∞

13-Sep-16

+me average proper+es realisasi ke-i selama selang waktu 0 s.d. T


Proses Stokastik

15

proses stokas5k bersifat permanen untuk nilai rerata (sta+onary in the mean, first-order sta+onary)

1 m Cov(X(t),X(t + τ)) = ∑ X i (t)− X(t) X i (t + τ)− X(t + τ) m i=1 !

(

)(

)

kovarian X(t) dan X(t+τ) jika τ = 0 à varian 5me series

Jika proses stokas5k memiliki sifat permanen (sta+onary) untuk nilai rerata dan kovarian, maka 5me series tsb memiliki sifat second-order sta+onary.

13-Sep-16

!X(t) = X(t + τ), ∀ t dan τ


Proses Stokastik

16

•  nilai rerata waktu (+me average mean) sama dengan nilai rerata bersama (ensemble average) •  hal di atas berlaku pula untuk nilai-nilai rerata waktu yang lain, 5dak hanya mean

•  Oleh karena itu •  sifat-sifat proses random (stokas5k) permanen dapat diukur dari data historis tunggal (realisasi tunggal) •  kadang, data 5me series realisasi tunggal dipecah menjadi beberapa 5me series pendek

13-Sep-16

•  Untuk 5me series yang bersifat ergodic


Proses Stokastik

17

1 Xi = T

T

∫ X (t)dt 0 n

i

1 X i = ∑ X i (t j ) n j=1 !

nilai rerata, realisasi tunggal, variabel random kon5nu nilai rerata, realisasi tunggal, variabel random diskrit

1 T−τ Cov(X i (t),X i (t + τ)) = X i (t)− X i X i (t + τ)− X i dt ∫ T −τ 0

var random kon5nu

1 n Cov(X i (t),X i (t + τ)) = ∑ X (t )− Xi Xi (t j + τ)− Xi n−1 j=1 i j !

var random diskrit

(

(

)(

)(

)

)

13-Sep-16

•  Untuk suatu proses random dengan realisasi tunggal, i = 1


Proses Stokastik

18

ρ(τ) = !

(

)

Cov X(t),X(t + τ)

( )

Var X(t)

•  Untuk τ = 0, maka ρ(τ) = 1 karena Cov(X(t),X(t+τ)) = Var(X(t)) •  Jika τ kecil, maka ρ(τ) posi5f Jika τ bertambah besar, maka ρ(τ) nega5f

13-Sep-16

•  Yang dibahas adalah 5me series ergodic, sehingga hanya diperlukan realisasi tunggal, i = 1 saja •  Autokorelasi (autocorrela+on), ρ(τ)


Autokorelasi

19


•  Plot fungsi autokorelasi vs selang waktu τ disebut korelogram

13-Sep-16

Autokorelasi

stokas5k

stokas5k+periodik

20

•  berguna untuk mengetahui jika data yang berurutan tersebut independent •  jika korelogram menunjukkan adanya korelasi yang kuat antara X(t) dan X(t+τ), maka data 5dak independent

•  Autokorelasi dengan demikian

•  menunjukkan “memori” proses stokas5k •  jika ρ(τ) = 0, proses dikatakan 5dak memiliki memori terhadap kejadian sebelum t – τ •  pada prinsipnya untuk sebagian besar proses random, ρ(τ) haruslah sama dengan nol untuk τ besar •  jika ρ(τ) untuk τ besar menunjukkan suatu pola yang 5dak sama dengan nol, maka hal ini mengindikasikan suatu komponen determinis5k

13-Sep-16

•  Korelogram


Autokorelasi

21

!τ = k Δt •  Δt adalah panjang selang waktu, misal 1 hari, 1 bulan, 1 tahun, dsb.

13-Sep-16

•  Untuk skala waktu diskrit, fungsi autokorelasi menjadi ρ(k), k adalah jumlah selang waktu yang memisahkan X(t) dan X(t+τ) •  Hubungan antara τ dan k


Autokorelasi

22

•  proses disebut sebuah proses random murni •  hal ini menunjukkan data saling linearly independent

•  Jika ρ(k) ≠ 0 untuk sejumlah k ≠ 0 •  data yang terpisah k Δt adalah dependent •  proses disebut sebuah proses random

•  Jika sebuah 5me series bersifat tak permanen (nonsta+onary) •  ρ(k) ≠ 0 untuk semua k ≠ 0 karena adanya komponen determinis5k •  Jika komponen determinis5k 5dak dihilangkan terlebih dulu, maka kita 5dak dapat menentukan sampai seberapa jauh ρ(k) ≠ 0 akan dipengaruhi oleh komponen determinis5k

13-Sep-16

•  Jika ρ(k) = 0 untuk semua k ≠ 0


Autokorelasi

23

•  Time series dalam domain waktu

•  Analisis spektral

•  Time series dalam domain frekuensi

•  Time series

•  Sampel dari suatu populasi yang dicirikan oleh keragaman dalam suatu spektrum frekuensi kon5nu •  Sampel random dari suatu proses menurut waktu, temporal (atau ruang, spa+al) yang tersusun dari oskilasi semua frekuensi yang mungkin terjadi

13-Sep-16

•  Autokorelasi


Analisis Spektral

24

•  Analisis spektral

•  Spektrum keragaman (a variance spectrum) à membagi keragaman (variance) menjadi sejumlah rentang frekuensi •  Variabel yang umumnya dipakai dalam analisis adalah kerapatan spektral (spectral density) •  Spectral density •  jumlah varian per rentang frekuensi

•  Beberapa is5lah, variabel •  •  •  • 

Frekuensi, f [T−1] Frekuensi sudut (angular frequency), ω [rad T−1] Periode, T atau p [T] Spectral density, S

2π 2π = = 2πf T p S(ω) S( f ) = 2π ! ω=


13-Sep-16

Analisis Spektral

25

∞

(

)

∞

(

)

S( f ) = ∫ ρ(τ)exp −i 2πf τ dτ = 2 ∫ ρ(τ)cos 2πf τ dτ −∞ 0 ! §  Transformasi Fourier ∞

(

)

ρ(τ) = ∫ S( f )cos 2πf τ d f −∞ ! §  Untuk τ = 0, ρ(0) = 1 dan cos(0) = 1 yang menunjukkan bahwa: ∞

∫ S( f ) d f =1

!−∞

S(f) dapat dipandang sebagai probability density func+on (pdf) yang memberikan kontribusi terhadap varian tak berdimensi (normalized variance) dalam rentang frekuensi dari f1 s.d. f2.

13-Sep-16

§  Hubungan antara fungsi kerapatan spektral dan fungsi autokorelasi


Analisis Spektral

26

f2

∫ S( f ) d f

! f1

•  Jika autokorelasi dihitung sbg Cov(X(t), X(t+τ)), maka ρ(0) = Var(X(t)) Ingat: autokorelasi ρ(τ) =

!

(

)

Cov X(t),X(t + τ)

( )

Var X(t)

13-Sep-16

•  Kontribusi terhadap varian yang diberikan oleh S(f)


Analisis Spektral

27

•  Umumnya berupa tabel variabel sebagai fungsi waktu •  Selang waktu adalah diskrit, bukan kon5nu •  Oleh karena itu •  Spektral harus disesuaikan untuk mengakomodasikan sejumlah diskrit frekuensi; kepada frekuensi inilah varian akan didistribusikan

•  Untuk data yang diukur pada selang waktu Δt seragam •  Oskilasi data yang memiliki frekuensi ter5nggi yang dapat memberikan informasi mengenai data tsb adalah oskilasi data yang memiliki frekuensi sbb:

!

fN =

1 2Δt

Frekuensi Nyquist

13-Sep-16

•  Data 5me series hidrologi


Analisis Spektral

28

•  dihitung dengan memakai r(k) dan integrasi persamaan S(f) m−1 & ) ˆS!( f ) = Δt (r(0)+2∑r(k)cos(2πkf Δt)+r(m)cos(2πmf Δt)+ (' +* k=1 !

•  m adalah jumlah maksimum lag korelasi {jumlah maksimum selang waktu untuk menghitung r(k)} •  m sebaiknya 5dak melebihi 10% s.d. 25% jumlah data pada sampel •  persamaan di atas dipakai untuk menghitung kerapatan spektral sampel untuk frekuensi: kf

!

f=

N

m

13-Sep-16

•  Kerapatan spektral sampel


Analisis Spektral

29

•  Nilai es5masi kerapatan spektral adalah: ˆ = 0.5 Sˆ!(0)+ Sˆ!( f m) S(0) N !

(

)

ˆ S(kf m) = 0.25 Sˆ!((k −1) fN m)+0.5 Sˆ!(k fN m)+0.25 Sˆ!((k +1) fN m) N !

ˆ f ) = 0.5# Sˆ!((m−1) f m)+ Sˆ!( f )% S( $ N N & ! N

k =1,2,...,m−1

13-Sep-16

•  Nilai kerapatan spektral sampel tersebut perlu dihaluskan


Analisis Spektral

30

31


13-Sep-16

32


13-Sep-16

33


13-Sep-16

34


13-Sep-16

35


13-Sep-16

36


13-Sep-16

37


13-Sep-16

is5arto.staff.ugm.ac.id

Recommend Documents