INTEGRAL DARBOUX Pada tahun 1875, matematikawan I.G. Darboux secara konstrutif memodifikasi definisi integral Riemann
dengan terlebih dahulu mendefinisikan jumlah Darboux atas (upper
Darboux sum) dan jumlah Darbouk bawah (lower Darboux sum), selanjutnya mendefinisikan Darboux atas (upper Darboux integral) dan integral darboux bawah (lower Darboux integral). Pada pemahaman selanjutnya akan didefinisikan integral Darboux dan ekuivalensi integral Darboux dengan integral Riemann. A. Jumlah Darboux Atas dan Jumlah Darboux Bawah Diberikan interval tertutup [ܽǡܾ] ܴ كǡdan ݂ǣ[ܽǡܾ] ՜ ܴ fungsi bernilai real yang
terbatas pada [ܽǡܾ] . Jika ࣪ ൌ (ݔǡݔଵǡݔଶǡǥ ǡݔ ) sembarang partisi pada [ܽǡܾ] maka didefinisikan :
ܯൌ sup {݂()ݔǣܽ[߳ݔǡܾ]} dan ݉ ൌ inf {݂()ݔǣܽ[߳ݔǡܾ]}
Keterbatasan fungsi f dapat menjamin eksistensi dua bilangan ܯdan ݉ tersebut. Selanjutnya untuk݇ ൌ ͳǡʹǡǥ ǡ݊didefinisikan:
ܯ = sup {݂()ݔǣݔ[߳ݔିଵǡݔ ]} ݉ = inf {݂()ݔǣݔ[߳ݔିଵǡݔ ]}
Dapat dipahami bahwa ݉ ݉ ݂( )ݔ ܯ ܯuntuk setiap ݇ ൌ ͳǡʹǡǥ ǡ݊Ǥ
Selanjunya jumlah Darboux atas fungsi ݂ terkait dengan partisi ࣪ ǡdinyatakan dengan ܷ(݂ǣ࣪ ), didefinisikan sebagai:
ܷ(݂ǣ࣪ ) ൌ ܯ(ݔ െ ݔିଵ) ୀଵ
Dan jumlah Darboux bawah fungsi ݂ terkait dengan partisi ܲǡdinyatakan dengan ݂(ܮǣ࣪ ), didefinisikan sebagai:
݂(ܮǣ࣪ ) = ∑ୀଵ ݉ (ݔ െ ݔିଵ)
Lemma 1: Diberikan ܽ,ܾ ܴك, dan f : [ܽ,ܾ] → R fungsi yang terbatas pada [ܽ,ܾ] dan
࣪ ൌ (ݔǡݔଵǡݔଶǡǥ ǡݔ ) sembarang partisi pada [ܽ,ܾ], maka berlaku : ݂(ܮǣ࣪ ) ≤ ܷ(݂ǣ࣪ ).
Bukti : Diberikan ࣪ ൌ (ݔǡݔଵǡݔଶǡǥ ǡݔ ) sembarang partisi pada [ܽ,ܾ], berdasarkan definisi supremum dan infimum suatu himpunan maka diperoleh ݉ ≤ ܯ untuk setiap
k = 1, 2, …, ݊.
Oleh karenanya diperoleh :
ୀଵ
ୀଵ
݂(ܮǣ࣪ )= ݉ (ݔ െ ݔିଵ) ≤ ܯ (ݔ െ ݔିଵ) = ܷ(݂ǣ࣪ )
Dengan menggunakan definisi yang sama untuk penghalus partisi pada integral Riemann, maka muncul Lemma berikut. Lemma 2 Diberikan ܽ,ܾ ܴ ك, dan f : [ܽ,ܾ] → R fungsi yang terbatas pada [ܽ,ܾ]. Jika ࣪ଵ dan ࣪ଶ sembarang dua partisi pada [ܽ,ܾ], dengan ࣪ଵ ⊆ ࣪ଶ maka berlaku : ݂(ܮǣ࣪ଵ) ≤݂(ܮǣ࣪ଶ)ܷ݀ܽ݊(݂ǣ࣪ଶ) ≤ ܷ(݂ǣ࣪ଵ).
Bukti : Diberikan ࣪ଵ = (ݔ, ݔଵ, ݔଶ, … , ݔ ) sembarang partisi pada [ܽ,ܾ] dan ࣪ଶ sembarang partisi pada [ܽ,ܾ] dengan ࣪ଵ ⊆ ࣪ଶ, maka dapat dimengerti bahwa setiap sub interval
[ݔିଵ, ݔ] dalam࣪ଵ pasti memuat titik dari partisi࣪ଶ, minimal ݔିଵ dan ݔ itu sendiri. Namakan titik-titik tambahannya tersebut ݔିଵ = ݐ, ݐଵ, ݐଶ, … , ݐ = ݔ
dengan sifat ݔିଵ = ݐ < ݐଵ < ݐଶ < ⋯ < ݐ = ݔ sehingga diperoleh :
dan
ܯ = sup ൛݂(ݔ) ∶ ݔ߳ൣݐ(ିଵ) , ݐ൧ൟ ݉ = inf ൛݂(ݔ) ∶ ݔ߳ൣݐ(ିଵ) , ݐ൧ൟ
Selanjutnya untuk k = 1,2,…,݊ dan l = 1,2,…,r diperoleh ݉ ≤݉ ≤ ܯ ≤ ܯ Untuk suku ke k di dalam ݂(ܮ: ࣪ଵ) berlaku:
ୀଵ
ୀଵ
ୀଵ
݉ (ݔ − ݔିଵ) = ݉ (݈݇ݐ− ݈(݇ݐ−1) ) = ݉ (݈݇ݐ− ݈(݇ݐ−1) ) ≤ ݉ (݈݇ݐ− ݈(݇ݐ−1) )
Jika hasil tersebut di atas dijumlahkan untuk semua indeks k, maka diperoleh: ݊
݊
ݎ
݂(ܮ: ࣪ଵ) = ݉ ݇( ݇ݔ− ݇ݔ−1 ) ≤ ݉ ݇ (ݐ − ݐ(ିଵ) ) = ݂(ܮ: ࣪ଶ) ݇=1
Terbukti ݂(ܮ: ࣪ଵ) ≤ ݂(ܮ: ࣪ଶ).
݇=1 ݈=1
Selanjutnya ntuk suku ke k di dalam ܷ(݂: ࣪ଵ) berlaku :
ୀଵ
ୀଵ
ୀଵ
ܯ (ݔ − ݔିଵ) = ܯ (݈݇ݐ− ݈(݇ݐ−1) ) = ܯ (݈݇ݐ− ݈(݇ݐ−1) ) ≥ ܯ (݈݇ݐ− ݈(݇ݐ−1) )
Jika hasil tersebut di atas dijumlahkan untuk semua indeks k, maka diperoleh: ݊
݊
ݎ
ܷ(݂: ࣪ଵ) = ݉ ݇( ݇ݔ− ݇ݔ−1 ) ≥ ݉ ݇ (ݐ − ݐ(ିଵ) ) = ܷ(݂: ࣪ଶ) ݇=1
Terbukti ܷ(݂: ࣪ଶ) ≤ ܷ(݂: ࣪ଵ).
݇=1 ݈=1
Teorema 3 Diberikan ܽ,ܾ ⊆ܴ, dan f : [ܽ,ܾ] → R fungsi yang terbatas pada [ܽ,ܾ]. Jika ࣪ଵ dan ࣪ 2 sembarang dua partisi pada [ܽ,ܾ], maka berlaku :
݂(ܮ: ࣪ଵ) ≤ ܷ(݂: ࣪ଶ) .
Bukti :
Dibentuk ࣪ = ࣪ଵ ∪ ࣪ଶ , maka ࣪ଵ ⊆ ࣪ dan ࣪ଶ ⊆ ࣪ , sehingga berdasarkan Lemma 2 diperoleh ݂(ܮ: ࣪ଵ) ≤ ݂(ܮ:࣪ ) danܷ(݂: ࣪ ) ≤ ܷ(݂: ࣪ଶ).
Dan berdasarkan Lemma 1 diperoleh ݂(ܮ:࣪ ) ≤ܷ(݂: ࣪ ) . Akibatnya didapat :
݂(ܮ: ࣪ଵ) ≤ ܷ(݂: ࣪ଶ). B. Integral Darboux Atas dan Integral Darboux Bawah Ingat, P [ܽ,ܾ] dimaksudkan sebagai himpunan semua partisi pada [ܽ,ܾ] . Selanjutnya
integral Darboux atas fungsi f pada interval [ܽ,ܾ] , dinotasikan dengan ܷ(݂) ത
atau∫ ܦ ݂( ݔ݀ )ݔdidefinisikan sebagai : ത
ܷ(݂) = ܦන ݂(݂(ܷ{݂݊݅ = ݔ݀ )ݔ: ࣪ ): ࣪ ∈ [۾a, b]}
integral Darboux bawah fungsi f pada interval ܽ,ܾ , dinotasikan dengan )݂(ܮatau
∫ ܦത ݂( ݔ݀ )ݔdidefinisikan sebagai :
ܦ = )݂(ܮන ݂(݂(ܮ{ݑݏ = ݔ݀ )ݔ: ࣪ ): ࣪ ∈ [۾a, b]}
Teorema 4 Diberikan ܽ,ܾ ⊆ܴ, dan f : [ܽ,ܾ] → R fungsi yang terbatas pada [ܽ,ܾ]. Jika fungsi f
terintegral Darboux atas dan terintegral Darboux bawah pada interval [ܽ,ܾ], maka )݂(ܷ ≤ )݂(ܮ. Bukti :
Diketahui fungsi f terintegral Darboux atas dan terintegral Darboux bawah, artinya dapat dipilih sembarang partisi ࣪ଵ ∈ [۾a, b] dan ࣪ଶ ∈ [۾a, b]. Dipilih ࣪ = ࣪ଵ ∪ ࣪ଶ , maka berdasarkan Lemma 2 dan Teorema 3 berlaku
݂(ܮ: ࣪ଵ) ≤ ݂(ܮ: ࣪ ) ; ܷ(݂: ࣪ ) ≤ ܷ(݂: ࣪ଶ)
Jadi bilangan real ܷ(݂: ࣪ଶ) merupakan suatu batas atas dari {݂(ܮ: ࣪ ) ∶ ࣪ ∈ [۾a, b]} Akibatnya
݂(ܮ{ݑݏ = )݂(ܮ: ࣪ ): ࣪ ∈ [۾a, b]} ≤ ܷ(݂: ࣪ଶ)
Demikian pula, )݂(ܮmerupakan batas bawah dari {ܷ(݂: ࣪ ): ࣪ ∈ [۾a, b]} , sehingga ݂(ܷ{݂݊݅ ≤ )݂(ܮ: ࣪ଶ): ࣪ ∈ [۾a, b]} = ܷ(݂)
Terbukti )݂(ܷ ≤ )݂(ܮ.
Dari uraian di atas, selanjutnya diberikan definisi integral Darboux sebagai berikut.
C. Integral Darboux Definisi 5 Fungsi bernilai real dan terbatas ݂ ∶ [ܽ, ܾ] → ܴ dikatakan terintegral Darboux pada [ܽ,ܾ], jika
)݂(ܷ = )݂(ܮ
atau ത
ܦන ݂( ܦ = ݔ݀ )ݔන ݂( = ݔ݀ )ݔන ݂(ݔ )ݔ
Teorema berikut menyatakan suatu kriteria yang harus dipenuhi oleh fungsi f : [ܽ,ܾ] → R supaya terintegral Darboux pada interval [ܽ,ܾ] tanpa harus mengetahui (menghitung) nilai integralnya. Teorema 6 (Kriteria Riemann untuk integral Darboux) Fungsi bernilai real dan terbatas f : [ܽ,ܾ] → R terintegral Darboux pada [ܽ,ܾ] jika dan hanya jika untuk setiap bilangan ߝ > 0 terdapat partisi Riemann Ṗఌ pada [ܽ,ܾ] sehingga untuk setiap partisi Riemann Ṗ pada interval [ܽ,ܾ] dengan sifat Ṗఌ ⊆ ࣪ , berlaku ܷ(݂: ࣪ ) − ݂(ܮ: ࣪ ) < ߝ.
Bukti Syarat perlu:
Diketahui fungsi f : [ܽ,ܾ] →R terintegral Darboux pada [ܽ,ܾ], berarti )݂(ܷ = )݂(ܮ. Diberikan sembarang bilangan ߝ > 0, berdasarkan definisi ܷ(݂) maka terdapat partisi Riemann Ṗଵ pada [ܽ,ܾ] sehingga
ܷ(݂) ≤ ܷ(Ṗଵ ) < ܷ(݂) +
ߝ 2
Karena )݂(ܷ = )݂(ܮmaka berlaku
(ܷ ≤ )݂(ܮṖଵ ) < )݂(ܮ+
ߝ 2
Selanjutnya, untuk bilangan ߝ > 0 tersebut, berdasarkan definisi )݂(ܮmaka terdapat partisi Riemann Ṗ2 pada [ܽ,ܾ] sehingga )݂(ܮ−
ߝ < ݂(ܮ: Ṗଶ ) ≤ )݂(ܮ 2
Berdasarkan Teorema 3, berlaku ݂(ܮ: Ṗଶ ) ≤ ܷ(݂: Ṗଵ ) . Oleh karena itu, diperoleh
)݂(ܮ−
ߝ ߝ < ݂(ܮ: Ṗଶ ) ≤ ܷ(݂: Ṗଵ ) < )݂(ܮ+ 2 2
Dipilih Ṗఌ = Ṗଵ ∪ Ṗଶ maka Ṗଵ ⊆ Ṗఌ dan Ṗଶ ⊆ Ṗఌ , sehingga berdasarkan Lemma 2 diperoleh
)݂(ܮ−
Akibatnya
ߝ ߝ < ݂(ܮ: Ṗଶ ) ≤ ݂(ܮ: Ṗఌ ) ≤ ܷ(݂: Ṗଶ ) ≤ ܷ(݂: Ṗଵ ) < )݂(ܮ+ 2 2 )݂(ܮ−
ߝ ߝ < ݂(ܮ: Ṗఌ ) ≤ ܷ(݂: Ṗఌ ) < )݂(ܮ+ 2 2
Selanjutnya jika diambil sembarang partisi Riemann Ṗ pada interval [ܽ,ܾ] dengan sifat ఌ
ఌ
Ṗఌ ⊆ Ṗ, berlaku )݂(ܮ− ଶ < ݂(ܮ: Ṗఌ ) ≤ ݂(ܮ: Ṗ) ≤ ܷ(݂: Ṗ) ≤ ܷ(݂: Ṗఌ) < )݂(ܮ+ ଶ maka didapat
Akhirnya diperoleh
)݂(ܮ−
Syarat cukup:
ߝ ߝ < ݂(ܮ: Ṗ) ≤ ܷ(݂: Ṗ) < )݂(ܮ+ 2 2 ܷ(݂: Ṗ) − ݂(ܮ: Ṗ) < ߝ.
Diketahui untuk setiap bilangan ߝ > 0, terdapat partisi Riemann Ṗఌ pada [ܽ,ܾ] sehingga
untuk setiap partisi Riemann Ṗ pada interval [ܽ,ܾ] dengan sifat Ṗఌ ⊆ Ṗ , berlaku ܷ(݂: Ṗ) − ݂(ܮ: Ṗ) < ߝ
Ini ekuivalen denganܷ(݂: Ṗ) < ݂(ܮ: Ṗ) + ߝ
Berdasarkan definisi )݂(ܮdan ܷ(݂) , maka untuk setiap partisi Riemann Ṗ pada [ܽ,ܾ] berlaku ܷ(݂) ≤ ܷ(݂: Ṗ) dan ݂(ܮ: Ṗ) ≤ )݂(ܮ,
sehingga diperoleh ܷ(݂) ≤ ܷ(݂: Ṗ) < ݂(ܮ: Ṗ) + ߝ ≤ )݂(ܮ+ ߝ
Diperoleh ܷ(݂) < )݂(ܮ+ ߝ
Karena bilangan ߝ> 0 diambil sembarang maka didapatkan ܷ(݂) ≤)݂(ܮ
Berdasarkan hasil ini dan Teorema 4 diperoleh )݂(ܷ = )݂(ܮ. Terbukti f terintegral Darboux.
Teorema berikut ini menyatakan bahwa integral Riemann dan integral Darboux ekuivalen. Teorema 5.8 Diberikan f : [ܽ,ܾ] → R suatu fungsi bernilai real dan terbatas, f terintegral Riemann pada [ܽ,ܾ] jika dan hanya f terintegral Darboux pada [ܽ,ܾ]. Bukti Syarat perlu: Diketahui fungsi f : [ܽ,ܾ] → R terintegral Riemann pada [ܽ,ܾ], berarti terdapat bilangan
∫ ܴ = ܣ ݂(ݔ݀)ݔ, artinya untuk sembarang bilangan ߝ > 0, terdapat bilangan ߜ > 0 sehingga untuk setiap ࣪ = (ݔ, ݔଵ, ݔଶ, … , ݔ ) partisi pada [ܽ,ܾ] dengan ‖࣪ ‖ < ߜ berlaku
อ(࣪ ) ݂(ݔ()ݔ − ݔିଵ) − ܣอ< ୀଵ
ߝ 2
Ambil sembarang [ݔିଵ, ݔ ] ; ݇ = 1, 2, 3, … , ݊, berdasarkan definisi ݉ maka terdapat ݔ[ ∈ ݔିଵ, ݔ] demikian sehingga
݉ ≤ ݂( ݉ < )ݔ +
sehingga
ߝ . 2(ܾ − ܽ)
݉ (ݔ − ݔିଵ) ≤ ݂(ݔ()ݔ − ݔିଵ) < ݉ +
ߝ ( ݔ− ݔିଵ) 2(ܾ − ܽ)
݉ (ݔ − ݔିଵ) ≤ ݂(ݔ()ݔ − ݔିଵ) < ݉ (ݔ − ݔିଵ) + ݊
݇=1
ୀଵ
ߝ ( ݔ− ݔିଵ) 2(ܾ − ܽ)
݉ (ݔ − ݔିଵ) ≤ ݂(ݔ()ݔ − ݔିଵ) < ቆ݉ (ݔ − ݔିଵ) +
ୀଵ
ߝ ( ݔ− ݔିଵ)ቇ 2(ܾ − ܽ)
݊
ୀଵ
݇=1
ୀଵ
݉ (ݔ − ݔିଵ) ≤ ݂(ݔ()ݔ − ݔିଵ) < ݉ (ݔ − ݔିଵ) + ݂(ܮ: ࣪ ) ≤ ܵ(݂: ࣪ ) < ݂(ܮ: ࣪ ) +
ߝ 2
… (1)
ߝ 2
Demikian pula untuk sembarang [ݔିଵ, ݔ] ; ݇ = 1, 2, 3, … , ݊, berdasarkan definisi ܯ maka terdapat ݔ[ ∈ ݔିଵ, ݔ ] demikian sehingga ܯ −
ߝ < ݂( ܯ ≤ )ݔ 2(ܾ − ܽ)
Dengan cara yang sama diperoleh ߝ ܷ(݂: ࣪ ) − < ܵ(݂: ࣪ ) ≤ ܷ(݂: ࣪ ) 2 Dari (1) dan (2) diperoleh
… (2)
ߝ ߝ < ݂(ܮ: ࣪ ) + 2 2 ߝ ߝ ܷ(݂: ࣪ ) − ݂(ܮ: ࣪ ) < + = ߝ 2 2 Berdasarkan kriteria Riemann untuk integral Darboux terbukti f terintegral Darboux pada ܷ(݂: ࣪ ) −
[ܽ,ܾ]. Syarat cukup: Diketahui fungsi f : [ܽ,ܾ] → R terintegral Darboux pada [ܽ,ܾ]. Ambil sembarang bilangan ߝ > 0, berdasarkan Teorema 6 terdapat partisi Ṗఋ pada [ܽ,ܾ] sehingga untuk setiap partisi Riemann Ṗ pada interval [ܽ,ܾ] dengan sifat Ṗఋ ⊆ Ṗ, berlaku ܷ(݂: Ṗ) − ݂(ܮ: Ṗ) < ߝ.
Dipiilh ߜ > 0 adalah bilangan positif sehingga ‖Ṗ‖ < ߜ. Jika Ṗ sembarang partisi pada
interval [ܽ,ܾ] dengan sifat Ṗఋ ⊆ Ṗ, maka ‖Ṗ‖ ≤ ‖Ṗఋ‖ < ߜ. Jadi untuk setiap ߝ > 0 terdapat ߜ > 0 demikian sehingga untuk setiap partisi Riemann Ṗ pada [ܽ,ܾ] dengan Ṗ < ߜ berlaku ܷ(݂: Ṗ) − ݂(ܮ: Ṗ) < ߝ.
Di lain pihak untuk sembarang partisi Ṗ pada [ܽ,ܾ] berlaku ݂(ܮ: Ṗ) ≤ ܵ(݂: Ṗ) ≤ ܷ(݂: Ṗ) Sehingga diperoleh
ܵ(݂: Ṗ) − ݂(ܮ: Ṗ) ≤ ܷ(݂: Ṗ) − ݂(ܮ: Ṗ) < ߝ
Akibatnya
Terbukti f terintegral Riemann.
|ܵ(݂: Ṗ) − ݂(ܮ: Ṗ)| < ߝ
Telah dibuktikan bahwa integral Riemann dan integral Darboux ekuivalen, maka sifat-sifat dasar integral Riemann yang telah dibahas pada bab sebelumnya, yaitu ketungalan nilai integral, kelinearan, serta keterbatasan fungsinya berlaku pula pada integral Darboux, sehingga untuk menguji suatu fungsi terintegral Riemann ataukah tidak, dapat ditunjukkan dengan menggunakan integral Darboux.
