Integrálás helyettesítéssel §. INTEGRÁLÁS HELYETTESÍTÉSSEL .1. Integrálás helyettesítéssel – az alapötlet Az integrálszámitás egyik leghatékonyabb módszere a helyettesítéses módszer. Több hasznos helyettesítés létezik, amit integrálok kiszámitására használhatunk. A legfontosabbak közül néhányat bemutatunk a következő fejezetekben. A helyettesitők használatának legfőbb célja az, hogy találjunk egy másik integrált, ami könnyebben megoldható. Az alapötlet, hogy kicseréljük az x független változót az ∫ f ( x ) dx integrálban egy új t változóra a következő egyszerű formula segitségével x = ϕ ( t ) . Ebből következik:
( x )' x = ⎡⎣ϕ ( t )⎤⎦ 't ⇒ 1.dx = ϕ ' ( t ) dt és f ⎡⎣ϕ ( t )⎤⎦ . Következésképpen ∫ f ( x ) dx = ∫ f ⎡⎣ϕ ( t )⎤⎦.ϕ' ( t ) dt
amit
remélhetőleg könnyebben tudunk megoldani. Bizonyos esetekben hasznosabb a t = ψ ( x ) helyettesítést használni. Algoritmus a ∫ f ( x ) dx helyettesítéssel történő megoldására.
1. lépés A problémától függően legalkalmasabb helyettesítő formula meghatározása. Step 2. Helyettesitsük t-re az x-et az integrálandó függvényben, számoljuk ki dx-et a helyettesítő formula segitségével és határozzuk meg az új integrált ∫ f ⎡⎣ ϕ ( t ) ⎤⎦ .ϕ' ( t ) dt .
Step 3. Számoljuk ki az integrált. Step 4. Az F ( t ) eredményt alakitsuk át az x változónak megfelelően. Maple parancsok. >I:=int(f,x); >Int(f,x); Az f függvény integráljának meghatározása, ahol x egy változó; >with(student):changevar(x=t^2,I);
1
Integrálás helyettesítéssel A t változó helyettesítése x –el a képletben (jelen esetben x = t 2 ) az I integrálban. >I1:=value(%); A végeredmény kiszámitása ahogy a Maple program használja. Példa. Számoljuk ki a következő integrált dx . I0 = 2 ( x + 1) x
∫
Matematikai megoldás. A helyettesítés x = t > 0 ⇒ x = t 2 ⇒ dx = 2tdt . Ebből dt 2tdt I0 = = 2 = arctgt + C = arctg x + C . t +1 2 t2 +1 t
∫
(
)
∫
Megoldás a Maple segitségével. >I0:=int(1/(2*(x+1)*sqrt(x)),x);
I 0 := arctg
( x)
Részletes megoldás a Maple-ben. 1) az integrál definiálása a STUDENT programba: >with(student): >I0:=Int(1/(2*(x+1)*sqrt(x)),x); 1 I 0 := dx 2 ( x + 1) x
∫
2) helyettesítsük t 2 -el x -et: >changevar(x=t^2,I0); 2t dt 2 2 2 t +1 t
∫
(
)
3) számoljuk ki az uj integrált: >I0:=value(%); t.arctan ( t ) I0 = t2 4) alakitsuk vissza x -re: >I0:=subs(t=sqrt(x),I0);
2
Integrálás helyettesítéssel
I 0 = arctan
( x)
Példa. Számoljuk ki a következő integrált dx . I1 = 2 x x −4
∫
Matematikai megoldás. 2 2 ⎫ ⎧ A helyettesítés ⎨ x = ⇒ dx = − 2 dt ⎬ . Ebből t t ⎩ ⎭ 2 1 1 t = = ⇒ 2 2 2 4 x x −4 − 4 4 1− t 2 t t t2 ⎛ 2 ⎞ 1 1 I1 = − dt = − dt = ⎜ ⎟ 2 ⎝ t2 ⎠ 2 2 4 1− t 1− t 1 1 2 = − arcsint + C = − arcsin + C . 2 2 x Részletes megoldás a Maple-ben. >restart: with(student): >I1:=Int(1/(x*sqrt(x^2-4)),x): >changevar(x=2/t,I1); I1:=value(%); >I1:=subs(t=2/x,I1); 1 ⎛2⎞ I1 := − arcsin ⎜ ⎟ . 2 ⎝ x⎠
∫
∫
Példa. Számoljuk ki a következő integrált e3 x dx I2 = . x 1− e
∫
Matematikai megoldás.
A helyettesítés
{ 1− e
x
}
= t > 0 annak érdekében, hogy szabad
integral legyen.
3
Integrálás helyettesítéssel
(
)
Ebből x = ln 1 − t 2 ⇒ dx =
∫ ∫(
( )
−2t dt ⇒ . 2 1− t
3 ln 1−t 2
∫
(
1− t2
)
3
−2t . dt = −2 dt = t 1− t2 1− t2 2 ⎛ t3 t5 ⎞ 2 = −2 1 − t dt = −2 ⎜ t − 2 + ⎟ + C = 3 5⎠ ⎝ 3 5⎞ ⎛ 2 1 x x x 1− e 1− e = −2 ⎜ 1 − e − + ⎟+C. 3 5 ⎝ ⎠ I2 =
e
)
) (
(
)
Részletes megoldás a Maple-ben. >restart:with(student): >I2:=Int(exp(3*x)/sqrt(1-exp(x)),x); >changevar(sqrt(1-exp(x))=t,I2); >I2:=value(%); >I2:=subs(t=sqrt(1-exp(x)),I2); (5 / 2) 4 (3 / 2) 2 . I 2 := −2 1 − e x − 1 − e x + 1 − ex 5 3
(
)
(
)
Példa. Számoljuk ki a következő integrált 2 sin x.cos x I3 = dx . 4 cos x − 1
∫
Matematikai megoldás. A helyettesítés cos 2 x = t . Ebből dt = 2 cos x.( − sin x ) dx .
{
I3 = −
∫
}
(
)
dt 2 = − arct gt + C = arctg cos x +C 2 t −1
Részletes megoldás a Maple-ben. >restart:with(student): >I3:=Int(2*sin(x)*cos(x)/(cos(x)^4-1),x); >changevar(cos(x)^2=t,I3); >I3:=value(%); >I3:=subs(t=cos(x)^2,I3); 2 I 3 := arctan h cos ( x ) .
(
)
4
Integrálás helyettesítéssel
Példa. Számoljuk ki a következő integrált sin 4 xdx I4 = . 4 3 x
∫
Matematikai megoldás. A helyettesítés 4 x = t . Ebből x = t 4 ,dx = 4t 3dt ⇒
{
}
∫
∫
sint.4t 3dt I4 = = 4 sintdt = −4 cost + C = 3 t = −4cos 4 x + C . Részletes megoldás a Maple-ben. >restart:with(student): >I4:=Int(sin(x^(1/4))/(x)^(3/4),x); >changevar(x^(1/4)=t,I4); I4:=value(%); >I4:=subs(t=x^(1/4),I4);
(
I 4 := −4 cos x(
(
1 / 4)
).
)
.2. A f ( x ) = ax 2 + bx + x függvény integrálása helyettesítéssel
A következő tipusú integral megoldását mutatjuk be helyettesítéssel: Mx + N J1 = dx , ax 2 + bx + c Mx + N J2 = dx . 2 ax + bx + c Ebből 2 ⎡⎛ b ⎞ ⎛ c b2 ⎞⎤ 2 ax + bx + c = ⎢⎜ x + ⎟ + ⎜ − 2 ⎟ ⎥ 2a ⎠ ⎝ a 4a ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣⎝ b b a helyettesítés x + és dx = dt . = t vagy x = t − 2a 2a
∫ ∫
5
Integrálás helyettesítéssel
Példa. Számoljuk ki a következő integrált 2x − 2 I5 = dx . 2 x − 2x + 2
∫
Matematikai megoldás. A helyettesítés { x − 1 = t} . Ebből x 2 − 2 x + 2 = t 2 + 1 és 2 ( t + 1) − 2 2t 1 2 = = +1 = I5 = dt dt d t 2 2 2 t +1 t +1 t +1 = ln t 2 + 1 + C = ln x 2 − 2 x + 2 + C .
∫
∫
∫
(
)
Részletes megoldás a Maple-ben. >restart:with(student): >I5:=Int((2*x-2)/(x^2-2*x+2),x); >changevar(x-1=t,I5); I5:=value(%); >I5:=subs(t=x-1,I5);
(
)
I 5 := ln ( x − 1) + 1 2
>simplify(I5); I 5 := ln x 2 − 2 x + 2 .
(
)
Példa. Számoljuk ki a következő integrált dx I6 = . 2 x + 4x + 8
∫
Matematikai megoldás. A helyettesítés { x + 2 = t} . Ebből x 2 + 4 x + 8 = t 2 + 4 és dt t 1 1 ⎛ x+2⎞ = arctg + C = arctg ⎜ I6 = 2 ⎟+C. 2 2 t +4 2 ⎝ 2 ⎠
∫
Részletes megoldás a Maple-ben. >restart:with(student): >I6:=Int(1/(x^2+4*x+8),x); >changevar(x+2=t,I6); I6:=value(%); >I6:=subs(t=x+2,I6);
6
Integrálás helyettesítéssel
1 ⎛1 ⎞ I 6 := arctan ⎜ x + 1⎟ . 2 ⎝2 ⎠ Példa. Számoljuk ki a következő integrált 3x − 1 I7 = dx . x2 + 4 x + 5
∫
Matematikai megoldás. A helyettesítés { x + 2 = t} . Ebből x 2 + 4 x + 5 = t 2 + 1 és 3t − 7 t dt I7 = dt = 3 dt − 7 = 2 2 2 t +1 t +1 t +1 3 1 2 = d t + 1 − 7arctgt = 2 t2 +1 3 = ln t 2 + 1 − 7 arctgt + C = 2 3 = ln x 2 + 4 x + 5 − 7 arctg ( x + 2 ) + C . 2 Részletes megoldás a Maple-ben. >restart:with(student): >I7:=Int((3*x-1)/(x^2+4*x+5),x); >simplify(changevar(x+2=t,I7)); >I7:=value(%); >I7:=simplify(subs(t=x+2,I7)); 3 I 7 := ln x 2 + 4 x + 5 − 7 arctg ( x + 2 ) . 2
∫ ∫
(
(
∫
∫
)
)
Példa. Számoljuk ki a következő integrált 7 − 8x I8 = dx . 2 x 2 − 3x + 1
∫
Matematikai megoldás. 3 ⎫ 1⎞ ⎧ ⎛ A helyettesítés ⎨ x − = t ⎬ . Ebből 2 x 2 − 3x + 1 = 2 ⎜ t 2 − ⎟ . 4 ⎭ 16 ⎠ ⎝ ⎩ 7
Integrálás helyettesítéssel
∫
∫
1 − 8t 8t − 1 dt = −8 dt = 2 1 2 − 16 1 t t − 16 1 2t =8 dt − 8 . 4 dt = 2 2 ( 4t ) − 1 ( 4t ) − 1 I8 =
1 2
∫ ∫(
=2
∫
1 4t ) − 1 2
d ( 4t ) − 32
∫
1 2
16t − 1
dt 2 =
4t − 1 − 2 ln 16t 2 − 1 + C = 4t + 1 = ln 4t − 1 − ln 4t + 1 − 2 ln 4t − 1 − 2 ln 4t + 1 + C = = ln
= − ln 4t − 1 − 3 ln 4t + 1 + C = = − ln 4 x − 4 − 3 ln 4 x − 2 + C = = − ln 4 − ln x − 1 − 3 ln 2 − 3 ln 2 x − 1 + C =
= −5 ln 2 − ln x − 1 − 3 ln 2 x − 1 + C = . Részletes megoldás a Maple-ben. >restart:with(student): >I8:=Int((7-8*x)/(2*x^2-3*x+1),x); >I8:=simplify(changevar(x-3/4=t,I8)); >I8:=value(%); >I8:=simplify(subs(t=x-3/4,I8)); I 8 := −5 ln ( 2 ) − 3 ln ( 2 x − 1) − ln ( x −1) . Példa. Számoljuk ki a következő integrált 2x − 2 I9 = dx . 2 x − 2x + 2
∫
Matematikai megoldás. A helyettesítés { x − 1 = t} . Ebből x 2 − 2 x + 2 = t 2 + 1 és 2 ( t + 1) − 2 2t 1 I9 = dt = dt = d t2 +1 = t2 +1 t2 +1 t2 +1
∫
∫
= 2 t 2 + 1 + C = 2 x2 − 2 x + 2 + C .
8
∫
(
)
Integrálás helyettesítéssel Részletes megoldás a Maple-ben. >restart:with(student): >I9:=Int((2*x-2)/sqrt(x^2-2*x+2),x); >I9:=simplify(changevar(x-1=t,I9)); >I9:=value(%); >I9:=simplify(subs(t=x-1,I9)); I 9 := 2 x 2 − 2 x + 2
Példa. Számoljuk ki a következő integrált 3x − 5 I10 = dx . 2 9 + 6 x − 3x
∫
Matematikai megoldás. A helyettesítés { x − 1 = t} . Ebből 9 + 6 x − 3 x 2 = 3 4 − t 2 és
(
I10 =
1 3
∫
3t − 2
3
∫
t 2
dt −
2 3
∫
1
4−t 4−t 2 t =− 3 d 4 − t2 − arcsin + C = 2 3 2 4 − t2 t 2 = − 3 4 − t2 − arcsin + C = 2 3 x −1 2 arcsin = − 9 + 6 x − 3x2 − +C. 2 3
∫
(
4−t 1
2
3
dt =
)
(
)
)
Részletes megoldás a Maple-ben. >restart:with(student): >I10:=Int((3*x-5)/sqrt(9+6*x-3*x^2),x); >I10:=simplify(changevar(x-1=t,I10)); >I10:=value(%); >I10:=simplify(subs(t=x-1,I10)); 2 1⎞ ⎛1 3 arcsin ⎜ x − ⎟ − 9 + 6 x − 3x 2 . I10 := − 3 2⎠ ⎝2
9
2
dt =
Integrálás helyettesítéssel .3. Gyakorlás
Oldja meg a következő integrálokat helyettesítéssel: e2 x I11 = dx , e4 x + 9 ⎛ e2 x ⎞ 1 Megoldás. I11 = arctg ⎜ ⎟+C , 6 3 ⎝ ⎠ dx I12 = , 3 2 3 x x −1
∫
∫ (
)
3 Megoldás. I12 = ln 3 x − 1 + C 2 dx , helyettesítés x = a (1 − t ) , I13 = 2 2ax − x a−x Megoldás. I13 = ± arccos +C a ex + 1 I14 = dx , ex −1
∫
∫
(
)
2
Megoldás. I14 = ln e x − 1 − x + C .
I15 =
∫
4x + 3 dx , 2 2x + 2x + 1
Megoldás. I15 = ln x 2 + x +
∫
1 + arctg ( 2 x + 1) + C 2
2x − 5 dx , 2 x + 4x + 5 Megoldás. I16 = ln x 2 + 4 x + 5 − 9arctg ( x + 2 ) + C I16 =
∫
x +1 dx , 3x 2 + 6 x + 2 1 2 Megoldás. I17 = ln x 2 + 2 x + + C , 6 3 I17 =
10
Integrálás helyettesítéssel
∫
x+2 dx 3x 2 + 6 x + 2 Megoldás. 1 2 1 I18 = ln x 2 + 2 x + + arctg 6 3 3 x −1 I19 = dx 2 2 x − 3x I18 =
(
)
3x + 3 + C
∫
1 2 1 Megoldás. I19 = − ln x − + ln 3 3 2 I 20 =
∫
2x − 4 2
x + 3x + 5
∫
2x + 3 2
x + 3x + 5
x
2 3 +C
dx ,
Megoldás. I 20 = 2 x 2 + 3x + 5 − 7 ln x + I 21 =
x−
3 + x 2 + 3x + 5 + C 2
dx ,
Megoldás. I 21 = x 2 + 3x + 5 + C 4x + 2 I 22 = dx , 2 2x − x + 1
∫
Megoldás. I 22 = 2 2 x 2 − x + 1 + 3 ln 2 x − 2 + 2 x 2 − x + 1 + C 2
I 23 =
∫
dx 2
x − 4x − 3
4
,
Megoldás. I 23 = ln x + 2 + x 2 − 4 x − 3 + C
.4. Gyakorló teszt 11
Integrálás helyettesítéssel
Oldja meg a következő integrálokat: co s 5 xdx I 24 = , 5 4 x sin 4 xdx I 25 = , . 4 cos 2 x + 4 sin 2 xdx I 26 = , 4 cos x + 1
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3x + 3 = ∫ 2x − x − 1 dx ∫
I 27 = I 28 =
I 29
I 30 =
e 2 x −3 dx , 2x − 3 dx , 2 10 x − x 2
3x − 2
2
x − 2x + 3
,
dx .
.5. Gyakorló kérdések 1) Magyarázza el a helyettesítéssel történő integrálás módját. 2) Mutasson példát a helyettesítéssel történő integrálásra. 3) Magyarázza meg a következő Maple parancsok jelentését: with(student), changevar(x=t^2,I1), simplify(changevar(x=t^2,I1)), I11:=value(%),I1:=subs(t=sqrt(x),I1), I1:=simplify(subs(t=sqrt(x),I1)).
12
