Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích
Integrace elektronických prostředí pro počítačem podporovanou výuku matematiky Martin Günzel Roman Hašek Jakub Jareš Josef Lombart Pavel Pech Václav Šimandl Radka Štěpánková Jiří Vaníček
České Budějovice 2012
Integrace elektronických prostředí pro počítačem podporovanou výuku matematiky
Publikace vznikla s podporou grantového projektu 104-GAJU089/2010/S. Autorský kolektiv: Martin Günzel Mgr. Roman Hašek, Ph.D. Mgr. Jakub Jareš Mgr. Josef Lombart prof. RNDr. Pavel Pech, CSc. Mgr. Václav Šimandl Mgr. Radka Štěpánková doc. PaedDr. Jiří Vaníček, Ph.D.
[email protected] [email protected] [email protected] [email protected] [email protected] [email protected] [email protected] [email protected]
Pedagogická fakulta JU Recenzenti: RNDr. Jarmila Robová, CSc. Mgr. Šárka Voráčová, Ph.D. doc. RNDr. Miroslav Lávička, Ph.D. doc. RNDr. Tomáš Mrkvička, Ph.D.
© Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích, Pedagogická fakulta ISBN 978-80-7394-386-8
Obsah Předmluva
6
1 Integrace elektronických prostředí pro počítačem podporovanou výuku matematiky (R. Hašek, P. Pech, J. Vaníček) 9 1.1 1.2
Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pojem integrace edukačních prostředí . . . . . . . . . . . . .
9 10
1.3
Různé pohledy na integraci . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.4
Potřeba a cíle integrace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.5
Konkrétní příklady integrace . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.5.1
Integrace edukačních prostředí – příklad GeoGebra .
13
1.5.2
Integrace edukačních prostředí – Maple . . . . . . . .
19
1.6
Integrace výukových témat
1.7
1.6.1 Cabri a Excel . . . . . . 1.6.2 GeoGebra a CoCoA . . 1.6.3 Cabri 3D a wxMaxima . Integrace edukačních materiálů
21 23 28 32
Portál I2GEO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GeoGebra Tube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . WolframAlpha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34 42 43
Závěr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
3
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
21
. . . .
1.7.1 1.7.2 1.7.3 1.8
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Integrace softwarových nástrojů a prostředí programů dynamické geometrie a symbolické algebry (R. Hašek) 2.1 2.2
2.3
Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Dynamicky propojená prostředí . 2.2.2 Iterační výpočty pomocí tabulky 2.2.3 Pravděpodobnostní kalkulačka . . 2.2.4 Statistické vyhodnocení dat . . . 2.2.5 Nová prostředí GeoGebry . . . . Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Textové rozhraní . . . . . . . . . 2.3.2 Grafické rozhraní . . . . . . . . . 2.3.3 „Smart dokumenty“ . . . . . . . 2.3.4 Maplety . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
49 . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
3 Systémy počítačové algebry a dynamické geometrie jako nástroje poznání (R. Hašek) 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
Úvod . . . . . . . . . Kaustika . . . . . . . Eulerovo číslo . . . . Logaritmická spirála Pohyb oběžnice . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
49 50 50 53 55 57 63 66 68 68 68 71 73
. . . . .
73 74 82 85 87
4 Vybraná interaktivní cvičení s využitím GeoGebra Script (J. Lombart) 91 4.1 4.2 4.3
Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GeoGebraScript . . . . . . . . . . . . . . Vybrané příkazy jazyka GeoGebraScript 4.3.1 RandomBetween / NahodneMezi
. . . .
91 92 92 92
4.3.2
UpdateConstruction / AktualizaceKonstrukce . . . .
93
4.3.3
SetValue / NastavitHodnotu
93
4
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . . . . . . . . . . .
4.3.4 4.4
4.5
CopyFreeObject / KopirovatVolnyObjekt . . . . . .
94
Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
4.4.1
Sestrojení trojúhelníku daného třemi body . . . . . .
95
4.4.2
Sestrojení trojúhelníku daného třemi body . . . . . .
98
4.4.3
Určení souřadnic vrcholů daného trojúhelníku . . . .
99
4.4.4
Nalezení osy symetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.4.5
Určení průsečíku daných přímek . . . . . . . . . . . 102
Závěr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5 Užití technologií při vyšetřování množin bodů daných vlastností (J. Jareš)
107
5.1
Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.2
Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.3
5.2.1
Osa úsečky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.2.2
Asteroida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.2.3
Strofoida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.2.4
Množina bodů v prostoru . . . . . . . . . . . . . . . 123
Závěr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6 Výuka pravděpodobnosti na středních školách pomocí počítačové simulace metodou Monte Carlo (R. Štěpánková) 127 6.1
Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.2
Pravděpodobnost na školách . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.3
Metoda Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.4
Rovnoměrné rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.5
Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.6
Závěr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5
7 Využití programu GeoGebra při výuce matematiky na ZŠ (M. Günzel) 141 7.1
7.2
Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 7.1.1 Charakteristika třídy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 7.1.2 Plán výuky matematiky v 6. ročníku podle ŠVP . . 142 Metody integrace GeoGebry do výuky . . . . . . . . . . . . 142 7.2.1
7.3 7.4 7.5 7.6 7.7
Úlohy pro práci učitele s GeoGebrou při výkladu . . 143
7.2.2 Úlohy pro samostatnou práci dětí v GeoGebře 7.2.3 Způsob práce s GeoGebrou v 6.B . . . . . . . Motivace dětí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problémy při výuce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vliv na znalosti, zkušenosti a dovednosti dětí . . . . Závěr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Přílohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
145 149 150 150 151 151 153
8 Užití DGS pro sazbu matematického obsahu (V. Šimandl) 159 8.1 8.2 8.3 8.4
8.5
Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Použití DGS pro tvorbu obrázků . . . . . . . . . . . . Export grafiky z Cabri Geometrie . . . . . . . . . . . . Export grafiky z GeoGebry . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Uchovávání a vykreslování figur v GeoGebře . . 8.4.2 Export grafického náhledu nákresny do souboru 8.4.3 Import obrázku do sazby . . . . . . . . . . . . 8.4.4 Modelový příklad prostého exportu obrázků . . 8.4.5 Hledání pokročilého řešení . . . . . . . . . . . . 8.4.6 Automatizace postupu . . . . . . . . . . . . . . 8.4.7 Automatizovaný export obrázků . . . . . . . . Závěr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
159 160 162 163 164 165 166 167 168 171 172 174
Literatura
175
Rejstřík
183 6
Předmluva Současná prostředí elektronické podpory výuky matematiky jsou ve své velké většině zaměřena na jednu konkrétní oblast matematiky. Jedná se například o algebraické systémy, prostředí dynamické geometrie a tabulkové procesory. Tato prostředí jsou však navzájem izolována podle převažujícího zaměření aplikace a povaze práce v ní. Této izolaci a s ní související nekompatibilitě uvedených prostředí odpovídá též izolovanost témat, která lze s pomocí těchto kognitivních technologií na základních a středních školách vyučovat. Některá témata, problémy a metody, které jsou průřezové napříč učivem matematiky, tak nelze pomocí vhodných nástrojů efektivně realizovat, například tabelaci jako metodu objevování, algebraickou analýzu geometrických figur a grafů funkcí, použití algebraických výpočetních postupů v rámci geometrické konstrukce. Je proto účelné věnovat se vyhledání a analýze možností nejvhodnějšího nástroje, případně kombinace nástrojů, který bude schopen tuto integraci témat podporovat, bude použitelný v rámci školské praxe a přitom bude dostupný školám za přijatelnou cenu nebo zdarma, aby bylo možno uvažovat jeho rozšíření do škol. V této publikaci předkládáme čtenáři své zkušenosti s integrací elektronických prostředí pro počítačem podporovanou výuku matematiky spolu s výsledky naší snahy o nalezení optimálního software pro její realizaci. Důraz je přitom kladen na praktické ukázky. V osmi kapitolách je uvedeno přes tři desítky podrobně řešených příkladů. 7
V úvodní kapitole „Integrace elektronických prostředí pro počítačem podporovanou výuku matematiky“ je vymezen pojem integrace, jak je chápán v celé publikaci. Následujících pět kapitol je věnováno řešení konkrétních problémů. Kapitoly „Integrace softwarových nástrojů a prostředí programů dynamické geometrie a symbolické algebry“ , „Systémy počítačové algebry a dynamické geometrie jako nástroje poznání“ a „Vybraná interaktivní cvičení s využitím GeoGebra Script“ jsou věnovány užití konkrétních softwarových nástrojů při řešení problémů vyžadujících integrující přístupy. Kapitoly „Užití nových technologií při vyšetřování množin bodů daných vlastností“ a „Výuka pravděpodobnosti na středních školách pomocí počítačové simulace metodou Monte Carlo“ potom pojednávají o konkrétních matematických tématech a jejich výuce. Předposlední kapitola „Využití programu GeoGebra pri výuce matematiky na ZŠ“ přináší praktické zkušenosti učitele na základní škole. Závěrečná kapitola „Naše zkušenosti s užitím DGS pro sazbu matematického obsahu“ seznamuje čtenáře s technickými aspekty využití prostředí programu dynamické geometrie při tvorbě textových materiálů s matematickým obsahem. Naše poděkování patří recenzentům Jarmile Robové, Šárce Voráčové, Miroslavu Lávičkovi a Tomáši Mrkvičkovi. Jejich postřehy, připomínky a rady významnou měrou přispěly ke konečné podobě knihy. Autoři
8
Kapitola 1
Integrace elektronických prostředí pro počítačem podporovanou výuku matematiky 1.1
Úvod
Počítačové technologie ve vzdělávání matematice jsou velice široký pojem. Tato práce se zaměřuje na jejich podmnožinu, na technologie přítomné při poznávacím procesu, pro něž Pea [1] a další používá termín kognitivní technologie. Lze je vnímat jako technologie, které umožňují překročit možnosti lidského vnímání při poznávání (např. umožní zobrazit změny výsledku při plynulé změně parametrů, symbolicky řeší některé úlohy, je názorná a umožňuje ověřovat hypotézy učícího se). Mezi ně řadíme především algebraické systémy, dynamickou geometrii, grafické kalkulátory a tabulkové procesory. V této práci se také budeme zabývat některými z technologií, které usnadní nebo zkvalitní učení jiným způsobem, např. logisticky. Tím rozu9
míme např. lepší zpřístupnění pramenů ke studiu či možnost vyhledávání a porovnávání informací (pomocí webových úložišť a portálů), jinou organizaci výuky a učení jedince (pomocí learning management systémů) nebo kompaktnější zapojení žáka a učitele do edukační situace realizované technologiemi (pomocí interaktivní tabule). Podle Robové [2] jednou z rozvíjených oblastí současného teoretického výzkumu jsou kognitivní procesy žáků při učení s podporou technologií, dopad nových metod výuky umožněných nasazením technologií do změn v myšlení žáka, v jeho chápání nových pojmů, ve zkoumání didaktické znalosti obsahu učitelů či jejich postojů k použití technologií (str. 200). Tato oblast neleží v ohnisku výzkumu, kterému se tato monografie věnuje. Lze říci, že výzkum, jehož výsledky tato kniha předkládá, je zaměřen spíše na analýzu edukačního software, jeho trendy, možnosti a omezení, a také na vzdělávací obsah školské matematiky (v konkrétní podobě jednotlivých edukačních objektů) a jeho změny, evokované přítomností nebo pouhou existencí (možností jejich využití) takových edukačních prostředí ve vzdělávání.
1.2
Pojem integrace edukačních prostředí
Integrace v nejobecnějším pojetí znamená zahrnutí, sloučení více komponent do jednoho fungujícího celku. V kontextu školství může mít mnoho významů – zahrnutí zdravotně nebo sociálně handicapovaných do běžné výuky, zahrnutí nových přístupů do výuky (např. poznání založené na objevování nebo projektová výuka), zahrnutí nových pomůcek (počítačů, interaktivních tabulí), slučování předmětů do nadpředmětových celků (např. fyziky, chemie a přírodopisu pod přírodní vědy) atd. Je potřeba říci, že integrací zde nemyslíme integrování, matematický výpočet integrálu. V souvislosti s použitím digitálních technologií ve vzdělávání matematice používá Robová termín integrace pro začlenění technologií do vyučovacího procesu. V té souvislosti zmiňuje, že při osvojování matematických vědomostí s podporou moderních technologií záleží více na způsobu jejich integrace než na typu použitých prostředků (kalkulátor, počítač s vhodným 10
programem, internet). Hlavním faktorem, který ovlivňuje využívání technologií ve školské matematice, se tak stává učitel, zejména jeho didaktické dovednosti a ICT kompetence [2]. Jiný pohled na problematiku dává termín systémová integrace, tedy spojování různých softwarů do jednoho systému. Systémová integrace podle Wikipedie znamená spojení různých softwarových komponent, subsystémů, v jeden fungující celek [3]. Cílem takové integrace je, aby tento celek pracoval co možná nejefektivněji, tedy z pohledu jednotlivých subsystémů, aby komunikace mezi nimi probíhala podle definovaného schématu a všechny případné chyby a anomálie byly zahrnuty do tohoto schématu.
1.3
Různé pohledy na integraci
V této monografii budeme termín integrace vnímat ze tří různých pohledů: 1. Integrace edukačních prostředí. 2. Integrace výukových témat. 3. Integrace výukových materiálů. ad 1. Integrace edukačních prostředí představuje vytváření softwarových aplikací, které obsahují více typů takových prostředí, nebo kombinaci více softwarových aplikací, které umožňují přenos dat mezi sebou tak, aby byla zaručena kompatibilita (aby data po přenosu byla zpracovatelná a aby měla stejný význam, stejný formát). ad 2. Integrace výukových témat spočívá ve vyhledávání úloh nebo jejich sad, k jejichž řešení je potřeba použít více softwarových prostředí různého typu (např. dynamická geometrie a spreadsheet), s jejich následným začleňováním do výuky (vytvářením vhodných kombinací software k řešení takových úloh), jako např. počítačové dokazování matematických tvrzení. Přitom nemusí jít vždy o nějaké rozsáhlé úlohy nebo projekty, ale pouze 11
o natolik tematicky odlišné úlohy, že k jejich zpracování není vhodný sám o sobě žádný z existujících výukových softwarů. ad 3. Integraci výukových materiálů lze vnímat jako jejich začlenění do moderního vzdělávacího kurikula, jako zahrnutí jednotlivých edukačních objektů do ucelených kompaktních celků, ale také jako digitální integrace, dosažení kompatibility a přenositelnosti dat mezi různými softwary a hardwary (tablety, smartphony, klasické notebooky apod.).
1.4
Potřeba a cíle integrace
Jednotlivé základní typy matematického edukačního software byly původně vytvořeny tak, že pokrývaly určitou specifickou oblast matematiky. To bylo dáno i jejich povahou (způsob výpočtů, styl komunikace s uživatelem, možnosti znázornění výsledku výpočtu apod.). Byly tedy použitelné ve výuce vždy v té oblasti, pro kterou byly vyvíjeny a určeny (nebo byly dodatečně shledány jako užitečné pro použití v dané oblasti). Tato prostředí nemohla pokrýt celou školní matematiku, některé tematické celky se ocitly mimo tyto oblasti a pro ně pak nebyl k dispozici vhodný software, což bylo nahrazováno výrobou "na míru tématu"šitými výukovými programy výkladového nebo procvičovacího typu, které víceméně kopírovaly dosavadní výuku učitele a nepřinášely tak do výuky další výraznou přidanou hodnotu. Během let vyvstala potřeba pokrýt i tato dosud nezpracovaná témata. Podle Wikipedie by systémová integrace měla přinést minimálně jednu z těchto hodnot: • Snížení provozních nákladů. • Zvýšení stability systému. • Zvýšení bezpečnosti systému. • Zajištění dalšího rozvoje systému. [3] 12
Vnímáme-li zde použití počítače ve výuce matematiky jako systém, který integrujeme, jednoznačně nejdůležitějším cílem je zabezpečení dalšího rozvoje, tedy uplatnění nových vzdělávacích metod, které počítačem podporovaná výuka matematiky umožňuje, nejen v izolovaných tematických celcích, ale napříč celým kurikulem, napříč celým matematickým vzděláváním. Teprve dalším je možné snížení provozních nákladů, tedy dosažení vyšší efektivity výuky matematiky.
1.5
Konkrétní příklady integrace elektronických prostředí pro počítačem podporovanou výuku matematiky
Na následujících stránkách uvádíme výběr příkladů, na kterých jsou různé pohledy na integraci dobře patrné. Podle naší zkušenosti síla myšlenky nejlépe vynikne na konkrétním vhodně zvoleném příkladu, proto vybíráme spíše konkrétní situace, v nichž je zřejmé, jednak jakým způsobem je obohacena výuka matematiky, jednak jakým způsobem dochází k integraci a který druh integrace je zde ilustrován.
1.5.1
Integrace edukačních prostředí – příklad GeoGebra
Prostředí GeoGebry [4] integruje více takových edukačních prostředí. Jejich spojení nabízí netradiční přístup k řešení tradiční středoškolské konstrukční úlohy. Pro následující příklad použijeme dvě z těchto prostředí: dynamickou geometrii v rovině a algebraický vstup z příkazového řádku. Příklad 1.1 Konstrukční úloha s netradičním postupem řešení. Jsou dány dvě různoběžky a, b a mimo ně ležící bod A. Sestrojte kružnici, která se dotýká obou různoběžek a prochází daným bodem. Tradiční řešení spočívá v použití stejnolehlosti: libovolná kružnice l, mající střed na ose o takového úhlu daného různoběžkami a, b, v němž leží 13
bod A, a splňující dotyk s přímkami a, b, je obrazem hledané kružnice ve stejnolehlosti se středem v průsečíku P těchto různoběžek. Obraz bodu A musí ležet na l a přímce AP . Trojúhelníky P AK a P A0 L (kde K je středem kružnice k a L střed l) jsou podobné, tedy AK je rovnoběžná s A0 L. Střed hledané kružnice K je průsečíkem osy o a rovnoběžky s A0 L, procházející bodem A. Toto řešení předpokládáme není třeba znázorňovat obrázkem. Kombinace vstupů z příkazového řádku a přímého vytváření objektů na nákresně umožňuje netradiční přístup, vycházející z úloh typu množiny bodů dané vlastnosti. Takové řešení je znázorněno na obr. 1. Hledaný střed K je stejně vzdálen od přímky a, přímky b a bodu A. Množinou bodů stejně vzdálených od přímky a bodu je parabola. Příkazový řádek umožňuje zadat parabolu danou bodem A a přímkou a příkazem „Parabola[A,a]“ . Stejně tak lze jedním konstrukčním krokem sestrojit parabolu stejně vzdálenou od A a přímky b příkazem „Parabola[A,b]“ . Střed K hledané kružnice je pak průsečíkem dvou parabol (obr. 1.1).
Obr. 1.1: Parabola jako konstrukční krok, zadaná z příkazového řádku v prostředí GeoGebra
14
Příklad 1.2 Názorná vizualizace součtu mocninné řady. Taylorův rozvoj funkce y = sin x. Druhým příkladem integrace edukačních prostředí v GeoGebře je použití tabulky a dynamické geometrické nákresny. Je-li v buňce tabulky v GeoGebře zapsán výraz s proměnnou x, je možno snadno vykreslit graf funkce s tímto předpisem. Pomocí výpočtu složitého výrazu v tabulce a jeho znázornění v grafu lze názorně předvést, jak postupně vzniká Taylorův rozvoj pro některý ze známých případů. Vyberme si kupř. Taylorův rozvoj funkce y = sin x. Pro středo- i vysokoškolského studenta může být těžko představiP∞ x2n+1 je podle teorie telné, jak to, že součtem mocninné řady n=0 (−1)n (2n+1)! funkce sinus. Postupným vytvářením grafů Taylorových polynomů pro dané n lze pozorovat, jak se vytváří křivka, která se v limitním případě stane sinusoidou. Na obr. 1.2 je patrné, jak jsou přdpisy těchto funkcí v prostředí
Obr. 1.2: Funkční předpisy funkcí prvních n členů Taylorova rozvoje v tabulce GeoGebry tabulky v GeoGebře vytvářeny. V každém řádku tabulky je uveden funkční předpis polynomu, který je dán součtem prvních n členů rozvoje (n je číslo řádku tabulky). Ve sloupci A je vypočítán index n. Ve sloupci B pak koeficient u n−tého členu řady (v buňce B2 vzorcem 2A2+1). Ve sloupci C je 15
vzorcem -1^A2 určeno znaménko tohoto členu řady. Ve sloupci D je spočten jmenovatel zlomku daného členu (vzorcem B2!) a ve sloupci E vytvořen jeho čitatel (vzorcem E2(x)=x^B2). Sloupec F představuje celý n−tý člen řady (vzorcem F2(x)=C2*E2(x)/D2). Ve sloupci G se pak od 2. řádku tabulky sčítá nově vypočítaný n−tý člen z buňky F2 se součtem předchozích n − 1 členů (vzorcem G2(x)=G1(x)+F2(x)). Kopírováním buněk 1. řádku (v případě sloupce G 2. řádku) do dalších řádků tabulky jsou připraveny výpočty v dalších řádcích podle stejných vzorců.
Obr. 1.3: Tabulka a grafické znázornění Taylorových polynomů v GeoGebře na geometrické nákresně Na obr. 1.3 je pak vidět obě prostředí; výřez tabulky, v níž jsou vypočítávány funkční předpisy, a geometrickou nákresnu se zobrazenými grafy těchto funkcí. Protože jednotlivé grafy se mohou objevovat postupně tak, jak jsou řízeně dopočítávány hodnoty ve sloupci G tabulky, je možno názorně pozorovat, jak se postupně grafy Taylorových polynomů daného stupně pro vyšší hodnoty n zesložiťují a „nabalují“ na sinusoidu. Žák si pak dokáže udělat dobrou představu, jakým procesem dojde v limitním případě pro n → ∞ původní přímka (pro n = 1) přes polynomické křivky lichého řádu až k si16
nusoidě. Přitom rozumí tomu, jakým způsobem se výpočet pro jednotlivá n vytváří a jak je reprezentován grafem. Příklad 1.3 Jedno prostředí plní integrující funkci prostředí dvou. Derivace funkce v bodě. Derivace funkce v bodě je definována jako směrnice tečny ke grafu této funkce v daném bodě. Při intuitivním výkladu tohoto faktu nebo při názorné konstrukci grafu derivace funkce potřebujeme, aby totéž prostředí splňovalo dvě role: jednak se chovalo jako prostředí pro tvorbu grafu (s osami, nanášením spočtených hodnot na osy, vykreslování grafu z funkčního předpisu), jednak jako geometrická nákresna (umožňující konstruovat geometrické obrazce pomocí pravidel a s nástroji konstrukční geometrie). Tuto vlastnost již mají prostředí dynamické geometrie jako Cabri [5] nebo GeoGebra (na rozdíl třeba od grafických kalkulaček); lze říci, že v tomto smyslu již integrována jsou.
Obr. 1.4: Geometrická nákresna současně v roli plátna pro vykreslení grafu a prostředí pro geometrické konstruování Na obr. 1.4 je zachycena situace, kdy z grafu funkce y = 2, 3 sin x je hledána hodnota derivace této funkce konstrukčními nástroji. Využívá se zde následujícího postupu: protože počítač nedokáže sestrojit tečnu jakékoliv 17
křivky, sestrojí se sečna této křivky. Bod X leží na ose x, volně se po ní pohybuje, bod X1 leží na ose x a od X je vzdálen o měnitelnou hodnotu. Body S, S1 jsou body grafu funkce, spočtené podle funkčního předpisu jako obrazy bodů X, X1 . Body S a S1 prochází přímka, která je sečnou křivky grafu funkce. Hodnota m je hodnotou směrnice této sečny; je také nanesena ve směru osy y od bodu X1 , tedy vzdálenost |X1 S2 | = m. Jestliže budeme zkracovat vzdálenost mezi body X a X1 až k nule, splynou poté i body S a S1 a sečna přejde v tečnu a hodnota m bude směrnicí tečny a tedy hodnotou derivace funkce v bodě X. Při pohybu bodu X po ose x se bod S2 pohybuje po grafu derivace funkce a nástrojem „Množina bodů“ lze tento graf vykreslit (obr. 1.5).
Obr. 1.5: Graf derivace funkce (znázorněn tučně) poté, co oba body původní sečny S, S1 splynou a hodnota m (rovna |X1 S2 |) se stane hodnotou derivace funkce v bodu X. Je pouze vlastností software, zda umožní úplné splynutí bodů X a X1 se zachováním geometrických vztahů i při infinitesimálních vzdálenostech (GeoGebra), nebo je tuto situaci třeba simulovat nastavením velmi malé, ovšem nenulové vzdálenosti |XX1 | a tuto situaci pouze předstírat (Cabri). Manipulací s hotovou konstrukcí lze vizuálně ověřit, že v tomto konkrétním případě derivací funkce sin x je cos x, že koeficient a ve funkčním předpisu a·sin x se derivováním nezmění apod. Síla názornosti této pomůcky je zde zřejmá. 18
1.5.2
Integrace edukačních prostředí – Maple
Příklad 1.4 Smart dokumenty.
Obr. 1.6: Maple 13 – Interaktivní smart dokument „Spotřebitelský úvěr“ pro podporu finančního vzdělávání [6] – zadání úlohy Program Maple [7] je profesionálním počítačovým algebraickým systémem, který je vybaven grafickým dvojrozměrným rozhraním s bohatou paletou nástrojů a kontextovou nabídkou akcí. V prostředí tohoto rozhraní 19
je možno kromě přímé realizace symbolických a numerických výpočtů vytvářet také tzv. „smart dokumenty“ (smart documents).
Obr. 1.7: Maple 13 – Interaktivní smart dokument „RPSN – Roční procentní sazba nákladů“ pro podporu finančního vzdělávání „Smart dokumentem“ rozumíme textové dokumenty, do nichž je možno integrovat funkce programu pro matematické výpočty, tabulky, grafy, obrázky, odkazy na jiné aplikace a interaktivní ovládací prvky jako jsou posuvníky, vstupní pole či tlačítka. Přitom všechny prvky dokumentu jsou aktivně propojeny s výpočetním jádrem programu. Počáteční hodnoty proměnných definovaných v dokumentu lze libovolně a opakovaně měnit a celý dokument 20
nechávat následně přepočítat. Interaktivní „smart dokumenty“ tak hrají roli jakési „živé“ učebnice, která žákovi umožňuje libovolně měnit zadání v něm uvedených úloh a ihned mu vypočítá příslušné řešení. Zde uvedené dvě ukázky přinášejí fragmenty „smart dokumentů“ věnovaných finančnímu vzdělávání, které jsou převzaty z [6]. Na obr. 1.6 vidíme ukázku typického dokumentu, který má podobu zadání úlohy. Ta je však řešena v Maple a žákovi po jejím prostudování nic nebrání v tom, aby změnil zadání a sledoval, jak se změní řešení. Může tak s úlohou experimentovat a tím pronikat do fungování příslušných vztahů. V dokumentu Maple rovněž není problém provést více výpočtů najednou, zapsat příslušné formule i s výsledky a vše znázornit graficky. Obrázek 1.7 ilustruje, jak lze do dokumentu Maple zakomponovat obrázek a tabulku. Tabulka je samozřejmě aktivní a pro výpočty v ní prováděné je možno využít veškeré symbolické i numerické prostředky Maple. Jak vidíme na obr. 1.7, v případě RPSN se jedná o řešení algebraické rovnice vyššího řádu.
1.6 1.6.1
Integrace výukových témat Cabri a Excel
Jestliže dva nástroje spolu dokážou komunikovat, tedy existuje způsob, jak mezi nimi vyměnit data tak, aby neztratila ze své kvality (např. nekompatibilitou, jiným výkladem týchž dat v obou prostředích apod.), lze využít kvalit obou těchto prostředí. Prostředí specializovaná do určité oblasti obsahují často speciální mocné nástroje, které nemá produkt, který oba typy prostředí integruje. Jestliže jedno prostředí umožňuje zanést do tabulky geometrické hodnoty, které jiné prostředí tabelací dokáže „sbírat“ , může využít svých analytických nástrojů k zjištění přidané hodnoty. Řadu matematických vztahů je možné vyučovat s prvky konstruktivistického přístupu s aktivním žákem, jestliže učební prostředí umožňuje 21
objevit vztahy mezi pojmy na základě konkrétní činnosti a tím umožňuje vytvářet a ověřovat žákovské hypotézy. Ukažme si to na jednom příkladu. Příklad 1.5 Tabelace hodnot při hledání vztahů mezi veličinami. Vyzkoumejte vztah mezi vnitřním úhlem kosočtverce a jeho obsahem. Lze tento vztah popsat nějakou jednoduchou formulí? Nabízí se standardní deduktivní způsob vyjádření tohoto vztahu analyticky. Jiný přístup znamená zkonstruování kosočtverce s proměnlivým vnitřním úhlem a tabelací hodnot velikosti tohoto úhlu a obsahu kosočtverce. Tento postup je popsán v [9].
Obr. 1.8: Dynamický model kosočtverce (ve dvou polohách při manipulaci s vrcholem D – vlevo) a tabelované hodnoty naměřené v sestrojené figuře (vpravo) Možnosti tabelovat má např. Cabri; z hodnot, které vypočte při ruční manipulaci s objektem, vytvoří tabulku. Tuto tabulku lze zkopírovat do tabulkového procesoru MS Excel a v něm dále zpracovávat: vytvořit XY bodový graf závislosti obsahu na velikosti úhlu a tímto grafem prokládat různé regresní křivky. Lze tak zjistit, že grafem nelze proložit parabolu, nejde tedy o kvadratickou závislost (obr. 1.9). 22
Obr. 1.9: Data získaná tabelací v Cabri lze dále zpracovat v Excelu – zde kvadratická regresní křivka (tenkou čarou) neodpovídá naměřeným hodnotám závislosti obsahu na velikosti úhlu Přidáním dalších sloupců výpočtů a sestrojením grafů jiných funkcí lze zkontrolovat další hypotézy, které jsou nasnadě, zda např. graf připomíná sinusoidu. Výpočtem hodnot funkce y = p sin x a experimentálním nastavením parametru p lze docílit plného splynutí obou křivek a z toho určit parametr p jako a2 ve vzorci S = a2 sin xa a tak ověřit vzorec pro výpočet obsahu kosočtverce, kde a je délka strany.
1.6.2
GeoGebra a CoCoA
Typickým tématem je ověřování matematických vět a jejich následné dokazování [8]. Zatímco ověřování matematických vět lze provádět pomocí dynamického geometrického systému DGS (GeoGebra, Cabri), dokazování 23
pomocí počítače v sobě zahrnuje použití systému počítačové algebry CAS (Mathematica, Maple, Derive, CoCoA). V následujícím příkladu si ukážeme použití programu GeoGebra společně s programem CoCoA (program CoCoA je volně stažitelný na adrese cocoa.dima.unige.it): Příklad 1.6 Dokažte, že se tři výšky trojúhelníka ABC protínají v jednom bodě. Tradiční řešení pomocí tužky a papíru spočívá v nakreslení několika situací, kdy umisťujeme např. vrchol C trojúhelníka ABC do různých poloh a zjišťujeme, zda se výšky trojúhelníka protínají v jednom bodě. Je zřejmé, že tento způsob „dokazování“ je zdlouhavý a nepřesný. Při použití software DGS GeoGebra situaci znázorníme, obr. 1.10.
Obr. 1.10: Výšky v trojúhelníku ABC V první fázi uchopíme myší např. vrchol C a pohybujeme s ním v rovině trojúhelníka ABC. Přitom sledujeme, zdali se výšky va , vb , vc protínají v jednom bodě. Zdá se, že tvrzení je pravdivé. Z matematického hlediska je však takový „důkaz“ nesprávný. Lidským okem nejsme schopni rozpoznat, zda se výšky skutečně v jednom bodě protínají. Tuto metodu „dokazování“ můžeme použít např. na 1. stupni základní školy a přesvědčit tak žáky, že tvrzení pravděpodobně platí. 24
U starších žáků, např. na 2. stupni základní školy metodu dynamického vyšetření vylepšíme. Ve druhé fázi budeme předpokládat, že se dvě výšky např. va , vb trojúhelníka ABC protínají v bodě O, obr. 1.11.
Obr. 1.11: Průsečík výšek va a vb leží na přímce vc Pomocí software GeoGebra ukážeme, že bod O leží na přímce vc . Využijeme přitom ikonku „Vztah mezi dvěma objekty“ . Označíme oba objekty – bod O a přímku vc – a jako výsledek obdržíme hlášení Bod O leží na přímce. Takto můžeme pomocí programu GeoGebra ověřit (verifikovat) naše tvrzení v nekonečně mnoha situacích. S vysokou pravděpodobností tak můžeme říci, že tvrzení je pravdivé. Tento způsob ověření nazveme verifikace v DGS. Avšak ani verifikace v DGS není exaktní matematický důkaz. Systémy dynamické geometrie totiž pracují na numerické bázi, což znamená, že vše je ověřováno dosazováním souřadnic do rovnic přímek atd. Při nastavení vyjádření souřadnic bodů na více desetinných míst se ukazuje, že tvrzení neplatí. Přesto verifikace v DGS je metoda, která je mnohem přesnější než dynamické vyšetření. Můžeme ji používat na základních a středních školách k vytváření hypotéz. K tomu, abychom naše tvrzení skutečně exaktně dokázali, musíme použít software, který pracuje na symbolickém základu. Takovým je např. software CoCoA. Při použití programu CoCoA nejprve vyjádříme geometrické objekty, které se v našem tvrzení vyskytují, pomocí analytického vyjádření 25
ve formě rovnic a nerovnic. Provedeme počítačový důkaz. K algebraickému popisu situace zvolíme kartézskou soustavu souřadnic např. jako na obr. 1.12.
Obr. 1.12: Volba kartézských souřadnic Vrcholy trojúhelníka mají souřadnice A = [0, 0], B = [1, 0], C = [u, v]. Pro rovnice výšek va , vb , vc platí va : (u − 1)x + vy = 0, vb : ux + vy − u = 0, vc : u − x = 0. Podobně jako v předchozím případě budeme předpokládat, že se výšky va a vb protínají v bodě O. Chceme dokázat, že bod O leží na přímce vc . V analytickém vyjádření dostaneme O ∈ va ⇒ h1 := (u − 1)p + vq = 0, O ∈ vb ⇒ h2 := up + vq − u = 0, O ∈ vc ⇒ z := u − p = 0. Naše tvrzení tedy v algebraické vyjádření vypadá následovně:
∀p, q ∈ R : [((u − 1)p + vq = 0 ∧ up + vq − u = 0) ⇒ (u − p = 0)]. (1.1) 26
Tvrzení (1.1) snadno dokážeme s pomocí rovnosti 1 · ((u − 1)p + vq) + (−1) · (up + vq − u) = u − p,
(1.2)
kterou můžeme odvodit „ručně“ . Polynom závěru z jsme vyjádřili jako lineární kombinaci polynomů předpokladů h1 , h2 . Výrazy nalevo v závorkách jsou totiž podle předpokladu rovny nule, tedy pravá strana je také rovna nule. Naše tvrzení je dokázáno. V praxi se setkáváme se složitějšími příklady, kdy „ruční“ metoda nalezení výrazu (1.2) selhává. Potom nám pomůže počítač. V programu CoCoA napíšeme Use R ::= Q[u,v,p,q]; I:=Ideal((u-1)p+vq,up+vq-u); NF(u-p,I); Jako odpověď dostaneme, že NF=0, tj. že normální forma polynomu u−p je rovna nule, což znamená, že polynom závěru z lze vyjádřit jako lineární kombinaci předpokladů h1 , h2 a tvrzení platí. Rovnost (1.2) můžeme získat použitím příkazu GenRepr Use R ::= Q[u,v,p,q]; I:=Ideal((u-1)p+vq,up+vq-u); GenRepr(u-p,I); kdy dostaneme odpověď [1,-1], což znamená, že polynom závěru z je roven 1 · h1 + (−1) · h2 , tj. dostaneme rovnost (1.2). Počítačová metoda dokazování vět s použitím systémů počítačové algebry CAS je vhodná pro studenty matematiky na středních a na vysokých školách [8]. V novějších verzích programu GeoGebra je na instalován program Singular (CAS), pomocí něhož bude možné podobné důkazy provádět v rámci jednoho programu. 27
1.6.3
Cabri 3D a wxMaxima
Předností počítačových algebraických systémů (CAS) je možnost grafického zobrazení algebraických formulí. Umožňují nám tak doplnit analytickou geometrii vizuální reprezentací příslušných objektů, dvojrozměrných i trojrozměrných. Příklad 1.7 Rotační hyperboloid Jednodílný rotační hyperboloid je příkladem přímkové plochy. Lze ho vytvořit rotací přímky kolem osy, s níž je přímka neortogonálně mimoběžná. Vytvořte geometrický model této vlastnosti a poté ji dokažte.
a) Otočení vzoru tvořící úsečky b) Tažení obrazu tvořící úsečky se stopou Obr. 1.13: Konstrukce jednodílného rotačního hyperboloidu, Cabri 3D Pojďme si ukázat, jak lze tuto vlastnost jednoduše demonstrovat a následně i dokázat pomocí kombinace dynamického geometrického 3D programu (Cabri 3D) s programem počítačové algebry (wxMaxima). Program Cabri 3D [5] disponuje nástroji, které nám dovolí tvrzení, že „jednodílný 28
rotační hyperboloid lze vytvořit rotací přímky kolem mimoběžné osy“ , ilustrovat ve vyučovací hodině v reálném čase, bez nutné předchozí přípravy materiálu. Klíčovou roli přitom sehrají nástroje „Otočení“ a „Stopa“ . Řešení vidíme na obr. 1.13a, b. Nejprve sestrojíme osu otáčení, která bude totožná s osou z, a kružnici o vhodném poloměru se středem v počátku ležící v rovině xy. Poté na kružnici umístíme dva nové body a jedním z nich vedeme tvořící přímku, která je mimoběžná s osou otáčení. Pro větší názornost obrázku nebudeme pracovat s celou tvořící přímkou, ale pouze s její částí. Proto na přímku umístíme úsečku vhodné délky (viz obr. 1.13a). Nyní aktivujeme nástroj „Otočení“ a dle jeho požadavků volíme nejprve osu otáčení, poté jako vzor uvedeme úsečku a jako body určující úhel otočení označíme nejprve bod, jímž prochází tvořící úsečka, a potom bod, který jsme jako druhý umístili na kružnici. Výsledek vidíme na obr. 1.13a. Uchopením (druhého) bodu kružnice, kterým prochází, můžeme s úsečkou pohybovat. Pokud před tím aktivujeme její stopu, vykreslujeme přitom příslušnou část rotačního hyperboloidu (viz obr. 1.13b). Výsledný jednodílný rotační hyperboloid, přesněji jeho část příslušející zvolené tvořící úsečce, vidíme na obr. 1.14.
Obr. 1.14: Jednodílný rotační hyperboloid – přímky jednoho regulu, Cabri 3D
29
Přestože jsme dostali velice pěkný 3D model, který by leckoho přesvědčil o pravdivosti výše uvedeného tvrzení o vzniku jednodílného rotačního hyperboloidu, nelze se s ním spokojit. Jistotu můžeme mít až poté, co se nám podaří ono tvrzení převést na rovnici, jež prokazatelně patří hyperboloidu. K jejímu nalezení použijeme wxMaximu [10]. Zadáme souřadnice bodu a směrový vektor tvořící přímky (stejná přímka jako v Cabri 3D) a přímku vyjádříme parametricky (výstupy některých příkazů pro úsporu místa neuvádíme): (%i1)
A:[0.6,4,0]; u:[-10,1,1];
(%i3) X:A+t*u; (%o3) [0.6 − 10 t, t + 4, t] Otočení kolem osy z o úhel α reprezentujeme maticí R: (%i4)
(%o4)
R:matrix([cos(alpha),-sin(alpha),0],[sin(alpha), cos(alpha),0],[0,0,1]); cos (α) −sin (α) 0 sin (α) cos (α) 0 0 0 1
Násobením parametrického vyjádření tvořící přímky touto maticí zleva dostáváme parametrické vyjádření příslušné plochy: (%i5) (%o5)
X_r:R.X; cos (α) (0.6 − 10 t) − sin (α) (t + 4) cos (α) (t + 4) + sin (α) (0.6 − 10 t) t
Následujícím příkazem tuto parametricky zadanou plochu zobrazíme (viz obr. 1.15): 30
(%i6)
plot3d([X_r[1,1],X_r[2,1],X_r[3,1]],[t,-0.5,0.6], [alpha,0,2*%pi]);
Obr. 1.15: Jednodílný rotační hyperboloid, wxMaxima Pro získání algebraické rovnice zkoumané plochy provedeme eliminaci parametru t z rovnic, které splňuje každý bod [x, y, z] zkoumané rotační plochy pro odpovídající hodnotu t: (%i7)
r1:x^2+y^2-X[1]^2-X[2]^2=0; r2:z-X[3]=0;
(%o7) y 2 + x2 − (t + 4)2 − (0.6 − 10 t)2 = 0 (%o8) z − t = 0 (%i9) (%o9)
RH:eliminate([r1,r2],[t])[1]=0; − 2525 z 2 + 100 z + 25 y 2 + 25 x2 − 409 = 0
Nyní už se snadno přesvědčíme, že výsledná algebraická rovnice 25 x2 + 25 y 2 − 2525 z 2 + 100 z − 409 = 0 (viz výstup (%o9)) je opravdu rovnicí rotačního hyperboloidu s osou rotace v souřadnicové ose z. Můžeme ji upravit ručně, nebo opět využít symbolické nástroje programu wxMaxima, jak ilustruje následující závěrečná ukázka kódu řešení úlohy. 31
(%i10) RH1:ratexpand(RH/2525); y2 x2 409 4z + + − =0 (%o10) − z 2 + 101 101 101 2525 (%i11) RH2:-1*RH1+x^2/101+y^2/101-409/2525+(2/101)^2; 4z 4 y2 x2 41209 (%o11) z 2 − + = + − 101 10201 101 101 255025 (%i12) ratexpand(rhs(RH2))-factor(lhs(RH2)); (%o12) −
1.7
(101 z − 2)2 y2 x2 41209 + + − 10201 101 101 255025
Integrace edukačních materiálů
Obr. 1.16: Snímek prezentace v MS PowerPoint s interaktivními figurami z Cabri 3D; těmito geometrickými konstrukcemi lze i při prezentaci manipulovat, měnit pohled a měnit jejich tvar táhnutím za vhodné body Jako příklady fungujícího vložení vytvořeného edukačního objektu do komplexnějšího prostředí můžeme uvést: 32
• Objekt interaktivní geometrické figury, vložený do textového dokumentu nebo do prezentace, při zachování jeho interaktivity (a vytvářející tedy smart dokument: – Figura Cabri II Plus jako OLE objekt do MS Office. – Figura Cabri 3D jako OLE objekt do MS Office (obr. 1.16). • Objekt interaktivní geometrické figury, vložený do webové stránky, s povolením některých konstrukčních nástrojů: – Figura GeoGebry jako aplet ve webové stránce (obr. 1.17).
Obr. 1.17: Dynamický pracovní list Geogebra jako aplet ve webové stránce. S omezenou nabídkou konstrukčních nástrojů může vést žáka k určitému konstrukčnímu postupu (zde konstrukce rovnoběžníka pouze pomocí shodných zobrazení). • Integrace hardwarových a softwarových prostředků: – Použití interaktivní tabule. – Použití matematického software v tabletech, smartphonech. 33
1.7.1
Portál I2GEO
Portál I2GEO [11] je příkladem integrace výukových materiálů na globální úrovni. Se všemi atributy, které k tomu patří - integrace výukových materiálů prostřednictvím společné ontologie učiva, přenositelnost mezi softwary prostřednictvím společného souborového formátu, překonání jazykových bariér při vyhledávání, poskytnutí zpětné vazby prostřednictvím ohodnocení. Po celém světě existují tisíce interaktivních materiálů pro podporu výuky matematiky od různých autorů, softwarovými firmami počínaje a učiteli matematiky či jejich žáky konče. Mnoho z nich je nabízeno k volnému použití prostřednictvím různých webových stránek, například [12, 13, 14]. Řada zde uváděných materiálů je na takové úrovni, že jejich širší použití ve výuce by bylo bezesporu přínosné. Skutečnost je však jiná. Využívání volně dostupných materiálů ve školách značně pokulhává za jejich potenciálem. Důvodů je více. Patří mezi ně heterogenita zdrojů, jak ve smyslu jejich umístění na různých portálech, tak i ve smyslu existence různých vzájemně neslučitelných souborových formátů definovaných různými programy, které byly při tvorbě materiálů použity. Dále můžeme zmínit nedostatek jasné vzdělávací specifikace většiny materiálů na Internetu, díky čemuž zájemce o jejich využití vynakládá příliš mnoho času na zjištění, jak, kde a kdy materiál použít. Zodpovědnému nasazení dostupných materiálů ve vyučovací hodině brání také nedostatečný, mnohdy zcela chybějící, systém oceňování kvality materiálů, cizí jazyk, v němž jsou publikovány, vesměs neefektivní, často jenom textově orientované, vyhledávací nástroje a někdy také nejasné licenční podmínky. Nutno poznamenat, že řada třeba i kvalitních materiálů vůbec na Internetu publikována není. Jejich autoři neví o žádné jednoduché cestě, jak to učinit.
34
Účel portálu I2GEO [11] je evropským internetovým portálem, jehož hlavním účelem je usnadnit shromažďování, vyhledávání i zveřejňování výukových materiálů využívajících interaktivní geometrické konstrukce. Hlavní motivací při jeho vytváření byla snaha o odstranění v úvodu zmíněných překážek v širším celoevropském či celosvětovém využití matematických výukových materiálů. Velký důraz byl přitom kladen na efektivitu vyhledávání materiálů, na systém průběžného hodnocení jejich kvality a na jejich přenositelnost mezi různými programy dynamické geometrie. Vesměs byla vytvořena originální řešení. Lze tak říci, že portál I2GEO přináší nástroje a definuje standardy pro budoucí širší integraci výukových materiálů a jejich sdílení prostřednictvím Internetu. Samozřejmě, vytvořená platforma, spolu se všemi jejími nástroji a službami, není omezena pouze na interaktivní geometrické materiály. Je otevřena veškerým digitálním zdrojům pro výuku matematiky, případně i dalších předmětů, v rámci Evropy i v širším, světovém, kontextu. Typickými uživateli portálu jsou učitelé a žáci, jeho služeb ale jistě využijí i další zájemci, např. rodiče žáků, výzkumníci v oblasti vzdělávání, vývojáři software, nebo prostě každý, koho zajímá geometrie a výuka matematiky pomocí počítače. Portál, který je lokalizován do řady evropských a světových jazyků, je rovněž platformou pro formování různě zaměřených komunit uživatelů dynamického geometrického software. Portál I2GEO je výsledkem projektu Intergeo, který byl v letech 2008–2010 financován z prostředků programu EU eContentPlus. Jedním z jeho řešitelů byla i Jihočeská univerzita. Řešení portálu Portál I2GEO najdeme na adrese http://i2geo.net, jeho úvodní stránku vidíme na obr. 1.18. Je lokalizován, zcela a nebo alespoň částečně, do dvanácti jazyků, například do angličtiny, češtiny, čínštiny, francouzštiny, holandštiny, němčiny, ruštiny a španělštiny. Jeho řešení vychází z osvědčeného systému 35
pro sdílení výukových materiálů Curriki [15], oproti němuž je však vybaven některými unikátními nástroji.
Obr. 1.18: Portál I2G Intergeo – úvodní stránka Portál I2GEO nabízí svému uživateli tyto služby: • Osobní účet uživatele. Umožňuje vkládat a hodnotit zdroje, vytvářet si jejich skupiny, provozovat blog a hromadně komunikovat s ostatními uživateli. • Vyhledávací nástroj. Efektivní vyhledávací nástroj co nejpřesněji reaguje na požadavky uživatele. 36
• Systém hodnocení publikovaných materiálů. Hodnocení materiálu se okamžitě promítne do jeho ratingu (0 až 5 bodů). • Systém vkládání výukových materiálů. Každý materiál je doprovázen souborem popisných údajů (metadat), které jsou důležité pro jeho zařazení do ontologie geometrického učiva a pro jeho snazší vyhledání. • Formování skupin uživatelů. Uživatelé mohou na portálu vytvářet skupiny uživatelů podle různých klíčů, například podle společného jazyka, vzdělávacího systému, vzdělávací úrovně nebo podle používaného programu. Základní statistické údaje o využívání portálu jsou uvedeny na jeho úvodní stránce. Zde se dozvíme, že v okamžiku psaní tohoto textu bylo na portálu dostupných 3630 materiálů a registrováno 1661 uživatelů. Nástroje integrace výukových materiálů na portálu I2G Portál I2GEO je díky lokalizacím do nejužívanějších světových jazyků přístupný většině světové populace. Můžeme na něm najít výukové materiály pocházející z různých končin světa. Je potom zajímavé zkoumat rozdíly, které do výuky matematiky a do používaných pojmů vnášejí různá jazyková a kulturní prostředí. Najdeme zde případy použití jednoho pojmu pro naprosto odlišné jevy (např. Thaletova věta) nebo naopak, různých pojmů pro jednu vlastnost. Brzy tak zjistíme, že materiály, pocházející z různých stran Evropy, nelze do ostatních jazyků překládat doslova, a že vyhledávací nástroj portálu I2GEO nemůže být pouze textově orientován. Ontologie geometrických konstrukcí GeoSkills Pro efektivní vyhledávání výukových materiálů, pocházejících z různých zemí, lišících se jazyky i vzdělávacími systémy, je nezbytné použít metody 37
vázané na ontologii geometrického učiva. Ontologií rozumíme explicitní popis učiva - témat a kompetencí. V rámci projektu Intergeo je definována ontologie geometrického učiva nazvaná GeoSkills [16], která popisuje především středoškolskou matematiku. GeoSkills pracuje s pojmy „kompetence“ , „téma“ a „vzdělávací úroveň“ , jejichž významy jsou následující: „Téma“ je předmětem vědomosti. Například rovnoramenný trojúhelník (isosceles triangle) nebo Thaletova věta (Thales theorem). „Kompetence“ je kombinací schopnosti a tématu. Například určit rovnoběžné přímky (identify parallel lines). „Vzdělávací úroveň“ je stádium vývoje žáka, vymezené v kontextu příslušného vzdělávacího regionu a typu školy. Například první ročník na gymnáziu v České republice nebo Eerste klas na škole typu secundair onderwijs v regionu Vlaanderen v Belgii. Proces lokalizace ontologie byl realizován ve třech fázích: 1) Překlad pojmů a kompetencí v ontologii GeoSkills. 2) Kódování vzdělávacích osnov do systému ontologie – ke všem pojmům a kompetencím, které se vztahují ke geometrickému učivu, vyhledat ekvivalenty v GeoSkills. Pokud tam nejsou, tak je vytvořit. 3) Anotace oficiálních textů vzdělávacích osnov. Součástí portálu Intergeo budou i tyto texty (ve formátu pdf nebo html) opatřené hypertextovými odkazy na prvky ontologie. Vyhledávací nástroj Vyhledávací nástroj na portálu Intergeo musí vyhovovat specifickým požadavkům na vyhledávání výukových materiálů napříč Evropou. Je třeba, aby překonával hranice jednotlivých vzdělávacích standardů v Evropě. Proto je prohledávací algoritmus doplněn o vazbu na strukturu ontologie GeoSkills a vedle standardní textové orientace je směrován na témata a kompetence. Při vložení nového materiálu je tak nutné uvést v rámci jeho metadat i odpovídající kompetence a témata. Na portálu jsou uplatněny dva způsoby zadání dotazu. Vedle klasického vypsání požadavků do textového pole je možné pracovat i s tištěnými materiály. Učební osnovy, případně obsahy nejpoužívanějších učebnic, jsou převedeny do elektronické podoby a opatřeny hypertextovými odkazy na 38
ontologii a příslušné výukové materiály. V případě českých kurikulárních dokumentů byly použity texty [17, 18]. Vyhledání zdroje pak probíhá výběrem odpovídající partie textu. Pro nalezení správných zdrojů je důležitý kontext dotazu – jazyk, region, typ školy. Dotaz lze položit ve vyučovacím jazyce, pokud je do něj lokalizována ontologie. Při následném vyhledávání jsou pak upřednostněny zdroje v tomto jazyce vytvořené. Zvolení jazyka je součástí nastavení uživatelských preferencí. Pokud není jazyk nastaven automaticky, je možné jeho volbu provést na úvodní stránce portálu. Při zápisu dotazu je uplatněn režim automatického doplňování slov a vět. Napíšeme-li slovo, nebo jeho část, které se váže k předmětu našeho zájmu, automaticky se vypíše seznam všech prvků ontologie, které s tímto pojmem souvisejí. Zadáme-li dotaz ve formě jednoduchého textu, text je rozložen na jednotlivé pojmy. Ty jsou konfrontovány s ontologií pojmů i kompetencí. Z jednoho dotazu se vygenerují dílčí dotazy, postihující strukturu ontologie. Například požadavek na úkol „Sestrojit osu úhlu“ se rozdělí na slova: [Sestrojit] [osa] [úhel]. Jednotlivá slova dotazu jsou konfrontována přímo s prvky ontologie. Dotaz je rozšířen na prvky ontologie kompetencí, které obsahují uvedená slova. Podle hierarchie ontologie (kompetencí i pojmů) je určena důležitost jednotlivých komponent dotazu. Prohledáváním struktury ontologií, hlavně složky kompetencí, by mělo být zajištěno, že výsledkem dotazu je i zdroj, jehož název neobsahuje text dotazu, ale významově mu odpovídá. Tento sofistikovaný přístup je kombinován s prostým textovým vyhledáváním. Jednotlivá slova dotazu jsou použita k prohledávání i mimo ontologii – ve jménech konstrukcí, ve jménech autorů, ve jménech prvků ontologie, v textu zdrojů. Metadata Metadaty rozumíme popisné údaje připojené k materiálu. Ty pomohou uživateli při výběru zdroje, který se nejlépe hodí pro jeho účely a zároveň ho informují o způsobu jeho použití (více o metadatech viz [19, 20]). Příkladem metadat jsou bibliografické údaje o knize. Pro potřeby klasifikace 39
a vyhledávání výukových materiálů ale tato forma popisných údajů nestačí. Existují mezinárodní standardy [21], které podobu metadat výukových materiálů specifikují. Definice metadat geometrických konstrukcí, formulovaná projektem Intergeo, tyto standardy zachovává a zároveň reflektuje specifika výukových materiálů tohoto typu. Kromě bibliografických údajů tak jsou uvedeny ještě informace potřebné pro správné použití ve výuce a informace o zařazení materiálu do ontologie GeoSkills. Metadata jsou generována při vkládání materiálu na platformu. Zhruba jedna třetina údajů se vytvoří automaticky, např. údaje o software, velikosti, datu vložení apod. Zbývající část údajů zadá vkladatel pomocí vyplnění elektronického dotazníku. Tak bude zajištěna jednotná podoba metadat všech materiálů. Ta k nim budou připojena dvěma způsoby. Jednak bude možné si je prostudovat přímo na vyhledávacím portálu, jednak budou, jako text, součástí souboru staženého z portálu. Hodnocení kvality Materiál používaný ve výuce musí dosahovat potřebné kvality po stránce matematické i pedagogické. Učitel by se měl při vyhledání materiálu dozvědět jak a kdy ho použít a jakou materiál vnese do vyučovacího procesu přidanou hodnotu. Portál I2GEO je vybaven systémem testování kvality materiálů přímo jejich uživateli. Každý zaregistrovaný uživatel může ohodnotit kvalitu vybraného materiálu. Provede to prostřednictvím on-line dotazníku, který může být zodpovězen na dvou úrovních - základní vyplnění představuje zodpovězení osmi otázek, podrobné vyplnění pak spočívá v zodpovězení pěti až osmi podotázek ke každé z nich. Hodnocení se okamžitě projeví v ratingu daného materiálu, který je vyjádřen škálou 0–5 bodů. Při tvorbě systému hodnocení kvality vycházel tým projektu Intergeo z výsledků několika projektů zaměřených na hodnocení kvality výukových materiálů, například e-Quality [13], JEM – Joining Educational Mathematics [14], SFoDEM [15]. Společný souborový formát i2g V evropských školách nejčastěji používané programy dynamické geometrie (DGS), jako jsou například GeoGebra, Cabri, Cinderella, Geonext a C.a.R., 40
pracují se vzájemně neslučitelnými souborovými formáty. Širšímu využití materiálů vytvořených v těchto programech by bezesporu napomohlo, kdyby byly příslušné soubory vzájemně čitelné a přenositelné. Proto si tým Intergeo jako jeden z cílů vytyčil zahájení příprav společného souborového formátu „i2g“ programů dynamické geometrie, založeného na standardu OpenMath [22] a jazyku XML. Souborový formát „i2g“ by umožnil výměnu materiálů mezi různými programy, ukládání v databázích nebo publikování na webu. V řešitelském týmu projektu Intergeo figurovali zástupci vývoje všech těchto nejvýznamnějších dynamických geometrických programů, kteří si byli plně vědomi těžkostí, s nimiž bude vytváření tohoto společného formátu spojeno. Přesto, že se jejich očekávání se v průběhu prací potvrdila, bylo dosaženo nesporných úspěchů s přenositelností základních geometrických konstrukcí [23]. Licence používané portálem Intergeo Nejasné licence jsou reálnou překážkou využití mnohých zdrojů v současnosti přístupných na Internetu. I2GEO podporuje používání otevřených licencí, které umožní úpravy a znovupoužití obsahu jako jsou Creative Commons Share Alike licence, tak, aby se učitel nemusel dožadovat souhlasu autora s úpravou. Při publikování materiálu na portálu je třeba uvést název typu licence. Podrobné informace o použitých licencích jsou uvedeny na portálu I2GEO [11]. Budoucnost portálu I2GEO Řešitelskému týmu projektu Intergeo se podařilo dát dohromady komunitu uživatelů programů dynamické geometrie a poskytnout jí fungující systém a metodologii pro integraci výukových materiálů na webové platformě, která umožňuje jejich sofistikované sdílení. Webová platforma I2GEO je provozována i po skončení doby trvání projektu Intergeo díky trvalé péči Pädagogische Hochschule v Karlsruhe. Doplňování materiálů a hodnocení jejich kvality je již plně v rukou uživatelů. 41
1.7.2
GeoGebra Tube
Na rozdíl od I2GEO slouží portál GeoGebraTube [24] pouze uživatelům programu GeoGebra. Jedná se o jednoduchý, efektivně sloužící webový prostor pro sdílení materiálů vytvořených v GeoGebře nebo se GeoGebry týkajících. Export materiálů na portál je možno provádět přímo z programu. Vyhledávání lze realizovat buď vypsáním dotazu do textového pole, kde lze uplatnit několik filtrů, např. výběr jazyka, nebo pomocí volby z několika nabídek, např. podle data vložení materiálu nebo podle jeho hodnocení ostatními uživateli. Zřízení portálu GeoGebraTube v rámci vývoje GeoGebry je logickým důsledkem velkého nárůstu uživatelů tohoto programu po celém světě, ke kterému dochází v posledních letech (viz např. přehled GeoGebra institutů na stránce http://www.geogebra.org/cms/institutes). V době psaní tohoto textu bylo na portálu GeoGebraTube umístěno 10 501 materiálů.
Obr. 1.19: Úvodní stránka portálu GeoGebraTube 42
1.7.3
WolframAlpha
V souvislosti s integrací edukačních prostředí a nástrojů je vhodné zmínit webovou aplikaci WolframAlpha [25], která je úzce spjata s matematickým softwarem Mathematica [26]. Jedná se o rozsáhlou, neustále se rozvíjející kolekcí pojmů, problémů či celých témat, které jsou popsány či vyřešeny pomocí jazyka matematiky. Přitom jsou uživateli poskytnuty základní softwarové prostředky potřebné pro pochopení uvedených skutečností a pro řešení analogických úloh. Práce s aplikací WolframAlpha je jednoduchá. Nutno však poznamenat, že vyžaduje komunikaci v angličtině. Po zadání adresy [25] se objeví úvodní stránka s dominujícím vstupním řádkem (viz obr. 1.20), do kterého stačí uvést předmět dotazu – text nebo matematický výraz. Již v průběhu psaní začíná WolframAlpha nabízet jednu nebo i více interaktivních stránek, které se k dotazu váží. Neví-li si aplikace s dotazem rady, nabídne řešení podobného pojmu. Řešení, která jsou na stránkách WolframAlpha uvedena, jsou ze zvoleného úhlu pohledu komplexní a využívají řadu různých nástrojů a prostředků, známých z programu Mathematica (symbolické a numerické výpočty, grafy, tabulky, posuvníky, obrázky apod.). Užitnou hodnotu těchto řešení značně zvyšuje skutečnost, že uživatel je může přepočítat pro změněná vstupní data. Každá stránka WolframAlpha tak představuje celou třídu analogických úloh. Jedná se vlastně o obdobu „smart dokumentů“ programu Maple (viz str. 19), v prostředí WolframAlpha však nazývaných „computable document format“ , zkráceně CDF. Popsaný způsob komunikace s aplikací WolframAlpha je ilustrován následujícím příkladem. Příklad 1.8 Průběh grafu kvadratické funkce. Vyšetřete průběh grafu kvadratické funkce f : y = ax2 + bx + c v závislosti na hodnotách koeficientů a, b, c ∈ R. Do vstupního řádku uvedeme obecný zápis kvadratického trojčlenu, jak vidíme na obr. 1.20. V jiných případech můžeme samozřejmě pro zápis do vstupního řádku použít i text. Například, chceme-li se dozvědět více o Platónských tělesech, napíšeme do vstupního řádku text „platonic solids“ . 43
Obr. 1.20: Vstupní řádek na úvodní stránce aplikace WolframAlpha Po vznesení příslušného dotazu se vstupní řádek rozvine do nabídky všech relevantních úloh. Vybereme příslušnou položku a potvrdíme ji. Objeví se řešení příslušné úlohy. V našem případě se jedná o rozbor vlastností kvadratického trojčlenu. Řešení, jehož úvodní část vidíme na obr. 1.21, je provedeno ve verzi WolframAlpha Pro, proto nechybí posuvníky pro dynamický rozbor závislosti průběhu grafu na hodnotách koeficientů. Existují totiž dvě úrovně WolframAlpha. Základní úroveň aplikace, která je dostupná bezplatně, neposkytuje uživateli veškeré nástroje. Především v ní chybí možnost dynamické manipulace s obrázky a grafy. Tento nástroj je spolu s některými dalšími přístupný až v pokročilé verzi WolframAlpha Pro (uváděno jako „CDF interactivity“ ), k jejímuž užívání se uživateli otevře cesta po zaplacení nevelkého měsíčního poplatku [25].
44
Obr. 1.21: WolframAlpha Pro – Část rozboru vlastností kvadratického trojčlenu
45
WolframAlpha nabízí uživateli vytvoření osobního účtu, který mimo jiné uchovává historii práce s aplikací a dovoluje uživateli formovat si skupiny oblíbených položek. Verze WolframAlpha Pro navíc dovoluje nahrávání vlastních datových, textových či obrazových souborů za účelem jejich dalšího použití. Stejně tak si může uživatel data z WolframAlpha Pro naopak stáhnout a dále je používat. WolframAlpha si klade za cíl uchopit prostřednictvím čísel a matematických výpočtů co největší množství poznatků. Neomezuje se přitom jenom na rámec matematických či fyzikálních poznatků, ale odhaluje matematickou podstatu i v jiných oblastech lidského snažení. WolframAlpha nám tak poskytne zajímavé odpovědi i na takové dotazy, jako „William Shakespeare“ nebo „weather“ (počasí). O komplexnosti záběru aplikace se nejlépe přesvědčíme kliknutím na některý z odkazů Examples a Random, které najdeme pří pravém dolním okraji vstupního řádku aplikace (viz obr. 1.20).
1.8
Závěr
Integrované výukové prostředky byly v této kapitole zkoumány z pohledu vzdělávacího obsahu, byly porovnávány jejich možnosti přiblížit témata v učebním procesu doposud nepokrytá technologiemi s obsahem školního vzdělávání. Byly a v dalších kapitolách této monografie jsou zkoumány možnosti a omezení toho kterého nástroje v konkrétních modelových situacích, přičemž bylo vzato do úvahy jejich použití při vzdělávacím procesu, při hromadné výuce na základní či střední škole. Jestliže víme, jak a které softwarové prostředí může zkvalitnit matematické poznání, můžeme vytvářet inovované kurikulum a to testovat na školách, v běžném provozu. Souběžně s tímto procesem musí odstartovat výzkum dopadu použití těchto technologií na rozvoj schopností žáka porozumět tomuto způsobu modelování matematických situací, na změnu učení žáka, na uchopování pojmů a trénink matematického myšlení a na řešení problémů v těchto nových oblastech, které nějakým způsobem kombinují již tradiční technologické nástroje CAS, DGS, tabulkové procesory apod. Je potřeba zjistit, 46
zda v těchto speciálních „interdisciplinárních“ situacích, které integrace nástrojů přináší, jsou zaznamenány stejné nebo podobné výsledky, jako jsou popsány v pedagogickém výzkumu týkajícím se tradičních technologických nástrojů. Další nutnou oblastí výzkumu je učitel, jeho schopnost porozumět didaktickému přínosu integrovaných technologických nástrojů a jeho didaktická znalost obsahu, schopnost využít tyto nástroje ve své výuce a také metodická příprava učitele na jejich používání. Tyto výzkumy jsou ovšem odkázány na jakousi zkušenost, předchozí praxi, která není myslitelná bez stanovení okruhu úloh a problémů, které jsou řešitelné a v nichž lze pozorovat přínos právě při použití integrace nástrojů pro výuku matematiky pomocí počítače. Věříme, že tato i následující kapitoly k takovému poznání přispějí.
47
Kapitola 2
Integrace softwarových nástrojů a prostředí programů dynamické geometrie a symbolické algebry 2.1
Úvod
Integrace původně izolovaných programových nástrojů, jako jsou například tabulkové procesory, nástroje symbolických a numerických výpočtů, textové editory, grafické nástroje, kreslící a rýsovací programy, 2D a 3D grafická okna apod., ať už v rámci jednoho softwarového produktu nebo v rámci balíku programů, je naprosto zřejmou tendencí ve vývoji matematického software. V této kapitole si budeme tuto skutečnost ilustrovat na příkladech programů GeoGebra [4] a Maple [7]. Každý z nich reprezentuje v jistém smyslu unikátní způsob integrace programových prostředků. S jejich základními rysy a nástroji se seznámíme prostřednictvím řešení konkrétních příkladů, 49
především takových, které k vyřešení vyžadují kombinaci více nástrojů či programů.
2.2
GeoGebra
GeoGebra je dynamický geometrický program (DGS), který však svými funkcemi překračuje rámec geometrie. Je volně šiřitelný a jeho instalaci je možno si stáhnout z webové stránky [4], na které jsou v rubrice Nápověda k dispozici ke stažení i uživatelské příručky. Pro snazší poznání možností jednoduchého tabulkového procesoru, který je součástí programu, lze ještě doporučit prostudování materiálu [27]. Velké množství konkrétních materiálů poskytnutých k volnému použití uživateli GeoGebry z celého světa najdeme na portálech „GeoGebraTube“ [24] a „I2GEO“ [11]. Program GeoGebra ve své verzi 4.0, aktuální v době vzniku tohoto textu, poskytuje uživateli vizuálně oddělená pracovní prostředí (v originále nazývaná Views) Algebraické okno, Nákresna a Tabulka, která jsou vzájemně propojena společným sdílením dat. Kromě těchto prostředí nabízí ještě několik sofistikovaných, komplexně pojatých nástrojů, které se prezentují vlastním grafickým rozhraním. Jedná se o nástroj Pravděpodobnostní kalkulačka, několik nástrojů pro statistické zpracování dat uložených v tabulce (např. Analýza jedné proměnné) a nástroj pro analýzu funkce (uveden pod názvem Kontrola funkce).
2.2.1
Dynamicky propojená prostředí
Geogebra prostřednictvím propojení svých pracovních prostředí umožňuje vícenásobnou reprezentaci různých matematických objektů. Matematická funkce je reprezentována předpisem i grafem, geometrický objekt na Nákresně je zároveň reprezentován rovnicí (např. přímka) či souřadnicemi (např. bod) v Algebraickém okně. Obsah Tabulky je možno zobrazit v Nákresně a zároveň reprezentovat seznamem bodů v algebraickém okně (viz obr. 2.1).
50
Příklad 2.1 Sestrojte graf funkce f , která je dána předpisem f : y = 1 2 x − 1. Potom vytvořte tabulku funkčních hodnot f (x) pro vybrané hodnoty 4 proměnné x a na grafu vyznačte body, které těmto hodnotám odpovídají.
Obr. 2.1: Propojení Algebraického okna, Tabulky a Nákresny programu GeoGebra Předpis funkce ve tvaru f(x)=1/4x^2-1 zadáme do vstupního řádku. Jak ukazuje obr. 2.1, předpis funkce se objeví v Algebraickém okně a zároveň se automaticky vykreslí její graf v Nákresně. Na funkci se poté odkazujeme v Tabulce při výpočtu hodnot f (x). Například v buňce B2 je zapsán výraz f(B1). Ten je následně zkopírován do sousedních buněk druhého řádku, v nichž se díky relativnímu adresování odpovídajícím způsobem mění písmeno sloupce. Například v buňce H2 je proto uvedeno f(H1). Po zvýraznění 51
oblasti B1..N2 vytvoříme seznam bodů s odpovídajícími souřadnicemi (viz obr. 2.1, Algebraické okno, proměnná seznam1). Nabídka pro tuto akci se objeví po přetažení oblasti myší a stisknutí jejího pravého tlačítka. Body ze seznamu se zobrazí v Nákresně. Vše je možno dynamizovat. Buď měníme graf uchopením myší, nebo definujeme posuvníky, jimiž ovládáme parametry funkce. Jednotlivé objekty můžeme dle potřeby skrývat a opět zobrazovat. Tak můžeme vytvářet zadání různých úkolů pro žáky. Dynamické propojení různých reprezentací objektu můžeme výhodně využít také při simulacích některých fyzikálních procesů, jak ilustrují následující dva příklady. Příklad 2.2 Vrh šikmý vzhůru [28]. Znázorněte trajektorii předmětu vrženého šikmo vzhůru pod úhlem α s počáteční rychlostí v0 . Děj se odehrává v gravitačním poli Země, odporové síly neuvažujeme. Řešení v GeoGebře vidíme na obr. 2.2. Dynamické propojení reprezentací příslušných objektů funguje následujícím způsobem: Nejprve v Algebraickém okně definujeme funkce h(x) a v(x) pro zadání souřadnic p(t) = (h(t), v(t)), kde h(t) je horizontální a v(t) je vertikální souřadnice vrženého předmětu v čase t. (Uvádíme-li tyto funkce nejprve s proměnnou x a poté s t, nejedná se o omyl, program při definici funkce jinou proměnnou než x nepřipustí.) Potom tyto funkce použijeme v Tabulce pro vytvoření posloupnosti souřadnic vrženého předmětu, které odpovídají aritmetické posloupnosti časů ti s rozdílem ∆t = 0.1 s (viz obr. 2.2, Tabulka, sloupec A). Nakonec zobrazíme body s těmito souřadnicemi v Nákresně. Pro usnadnění zkoumání vlivu hodnot elevačního úhlu a počáteční rychlosti na tvar trajektorie vrženého předmětu jsou hodnoty parametrů α a v0 ovládány posuvníky. Díky dynamickému propojení způsobují pohyby posuvníků příslušné změny ve všech pohledech na zkoumaný problém (tj. v Algebraickém okně, Tabulce i Nákresně). Příklad 2.3 Simulace Lissajousovy křivky. Znázorněte Lissajousovu křivku pro dané úhlové frekvence dvou na sebe kolmých kmitů. 52
Obr. 2.2: Vrh šikmý vzhůru, GeoGebra 4.0 Lissajousova křivka je výsledkem skládání dvou vzájemně kolmých kmitavých pohybů [29]. Výsledný tvar těchto křivek je dán poměrem velikostí úhlových frekvencí těchto pohybů. V kartézské soustavě souřadnic mohou být křivky interpretovány jako grafy soustavy rovnic x = a sin (ω1 t), y = b sin (ω2 t + φ), kde ω1 , ω2 jsou úhlové frekvence a φ je fázové posunutí. GeoGebra nám umožňuje jednoduše použít posuvníky pro ovládání hodnot těchto parametrů, vypočítat okamžitou polohu kmitajícího bodu, tabelovat tyto údaje v tabulkovém procesoru a zobrazit je v Nákresně. Výsledek je zobrazen na obr. 2.3.
2.2.2
Iterační výpočty pomocí tabulky
Tabulkový procesor (Tabulka) v GeoGebře dovoluje jednoduše zadávat a realizovat různé iterační výpočty. Propojení s Nákresnou navíc poskytuje možnost výsledky těchto výpočtů ihned zobrazovat, pokud to má smysl. Příklad 2.4 Vnořené trojúhelníky [28]. Sestrojte posloupnost do sebe vepsaných trojúhelníků takových, že vrcholy následujícího trojúhelníku leží vždy ve středech stran trojúhelníku předcházejícího. Ukažte, že mají společné těžiště. 53
Obr. 2.3: Lissajousovy křivky, GeoGebra 4.0 Prostředí Tabulka dovoluje jednoduše provádět iterační výpočty tím způsobem, že hodnoty vypočítané na jednom řádku tabulky mohou být použity jako vstupní data pro výpočty na následujícím řádku, jak vidíme na příkladu prvního a druhého, respektive druhého a třetího řádku v tabulce 2.1. Data z Tabulky mohou být samozřejmě ihned zobrazena v Nákresně, pokud to má smysl. V případě našeho příkladu začneme vyplněním prvních dvou řádků tabulky způsobem, který vidíme v tabulce 2.1. Poté zkopírujeme obsah druhého řádku do tolika následujících řádků, kolik chceme sestrojit dalších vnořených trojúhelníků. Díky relativnímu adresování buněk, které je použito ve výrazech pro výpočty středů stran předcházejícího trojúhelníku a v definici trojúhelníku jemu vepsaného (viz tabulka 2.1), dostáváme v jednotlivých řádcích tabulky po sobě jdoucí vepsané trojúhelníky, jak vidíme na obr. 2.4. 54
1 2 3 4 5
A (-4,-2) (A1+B1)/2 (A2+B2)/2 ... ...
B (5,-1) (B1+C1)/2 (B2+C2)/2 ... ...
C (2,6) (C1+A1)/2 (C2+A2)/2 ... ...
D Mnohouhelnik[A1,B1,C1] Mnohouhelnik[A2,B2,C2] Mnohouhelnik[A3,B3,C3] ... ...
Tabulka 2.1: Výpočet vrcholů vepsaných trojúhelníků pomocí tabulky v GeoGebře
Obr. 2.4: Vnořené trojúhelníky, GeoGebra 4.0
2.2.3
Pravděpodobnostní kalkulačka
Příklad 2.5 Binomické rozdělení. Píšete test o 22 otázkách. U každé otázky jsou nabídnuty 4 odpovědi, vždy jenom jedna z nich je správná. Obsahu otázek nerozumíte, u žádné z nich netušíte, která odpověď by mohla být správná. Rozhodli jste se proto vybírat odpovědi náhodně. S jakou pravděpodobností uspějete, jestliže je pro úspěšné složení testu požadováno alespoň 8 správných odpovědí. 55
Hledání odpovědí na jednotlivé otázky představuje sérii 22 nezávislých jevů. Přitom pravděpodobnost správné (špatné) odpovědi je pro každou z otázek stejná, je rovna 0, 25 (0, 75). K vyřešení příkladu použijeme tzv. Bernoulliho schéma (2.1), které nám udává pravděpodobnost, že zkoumaný jev s pravděpodobností p (v našem případě je to správná odpověď) nastane z n pokusů právě k-krát: n k P (X = k) = p (1 − p)n−k . (2.1) k Protože dle zadání je úspěch v testu zaručen při nejméně osmi správných odpovědích, budeme počítat pravděpodobnost P (X ≥ 8), nikoliv P (X = 8). Pro její přímý výpočet bychom museli vztah (2.1) použít celkem patnáctkrát (postupně pro X = 8, ..., 22). Využitím doplňkového jevu (P (X ≥ 8) = 1 − P (X ≤ 7)) bychom počet opakovaných výpočtů snížili na osm. V každém případě by se jednalo o únavný výpočet, který je rozumné svěřit vhodnému programu. Nabízí se použití nějakého algebraického systému. Například v programu wxMaxima [10] bychom úlohu mohli řešit takto: (%i1)
n:22$ p:0.25$
(%i3)
P(X>=8)=’sum(binomial(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k),k,8,n); 22 X 22 (%o3) P (X >= 8) = 0.7522−k 0.25k k k=8
(%i4) P(X>=8)=sum(binomial(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k),k,8,n); (%o4) P (X >= 8) = 0.161527648269384 Jak vidíme na posledním řádku výše uvedeného kódu (viz výstup (%o4)), hledaná pravděpodobnost činí po zaokrouhlení 16 %. Pro výpočet této pravděpodobnosti však můžeme použít i program GeoGebra, přesněji jeho nástroj Pravděpodobnostní kalkulačka. Jak vidíme na obr. 2.5, tento nástroj přehledným způsobem zobrazuje potřebné informace o zkoumaném jevu a umožňuje tak řešit úlohu jednoduše a s porozuměním. 56
Obr. 2.5: Pravděpodobnostní kalkulačka programu GeoGebra
Vztahy (2.1) pro výpočty pravděpodobností toho, že uvažovaný jev nastane k-krát při n náhodných pokusech, tvoří tzv. Binomické rozdělení (výraz na pravé straně (2.1) je vlastně členem binomického rozvoje). V příslušném poli Pravděpodobnostní kalkulačky proto zvolíme toto rozdělení (Rozdělení – Binomické). Další postup je již zřejmý. Výsledek výpočtu vidíme na obr. 2.5. Graf binomického rozdělení, který se v okně Pravděpodobnostní kalkulačky zobrazí, můžeme pro další zpracování přetáhnout (přesněji „překopírovat“ ) do Nákresny GeoGebry (Umístíme-li ukazatel myši k hornímu okraji okna grafu v Pravděpodobnostní kalkulačce, změní se v ruku. Tou potom provedeme přetáhnutí.).
2.2.4
Statistické vyhodnocení dat
Příklad 2.6 Nezaměstnanost v roce 2011. Na webové stránce [30] v rubrice „Nezaměstnanost - Měsíční“ (přímá adresa rubriky je http://portal. 57
mpsv.cz/sz/stat/nz/mes) stáhněte soubor „stat-2011-12.zip“ s měsíční statistikou nezaměstnanosti za rok 2011. Tento archiv obsahuje mimo jiné soubor „2. Nez 2009_2011.xlsx“ s údaji o počtu nezaměstnaných v České republice v jednotlivých měsících roků 2009 až 2011. Zaměřte se na data za rok 2011 a proveďte jejich statistické zpracování, tj. určete aritmetický průměr, modus, medián, maximální a minimální hodnotu a směrodatnou odchylku. Poté data graficky znázorněte a pokuste se průběh hodnot aproximovat nějakou polynomickou funkcí.
Obr. 2.6: Počty nezaměstnaných v letech 2009 – 2011 [30], Microsoft Excel Zpracování provedeme v programu GeoGebra. Po jeho spuštění nejprve otevřeme okno s tabulkou (Posloupností akcí Zobrazit – Tabulka). Poté vyznačíme příslušnou oblast dat v tabulce „2. Nez 2009_2011.xlsx“ (viz obr. 2.6) a zkopírujeme do tabulky GeoGebry. Zde data opět zvýrazníme přetažením myší (při stisknutém levém tlačítku) a aktivujeme nástroj Analýza jednorozměrných dat, jehož umístění vidíme na obr. 2.7. Tomuto nástroji náleží samostatné okno (viz obr. 2.8), v němž ihned, případně po vhodném nastavení, zjistíme potřebné údaje (aritmetický prů58
Obr. 2.7: Umístění nástroje Analýza jednorozměrných dat, GeoGebra 4.0
měr: 505, 575; směrodatná odchylka σ: 35, 3084; medián: 487, 8; maximum: 571, 9; minimum: 470, 6; údaje jsou uvedeny v tisících).
Obr. 2.8: Analýza jednorozměrných dat, GeoGebra 4.0
59
Z požadovaných charakteristik chybí pouze modus. I ten se však dá zjistit následujícím postupem: Na oblast dat v tabulce, která zůstala zvýrazněna, klikneme pravým tlačítkem myši. Objeví se nabídka, z níž volíme akci Vytvořit – Seznam. V algebraickém okně se poté objeví množina vybraných hodnot s názvem seznam1. Nyní stačí zadat do vstupního řádku programu příkaz Modus[seznam1]. Jeho výsledkem je nová množina v algebraickém okně, která obsahuje nejčetnější hodnotu (hodnoty) souboru dat. V našem případě je tato množina prázdná – žádná hodnota se neopakuje. Funkčnost výpočtu stačí vyzkoušet tak, že v tabulce jeden z údajů přepíšeme hodnotou, která se v tabulce již vyskytuje. Rázem je tato hodnota uvedena v příslušné množině jako modus zkoumaného souboru dat. Pro zkoumání vývoje nezaměstnanosti během posuzovaného roku není histogram, zobrazený v okně nástroje Analýza jednorozměrných dat (viz obr. 2.8), vhodný. Ocenili bychom graf závislosti počtu nezaměstnaných na čase. Takovýto graf lze vytvořit přímo v Nákresně, nebo můžeme použít nástroj Regresní analýza dvojrozměrných dat pro statistickou analýzu dvojrozměrných dat (viz obr. 2.7). Začátek je v obou případech stejný. Nad řádek dat přidáme řádek s čísly 1–12 pro označení měsíců a celou takto vzniklou dvojrozměrnou oblast dat vybereme myší. Nyní máme dvě možnosti. První možností je použití nástroje Regresní analýza dvojrozměrných dat a analýzu dat provést jeho prostřednictvím (výsledek viz obr. 2.9). Druhou možností je stisknutím pravého tlačítka myši vyvolat kontextovou nabídku a v ní volit akci Vytvořit – Seznam bodů. Vytvoří se seznam bodů v Algebraickém okně (s největší pravděpodobností se jmenuje seznam3) a tyto body se automaticky zobrazí v Nákresně. Ještě před tím je však dobré nastavit volbu Nastavení – Popisovat – Žádné nové objekty, abychom se v Nákresně vyvarovali nehezky vypadajících popisů zobrazených bodů. Všechny sledované hodnoty jsou z intervalu h400; 600i (údaje o počtu nezaměstnaných jsou uváděny v tisících). Tomu můžeme přizpůsobit i zobrazení osy y. Provedeme to tak, že posloupností akcí Nastavení – Nastavení ... – Nákresna – OsaX vyvoláme kartu „OsaX“ , na níž v poli „Průsečík s:“ uvedeme číslo 400. Nyní provedeme polynomiální regresi zobrazených dat 60
Obr. 2.9: Dvojrozměrná regresní analýza, GeoGebra 4.0
Obr. 2.10: Regrese polynomem stupně 3, GeoGebra 4.0
61
polynomem třetího stupně zadáním příkazu [seznam3,3]. Výsledek vidíme na obr. 2.10.
RegresePolynomialni
Určitě by bylo zajímavé vyzkoušet regresi pro polynomy i jiných stupňů než 3. Zde oceníme posuvník, kterým můžeme stupeň regresního polynomu plynule a pohodlně měnit. Vytvoříme ho pomocí nástroje Posuvník pro proměnnou n způsobem, který je znázorněn na obr. 2.11.
Obr. 2.11: Definice posuvníku v programu GeoGebra Poté dvakrát klikneme v Algebraickém okně na předpis polynomické funkce, která byla vytvořena příkazem RegresePolynomialni[seznam3,3]. Objeví se dialogové okno „Předefinovat“ , v němž přepíšeme trojku určující stupeň polynomu proměnnou n, jak vidíme na obr. 2.12.
Obr. 2.12: Změna stupně regresního polynomu, GeoGebra Nyní můžeme pohybem posuvníku pro proměnnou n měnit stupeň regresního polynomu a pozorovat, jak průběh jeho grafu koresponduje se zobrazenými údaji (viz obr. 2.13).
62
Obr. 2.13: Regrese polynomem stupně 6, GeoGebra 4.0
2.2.5
Nová prostředí GeoGebry
GeoGebra je programem typu open source, na jehož vývoji se podílí bez nároku na pravidelný honorář mezinárodní komunita programátorů. Tento vývoj směřuje k vytvoření univerzálního nástroje pro podporu výuky a studia matematiky. Historie vývoje GeoGebry i jeho směr do budoucna jsou zaznamenány na stránce [31]. Jak bylo uvedeno již v úvodu, aktuální verze 4.0 programu GeoGebra disponuje třemi základními prostředími: Algebraickým oknem, Nákresnou a Tabulkou. V rámci těchto navzájem propojených prostředí lze aplikovat desítky nástrojů, příkazů a matematických funkcí. Uživatel má k dispozici rovněž jednoduchý skriptovací jazyk GeoGebraScript [32]. V současnosti se intenzivně pracuje na rozšíření GeoGebry o prostředí pro symbolickou algebru (dle anglického Computer Algebra System nazývané CAS), a také o prostředí pro trojrozměrnou grafiku (3D). Experimentální 63
Obr. 2.14: Integrace prostředí Algebraického okna, CAS, Nákresny a Tabulky v programu GeoGebra 4.2 verze s těmito moduly je již nyní možné vyzkoušet. Potřebné informace a soubory najde zájemce na adrese [31]. Za pozornost stojí především experimentální beta verze GeoGebra 4.2 s prostředím CAS, která už je velmi blízká oficiální verzi 4.2, jejíž spuštění je plánováno v horizontu několika měsíců. Na obr. 2.14 vidíme grafické rozhraní programu GeoGebra 4.2 s otevřenými okny všech dostupných prostředí, tj. Algebraického okna, Nákresny, CAS a Tabulky. Použití uvedených dvou nových prostředí GeoGebry ilustrují následující dva příklady. Další příklady využití modulu CAS v GeoGebře jsou uvedeny ještě v závěru této kapitoly a v úvodní kapitole publikace. Příklad 2.7 Pro danou polynomickou funkci y = f (x) určete: graf, nulové body, rozklad polynomu f (x) v oboru reálných a komplexních čísel, derivaci v obecném bodě a neurčitý integrál. Možné řešení v GeoGebře, založené na propojení Nákresny s prostředím CAS, vidíme na obr. 2.15. V CAS definujeme předpisem libovolnou poly64
Obr. 2.15: Propojení Nákresny s CAS v programu GeoGebra 4.2 nomickou funkci f (x) a zadáme příkazy pro požadované úkony (rozklad, řešení, nulové body atd.). Graf funkce se automaticky vykreslí v Nákresně po odeslání prvního řádku CAS s předpisem funkce. Pokud tento předpis přepíšeme a odešleme stisknutím klávesy „Enter“ , všechny výsledky i graf se automaticky přizpůsobí tomuto novému předpisu. Jak ukazuje obr. 2.15, zadání funkce můžeme měnit i z Nákresny. Stačí do ní vložit textové pole nástrojem „Vložit textové pole“ a propojit ho s funkcí f (x) (Na toto propojení jsme dotázáni v dialogovém okně, které se objeví po aktivaci nástroje.). Příklad 2.8 Pomocí vhodného programu ilustrujte vznik kuželosečky řezem kuželové plochy rovinou. Vznik jednotlivých kuželoseček řezem kuželové plochy rovinou můžeme ilustrovat pomocí různých programů, např. Cabri 3D, Rhinoceros, wxMaxima, Maple apod. [33]. My zde ale tento úkol využijeme ke krátkému představení 3D prostředí programu GeoGebra, které je v současnosti ve vývoji a jehož 65
uvedení na veřejnost je plánováno spolu s verzí GeoGebra 5.0. Jak bylo řečeno výše, již nyní je možné vyzkoušet některé nástroje tohoto nového prostředí dle instrukcí na [31]. Na rozdíl od prostředí CAS, které je ve stádiu těsně před zveřejněním spolu s verzí GeoGebra 4.2, prostředí 3D ještě není kompletní. Přesto však stojí za to se s ním seznámit, a jak ilustruje náš příklad, dá se v něm již leccos vytvořit.
Obr. 2.16: Vznik kuželosečky, GeoGebra 5 s prostředím 3D
2.3
Maple
Program Maple je počítačovým algebraickým systémem, který umožňuje provádět symbolické a numerické výpočty a zobrazovat 2D a 3D grafy. Program je vybaven bohatou paletou nástrojů a kontextovou nabídkou 66
akcí, která umožňuje provádět požadované výpočty bez znalosti příslušných funkcí, jenom výběrem z nabídky. Zároveň program Maple dovoluje vytvářet tzv. „smart dokumenty“ , které mají podobu textu, v němž jsou integrovány matematické funkce programu, tabulky, grafy, obrázky, odkazy na jiné aplikace a interaktivní ovládací prvky, jako jsou posuvníky, vstupní pole či tlačítka. Počáteční hodnoty proměnných v dokumentu lze měnit a celý dokument následně přepočítat. Slouží tak jako jakási „živá“ stránka učebnice, která dovoluje měnit zadání přítomných úloh a ihned spočítá odpovídající řešení. Algebraický systém Maple je vyvíjen a prodáván společností Maplesoft [7]. Program Maple od své verze 9.5 (aktuální má číslo 16) disponuje dvěma uživatelskými rozhraními. Jejich ukázky vidíme na obrázcích 2.17, 2.18.
Obr. 2.17: Textové rozhraní, tzv. Classic Worksheet, Maple 13 67
2.3.1
Textové rozhraní
Textově orientované uživatelské rozhraní, zvané Classic Worksheet, pracuje výhradně v řádkovém režimu. Zůstalo téměř beze změny již od dob Maple V, první verze programu určené pro operační systém Windows. Prostředí Classic Worksheet představuje efektivní rozhraní pro komunikaci s jádrem programu v programátorském stylu, tj. prostřednictvím psaných příkazů.
2.3.2
Grafické rozhraní
Graficky orientované uživatelské rozhraní, zvané Document Mode, je založeno na dvojrozměrném dokumentu (režim 2D Math). Prostředí Document mode osvobozuje uživatele od nutnosti znát příkazy. Základní výpočty mohou být realizovány jednoduše klikáním myší. Pro tento styl komunikace s matematickým programem se vžil termín „clickable math“ . Příklad 2.9 Řešte rovnici
xx
3 3 4 . = 4
Řešení příkladu prostřednictvím obou rozhraní programu Maple vidíme na obrázcích 2.17 a 2.18. Zatímco v případě textového rozhraní je nutno znát příkazy a dodržovat jejich syntaxi (viz obr. 2.17), v případě grafického rozhraní stačí napsat zadání úlohy a potom už jenom vybírat z kontextové nabídky, která se objeví po kliknutí myší na rovnici (viz obr. 2.18).
2.3.3
„Smart dokumenty“
V prostředí Document mode můžeme vytvářet tzv. „smart dokumenty“ . To jsou jakési interaktivní dokumenty kombinující text, formule, výpočty, grafy, tabulky apod. v rámci jednoho souboru s příponou „mw“ . Vše možno vybavit různými aktivními prvky pracujícími dle našich představ a umožňujícími ovládat hodnoty vstupních parametrů (posuvníky, zaškrtávací políčka, tlačítka, vstupní a výstupní pole). 68
Ukázku části smart dokumentu určeného pro finanční vzdělávání [6] vidíme na obr. 2.19. Smart dokumentem je i záznam řešení příkladu 2.9, který vidíme na obr. 2.18.
Obr. 2.18: Grafické rozhraní, tzv. Document Mode, Maple 13
69
Obr. 2.19: Smart dokument „Spoření“ pro finanční vzdělávání [6], Maple 13
70
2.3.4
Maplety
Program Maple je vybaven dvěma typy programovacích jazyků. Každý z nich je určen pro jiný účel. Jeden využijeme pro tvorbu vlastních funkcí a procedur, druhý potom pro vývoj samostatně spustitelných aplikací ve formě apletů, tak zvaných „mapletů“ . Řada mapletů různého účelu je součástí instalace programu. Další, vytvořené uživateli programu, je možné najít na webové stránce Maplesoftu [7]. Zde uvádíme dva příklady mapletů. Na obr. 2.20 vidíme ukázku mapletu pro analýzu kvadratické plochy, který je součástí publikace [34] a jehož autorem je absolvent Pedagogické fakulty Jihočeské univerzity Marek Dvorožňák. Na obr. 2.21 potom vidíme maplet ve formě interaktivního kalkulátoru umořovací tabulky hypotečního úvěru. Maplet je součástí webové pomůcky [6] pro podporu finančního vzdělávání na Pedagogické fakultě.
Obr. 2.20: Maplet „Vyšetření kvadrik“ [Marek Dvorožňák, PF JU, [34]]
71
Obr. 2.21: Maplet „Hypoteční úvěr“ [6]
72
Kapitola 3
Systémy počítačové algebry a dynamické geometrie jako nástroje poznání 3.1
Úvod
Integrace různých softwarových nástrojů a prostředí činí z počítače prostředek poznání a pochopení matematické podstaty rozličných jevů reálného světa. Při modelování různých reálných jevů oceníme kombinaci dynamického geometrického software (DGS) s programem pro symbolické algebraické výpočty (CAS). Nástroje DGS nám usnadní zkoumaný jev pochopit a geometricky modelovat, CAS nám poskytuje nástroje na následné matematické modelování jevu. Tento proces si budeme ilustrovat na příkladu známého optického jevu, tzv. kaustiky. Nejprve budeme kaustiku modelovat pomocí kombinace programů GeoGebra 4.0 [4] a wxMaxima [10]. Poté lehce nahlédneme do blízké budoucnosti a stejnou úlohu vyřešíme pomocí jediného programu, experimentální „beta“ verze programu GeoGebra 4.2 [31], která 73
má v sobě obsažen modul CAS. Nakonec se naopak vrátíme do nedávné historie a ukážeme si, jak elegantně bylo možno tuto úlohu řešit v programu Derive 6 [35]. Některé vlastnosti a schopnosti tohoto CAS programu zůstávají dosud nepřekonány, přestože jeho vývoj byl bohužel ukončen v roce 2006.
3.2
Kaustika
Příklad 3.1 Za určitých okolností můžeme na dně dobře umytého hrnečku nebo na hladině nápoje v něm pozorovat křivku podobnou srdci (viz obr. 3.1). Objasněte vznik tohoto jevu, modelujte ho geometricky a odvoďte rovnici(e) pozorované křivky. Popsaný jev budeme nejprve modelovat v programu GeoGebra [4], následně odvodíme parametrické rovnice pozorované křivky s pomocí programu wxMaxima [10].
Obr. 3.1: Srdce ve sklenici
74
Dotyčná křivka je polovinou křivky zvané nefroida. Vzniká jako obálka světelných paprsků odražených od vnitřní stěny nádoby. Tím se řadí do rodiny tzv. kaustik. Geometrickou podstatu vzniku této křivky snadno modelujeme v programu GeoGebra. Využijeme přitom možnost umístění obrázku na pozadí nákresny. Tak můžeme konfrontovat model vytvořený pomocí geometrických nástrojů programu se skutečnou křivkou na pozadí. K vykreslení systému odražených paprsků, jejichž je nefroida obálkou, využijeme zobrazení stopy polopřímky, která je modelem odraženého paprsku, spolu s možností plynule pohybovat bodem dopadu (viz obr. 3.2a, bod I) podél kružnice znázorňující vnitřní stěnu nádoby. Výsledek vidíme na obr. 3.2b.
a) Odraz světla
b) Obálka odražených paprsků
Obr. 3.2: Geometrický model vzniku kaustiky, GeoGebra 4.0 Pro odvození parametrických rovnic křivky ve wxMaximě použijeme poznatky diferenciální geometrie o obálce systému křivek v rovině. Jedná se o křivku, která má v každém svém bodě tečnu společnou s jednou z křivek uvažovaného systému. Její rovnice jsou řešením soustavy rovnic, která je tvořena rovnicí parametrického systému křivek l(x, y, ϕ) = 0, kde ϕ je re∂l(x, y, ϕ) = 0. Začneme zadáním souřadnic álný parametr, a její derivací ∂ϕ bodu dopadu I a normálových vektorů nd a nr přímek, které v tomto po75
řadí reprezentují dopadající a odražený paprsek (výstupy některých příkazů z prostorových důvodů neuvádíme): (%i1)
I:[cos(phi+%pi/2),sin(phi+%pi/2)];
(%i2)
nd:matrix([0,1]);
(%i3)
nr:[-sin(2*phi),cos(2*phi)];
Poté definujeme výše uvedené dvě rovnice, nazveme je l(φ) a ld(φ), a řešíme jejich soustavu. Řešením jsou parametrické rovnice zkoumané křivky (viz výstup (%o6)), o čemž svědčí i jejich závěrečné grafické znázornění. (%i4)
l(phi):=(x-I[1])*nr[1]+(y-I[2])*nr[2]=0;
(%i5)
ld(phi):=diff(l(phi),phi);
(%i6)
Curve:trigreduce(solve([l(phi)=0,ld(phi)=0],[x,y])); cos (3 φ) 3 cos (φ) sin (3 φ) 3 sin (φ) − ,y = + ]] (%o6) [[x = − 4 4 4 4 (%i7)
wxplot2d([parametric,rhs(Curve[1][1]),rhs(Curve[1][2]), [phi,0,2*%pi],[nticks,400]],[x,-1,1],[y,-1,1], [gnuplot_preamble,"set size ratio 1;"]);
(%t7) 76
Vývoj projektu GeoGebra směřuje k vytvoření univerzálního nástroje, určeného především k podpoře výuky a studia matematiky na všech stupních vzdělávání. Proto je, vedle zdokonalování stávajících komponent, značné úsilí věnováno vývoji CAS a 3D modulů programu. V době psaní tohoto textu byly na adrese [31] dostupné experimentální „beta“ verze GeoGebry s těmito komponenty. Konkrétně verze GeoGebra 4.2 s CAS a GeoGebra 5 s 3D. Mohli jsme tak vyzkoušet řešení úlohy s kaustikou pouze s použitím GeoGebry. Postup odvození parametrických rovnic nefroidy, v němž CAS modul GeoGebry supluje wxMaximu z výše uvedeného řešení, vidíme na obr. 3.3. Čtenář tak může oba postupy snadno porovnat. Přitom je třeba mít na paměti, že, vzhledem k experimentálnímu charakteru „beta“ verze, se čtenářem použitý program GeoGebra 4.2 může drobně lišit, ve vzhledu i v reakci na příkazy, od verze použité v tomto textu.
Obr. 3.3: Parametrické rovnice nefroidy, GeoGebra 4.2 77
Kompletní řešení problému, tj. geometrický model a symbolické odvození parametrických rovnic, v programu GeoGebra je zaznamenáno na obr. 3.4. Přínos integrace všech použitých nástrojů do jednoho produktu je zřejmý. Kromě zjevné ergonomie takovéhoto nástroje a prezentace řešení v něm je bezesporu přínosné, že jednotlivé komponenty programu jsou vzájemně provázány a používají společné příkazy se stejnou syntaxí.
Obr. 3.4: Parametrické rovnice a geometrický model nefroidy, GeoGebra 4.2 Odvození parametrických rovnic a jejich zobrazení tak bude možné provádět v nové verzi GeoGebry a použití wxMaximy již nebude mít své opodstatnění. Nabízí se otázka, zda stejný závěr platí i pro odvození algebraické rovnice uvažované křivky. Zde je třeba provést eliminaci proměnných ze soustavy nelineárních rovnic, což vyžaduje implementaci speciálních algoritmů. Realizace těchto algoritmů, náročnost jejich obsluhy a kvalita jejich výstupu pak mohou být brány jako ukazatele vyspělosti příslušného CAS programu. Pojďme tedy ještě porovnat použitelnost obou programů pro odvození algebraické rovnice nefroidy. 78
Začneme wxMaximou. Nejprve upravíme parametrické rovnice křivky tak, aby neobsahovaly vícenásobné úhly jako argumenty goniometrických funkcí: (%i8)
C1:trigexpand(Curve);
3 cos (φ)2 sin (φ) − sin (φ)3 3 sin (φ) (%o8) [[x = − − , 4 4 3 2 3 cos (φ) cos (φ) − 3 cos (φ) sin (φ) + ]] y= 4 4 Následně substitucí sin(x) = s, cos(x) = c převedeme goniometrické rovnice na polynomické: (%i9)
C2:subst([sin(phi)=s,cos(phi)=c],C1[1]); 3 c2 s − s3 3 s c3 − 3 c s2 3 c (%o9) [x = − − ,y = + ] 4 4 4 4 Poté k nim přidáme třetí rovnici ve tvaru s2 + c2 − 1 = 0 a provedeme eliminaci parametrů s a c: (%i10) E1:eliminate([C2[1],C2[2],s^2+c^2-1=0],[c,s]); Nakonec výsledný výraz zbavíme zbytečných činitelů, abychom dostali algebraickou rovnici nefroidy: (%i11) E:expand(part(third(E1[1]),1)); (%o11) 64 y 6 +192 x2 y 4 −48 y 4 +192 x4 y 2 −96 x2 y 2 −15 y 2 +64 x6 −48 x4 + 12 x2 − 1 O správnosti řešení se můžeme přesvědčit grafickým znázorněním rovnice pomocí následujících příkazů (výsledek neuvádíme, je stejný jako graf na straně 76): 79
(%i12) load(implicit_plot); (%i13) wximplicit_plot (E, [x, -1, 1], [y, -1, 1], [gnuplot_preamble, "set size ratio 1;"]);
Nyní řešme stejnou úlohu v GeoGebře 4.2. Pokračujeme tam, kde končí kód na obr. 3.4. Znovu vyřešíme soustavu rovnic l(φ) a ld(φ), tentokrát ale místo příkazu Reseni použijeme příkaz Vyresit. Ten totiž poskytuje řešení ve tvaru x = x(φ), y = y(φ), který je výhodnější pro následnou eliminaci. Poté, stejně jako ve wxMaximě, výrazy upravíme a provedeme substituci sin(x) = s, cos(x) = c, použijeme k tomu příkazy TrigonometrickyRozsirit a Substituce. Následující postup už se ale od wxMaximy liší. Místo příkazu pro eliminaci parametrů z dané soustavy polynomických rovnic (Ke dvěma parametrickým opět doplníme rovnici s2 + c2 − 1 = 0.) použijeme příkaz Groebner, který vytvoří tzv. Groebnerovu bázi ideálu (viz obr. 3.5, řádek 11, proměnná GB) definovaného danými polynomy. Mezi polynomy báze potom hledáme takový, který neobsahuje parametry s a c. Ten bude hledanou algebraickou rovnicí naší křivky. Najdeme ho jako poslední, osmý, člen množiny GB a uložíme ho do proměnné E (viz obr. 3.5, řádek 12). Tuto rovnici můžeme opět graficky znázornit. Výsledek bude pochopitelně stejný jako na obr. 3.4. Porovnání obou přístupů k řešení daného problému, tj. buď kombinace GeoGebra 4.0 plus wxMaxima, nebo jenom GeoGebra 4.2 (zatím ovšem jenom experimentální beta verze), tak vyznívá ve prospěch GeoGebry, která představuje univerzální nástroj pro řešení takto komplexních úloh. Na druhou stranu, řešení problému eliminace parametrů ukázalo, že u tohoto druhu problémů nám v současnosti jednodušší cestu k výsledku stále ještě nabízí CAS program wxMaxima. Jak bylo zmíněno v úvodu řešení příkladu, program Derive 6, patřící do kategorie CAS, se již šest let nevyvíjí ani neprodává. Přesto jsou některé jeho rysy stále unikátní a vůbec není nutné s nim přestávat pracovat, máme-li ho k dispozici. K charakteristickým rysům tohoto programu 80
Obr. 3.5: Algebraická rovnice Nefroidy, GeoGebra 4.2
Obr. 3.6: Srdce ve sklenici, Derive 6 81
patří dynamické propojení symbolických formulí s jejich grafickou reprezentací prostřednictvím posuvníku(ů). Záznam řešení naší úlohy se „srdcem ve sklenici“ v programu Derive 6 vidíme na obr. 3.6. Posuvníkem je ovládána hodnota a poloměru kružnice na níž leží bod dopadu P a tím také velikost zobrazené nefroidy.
3.3
Eulerovo číslo
V různých populárně naučných publikacích o matematice, uveďme například [36], [37] nebo [38], se můžeme setkat s následující úlohou, která ilustruje výjimečnost Eulerova čísla e. Příklad 3.2 Předpokládejme, že si na 1 rok uložíme na spořicí účet s roční úrokovou sazbou 100 % částku 1 Kč. Jak se bude měnit výše naspořené částky v závislosti na tom, kolikrát během daného roku budou k úsporám připisovány úroky? Uvažujte různé možnosti, od připisování jednou, dvakrát, či vícekrát za rok až po spojité připisování. Daň z úroků neuvažujeme. Rozhodně stojí za to, se nad touto úlohou zamyslet. Můžeme přitom použít například graf a tabulku programu GeoGebra [4]. Výsledek vidíme na obr. 3.7. Čím častěji úročíme a připisujeme úrok, tím vyšší je zůstatek na účtu. Přitom však je jeho výše shora omezená, s rostoucím počtem připisování za rok se limitně blíží hodnotě Eulerova čísla e. Touto cestou celkem přirozeně dospějeme k pojmu limita posloupnosti a zkoumání tak můžeme završit výpočtem limity 1 x =e (3.1) lim 1 + x→∞ x v prostředí CAS programu GeoGebra 4.2 [31], jak ukazuje obr. 3.8. Poté, co poznáme tento význam e, můžeme přikročit k řešení reálnějšího problému. 82
Obr. 3.7: Výše úspor se blíží k hodnotě Eulerova čísla e, GeoGebra 4.2
Obr. 3.8: Definice Eulerova čísla, GeoGebra 4.2
83
Příklad 3.3 Jakou nejvyšší částku můžeme naspořit na účtu v závislosti na počtu úročení během jednoho roku? Předpokládejme složené úročení, počáteční vklad 100 000 Kč vložený na účet s roční úrokovou sazbou 8 %, jestliže úročíme m−krát za jeden rok. Daň z úroků neuvažujeme. Z řešení předchozí úlohy víme, že maximální úspory na účtu se složeným úročením přináší tzv. spojité úročení. Potom je maximální zůstatek po jednom roce spoření s počátečním vkladem 100 000 Kč dán vztahem 0, 08 m = 100 000e0.08 ≈ 108 329 Kč. (3.2) P1 = lim 100 000 1 + m→∞ m Obecně, maximální zůstatek Pn na účtu při vkladu P0 po n letech spoření s roční úrokovou sazbou 100 · i procent (tj. i je desetinné číslo) je dán vztahem i m·n = P0 en·i . (3.3) Pn = lim P0 1 + m→∞ m Grafické znázornění vztahu (3.3) po dosazení konkrétních hodnot P0 = 100 000 a i = 0, 08 vytvořené v GeoGebře je zachyceno na obr. 3.9.
Obr. 3.9: Maximální zůstatek po n letech, GeoGebra 4.0 Kromě zřejmé informace o vývoji závislosti výše přírůstku vkladu na čase s rostoucím počtem úročení nám uvedená úloha přináší i obecnější informaci. Reprezentuje totiž celou třídu jevů, jimž je společný stejný průběh 84
růstu, případně poklesu, nějaké na čase závislé veličiny. Hovoříme o tzv. exponenciálním růstu či poklesu.
3.4
Logaritmická spirála
Příkladem exponenciálního růstu, na který někdy narážíme doslova na každém kroku, je růst šnečí ulity. Příklad 3.4 Ověřte pravdivost hypotézy, že růst hlemýžďova těla a následně jeho ulity se řídí stejnými pravidly, jako růst vkladu na účtu (viz příklad 3.2). Čím větší je tělo, tím vyšší je rychlost změny jeho rozměrů. Tento vztah by měl být „zaznamenán“ ve tvaru hlemýžďovy ulity. Jediné, co potřebujeme ke studiu růstu hlemýždě nebo jiného vhodného plže je ze správného úhlu pořízená fotografie jeho ulity, uložená v některém z běžných obrazových souborových formátů (např. soubory GIF, JPG nebo BMP). Ne každá ulita je pro tento „výzkum“ vhodná. Doporučit lze například ulitu okružáka ploského (fotografie najdeme na [39]), kterou se zabýváme v tomto textu (viz obr. 3.10), nebo poměrně známý snímek řezu ulity od amerického fotografa Edwarda Westona [40]. Takový obrázek jednoduše vložíme na nákresnu GeoGebry, kde ho vhodně umístíme vzhledem k soustavě souřadnic. Potom, s využitím vybraných nástrojů programu, můžeme zkoumat vlastnosti spirály, která je na ulitě patrná. Pokud je naše hypotéza správná, máme co do činění s tzv. logaritmickou spirálou [41] (také se jí říká exponenciální spirála), jejíž rovnice má v polárních souřadnicích tvar r(ϕ) = aebϕ ,
(3.4)
kde a, b ∈ R jsou parametry ovlivňující průběh spirály. Ověření správného směru naší hypotézy provedeme tak, že se pokusíme pomocí posuvníků najít hodnoty parametrů a, b z rovnice (3.4) tak, aby jim 85
Obr. 3.10: Logaritmická spirála okružáka ploského (Planorbarius corneus) [39], GeoGebra 4.0
odpovídající spirála co nejlépe korespondovala se spirálou na fotografii (viz obr. 3.10). V programu GeoGebra není možné zobrazit spirálu (3.4) přímo. Protože je podporován pouze kartézský souřadnicový systém, musíme polární reprezentaci spirály převést na kartézskou. Nejprve vytvoříme posuvníky pro proměnné a a b a definujeme radiální souřadnici r jako funkci proměnné x: r(x)=a*e^(b*x). Potom funkcí Krivka[r(u)·cos(u),r(u)·sin(u),u,0,8·π] vykreslíme čtyři cykly odpovídající logaritmické spirály. Nakonec pohybem posuvníků měníme tvar spirály, dokud se co nejlépe nekryje se spirálou na ulitě (viz obr. 3.10). Pro zápis nalezené rovnice spirály můžeme použít dynamický text, jak vidíme na obr. 3.10. 86
3.5
Pohyb oběžnice
Jak je uvedeno na straně 53, je možné tabulku GeoGebry použít pro různé iterační výpočty. Následující příklad ilustruje, jak můžeme těchto vlastností Tabulky, spolu s výhodou jejího propojení s Nákresnou, využít k modelování pohybu oběžnice v gravitačním poli vytvořeném centrálním tělesem. Podrobněji o této úloze a jejím řešení v GeoGebře pojednává článek [28]. Příklad 3.5 Analyzujte tvar dráhy pohybu planety kolem Slunce. Užitím Newtonových zákonů pohybu a gravitace určete, po jaké křivce se pohybuje planeta kolem Slunce. Předpokládáme, že Slunce je natolik hmotné, že nemusíme uvažovat jeho pohyb. [42] Příklad je inspirován knihou [42], kde také najdeme kompletní řešení od Richarda Feynmana. Přesněji, numerické řešení, provedené bez použití počítače. Zde si uvedeme jenom základní kroky Feynmanova postupu a zaměříme se na řešení v programu GeoGebra. Podstata Feynmanova numerického řešení spočívá ve výpočtu souřadnic po sobě jdoucích poloh planety během jednoho oběhu, které odpovídají časům ti , i = 1, 2, ..., lišícím se o konstantní rozdíl ∆t, tj. ti+1 = ti + ∆t. Nejprve vhodně volíme fyzikální konstanty κ (gravitační konstanta) a M (hmotnost Slunce), aby se co nejvíce zjednodušily výpočty. Konkrétně Mm to provedeme tak, aby ve vztahu pro gravitační zákon F = κ 2 , kde F je r gravitační síla, m je hmotnost planety a r její vzdálenost od Slunce (přesněji se jedná o vzdálenost těžišť obou těles), platilo κM = 1. Místo κM = 1, 372 · 1020 , jak odpovídá reálným hodnotám κ = 6, 673 · 10−11 m3 kg−1 s−2 a M = 1, 989 · 1030 kg. Poté aplikací druhého Newtonova pohybového zákona a jeho gravitačního zákona odvodíme vztahy pro výpočet souřadnic ax (t), ay (t) vektoru zrychlení planety ~a(t) v čase ti : ax (ti ) = −
x(ti ) , r(ti )3
ay (ti ) = − 87
y(ti ) . r(ti )3
(3.5)
Tyto vztahy nám dovolí definovat vztahy mezi rychlostmi ve dvou po sobě následujících okamžicích ti a ti+1 = ti + ∆t: vx (ti+1 ) = vx (ti ) + ∆tax (ti ),
vy (ti+1 ) = vy (ti ) + ∆tay (ti ).
(3.6)
Potom můžeme vyjádřit vztahy mezi dvěma po sobě následujícími polohami X(ti ) = [x(ti ), y(ti )] a X(ti+1 ) = [x(ti+1 ), y(ti+1 )] planety během jejího pohybu kolem Slunce následujícími vztahy: x(ti+1 ) = x(ti ) + ∆tvx (ti ),
y(ti+1 ) = y(ti ) + ∆tvy (ti ).
(3.7)
Nakonec, po stanovení počáteční polohy X(0) = [x(0), y(0)] a rychlosti ~v (0) = (vx (0), vy (0)) planety v čase t1 = 0 s, zahájíme postupné výpočty jejích po sobě následujících poloh pomocí vztahů (3.5) – (3.7). S jednou malou fintou – pro zpřesnění aproximace poloh planety budeme každý vektor okamžité rychlosti ~v (t) počítat v poločase mezi dvěma pozicemi X(ti ) a X(ti+1 ). Ukažme si, jak se dá tato úloha pohodlně řešit v programu GeoGebra. Nejprve jsou souřadnice po sobě následujících pozic planety vypočítány a uchovány v Tabulce, poté jsou body s těmito souřadnicemi zobrazeny v Nákresně. Počáteční souřadnice polohy a vektoru rychlosti přitom mohou být ovládány posuvníky. Postup vyplnění tabulky je ilustrován tabulkou 3.1. Jednoduše promítneme vztahy dané formulemi (3.5) – (3.7) do vztahů mezi buňkami dvou po sobě následujících řádků tabulky, viz dvojice řádků 2-3 a 3-4 v tabulce 3.1 (pro jednoduchost je místo ∆t použito d). Takto vyplníme první tři řádky tabulky a potom třetí řádek kopírujeme do dalších řádků. Každý řádek odpovídá jedné pozici. Výslednou podobu tabulky vidíme na obr. 3.11. Zde, ve sloupcích B a C, najdeme požadované souřadnice jednotlivých poloh planety při jejím pohybu kolem Slunce. Pro jejich zobrazení obsah těchto sloupců zvýrazníme a klikneme na něj pravým tlačítkem myši. Z nabídky, která se otevře, vybereme posloupnost akci Vytvořit – Seznam bodů (Před tím je vhodné potlačit popisování nových objektů: Nastavení – Popisovat – Žádné nové objekty). 88
A B C D E F G H 1 t x y r ax ay vx vy 2 0 x0 y0 sqrt(B22 +C22 ) −B2/D23 −C2/D23 vx0 +d/2 E2 vy0 +d/2 F2 3 A2+d B2+d G2 C2+d H2 sqrt(B32 +C32 ) −B3/D33 −C3/D33 G2+d E3 H2+d F3 4 A3+d B3+d G3 C3+d H3 sqrt(B42 +C42 ) −B4/D43 −C4/D43 G3+d E4 H3+d F4 5 ... ... ... ... ... ... ... ... 6 ... ... ... ... ... ... ... ...
Tabulka 3.1: Pohyb oběžnice – vyplnění tabulky v GeoGebře
Výsledná trajektorie planety, odpovídající počátečním podmínkám: X(0) = [0, 5; 0], ~v (0) = (0, 1; 77), znázorněná řadou poloh planety v časech, které tvoří aritmetickou posloupnost, je na první pohled v souladu s prvními dvěma Keplerovými zákony (viz obr. 3.11). Nástroje GeoGebry nám dovolují ověřit platnost těchto zákonů, stejně jako měnit počáteční podmínky úlohy a zkoumat výslednou trajektorii. Nejprve ověříme platnost Keplerových zákonů. První zákon, který říká, že trajektorií je elipsa, ověříme pomocí nástroje „Kuželosečka daná pěti body“ . Druhý Keplerův zákon, který říká, že plochy opsané průvodičem planety za stejné časové úseky jsou stejné, ověříme nástrojem „Mnohoúhelník“ (při aktivované volbě Zobrazit popis – Hodnota). Jak vidíme na obr. 3.12a, výsledky těchto ověření jsou uspokojivé. Poté můžeme pomocí posuvníků měnit počáteční hodnoty X(0) a ~v (0) a sledovat, jak se mění tvar výsledné trajektorie, viz obr. 3.12b.
89
Obr. 3.11: Pohyb planety kolem Slunce, GeoGebra 4.0
a) Ověření Keplerových zákonů
b) X(0) = [0, 7; 0], ~v (0) = (0, 68; 1, 85)
Obr. 3.12: Použití nástrojů GeoGebry
90
Kapitola 4
Vybraná interaktivní cvičení s využitím GeoGebra Script 4.1
Úvod
Učitelé, kteří ve svých hodinách aplikují počítačem podporovanou výuku, se už jistě setkali s některým z programů dynamické geometrie jako je GeoGebra [4]. V programu lze k výkladu nové látky velmi snadno vytvářet figury, pro mírně pokročilé uživatele je k dispozici možnost vytvořit interaktivní úlohy pomocí skriptování. Možnosti skriptování budou podrobně popsány v několika úlohách. Program GeoGebra se díky své všestrannosti a nulové ceně stává patrně nejpoužívanějším programem dynamické geometrie nejen v ČR, ale i ve světě [43]. v roce 2012 existují dva české GeoGebra instituty, které informují českou komunitu o dění ve světě a přináší mnoho praktických ukázek práce s programem i jeho aplikaci ve výuce. Díky integraci prostředí pro algebraické výpočty nyní GeoGebra pokrývá řadu oblastí matematiky a stává se tak velmi zajímavým zdrojem výukových materiálů, které lze jednoduše upravit a publikovat online. 91
4.2
GeoGebraScript
V určitých případech nelze dostupnými nástroji docílit, aby příklad obsahoval autorem požadované funkční prvky – kontrola správnosti výsledku, dodatečné výpočty, apod. k dispozici je proto možnost využít skriptovacího jazyka pro tato další rozšíření. Skript je sekvence příkazů, které jsou prováděny jeden po druhém. GeoGebra podporuje dva skriptovací jazyky – vlastní skriptovací jazyk GGBScript a Javascript [44]. GGBScript je jednodušší a pro uživatele programu více intuitivní. Příkazy skriptovacího jazyka vycházejí z přirozeného jazyka a je možné je zadávat v anglickém i českém jazyce. Pro vytváření interaktivních cvičení jsou skripty využívány především pro: • Textové pole, které lze využít pro kontrolu správnosti řešení. • Tlačítko, které lze využít ke kontrole správnosti řešení nebo generování nové úlohy [32].
4.3
Vybrané příkazy jazyka GeoGebraScript
K tomu, abychom mohli vytvořit automaticky generované úlohy, je třeba znát několik základních příkazů skriptovacího jazyka. Příkazy jsou uvedeny i v českém jazyce, do kterého je program v českém prostředí automaticky překládá. Při zadávání příkazů do příkazového řádku jsou automaticky doplňovány jejich názvy, včetně vstupních proměnných. Pro začínající uživatele je třeba zdůraznit, že program rozlišuje mezi velkými a malými písmeny.
4.3.1
RandomBetween / NahodneMezi
Příkaz náhodně vygeneruje celé číslo v intervalu, který je daný svým minimem a maximem. Hodnota, která tímto způsobem vznikne, je závislým objektem [45] a mění svoji hodnotu při každém přepočítání listu. 92
Použití v programu: a = NahodneMezi[-3, 3] // Vznikne číselná proměnná a s hodnotou v intervalu <-3,3>. A = (NahodneMezi[-3, 3], NahodneMezi[-3, 3]) // Vznikne bod A, který se nachází v oblasti čtverce s protějšími vrcholy v bodech [-3,-3] a [3,3].
4.3.2
UpdateConstruction / AktualizaceKonstrukce
Příkaz způsobí přepočítání všech zadaných objektů, tj. má stejnou funkci jako klávesy F9 nebo Ctrl+R [46]. Díky přepočítání vlastností objektů figury vznikne nová situace, kterou má žák vyřešit. v případě, že žák uvede figuru do, pro něj, bezvýchodné situace nebo zapomněl výchozí pozici figury, je výhodné mu umožnit vrátit se zpět k původnímu zadání. GGBScript takový příkaz neobsahuje, ale při exportu úlohy do appletu je možné zahrnout ikonu pro resetování konstrukce, která umožní vrátit zpět všechny provedené manipulace s objekty figury. Použití v programu: AktualizaceKonstrukce[]
4.3.3
SetValue / NastavitHodnotu
Příkaz změní vybranému existujícímu objektu hodnotu. Klasické přiřazení (=) se zdá jednodušší, ale v některých případech způsobí předefinování proměnné a tím i nežádoucí přepočítání celé konstrukce. Použití v programu: zobraz = true // Příkaz vytvoří proměnnou zobraz a je jí přiřazena hodnotu true. NastavitHodnotu[zobraz, false] // Příkaz již existující proměnné zobraz přiřadí hodnotu false. 93
4.3.4
CopyFreeObject / KopirovatVolnyObjekt
Příkaz vytvoří volnou kopii vybraného objektu, tzn. nově vzniklý objekt získá hodnotu, případně další vlastnosti původního objektu, a lze s ním dále dynamicky pracovat. Použití v programu: G =(NahodneMezi[-3,3],NahodneMezi[0,5]) // Přiřazením vznikne nový bod, který má náhodně vygenerované souřadnice. Bod je tedy závislým objektem. H = G // Bod H má stejné souřadnice jako bod G a je na něm přímo závislý, tzn. změna souřadnic bodu G způsobí změnu souřadnic bodu H. GV = KopirovatVolnyObjekt[G] // Přiřazením vznikne nový objekt, který je volný, tzn. v dané figuře s ním můžeme volně pohybovat.
4.4
Příklady
V následujících příkladech je podrobně popsáno použití GGBScriptu i s možností konkrétního nasazení ve výuce. Další možnosti skriptování a generování náhodných čísel jsou publikovány např. v článku [47], kde ovšem autor kombinuje GGBScript i JavaScript, nebo ve výukovém tutoriálu [48]. Skripty využíváme především pro interakci s uživatelem, kdy ho chceme například informovat o správnosti řešení. Studenta je možné informovat různým způsobem: a) Okamžitá odpověď Okamžitou odpověď lze vyvolat dvěma způsoby: 94
• Vybranému textu můžeme přiřadit dynamické barvy na základě logických hodnot. Při splnění úlohy lze změnit barvu textu zadání nebo textu „řešení“. • Každému objektu lze definovat podmínky zobrazení objektu, kdy se na základě logické hodnoty vyhodnoceného výrazu objekt zobrazí nebo nikoliv. Výše zmíněné způsoby okamžitě informují uživatele o správnosti aktuálního řešení. Tento způsob je vhodné použít především v objevitelsky zadaných úlohách, kdy žák předem přesně nezná způsob řešení a až při splnění úlohy zpětně odhalí postup řešení dané množiny problémů. Příkladem by mohla být informace o daném typu trojúhelníku, kdy žák získá změnou polohy jednotlivých vrcholů informaci o druhu trojúhelníku podle délky stran nebo velikosti vnitřních úhlů. Vytvoříme sadu textových polí s popisem typu trojúhelníku, která se budou zobrazovat při splnění podmínek zobrazení. b) Tlačítkem, které vyvolá kontrolu řešení Při stisknutí tlačítka je spuštěn skript, který má za úkol zkontrolovat správnost řešení a zvoleným způsobem informovat žáka o správnosti jeho řešení. Tímto způsobem je možné eliminovat možnost nalezení řešení náhodnou změnou konstrukce.
4.4.1
Sestrojení trojúhelníku daného třemi body
Žákům dělá problém správně zakreslit bod daný svými souřadnicemi. V příkladu žák dostane souřadnice tří náhodně vygenerovaných bodů, které tvoří vrcholy trojúhelníku. Pro správné vyřešení úlohy je třeba správně určit souřadnice vrcholu a přiřadit je správnému bodu.
95
Obr. 4.1: Využití dynamických barev
Obr. 4.2: Využití podmínky zobrazení objektu
96
Obr. 4.3: Příklad 1 – Odpověď pomocí podmínky zobrazení objektu Příklad 4.1 Umístěte vrcholy trojúhelníku ABC podle daných souřadnic. Rozbor příkladu: Pro správnou funkčnost a jednoduchost ověření správnosti řešení jsou v úloze dvě sady bodů a dva trojúhelníky. Vrcholy A1 , B1 , C1 jsou vygenerovány pomocí příkazu NahodneMezi a v příkladu jsou zobrazeny pouze v textových polích zadání. Vrcholy A,B, C jsou volnými objekty na nákresně, které musí žák přesunout do správného umístění. Na nákresně je umístěn text, který ověřuje, zda jsou body správně umístěny. V příkladu ? nelze využít ověření rovnosti pomocí příkazu 4ABC = 4A1 B1 C1 , protože rovnost nastává v případě, kdy jsou si rovny obsahy trojúhelníků. Tlačítko s textem Nové zadání obsahuje pouze příkaz AktualizaceKonstrukce, který vygeneruje novou polohu bodů A1 , B1 , C1 . Zobrazený trojúhelník zachovává poslední pozici. Konstrukce příkladu: A_1 = (NahodneMezi[-4, 0], NahodneMezi[-4, 0]) B_1 = (NahodneMezi[-4, 4], NahodneMezi[-4, 4]) C_1 = (NahodneMezi[-4, 4], NahodneMezi[0, 4]) ABC1 = Mnohouhelnik[A_1, B_1, C_1] Výše uvedené objekty skryjeme. A = (2,1) 97
B = (1,3) C = (3,3) ABC = Mnohouhelnik[A, B, C] Vložíme tlačítko Nové zadání, kde ve Vlastnostech textového pole, v záložce Skriptování-Po kliknutí zapíšeme příkaz: AktualizaceKonstrukce[] Vložíme text Řešení, kde kde ve Vlastnostech textového pole, v záložce Pro pokročilé-dynamické barvy, zapíšeme příkazy: Červená: ABC 6= ABC1 ? ? ? Zelená: A = A_1 ∧ B = B_1 ∧ C = C_1
4.4.2
Sestrojení trojúhelníku daného třemi body
Příklad se od předchozího liší pouze způsobem vyhodnocení žákovy odpovědi. Odpověď je zobrazena až po stisknutí tlačítka Kontrola. Žák má možnost řešení důkladně promyslet a až poté vyvolat kontrolu řešení. Příklad 4.2 Umístěte vrcholy trojúhelníku ABC podle daných souřadnic.
Obr. 4.4: Příklad 2 – Odpověď pomocí tlačítka Rozbor příkladu: Zobrazení odpovědí je závislé na logických proměnných, jejichž hodnoty nastavíme po stisknutí tlačítka Kontrola. Proměnná zobraz_a je určena pro zobrazení odpovědi při správném řešení, proměnná 98
zobraz_n je určena pro zobrazení odpovědi při nesprávném řešení. Změna je také ve skriptu pro tlačítko Nové zadání, ve kterém je třeba nastavit logické proměnné pro zobrazení textu na false. Konstrukce příkladu: zobraz_a=false zobraz_n=false Vložíme tlačítko Kontrola, kde ve Vlastnostech textového pole, v záložce Skriptování-Po kliknutí zapíšeme příkazy: ? ? ? NastavitHodnotu[zobraz_a, Kdyz[A=A_1 ∧ B=B_1 ∧ C=C_1,true,false]] ? ? ? NastavitHodnotu[zobraz_n, Kdyz[A=A_1 ∧ B=B_1 ∧ C=C_1,false,true]] Vložíme tlačítko Nové zadání, kde ve Vlastnostech textového pole, v záložce Skriptování-Po kliknutí zapíšeme příkazy: AktualizaceKonstrukce[] zobraz_a=false zobraz_n=false
4.4.3
Určení souřadnic vrcholů daného trojúhelníku
U příkladů lze využít vstupních polí, která mohou sloužit k zadání odpovědi a následnému ověření. Opět je možné zvolit cestu okamžité odpovědi, kdy přidáme skript přímo textovému poli a kontrolujeme rovnost konkrétních dvou bodů, nebo přidat tlačítko. Příklad 4.3 Určete souřadnice vrcholů zobrazeného trojúhelníku ABC. Rozbor příkladu: Vygenerujeme tři náhodně umístěné body A, B, C, které tvoří zobrazený trojúhelník. Vytvoříme další tři pomocné body A1 , B1 , C1 , které skryjeme a propojíme je s příslušnými textovými poli. Tlačítka Kontrola i Nové zadání mají shodnou konstrukci i skripty s předchozím příkladem.
99
Obr. 4.5: Příklad 3 – zadání
Obr. 4.6: Příklad 3 – propojení textového pole s proměnnou
4.4.4
Nalezení osy symetrie
K vyřešení předchozích úloh stačilo zadat přesné umístění bodů. v případě, že chceme objekt umístit do žádané polohy s určitou tolerancí, je možné využít příkaz Vzdálenost, který určí nejkratší vzdálenost zadaných objektů. 100
Příklad 4.4 Umístěte přímku o tak, aby byl trojúhelník A’B’C’ obrazem trojúhelníku ABC v osové souměrnosti s osou o. Rozbor příkladu: Určíme trojúhelník ABC zadáním vhodných souřadnic jeho vrcholů. Vytvoříme hledanou osu o tvořenou dvěma body O1 , O2 s náhodně vygenerovanými souřadnicemi, podle které vytvoříme obraz trojúhelníku ABC. Osu o skryjeme. Vytvoříme další dva body, které použijeme pro konstrukci pomocné osy a vytvoříme podle ní pomocný obraz trojúhelníku ABC. Pro možnost manipulace s osou je nutné využít příkaz KopirovatVolnyObjekt. Pro kontrolu správnosti řešení použijeme vzdálenost bodů pomocného a skutečného obrazu trojúhelníku ABC.
Obr. 4.7: Příklad 4 – zadání
Obr. 4.8: Příklad 4 – řešení
Konstrukce příkladu: O_1 = (NahodneMezi[-2,0],NahodneMezi[-2,0]) O_2 = (NahodneMezi[1,3],NahodneMezi[1,3]) o = Primka[O_1,O_2] 101
Sestrojíme trojúhelník ABC. Sestrojíme trojúhelník A’B’C’, který je obrazem trojúhelníku ABC v osové souměrnosti s osou o. Osu o skryjeme. U_1 = (NahodneMezi[-3,0],NahodneMezi[-3,0]) U_2 = (NahodneMezi[1,3],NahodneMezi[-3,3]) Body U_1, U_2 skryjeme. U1 = KopirovatVolnyObjekt[U_1] U2 = KopirovatVolnyObjekt[U_2] u = Primka[U1,U2] // Přímka u je volným objektem, slouží jako pomocná osa. Sestrojíme trojúhelník KLM, který je obrazem trojúhelníku ABC v osové souměrnosti s osou u. Vložíme text Blahopřeji, kde ve Vlastnostech textového pole, v záložce Skriptování-Po kliknutí zapíšeme příkazy: (Vzdalenost[L, B’] < 0.05) ∧ (Vzdalenost[K, A’] < 0.05) // Při volné manipulaci s objekty, i s ohledem na konkrétní příklad, je téměř nemožné dosáhnout úplného překrytí objektů. Toleranci ve vzdálenostech bodu a jeho obrazu je vhodné určit empiricky.
4.4.5
Určení průsečíku daných přímek
Předchozí příklady nevyužívaly dostupné nástroje z nabídky programu a žák mohl získat správnou odpověď pouze v reakci na přesunutí objektů. V tomto příkladu musí k vyřešení úlohy využít pomocných konstrukcí. Při exportu úlohy do webové stránky je nutné zobrazit redukovanou lištu nástrojů, případně i vstupní pole GeoGebry.
102
Příklad 4.5 Určete souřadnice průsečíku P ∈ p ∩ q, jsou-li dány přímky p a q. Aby žák úlohu úspěšně vyřešil, je nutné zkonstruovat obě přímky a následně určit jejich průsečík. Úloha nepřímo trénuje dovednost konstrukce přímky.
Obr. 4.9: Příklad 5 – zadání
Obr. 4.10: Příklad 5 – řešení
Rozbor příkladu: Přímky jsou určeny pouze třemi body, které jsou generovány pomocí příkazu NahodneMezi. Výhoda takového přístupu je, že si můžeme zvolit, jakým způsobem bude žákovi zobrazena rovnice přímky a vždy existuje průsečík s celočíselnými souřadnicemi. Vytvoříme bod P, který je propojen s textovým polem. Po zadání souřadnic průsečíku je v textovém poli zobrazena odpověď. Jelikož rovnice přímek jsou generovány na základě náhodných souřadnic bodů, mohou nastat méně časté situace, kdy je přímka rovnoběžná s některou z os, případně jsou přímky totožné (v tomto případě je jako průsečík považován každý bod přímky). z principu volby přímek nemůže nastat situace dvou rovnoběžných přímek. Pro případ, že žák už umí řešit předloženou situaci, je ve figuře vložené tlačítko Nové zadání. Pro správnou funkčnost je třeba do apletu exportovat ikonu pro resetování konstrukce. Záleží na tvůrci, jaká okna a nástroje GeoGebry dá žákovi k dispozici.
103
Obr. 4.11: Vložení ikony pro resetování konstrukce Konstrukce příkladu: Vložíme text Řešení, kde Skriptování-Po kliknutí: NastavitHodnotu[vstup,true] // Proměnná vstup slouží k tomu, abychom věděli, že žák zadal odpověď. NastavitHodnotu[odpoved,Kdyz[P==A,true,false]] // Proměnná odpověď slouží k vyhodnocení shody žákova řešení a skutečného průsečíku přímek p, q. NastavitHodnotu[odpoved,Kdyz[(Vzdalenost[P,a]==0),true, false]] // Skript řeší situaci, kdy jsou přímky totožné. Vložíme tlačítko Nové zadání, kde Skriptování-Po kliknutí: NastavitHodnotu[odpoved,false] NastavitHodnotu[vstup,false] AktualizaceKonstrukce[] 104
4.5
Závěr
Rozšíření konstrukcí o GGBScript umožňuje jednoduchým způsobem vytvořit interaktivní cvičení, která lze jednoduše publikovat na internetu bez znalostí jazyka HTML. Uvedené skripty ukazují nejen způsob, jak skripty do konstrukcí přidat, ale i konkrétní situace využití.
105
Kapitola 5
Užití technologií při vyšetřování množin bodů daných vlastností 5.1
Úvod
Řešení úloh na množiny bodů daných vlastností patří ve středoškolské matematice mezi velmi složitá témata, přestože mají značný motivační a objevitelský význam. Bohužel musíme podotknout, že se studenti ve školní praxi setkávají stále se stejnými a ne moc zajímavými příklady, které by jejich zájem zvýšily. Protože některé syntetické metody (klasický „nepočítačový“ důkaz) mohou být pro daný problém příliš složité, tak se i učitelé tohoto tématu spíše straní. To je však velká škoda. S nástupem nových technologií, které do vyučovacího procesu můžeme bez větších problémů zapojit, se otevírá nová možnost, jak k těmto úlohám přistupovat. Největší zásluhu na tom určitě má nástup tzv. programů DGS (dynamic geometry systems), tj. programů dynamické geometrie (Cabri [5], GeoGebra [4] aj.). Tyto programy nám 107
velmi pomáhají při vizualizaci daného problému a odbourávají tak počáteční obtíže studentů, které jsou často spojené s malou či žádnou představou. Pozdější experimentování při hledání řešení je pro žáky zajímavé, ale přitom velmi názorné. Další jejich velká výhoda je i to, že pokud se s tímto programem naučí dobře pracovat, mohou jeho znalost využít i v pozdějším studiu matematiky. Programy DGS obecně fungují velmi podobně — vždy jsou pro konstrukci množiny bodů důležité dva body. První z nich se nazývá driving point nebo mover, pohybem tohoto bodu získáváme hledanou množinu. A druhý nazýváme locus point nebo tracer, který musí být na prvním bodě nějakým způsobem závislý a hledanou množinu vykresluje [49]. Určení těchto dvou bodů je zásadní pro celkový výsledek. Za použití tužky a papíru je toto velmi složité, avšak můžeme se studenty nejdříve diskutovat, co se domnívají, že by mohlo být hledanou množinou. Poté následuje demonstrace v DGS tak, že danou geometrickou situaci narýsujeme, určíme mover a locus point. Volbou Stopa zapnuta, v nabídce, která se zobrazí pokud klikneme pravým tlačítkem myši na locus point a pohybem moveru nalezneme první podobu hledané množiny bodů. Tuto množinu nalezneme i nástrojem, který je přímo v nabídce programu GeoGebra. Nástroj Množina bodů zobrazí hledanou množinu. Tímto jsme provedli verifikaci pomocí DGS. V této první a velmi důležité části získáme přesnější představu o jakou množinu bodů se jedná. Druhá část je práce s CAS (computer algebra systems), tj. se systémy počítačové algebry. Nejprve musíme vhodně zvolit soustavu souřadnic a rozhodnout, kam body a objekty umístíme, tak aby se jejich algebraické rovnice nebo charakteristické vlastnosti (např. kolmost) daly co nejjednodušeji vyjádřit. Takto vytvořené algebraické rovnice zapíšeme do programu CAS. Tyto programy pracují na eliminaci proměnných (program CoCoA [50] – eliminace pomocí Gröbnerových bází [51, 52, 8], program Epsilon [53, 54, 55] – eliminace dle tzv. metody Wu–Ritt [53] aj.). Tyto programy nám dají odpověď a tím najdeme rovnici křivky / plochy, kterou hledaná množina určuje. Tím provedeme důkaz správnosti řešení, protože zakreslení a vyřešení daného problému v DGS nemůže být bráno jako formální důkaz. Programy 108
DGS pracují na základě numerických výpočtů a tak jejich výsledek je pouze přibližný. Naproti tomu programy CAS používají symbolické výpočty a pracují s algebraickými rovnicemi. Důkaz je tak přesný a jasný. Ne vždy nám však tento program dá odpověď, kterou očekáváme, a tak musíme zkoumat dále jisté možnosti degenerace (v jakém případě nemá příklad řešení, různé možnosti řešení i výsledků a i samotné zadávání rovnic do programu může hrát roli ve výsledku). Proto je potřeba podotknout, že každý program má své výhody i nevýhody. Musíme se tedy rozhodnout podle každého příkladu, který program použít. Shrňme postup nalezení množiny bodů dané vlastnosti: 1. Náčrt zadané geometrické situace (diskutujeme se studenty o výsledku) 2. Demostrace v DGS (narýsujeme pomocí DGS a najdeme hledanou množinu pomocí Stopy bodu (viz obr.5.1)) 3. Verifikace v DGS (využijeme nástroje Množina bodů (viz obr.5.2)) 4. Klasický „nepočítačový“ důkaz (pokud jej známe - i zde můžeme využít DGS – nalezení souvislostí mezi objekty) 5. Hledání množiny bodů pomocí počítače (a) Vhodné zavedení kartézské soustavy souřadnic. (b) Popis geometrické situace pomocí algebraických rovnic a nerovnic. (c) Získání hledané rovnice množiny pomocí eliminace vhodných proměnných. 6. Porovnání výsledků získaných v CAS a DGS 7. Závěry 109
Obr. 5.1: Použití Stopy bodu – – využijeme pravé tlačítko myši
5.2
Obr. 5.2: Použití nástroje Množina bodů
Příklady
Pro pochopení předchozího postupu jsme zvolili na začátek jednoduchý příklad, na kterém ukážeme všech 7 bodů, které jsem uvedli výše. Dále se pak budeme zabývat pouze počítačovým hledáním množin bodů dané vlastnosti.
5.2.1
Osa úsečky
Příklad 5.1 Určete množinu všech bodů v rovině, které jsou stejně vzdálené od zadaných bodů A a B (viz obr. 5.3). Pomocí DGS si zadanou geometrickou situaci narýsujeme a najdeme hledanou množinu. Ke konstrukci využijeme předpokladu, že množina všech 110
bodů, které mají stejnou vzdálenost od zadaného bodu, je kružnice. Narýsujeme dvě kružnice se středy A a B o stejném poloměru a měníme jejich poloměr (pomocí moveru). Průsečíky těchto kružnic představují dva body, které jsou součástí námi hledané množiny (locus point), (viz obr. 5.4).
Obr. 5.3: Náčrtek zadané situace
Obr. 5.4: Dva důležité body
K nalezení hledané množiny využijeme nejprve nástroje Stopa bodu (viz obr. 5.5) (na nalezené průsečíky klikneme pravým tlačítkem myši a zvolíme volbu STOPA ZAPNUTA). Verifikaci provedeme pomocí nástroje Množina bodů (viz obr. 5.6), kde nejprve klikneme na locus point a poté na mover.
Obr. 5.5: Využití Stopy bodu
Obr. 5.6: Využití Množiny bodů
111
Po použití těchto nástrojů můžeme hledat následné vlastnosti množiny bodů (v tomto případě přímky). Tyto vlastnosti můžeme využít pro klasický „nepočítačový“ důkaz (viz obr. 5.7). Z obrázku 5.7 jsou patrné vlastnosti nalezené množiny (přímky). Přímka prochází středem úsečky AB a zároveň je na AB kolmá.
Obr. 5.7: Hledaná množina Klasický důkaz provedeme důkazem ekvivalence a ⇔ b, kde: Výrok a: Bod M leží na ose úsečky AB, Výrok b: Vzdálenost bodu M od bodů A a B je stejná. Dokážeme nejprve výrok a ⇒ b : Pro libovolný bod M roviny platí, jestliže bod M leží na ose úsečky AB, pak je jeho vzdálenost od bodů A i B stejná. Výrok dokážeme následujícím způsobem: |AS| = |BS| 4ASM ∼ = 4BSM |∠ASM | = |∠BSM | = 90◦ ⇒ |AP | = |BP | (sus) M S − společná (5.1) Ze vztahů v (5.1) vidíme, že trojúhelníky ASM a BSM jsou shodné, ať zvolíme jakýkoliv bod nalezené množiny. Tímto je ukázána pravdivost výroku. Poté dokážeme výrok b ⇒ a: Pro libovolný bod M roviny platí, jestliže je vzdálenost od bodů A i B stejná, pak bod M leží na ose úsečky AB. 112
Při důkazu pravdivosti tohoto výroku mohou nastat dvě situace: M leží na úsečce AB ⇒ musí být jejím středem a tedy leží na její ose, M neleží na úsečce AB ⇒ mohu sestrojit trojuhelník ABM. Trojúhelník ABM je rovnoramenný a proto jeho výška prochází středem úsečky AB a je na ni kolmá. Z toho plyny, že bod M leží na ose úsečky AB. Je patrné, že výrok je pravdivý a tím je ekvivalence dokázána. Nyní se dostáváme k počítačovému vyšetření hledané množiny. První a velmi důležitou součástí počítačového důkazu je vhodné zavedení kartézské soustavy souřadnic. V našem případě nabídneme dokonce dvě alternativní možnosti (viz obr. 5.8, 5.9).
Obr. 5.8: Vhodné zavedení kartézské soustavy – 1. varianta
Obr. 5.9: Vhodné zavedení kartézské soustavy – 2. varianta
Jak uvidíme, obě volby vedou ke správnému řešení a dokonce je obě lze demonstrovat ručně na papír. My provedeme počítačové řešení pro obě možnosti a naznačíme, jak by vypadalo jejich řešení bez užití počitače. Označme A = [0, 0], B = [a, 0], kde a 6= 0 a M = [m, n] (viz obr. 5.8). Pro kružnice k1 = (A, r) a k2 = (B, r) platí: k1 : x2 + y 2 − r 2 = 0 k2 : (x − a)2 + y 2 − r 2 = 0 113
Platí následující vztahy: M ∈ k1 ⇔ H1 : m2 + n2 − r 2 = 0 M ∈ k2 ⇔ H2 : (m − a)2 + n2 − r 2 = 0 Eliminací neznámé r v systému rovnic H1 = 0 a H2 = 0 v programu CoCoA zapíšeme: Use R::=Q[r,a,m,n]; I:=Ideal(m^2+n^2-r^2,(m-a)^2+n^2-r^2); Elim(r,I);
Dostáváme výsledek: Ideal(-a^2 + 2am).
Z tohoto výsledku úpravou získáme a 2
m=
a záměnou neznámých m, n za x, y získáme: x=
a 2
To odpovídá rovnici přímky kolmé na osu x procházející středem úsečky AB. Obdobným způsobem provedeme počítačové vyšetření množiny při zavedení kartézské soustavy souřadnic podle obrázku 5.9. Nyní označme A = [−a, 0], B = [a, 0], kde a 6= 0 a M = [m, n]. Pro tuto variantu platí následující vztahy: M ∈ k3 ⇔ H1 : (m + a)2 + n2 − r 2 = 0 M ∈ k4 ⇔ H2 : (m − a)2 + n2 − r 2 = 0
114
Do programu CoCoA zapíšeme rovnice: Use R::=Q[r,a,m,n]; I:=Ideal((m+a)^2+n^2-r^2,(m-a)^2+n^2-r^2); Elim(r,I);
a dostáváme výsledek: Ideal(4am).
Úpravou a záměnou neznámých získáváme rovnici x=0 Jde o rovnici osy y – tj. opět dostáváme rovnici přímky kolmé na osu x procházející středem úsečky AB. Nyní naznačíme, jak můžeme tuto úlohu (varianta 1) vyřešit bez užití počítače. Ze soustavy algebraických rovnic eliminujeme proměnnou r. m2 + n2 − r 2 = 0/ · (−1) (m − a)2 + n2 − r 2 = 0 −m2 − n2 + r 2 = 0
(5.2)
m2 − 2am + a2 + n2 − r 2 = 0
(5.3)
2
−2am + a = 0 m=
a a2 = 2a 2
(5.4)
Soustavu rovnic řešíme jednoduchou úpravou a poté rovnice (5.2) a (5.3) sečteme, přičemž neznámá r vypadne. A opět se dostáváme ke stejnému výsledku jako při počítačovém řešení. Programem CoCoA (CAS) jsme potvrdili, že výsledky, které jsme získali pomocí programu GeoGebra (DGS), jsou správné. 115
5.2.2
Asteroida
Nechť je dána kružnice k a na ní bod C. Středem k sestrojíme dvě na sebe kolmé přímky x, y. Paty kolmic z bodu C na přímky x a y označme A a B. Bodem C dále vedeme kolmici na přímku AB a získáme bod M (viz obr. 5.10).
Příklad 5.2 Určete množinu bodů M , která vznikne při pohybu bodu C po kružnici k [56].
Obr. 5.10: Určete množinu bodů M Pro demonstraci a verifikaci v DGS volíme bod C jako mover a bod M jako locus point. Použitím tlačítka Stopa bodu (viz obr. 5.11) a nástroje Množina bodů (viz obr. 5.12) v programu GeoGebra nalezneme první představu o hledané množině. Tato množina je známá jako asteroida. Pro hledání rovnice množiny bodů pomocí počítače budeme potřebovat vhodně zvolit soustavu souřadnic (viz obr. 5.13). Poté napíšeme algebraické rovnice, které popíší tuto situaci. 116
Obr. 5.11: Stopa bodu
Využití
volby
Obr. 5.12: Využití nástroje Množina bodů
Označme S = [0, 0], A = [p, 0], B = [0, q], C = [p, q] a M = [m, n] (viz obr. 5.13).
Obr. 5.13: Vhodně zvolená soustava souřadic 117
Pro přímky a1 a a2 a kružnici k = (S, r) (poloměr kružnice nyní zvolíme r = 1, jak bylo zmíněno v úvodu článku) je: a1 = AB : qx + py − pq = 0 a2 ⊥AB ∧ C ∈ a2 : px − qy − p2 + q 2 = 0 C∈k
: p2 + q 2 − 1 = 0
Platí následující vztahy: M ∈ a1 ⇔ H1 : qm + pn − pq = 0 M ∈ a2 ⇔ H2 : pm − qn − p2 + q 2 = 0 C∈k
⇔ H 3 : p2 + q 2 − 1 = 0
Eliminaci neznámých p, q v systému rovnic H1 = 0, H2 = 0 a H3 = 0 v programu CoCoA zapíšeme: Use R::=Q[p,q,m,n]; I:=Ideal(qm+pn-pq,pm-qn-p^2+q^2,p^2+q^2-1); Elim(p..q,I);
Dostáváme výsledek: Ideal(-2/9m^6 - 2/3m^4n^2 - 2/3m^2n^4 - 2/9n^6 + 2/3m^4 - 14/3m^2n^2 + 2/3n^4 - 2/3m^2 - 2/3n^2 + 2/9)
Faktorizací a vyjádřením neznámé n získáme tyto rovnice: r 2 2 3 13 − m3 . n=±
Při záměně neznámých m, n za x, y získáme následující rovnice: r y=±
2
1 − x3
3
.
To jsou právě rovnice hledané asteroidy, kterou můžeme zobrazit dvěma způsoby. Jako graf dvou nalezených funkcí (viz obr. 5.14) a nebo jako implicitně zadanou funkci (viz obr. 5.15). 118
Obr. 5.14: Graf nalezených funkcí
5.2.3
Obr. 5.15: Graf funkce zadané implicitně
Strofoida
Je dána úsečka AB a bod C, který se pohybuje po kružnici k se středem v bodě A a poloměrem |AB| (viz obr. 5.16).
Obr. 5.16: Určete množinu bodů M pohybuje-li se C po kružnici 119
Příklad 5.3 Určete množinu všech průsečíků výšek M trojúhelníku ABC, pokud budeme bodem C pohybovat po kružnici k. Demonstraci opět provedeme pomocí nástroje Stopa bodu (viz obr. 5.17) a verifikaci zadaného příkladu pomocí nástroje Množina bodů (viz obr. 5.18) v programu GeoGebra. V této situaci volíme jako mover bod C a jako locus point bod M .
Obr. 5.17: Využití volby Stopa bodu
Obr. 5.18: Využití nástroje Množina bodů
Obr. 5.19: Vhodně zvolená soustava souřadic 120
Z obrázků 5.17 a 5.18 vidíme, že množinu bodů tvoří rovinná křivka. Nyní potřebujeme nalézt její rovnici. Zavedeme kartézskou soustavu souřadnic následujícím způsobem A = [0, 0], B = [a, 0], C = [p, q] a M = [m, n], bod M značí ortocentrum (průsečík výšek) trojúhelníku ABC (viz obr.5.19). Pro rovnice objektů, se kterými budeme pracovat, při vhodně zvolené soustavě (viz obr. 5.19): vAB : x − p = 0 vBC C∈k
: (p − a)x + qy = 0 : x 2 + y 2 − a2 = 0
platí následující vztahy: M ∈ vAB ⇔ H1 : m − p = 0 M ∈ vBC C∈k
⇔ H2 : (p − a)m + qn = 0 ⇔ H 3 : p 2 + q 2 − a2 = 0
V tomto případě použijeme pro eliminaci neznámých p, q ze soustavy rovnic H1 = 0, H2 = 0, H3 = 0 program Epsilon. Do programu Maple [7] (pod kterým Epsilon pracuje) zadáme: with(epsilon); U:=[m-p,(p-a)*m+q*n,p^2+q^2-a^2]: X:=[m,n,p,q]: CharSet(U,X);
a dostáváme odpověď: [-a*n^2+m^2*a-m^3-m*n^2, m-p,m*p-m*a+q*n], ‘factors removed‘ = {-m+a}]
Eliminací neznámých p, q jsme tak získali jedinou rovnici −an2 + m2 a − m3 − mn2 = 0, 121
(5.5)
která je zároveň rovnicí hledané množiny – strofoidy [57]. Pro zobrazení této množiny můžeme využít úpravy rovnice (5.5) na rovnice: (5.6) r r a−m a−m ; n2 = − , (5.6) n1 = a+m a+m záměnou neznámých m, n za x, y zajistíme, že v programu GeoGebra můžeme zobrazit nalezenou množinu jako dvě funkce (viz obr. 5.20), nebo jako funkci zadanou implicitně (viz obr. 5.21).
Obr. 5.20: Graf nalezených funkcí
Obr. 5.21: Graf funkce zadané implicitně
A nyní se dostáváme k poslednímu zajímavému příkladu, který bude svým zadáním velmi podobný předchozímu. Řešení nebude tak snadné nalézt, protože se posuneme z rovinného problému do prostoru.
122
5.2.4
Množina bodů v prostoru
Zobecněním předchozího příkladu do prostoru získáme následující úlohu. Je dána úsečka AB a bod C, který se pohybuje po kulové ploše κ se středem v bodě A a poloměrem |AB| (viz obr. 5.22).
Příklad 5.4 Určete množinu všech průsečíků výšek M trojúhelníku ABC, pokud budeme bodem C pohybovat po kulové ploše κ. Pro názornější popis situace jsme zvolili 3D okno programu GeoGebra 5 [58] (viz obr. 5.22). Rovina ρ1 představuje rovinu kolmou na AB (M ∈ ρ1 ), ρ2 rovinu kolmou na BC (M ∈ ρ2 ) a rovina 4ABC je třetí rovinou, kde se nachází bod M . Bod M je průsečíkem všech tří rovin.
Obr. 5.22: Zadaná situace pomocí 3D okna programu GeoGebra 5 V tomto případě nemůžeme bohužel použít pro demonstraci a verifikaci žádný vhodný program. A tak se můžeme posunout rovnou k bodu 5 z úvodu článku – hledání množiny pomocí počítače. 123
Obr. 5.23: Zavedení kartézské soustavy souřadnic Zavedení kartézské soustavy souřadnic zvolíme následujícím způsobem (viz obr. 5.23): A = [0, 0, 0], B = [a, 0, 0], a 6= 0, C = [p, q, r] a M = [m, n, o]. Budeme potřebovat následující rovnice: ρ1 : x − p = 0, ρ2 : px + qy + rz − pa = 0, rovina 4 ABC : aqz − ary = 0, C ∈ κ : x2 + y 2 + z 2 − a2 = 0. Platí: M ∈ ρ1 ⇔ H1 : m − p = 0, M ∈ ρ2 ⇔ H2 : pm + qn + ro − pa = 0, M ∈ 4ABC ⇔ H3 : aqo − arn = 0, C ∈ κ ⇔ H4 : p2 + q 2 + r 2 − a2 = 0. 124
Dostáváme systém rovnic H1 = 0, H2 = 0, H3 = 0 a H4 = 0, ze kterých potřebujeme eliminovat neznámé p, q, r. Do programu CoCoA zapíšeme: Use R::=Q[p,q,r,m,n,o,a]; I:=Ideal(m-p,pm+qn+ro-pa,-arn+aqo,p^2+q^2+r^2-a^2); Elim(p..r,I);
A dostáváme odpověď: Ideal(m^4a+m^2n^2a+m^2o^2a-2m^3a^2+m^2a^3-n^2a^3-o^2a^3)
Přepsáním tohoto výsledku do tvaru rovnice a její faktorizací získáme následující rovnici: a(−m + a)(am2 − an2 − ao2 − m3 − mn2 − mo2 ) = 0, případ a = 0 jsme vyloučili již v zadání a případ m = a můžeme též vyloučit. Pokud m = a, tak nastane rovnost C = B = M , přičemž M je zahrnuto v námi nalezené množině (5.7). am2 − an2 − ao2 − m3 − mn2 − mo2 = 0.
(5.7)
Nalezenou množinu zobrazíme pomocí programu Maple [7] jako funkci zadanou implicitně pro hodnotu parametru a = 1 (viz obr. 5.24). Na obrázku 5.25 vidíme množinu společne s kulovou plochou κ.
125
Obr. 5.24: Hledaná množina
5.3
Obr. 5.25: Hledaná množina a kulová plocha
Závěr
Na příkladech, které byly řešené je vidět, jak efektivní je počítačové řešení. Jeho využití v hodinách matematiky je velmi jednoduché a studenti sami mohou experimentovat a nacházet nové zajímavé křivky (plochy). Pro studenty středních škol je použití programů DGS a CAS navíc spojeno s dalšími početními úkony. Jejich využití je velmi široké a pokud studenti zvládnou tyto „nástroje“ dobře ovládat, stanou se pro ně pomocníkem při řešení mnoha různorodých matematických úkonů. Učitelé se tak nemusí držet pouze klasických příkladů, ale mají mnohem větší prostor pro jejich výběr. Domníváme se, že počítač se stává nedílnou součástí hodin matematiky a programy, které pomáhají studentům pochopit podstatu problému, by se měly zapojovat do výukového procesu stále častěji.
126
Kapitola 6
Výuka pravděpodobnosti na středních školách pomocí počítačové simulace metodou Monte Carlo 6.1
Úvod
Každý se s náhodou setkává již v předškolním věku při hrách v kolektivu svých vrstevníků i v domácím prostředí. S tím souvisí i vývoj intuitivního chápání pojmů jako „jistě“ , „možná“ , „nelze“ . S narůstajícími zkušenostmi se připojují i pojmy „méně pravděpodobné“ , „pravděpodobnější“ apod. V mladším školním věku se podporuje chápání těchto pojmů pomocí různých her – házení mincí, losování barevných lístků, spravedlivé rozdělení stejných předmětů mezi všechny děti apod. Chápání pravděpodobnosti je však pouze intuitivní, žáci často řeší úlohy „logickými úsudky“ , které však obvykle nemají s pravidly počtu pravděpodobnosti nic společného. Příkladem [59] může být pokus uskuteč127
něný ve Velké Británii, kdy žáci měli řešit tuto úlohu: Čtverec byl rozdělen na 16 malých čtverečků a v nich bylo třemi různými způsoby umístěno 16 bodů. Vyberte příklad, který považujete za náhodný. Více než polovina žáků považovala za náhodné rozmístění takové, kdy v každém čtverci byl právě jeden bod. Méně než čtvrtina žáků připouštěla shluky (ostatní nevěděli nebo zamítli všechny nabízené případy jako neodpovídající jejich představě). Podle věku bylo zadání upraveno (místo bodů se jednalo o kapky deště apod.). Výzkum ukázal, že žáci žádného věku nebyli na problém připraveni, pojem „náhodný“ jim nebyl jasný a jeho chápání se s věkem nelepšilo. Z vlastních zkušeností mohu konstatovat, že i studenti vysokých škol pozorující výsledky opakovaného pokusu s rovnoměrným rozdělením bývají překvapeni – a to jak přítomností a početností shluků, tak velikostí „prázdných“ oblastí. Můžeme tedy konstatovat, že intuice většinu žáků nabádá k tomu, aby nanejvýš mírně narušenou pravidelnost považovali za rovnoměrnou náhodnost či ekvivalentně za vzájemnou nezávislost.
6.2
Pravděpodobnost na školách
Již od žáka na ZŠ se v matematice podle RVP předpokládá kombinační úsudek při řešení úloh. Kombinatorika a pravděpodobnost však obvykle není zařazena jako zvláštní kapitola, proto na tuto část není brán příliš zřetel a žáci přicházejí na střední školu s nedokonale rozvinutým kombinatorickým myšlením. Na střední škole je kombinatorika a pravděpodobnost do RVP i do učebnic zařazena, avšak důraz je často kladen na mechanické aplikování vzorců na úkor logického uvažování nad úlohami. Výuka kombinatoriky a pravděpodobnosti na dnešních středních školách obvykle probíhá představením vzorečků a počítáním vzorových příkladů. Klasickými příklady jsou úlohy z loterie, několikanásobné hody kostkou, nebo určení počtu možností kombinací na zámcích apod. Málokde se však studenti setkávají s ukázkami příkladů ze života a jejich modely nebo se simulací jevů. Přitom některé úlohy přímo vybízejí k demonstrování v praxi. Není problém vzít do hodiny hrací kostky a se studenty 128
zjišťovat pravděpodobnost, že na kostce padne jednička. Pokud učiní každý 10 hodů, budeme mít okolo 250 pokusů, což už studentovi může napovědět, jak takovou pravděpodobnost vypočítat. Pokud hází jednou kostkou, vidí, že všechna čísla padala přibližně stejně často, což je přivádí k závěru, že pravděpodobnost padnutí libovolného počtu teček může být 61 . Pokud budeme chtít pracovat s tímto příkladem více, můžeme v něm spolu se studenty odkrýt, že se jedná o rovnoměrné rozdělení a dojít tak až ke vzorci na klasickou pravděpodobnost. Ten zní P = pv , kde p je počet všech příznivých danému jevu a v je počet všech možností. Pokud ale přejdeme k hodu více kostkami současně, studenti obvykle nevidí rozdíl v tomto typu úlohy. Nezřídka studenti zjišťují, jaké součty teček na kostkách mohou padnout. Například u hodu třemi kostkami zjistí 16 1 . možností a odvodí z toho pravděpodobnost každého takového jevu jako 16 Tato úvaha však není správná. V tento moment přichází do hry právě počítačová simulace, která nejen upozorní na chybu v úvaze, ale zároveň může sloužit jako návod, proč je výsledek jiný. K hodu třemi kostkami můžeme využít například následující počítačovou simulaci, která postupně načítá počet součtů teček na kostkách (viz obr. 6.1). Studenti zároveň mají k dispozici tři kostky, aby sami mohli házet, porovnávat výsledky a počítat. Po několika vteřinách se studentům vykreslí četnosti jednotlivých možností a oni vidí rozložení připomínající Gaussovu křivku. Výsledek simulace studentům odhalí chybu v jejich úvaze a přivádí je k dalšímu uvažování. Někteří již sami přijdou na skutečnost, že četnost zde ovlivňuje to, kolik existuje různých kombinací součtu teček na jednotlivých kostkách. Jiní ještě k tomuto zjištění využijí několik opakování hodu třemi kostkami. Je tedy patrné, že simulace (a případně ještě opakování pokusu s kostkami) studenty díky názornosti snadněji přivede na zjištění způsobu řešení tohoto typu úloh. Pomocí vhodného simulačního jazyka samozřejmě lze demonstrovat i mnoho dalších klasických a poměrně jednoduchých úloh. Počítačové simulace nám však mohou pomoci vyřešit i příklady, na které studenti středních škol obvykle nepřijdou bez nějakého návodu. Ukážeme si tedy simulaci středoškolských příkladů pomocí metody Monte Carlo. 129
Obr. 6.1: Simulace hodu třemi kostkami Nejprve si však tuto metodu musíme představit a vysvětlit si některé základní pojmy, se kterými v těchto simulacích pracujeme.
6.3
Metoda Monte Carlo
Monte Carlo lze zařadit mezi simulační metody, které používají pseudonáhodná čísla (čísla, která se svým charakterem blíží náhodným, téměř náhodná). Výpočet je u této metody založený na mnohokrát opakovaných pseudonáhodných pokusech. Ke zkoumání náhodných jevů pomocí počítače se využívají takzvané generátory náhodných čísel. K vygenerování náhodných čísel nemusíme využívat jen počítače. Zvláště ve škole je užitečné využívat i jiných generátorů. Za generátory lze považovat tabulky náhodných čísel, mechanické generátory (kostka, mince, losovací zařízení) a dále počítačové – fyzikální či chemické generátory (hardwarové), aritmetické generátory pseudonáhodných čísel (softwarové). 130
Více se o této metodě a souvisejících pojmech můžeme dočíst například v [60, 61, 62, 63, 64].
6.4
Rovnoměrné rozdělení
Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení v intervalu (a, b), kde a < b, jestliže má hustotu pravděpodobnosti v každém bodě ( 1 , pro a < x < b, f (x) = b−a 0, jinak.
6.5
Příklady
Nyní si na dvou ukázkách předvedeme, jak lze na střední škole ukázat příklady na rovnoměrné rozdělení. V prvním příkladu se opravdu jedná o rovnoměrné rozdělení. Druhý příklad se na první pohled zdá být rovněž úlohou na rovnoměrné rozdělení. Pomocí metody Monte Carlo lze však snadno ukázat, že tomu tak není. Příklad 6.1 Uvažujme hru pro dva hráče. Adam má šťastné číslo 4, zatímco šťastným číslem hráče Běty je číslo 9. Každý z hráčů vylosuje z intervalu (0, 1i náhodně jedno číslo. (Adam a, Běta číslo b). Všechna čísla a, b z intervalu (0, 1i jsou stejně pravděpodobná (rovnoměrné rozdělení). Poté tedy platí – pokud je 4 první nenulová cifra vylosovaného čísla, vyhrává Adam, pokud je první nenulovou cifrou 9, znamená to, že zvítězila Běta. Je uvedená hra spravedlivá? Pokud ne, jaká cifra dává největší šanci vyhrát? S tímto příkladem obvykle studenti nebudou mít větší problém. Každá cifra má pravděpodobnost 19 , jedná se o rovnoměrné rozdělení a hra je spravedlivá. Výsledek můžeme zkontrolovat pomocí simulace metodou Monte Carlo (viz obr. 6.2). Vidíme, že u 10 000 000 pokusů nastala všechna čísla přibližně stejněkrát. 131
Obr. 6.2: Vygenerovaná čísla rovnoměrného rozdělení Následuje 2. příklad, který vznikl drobnou modifikací prvního. Příklad 6.2 Uvažujme opět hru pro dva hráče. Adam má šťastné číslo 4, zatímco šťastným číslem Běty je číslo 9. Každý z hráčů vylosuje z intervalu (0, 1) náhodně jedno číslo. (Adam číslo a, Běta číslo b). Všechna čísla a, b z intervalu (0, 1) jsou stejně pravděpodobná (rovnoměrné rozdělení). Pokud je 4 první nenulová číslice podílu ab , vyhrává Adam, pokud je první nenulovou cifrou 9, znamená to, že zvítězila Běta. Je uvedená hra spravedlivá? Jaká cifra dává největší šanci vyhrát? Na první pohled se zdá i tento příklad jako zadání na rovnoměrné rozdělení. Většina studentů ho jako takový bude počítat obdobným způsobem, jako předchozí. To je však špatně. Metoda Monte Carlo nám názorně ukáže (viz obr. 6.3, 6.4), jaká bude pravděpodobnost pro jednotlivé cifry. Vhodné programovací prostředí, v této ukázce konkrétně Java, nám umožňuje vykreslit výsledky graficky, každá počáteční nenulová cifra má jednu barvu (1 – červená, 2 – zelená, 3 – tmavě modrá,. . . ). Pokud budeme chtít i číselné vyjádření, kolikrát jednotlivé jevy nastanou, ani to není problém. Metodou Monte Carlo můžeme samozřejmě vyjádřit i četnost jednotlivých jevů a odhad jejich pravděpodobnosti. 132
Obr. 6.3: Vygenerovaná čísla rozdělení, které není rovnoměrné
Obr. 6.4: Grafický výstup příkladu na rozdělení, které není rovnoměrné 133
Grafické znázornění efektivně využívá geometrické pravděpodobnosti. Číslo tažené Adamem (resp. Bětou) naneseme na osu x (resp. osu y). To znamená, že si lze celou situaci představit tak, jako bychom náhodně z jednotkového čtverce vybírali bod o souřadnicích [a, b]. Tímto způsobem je tedy možné interpretovat řešení úlohy jako geometrický problém. Pokud se podíváme na grafické znázornění, jasně vidíme, že původní představa o tom, že budou všechny číslice stejně pravděpodobné, určitě neplatí (z obrázku je zcela zřejmé, že existují rozdíly mezi pravděpodobnostmi jednotlivých číslic a že jsou dokonce velké). Uvedený obrázek nás přivádí na myšlenku, že daná hra asi spravedlivá nebude. Přejdeme tedy k výpočtu pravděpodobnosti výskytu jednotlivých číslic. Jak bylo zmíněno již výše, každá počítačová simulace by nám měla dát i návod (nebo aspoň usnadnit cestu k tomu), jak hledat odpovídající teoretické řešení. Nyní, když víme, že rozdělení není rovnoměrné, přejdeme k výpočtu, u kterého využijeme i grafický výstup naší simulace. Z té je patrné, že pravděpodobnost pro jednotlivé číslice získáme jako součet obsahů trojúhelníků stejné barvy. Začneme tedy postupně od číslice 1. Je-li první nenulová cifra podílu rovna 1, pak číslo ab musí ležet v některém z následujících intervalů:
a b
..., h0, 001; 0, 002), h0, 01; 0, 02), h0, 1; 0, 2)
(6.1)
h1; 2), h10; 20), h100; 200), ...
(6.2)
Nejdříve vyřešíme pravděpodobnost pro intervaly typu 6.1 0, 1 ≤
a < 0, 2 ⇒ b ≤ 10a; 5a < b b
dále 0, 01 ≤
a < 0, 02 ⇒ b ≤ 100a; 50a < b b
atd. 134
Hledaná a, b, jež splňují podmínky uvedené výše, představují souřadnice bodů v jednotkovém čtverci, které leží uvnitř trojúhelníků s vrcholem v bod A = [0, 0], výškou va = 1 a stranou a ležící na úsečce CD (viz obr. 6.5). Součet obsahů trojúhelníků typu 6.1 je 1 1 1 1 1 + + + ... = 2 10 100 1000 18
Obr. 6.5: Součet obsahů trojúhelníků typu 6.1
Ještě nám zbývají intervaly typu 6.2 1≤
a < 2 ⇒ b ≤ a; 0, 5a < b b
dále 10 ≤
a < 20 ⇒ 10b ≤ a; 0, 05a < b b
atd. Čísla a, b, jež hledáme a která splňují výše uvedené podmínky, opět představují souřadnice bodů v jednotkovém čtverci. Ty leží uvnitř trojúhelníků s vrcholem v bodě A = [0, 0], výškou va = 1 a stranou a, která leží na úsečce spojující body B = [1, 0] a C = [1, 1] (viz obr. 6.6). 135
Obr. 6.6: Součet obsahů trojúhelníků typu 6.2
Součet obsahů trojúhelníků typu 6.2 je 5 1 1 1 1 + + + ... = 2 20 200 2000 18
Dohromady tak dostáváme, že p1 =
1 5 1 + = 18 18 3
p1 = 0, 333. Stejně můžeme postupovat i u ostatních číslic. Potom získáme následující pravděpodobnosti: p2 = 0, 148; p3 = 0, 102; p4 = 0, 084; p5 = 0, 074; p6 = 0, 069; p7 = 0, 065; p8 = 0, 063; p9 = 0, 062. Tímto jsme s přesností na tři desetinná čísla vypočítali pravděpodobnosti jednotlivých jevů a vidíme, že se vypočítané hodnoty téměř shodují s našimi výsledky, které jsme získali pomocí metody Monte Carlo. 136
Nyní si ukážeme, jak lze takovou simulaci vytvořit pomocí počítače. Využili jsme k tomuto účelu programovací jazyk Java. Popíšeme si první i druhý příklad, ale zaměříme se především na druhý příklad, který je náročnější. K tvorbě je použito volně šiřitelné multiplatformní vývojové prostředí BlueJ [65].
Obr. 6.7: Třídy v BlueJ Vytvoříme v prostředí BlueJ dvě třídy – Canvas a Generator, které vidíme na obr. 6.7. Pokud nechceme tvořit grafické znázornění, bude nám stačit pouze třída Generator. Canvas je určeno pro vytváření grafických oken, kam se nám výsledek vykresluje. Z třídy Generator si necháme vygenerovat instanci třídy (generator1), který nám nabízí zavolání dvou různých metod – graphic a text. Pokud zavoláme metodu text s parametrem vyjadřujícím počet opakování, vygenerují se nám počty čísel začínajících na jednotlivé cifry (viz obr. 6.2). 137
V případě, že zvolíme graphic, opět zadáme požadovaný počet opakování, pak se nám bodově vygeneruje obrázek (viz obr. 6.4) a také příslušný počet čísel. Číslo, které udává počet opakování, musí být dostatečně vysoké – v řádech milionů, aby byl výsledný obrázek téměř spojitý a pravděpodobnost se tedy co nejvíce blížila skutečné hodnotě. Nyní si nastíníme vlastní tvorbu generátoru. Jako první si popíšeme vygenerování počtu čísel začínajících na jednotlivé cifry. Využijeme k tomu generátor náhodných čísel a funkci celá část. Potřebujeme ovšem zabránit tomu, aby generátor započítával nulu jako první cifru. Pokud tedy bude vygenerováno číslo menší než jedna, opakovaným násobením 10 zajistíme, že první platná číslice bude nenulová. Při nalezení čísla začínající danou nenulovou číslicí se počet vygenerovaných čísel začínající touto číslicí zvýší o 1. Postup vidíme na obrázku 6.8, který nám generuje výsledky pro první příklad.
Obr. 6.8: Zdrojový kód metody text 138
U druhého příkladu generujeme vždy dvojice náhodných čísel, z nichž utvoříme podíl. U tohoto podílu zjišťujeme opět první nenulovou číslici, přičemž tento podíl může být větší nebo roven 10. U takovýchto čísel je nutné opakovaných dělením deseti zajistit, aby číslo bylo menší než deset a zároveň větší nebo rovno jedné. Další postup pro textový výpis je analogický, zbývá ještě popsat princip vytvoření grafického výstupu (viz obr. 6.9).
Obr. 6.9: Zdrojový kód metody graphic 139
Grafické znázornění vychází z bodové koncepce. Každý trojúhelník je tedy vykreslen jednotlivými body, jehož souřadnice jsou vyjádřeny na ose x jako dělenec z podílu ab a na ose y jako dělitel. Barva bodu se pak odvíjí od první nenulové číslice podílu, tj. červená barva značí jedničku, zelená dvojku atd.
6.6
Závěr
Z daných ukázek je patrné, že lze počítačovou simulaci pomocí metody Monte Carlo zapojit i do výuky na střední škole. Tato metoda nám umožňuje zařadit i složitější úlohy, které bychom jinak nevyučovali. Jedná se o metodu velice názornou, která studentům napomáhá najít cestu k řešení některých úloh z pravděpodobnosti. K simulování úloh z pravděpodobnosti nemusíme samozřejmě využívat pouze programovací jazyky. V mnoha případech nám stejně dobře a někdy dokonce i efektivněji poslouží i jiný software. Systémy počítačové algebry (CAS) a také některé systémy dynamické geometrie (DGS) mohou být velice užitečné. Často lze využít například program Maple nebo Mathematica; je však možné zakomponovat také například GeoGebru, se kterou někteří žáci zvládají řešit jednoduché úlohy z pravděpodobnosti pouze s mírnou pomocí učitele.
140
Kapitola 7
Využití programu GeoGebra při výuce matematiky na ZŠ 7.1
Úvod
V tomto článku se zabýváme využitím nejnovějších výsledků vědy při výuce matematiky na ZŠ. Věnujeme se zde integraci elektronických prostředí pro počítačem podporovanou výuku matematiky, konkrétně integrací programu GeoGebra do výuky. Uvedeme několik poznatků a zkušeností autora se začleněním tohoto programu do výuky matematiky v 6. ročníku ZŠ. Program GeoGebra autor využíval při zavádění, procvičování i testování osové souměrnosti. Pro lepší autentičnost bude autor v tomto článku popisovat své zkušenosti v první osobě.
7.1.1
Charakteristika třídy
Na ZŠ Máj I byla tato integrace programu GeoGebra realizována ve třídě 6.B, kde je celkem 23 dětí, z toho dvě děti jsou neprospívající a asi pět dětí propadá z matematiky. Nadaných žáků s aktivním přístupem k matematice 141
je zde celkem sedm. Celkově má tato třída spíše slabší prospěch a je bez kázeňských problémů. Klima třídy se následně projevovalo tím, že např. při hodinách matematiky v počítačové učebně si děti často navzájem pomáhaly anebo se vždy okamžitě hlásily, pokud měly nějaký problém.
7.1.2
Učební plán výuky matematiky v 6. ročníku podle ŠVP
Podle školního vzdělávacího programu s názvem Škola na míru [66] a podle učebního plánu začíná výuka v šesté třídě tématem desetinná čísla a operace s nimi, obsah a obvod čtverce a obdélníka, dále dělitelnost přirozených čísel, objem a povrch krychle a kvádru, úhel a jeho velikost, konstrukce a měření úhlu, osa úhlu a pak následuje shodné zobrazení – osová souměrnost. Po osové souměrnosti následuje trojúhelník, tedy základní vlastnosti a rozdělení trojúhelníků, jejich konstrukce, obvod a obsah.
7.2
Metody integrace GeoGebry do výuky
Na téma osové souměrnosti bylo vyhrazeno deset vyučovacích hodin. Čtyřikrát proběhla výuka v počítačové učebně, kde měl každý žák svůj počítač, dvě hodiny jsem věnoval výkladu v učebně s dataprojektorem a zbytek výuky proběhl v klasické třídě s dřevěnou tabulí. Při hodinách v počítačové učebně či v učebně s dataprojektorem jsem pracoval výhradně s programem GeoGebra a děti buď rýsovaly na počítači, nebo do sešitu. Ve třídě s klasickou tabulí si mohly děti také vyzkoušet rýsování s dřevěným kružítkem a velkým plastovým pravítkem, což bylo pro všechny velmi obtížné, k čemuž samozřejmě přispíval i stres před tabulí.
142
7.2.1
Úlohy pro práci učitele s GeoGebrou při výkladu
Během celé výuky osové souměrnosti jsme střídali učebny (počítačová učebna, učebna s dataprojektorem či klasická učebna) podle dispozic počítačové učebny na škole a podle vlastní potřeby buď zavádět novou látku, ukazovat, diskutovat či prakticky procvičovat látku, nebo nechat děti samostatně pracovat a jen řídit jejich samostatné objevování. Následující úlohy jsou proto rozděleny podle toho, v jaké učebně výuka probíhala: a) úlohy pro výuku v klasické učebně Při zavádění osové souměrnosti jsme s dětmi prohlíželi různé symetrické obrázky a pracoval s objekty osově souměrnými či nějakým způsobem symetrickými, jako jsou např. značky aut, stavby domů, jednoduché i složitější geometrické obrazce, plastový trojúhelník s ryskou, knihy, rostliny apod. Děti měly vždy za úkol najít dvě popřípadě více shodných částí, ze kterých se daný celek skládal a najít osu souměrnosti, popř. více os souměrnosti. Další hodinu jsme pracovali s nůžkami a papírem. Děti měly přehnout papír a v místě ohybu vystřihovat různé tvary. Po rozložení zjistily, že vystřižený útvar je osově souměrný. Následně jsem narýsoval rovnoramenný trojúhelník, který již žáci znají z páté třídy, a společně jsme objevovali vlastnost výšky tohoto trojúhelníku. Aniž děti věděly, že jde o výšku, poznaly, že tato úsečka, resp. přímka, je osou souměrnosti trojúhelníku. b) úlohy pro výuku v učebně s dataprojektorem Při této výuce jsem zaváděl konstrukci obrazu k danému vzoru při zadané ose souměrnosti. Celou konstrukci jsem prováděl v programu GeoGebra, zatímco děti do sešitu. Při sestrojování obrazu bodu v osové souměrnosti jsem využíval krokování konstrukce a postupně odhaloval celý postup podle tempa dětí. Výhodou bylo, že lze bez mazání a předělávání jakýkoliv krok konstrukce vrátit zpět a provést znovu pro lepší pochopení. Po dokončení konstrukce, diskutovali jsme s dětmi, co se stane, když budeme posouvat vzor dále od osy souměrnosti, přibližovat jej, nebo s ním 143
budeme pohybovat do všech směrů a nakonec, co se stane, bude-li bod ležet přímo na ose. Tímto způsobem jsem probral i konstrukci obrazu úsečky (viz obr. 7.1).
Obr. 7.1: Konstrukce obrazu úsečky v osové souměrnosti Po zavedení nového pojmu osa úsečky byla příležitost procvičit konstrukci opět v učebně s dataprojektorem. Pro děti byla připravena úloha k využití a konstrukci osy úsečky. Jde o úlohu z učebnice [67] o dvou myslivcích, kteří si chtějí postavit posed na okraji lesa tak, aby k němu měli oba stejnou vzdálenost ze svých domovů (viz obr. 7.2). Úlohu jsem zadal jako problém a ptal jsem se dětí, zda nemají nějaký návrh na řešení. Děti pozorovaly nakreslené zadání v programu GeoGebra a sdělovaly své nápady. Jednoho žáka napadlo řešení, že posed mohou myslivci postavit přesně uprostřed mezi svými domovy. Souhlasil jsem a pochválil žáka za výborný nápad, ale připomněl jsem dětem, že posed má být postaven pouze někde na okraji lesa. Přesto mají děti narýsovat úsečku AB spojující domovy myslivců a následně mají vyznačit střed úsečky AB. Děti úloha začíná 144
Obr. 7.2: Úloha o myslivcích na konstrukci osy úsečky bavit a přidávají se ostatní s návrhem využít osu úsečky, kterou jsme probírali minulou hodinu. Ještě nechávám děti odhadovat, kde asi tak bude stát nový posed splňující jejich požadavky, a pak řešení společně narýsujeme. Nakonec je třeba dětem zdůraznit, že jde o osovou souměrnost, a zopakovat také vlastnosti samodružných bodů.
7.2.2
Úlohy pro samostatnou práci dětí v GeoGebře
Počítačová učebna byla používána především pro praktické procvičení osové souměrnosti. Během první hodiny se žáci poprvé seznámili s programem GeoGebra, ačkoliv již program několikrát viděli při výkladu s dataprojektorem. Nejprve měli žáci za úkol sestrojit dva body a následně přímku procházející těmito body. Podobnými jednoduchými úlohami se děti seznámí se základními funkcemi, řeší jednoduché úlohy samostatně s kontrolou na plátně, kde jim po chvíli konstruuji řešení a vysvětlím správný postup. 145
Následující hodina začala motivační úlohou [68, s. 28]. Každý si otevřel soubor s předkreslenou polovinou motýla a osou souměrnosti. Děti měly za úkol pomocí stopy bodu dokreslit druhou polovinu motýla táhnutím tohoto bodu podél obrysu motýla (viz obr. 7.3). K bodu, kterým děti pohybovaly po předkreslené části motýla, byl již předem zkonstruován obraz v osové souměrnosti podle narýsované osy a byla zapnuta stopa tohoto obrazu.
Obr. 7.3: Motýl Dalším úkolem bylo sestrojit libovolný čtyřúhelník a přímku a zkonstruovat obraz čtyřúhelníku v osové souměrnosti podle přímky. Protože mi šlo pouze o vztah mezi vzorem a obrazem, mohl jsem už dětem poradit, že nemusí konstruovat obraz čtyřúhelníku bod po bodu, ale stačí využít funkce Osová souměrnost. Děti měly pohybovat se vzorem a pozorovat chování obrazu (obr. 7.4). Po krátkém zkoumání jsem se dětí zeptal, jaké vlastnosti má vzniklý obraz a jak se chová při pohybu vzoru. Děti odpovídají, že se „pohybuje stejně“ nebo že obraz „stejně vypadá“ . Snažím se, aby děti používaly správná vyjádření, a upřesňuji jejich výrazy. Dále jsem vyzýval děti, aby jeden bod vzoru přesunuly do druhé poloroviny určené osou souměrnosti, a zkoumáme, zda mají vzor a obraz společné body a kolik jich je. Na závěr se mají děti poku146
Obr. 7.4: Čtyřúhelník v osové souměrnosti sit vhodně umístit vzorový čtyřúhelník tak, aby měl s obrazem společnou jednu celou stranu. Celá úloha končí poznatkem o vlastnostech samodružných bodů. Následující úloha s názvem Vlk a zajíc využívá vlastnosti samodružných bodů osy úsečky podobně jako úloha o myslivcích (viz výše str. 144). V připravené předloze měly děti za úkol vhodně přemístit plavčíka, který rozhodne o tom, kdo doběhl k vodě jako první (obr. 7.5). Aby byl závod spravedlivý, musí být plavčík od obou z nich stejně daleko, a navíc musí stát na břehu. Poté, co jsem upozornil na podobnost s úlohou o myslivcích, většina dětí ve třídě tuto úlohu vyřešila. Poslední úloha byla na procvičení konstrukce obrazu v osové souměrnosti pomocí kolmice a kružítka. V předloze vytvořené v programu GeoGebra byl narýsován bod, trojúhelník, kružnice a přímka, představující osu souměrnosti (obr. 7.6). Děti měly v dané osové souměrnosti narýsovat obrazy bodu, trojúhelníku a kružnice pouze s využitím funkcí Kolmice, Průsečík objektů a Kružnice daná středem a bodem. Funkce jako Osová 147
Obr. 7.5: Vlk a zajíc souměrnost nebo Střed úsečky zatím využívat nesměly, aby pochopily celý postup konstrukce. Pro jistotu lze v programu GeoGebra omezit nabídku nástrojů dané funkce zakázat. V této úloze dělala dětem největší problém konstrukce trojúhelníku, neboť se po několika pokusech o konstrukci ztratily ve velkém množství přímek a kružnic. Pro usnadnění jsem proto připomněl možnost skrytí nepotřebných konstrukcí. Nakonec jsem nové znalosti o osové souměrnosti ještě zopakoval a děti si je upevnily vypracováním domácího úkolu a pracovního listu. Téma osové souměrnosti bylo zakončeno patnáctiminutovou písemnou prací. Domácí úkol, pracovní list i písemná práce jsou obsahem přílohy.
148
Obr. 7.6: Konstrukce obrazů v osové souměrnosti
7.2.3
Způsob práce s GeoGebrou v 6.B
Většina dětí si velmi rychle osvojila práci s programem na základní úrovni a již při druhé hodině byly děti schopny samy rýsovat pomocí funkcí, které se naučily minulou hodinu. Přibližně tři čtvrtiny dětí ihned upravovaly barvy a tloušťku čar narýsovaných objektů, ačkoliv jsem jim tuto funkci pouze ukázal a nikdy nevyžadoval, ani neprocvičoval. Nadaní žáci měli všechny úlohy rychle vyřešené, což jsem nepředpokládal, proto jsme buď společně diskutovali o jejich postupu a způsobech řešení, nebo jsem jim ukazoval další funkce usnadňující práci. U pomalejších žáků jsem musel neustále individuálně řešit problém s rýsováním v programu GeoGebra. Během hodiny si sousedící děti navzájem pomáhaly, čímž občas vznikl při hodině hlasitý pracovní šum, který lze do určité míry tolerovat. 149
Při diskusi o právě narýsovaných úlohách se polovina dětí aktivně zapojovala a odpovídala na dotazy, ostatní žáci buď dokončovali svá řešení, nebo jen pasivně sledovali konstrukci na plátně.
7.3
Motivace dětí
Na každou hodinu v počítačové učebně se většina třídy velmi těšila. Celou hodinu jsme rýsovali pouze v programu GeoGebra, nikdo neprojevoval nechuť, všichni pracovali, pomáhali ostatním a snažili se dospět do konce. Občas jsem musel žákům několik kroků jejich konstrukce vrátit zpět nebo dokonce celou konstrukci smazat, přesto byly vždy děti ochotné svou práci dokončit. Někteří žáci dokonce zvládli veškeré úlohy naprosto samostatně a zkoušeli narýsovat vlastní obrazce.
7.4
Problémy při výuce
Největším problémem při výuce byla obtížná organizace práce. Každé dítě mělo své vlastní tempo a zatímco někteří žáci ještě ani nezačali pracovat, jiní už měli úlohu hotovou. Bylo obtížné řešit individuální problémy jednotlivců a zároveň vysvětlovat zadání dalších úloh dětem, které měly již hotovo. Nalézt vhodný způsob diskuse, objevování a formulování vlastností osové souměrnosti, jak se tomuto věnuje i Huclová [69] činilo také problém. Často bylo nutné korigovat nepřesnosti ve vyjadřování žáků při popisu vlastností jednotlivých konstrukcí. Posledním problémem byl nedostatek času. Vzhledem ke školnímu vzdělávacímu programu nebylo možné věnovat tématu osové souměrnosti více hodin, nezbyl proto žádný čas na samostatnou tvůrčí činnost žáků. 150
7.5
Vliv na znalosti, zkušenosti a dovednosti dětí
Poslední tři hodiny byly věnovány testování znalostí žáků. Jedna hodina probíhala v počítačové učebně, kdy děti rýsovaly na známky obrazy bodu, trojúhelníku a kružnice v osové souměrnosti (viz obr. 7.6 na str. 149). Většina třídy splnila tuto úlohu bez větších problémů. Dokonce děti dokázaly samy narýsovat obraz kružnice v osové souměrnosti, ačkoliv jsem postup konstrukce pro kružnici neprobíral. A nakonec i děti samy zformulovaly postup této konstrukce. Další testování se konalo v učebně s dataprojektorem. Žáci dostali oboustranný pracovní list formátu A4 (viz příloha č. 1). Práce byla určena na celou hodinu s tím, že první nejtěžší příklad jsem s nimi vyřešil. Nejprve jsme společně diskutovali o řešení a děti odpovídaly na mé otázky. Dále jsem pomalu rýsoval řešení v programu GeoGebra a děti podle plátna rýsovaly do pracovního listu. Tuto náročnou úlohu zvládla bez chyby přibližně třetina dětí. Ostatní neměli problém s porozuměním látce, dopouštěli se však chyb při rýsování kolmice pomocí rysky trojúhelníku nebo při přenášení vzdáleností kružítkem. Při poslední hodině věnované osové souměrnosti psaly děti písemnou práci (viz příloha č. 2). Výsledky mě velmi potěšily, jelikož 16 dětí z 24 dokázalo sestrojit obrazy bodů v osové souměrnosti, a narýsovat obraz úsečky či kružnice. Čtrnáct dětí správně označilo samodružné body. Díky práci v programu Geogebra si děti lépe zapamatovaly postup konstrukce obrazu útvaru v osové souměrnosti, polohu samodružných bodů, nebo vlastnosti vzoru a obrazu.
7.6
Závěr
Práce v programu GeoGebra děti bavila a všichni ochotně řešily zadané úlohy. Díky programu mohly děti vidět spoustu případů vzájemné polohy geometrických objektů, jejichž rýsování na tabuli by zabralo několik hodin. 151
Své konstrukce mohly děti kdykoliv jednoduše měnit, opravit nebo předělat za mnohem kratší dobu. Při výkladu dětem velmi pomáhala funkce krokování konstrukce, díky které může učitel pomalu a přehledně rýsovat v programu GeoGebra, opakovat celý postup konstrukce nebo se kdykoliv vrátit k jednotlivým bodům konstrukce. Přesnost rýsování při práci s plastovým pravítkem a kružítkem se nedá srovnávat s digitálním rýsováním na počítači, které je nejen přesné, ale i po osvojení funkcí snadnější. Výhodou je také snadná a intuitivní práce v programu GeoGebra díky uživatelsky příjemnému prostředí. Všechny popisy jsou v češtině s krátkým českým komentářem. Integrace programu GeoGebra do výuky osové souměrnosti byla pro děti i pro mne přínosná. V žádném případě však nesmí být práce dětí na počítači pouze oddechová či naprosto samostatná, důležitá je neustálá zpětná reflexe a diskuse o nalezených vlastnostech, provedených konstrukcích a správných řešeních. Úloha učitele jako koordinátora práce dětí je i podle Huclové [69] nezastupitelná, protože musí neustále usměrňovat a podněcovat jejich do jisté míry samostatné objevování a zkoumání daných geometrických vlastností a problémů.
152
7.7
Přílohy
Příloha č. 1: Pracovní list – osová souměrnost Jméno a příjmení: .....................................
třída: ...........
1) a) Narýsuj přímku o, která prochází středem úsečky AB a středem úsečky BC. b) Narýsuj obdélník A0 B 0 C 0 D 0 souměrně sdružený s obdélníkem ABCD podle osy o. c) Vyznač samodružné body E, F obdélníku ABCD.
2) a) Dorýsuj pravoúhlý trojúhelník KLM , s pravým úhlem při vrcholu L. b) Narýsuj osu o, která prochází bodem K a bodem M . c) Narýsuj trojúhelník K 0 L0 M 0 souměrně sdružený s trojúhelníkem KLM podle osy o. 153
d) Podtrhni správnou odpověď: • vzniklý čtyřúhelník M L0 KL je: obdélník, kosočtverec, kružnice, trojúhelník, čtverec • všechny samodružné body trojúhelníku KLM tvoří: dva body, úsečku, přímku 3) Na obrázku je tučně vyznačená osa, podle které je tabulka osově souměrná. Doplň chybějící písmena a napiš tajenku: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Najdeš tajenku ještě jinde než na vyznačených polích? Pokud ano, zakroužkuj ji.
154
4) a) Narýsuj kružnici k se středem S a poloměrem r = 4 cm. b) Narýsuj kružnici k 0 , která je obrazem kružnice k v osové souměrnosti s osou p. c) Vyznač všechny samodružné body kružnice k.
5) Dokonči stavbu, která se zrcadlí ve vodní hladině a tedy je s ní souměrně sdružená podle tučně vyznačené osy.
155
Příloha č. 2: Písemná práce A Jméno a příjmení: .....................................
třída: ...........
1) Narýsuj všechny osy souměrnosti, podle kterých je útvar osově souměrný.
2) a) Narýsuj kružnici k se středem S a poloměrem r = 2, 5 cm. b) Narýsuj kružnici k 0 , která je obrazem kružnice k v osové souměrnosti s osou o. c) Pojmenuj písmeny všechny samodružné body kružnice k.
156
B Jméno a příjmení: .....................................
třída: ...........
1) Narýsuj všechny osy souměrnosti, podle kterých je útvar osově souměrný.
2) a) Narýsuj úsečku AB. b) Narýsuj úsečku A0 B 0 , která je souměrně sdružená s úsečkou AB podle osy o. c) Pojmenuj písmeny všechny samodružné body úsečky AB
157
Kapitola 8
Užití DGS pro sazbu matematického obsahu 8.1
Úvod
Sazba matematického textu je častou činností, s níž se setkáváme. Samotný matematický text však v některých situacích nedostačuje potřebám čtenáře, a proto je vhodné jej doplnit názornými schématy či ilustracemi. Zařazení obrázků do sazby textu se ukazuje jako důležité především v geometrii, kde je grafické znázornění mnohdy nejen součástí zadání nebo postupu řešení problému, ale také jeho samotným řešením. Klíčovým rozhodnutím je pak volba, jakým způsobem budou tyto obrázky vytvářeny. Při volbě vhodného postupu tvorby obrázků je potřebné zohlednit též hledisko implementace hotového obrázku do sázeného textu v co nejvyšší kvalitě, a to nejen po technické stránce, ale také ve smyslu jednotného vzhledu vysázených obrázků ve vznikající publikaci. Mezi estetické požadavky patří především potřeba shodné velikosti písma napříč všemi obrázky, přičemž tato velikost by měla být přiměřená vzhledem k ostatním textům, které se v dané sazbě vyskytují. Dále je nutné 159
zajistit, aby tloušťka čar, které mají určitou důležitost (tj. nejsou cíleně zvýrazněné), byla identická na všech obrázcích. Posledním požadavkem je optimální „hustota“ obrázku v sazbě, tedy aby ani tento obrázek nebyl příliš prázdný, ani zde nebylo příliš mnoho informací koncentrováno na malé ploše. Ačkoliv lze obrázky snadno dodatečně zvětšovat či zmenšovat jako celek, je již problematické zachovat (nebo dokonce nalézt) při takovéto úpravě stejnou tloušťku čar a velikost písma. Proto je vhodné v době exportu udržovat jednotnou velikost písma a tloušťku čar mezi obrázky a případnou dodatečnou změnu velikosti provádět u všech obrázků začleňovaných do sazby se stejným poměrem zvětšení, nebo ji neprovádět vůbec. K tvorbě obrázků lze v současné době využít širokou škálu postupů. Jednou z cest je kresba potřebných schémat pomocí softwaru vektorové grafiky. Takovýto přístup skrývá zcela nepochybně velký potenciál ve své univerzálnosti, lze zde vytvářet schémata dalece přesahující problematiku matematiky. Tento software však ze své povahy nedodržuje matematické zákonitosti, které je tak nutno dodávat explicitně. Při změně vstupních podmínek velmi snadno může dojít k rozpadu celé kresby, což je zásadní nedostatek postupu. Pokročilou metodou tvorby obrázků je kresba pomocí nadstaveb sázecího prostředí LaTeX (například pomocí Metafontu, balíku PSTricks a podobně). Tato varianta je však dosti náročná, neboť je nutné jednotlivé části kresby vytvářet pomocí textových příkazů. Další z možností, jak vytvářet obrázky k matematickému textu (především pak geometrickému), je využití softwaru dynamické geometrie.
8.2
Použití DGS pro tvorbu obrázků
Software dynamické geometrie (DGS) je určen pro konstrukci a analýzu úloh a problémů v geometrii [70] a jeho hlavní předností je automatické přepracování konstruované figury po změně libovolného parametru (např. pozice bodu) tak, aby byly ve figuře po změně tohoto parametru zachovány veškeré závislosti a podmínky [71]. Tato vlastnost je důležitá při tvorbě obrázků určených pro sazbu v situaci, kdy je potřeba upravit téměř hotovou 160
figuru, a to například z důvodu názornosti nebo efektivnějšího využití místa v připravované publikaci. V následujícím textu se budeme zabývat možnostmi exportu obrázků ze systémů dynamické geometrie. Zaměříme se na: • funkci PrintScreen1 • tisk figury pomocí virtuální tiskárny • export grafického náhledu nákresny do schránky • export do souboru nesoucího obrazovou informaci Během našeho zkoumání jsme vycházeli z uživatelských příruček, které popisují ovládání jednotlivých systémů. Protože je však export obrázků spíše doplňkovou funkcí těchto programů a v příručkách mu není věnováno mnoho pozornosti, detailní možnosti exportu jsme zjišťovali především na základě praktického exportu obrázků a jejich následného porovnávání v prohlížečích grafických souborů. Pokud to příslušný DGS dovoloval, zkoušeli jsme exportovat obrázky při různém přiblížení nákresny, s různou velikostí písma a tloušťkou čar prvků figury. Zaměřovali jsme se přitom na extrémní situace, kdy byla například nákresna před vytvořením figury silně přiblížena nebo naopak oddálena. Pokud to bylo možné, naše induktivní hypotézy fungování exportu (především v části Uchovávání a vykreslování figur v GeoGebře) jsme se snažili podpořit rozborem zdrojových kódů příslušného software. Export obrázků probíhal do souborů různých typů a při různém nastavení voleb upřesňujících tento proces. V každé aplikaci lze využít funkce PrintScreen, která umožňuje vytvářet bitmapovou kopii obrazovky. Obrázek pořízený touto metodou však je velmi nekvalitní, vzhledem k nízkému rozlišení by byl pro využití v sazbě prakticky nepoužitelný, a proto se touto metodou dále nebudeme zabývat. 1
Funkce PrintScreen umožňuje vytvořit „otisk“ dění na obrazovce a je řízena přímo operačním systémem
161
Jak uvádí Vaníček, většina aplikací dynamické geometrie umožňuje přímý tisk zkonstruované figury, který vytváří poměrně kvalitní grafiku [9]. Pokud k tisku využijeme služeb tzv. virtuální tiskárny2 , je možné takto vytvářet soubory typu PDF nebo EPS, se kterými je možné dále pracovat. Je však zřejmé, že takovéto řešení není příliš přímočaré, a uživatel se patrně nevyhne následným úpravám (typicky ořezu obrázku) v grafickém editoru. Proto jsme se rozhodli prozkoumat možnosti exportu zkonstruované figury v podobě obrázku, které podporují jednotlivé aplikace dynamické geometrie. Nejpoužívanějšími jsou v současné době patrně Cabri Geometrie [5] a GeoGebra [4], proto se v následujícím textu zaměříme právě na ně.
8.3
Export grafiky z Cabri Geometrie
Cabri Geometrie nedisponuje téměř žádnou speciální funkcí pro export statických obrázků, výjimku tvoří kopírování obrázků přes schránku Windows. Pokud jsou některé prvky figury zkopírovány do schránky, při pokusu o vložení obsahu schránky do aplikace podporující práci s grafikou (tj. WYSIWYG textové editory, grafické editory a další), bude tento obsah vložen jako obrázek. Uživatel má přitom možnost v systémových volbách Cabri rozhodnout, jaký grafický formát má být využit – zda má být figura vložena jako vektorový obrázek typu EMF nebo bitmapový obrázek typu BMP [72, s. 72]. V případě využití vzniklého obrázku v sazbě realizované ve WYSIWIG textových editorech je možno tento obrázek přímo vložit do sazby bez dalších úprav, ovšem v případě práce v sázecím prostředí LaTeX je nutné obrázek převést do souboru typu EPS. Nejčastějším postupem je tedy vložení obsahu schránky do prostředí grafického editoru a následné uložení obrázku jako souboru typu EPS. Pro vykreslování figury na obrazovce je možno tloušťku čar upravit pomocí nastavení daného objektu a velikost textu lze pak nastavit v pří2
Virtuální tiskárna je speciální software, který v počítači nainstaluje ovladač tiskárny, jež není přiřazen žádné fyzické tiskárně. Namísto toho je tisknutý dokument exportován do souboru určitého typu, nejčastěji PDF.
162
slušné nabídce aplikace. Jako problematické se však jeví zajištění správné „hustoty“ obrázku. Nenalezli jsme totiž funkci, pomocí které by bylo možné realizovat přiblížení nebo oddálení nákresny. Exportovaný obrázek lze sice zvětšovat či zmenšovat, ovšem tím se mění též tloušťka čar a velikost textu. Pokud se chce uživatel vyhnout složité změně velikosti všech objektů v téměř hotové figuře, pro zajištění správné „hustoty“ obrázku je nutné pečlivé rozplánování figury ještě před započetím její konstrukce.
8.4
Export grafiky z GeoGebry
Statický obrázek lze z GeoGebry získat pomocí exportu tzv. grafického náhledu nákresny, což je viditelná část pracovní plochy v době exportu. Tento export je možno provádět několika způsoby. Základní možností je zkopírování grafického náhledu do schránky, přičemž vznikne klasický bitmapový obrázek. Nevýhodou tohoto postupu je však absence jakéhokoliv nastavení. Export do souboru nesoucího grafickou informaci umožňuje uložení grafického náhledu nákresny v podobě vektorového nebo bitmapového obrázku, přičemž je možné volit mezi několika různými formáty. Třetí možností je nechat převést grafický náhled nákresny do podoby textových příkazů, které je pak možno vložit do zdrojového kódu dokumentu vytvářeného v systému LaTeX. Z této textové reprezentace obrázku je systém LaTeX při překládání sazby schopen rekonstruovat původní obrázek. Předností této varianty je uchovávání obrázků přímo v souboru zdrojového kódu LaTeXu, ovšem dle našeho názoru spíše převládají negativa: některé textové popisy (například symboly řecké abecedy) byly totiž převedeny nesprávně a také následné úpravy obrázku v podobě textových příkazů byly velmi náročné (typickým problémem byla jemná úprava velikosti písma v obrázku). Nepříliš pozitivní je také fakt, že exportované obrázky není možné prohlížet mimo sazbu bez specializovaných nástrojů. Jako optimální se tedy jeví export do souboru nesoucího grafickou informaci, jemuž se budeme věnovat v dalším textu. Pro pochopení funkci163
onality exportu je však nutné zmínit některé klíčové vlastnosti uchovávání a vykreslování figur v GeoGebře.
8.4.1
Uchovávání a vykreslování figur v GeoGebře
V GeoGebře jsou uchovávány části figury v paměti počítače jako abstraktní modely [73], přičemž kromě matematické definice mají jednotlivé prvky figury přiřazeny vlastnosti nezbytné pro vykreslování na nákresně. Mezi ně patří především viditelnost daného objektu, dále název, popis, barva, velikost při zobrazení (průměr bodu či tloušťka čáry) a další.
Obr. 8.1: Tloušťka čar a velikost písma při přibližování a oddalování nákresny Pro vykreslování figury na obrazovce je možné velikost bodů a tloušťku čar upravit pomocí nastavení daného objektu. Velikost textů zobrazovaných na nákresně lze pak nastavit v příslušné nabídce aplikace. Takto zvolené hodnoty jsou při vykreslování figury na obrazovce dodržovány, a to nezávisle na přiblížení či oddálení nákresny, jak ukazuje obr. 8.1. Při přibližování či oddalování nákresny se tedy mění pouze „hustota“ zobrazené figury, čili množství objektů na určité části plochy obrazovky, nikoliv však velikost textů, průměr bodů a tloušťka čar. 164
8.4.2
Export grafického náhledu nákresny do obrázkového souboru
Protože problematika exportu obrázků z GeoGebry není v současné době dostatečně dokumentována (a to ani v absolventských pracích autora software [73, 74]), vycházíme v následujícím textu především z vlastního pozorování fungování exportu. Export grafického náhledu nákresny do souboru nesoucího grafickou informaci podporuje několik cílových formátů: EPS, PNG, PDF, SVG a EMF. Formát EPS je vektorový, obrázky exportované v tomto formátu lze tedy zvětšovat a zmenšovat bez změny kvality – na rozdíl od obrázků exportovaných do souborů bitmapových formátů [74, s. 320], jeho výhodou je také nativní podpora sázecím prostředím LaTeX. Naopak formát PNG je bitmapový s bezztrátovou kompresí a je využíván na webových stránkách a v textovém editoru MS Word [74, s. 320]. Kromě toho je možné dosáhnout i jeho podpory systémem LaTeX a to za použití vhodného překladače zdrojového kódu (typicky PDFLaTeX). Obrázky ve formátu SVG, EMF a PDF jsou sice vektorové, ale je u nich problematický import do textových editorů a systému LaTeX: obrázky typu PDF nelze importovat do MS Wordu ani OpenOffice Writeru, obrázky ve formátu EMF nejsou podporovány LaTeXem a SVG soubory nejsou podporovány ani jedním z uvedených programů. Z tohoto důvodu se budeme v dalším textu zabývat pouze obrázky ve formátu EPS a PNG. Při exportu do souborů EPS a PNG při exportním poměru3 1 : 1 platí, že jednotka na číselné ose bude mít ve výsledném obrázku délku 1 cm. Toto je zřejmě zajištěno „vektorovým otiskem“ zobrazené části nákresny na obrazovce a následnou změnou velikosti tak, aby platilo pravidlo, že jednotka na číselné ose má v obrázku délku jeden centimetr. Tím ovšem dochází ke dvěma paradoxním situacím: Figura se silně oddálenou nákresnou exportovaná do obrazového souboru typu PNG má výsledné rozlišení několikanásobně větší než figura s přiblíženou nákresnou. Při prohlížení obou obrázků při 100% velikosti jsou pak tloušťky čar, průměry bodů a velikosti písma 3
V GeoGebře v českém překladu označené jako Měřítko v cm.
165
značně odlišné. Lze říci, že například velikost písma v exportovaném obrázku je nepřímo úměrná vzdálenosti dvou sousedních jednotkových značek na souřadnicových osách. Při velkém přiblížení nákresny (kdy je na osách viditelných málo jednotkových značek) je tak písmo ve výsledném obrázku násobně menší než při oddálené nákresně. Při exportu obrázku do souboru typu EPS dochází ke třetímu paradoxu, kdy tloušťka čar zůstává konstantní, ačkoliv velikost průměru bodů a velikost písma se mění. Tato situace nastala zřejmě na základě určitých vlastností formátu EPS. Export obrázku jakožto „vektorového otisku“ nákresny dále znamená, že ve výsledném obrázku bude vidět ta část nákresny, která je viditelná na obrazovce. Souřadnicové osy a mřížka budou zobrazeny právě tehdy, jestliže jsou zobrazeny na nákresně. Protože je možné obrázky ve formátu EPS na rozdíl od obrázků ve formátu PNG zvětšovat a zmenšovat bez změny kvality, budeme se dále zabývat již jen exportem do souboru typu EPS. Poznámka: Nedostatkem exportu do formátu EPS oproti formátu PNG je nefungující efekt průhlednosti u mnohoúhelníků a kuželoseček [74, s. 320]. Při exportu obrázku z GeoGebry je možné nastavit libovolný exportní poměr a : b, který mění velikost výsledného obrázku. Tato funkce realizuje změnu velikosti „vektorového otisku“ nákresny tak, aby platilo, že b jednotek na číselné ose bude mít ve výsledném obrázku délku a centimetrů. Tím je způsobeno, že průměr bodů a velikost písma se mění v přímé závislosti na zvoleném exportním poměru. Protože však při exportu do formátu EPS zůstává tloušťka čar vždy konstantní, nemění se ani v závislosti na tomto exportním poměru.
8.4.3
Import obrázku do sazby
Samotné vložení obrázku do sazby realizované v prostředí LaTeX nebo v software MS Word je dle našeho názoru záležitostí triviální, neboť jde o rutinní činnost zde vykonávanou. Poněkud náročnějším úkonem je nastavení vhodné velikosti obrázku v sazbě. Poměr velikosti obrázku v sazbě 166
vzhledem k originální velikosti obrázku budeme v následujícím textu označovat jako importní poměr. V prostředí LaTeX je možno importní poměr obrázku nastavit pomocí příkazu scalebox. Příkaz scalebox se využívá právě ke změně velikosti grafického prvku, přičemž poměr nové velikosti vzhledem k původní se udává jako parametr tohoto příkazu – např. pro importní poměr 0,2 je v prostředí LaTeX potřeba použít příkaz scalebox s hodnotou 0,2. Při sazbě realizované v softwaru MS Word lze ke změně velikosti grafického prvku využít nástroj Měřítko obrázku. Po vložení obrázku do dokumentu je tedy potřeba vyvolat u tohoto obrázku dialog Velikost a jako importní poměr nastavit právě Měřítko obrázku, vyjádřené v procentech jeho původní velikosti – např. pro importní poměr 0,2 bude v softwaru MS Word nutné změnit Měřítko obrázku na hodnotu 20 %. V některých situacích je též výhodné určit v sazbě výslednou výšku a šířku obrázku v délkových jednotkách (nejčastěji centimetrech). V sázecím prostředí LaTeX lze požadované rozměry obrázku určit pomocí příkazu includegraphics z balíčku graphicsx, kdy jsou tyto údaje zadávány jako volitelné parametry width a height. V softwaru MS Word lze rozměry obrázku nastavit v jeho nabídce Nástroje obrázku/Formát pomocí nástrojů Výška a Šířka. V LaTeXu i MS Wordu je obvykle zadáván pouze jeden z údajů, přičemž druhý údaj je dopočítán automaticky, díky čemuž je zajištěna proporcionalita obrázku.
8.4.4
Modelový příklad prostého exportu obrázků
Vytvořme nyní modelovou situaci, na které budeme demonstrovat prostý export obrázků z GeoGebry. Na obrázku 8.2 jsou zobrazena okna se dvěma figurami, které z technického hlediska vypadají velmi podobně. Protože však byly vytvořeny nezávisle na sobě, mají jiné základní měřítko (tj. mají jinak přiblíženou nákresnu). Oba obrázky jsme exportovali do souboru typu EPS s exportním poměrem 1 : 1. Protože jsou obrázky příliš velké, při vložení do sazby tohoto textu jsme u obou použili importní poměr 0,25, čímž vznikly obrázky 8.3 a 8.4. 167
Obr. 8.2: Okna GeoGebry s modelovými figurami Je zřejmé, že zatímco obrázek 8.4 by bylo možno ještě zmenšit, obrázek 8.3 naopak potřebuje zmenšení eliminovat. Proto první obrázek zmenšovat nebudeme (poměr zvětšení bude 1,0) a druhý zmenšíme na pětinu (poměr 0,2). Výsledek ukazují obrázky 8.5 a 8.6. Tato dvojice obrázku je již podobná velikostí kresby, je zde však problém v rozdílné velikosti písma a také tloušťce čar. Zatímco velikost písma se dá snadno v GeoGebře nastavit, tloušťka čar se mění obtížněji, a proto bude nutno použít zcela jiný postup.
8.4.5
Hledání pokročilého řešení
Při hledání postupu, jak zajistit naplnění požadavků zmíněných výše, jsme experimentovali s figurou, na které je vyobrazena kružnice a polokružnice. Zjistili jsme, že sazba tohoto konkrétního obrázku je nejlepší, jestliže exportní poměr je nastaven na 1 : 1 a importní poměr na 1,0, tedy když velikost obrázku není nijak měněna při exportu ani při sazbě. Tento stav zobrazuje obr. 8.5. Nevyhovovala nám ovšem tloušťka čar, využili jsme proto 168
Obr. 8.3: Exportovaný obrázek, exportní poměr 1 : 1, importní poměr 0,25
Obr. 8.4: Exportovaný obrázek, exportní poměr 1 : 1, importní poměr 0,25
Obr. 8.5: Exportovaný obrázek, exportní poměr 1 : 1, importní poměr 1,0
Obr. 8.6: Exportovaný obrázek, exportní poměr 1 : 1, importní poměr 0,2 169
poznatku, že tloušťka čar při exportu z GeoGebry do obrázku ve formátu EPS je konstantní, zatímco velikost samotného obrázku a písma v něm se mění v přímé závislosti na exportním poměru. Z toho plyne, že čím větší exportní poměr zvolíme, tím bude tloušťka čar vzhledem k velikosti obrázku menší. Při sazbě v LaTeXu resp. MS Wordu je obrázek chápán jako jeden celek, při změně importního poměru se tedy velikost obrázku, písma v něm obsaženém i tloušťka čar mění přímo úměrně dle tohoto poměru.
Obr. 8.7: Exportovaný obrázek, exportní poměr 4 : 1, importní poměr 0,25 Zkoušeli jsme tedy při exportu obrázku experimentovat s různými poměry n : 1 a při vkládání obrázku do sazby jsme jako importní poměr použili reálné číslo k, kde k = n1 . U daného obrázku se nám osvědčil poměr s n = 4. Na závěr jsme prostřednictvím nastavení GeoGebry doladili velikost písma v obrázku, kdy se jako optimální jeví velikost 20 pt, přičemž výsledek ukazuje obrázek 8.7. Je zřejmé, že takovéto experimentování s každým obrázkem je velice časově náročné, kromě toho by tloušťka čar a velikost písma byla jen podobná a nikoliv stejná. U jiných obrázků ani nemusí platit ona náhoda, že obrázek je při poměrech zvětšení 1,0 v ideální velikosti při sazbě. Proto jsme hledali způsob, jak celý postup zautomatizovat. 170
8.4.6
Automatizace postupu
V podkapitole 8.4.2 jsme uvedli, že tloušťka čar se nemění při jakémkoli nastaveném exportním poměru a že není ani závislá na přiblížení nákresny. V předchozí pasáži textu jsme též uvedli, že tloušťka čar ve vysázeném obrázku je ideální při použití importního poměru s hodnotou 0,25. Z toho plyne, že u všech obrázků je vhodné při sazbě využívat importního poměru s hodnotou 0,25, abychom zajistili stejnou tloušťku čar v obrázcích. Tato tloušťka čar je navíc podobná jako při zobrazení nákresny s figurou na obrazovce. Dosažení optimální „hustoty“ obrázků je záležitostí značně subjektivní. S ohledem na již zajištěnou tloušťku čar a na vzorovém obrázku vyzkoušenou velikost písma 20 pt je možno „hustotu“ zvolit podle zobrazené nákresny s figurou na obrazovce. Jako zásadní problém se tedy jeví nastavení exportu tak, aby velikost písma v exportovaném obrázku byla přiměřená tloušťce čar, která je pevně dána, přičemž velikost písma v GeoGebře bychom již měnit neměli. V podkapitole 8.4.2 jsme zmínili, že velikost písma v exportovaném obrázku je nepřímo úměrná vzdálenosti sousedních jednotkových značek na souřadnicových osách a že GeoGebra mění velikost „vektorového otisku“ nákresny tak, aby jednotka na souřadnicové ose měřila ve vytvářeném obrázku jeden centimetr. Jestliže je tedy na nákresně viditelných x jednotkových značek na vodorovné souřadnicové ose, pak bude šířka exportovaného obrázku právě x cm. Pokud se v zobrazené nákresně výška písma jeví jako y jednotek na souřadnicové ose, potom bude díky pravidlu „jednotka osy měří 1 cm v obrázku“ výška písma ve výsledném obrázku právě y cm. Naším požadavkem však je, aby velikost písma ve všech exportovaných obrázcích byla konstantní, tedy c cm. Dle principu změny velikosti „vektorového otisku“ potřebujeme zabezpečit, aby velikost všech obrázků (s nákresnou zabírající na obrazovce obdélník se stejnými rozměry) byla konstantní, tedy b cm. Při exportu obrázku z GeoGebry je v okně Exportovat jako obrázek (viz obr. 8.8) kromě nastavení exportního poměru možno též kontrolovat, jaká bude velikost hotového obrázku. Stačí si tedy předem pevně zvolit určitou 171
šířku či výšku výsledného obrázku a u všech souborů s jednotlivými figurami nastavovat exportní poměr tak, aby tohoto zvoleného rozměru bylo dosaženo. Zvolenou hodnotu však není možné volit zcela náhodně, je dobré vycházet z rozměru vzorového obrázku, který nám při sazbě z hlediska vzhledu vyhovoval.
Obr. 8.8: Okno Exportovat jako obrázek
8.4.7
Automatizovaný export obrázků
Jestliže jsme nalezli exportní poměr vzorové figury tak, že nám vytvořený obrázek z hlediska vzhledu vyhovuje, zvětšíme okno s nákresnou této figury přes celou šířku obrazovky (tzn. maximalizujeme okno GeoGebry a skryjeme algebraické okno). V dialogu Exportovat jako obrázek vložíme správný vzorový poměr a z popisku níže v okně zjistíme šířku výsledného obrázku (v našem případě při šířce obrazovky 1280 px je šířka obrázku 73,3 cm), tuto šířku označíme z. Otevřeme soubor s další figurou, změníme velikost písma na stejnou hodnotu jako u vzorového obrázku (v našem případě 20 pt) a pomocí přibližování nebo oddalování nákresny zajistíme správnou „hustotu“ zobrazené figury na obrazovce. Následně zobrazíme okno GeoGebry přes celou obrazovku, skryjeme algebraické okno a v dialogu Exportovat jako obrázek při exportním poměru 1 : 1 zjistíme předpokládanou šířku ob172
rázku, tuto šířku označme k. Vypočítáme správný exportní poměr m podle vzorce m = kz . Nyní export zrušíme, obnovíme okno GeoGebry (tj. zrušíme jeho maximalizaci) a posuneme nákresnu tak, aby celé figura byla v levém horním rohu okna. Okno GeoGebry zmenšíme tažením za pravý dolní roh tak, aby byla vidět celá figura, ale aby okolo ní nebylo zbytečně prázdné místo4 . Následně si soubor s figurou uložíme a vyvoláme dialog Exportovat jako obrázek. Zde do okénka exportního poměru vložíme námi vypočítaný poměr m, tedy m : 1. Protože GeoGebra nepodporuje jako oddělovač desetinných míst čárku, je nutno v čísle m užít desetinnou tečku. Figuru necháme exportovat jako obrázek EPS. Dále zajistíme vložení vzniklého obrázku do sazby v LaTeXu resp. MS Wordu, přičemž opět užijeme importní poměr se stejnou hodnotou jako u vzorového obrázku (v našem případě 0,25). Po vytvoření dokumentu by měly mít obrázky vzniklé touto metodou jednotný vzhled, jak ukazují obr. 8.9 a 8.10.
Obr. 8.9: Exportovaný obrázek, vypočítaný exportní poměr, importní poměr 0,25
Obr. 8.10: Exportovaný obrázek, vypočítaný exportní poměr, importní poměr 0,25
4
Umístění figury do levého horního rohu viditelné části nákresny a omezení prázdných ploch doporučuje před exportem provést i autor software [74, s. 163].
173
8.5
Závěr
Vytváření geometrických obrázků v DGS a především v software GeoGebra je z našeho pohledu poměrně efektivní, přičemž jediným úskalím se jevil export figury do statického obrázku při dodržení požadavků na vzhled obrázku. Tento problém byl pro nás velmi aktuální, neboť jsme potřebovali v poměrně krátké době vytvořit a vysázet téměř 200 matematických obrázků. Díky nalezení výše uvedeného automatizovaného postupu se nám však podařilo tento problém vyřešit. Vzhledem k čistě vektorové povaze exportovaných obrázků ve formátu EPS byla jejich velikost velmi malá, pohybovala se v řádech desítek kB. Mezi drobné problémy pak patřila nutnost ručně měnit vyznačení úhlů v některých obrázcích při změně přiblížení nákresny. Během tvorby dvou ilustrací vyvstala potřeba úpravy obsahu obrázků, které přesahovaly možnosti GeoGebry. Tyto ilustrace bylo nutno po exportu dále upravit v grafickém editoru a znovu je exportovat do souboru typu EPS. Tímto postupem se však přibližně desetinásobně zvětšila velikost obrázku na disku, což způsobilo mírný nárůst doby překladu v LaTeXu a následné konverze do formátu PostScriptu. Jako bezproblémové se projevilo rozdělení rolí mezi grafika, který vytvářel samotné obrázky, a sazeče textu. V našem případě grafik dodal surové soubory v GeoGebře a úkolem sazeče bylo je připravit pro export (jak je uvedeno v podkapitole 8.4.7), exportovat a následně je vysázet. Je však zřejmé, že proces přípravy obrázků k exportu a samotný export by bylo možné přenechat i grafikovi, popřípadě tento úkol přidělit třetí osobě. Za výhodu vytváření obrázků v GeoGebře považujeme i snadnou úpravu a znovupoužití obrázků. U několika geometrických obrázků vznikla na přání autora knihy potřeba obrázek upravit (například pozměnit vyobrazený trojúhelník tak, aby nevypadal jako rovnoramenný). Díky dynamické povaze geometrických konstrukcí v GeoGebře byla tato úprava triviální i u složitějších figur, což by při kresbě například ve vektorovém grafickém editoru nemuselo být samozřejmost. 174
Literatura [1] PEA, R. D. Cognitive technologies for mathematics education. [online] In Schoenfeld, A. H. (ed.) Cognitive science and mathematics education. Hillsdale, NJ: Erlbaum, 1987. pp. 89–122. [cit. 2012-06-20] Dostupné z: http://www.stanford.edu/∼roypea/RoyPDF%20folder/ A41_Pea_87b.pdf [2] ROBOVÁ, J. Integrace informačních a komunikačních technologií a školská matematika. Praha: Pedagogická fakulta UK, 2012. ISBN 97880-7290-583-6. [3] Wikipedie: Otevřená encyklopedie [online]. Systémová integrace [cit. 2012-05-20]. Dostupné z: http://cs.wikipedia.org/wiki/ Syst%C3%A9mov%C3%A1_integrace [4] GeoGebra, software, [cit. 2012-10-24] Dostupné z: http://www.geogebra.org [5] Cabrilog. Innovative Math Tools [online]. [cit. 2012-10-20] Dostupné z: http://www.cabri.com [6] PETRÁŠKOVÁ, V. a HAŠEK, R. Úvod do financí [online]. České Budějovice: Pedagogická fakulta JU. 2008. [cit. 2012-04-30]. Dostupné z: http://www.pf.jcu.cz/stru/katedry/m/uf [7] Maplesoft [online]. [cit. 2012-10-10]. Dostupné z: http://www.maplesoft.com 175
[8] PECH, P. Selected Topics in Geometry with Classical vs. Computer Proving. World Scientific, Singapore, 2007. ISBN 978-9812709424. [9] VANÍČEK, J. Počítačové kognitivní technologie ve výuce geometrie. Praha: Univerzita Karlova v Praze, Pedagogická fakulta, 2009. 212 s. ISBN 978-807-2903-948. [10] wxMaxima [online]. [cit. 2012-06-10]. Dostupné z: http://andrejv.github.com/wxmaxima [11] I2G Intergeo [online]. Webový portál [cit. 2012-10-20]. Dostupné z: http://i2geo.net [12] Český výukový portál Cabri [online] [cit. 2012-06-19]. Dostupné z: http://www.pf.jcu.cz/cabri [13] Geometriagon - Ludi geometrici [online] [cit. 2012-09-15]. Dostupné z: http://www.polarprof.org/geometriagon [14] Interactive Geometry Classroom Resources [online]. Corner for Interactive Geometry Software (CIGS) [cit. 2012-10-18]. Dostupné z: http://www.mathforum.org/dynamic.html [15] Curriki, K-12 Open Curricula Community [online] [cit. 2012-09-15]. Dostupné z: http://www.curriki.org [16] CREUS-MIR, A. et al. Internationalized Ontology [online]. Deliverable D2.3, The Intergeo Consortium, May 2008 [cit. 2012-06-15]. Dostupné z: http://i2geo.net/files/deliverables/D2.3-Intl-Ontology.pdf [17] FUCHS, E. a HRUBÝ, D. Postavení matematiky ve školním vzdělávacím programu „Čtyřletá gymnázia“. Praha: Prometheus, s.r.o., 2006. ISBN 80-7196-325-9. [18] FUCHS, E., HOŠPESOVÁ, A. a LIŠKOVÁ, H. Postavení matematiky ve školním vzdělávacím programu „Základní vzdělávání“ . Praha: Prometheus, s.r.o., 2006. ISBN 80-7196-326-7. 176
[19] HENDRIKS, M. et al. Metadata Specification [online]. Deliverable D2.4, The Intergeo Consortium, June 2008 [cit. 2012-06-15]. Dostupné z: http://i2geo.net/files/deliverables/D2.4-Metadata-Spec.pdf [20] Metadata, collection building and cataloging [online] [cit. 2012-06-19]. Dostupné z: www.dlese.org/Metadata [21] IEEE Learning Technology Standards Committee [online] [cit. 2012-1019]. Dostupné z: http://www.ieeeltsc.org [22] OpenMath [online] [cit. 2012-10-19]. Dostupné z: http://www.openmath.org [23] ABÁDANES, M. et al. The Intergeo File Format in Progress [online]. Proceedings of the 22nd OpenMath Workshop 2009 [cit. 2012-06-18]. Dostupné z: http://www.hoplahup.net/paul_pubs/i2g-format-OMworkshop.html [24] GeoGebraTube [online] [cit. 2012-10-20]. Dostupné z: http://www.geogebratube.org [25] WolframAlpha [online] [cit. 2012-10-20]. Dostupné z: http://www.wolframalpha.com [26] Wolfram [online] [cit. 2012-10-30]. Dostupné z: http://www.wolfram.com [27] HOHENWARTER, J. a HOHENWARTER, M. Spreadsheet View and Basic Statisics Concepts [online]. [cit. 2012-10-30]. Dostupné z: http://foresthillsggb.pbworks.com/f/GeoGebra_WS_9.pdf [28] HAŠEK, R. Numerical analysis of a planar motion: GeoGebra as a tool of investigation. North American GeoGebra Journal [online]. Miami University, Oxford, OH, USA. Vol. 1, No. 1, 2012 [cit. 2012-10-01]. pp. 33–36. ISSN: 2162-3856. Dostupné z: http://www.ggbmidwest.com/ojs-2.3.4/index.php/ggbj. 177
[29] Lissajousovy křivky. In Wikipedia: The Free Encyclopedia [online]. [cit. 2012-10-30]. Dostupné z: http://en.wikipedia.org/wiki/Lissajous_curve [30] Statistiky nezaměstnanosti. Integrovaný portál MPSV [online]. [cit. 2012-09-30]. Dostupné z: http://portal.mpsv.cz/sz/stat/nz [31] GeoGebra, Vývoj [online] [cit. 2012-06-13]. Dostupné z: http://www.geogebra.org/cms/cs/roadmap [32] Introduction to GeoGebraScript [online]. GeoGebra [cit. 2012-10-13]. Dostupné z: http://wiki.geogebra.org/en/ Tutorial:Introduction_to_GeoGebraScript [33] ROBOVÁ, J. Programy dynamické geometrie a jejich využití ve výuce stereometrie. In Žilková, K. (ed.). Potenciál prostredia IKT v školskej matematike [CD ROM]. Bratislava: Vydavatelstvo UK, 2009. Dostupné z: http://www.webmatika.sk/zbornik-1/index.html [34] HAŠEK, R. a PECH, P. Kvadratické plochy a jejich reprezentace v programu Maple [online]. České Budějovice: Pedagogická fakulta JU v Č. B., 2010 [cit. 2012-10-20]. ISBN 978-80-7394-271-7. Dostupné z: http://home.pf.jcu.cz/∼kvadriky/ [35] HAŠEK, R. Užití Derive ve výuce matematiky. 1. vyd. Č. Budějovice: Europeon a.s., 2007. ISBN 978-80-239-9054-6. [36] MAOR, E. e: The story of a number. 1st Ed. USA: Princeton University Press, 1998. ISBN 978-0691058542. [37] PAENZA, A. Matematiko, jsi to ty? Zlín: Kniha Zlín, 2010. ISBN 97880-87162-42-2. [38] Compound interest. In Wikipedia: The Free Encyclopedia [online]. [cit. 2012-06-13]. Dostupné z: http://en.wikipedia.org/wiki/ Compound_interest 178
[39] BioLib - Biological Library [online]. [cit. 2012-06-13]. Dostupné z: http://www.biolib.cz/cz/taxonimage/id1480/?taxonid=2607 [40] Edward Weston. In Wikipedia: The Free Encyclopedia [online]. [cit. 2012-10-13]. Dostupné z: http://en.wikipedia.org/wiki/ Edward_Weston [41] Logarithmic spiral. In Wikipedia: The Free Encyclopedia [online]. [cit. 2012-10-30]. Dostupné z: http://en.wikipedia.org/wiki/ Logarithmic_spiral [42] FEYNMAN, R.P., LEIGHTON, R.B. a SANDS, M., Feynmanovy přednášky z fyziky 1. Praha: Fragment. 2010. ISBN 80-7200-405-0. [43] GeoGebra, Co je GeoGebra? [online] [cit. 2012-06-13]. Dostupné z: http://www.geogebra.org/cms/cs/info [44] GeoGebra, Scripting [online] [cit. 2012-06-13]. Dostupné z: http://wiki.geogebra.org/en/Scripting [45] GeoGebra, Volné, závislé a pomocné objekty [online] [cit. 2012-06-13]. Dostupné z: http://wiki.geogebra.org/cs/ Volné,_závislé_a_pomocné_objekty]Auxiliary_Objects [46] GeoGebra, UpdateConstruction Command [online] [cit. 2012-06-13]. Dostupné z: http://wiki.geogebra.org/en/UpdateConstruction_ Command [47] RENAULT, Marc. Using Geogebra’s Randomization and Javascript to Create Interactive Randomized Student Exercises. In: NA2010 [online]. Ithaca, 2011 [cit. 2012-08-28]. Dostupné z: http://webspace.ship.edu/ msrenault/GeoGebraNA2010_Marc_Renault.pdf [48] GeoGebra Advanced Tutorial 8 – Random Numbers and Condition to Show. In: BAUTISTA, Guillermo. Mathematics and Multimedia [online]. 2011 [cit. 2012-08-28]. Dostupné z: http://mathandmultimedia.com/2011/03/13/geogebra-advancedtutorial-8-random-numbers-and-condition-to-show/ 179
[49] BOTANA, F., VALCARCE, J.L.: A Software Tool for the Investigation of Plane Loci. Math. Comput. Simul.61(2), 2003. pp. 139–152. [50] CAPANI, A., NIESI, G., ROBBIANO, L.: CoCoA, a System for Doing Computations in Commutative Algebra. Dostupné z: http://cocoa.dima.unige.it [51] BUCHBERGER, B.: Groebner bases: an algoritmic method in polynomial ideal theory. In: Multidimensional Systems Theory, Bose, N.K., ed. Reidel, Dordrecht, 1985. pp. 184–232. [52] COX, D., LITTLE, J., O‘SHEA, D.: Ideals, Varieties, and Algorithms. Third edition, Springer, 2000. [53] WANG, D.: Elimination practice: Software Tools and Applications. London: Imperial College Press, 2004. [54] WANG, D.: GEOTHER: A geometry theorem prover. In: Automated deduction - Cade-13, McRobbie, M.A., Slaney, J.K., eds., LNAI 1104, Berlin Heidelberg: Springer, 1996. pp. 166–170. [55] WANG, D.: Epsilon: A library of software tools for polynomial elimination. In: Mathematical Software, Cohen, A.,Gao, X.-S., Takayama, N., eds., World Scientific, Singapore New Jersey, 2002. pp. 379–389. [56] Asteroida [online]. [cit. 2012-06-12]. Dostupné z: http://cabri.ost.cz/ index.php?bunka=bunka_priklad&soubor=_b3&radek=8&obsah2=7 [57] LAWRENCE, J.D.: A catalog of special plane curves. Dover Publications, 1972. [58] GeoGebra 5.0 Beta [online]. [cit. 2012-06-06]. Dostupné z: http://www.geogebra.org/webstart/5.0/geogebra-50.jnlp [59] SAXL, I. Statistické myšlení a jeho výuka. In Pravděpodobnost a statistika na střední škole: sborník prací didaktického semináře pořádaného 180
Matematicko-fyzikální fakultou Univerzity Karlovy v Praze v akademickém roce 2003/2004, Praha: Matfyzpress, 2005, s. 1–16. DOI: 80-8673223-1. [60] PŁOCKI, A. a TLUSTÝ, P. Pravděpodobnost a statistika pro začátečníky a mírně pokročilé. Praha: Prometheus, 2007. 307 s. ISBN 978-807196-330-1. [61] KREJSA, M. Metoda Monte Carlo [online]. Ostrava, 2011 [cit. 2012-06-27]. Dostupné z: http://fast10.vsb.cz/krejsa/studium/ ppk_tema03.pdf. Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava. [62] Monte Carlo method. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001 [cit. 2012-06-27]. Dostupné z http://en.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo_method. [63] FIKTUSOVÁ, J. Návrh sbírky příkladů pro předmět počítačová fyzika 1. České Budějovice, 2010. Bakalářská práce. Jihočeská univerzita. [64] MATĚJŮ, F. Metoda Monte Carlo. České Budějovice, 1998. Diplomová práce. Jihočeská univerzita. [65] BLUEJ, BlueJ Version 3.0.7 [software], [přístup 27.6.2012]. Dostupné z http://www.bluej.org/ [66] Charakteristika ŠVP. Základní [cit. 2012-11-12]. Dostupné z: nid=7692&lid=cs&oid=1350755
škola Máj I [online]. 2012 http://www.zsmaj.cz/index.php?
[67] MOLNÁR, J. a kol. Matematika 6. Olomouc: Prodos, 1998. ISBN 807230-000-8. [68] KUBŮ, D. Návrh metodické příručky ke geometrickému náčrtníku Geonext. České Budějovice, 2006. Diplomová práce. Jihočeská univerzita, Fakulta pedagogická. Vedoucí diplomové práce Mgr. Helena Binterová, Ph.D. 181
[69] HUCLOVÁ M. Využití dynamické geometrie při výuce v 6. ročníku základní školy. 2011. Dostupné z: http://clanky.rvp.cz/clanek/s/Z/9975/vyuziti-dynamicke-geometriepri-vyuce-v-6-rocniku-zakladni-skoly.html/ [70] STRÄßER, R. (2002). Research on Dynamic Geometry Software (DGS) – an introduction. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik [online]. 2002, 34(3) [cit. 2012-05-13]. ISSN 1615-679X. Dostupné z: http://www.springerlink.com/content/j733470n67l36678/fulltext.pdf [71] KORTENKAMP, U. Foundations of Dynamic Geometry [online]. Zurich, 1999 [cit. 2012-05-09]. Dostupné z: http://kortenkamps.net/ papers/1999/diss.pdf. Disertační práce. Swiss Federal Institute of Technology Zurich. [72] VRBA, A. Cabri Geometrie II Plus: Příručka pro uživatele [online]. Cabrilog, 2003 [cit. 2012-05-28]. Dostupné z: http://www.pf.jcu.cz/cabri/ temata/vrba/manual_CabriPlus.pdf [73] HOHENWARTER, M. GeoGebra: Ein Softwaresystem für dynamische Geometrie und Algebra der Ebene [online]. Salzburg, 2002 [cit. 2012-05-08]. Dostupné z: http://www.geogebra.org/publications/ diplomarbeit_geogebra.pdf. Diplomová práce. Universität Salzburg, Naturwissenschaftliche Fakultät. [74] HOHENWARTER, M. GeoGebra – didaktische Materialien und Anwendungen für den Mathematikunterricht [online]. Salzburg, 2006 [cit. 2012-05-08]. Dostupné z: http://www.geogebra.org/publications/ mhohen_diss.pdf. Disertační práce. Universität Salzburg, Naturwissenschaftliche Fakultät.
182
Rejstřík CoCoA, 24, 25, 108, 114, 115, 118
A AktualizaceKonstrukce, 93 algebraická rovnice křivky, 78 algebraické okno, 50 algebraické systémy, 9, 24, 27, 28, 46 analýza fotografie, 85 analýza jednorozměrných dat, 58, 60 aplet, 33 aproximace, 58 aritmetický průměr, 59
D Derive, 24, 74, 80 DGS, 50 didaktická znalost obsahu, 10, 47 didaktické dovednosti, 11 diferenciální geometrie, 75 driving point, 108 dynamická geometrie, 9, 23, 25, 35, 46 dynamické propojení reprezentací, 52 dynamický text, 86
B Bernoulliho schéma, 56 binomické rozdělení, 55, 57 BlueJ, 137
E eliminace, 108, 109, 114, 115, 118 eliminace proměnných, 78 Epsilon, 108 Eulerovo číslo, 82 Excel, 21, 22 exponenciální růst, 85 export obrázku, 160, 162, 163 do souboru, 165, 167, 171
C Cabri, 17, 18, 21–23, 33, 40, 107, 162 Cabri 3D, 28, 33 C.a.R., 40 Cinderella, 40 clickable math, 68 183
integrace, 10, 11, 17, 32, 47, 73, 141 interaktivní tabule, 10, 33 Intergeo, 35, 41 iterační výpočty, 53
F finanční vzdělávání, 69 funkce PrintScreen, 161 G generátor náhodných čísel, 130, 138 GeoGebra, 13, 15, 17, 18, 23, 27, 33, 40, 50, 107, 108, 115, 116, 141–144, 148, 149, 151, 163 3D, 65, 66 CAS, 63, 64, 73, 77, 80 Spreadsheet, 50, 51, 53, 88 GeoGebraScript, 63 GeoGebraTube, 42, 50 Geonext, 40 GeoSkills, 38 graf funkce, 51 grafické kalkulátory, 9 grafické rozhraní Maple, 68 grafický formát, 162, 165 grafický software, 160, 162, 174 gravitační zákon, 87 Groebnerova báze, 80
J Java, 132, 137 K kaustika, 74 Keplerovy zákony, 89 kognitivní technologie, 9 kolmice, 147 kombinace DGS a CAS, 73 konstruktivismus, 21 KopirovatVolnyObjekt, 94 krokování konstrukce, 152 kružnice daná středem a bodem, 147 kuželosečka, 65
H histogram, 60 hlemýžď, 85 hra dvou hráčů, 131, 132
L LaTeX, 165, 167, 173 learning management system, 10 limita posloupnosti, 82 Lissajousovy křivky, 52 locus point, 108, 116 logaritmická spirála, 85, 86
I I2GEO, 34, 40, 41 ICT kompetence, 11 ilustrace, 159 import obrázku, 166, 173
M manipulace s hotovou konstrukcí, 18 Maple, 19, 21, 24, 43, 65, 66, 121 maplet, 71 184
polynomická funkce, 64 posuvník, 52, 62, 82, 86, 89 pravděpodobnost, 56, 127–129, 131, 132, 134, 136, 138, 140 pravděpodobnostní kalkulačka, 50, 55, 56 prostředí GeoGebry, 50, 63 průsečík, 147
Mathematica, 24, 43 maximum, 59 medián, 59 metoda Monte Carlo, 127, 129–132, 136, 140 minimum, 59 množiny bodů daných vlastností, 107, 108 modus, 60 mover, 108, 116 MS Office, 33 MS Word, 165, 167, 173
R regrese, 62 regresní analýza dvojrozměrných dat, 60 rovnoměrné rozdělení, 129, 131, 132
N NahodneMezi, 92 NastavitHodnotu, 93 nefroida, 75 numerické řešení, 88
S samodružný bod, 145, 147 sazba textu, 159 seznam bodů, 52 schránka Windows, 162, 163 Singular, 27 Skript, 92 skriptovací jazyk, 63 smart dokument, 20, 33 Maple, 68 směrodatná odchylka, 59 software dynamické geometrie, 160 spojité úročení, 84 statistické vyhodnocení dat, 57 stopa bodu, 109, 116, 146 střed úsečky, 148
O obálka systému křivek, 75 objevování, 10 OLE objekt, 33 OpenMath, 41 OpenOffice Writer, 165 osa úsečky, 144, 145, 147 osová souměrnost, 141–143, 145– 147 P počítačová simulace, 129, 131, 140 počítačové dokazování, 11, 24, 26 pohyb oběžnice, 87 pohybový zákon, 87 polynomiální regresi, 60
T tabelace, 22 tabulka v GeoGebře, 50, 51, 53 185
tabulkové procesory, 9, 46 textový editor, 162 tisk zkonstruované figury, 162 tracer, 108 U ulita, 85 úročení, 82, 84 V verifikace, 25, 108, 109, 116 virtuální tiskárna, 162 vnořené trojúhelníky, 53 vrh šikmý vzhůru, 52 vstup z příkazového řádku, 14 W WolframAlpha, 43 wxMaxima, 28, 56, 65, 79 X XML, 41 Ž žákovské hypotézy, 22, 25
186
Integrace elektronických prostředí pro počítačem podporovanou výuku matematiky Autoři:
Martin Günzel Roman Hašek Jakub Jareš Josef Lombart Pavel Pech Václav Šimandl Radka Štěpánková Jiří Vaníček
Vydává:
Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích
Grafická úprava: Václav Šimandl Vydání: Rok vydání: Počet stran: Náklad: Tisk:
první 2012 187 200 ks Vlastimil Johanus TISKÁRNA
ISBN:
978-80-7394-386-8
