Integrasii 1 1
• Metode Integra g al Reimann • Metode Integra al Trapezoida • Metode Integra al Simpson
Permasalaha an Integrasi g 2
Perhitungan integral adalah perhitu ungan dasar yang digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan. Integral ini secara definitif digunakan untuk menghitung luas daerah yang g dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x. Perhatikan gambar beriku ut :
Luas daerah yang diarsir L d dapat dihitung dengan : b
L=
∫ f (x )dx a
Pada beberapa permasalahan perhitungan n integral ini, dapat dihitung secara manual dengan mudah,tetapi pada a banyak permasalahan integral sulit sekali dihitung bahkan dapat dikatakan tidak dap pat dihitung secara manual
Permasalaha an Integrasi g Pada aplikasi, perhitungan integral3ini digunakan untuk g g luas area pada peta, vo olume permukaan tanah, menghitung menghitung luas dan volume-volum me benda putar dimana fungsi f(x) tidak ditulis, hanya digunakan gamb bar untuk menyajikan nilai f(x) Perhatikan contoh :
Skala 1:100000
Untuk menghitung luas daerah yan ng berwarna hijau, perlu digunakan analisa numerik.Karena polanya dissajikan dalam gambar dengan faktor skala tertentu.
Metode Integ gral Reimann g Metode integral Reimann ini merupakan metode m integral yang b digunakan g dalam kalkulus, dan didefinisik kan dengan g : f (x )dx = lim
∫ a
∆x →0
n
∑ f (xi )∆x
i =0
Pada metode ini, luasan yang dibatasi oleh h y = f(x) dan sumbu x dibagi menjadi N bagian g p pada range g x = [a,, b] yyang g akan dih hitung.Kemudian g dihitung g tinggi gg dari setiap p step ke-i yaitu f(xi).Li adalah luas setiap persegi panjang dimana Li=f(xi). ∆xi 0.5 x*cos(3*x)*exp p(-2*x)+0.35 x*cos(3*x)*exp * (3* )* p(-2*x)+0.35 ( 2* ) 0 35 0.45
0.4
0.35
03 0.3
L0 L1
Ln-1 Ln
L2
0.25
L3 0.2 0
0.5
a
1
1.5
2
2.5
3
b
Metode Integ gral Reimann g 5
L Luas kkeseluruhan l h adalah d l h jjumlah l h Li d dan di dituliskan li k : L = L0 + L1 + L2 + .. + Ln
= f ( x0 )∆x0 + f ( x1 )∆x1 + f ( x 2 )∆x 2 + ... + f ( x n )∆x3 n
= ∑ f ( xi )∆xi i 0 i=0
. = ∆xn = h Bila diambil ∆x0 = ∆x1 = ∆x2 = ... maka didapat p metode integral g Reimann sebagai g berikut :
b
∫ a
n
f ( x )dx = h∑ f ( xi ) i =0
Contoh Metode Integral g Reimann 1 x**2
Hitung g luas yyang g dibatasi y = x2 dan n sumbu x untuk range x = [0,1] 1
∫x
L=
2
0.8
0.6
0.4
dx 0.2
0
Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tab bel :
0 0
x
0
0.1
0.2
f(x)
0
0.01
0.04 0.04 0.09 0.16 0.2 25 0.36
L = h.
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.1
0.9
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
1.
0.49 0.64 1
10
∫ f ( xi )
n =0
= 0.1(0 + 0.01 + 0.04 + 0.09 + 0.16 + 0.25 + 0.36 + 0.49 + 0.64 + 0.81 + 1.00 ) = (0.1)(3,85) = 0,385 1
S Secara kalkulus :
1 L = ∫ x 2 dx = x 3 |10 = 0,33333..... 3 0
e=0 0,385-0,333 385 0 333 = 0,052
0.7
0.8
0.9
1
Algoritma Metodee Integral Reimann 7
1. 2. 3. 4 4. 5.
Definisikan fungsi f(x x) Tentukan batas bawa ah dan batas atas integrasi g Tentukan jumlah pem mbagi area N Hitung h=(b-a)/N h (b a)/N N Hitung L = h .∑ f ( x i ) i=0
Untuk mengurangi kesalaha an dapat dilakukan dengan memperkecil nilai h atau mem mperbesar jumlah pembagi N.
Integrasi
Metode Integr gral Trapezoida p Pada metode trapezoida ini setiap ba agian dinyatakan sebagai trapezium seperti gambar berikut : L Luas trapezium ke-i (Li) adalah : f(x2)
Li =
f(x1)
atau
f(xn-1) f(x0)
f(xn)
… x0
x1
x2
x3
x4
x5
Li = xn-2
xn-1
a
1 ( f (xi ) + f (xi +1 )).∆xi 2
xn
1 ( f i + f i +1 ).∆xi 2
b
Dan luas keseluruhan dihitung de engan menjumlahkan luas dari η −1 semua bagian b i ttrapezium. i S hi Sehingga di diperoleh l h L = ∑ Li i =0
n −1
1 h L = ∑ h( f i + f i +1 ) = ( f 0 + 2 f1 + 2 f 2 + ... + 2 f n −1 + f n ) 2 i =0 2
Contoh Metode In ntegral Trapezoida 9
Hitung luas yang dibatasi y = 2x3 dan d sumbu x untuk range x = [0,1] 1
3 2 x ∫0 dx
L=
Dengan mengambil h=0.1 maka diperole eh tabel : x
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.
f(x)
0
0,002
0,016
0,054
0,128
0,25
0,432
0,686
1,024
1,458
2
0,1 {0 + 2(0,002 + 0,016 + 0,054 + 0,128 + ... + 1,024 + 1,458) + 2} = 0,505 L= 2 1
1 Secara kalkulus : L = ∫ 2 x 3 dx = ⎡⎢ x 4 ⎤⎥ = 0,5 ⎣2 ⎦0 0 1
Dengan h=0,1 terjadi kesalahan e = 0,505-0,5 = 0,005
Algoritma Metode Integral Trapezoida 10
1. 2. 3. 4 4. 5.
Definisikan fungsi f(x) Tentukan batas bawah h dan batas atas integrasi g Tentukan jumlah pemb bagi area N Hit ng h Hitung h=(b-a)/N (b a)/N n −1 ⎞ h⎛ Hitung L = ⎜⎜ f 0 + 2∑ f i + f n ⎟ 2⎝
i =1
⎠
Metode Integ gral Simpson g p Metode integrasi g Simpson p merupak p kan p pengembangan g g metode integrasi g trapezoida, hanya saja daerah pembaginya bukan berupa trapesium tetapi berupa dua buah trapesium dengan d menggunakan pembobot berat di titik tengahnya seperti teliha at pada gambar berikut ini. ini Atau dengan kata lain metode ini ad dalah metode rata-rata dengan pembobot kuadrat. f(xi)
f(xi-1) f(xi+1) xi-1 xi
xi+1
Pemakaian aturan simpson dimana b bobot fi sebagai titik tengah dikalikan dengan 2 untuk menghitung luas ban ngun diatas dapat dituliskan dengan: h h h L = ( f i −1 + 2 f i ) + (2 f i + f i +1 ) = ( f i −1 + 4 f i + f i +1 ) 3 3 3
Luas daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu x, dihitung dengan aturan Simpson : L=
h ( f 0 + 2 f1 ) + h (2 f1 + f 2 ) + h ( f 2 + 2 f 3 ) + h (2 f 3 + f 4 ) + ... + h ( f n−2 + 2 f n−1 ) + h (2 f n−1 + f n ) 3 3 3 3 3 3
Atau dapat ditulis : f(x2) f(x1) f(xn-1)
f(x0)
f(xn)
… x0 a
x1
x2
x3
x4
x5
xn-22
xn-11
xn
⎞ h ⎜⎛ L = ⎜ f0 + 4 ∑ fi + 2 ∑ fi + f n ⎟ 3⎝ i ganjil i genap ⎠
b
12
Contoh Metode IIntegral Simpson 13
Hitung g luas yyang g dibatasi y = 2x3 dan d sumbu x untuk range g x = [0,1] L=
1
3 2 x ∫0 dx
Dengan mengambil h=0.1 maka diperole eh tabel : x
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.
f(x)
0
0,002
0,016
0,054
0,128
0,25
0,432
0,686
1,024
1,458
2
0,1 (0 + (4)(0,002) + (2)(0,016) + (4)(0,0554) + (2)(0,128) + ... + (2)(1,024) + (4)(1,458) + 2) L= 3 0,1 (15) = 0,5 = 3 1
1 Secara kalkulus : L = ∫ 2 x dx = ⎡⎢ x 4 ⎤⎥ = 0,5 ⎣2 ⎦0 0 1
3
Dengan h=0,1 terjadi kesalahan e = 0,5-0,5 = 0
Algoritma Metodee Integral Simpson 14
1. 1 2. 3 3. 4. 5 5.
Definisikan fungsi f(xx) Tentukan batas bawa ah dan batas ata integrasi Tentukan jumlah pem mbagi area N Hitung h=(b-a)/N Hitung
⎞ h ⎛⎜ L = ⎜ f0 + 4 ∑ fi + 2 ∑ fi + fn 2⎝ i genap i ganjil ⎠ • Metode M t d iinii akan k mendapatkan d tk h hasilil yang b baik ik bil bila di diambil bil n genap. • Metode ini sangat terkenal karen na kesalahannya sangat kecil, sehingga gg menjadi j alternatif yyang g baik b dalam p perhitungan g integral g dan penerapannya khususnya di bidan ng teknik.
