ÌÖØÐÓÑÝÞ ÌÖØÐÓÑÝÞ ½º ÅÌÄ ½ ½º½º ÅÌÄ ØØÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º½º½º Å ÅÌÄ º º º º º º º º º º º º º º º º º

Dinamikus modellek jegyzet

dr. Balla Katalin

1

egyetemi tanár

Készült a BKÁE V. éves hallgatói számára

2003

1 MTA

Számításte hnikai és Automatizálási Kutató Intézete, Operá iókutatás és Döntési Rend-

szerek Laboratórium Miskol i Egyetem, Gépészmérnöki Kar, Matematikai Intézet, Analízis tanszék Budapesti Közgazdaságtudományi és Államigazgatási Egyetem, Gazdasági Döntések kihelyezett tanszék

Tartalomjegyzék

Tartalomjegyzék 1. MATLAB

1.1. MATLAB áttekintés . . . . . . . . . . 1.1.1. Mi a MATLAB ? . . . . . . . . 1.1.2. A MATLAB mint rendszer . . . 1.1.3. MATLAB dokumentá ió . . . . 1.2. MATLAB fejleszt®i környezet . . . . . 1.2.1. A MATLAB indítása és kilépés 1.2.2. A MATLAB asztal . . . . . . . 1.2.3. Eszközök az asztalon . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a MATLAB - ból . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Kamatpolitikák. Befektetési modellek. I.

2.1. Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. A modellek alapjellemz®i . . . . . . . 2.1.2. Példák . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Els®rend¶ dieren iaegyenlet. . . . . . . . . . 2.2.1. Els®rend¶ lineáris dieren iaegyenlet. 2.3. M¶veletek MATLAB -ban . . . . . . . . . . 2.3.1. Mátrixok megadása . . . . . . . . . . 2.3.2. M¶veletek mátrixokon 1. . . . . . . . 2.3.3. Kifejezések . . . . . . . . . . . . . .

3. Kamatpolitikák. Befektetési modellek II. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4.

Programelemzés . . . . . . . . . . . . . . . Szemléltet® diagramok . . . . . . . . . . . A pókháló diagram szerkesztése . . . . . . Mit olvashatunk le a pókháló diagramról? .

4. A kereslet-kínálati modell. I.

. . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

1 1 1 2 3 3 3 3 4

6

6 6 7 8 9 11 11 11 11

13 13 13 14 14

16

4.1. Autonóm egyenletek tulajdonságai. I. Az egyensúlyi pont fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.2. Kereslet-kínálati rendszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2.1. A termékárazási modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.2.2. Lineáris modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5. A kereslet-kínálati modell. II.

19

5.1. Árak alakulása a kereslet-kínálati modellben . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.2. A közgazdaságtan pókháló tétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Tartalomjegyzék 5.3. Autonóm egyenletek tulajdonságai. II. Egyensúlyi helyzet stabilitása, aszimptotikus stabilitása 5.3.1. A stabilitás fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2. Els®rend¶ kritérium . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3. Másodrend¶ kritériumok . . . . . . . . . . . . . 5.4. Lineáris els®rend¶ autonóm rendszer stabilitása . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

20 20 20 20 21

6. Autonóm egyenletek tulajdonságai. III.

22

7. Magasabbrend¶ dieren iaegyenletek. I.

24

8. Magasabbrend¶ dieren iaegyenletek. II.

29

9. Magasabbrend¶ dieren iaegyenletek. III.

33

10. Magasabbrend¶ dieren iaegyenletek. IV.

37

6.1. A lineáris termékárazási modell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6.2. Periodikus pontok és iklusok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7.1. A lineáris ak elerátor-multiplikátor modell. I. . . . . . . . . . . . . . . . . 24 7.2. A k-adrend¶ lineáris dieren iaegyenlet. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 7.2.1. Homogén egyenlet I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

8.1. A k-adrend¶ lineáris dieren iaegyenlet. II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 8.1.1. Homogén egyenlet II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 8.2. A lineáris ak elerátor-multiplikátor modell. II. . . . . . . . . . . . . . . . . 31

9.1. A k-adrend¶ lineáris dieren iaegyenlet. III. . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 9.1.1. Inhomogén egyenlet I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 9.2. A lineáris ak elerátor-multiplikátor modell. III. . . . . . . . . . . . . . . . 35 10.1. A k-adrend¶ lineáris dieren iaegyenlet. IV. . . . 10.1.1. A megoldások aszimptotikus viselkedése . 10.2. Inhomogén lineáris másodrend¶ dieren iaegyenlet 10.3. A lineáris a

elerátor-multiplikátor modell. IV. . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . állandó jobboldallal . . . . . . . . . . . .

11. Lineáris els®rend¶ dieren iaegyenlet-rendszerek. I. 11.1. 11.2. 11.3. 11.4.

Egy külkereskedelmi modell . . . . . . . . . Dieren iaegyenlet rendszerek . . . . . . . Lineáris rendszerek változó együtthatókkal Inhomogén lineáris rendszer . . . . . . . . .

12. Lineáris dieren iaegyenlet rendszerek. II.

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

37 37 39 40

41 41 42 43 45

46

12.1. A k-adrend¶ egyenlet átírása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 12.2. Id®invariáns dieren iaegyenlet rendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 12.3. A külkereskedelmi modell stabilitása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

MATLAB

1

1. el®adás MATLAB 1.1. MATLAB áttekintés 1.1.1. Mi a MATLAB ? A MATLAB

r egy

magas-szint¶ programozási nyelv, amelyet els®sorban számítá-

sok végzésére dolgoztak ki.

Lehet®vé teszi, hogy a számításokat, a megjelenítést

és ezek programozását egy könnyen kezelhet® környezetben végezzük, ahol maga a probléma lényegében a szokványos matematikai jelöléssel adható meg. A MATLAB rendszerén belül a következ® feladatok végezhet®k el (nem teljes felsorolás):

matematikai m¶veletek (szimbolikusan) és számítások,

algoritmusok felépítése,

adatok be- és kivitele, feldolgozása, megjelenítése,

modellezés, szimulá ió

graka kezelés

spe iális alkalmazási témakörökhöz kiegészít® programok készítése illetve satolása, beleértve a felhasználói felület kialakítását is.

A MATLAB (ami a mátrix laboratórium kifejezés rövidítése) - interaktív rendszer. A f® adateleme a

tömb (`array'), amit nem kell el®re méretezni.

A MATLAB fels®oktatási környezetben jól használható a matematikai tárgyak és az egyéb tudományos és mérnöki ismeretek oktatásában. Ipari, gazdasági környezetben segíti a hatékony kutatást, fejlesztést és az elemz® munkát. A MATLAB ma már egy komplex rendszer alapeleme, amibe a MATLAB lehet®ségeit kihasználó és kiegészít® alkalmazás-spe ikus feladatmegoldó eszköztárak (`toolbox') tartoznak, pld. jelfeldolgozó, irányításelméleti, pénzügyi, neurális hálók, szimulá iós, dieren iálegyenlet megoldó, stb. eszköztár.

MATLAB

MATLAB

2

1.1.2. A MATLAB mint rendszer Öt részb®l áll:

A

MATLAB fejleszt®i környezet eszközei

segítségével használhatóvá válnak a

MATLAB függvényei és fájljai. Közülük több grakus felhasználói felületen keresztül érhet® el. A fejleszt®i környezetbe tartozik

a MATLAB asztal (desktop),

a paran sablak ( ommand window),

a paran s múlt ablak ( ommand history),

a szerkeszt® és tesztel® (editor and debugger),

keres®k a súgóhoz, a munkaterületekhez, a fájlokhoz és az elérhet® utakhoz.

A

MATLAB matematikai függvénykönyvtár, ami számítási eljárások gy¶jtemé-

nye. ezek közé tartoznak az elemi m¶veletek, mint pld. valós és komplex aritmetikai m¶veletek, számok összegzése, a különféle transz endens függvények, mint a szinusz vagy a logaritmus, a bonyolultabb feladatok megoldása, mint pld. mátrix invertálása, egyenletrendszer megoldása, gyors Fourier transzformá ió.

A

MATLAB nyelv,

ami mátrix(tömb) orientált nyelv, az utasítások, függ-

vények, adatok kezelésének folyamatának el®írására használható.

Módot ad

objektum-orientált programozásra is. Épp úgy alkalmas próba(teszt)-programok írására, amivel egy kis feladat megoldását gyorsan, könnyedén megkaphatjuk, anélkül, hogy különösebben kinomult eszközöket vetnénk be, de nagy, komplex alkalmazási feladatok programjai is megírhatók vele.

A graka alkalmas mátrixok, vektorok, adatrendszerek feliratokkal megjelölt, testreszabott megjelenítésére és nyomtatására. Két- és háromdimenziós ábrázolás, képfeldolgozás, grakák bemutatása, animá iója is készíthet®. Eszköztára az az egyedi grakák kezelését és grakus felhasználói felület kialakítását is támogatja.

A

MATLAB alkalmazási program satlakoztató

(Appli ation Program Inter-

fa e, API) a C és a Fortran nyelven írt programok beilleszthet®ségét teszi lehet®vé, de ezzel valósítható meg MATLAB behívása is más rendszerekb®l, pld. bemutatókon a Powerpointból, vagy a MATLAB különféle adatrendszereinek átadása/átvétele más programrendszerekbe.

1.1. MATLAB áttekintés

MATLAB

1.1.3.

3

MATLAB dokumentá ió

Nyomtatott dokumentá ió

Összefoglaló kezd®knek (`Getting started with MATLAB ') - ennek alapján indultunk mi is;

Témakörönként vaskos ismertet®könyvek

On-line súgó

Témakörönkénti leírások

Témakörönkénti referen ia anyagok

Példák, bemutató programok

Megjegyzések a verzió újdonságairól és ismert hibáiról

Az on-line súgó részleteiben és teljes egészében kinyomtatható, használatát kul sszó és témakör szerinti keres® segíti.

1.2. MATLAB fejleszt®i környezet 1.2.1.

A MATLAB indítása és kilépés a MATLAB - ból

Belépés: Windows asztalon a MATLAB ikonjára kattintva Kilépés:

File menü Exit MATLAB

vagy

quit utasítás kiadásával a paran sablakban. A szükséges mentéseket el®bb el kell végezni!

1.2.2.

A MATLAB asztal

Fontosabb gombok m¶ködése:

Current dire tory Workspa e Start (fa- szerkezet¶ változat a `laun h pad'-on) ?

1.2. MATLAB fejleszt®i környezet

MATLAB

4

Az asztal eszközei a menü

Preferen es

1.2.3.

View menüvel nyithatók, zárhatók le.

Egyéb beállítások a

File

fül nyitásával.

Eszközök az asztalon

A paran sablak ( ommand window) A MATLAB `prompt' (rendelkezésre állás jele):

Megadhatók a változók, elindítható a függvények futása elindítható létez® M-fájlok (utasítás sorozatot tartalmazó fájlok)futása

Az ans= eredményjelzés Küls® program indítása A paran s múlt ablak ( ommand history) Az ablakban a már végrehajtott paran sok listáját látjuk. Kiválasztott részletei másolhatók, újra végrehajthatók, M-fájlba átvihet®k (egér jobb gomb). Az ülés inputja és outputja a

`diary' függvénnyel menthet®.

A súgó keres®je (help browser) Nyitható a ? gombbal vagy

helpbrowser

utasítás

kiadásával a paran sablakban. Paneljei: a Navigator és a Megjelenít®. Keresés a paran sablakból:

`do ' fugg paran

sal - részletes

informá ió a fugg nev¶ függvényr®l

`help' fugg paran

sal - rövid informá ió a fugg nev¶ függvényr®l Az aktuális könyvtár keres®je ( urrent dire tory browser) és mez®je listán lév® fájl felismerése kivonat alapján, megnyitása keresés tartalom alapján a táv s® segítségével Az elérhet® útvonalak listája, változtatása Futtatás sak az aktuális könyvtárból vagy az elérhet® útvonalak listáján lév® könyvtárakból lehetséges. menü

Set Path

A lista megtekinthet® vagy változtatható a

fül nyitásával, vagy a paran sablakból:


File

MATLAB

5

`path' `addpath' `rmpath' paran

sal. A munkaterület keres®je (workspa e browser) A munkaterület tartalmazza a MATLAB -ülés alatt bevezetett vagy számított, tárolt változókat (névvel ellátott tömböket). Az ülés végeztével a munkaterület

File menü Save Workspa e As fülén menthet® egy ún. `.mat' típusú fájlba, ez visszanyerhet® a File menü Import Data fülén keresztül. Munka közben törölhet® az Edit menü Delete fülén. Ugyanezek a funk iók megvalósíthatók a paran sablakból is, a `save' , `load' ` lear' ,`delete' utasítással. A keres® listáján lév® tömb nevére kattintva megjelenik a

törl®dik. Szükség esetén a

tömbszerkeszt® ablaka, benne a tömb tartalma megtekinthet®, változtatható. A szerkeszt®/hibakeres® (editor/debugger) Programok, azaz utasítás sorozatokat tartalmazó `.m' típusú fájlok létrehozására (írására) és tesztelésére szolgál. Teszteléshez megállási pontok jelölhet®k ki és a változó értéke megtekinthet® a kurzor ráállításával. A fejleszt®i környezet tartalmaz még

a hatékonyság növelésére használható funk iót (Proler),

adatfogadó és küld® funk iót (Importing and Exporting Data)

jegyzetkészít® funk iót (szövegszerkeszt®, pld. Mi rosoft Word-b®l futhat a MATLAB és az eredmény is odakerül)

más programrendszerekhez satlakoztató funk iót,

de ezekkel nem foglalkozunk.


Kamatpolitikák. Befektetési modellek. I.

6

2. el®adás Kamatpolitikák. Befektetési modellek. I. 2.1. Bevezetés Ezek a feladatok megjelennek

az egyszer¶ pénzintézeti m¶veletek során, így

letétek kezelésekor

folyószámla vezetésekor

hitelügyleteknél

nyugdíjpénztári számlakezelésben, stb.

sok más közgazdasági modellben.

2.1.1. A modellek alapjellemz®i 1. Id®ben változó folyamatokat tükröznek (a) az id®változó diszkrét, rögzített mértékegysége év, hó, hét, nap (törtrészeinek kezelésére el®írások adhatók) (b) az id®változó folytonos (ez már tartalmaz egy egyszer¶sítést) - erre sak utalni fogunk. 2. A folyamatra jellemz® mennyiségek közötti összefüggéseket - a befektetési vagy banki politikát - el®re ismerjük.

Fn+1 = f (n; F0 ; F1 ; :::; Fn ; ) 3. A folyamat véges id® alatt lejátszódik, egy (vagy néhány) id®pontban ismerjük a mennyiségek egy részét. pld.

Befektetések

F0 ; FN


7

2.1.2. Példák 1. Egyszer¶ letétkezelés. A kezelés díja rendszeresen zetend®, állandó.

Induló összeg:

F0 ;

kezelési díj:

A letétkezelés szabálya: Következtetésekhez:

b:

Fn+1 = Fn

Fn = F0

b:

nb:

2. Egyszer¶ t®késítés. Minden idõszak végén (a következõ kezdetére) kamatjóváírás. A kamatot nem tõkésítik.

Induló összeg:

F0 ;

kamat:

r Fn+1 = Fn + rF0 :

A betétnövekedés szabálya: Következtetésekhez:

Fn = F0 (1 + nr)

3. Rendszeres t®késítés. Minden idõszak végén (a következõ kezdetére) kamatjóváírás. A kamatot tõkésítik.

Induló összeg:

F0 ;

kamat:


r Fn+1 = Fn (1 + r)

Fn = F0 (1 + r)n

4. Rendszeres tõkésítés és változó számlaforgalom. Terhelések és jóváírások idejének kompromisszuma.

Induló összeg:

F0 ;

kamat:


r;

bk Fn (1 + r) + bn+1 (Fn + bn+1 ) (1 + r)

forgalom:

(

Fn+1 =

nin s képlet

bn+1 > 0 ha bn+1 0 ha

5. Egyenleg összegétõl függõ kamatláb

Induló összeg:

forgalom:

2.1. Bevezetés

F0 ; kamat: rn = bn , r r , F

8 > > < r > > :

F

ha a kamatozó összeg kisebb mint

oosszeg r kamatozFooFsszeg F + r F kamatoz F F r ha a kamatozó nagyobb mint F

F ;


8

2.2. Els®rend¶ dieren iaegyenlet. yn; n = n0 ; n0 + 1; n0 + 2; : : : (igen gyakran n0 = 0 ) - az Ha az

yn+1 = f (n; yn ; ) ;

sorozat elemeit - ahol

n0

egy egész szám

n = n0 ; n0 + 1; n0 + 2; : : :

(2.2.1)

paraméter), akkor azt mondjuk, hogy a sorozatot egy els®rend¶ dieren iaegyenlettel deniáltuk (másképpen szólva: a sorozatot egy

alakú összefüggéssel adjuk meg (

els®rend¶ rekurzíóval adtuk meg). Ha ismert az

yn0 = y 0 érték, akkor a sorozat

n0 -nál nagyobb

(2.2.2)

index¶ elemeit rendre ki tudjuk számítani,

feltéve, hogy az (2.2.1) jobboldala a megfelel® argumentumnál értelmezve van.Az (2.2.1) egyenletet a (2.2.2) feltétellel együtt kezdetiérték feladatnak nevezzük. Kényelmi okokból a sorozat elemeit gyakran úgy sorszámozzuk, hogy

n0 = 0

legyen

(vagyis a sorszámokat eltoljuk).

Feladatok:

f (n; yn; ) =

1.

Ha

y0 =

akkor a sorozat minden határon túl folytatható, ha

y0 =

, akkor

a sorozat véges (megszakad).

f (n; yn; ) =

2.

Ha ha

= =

akkor a sorozat minden határon túl folytatható tetsz®leges és

y0 =

y0

esetén,

, akkor a sorozat véges (megszakad).

= 0 rögzített, akkor a (2.2.1) egyenletben el is hagyhatjuk. Jelölje I az n0 nál nem kisebb természetes számok halmazát, azaz legyen I = fn0 ; n0 + 1; n0 + 2; : : :g félig végtelen diszkrét intervallum, R a valós számok halHa

maza.

2.2.1. Tétel. Ha a f (valósérték¶) függvény értelmezési tartománya I R , akkor az

yn+1 = f (n; yn) ;

n = n0 ; n0 + 1; n0 + 2; : : :

(2.2.3)

els®rend¶ dieren iaegyenletnek tetsz®legesen el®írt y 0 kezdeti értékkel pontosan egy megoldása van. 2.2. Els®rend¶ dieren iaegyenlet.


9

A fenti állítás azt jelenti, hogy létezik olyan

yn0 ; yn0+1 ; : : :

végtelen valós szám-

sorozat, amely kielégíti az (2.2.3) egyenletet és els® eleme éppen az el®írt érték, továbbá sak

egy

ilyen sorozat van.A bizonyítás azon múlik, hogy a sorozat elemeit

egymás után el® tudjuk állítani, méghozzá egyértelm¶en. Gyakran azonban szükségünk lenne arra, hogy az

f

függvényt és az induló

y0

értéket ismerve a sorozat egy tetsz®leges tagját anélkül írjuk fel, hogy a nála ala sonyabb index¶eket kiszámítanánk. Vagyis, a (2.2.3) alapján keresünk egy

yn = g (n; y0 ) alakú összefüggést, azaz a sorozat elemeinek expli it el®állítását szeretnénk megkapni. Nem minden az

I R

f

függvényhez lehetséges olyan

g

függvényt megadni, amelyik

halmazon értelmezve van és a megoldást generálja.

Példák:

1. Az

yn+1 = f (n; yn )

egyenlet számtani sorozatokat deniál, ha

f

nem függ az

els® argumentumától és második argumentumának pedig egy állandó eltolása,

yn+1 = yn + b els®rend¶ dieren iaegyenlet megoldásának expli it megoldását a g (k; z ) = kb + z függvény adja meg: yn = nb + y0 :

azaz ha

f (k; z ) = z + b , ahol b

egy adott szám.Az

A (2.2.3) egyenlettel kap solatban más feladatokat is kit¶zhetünk.

A sorozat

egy vagy több ismert eleme alapján megkisérelhetjük meghatározni az ismeretlen függvényt vagy az ismeretlen

y0

f

indulóértéket. Számszer¶ adatokon kivül kiván siak

lehetünk arra, hogy min®ségileg hogyan viselkedik a sorozat (korlátos, konvergens, stb.). A kés®bbiekben erre még visszatérünk.

2.2.1. Els®rend¶ lineáris dieren iaegyenlet. Legyen adva két végtelen számsorozat, az

f

a 0 ; a1 ; a2 ; : : :

és

b 0 ; b1 ; b2 ; : : : .

Adjuk meg

függvényt a következ®képp:

f (k; z ) = ak z + bk : Ez a függvény a

z

argumentuma szerint lineáris függvény. Ehhez az

az

yn+1 = an yn + bn 2.2. Els®rend¶ dieren iaegyenlet.

f

függvényhez


10

els®rend¶ lineáris dieren iaegyenletnek nevezzük.Nyilvánvalóan teljesül az 2.2.1 tétel feltétele, ezért az y0 ; y1 ; y2 ; : : : sorozat elemeit meg tudjuk határozni, azaz egy tetsz®leges y0 kezdeti értékkel kit¶zött felels®rend¶ dieren iaegyenlet tartozik és

adat egyértelm¶en megoldható.

S®t!

Ennek a megoldásnak expli it el®állítása is

van! Matematikai induk ióval ellen®rízhetjük, hogy a megoldást az a nerálja, amelyre

g (k; z ) = z

kY1 i=0

ai +

k 1 X

bi

i=0

g

függvény ge-

!

kY1 s=i+1

as :

Másképpen mondva, a feladat megoldását az

yn = y0

nY1 i=0

ai +

n 1 X

bi

i=0

nY1 s=i+1

!

as ;

n = 0; 1; 2; : : :

képlettel adhatjuk meg. Példák: 1. A letétkezelés számlaegyenlegét az azaz

f (k; z ) =

,

g (k; z ) =

Fn+1 = Fn b

.

2. Az egyszer¶ t®késítés egyenlete

Fn+1 = Fn + in F0 ; bn 0 f (k; z ) =

3. Számlavezetés rendszeres t®késítéssel,

bn

egyenlettel írhattuk le, azaz

egyenlettel írható le, azaz azaz

azaz

f (k; z ) =

esetben, az ,

g (k; z ) =

,

g (k; z ) =

Fn+1 = (1 + in ) Fn +

4. Ha a kamatráta az egyenleg függvénye, akkor az egyenlet már nemlineáris.

bn sorozat minden eleme zérus, vagyis f (n; z ) = an z , akkor a dieren iaegyenletet homogénnak nevezzük Ha a

Ha az

f

függvény nem függ az els® argumentumától, tehát autonóm, és második

an sorozat minden eleme a és a bn sorozat minden eleme b és, f (k; z ) = h (z ) = az + b; akkor az egyenlet állandó együtthatós lineáris dieren iaegyenlet ; melynek megoldása az ( an y0 + aan 11 b; ha a = 6 1; yn = y0 + nb ha a = 1 argumentumában lineáris, így az

alakra egyszer¶södik.

Feladatok 2.2. Els®rend¶ dieren iaegyenlet.


11

1. A számtani és mértani sorozatokra vonatkozó összefüggések segítségével az általános képletb®l vezesse le a fenti képletet! 2. Mit jelent(ene) az 1. és 2. és 3. példákban az autonóm tulajdonság?

2.3. M¶veletek MATLAB -ban 2.3.1. Mátrixok megadása

mátrixelemek felsorolásával a=[3,5,7; 0 2 5.4; -4 7.3 3129e-2℄

beépített mátrixgeneráló függvényekkel eye(4), rand(5,10), randn(3,4), zeros(6,7), ones(2,4)stb.

saját programmal a .mat típusú programleban

beolvasással: load szamok.dat

2.3.2. M¶veletek mátrixokon 1.

sum(a) - oszlopösszeg; ha egyetlen sor, akkor annak összege,

a' - transzponálás (sorösszeg sum(a')); iplr(a)

diag(a); size(a); max(a); min(a);

matrixelemek kijelölésével a(3,5)+a(2,2)

mátrixméret növelés értékadással: ha a 3x3-as, a(4,5)=9 a méretét 4x5-re növeli, a nem kitöltött új elemeket 0-val tölti fel.

1:10 100:-3:75 0:pi/4:pi a(1:3,2) a(all,2) a(:,2) a(:,end)

2.3.3. Kifejezések

number=25; NuMber=20 (kis/nagybet¶ érzékeny), max. 31 bet¶, számjegy, _, kezdés bet¶vel

3, -99 0.01 1.602e-2 1.602e2 3e5i 2+4j; bels® ábrázolás: durván 16 tizedesjegy, durván

10

308

10308

2.3. M¶veletek MATLAB -ban


12

m¶veletek változókon(és els®bbségi szabályok): + - * /

spe iális függvények (konstansok):

n (bal-osztás) ^ 0 ()

pi, i,j,eps,realmin,realmax, Inf, NaN; ne

írjuk felül, ha mégis, visszaállítható: lear eps

m¶veletek mátrixokon 2.(és els®bbségi szabályok) satolás, oszlop és sorkihagyás ha a 3x3-as, a(:,2)=[℄ kihagyja a 2. oszlopot, egyindexes elemelhagyás, sorrá alakítással

det(a), inv(a), eig(a),

+, -, .*, ./ .

:^

.' pld. n=0:9; pos=

"skalár kiterjesztés" n-3;

2.3. M¶veletek MATLAB -ban

[n; n:^ 2; 2:^ n℄ ;

elemi függvények: log(n),

Kamatpolitikák. Befektetési modellek II.

13

3. el®adás Kamatpolitikák. Befektetési modellek II. 3.1. Programelemzés Többféle befektetési modellt szemléltet a paran sablakból vezérelhet® `bef.m' program. A modell paraméterei a programba be vannak építve. Vizsgáljuk meg a program szerkezetét, 'if ' utasítás,

iklus szervezés, a legegyszer¶bb 2D graka programozását, adatbevitelt a paran sablakból, eredmény kiiratását a paran sablakba. Próbáljuk ki

a tesztel®/szerkeszt® m¶ködését, a grakon képének változtatását (programból és utólag).

3.2. Szemléltet® diagramok Az

yn+1 = f (yn );

n = 0; 1; 2; : : :

egyenlethez kétféle grakont is hozzáren-

delhetünk: 1.

yn

versus

n:

a folyamat idõbeli alakulását jellemzi, rajzolható diszkrét gra-

kon vagy lineárisan interpolált Példák befektetési modellek logisztikus egyenlet

yn+1 =yn3 , y0 Szemléltetés

adott

yn+1 = 4yn(1 yn) , y0

adott


14

sátor-függvény és egyenlete

yn+1 =T (yn) ; y0 adott, ( 1 2y; ha 0 y ; 2 T (y ) = 2 (1 y) ; ha 12 < y 1: 2. Pókháló vagy lép sõs diagram:

u = yn+1 versus v = yn :

az egymást követõ állapotokat jellemzi.

3. A bifurká iós diagram - modell-paraméterek hosszútávú hatásának szemléltetése. Ezzel most nem foglalkozunk.

3.3. A pókháló diagram szerkesztése Szemléltetés: 'sator.m', 'logist.m' A pókháló diagram a következ® elemeket tartalmazza: 1. a változatlanság grakonját

u = v; v 2 R ;

2. az egyenletben megadott függvény grakonját

u = f (v ); v 2 R ;

3. az alábbi

(v; u)

pontsorozatot, egyenesszakaszokkal összekötve (az egyenes-

szakaszokat itt nyilakkal jelöljük):

(y0 ; 0) ! (y0 ; y1) (y3 ; y4 ) ! ::::

! (y1; y1) ! (y1; y2) ! (y2; y2) ! (y2; y3) ! (y3; y3) !

3.4. Mit olvashatunk le a pókháló diagramról? f

v helyen a változatlanság grakonja alatt van, akkor az új állapotbeli yn+1 = u érték kisebb lenne, mint az el®z® yn = v , ha fölötte van, akkor nagyobb, amennyiben épp ez az yn = v következne be.

Ha az

A `változatlanság' egyenesének és a függvény grakonjának metszéspontjai az

függvény grakonja egy

egyensúlyi pontok.

3.3. A pókháló diagram szerkesztése


A pontsorozat egy-egy páros sorszámú pontjának (

15

(y0 ; y1 ) ; ! (y1 ; y2 ) ! (y2 ; y3) !

(y3 ; y4 ) ! :::: ) és a változatlanság grakonjának egymáshoz viszonyított elhe-

lyezkedése az adott induló érték mellett valóságosan létrejöv® egymásutáni állapotok nagyobb/kisebb viszonyát szemlélteti.

A változások irányát jelezhetik az egyenesszakaszokra kihelyezhet® honnanhová nyilak is.

Még kés®bb kitérünk arra, hogy az egyensúlyi pontok környékén a függvény grakonja és a páros sorszámú pontok sorozatának elhelyezkedése is fontos informá iót hordoz.

Példák (az el®bbiek)

3.4. Mit olvashatunk le a pókháló diagramról?

A kereslet-kínálati modell. I.

16

4. el®adás A kereslet-kínálati modell. I. 4.1. Autonóm egyenletek tulajdonságai. I. Az egyensúlyi pont fogalma Az

f

függvény értelmezési tartományának azon

y

pontja, amelyre

y = f (y ); az egyenlet egyensúlyi pontja. Az

y0 = y , akkor yn y .

y

kezd®érték konstans megoldást generál: Ha

Keressük meg az alábbi dieren iaegyenletek egyensúlyi pontjait:

yn+1 =yn3 ; yn+1 =yn2 yn + 1; logisztikus egyenlet, a sátor-függvény egyenlete.

f függvény értelmezési tartományának azon y^ pontja, amelyhez létezik olyan (egész) r; hogy Az

f r (^y) = y ; f r 1 (^y) 6= y ; ahol

y

az egyenlet egy egyensúlyi pontja, az egyenlet

lényegében egyensúlyi pontja.

4.2. Kereslet-kínálati rendszer 4.2.1. A termékárazási modell A modell tárgya a pia ra kerül® jószág. A jószág alábbi, id®ben változó jellemz®it vizsgáljuk:

Kereslet-kínálati modell


kínálata (darabszám, mennyiség rögzített mértékegységben) az pontban:

Sn ;

kereslete (darabszám, mennyiség rögzített mértékegységben) az pontban:

17

Dn ;

ára (darabár, egységár a rögzített mértékegységben) az

pn

n -edik

n -edik

idõ-

n -edik

idõ-

idõpontban:

Feltételezések:

A kínálat a megelõzõ idõpontbeli ár függvénye:

Sn+1 = s(pn );

s

ismert,

valós változójú függvény a kínálat versus ár grakon a kínálati görbe

A kereslet az aktuális idõpontbeli ár függvénye:

Dn = d(pn) , d

ismert, valós

változójú függvény a kereslet versus ár grakon a keresleti görbe

A pia on az ár minden idõpontban biztosítja a kereslet és a kínálat egybeesését:

Sn = Dn ; n 1

vagyis

Sn+1 = Dn+1 n0 s(pn) = d(pn+1): (4.2.1) egy impli it elsõrendû dieren iaegyenlet. Ha

vagyis (4.2.1)

d -nek

létezik inverz függvé-

nye (a lehetséges argumentumok környezetében), akkor az egyenlet expli itté tehetõ, azaz

pn+1 = f (pn ) : Egyensúlyi ár:

p ;

ha

p = f (p ) :

4.2.2. Lineáris modell Dn = md pn + bd ; md

- a fogyasztói árérzékenységet jellemzi.

4.2. Kereslet-kínálati rendszer

md > 0;

bd > 0


18

Sn+1 = ms pn + bs ; ms

ms > 0;

bs > 0

- a kínálati oldal árérzékenységét jellemzi. A kereslet és kínálat egyensúlyának (4.2.1) egyenlete ebben az esetben:

md pn+1 + bd = ms pn + bs pn+1 = Apn + B (Vegyük észre, hogy

A < 0 ).

vagyis ahol

ms b b ; B= d s md md

Egyetlen egyensúlyi ár van:

p =

4.2. Kereslet-kínálati rendszer

A=

B

1 A

A kereslet-kínálati modell. II.

19

5. el®adás A kereslet-kínálati modell. II. 5.1. Árak alakulása a kereslet-kínálati modellben Esetek:

1
aszimptotikusan stabil

p

a stabil egyensúlyi ár,

ár.

A= 1 Az ár osz illál, sak két értéket vesz fel.

p1 = p0 + B; p2 = p0 ; p3 = p0 + B; : : : :

Ha az induló ár

Az ilyen

p

a

stabil

p 0 = p0 ;

akkor

ár.

A< 1 Az ár váltakozva, hol fölé, hol aláugrik az egyensúlyi árnak, de attól távolodik. Az ilyen

p

Ha az induló ár

az

instabil

p 0 = p0 ;

ár.

akkor a megoldás expli it alakja (ellenõrizzük!)

pn = (p0

p ) An + p :

5.2. A közgazdaságtan pókháló tétele Ha a kínálati oldal árérzékenysége kisebb, mint a fogyasztói árérzékenység, azaz

ms < md , akkor a pia stabil (helyesebben azt kell mondanunk, hogy aszimptotikusan stabil). Ha a kínálati oldal árérzékenysége nagyobb, mint a fogyasztói árérzékenység, azaz

ms > md , akkor a pia instabil.

5.2.1. Feladat. Mit látunk a különféle egyensúlyi helyzeteknél a pókháló diagramon? Kereslet-kínálati modell


20

5.3. Autonóm egyenletek tulajdonságai. II. Egyensúlyi helyzet stabilitása, aszimptotikus stabilitása 5.3.1. A stabilitás fogalma Az

yn+1 = f (yn ) y

stabil nak nevezzük, ha minden " > 0 -hoz van olyan Æ > 0 , hogy jy0 maga után vonja az jyn y j < " egyenlõtlenséget. Ha y nem stabil, akkor instabil nak nevezzük. Az y egyensúlyi pontot aszimptotikusan stabil nak (vonzónak) nevezzük, ha egyenlet

egyensúlyi pontját

yj < Æ

stabil és

van olyan

> 0,

hogy

jy0 yj <

maga után vonja az

limn!0 yn = y

összefüggést.

Ha

=

1;

akkor az egyensúlyi pontot

globálisan aszimptotikusan stabil nak

nevezzük. Olyan kritériumokat keresünk a stabilitási tulajdonságok megállapításához, amelyek nem igénylik a dení iókban foglalt tulajdonságok közvetlen ellen®rzését.

5.3.2. Els®rend¶ kritérium 5.3.1. Tétel. Legyen y az yn+1 = f (yn ) elsõrendû dieren iaegyenlet egyensúlyi helyzete és legyen f folytonosan dieren iálható. Ekkor ha jf 0 (y )j < 1 , akkor y aszimptotikusan stabil (vonzó) egyensúlyi pont. ha jf 0 (y )j > 1 , akkor y instabil egyensúlyi pont (taszító pont).

5.3.3. Másodrend¶ kritériumok 5.3.2. Tétel. Legyen y az yn+1 = f (yn ) elsõrendû dieren iaegyenlet egyensúlyi helyzete, f 0 (y ) = 1 és legyen f háromszor folytonosan dieren iálható. Ekkor ha f 00 (y ) 6= 0 , akkor y instabil. 5.3. Autonóm egyenletek tulajdonságai. II. Egyensúlyi helyzet stabilitása, aszimptotikus stabilitása


21

ha f 00 (y ) = 0 és f 000 (y ) > 0 , akkor y instabil. ha f 00 (y ) = 0 és f 000 (y ) < 0 , akkor y aszimptotikusan stabil. 5.3.3. Tétel. Legyen y az yn+1 = f (yn ) elsõrendû dieren iaegyenlet egyensúlyi helyzete, f 0 (y ) = 1 és legyen f háromszor folytonosan dieren iálható. Ekkor ha

2f 000 (y ) 3 [f 00 (y )℄2 < 0 , akkor y aszimptotikusan stabil..

ha

2f 000 (y ) 3 [f 00 (y )℄2 > 0 , akkor y instabil.

5.3.1. Feladat. Vizsgáljuk meg a korábban el®fordult egyensúlyi pontok stabilitási tulajdonságait.

5.4. Lineáris els®rend¶ autonóm rendszer stabilitása yn+1 = ayn + b Egyensúlyi helyzet akkor létezik, ha

a 6= 1 , ekkor y = 1 b a , vagy ha a = 1 , b = 0 , ekkor

minden valós szám egyensúlyi helyzet.

Alkalmazzuk az elsõrendû kritériumot! (Mire jutunk?) Hasonlítsuk össze a lineáris kereslet-kínálati modell vizsgálatakor megállapított tulajdonságokkal! Nézzük meg az

a=1

a = 1

esetet, ahol a tételek nem alkalmazhatók!

(a lineáris kereslet-kínálati modellben ez nem fordulhat el®)

ha

b 6= 0 , nin s egyensúlyi helyzet;

ha

b = 0,

minden egyensúlyi helyzet stabil (a dení ió alapján,

Æ=

megfelel);

a= 1

: stabil egyensúlyi helyzet (a dení ió alapján,

5.4. Lineáris els®rend¶ autonóm rendszer stabilitása

Æ=

megfelel).

Autonóm egyenletek tulajdonságai. III.

22

6. el®adás Autonóm egyenletek tulajdonságai. III. 6.1. A lineáris termékárazási modell. A 'pri ing' program segítségével

szemléltetjük a keresleti görbét (egyenest);

szemléltetjük a kínálati görbét (egyenest);

elemezzük az áralakulás pókháló diagramját és id®sorát;

elemezzük a kereslet id®sorát;

elemezzük a kínálat id®sorát;

elemezzük a kereslet-kínálat pókháló diagramját.

6.2. Periodikus pontok és iklusok Ha

b

az

f

függvény értelmezési tartományának egy olyan pontja, hogy van olyan

k természetes szám, hogy b = f k (b) fennáll, akkor b -t az f függvény periodikus pontjának nevezzük. Ha k = 1 , akkor a periodikus pont egyensúlyi pont. k Ha k > 1 és k a legkisebb olyan természetes szám, hogy b = f (b) teljesül (azaz b 6= f l (b) , ha l = 1; : : : ; k 1 ), akkor b -t az f függvény k -periodikus pontjának nevezzük.

O(b) = fb; f (b); f 2 (b); : : : ; f k 1(b)g periodikus pályát k- iklusnakhívjuk. k 1 (b) pontok Ha b az f függvény k -periodikus pontja, akkor nyilván az f (b); : : : ; f is k -periodikus pontok. Ha b k -periodikus pontja f -nek, akkor b egyensúlyi pontja (xpontja) az Az

xn+1 = g (xn) Autonóm egyenletek. III.

Autonóm egyenletek tulajdonságai. III. dieren iaegyenletnek, ahol

23

g = fk .

b az f függvény értelmezési tartományának egy olyan pontja, hogy van m olyan m egész szám, hogy f (b) k -periodikus pontja f -nek, b -t az f lényegében periodikus pontjának nevezzük. (Ez azt jelenti, hogy fennáll az f m (b) = f m+`k (b) egyenl®ség, ha ` = 1; 2; : : : . Ha

6.2.1. Feladat. A korábban vizsgált autonóm egyenletek között keressünk olyanokat, amelyeknek van k -periodikus pontja ( k > 1 ). Legyen

b

f -nek k -periodikus pontja.

az

(i) stabil

Ekkor

b

k -periodikus pont, ha f k -nak stabil xpontja,

(ii) aszimptotikusan stabil (vonzó)

k -periodikus pont, ha f k -nak aszimptotikusan

stabil (vonzó) xpontja, (iii) taszító

Ha

b

k -periodikus pont, ha f k -nak taszító xpontja. k - iklusának minden Mivel f periodikus pont-

a fenti tulajdonságok egyikével rendelkezik, akkor

pontja ilyen, ezért lehet beszélni a jának stabilitását visszavezettük

k - iklus stabilitásáról. g = f k függvény egyensúlyi

helyzetének stabili-

tására, a korábbi kritériumok is alkalmazhatók. Ennek következménye a következ® tétel.

6.2.1. Tétel. Legyen x0 = b egy folytonosan dieren iálható f függvény k -periodikus pontja és O(b) = fx0 ; x1 ; x2 ; : : : ; xk 1 g a hozzátartozó k - iklusa. Ekkor

(i) az O(b) k - iklus aszimptotikusan stabil (vonzó), ha

jf 0(x0 )f 0(x1 ) : : : f 0(xk 1)j < 1;

(6.2.1)

(ii) az O(b) k - iklus instabil (taszító), ha

jf 0(x0 )f 0(x1 ) : : : f 0(xk 1)j > 1:

6.2. Periodikus pontok és iklusok

(6.2.2)

Magasabbrend¶ dieren iaegyenletek. I.

24

7. el®adás Magasabbrend¶ dieren iaegyenletek. I. 7.1. A lineáris ak elerátor-multiplikátor modell. I. A nemzetgazdaság id®beli fejl®dését írja le az az (egyszer¶sített) modell, amelynek

sak az alábbi jellemz®it és az ezek közötti kap solatokat vesszük gyelembe:

n -edik id®szak alatt Yn ;

a termelés (GDP), értéke az

a nettó beruházás (és készletfelhalmozás), értéke az

a fogyasztás, értéke az

n -edik id®szak alatt In ;

n -edik id®szak alatt Cn .

Az értékeket változatlan árakon vesszük gyelembe. Feltételezések:

A gazdaság zárt, minden id®szakban

termelés=nettó beruházás+fogyasztás, azaz

Yn = In + Cn ;

(7.1.1)

a beruházás az el®z® id®szak termelésváltozásától lineárisan függ, ehhez adódik az ún. autonóm beruházás:

In = InA + (Yn

1

Yn 2 );

(7.1.2)

a fogyasztás az el®z® id®szak termelését®l lineárisan függ, amihez egy ún. autonóm fogyasztás járul:

Cn = CnA + Yn 1 ; ; 0 < < 1:

Magasabbrend¶ lineáris egyenletek.

(7.1.3)


25

Clark (1917) vezette be az ún. beruházási ak elerátort, az ® modelljében

In = (Yn Az

InA

Yn 2 ):

1

kiegészítés Hi kst®l származik (1950), a modell az ® nevét viseli.

Keynes (1936) javasolta a

Cn = Yn

fogyasztási függvényt. A b®l adódik az

m :=

1

1

tényez® az ún. fogyasztási határhajlandóság, ebmultiplikátor (kés®bb meglátjuk, mi a szerepe). A

CnA

fogyasztási fügvényt kés®bb a

Jól látható, hogy ha ismert a landóság, az

IA

1

taggal egészítették ki.

beruházási ak elerátor,

autonóm beruházás függvény, a

CA

fogyasztási határhaj-

autonóm fogyasztási függvény,

Y ) értéke az n = n0 és n = n0 + 1 id®szakban, akkor minden n n0 + 2 id®szakra kiszámítható a In ; Cn; Yn érték. Yn0 ; Yn0+1 helyett megadható Cn0 +1 ; Cn0 +2 vagy In0 +2 ; Cn0 +2 . 0 Az id®skála eltolható, szokás a jelölést az els® és a harmadik esetben az n0 := n0 2 , a második esetben az n00 := n0 + 1 indulószakaszhoz igazítani. Az n00 = 0 vagy az n0 = 2 eltolás egyszer¶síti a kifejezéseket. A autonóm beruházás függvényt és a C A autonóm fogyasztási függvényt Az I továbbá a termelés (

szabályosnak szokták tekinteni, ha az id®szaki b®vülést egy állandó, mindkett®re azonos szorzó jellemzi:

InA+1 = InA Innen

InA = InA0

n n0 ;

CnA+1 = CnA ; CnA = CnA0

minden

n n0

ra;

> 1:

(7.1.4)

n n0 .

A szokásos jelölés (a modell relatív paramétere):

iA := In0 , A := Cn0 , n0 = 0 .

Szabályos autonóm beruházás függvény és autonóm fogyasztási függvény esetén bevezethet®k a modell relatív jellemz®i:

yn =

Yn

n;

in =

in

n;

n =

n

n:

A modell feltételezései a relatív jellemz®kkel a következ® alakot öltik:

yn = in + n ; in = iA + (yn

(7.1.5)

1

7.1. A lineáris ak elerátor-multiplikátor modell. I.

yn 2 );

(7.1.6)


26

n = A + yn 1;

1 = :

ahol

(7.1.7)

Ha a (7.1.6) és a (7.1.7) összefüggést behelyettesítjük (7.1.5)-ba, kapjuk a modell "alapegyenletét":

yn = iA + A + ( + ) yn

1

2 yn 2 ;

ami a relatív termelés egyenlete. Ha a relatív termelés

y 1; y

(7.1.8)

2 indulóértéke ismert,

akkor a relatív termelés minden id®szakra (7.1.8)-ból számítható, majd a relatív beruházást és relatív fogyasztást (7.1.6) és (7.1.7) adja meg.

1 , tehát 1 . A továbbiakban feltesszük, hogy

= 1. Feladatunk abban áll, hogy tisztázzuk, megadható-e és milyen alakú az a h függA A vény, amelyre yn = h(n; ; ; i ; ; y 1 ; y 2 ) , el®fordulhat-e, hogy yn onst , ha n 0 , és van-e jellegzetessége az yn id®sornak, ha elég hosszú. A gyakorlatban

7.2. A k-adrend¶ lineáris dieren iaegyenlet. I. Legyen

k

pi ; i = 1; :::; k; és a g valós-érték¶ I = fn0 ; n0 + 1; n0 + 2; : : :g halmazon, és pkn 6= 0; n 2 I ,

adott természetes szám, legyenek a

függvények értelmezve az ekkor a

yn+k + p1 n yn+k 1 + ::: + pk n yn = gn egyenletet (az

y:I!R

(7.2.1)

függvényre nézve) k-adrend¶ inhomogén lineáris dieren-

iaegyenletnek nevezzük.

yn0 = a0 ; yn0 +1 = a1 ; ; : : : ; yn0 +k 1 = ak feladat az y : I ! R függvény meghatározása, akkor

Ha ismertek az értékek és a

1 ún.

kezdeti

ezt a feladatot

kezdetiérték feladatnak nevezzük.

7.2.1. Tétel. A kezdetiérték feladatnak pontosan egy megoldása van.

2

Bizonyítás.

Van-e zárt" alakú megoldás? Mikor lehet és ha lehet, akkor hogyan kell megkomponálni azt a

h

függvényt, amelyre

yn = h(n; a0 ; : : : ; ak 1 ; p1 ; : : : ; pk 1 ; g ) ?

7.2. A k-adrend¶ lineáris dieren iaegyenlet. I.

majd


27

7.2.1. Homogén egyenlet I. Ha a (7.2.1) egyenletben szerepl® függvény az azonosan zérus függvény (

g = 0 ),

akkor homogén egyenletr®l beszélünk:

yn+k + p1 n yn+k 1 + ::: + pk n yn = 0

(7.2.2)

(7.2.2) tulajdonságainak megállapításához több segédfogalomra van szükségünk.

7.2.1. Dení ió. Az f1 ; f2 ; : : : ; fr : I ! R függvényrendszert lineárisan függ®nek nevezzük, ha van r darab olyan valós szám, jelölje ®ket 1 ; : : : ; r , amelyek között legalább egy különbözik zérustól és minden n n0 -ra

1 f1 n + + r fr n = 0:

(7.2.3)

7.2.2. Dení ió. Az f1 ; f2 ; : : : ; fr függvényrendszert lineárisan függetlennek nevezzük, ha nem lineárisan függ®. A dení ió azt mondja, hogy az

f 1 ; f2 ; : : : ; f r

függvényrendszer akkor és sak akkor

lineáris független, ha abból, hogy (7.2.3) fennáll minden

1 = = r = 0:

n n0 -ra, következik, hogy

7.2.1. Példa. Az az f1 ; f2 ; f3 függvényrendszer, amelyre f1 n = n; f2 n = n3n ; f3 n = n2 3n , lineárisan független. 7.2.3. Dení ió. A homogén egyenlet k (darab) lineárisan független megoldását a megoldások alaprendszerének nevezzük. Kérdések: Van-e egyáltalán alaprendszer?

Hogyan ellen®rizzük a megoldások egy

rendszerér®l, hogy lineárisan független?

7.2.4. Dení ió. Ha adva van k (darab) függvény, f1 ; f2 ; : : : ; fk , Casoratiannak nevezzük azt a C : I ! R függvényt, amit a

0 f1 n B B f1 n+1 B .. Cn = det B B . B .. B .

f1 n+k

f2 n f2 n+1

::: :::

...

1

f2 n+k

összefüggés határoz meg. 7.2. A k-adrend¶ lineáris dieren iaegyenlet. I.

...

1

1 fk n C fkn+1 C C .. C . C C .. C . A

: : : fk n+k

1

(7.2.4)


28

7.2.1. Lemma (Abel lemma). Ha x1 ; x2 ; : : : ; xk egy megoldásrendszer, akkor

Cn = ( 1)k(n

nY1

n0 )

i=n0

!

pk i Cn0

2

Bizonyítás. Vegyük észre, hogy ha alakja

(7.2.5)

pk n

nem függ

Cn = ( 1)k(n

majd

n -t®l, azaz pk n = pk 2 R , akkor (7.2.5) n0 ) pn n0 C : n0 k

(7.2.6)

6 0 ) Cn0 =6 0 7.2.1. Következmény. A (pontosan) k-adrend¶ egyenletre ( pkn = akkor és sak akkor teljesül, ha minden n -re Cn 6= 0 . Bizonyítás.

7.2. A k-adrend¶ lineáris dieren iaegyenlet. I.

2

majd

Magasabbrend¶ dieren iaegyenletek. II.

29

8. el®adás Magasabbrend¶ dieren iaegyenletek. II. 8.1. A k-adrend¶ lineáris dieren iaegyenlet. II. 8.1.1. Homogén egyenlet II. 8.1.1. Tétel. Az x1 ; x2 ; : : : ; xk megoldásrendszer akkor és sak akkor alaprendszer, ha a bel®le képzett C Casoratianra igaz, hogy Cn~ 6= 0 egy (tetsz®leges) n~ -re.

2

Bizonyítás.

majd

8.1.1. Példa. Az x1 ; x2 függvénypár, amelyre x1 n = n , x2 n = 2n , alaprendszere az

yn+2

egyenletnek.

3n 2 2n yn+1 + y =0 n 1 n 1 n

(8.1.1)

8.1.2. Tétel. A k-adrend¶ (7.2.2) egyenletnek van alaprendszere.

2

Bizonyítás.

majd

8.1.3. Tétel (Szuperpozí ió elve). A homogén egyenlet megoldáshalmaza lineáris halmaz.

2

Bizonyítás.

majd

8.1.4. Tétel. A homogén egyenlet minden x megoldása el®állítható

x=

k X i=1

i xi

(8.1.2)

alakban, ahol x1 ; x2 ; : : : ; xk egy alaprendszer és 1 ; 2 ; : : : ; k valós számok. Bizonyítás.

Magasabbrend¶ lineáris egyenletek.

2

majd

Magasabbrend¶ dieren iaegyenletek. II.

30

Homogén egyenlet állandó együtthatókkal

yn+k + p1 yn+k 1 + ::: + pk yn = 0 pi ; i = 1; :::; k;

- valós számok,

(8.1.3)

pk 6= 0:

Az egyenlettel együtt vizsgáljuk a következ®, ún. karakterisztikus egyenletet:

k + p1 k 1 + ::: + pk = 0

(8.1.4)

A karakterisztikus egyenlet gyökeit karakterisztikus gyököknek nevezzük. Mivel

0 , ezért nin s zérus gyök.

pk 6=

1. eset: A gyökök különböz®ek.

8.1.5. Tétel. fn1 ; n2 ; : : : ; nk g - alapmegoldás rendszer. Bizonyítás.

Behelyettesítéssel ellen®rizhet®, hogy a rendszer minden függvé-

nye megoldás. A rendszer függvényeib®l képzett Casoratian egy Vandermonde mátrix determinánsára vezet ad, ami, a gyökök különböz®sége miatt nem zé-

2

rus.

r különböz® gyök van, r < k . Jelölje a különböz® gyököket : 1 ; 2 ; : : : ; r , multipli itásuk legyen rendre m1 ; m2 ; : : : ; mr .

2. eset:

8.1.6. Tétel. Legyen Gi = fni ; nni ; n2 ni ; : : : ; nmi 1 ni g . A vényhalmaz alapmegoldásrendszer.

[ri=1 Gi

2

Bizonyítás. Mivel a karakterisztikus polinom együtthatói valósak, ezért, ha van egy sajátérték, akkor

függ-

= + i ;

és

= i

komplex

együtt jelenik meg.

Az egyszeres multipli itású komplex pár példáján megmutatjuk, hogy ebben az esetben is van valós megoldásrendszer. Legyen

= r os , = r sin , ekkor r =

p

2 + 2 , = ar tg :

megoldás:

xn = 1 ( + i )n + 2 ( i )n = rn[a1 os(n) + a2 sin(n); ℄ ahol

a1 = 1 + 2 , a2 = i( 1

2 ) .

8.1. A k-adrend¶ lineáris dieren iaegyenlet. II.

Az általános

majd

Magasabbrend¶ dieren iaegyenletek. II. Ha bevezetjük azt az

31

! -t, amelyre

a a

os ! = p 2 1 2 ; sin ! = p 2 2 2 ; a1 + a2 a1 + a2 és

A=

! = ar tg

azaz

a2 a1

p

a21 + a22 , akkor

xn = Arn os(n

! ):

Példák

8.2. A lineáris ak elerátor-multiplikátor modell. II. Ha a modellben az autonóm fogyasztás és az autonóm beruházás hiányzik, akkor nyilvánvalóan szabályosnak tekinthet® és

=1

(

= 1)

vehet®, amib®l adódik,

hogy a relatív változókra felírt modell azonos az eredetivel. Ekkor a (relatív) termelés egyenlete :

yn+2

( + )yn+1 + yn = 0:

(8.2.1)

A karakterisztikus egyenlet:

2 Mivel 1.

( + ) + = 0:

(8.2.2)

> 0 , > 0 , ezért a lehetséges esetek: p > 0; > max(0; 2 ) : ekkor két pozitív karakterisztikus gyök van, p + ( + )2 4 ; 1;2 = 2 az általános megoldás:

yn = 1 n1 + 2 n2 1 ; 2 tetsz®leges; 2.

p

0 < < 4; = 2 van,

:

(8.2.3)

ekkor egy kétszeres pozitív karakterisztikus gyök

p = 2 ;

az általános megoldás:

yn = 1 n + 2 nn 1 ; 2 tetsz®leges;

8.2. A lineáris ak elerátor-multiplikátor modell. II.

(8.2.4)

Magasabbrend¶ dieren iaegyenletek. II. 3.

p

0 < < 4; 0 < < 2

32

:

egy komplex konjugált karakterisztikus

gyökpár van,

r = jj =

p

; = ar tg

p 4

( + )2 +

az általános megoldás:

yn = Arn os(n

! ); A > 0; 0 < ! < 2 tetsz®leges:

(8.2.5)

1.5

β

1

0.5

0

0

1

2

3 γ

4

5

6

p

8.2.1. ábra. = 2 Ha ismert az

y0 ,

és

y1

indulóérték, akkor

n = 0 -nál illetve n = 1 -nél kiszámítva

az általános megoldást az ismeretlen konstansokra egy (egyértelm¶en megoldható) egyenletrendszer adódik.

1. esetben

1 =

y1 2 y0 y y ; 2 = 1 1 0 ; 1 2 2 1

2. esetben

1 = y0 2 =

1 y1 n n

y0 ;

8.2.1. Feladat. Számítsuk ki A és ! értékét a 3.esetben, ha

1. y0 = y1 = 0 , 2. y0 = 0; y1 6= 0 , 3. y0 6= 0; y1 = 0 , 4. y0 6= 0; y1 6= 0 . 8.2. A lineáris ak elerátor-multiplikátor modell. II.

Magasabbrend¶ dieren iaegyenletek. III.

33

9. el®adás Magasabbrend¶ dieren iaegyenletek. III. 9.1. A k-adrend¶ lineáris dieren iaegyenlet. III. 9.1.1. Inhomogén egyenlet I. A változó együtthatójú k-adrend¶ inhomogén lineáris dieren iaegyenlet általános megoldása el®áll az egyenlet egy tetsz®leges (ún. partikuláris) megoldása és az egyenlethez hozzátartozó homogén egyenlet általános megoldásának összegeként, azaz

y

yp megoldás és fx1; x2 ; : : : ; xk g a

akkor és sak akkor megoldása a (7.2.1) egyenletnek, ha van olyan vannak olyan

1 ; : : : ; k

számok, hogy

y = yp +

Pk

i=1 i xi ,

ahol

(7.2.2) egyenlet egy alaprendszere. Nin s olyan módszer, ami tetsz®leges (7.2.2) egyenlethez el®állítana egy alaprendszert (megadná a függvényrendszert). Spe iális esetekben a feladat megoldása ismert, lsd. pld. az állandó együtthatójú egyenletek, más esetekben ismert, hogy a feladat egyszer¶síthet®. Nin s olyan általános módszer sem, ami tetsz®leges a (7.2.1) egyenlet egy

g = g + g 1

2

, ahol

yp és

g

függvényhez el®állítaná

partikuláris megoldását (megadná a függvényt). De, ha

tetsz®leges valós számok, és a

g1

illetve a

g2

(7.2.1) egyenletnek ismert egy-egy partikuláris megoldása, jelölje ezeket

yp2 ,

akkor az

yp := yp1 + yp2

jobboldalú

yp1

illetve

függvény egy partikuláris megoldása lesz az eredeti

(7.2.1) egyenletnek. Ezt a tulajdonságot (is) a szuperpozí ió elvének nevezzük.

Inhomogén egyenlet állandó együtthatókkal

yn+k + p1 yn+k 1 + ::: + pk yn = gn

(9.1.1)

pk 6= 0 , g valós függvény. Nin s olyan módszer, ami tetsz®leges g függvényhez el®állítana egy yp partikuláris megoldást (megadná a függvényt). De, bizonyos g függvények esetén ismert, pi ; i = 1; :::; k;

- valós számok,

hogy milyen alakú függvény ad egy partikuláris megoldást (lsd. 9.1.1. Táblázat).

Inhomogén egyenletek


34

gn

ypn alakja

an

Aan

n`

A0 + A1 n + : : : A` n`

sin bn; os bn b valós szám, bi nem karakterisztikus gyök

A1 sin bn + A2 os bn

an sin bn; an os bn a; b valós számok, a bi nem karakterisztikus gyök

an (A1 sin bn + A2 os bn)

a 6= 1 valós szám, nem karakterisztikus gyök

` egész, 1 nem karakterisztikus gyök

an n` sin bn; an n` os bn (A10 + A11 n + : : : A1` n` )an sin bn a; b valós számok, a bi nem karakterisztikus gyök +(A20 + A21 n + : : : A2` n` )an os bn 9.1.1. táblázat. Partikuláris megoldások Ha a 9.1.1. Táblázat baloldali oszlopában olyan

a + bi

a; b

szerepel, hogy

a

vagy

bi

vagy

karakterisztikus gyök, vagy a 2. sornál 1 karakterisztikus gyök, aminek mul-

tipli itása

m,

akkor a jobboldalon álló polinomok (ha több van, akkor mindegyik

külön-külön) beszorzódnak egy

nm -nel.

Nyilvánvalóan érvényes a szuperpozí ió elve is. A partikuláris megoldás paramétereinek meghatározásához az ún.

határozatlan együtthatók módszerét alkalmaz-

zuk: behelyettesítéssel az ismeretlen paraméterekre nézve egyértelm¶en megoldható lineáris egyenletrendszert kapunk.

9.1.1. Példa. Oldjuk meg a

yn+2

yn+1

12yn = gn(i) ; i = 1; 2; 3;

egyenletet, ha gn(1) = 2n és ha gn(2) = n2n és ha gn(3) = 4n . Megoldás:

1 = 4; 2 = 3 . Tehát x1n = 4n x1n = ( 3)n .

A karakterisztikus egyenlet gyökei:

satolt homogén egyenlet alapmegoldás-rendszere:

9.1. A k-adrend¶ lineáris dieren iaegyenlet. III.

a


i = 1: 2

A2n

35

nem gyöke a karakterisztikus egyenletnek. Így a partikuláris megoldást

a = 2 .) Behelyettesítve A2n+2 (4 2 12)A = 1 , azaz A = 1=10 .

alakban keressük (9.1.1.Táblázat els® sora,

A2n+1

12A 2n = 2n .

Egyszer¶sítés után

A feladat általános megoldása

yn = i = 2: 2 (An + B )2n

1 n 2 + 1 4n + 2 ( 3)n ; 10

1 ; 2 valós számok.

nem gyöke a karakterisztikus egyenletnek. Így a partikuláris megoldást

a = 2; ; b = 0; ` = 1 .) n+2 [A(n + 1) + B ℄2n+1 12(An + B )2n = n2n . Behelyettesítve [A(n + 2) + B ℄2 Egyszer¶sítés után 10An + (6A 10B ) = n , azaz A = 1=10; B = 3=50 . alakban keressük (9.1.1.Táblázat utolsó sora,

A feladat általános megoldása

yn = i = 3: 4

1 n n2 10

3 n 2 + 1 4n + 2 ( 3)n ; 50


egyszeres multipli itású gyöke a karakterisztikus egyenletnek. Így a

partikuláris megoldást

An4n

alakban keressük (9.1.1.Táblázat els® sora, gyelembe

a = 4 , m = 1 .) Behelyettesítve A(n + Egyszer¶sítés után 28A = 1 , azaz A = 1=28 .

véve a táblázatot követ® megjegyzést,

2)4n+2 A(n +1)4n+1 12An 4n = 4n . A feladat általános megoldása

yn =

1 n n4 + 1 4n + 2 ( 3)n ; 28


9.2. A lineáris ak elerátor-multiplikátor modell. III. Keressünk meg a termelési egyenletnek egy partikuláris megoldását, ha a modellben az autonóm fogyasztás és az autonóm beruházás is szerepel, és szabályos, mégpedig úgy, hogy

=1

(

= 1 ), azaz a relatív változókra felírt modell azonos

az eredetivel. Ekkor a (relatív) termelés egyenlete :

yn+2

( + )yn+1 + yn = iA + A :

(9.2.1)

6= 1 , így 1 nem karakterisztikus gyök (lsd. (8.2.2)), tehát a 9.1.1.Táblázat els® sora szerint a partikuláris megoldást ypn A alakban kell keresni. BehelyetteMivel

9.2. A lineáris ak elerátor-multiplikátor modell. III.

Magasabbrend¶ dieren iaegyenletek. III. sítve:

36

A ( + )A + A = ia + a , ahonnan A=

iA + A : 1

(Megjelent a modell nevében szerepl® multiplikátor:

ypn m(iA + A ) .)

A modell általános megoldása:

yn = ahol

zn

iA + A + zn ; 1

a (8.2.3), (8.2.4), (8.2.5) képletekben szerepl®, két ismeretlen konstanst

tartalmazó függvények egyike, a karakterisztikus egyenlet gyökét®l függ®en. Ha ismert az

y0 , és y1

indulóérték, akkor a konstansok értéke ismét behelyette-

sítéssel nyerhet®.

9.2.1. Feladat. Számítsuk ki a keresett konstansokat mind a három esetben!

9.2. A lineáris ak elerátor-multiplikátor modell. III.

Magasabbrend¶ dieren iaegyenletek. IV.

37

10. el®adás Magasabbrend¶ dieren iaegyenletek. IV. 10.1. A k-adrend¶ lineáris dieren iaegyenlet. IV. 10.1.1. A megoldások aszimptotikus viselkedése Csak az

yn+2 + p1 yn+1 + p2 yn = 0

(10.1.1)

másodrend¶ egyenletekkel foglalkozunk, magasabbrend¶ egyenlet esetén a megfontolások hasonlóak, de kétségtelenül elbonyolódnak a rend növekedésével. Látni fogjuk, hogy a megoldások hosszútávú viselkedése a karakterisztikus egyenlet gyökeinek elrendez®dését®l függ. Legyen

1.

1 6= 2 , valós gyökpár.

1 ; 2

a két karakterisztikus gyök.

Ekkor az

y1n = n1 , y2n = n2

függvények alapmegol-

dások. (a) Ha

j1j > j2j , akkor y1

- domináns megoldás, azaz meghatározza az

általános megoldás aszimptotikus viselkedését:

yn = 1 y1n + 2 y2n = n1 ( 1 + 2 ( 2 )n ) 1 lim y n!1 n

i. ii. iii. iv.

= nlim

n : !1 1 1

1 > 1 : n1 divergál +1 -hez - instabil rendszer 1 = 1 : n1 = 1 - stabil rendszer 0 < 1 < 1 : n1 monoton tart 0 -hoz - aszimpt. stabil rendszer 1 < 1 < 0 : n1 nulla körül osz illál és nullához tart - aszimpt. stabil rendszer

v. vi.

1 = 1 : n1 = 1 osz illál, - stabil rendszer 1 < 1 : n1 osz illál, de abszolút értékben instabil rendszer

Stabilitás

divergál

+1 -hez

-

Magasabbrend¶ dieren iaegyenletek. IV. (b)

1 = 2 = .

38

Ekkor az általános megoldás:

yn = ( 1 + 2 n)n : i. ii. iii.

1 monoton divergál - instabil rendszer 1 osz illálva divergál - instabil rendszer 0 < < 1 monoton konvergál 0 -hoz - aszimptotikusan stabil rendszer

1<<0

iv.

osz illálva konvergál

0 -hoz

- aszimptotikusan stabil

rendszer ( )

1 = 2 > 0 .

Ekkor az általános megoldás:

yn = ( 1 + 2 ( 1)n )n: 10.1.1. Feladat. Válasszuk szét a lehetséges eseteket! 2. Komplex gyökpár:

1 = + i ; 2 = i

Általános megoldás:

yn = Arn os(n

! ); r =

p

2 + 2 ; = ar tg

A megoldás mindig osz illál, mégpedig

r>1

divergáló amplitúdóval, instabil rendszer

r=1

állandó érték¶ amplitúdóval, stabil rendszer

r<1

konvergálva

0 -hoz, aszimptotikusan stabil rendszer

Összefoglalás 1. Akkor és sak akkor osz illál

minden megoldás, ha az egyenletnek nin s pozitív

karakterisztikus gyöke. 2. Akkor és sak akkor tart zérushoz

minden megoldás, ha az egyenlet

risztikus gyökeire fennáll

maxfj1 j; j2jg < 1:

10.1. A k-adrend¶ lineáris dieren iaegyenlet. IV.

karakte-


39

3. Akkor és sak akkor tart zérushoz

minden megoldás, vagyis a rendszer

akkor

és sak akkor aszimptotikusan stabil, ha

1 + p1 + p2 > 0 1 p1 + p2 > 0 1 p2 > 0:

10.2. Inhomogén lineáris másodrend¶ dieren iaegyenlet állandó jobboldallal yn+2 + p1 yn+1 + p2 yn = M; M

(10.2.1)

- állandó. Egyensúlyi helyzet:

M 1 + p 1 + p2

y =

(10.2.2)

Az egyenlet általános megoldása:

yn = y + yhn; yhn

(10.2.3)

- a homogén egyenlet általános megoldása.

Következmény: 1. Az inhomogén egyenlet

minden megoldása akkor és sak akkor osz illál az y

egyensúlyi helyzet körül, ha a homogén egyenletnek nin s pozitív karakterisztikus gyöke. 2. Az inhomogén egyenlet

minden

megoldása akkor és sak akkor tart az

y

egyensúlyi helyzethez, ha az egyenlet karakterisztikus gyökeire fennáll

maxfj1 j; j2jg < 1: 3. Akkor és sak akkor tart az

y

minden megoldása, vagyis az

egyensúlyi helyzethez az inhomogén egyenlet

egyensúlyi helyzet akkor és sak akkor aszimp-

totikusan stabil, ha

1 + p 1 + p2 > 0 1 p 1 + p2 > 0 1 p 2 > 0

10.2. Inhomogén lineáris másodrend¶ dieren iaegyenlet állandó jobboldallal


40

10.3. A lineáris a

elerátor-multiplikátor modell. IV. A (hi ksi) modell alapegyenlete:

yn = iA + A + ( + ) yn y0

A (hi ksi) alapegyenlet

y0 =

Legyen

egyensúlya létezik és egyértelm¶:

iA + A ; 1 ( + ) + 2

A gyakorlatban

=1:

2 yn 2 :

1

ahol

1 ( + )

2

> 0:

1 : y0 iA1+

A

A lineáris elemi hi ksi rendszer akkor és sak akkor osz illál, ha

p

<2

A lineáris elemi hi ksi rendszer akkor és sak akkor aszimptotikusan stabil, ha

<1 10.3.1. Megjegyzés.

A gyakorlatban

1; 5 , 0; 75 .

osz illál.

1.5 stabilitási tartomány oszcillációs tartomány

1

γ

x gyakorlati érték x

0.5

0

0

1

2

3 β

4

p

5

10.3.1. ábra. = 2

10.3. A lineáris a

elerátor-multiplikátor modell. IV.

6

A rendszer instabil és

Lineáris els®rend¶ dieren iaegyenlet-rendszerek. I.

41

11. el®adás Lineáris els®rend¶ dieren iaegyenlet-rendszerek. I. 11.1. Egy külkereskedelmi modell Az elemi modellt Goldberg írta le, 1958-ban (S. Goldberg, Introdu tion to dieren e equations,Wiley and Sons, New York, 1958.).

A modellben mindössze két ország

szerepelt.

A modell változói és azok argumentumai: Az id®változó azonos hosszúságú periódusokra van osztva, a periódusok sorszámát

n

n = 0; 1; 2; : : : :

jelöli,

A modellváltozóknál a periódusra az utolsó index

utal. A modell szerepl®i országok, ezekre utalnak a modellváltozók els® indexei,

j; l =

1; : : : ; L ; egy index, ha egy ország "bels®" változója, két index akkor, ha kap solati változó.

yjn

- a

j -edik ország nemzeti jövedelme az n -edik periódusban,

jn

- a

j -edik ország teljes fogyasztása az n -edik periódusban,

ijn

- a

j -edik ország nettó beruházása az n -edik periódusban,

xljn mljn djn

j -edik ország exportja az l -edik országba az n -edik periódusban,

- a - a

- a

j -edik ország importja az l -edik országból az n -edik periódusban,

j -edik ország hazai termék fogyasztása az n -edik periódusban.

Feltételezések: 1.

yjn = jn + ijn +

L X

l=1 l 6= j Külkereskedelmi modell

xljn

L X

l=1 l 6= j

mljn

Lineáris els®rend¶ dieren iaegyenlet-rendszerek. I. 2.

L X

djn = jn

42

mljn

l=1 l 6= j 3.

djn+1 = ajj yjn;

mljn+1 = alj yjn;

aij > 0

4.

mljn = xjln Innen

yjn+1 = ajj yjn +

L X

ajl yln + ijn+1 :

l=1 l 6= j Másképpen:

0 y1n B B y2. n yn = B B ..

yLn

1 C C C; C A

0 a11 a12 : : : a1L B B a21 a22 : : : a2L A=B . . .. B ... . . . . .

aL1 aL2 : : : aLL

1 C C C; C A

0 i1n B B i2.n in = B B ..

iLn

1 C C C; C A

yn+1 = Ayn + in+1

11.2. Dieren iaegyenlet rendszerek Autonóm (id®független) rendszerek:

y1n+1 = a11 y1n + a12 y2n + + a1k ykn y2n+1 = a21 y1n + a22 y2n + + a2k ykn ::: ykn+1 = ak1 y1n + ak2 y2n + + akk ykn Vektoriális alak

yn+1 = Ayn Ha adott az

yn0 = yb0

kezdeti érték, (

11.2. Dieren iaegyenlet rendszerek

n0 = 0

szokásos), akkor a kezdetiérték feladat

Lineáris els®rend¶ dieren iaegyenlet-rendszerek. I. megoldása

(

n n0

esetén

yn = An

n0 yb

0

43

:

k k -s egységmátrix.) Feltesszük, hogy A nem szinguláris.

A0 = I

-

Emlékeztet®:

- sajátértéke az

Van olyan

A -nak:

6= 0 vektor, amelyre A = , tehát

(A I ) = 0

eleget tesz a det

ún. karakterisztikus egyenletnek. Kibontva:

k + a1 k 1 + + ak 1 + ak = 0

karakterisztikus polinom, ahol

An

ai -k az A

elemeib®l számíthatók.

kiszámításának algoritmusaival nem foglalkozunk.

11.3. Lineáris rendszerek változó együtthatókkal yn+1 = An yn ; An = (aijn )ki;j =1 k k-s mátrix yn0 = yb0 feladat megoldása n n0 Ha adott az

kezdeti érték, (

j =n0 Feltesszük, hogy

Ai

szokásos), akkor a kezdetiérték

esetén

yn = nY1

n0 = 0

(

Aj =

nY1 j =n0

!

Aj yb0 :

An An 1 : : : An0 I

nem szinguláris,

ha ha

n > n0 n = n0

i n0 :

11.3.1. Dení ió. Az x1 ; x2 ; : : : ; xr (vektor!)függvények lineárisan függetlenek n n0 esetén, ha minden n n0 -ra sak úgy állhat fenn a

1 x1n + 2 x2n + + r xrn = 0 összefüggés, hogy

1 = 2 = = r = 0

. 11.3. Lineáris rendszerek változó együtthatókkal


44

n k k -s mátrixokból álló sorozatot, úgy hogy n oszlopai rendre x1 ; ; xk megoldások n -beli értékei legyenek (vektorok!):

Állítsuk össze a valamilyen

n = [x1n ; x2n ; : : : ; xkn ℄: Ekkor

n+1 = An n : 11.3.1. Tétel. n független.

akkor és sak akkor

(11.3.1)

nem szinguláris, ha x1 ; ; xk lineárisan

11.3.2. Dení ió. Ha n minden n n0 -ra nemszinguláris és kielégíti (11.3.1)et, akkor alapmátrixnak (fundamentális mátrixnak) nevezzük. Ha

n

mátrix.

alapmátrix,

n :=

Qn

C

- tetsz®leges nemszinguláris mátrix, akkor

j =n0 Aj 1

alapmátrix és

n0 = I .

Ez az egyetlen olyan fundamentális mátrix, amelyre

n C

szintén alap-

~ n0 ) . n0 = I , jelölje (

~ n (n0 ) = n n01 , ahol tetsz®leges fundamentális mátrix. ~ n (n0 ) = An n0 . Ha An A , akkor A kezdetiérték feladat (egyetlen) megoldása:

yn = ~ n (n0 )yn0 Ábel képlete: det

n =

Konstans esetben:

nY1

!

Aj

det

j =n0

det

n0 :

n = (detA)n detn0 :

det Következmények:

n

akkor és sak akkor nem szinguláris minden

n n0 -ra, ha n0

nem szingu-

láris. Ez pontosan azt jelenti, hogy

x1 ; : : : ; xk

lineárisan függetlenek.

lineárisan független megoldás. Lineáris kombiná ióik kiadják az összes megoldást:

P yn = ki=1 i xn , ahol x1 ; : : : ; xk egy lineárisan független megoldásrendszer. 11.3. Lineáris rendszerek változó együtthatókkal

Tehát van

k


45

11.4. Inhomogén lineáris rendszer yn+1 = An yn + gn Általános megoldás:

yn = n + ypn; ahol

yp

egy partikuláris megoldás.

A kezdetiérték feladat megoldása:

yn =

nY1 j =n0

!

Aj yn0 +

!

n 1 X

nY1

i=n0

j =i+1

Aj gi :

Konstans A esetében:

yn = An

11.4. Inhomogén lineáris rendszer

n0 y

n0 +

n 1 X i=n0

An

i

1

gi :

Lineáris dieren iaegyenlet rendszerek. II.

46

12. el®adás Lineáris dieren iaegyenlet rendszerek. II. 12.1. A k-adrend¶ egyenlet átírása A k-adrend¶

homogén lineáris dieren iaegyenlet

yn+k + p1 yn+k 1 + ::: + pk yn = 0 pi ; i = 1; :::; k;

- valós számok,

pk = 6 0,

(12.1.1)

átírható k-dimenziós lineáris dieren iae-

gyenlet rendszerré. Az átalakítás:

y1 n := yn ; y2 n := yn+1 ; : : : ; yk n := yn+k 1: Ekkor

y1 n+1 = y2 n ; y2 n+1 = y3 n ; : : : ; yk yk n+1 = pk y1 n p1 yk n :

1

n+1

= yk n ;

Észrevétel: A karakterisztikus egyenletek azonosak!

12.2. Id®invariáns dieren iaegyenlet rendszerek yn+1 = Ayn A megoldás alakja az a)

A

A

mátrix bels® struktúrájától függ:

diagonalizálható:

P 1 AP = D = diag [1 ; : : : ; k ℄

)

n = An = P DnP 1 ;


; 0 = I

fundamentális mátrix

Lineáris dieren iaegyenlet rendszerek. II. Mit takar a

P

mátrix?

P = (1 ; : : : ; k ) , i AP = P D

i

a

i

47

azaz

oszlopvektor

Ai = i i

sajátértékhez tartozó sajátvektor

12.2.1. Tétel. Az A mátrix akkor és sak akkor diagonalizálható, ha van k lineárisan független sajátvektora.

n = An P = P Dn = [n1 1 ; : : : ; nk k ℄ Alapmátrixot adó lineárisan független megoldások:

xi , xin = ni i , i = 1; : : : ; k . Példa. Hogyan kerülhetjük el, hogy komplex függvények is megjelenjenek az alapmegoldásban? Ha

A

valós mátrix és van komplex sajátértéke, akkor

= + i

és

= i

a saján tértékhez tartozó sajátvektor. Legyen = v + ik . Ekkor xn = ( + i ) (v + ik ) . p 2 + 2 , Ha a korábbiakhoz hasonlóan bevezetjük a = r os , = r sin , r = = ar tg jelöléseket és felbontjuk a megoldást, xn = un + ivn , akkor beláthatjuk, együtt jelenik meg. Ha

a

sajátértékhez tartozó sajátvektor, akkor

hogy

un = rn[ os(n)v sin(n)k ℄; vn = rn[sin(n)v + os(n)k ℄: Ellen®rizhetjük, hogy

un

és

vn

lineárisan független megoldások.

12.2.1. Példa. Nem minden mátrix diagonalizálható! Biztosan diagonalizálható, ha például

k

ismert, hogy van

ún. normális mátrix,

különböz® sajátértéke

AT A = AAT .

Biztosan normális, ha

12.2. Id®invariáns dieren iaegyenlet rendszerek


b)

A

48

A = AT

szimmetrikus:

ferdén szimmetrikus:

unitér:

A = AT

AAT = AT A = I

nem-diagonalizálható mátrix:

Van (legalább egy) többszörös sajátérték, de nin s elegend® lineárisan független sajátvektor.

12.2.2. Példa.

A= Tetsz®leges

A

!

:

mátrix hasonló egy Jordan-féle blokk-mátrixhoz:

P 1 AP 0 B B B J` = B B B B J` k` k` -s

1 1 0 1

mátrix,

= J J = diag (J1 ; : : : ; Jr ) 1 r k 1 ` 1 0 : : : 0 C 0 ` 1 0 C C . 0 0 . . . . . . .. C C C .. .. . . ` 1 C A 0 0 `

Pr

`=1 k`

= k.

Ha

k` = 1

minden

`

esetén, akkor a mátrix

diagonalizálható, egyébként nem. A sajátérték algebrai multipli itása: a karakterisztikus polinom megfelel® gyökének multipli itása; a sajátérték geometriai multipli itása: a sajátértékhez tartozó lineárisan független sajátvektorok száma (legfeljebb akkora, mint az algebrai multipli itás).

AP = P J . Legyen P oszlopaiP = (P1 ; : : : ; Pr ) . Ekkor P` els® oszlopa sajátvektor,

A hasonlósági transzformá ióból adódik, hogy nak megfelel® parti ionálása

a többi oszlopa az ún. általánosított sajátvektor:

A`;1 = ` `;1 ; A`;i = ``;i + `;i 1; i = 2; 3; : : : ; k`: A hatványozás eredménye:

An = P J n P

1

J n = diag (J1n ; : : : ; Jrn) 1 r k

12.2. Id®invariáns dieren iaegyenlet rendszerek


0 B n` B B B B 0 B B n J` = B . B B .. B B B B 0

n 1

!

n`

49

! n n 2! ` n n` 1

1

n` .. .

..

2

:::

1

::: ..

.

k` k`

n

!

1! 2

.

n 1

n` :::

0

n

n`

k` +1

`n

k` +2

..

!.

n`

1

n`

1 C C C C C C C C C C C C C C A

Következmény:

limn!1 An = 0

akkor és sak akkor, ha minden sajátértékre igaz, hogy

1.

Ha

limn!1 An = 0 ,

akkor minden megoldás a zérusvektorhoz tart.

jj < Ekkor

tehát a homogén egyenletrendszer zérusmegoldása aszimptotikusan stabil.

12.3.

A külkereskedelmi modell stabilitása

A gazdaság stabil, ha hazai termék és az import fogyasztás kisebb mint az el®z® periódus nemzeti jövedelme, azaz

djn+1 + mjn+1 < yj ;

itt

mj

az összegzett import.

A mátrix oszlopösszegei kisebbek, mint 1. hogy a mátrix minden sajátértékére jj < 1 . Ekkor ugyanis az

Ebb®l pedig következik,

Ha a nettó beruházás állandó minden országban, akkor minden ország nemzeti jövedelme egy egyensúlyi értékhez tart, amely független az induló nemzeti jövedelmekt®l:

yn = An y0 +

Pn

1

r=1

Ar i .

Használjuk fel, hogy ha az

A

mátrix minden

sajátértéke különbözik 1-t®l (ez a stabilitás feltételéb®l adódik), akkor

lim

n!1 Innen kapjuk, hogy

n 1 X r=1

Ar

limn!1 yn = (I

=

1 X r=1

Ar = (I

A) 1 i:

12.3. A külkereskedelmi modell stabilitása

A) 1 :

ÌÖØÐÓÑÝÞ ÌÖØÐÓÑÝÞ ½º ÅÌÄ ½ ½º½º ÅÌÄ ØØÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º½º½º Å ÅÌÄ º º º º º º º º º º º º º º º º º

Recommend Documents