INFLAČNÍKOSMOLOGIE,KOSMOLOGICKÁ KONSTANTAAPÁTÝELEMENT

INFLAČNÍ KOSMOLOGIE, KOSMOLOGICKÁ KONSTANTA A PÁTÝ ELEMENT Zdeněk Stuchlík Ústav fyziky Filozoficko-přírodovědecká fakulta Slezská univerzita v Opavě Bezovec 2003, 30. května–1. června 2003 Hustota energie vakua, resp. falešného vakua, či kvintesence (pátého elementu) způsobuje akcelerovanou expanzi vesmíru na samotném počátku i v současné epoše. Rozdíl je ve velikosti hustoty této energie, jež je v současnosti o mnoho řádů menší než na počátku. Charakter současného falešného vakua je určující pro osud našeho vesmíru, může však mít i výrazný vliv na vlastnosti akrečních procesů v poli obřích černých děr. – Typeset by FoilTEX –

INFLAČNÍ KOSMOLOGIE, KOSMOLOGICKÁ KONSTANTA A PÁTÝ ELEMENT

„Kosmický krajícÿ


Bezovec 2003, 30. května–1. června 2003

1/84



CMBR (Cosmic Microwave Background Radiation) (Reliktní mikrovlnné záření)


2/84


Einsteinovy rovnice

Einsteinovy rovnice Gµν + Λgµν =

8πG c4

Tµν

c

rychlost světla

Λ

kosmolog. konst.

G

gravitační konst.

Gµν ≡ Rµν − 12 Rgµν

Einsteinův tenzor

c=G=1

geom. soust. j.

Rµν = Rαµαν

Ricciho tenzor

Tµν

tenzor en.-hyb.

R = Rαα

skalární křivosti

gµν

metrický tenzor

Rαβγδ

Riemann. tenz. kř.


3/84


Einsteinovy rovnice

Riemannův tenzor křivosti: Rαβγδ

∂Γαβδ ∂Γαβγ µ µ α α Γ − Γ Γ = − + Γ µδ µγ βγ βδ ∂xγ ∂xδ

Koeficienty afinní konexe (Christoffelovy symboly): 1 αµ = g (gµβ,γ + gµγ,β − gβγ,µ) 2 Zákony zachování: Kovariantní derivace: Γαβγ

Gµν ;ν = 0,

T µν;ν = 0

T βα;γ = T βα,γ − Γβ µγ Tαµ + Γµαγ Tµβ

Metrika kovariantně konstantní: gαβ ;γ = 0 Řešení se symetriemi a jejich fyzikální význam. Výrazné efekty OTR: kosmologie, černé díry. Bezovec 2003, 30. května–1. června 2003

4/84


Standardní kosmologie

Standardní kosmologie Kosmologický princip: Země není na význačném místě ve vesmíru. Vesmír: homogenní a izotropní Robertsonova–Walkerova metrika: R: škálový z }| { faktordr2 2 2 2 2 + r (dϑ + sin ϑ dϕ ) ds2 = − |{z} dt2 + R2(t) 2 1 − kr t: kosmický čas | {z } r, ϑ, ϕ: souputující souřadnice

k = +1 k=0 k = −1

uzavřený vesmír otevřený „parabolickýÿ vesmír otevřený „hyperbolickýÿ vesmír

Hmota vesmíru: dokonalá kapalina U µ = (U t, 0, 0, 0): v klidu vůči souputujícím souřadnicím Tenzor energie-hybnosti dok. kapaliny:

Tµ ν = |(% {z + p)} UµU ν + pδµν hustota hmoty-energie +tlak


5/84


Uzavřený vesmír (k = +1). t = const: „nadplochy homogenityÿ 3-dim sféry



Otevřený vesmír

Otevřený vesmír

„parabolickýÿ (k = 0). t = const: „nadplochy homogenityÿ 3-dim eukleidovské, ploché prostory

„hyperbolickýÿ (k = −1). t = const: „nadplochy homogenityÿ 3-dim hyperbolické prostory

6/84



Rovnice Zákon zachování: T µν;ν = 0

⇒

3 3 d(%R ) = −p d(R {z }) |

1. věta termodynamiky

Stavová rovnice: 0 (prach) p = p(%) = 1 3 % (záření)

Einsteinovy rovnice ⇒ Friedmannovy rovnice pro škálový faktor: 0-0 : 1-1 :

R˙ 2 Λ 8π k + 2− = % 2 R R 3 3 ¨ R˙ 2 R k 2 + 2 + 2 − Λ = −8πp R R R


7/84



Einsteinův statický vesmír Prachový model (p = 0):  dR ˙  =0  R=  dt současně 2  d R  ¨ R = 2 = 0 dt

Friedmannovy rovnice s Λ = 0 R˙ 2 k 8π + 2 = %, 2 R R 3

¨ R˙ 2 R k 2 + 2+ 2=0 R R R

nelze splnit . Je nutno zavést kosmologickou konstantu (Λ > 0) . Pak Friedmannovy rovnice získají tvar: k k Λ 8π − = %, −Λ=0 2 2 R 3 3 R Musí být k = +1 (uzavřený vesmír) Bezovec 2003, 30. května–1. června 2003

8/84



Poloměr křivosti: 1 RE = √ Λ Hustota látky: Λ %E = 4π Friedmannovo řešení popisující dynamický vesmír ⇓ Einstein (1927):

„Zavedení kosmologické konstanty bylo mým největším omylem .ÿ

Dnes:

Kosmologická konstanta (parametr) klíčovým parametrem kosmologických teorií.


9/84



Expandující vesmír Hubbleův parametr

˙ H ≡ R/R

Dnes

H0 = 100 h km s−1 Mpc−1,

Hubbleův čas

H0−1 = 9.78 h−1 × 109 let

Hubbleova vzdálenost (rozm. viditelného vesmíru)

H0−1 = 9.25 h−1 × 1032 cm = 3000 h−1 Mpc

Parametr hustoty hmoty

Ω = %/%crit

Kritická hustota

%crit = 3H 2/8π = 1.88 h2 × 10−29 g cm−3


0.6 ≤ h ≤ 0.8

10/84



• Dominance látky (p ∼ 0): % ∼ R−3 • Dominance záření (p ∼ 31 %): % ∼ R−4 • k=0

R ∼ t2/3 (prach) R ∼ t1/2 (záření)

Friedmannovy rovnice (p = 0, Λ = 0):

k = Ω − 1, 2 2 H R

k H (1 − 2q) = − 2 R 2

¨ RR Decelerační parametr: q = − R˙ 2 Klasifikace Friedmannových modelů:


k = +1

Ω > 1,

q>

k=0

Ω = 1,

q=

k = −1 Ω < 1,

q<

1 2 1 2 1 2 11/84



Friedmannovy modely s reliktní kosmologickou konstantou Friedmannova rovnice (zachování „energieÿ): 2 R d R(t) k +V = − 2 ≡ −K0 dt R0 R0 R0 „Efektivní potenciálÿ určující dynamiku expanze: " 2 2# R 8π Λ R R0 R0 V ≡− %m0 + %r0 − R0 3 R R 3 R0 Prázdný vesmír s Λ > 0 – de Sitterův: 2 dr 2 2 2 2 2 2 2 + r (dϑ + sin ϑ dϕ ) ds = −dt + R (t) 2 1 − kr


12/84



To je ekvivalentní 3 −(z ) + (z ) + (z ) + (z ) + (z ) = Λ v 5-dimenzionálním prostoru 0 2

1 2

2 2

3 2

4 2

ds2 = −(dz 0)2 + (dz 1)2 + (dz 2)2 + (dz 3)2 + (dz 4)2 Přitom r

!

Λ R(t) = Ri exp t 3 r ! Λ R(t) = Ri cosh t 3 r ! Λ R(t) = Ri sinh t 3 k = +1

→

pro

k=0

pro

k = +1

pro

k = −1

Ri = (Λ/3)−1/2


13/84



Klasifikace Friedmannových–Lemaˆıtreových modelů


14/84



Observační omezení Inflační modely:

Ωm0 ∼ 0.35 ,

ΩΛ0 ∼ 0.65 ,

Ωtot ∼ 1

Testy: • Expanzní věk vesmíru – Hubbleův parametr h ∼ 0.6–0.7, t0 ∼ H0−1 • Spektrum fluktuací reliktního záření – výsledky COBE a následníků • Množství temné hmoty ve vesmíru Geometrické testy: • Efekty gravitačních čoček • Úhlová velikost standardizovaných objektů • Hustota výskytu galaxií Decelerační parametr: • Měření vzdálených supernov: q0 < 0, expanze vesmíru je urychlována!! Bezovec 2003, 30. května–1. června 2003

15/84



Problémy standardního modelu • Problém prvotního hybatele • Problém kauzálního horizontu :

dH = R(t)

Zt

dt0 R(t0)

0

Kosmologický rudý posuv:

R(t0) , 1+z = R(t)

dH = 2H0−1(1 + z)−3/2

Prach (p = 0, k = 0): dH(t) ∼ 3t = 2H −1 ∼ 3R−3/2 Dnes pozorovatelný vesmír:

dH(t0) = 2H0−1 = 3t0

Rozměr pozorovatelného vesmíru: R(t) −1 −1 D0(t) D0(t0) = 4H0 , D0(t) = D0(t0) = D0(H0)(1 + z) = (1 + z)1/2 R0 2dH(t) D0(tPlanck) = 1.4 h−1 × 10−3 cm,


2dH(tPlanck) ≈ 10−33 cm

16/84



Problém kauzálního horizontu a strukturalizace vesmíru


17/84



• Problém plochosti 1 − ΩM 1 − ΩM0 1 = , n ΩM ΩM0 (1 + z)

n=

1 (prach) 2 (záření)

Je-li 1 − ΩM0 ∼1 ΩM0

⇒

1 − ΩM ∼ 10−60 ΩM

problém přesného vyladění na počátku expanze • Problém velkoškálové homogenity • Problém vzniku galaxií a velkoškálové struktury • Problém baryonové asymetrie Bezovec 2003, 30. května–1. června 2003

18/84



• Problém doménových stěn , vakuových strun , magnetických monopolů • Problém reliktních gravitin • Problém výběru správného vakua • Problém dimenzionality prostoru • Problém energie vakua • Problém počátku vesmíru (singularity)


19/84


Energie vakua jako efektivní kosmologická konstanta (J. B. Zel’dovič, 1967)

Energie vakua jako efektivní kosmologická konstanta (J. B. Zel’dovič, 1967) Přepis Einsteinových rovnic: Gµν +Λgµν = 8πTµν

→

Gµν = 8πTµν −Λgµν

Kvantová teorie: základní stav fyzikálního pole – vakuum : (vac) = hvac|Tµν |vaci = −%vac gµν Tµν | {z } (vac) kovariantně se zachovává: Tµν ;α = 0

Tenzor energie-hybnosti:

Tµν = (ε + p)UµUν + pgµν Pro vakuum: (vac) Tµν

Λ = − gµν , 8π


%vac =

(vac) T00

Λ = , 8π

Λ p(vac) = − 8π 20/84


Energie vakua jako efektivní kosmologická konstanta (J. B. Zel’dovič, 1967)

Stavová rovnice vakua: %(vac) = −p(vac) (Fyzikální pole se v expandujícím vesmíru mohou chovat dle této rovnice.) Reliktní kosmologická konstanta – hustota energie vakua: Λ |%(vac)| = ≤ 10−28 g/cm3 ∼ 10−56 cm−2 8π

Falešné vakuum v unifikačních teoriích (Higgsův mechanismus) %vac(Pl) ∼ m4Pl ∼ 1076 GeV4 Při fázovém přechodu změna hustoty energie skal. pole σ 4 σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . teplota odpovídající symetrické fázi ∆V ∼ 1056 GeV4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GUT fázový přechod T ∼ 1015 GeV Bezovec 2003, 30. května–1. června 2003

21/84


Inflační kosmologie

Inflační kosmologie Na počátku stavová rovnice: p ≈ −%

Λ V expandujícím vesmíru: %vac = const = 8π ¨ R 4π 8π Λ Akcelerovaná expanze: ≈ − (%vac + 3pvac) ≈ + %vac ≈ R 3 3 3 Exponenciálně rychlá (inflační) expanze: 1/2 1/2 8π Λ R(t) ≈ exp(Ht) , H = %vac ≈ const ≈ 3 3 Inflační fáze končí rozpadem „falešnéhoÿ vakua , když přestane platit p ≈ −%. Energie vakua se přemění na energii elementárních částic – horký velký třesk. Po rozpadu vakua – standardní model .


22/84



Minimální inflace Inflace vázaná na GUT fázový přechod: 1 H∼ ∆th ∆th ∼ 10−34 s Rozpad vakua v čase ∆t ∼ 10−32 s ∆t ∼ li exp(100) lf = li exp ∆th


23/84



Standardní versus inflační kosmologie

Podle [Kolb and Turner, 1990]


24/84



Řešení problému kauzálního horizontu


25/84




26/84



Inflační paradigma • Vytvoření Vesmíru kvantovým tunelováním • Fáze inflační expanze • Fáze standardní expanze Prvotní hybatel: falešné vakuum inflatonového pole ϕ


27/84



Inflační expanze


28/84




29/84




30/84



Řešení problému plochosti 2

3H , %cr = 8πG

% − %cr %

t

≈C

2

T0 T

2

Je-li C ∼ 1, pak pro T ∼ 1015 GeV (GUT) je % − %cr/% ∼ 10−56. Aby % − %cr/% ∼ 1, musí být C ∼ 1028! Z Einsteinových rovnic plyne % k =1+ 2 2 %cr RH R ∼ exp(Ht)

⇒


% =1 %cr 31/84



Inflační modely (různá inflatonová pole): 1. Nová inflace • fázový přechod spojený s Higgsovým mechanismem narušení symetrie fyzikálních interakcí • inflace v symetrickém stavu (φ ∼ 0) 2. Chaotická inflace • evoluce skalárního pole v expandujícím vesmíru ve stavu p ∼ −%, H ∼ %vac ∼ const v malé oblasti l ∼ lPl • inflace mimo symetrický stav (φ MPl) • rozpad vakua při přechodu do symetrického stavu (φ ∼ 0) • regenerativní vesmír – mnohost „minivesmírůÿ


32/84



Chaotická inflace Skalární inflatonové pole ϕ MP2 1 1 2 2 µ L =− R + ∂µϕ∂ ϕ − m ϕ ; 16π 2 2 Pro homogenní pole v jisté oblasti 1 2 2 dV , V = mϕ ϕ¨ + 3H ϕ˙ = − dϕ 2 k 8π 1 2 2 H + 2= ϕ˙ + V (ϕ) 2 R 3MP 2 mMP ϕ(t) = ϕ0 − √ t , 2 3π

m MP

2π 2 2 R(t) = R0 exp ϕ0 − ϕ (t) 2 MP

Po dobu τ ∼ ϕ/mMP je ϕ ∼ const, R(t + τ ) = R0 exp(Hτ ); H =

H τ , je-li ϕ MP Bezovec 2003, 30. května–1. června 2003

r

2π mϕ 3 MP 33/84



Perturbace inflatonového pole Kleinova–Gordonova rovnice v de Sitterově prostoročasu: ∂t2

+ 3H∂t ϕ − e

R(t) ∼ R0 exp (Ht) ,

−2Ht

∂i2ϕ

∂V =− , ∂ϕ

ϕ0(t) nezávisí na xi

Kvantové fluktuace δϕ(~r, t):

δϕ(~r, t) δt(~r) = − ϕ˙ 0(t)

δϕ(~r, t) vyhovuje rovnici δ ϕ¨ + 3Hδ ϕ˙ − e Pro t → ∞:

1 2 2 V (ϕ) = m ϕ − λϕ4 2

−2Ht

∂i2δϕ

∂ 2V (ϕ0) δϕ =− 2 ∂ϕ

ϕ(~r, t) = ϕ0(t) + δϕ(~r, t) ≈ ϕ0(t − δt(~r))

Retardace přechodu z de Sitterovy do Friedmannovy expanze v různých bodech prostoru. Fluktuace metriky: h ∼ Hδt(~r) Bezovec 2003, 30. května–1. června 2003

34/84


Fluktuace hustoty na horizontu:


H2 δ% ∼ , % ϕ˙ 0(t)

v u H2 u ϕ0(t) = u t 2λ( t0 −t) |{z}

konec inflační éry

Vlna ` ∼ H −1

⇒

Čas τ − H −1 ln(H/k0) Amplituda fluktuací:


1 −1 Hτ `− = H e 0

δ% %

H

=∂

1/2

3/2

ln

H k0

const.

35/84



Kvantové fluktuace Existuje událostní horizont l ∼ H −1(ϕ). Oblast uvnitř horizontu je nezávislá na vnějšku („nezávislý vesmírÿ). Inflace „generujeÿ stále nové „nezávislé vesmíryÿ. Kvantové fluktuace mohou vést i k radikální změně vlastností kreovaných vesmírů!! Klasická změna ϕ V0 ∆ϕkl ∼ 3H 2 Kvantová změna (v Hubbleově čase) H ∆ϕq ∼ > ∆ϕkl 2π Lindeho model: ϕi > ∼ 300MP Bezovec 2003, 30. května–1. června 2003

36/84



Vznik škálově invariantních fluktuací hustoty


37/84



Linde: samo-se-obnovující vesmír


38/84



Inflační modely vysvětlují problémy standardní kosmologie • prvotní hybatel – vakuová energie inflatonového pole • kauzální horizont – inflační expanze zvýší do rozpadu vakua rozměry inflatující oblasti alespoň o 100 řádů, lc H0−1 • plochost vesmíru během inflace k Ω−1= 2 ≈0 H exp(2Ht) Nevysvětluje problém reliktní hustoty energie vakua ≡ reliktní kosmologické konstanty. Kosmologické observační testy: %vac Ω≡ = 0.65 %crit Bezovec 2003, 30. května–1. června 2003

39/84



Observační testy: struktura anizotropií CMBR


40/84




41/84



„Zvlněnýÿ vesmír: Kosmické mikrovlnné pozadí „zvlněnéÿ gravitační vlnou Bezovec 2003, 30. května–1. června 2003

42/84



Hustotní variace primordiálního plazmatu

Inflační gravitační vlny Polarizační vzory Bezovec 2003, 30. května–1. června 2003

43/84



Otisk inflačních gravitačních vln na polarizačním vzorku kosmického mikrovlnného pozadí. Bezovec 2003, 30. května–1. června 2003

44/84



Data z pozorování a experimentů – jako pozorování supernov (vlevo), kosmického mikrovlnného pozadí (uprostřed) a gravitačního lensingu (vpravo) – přesvědčila kosmology, že zhruba 2/3 energie ve vesmíru je „temnáÿ . [Anglo-Australian Observatory/BOOMERANG Collaboration/NASA]


45/84




46/84



Falešné vakuum (pátý element) Stavová rovnice: p = −W %, kde parametr W ∈ (1/3, 1) Realizace (zeslabená inflace): dnes skrytá 1. Sledovací pole • Chaotické chování: atraktorem evoluce záření a látky • Interakce se zářením a látkou • Oddělení od látky, když převládne nad zářením • Falešné vakuum • Rozpad vakua? • 2. Pátý element na 3D bráně (M-teorie bez kompaktifikací) 3. Kvantová gravitace na strunách


47/84




48/84




49/84




50/84




51/84



Tracker field („sledovací poleÿ) dV (ϕ) R˙ Pohybová rovnice: ϕ¨ + 3H ϕ˙ + = 0, H ≡ dϕ R Zachování energie: %˙ ϕ + 3H(1 + Wϕ)%ϕ = 0, kde pϕ 12 ϕ˙ 2 − V (ϕ) Wϕ ≡ = 1 2 ∈ (−1, 1) ; %ϕ 2 ϕ˙ + V (ϕ)

%ϕ ∼ R−3(1+Wϕ)

Zachování hmoty/záření: %˙ n + 3H(1 + Wn)%n = 0, (minimální vazba ϕ a hmoty), pn = Wn%n, Wn = 31 (záření) %n + %ϕ 18 Friedmannovy rovnice svazují ϕ a hmotu: H = , m = 2.4 × 10 GeV p 2 3mp 2

¨ 2R %n + %ϕ + 3pn + 3pϕ %ϕ %n =− , Ωϕ ≡ , Ωn ≡ , Ωn + Ωϕ = 1 2 R 3mp %n + %ϕ %n + %ϕ ¨ %n Ωϕ R 2 = − 2 1 + 3Wn + (1 + Wϕ) R 3mp Ωn Bezovec 2003, 30. května–1. června 2003

52/84


Ωϕ = Ωn

Kosmická evoluce:

Ω0ϕ Ω0n

R R0

3e

,

Tracking parameter: e ≡ Wn − Wϕ, Pátý element a mikroinflace: ϕ˙ 2 = 1 + Wϕ ; %ϕ


Ω0ϕ

7 0 = Ωn 3

3e 1 = 0.43(1 + z) Ω− ϕ

Wϕ < 0;

%ϕ ∼ V (ϕ)

1 − Wϕ V (ϕ) = %ϕ 2

˙ ϕ ≈ 0: Předpokládejme W V 0(ϕ) 3H(1 + Wϕ) = = V (ϕ) ϕ˙ Příklad na sledovací pole :

s

3(1 + Wϕ) Ωϕm2p

−α ϕ V = A sinh k +β , α

e α= 2(1 − e)

Sledovací pole zachová všechny úspěchy standardní kosmologie. Bezovec 2003, 30. května–1. června 2003

53/84


Astrofyzikální důsledky reliktní kosmologické konstanty

Astrofyzikální důsledky reliktní kosmologické konstanty 1. Akreční procesy v poli černých děr • Pohyb testovacích částic • Pohyb dokonalé kapaliny 2. Optické efekty v Kerrově–Newmanově–de Sitterově prostoročasu • Pohyb fotonů v poli černých děr • Světelné křivky a profilované spektrální čáry 3. Einsteinův–Straussův–de Sitterův model • Omezení na velikost kondenzací hmotných neutrin • Vliv na Reesův–Sciamův model vzniku anizotropií reliktního mikrovlného záření Bezovec 2003, 30. května–1. června 2003

54/84



Akreční disky kolem černých děr Vysvětlují kvazary , aktivní galaktická jádra , exotické binární galaktické systémy . Geometricky tenké disky : • zanedbatelný tlak • malé akreční toky • kvazikeplerovský pohyb • akrece způsobená viskozitou látky • vnitřní okraj disku rin ≈ rms = poloměr mezní kruhové orbity 1. aproximace: kruhové orbity testovacích částic (geodetický pohyb) Bezovec 2003, 30. května–1. června 2003

55/84



Geometricky tlusté disky : • tlak je relevantní – gradienty kompenzují výslednici gravitačních a inerciálních sil • velké akreční toky • pohyb odlišný od keplerovského • akrece narušením hydrostatické rovnováhy (Paczy´ nského mechanismus) • vnitřní okraj disku rmb < rin < rms = mezní vázaná orbita 1. aproximace: rovnovážné konfigurace dokonalé kapaliny – akrece pro sebeprotínající ekvipotenciální plochy


56/84



Schwarzschildova–de Sitterova geometrie 2M Λ 2 1 2 2 2 2 2 2 2 dr + r (dϑ + sin ϑ dϕ ) ds = − 1 − − r dt + Λ 2 M 2 r 3 1− r − 3r Killingovy vektory:

∂ , ∂t

∂ ∂ϕ

1 Kosmologický parametr: y = ΛM 2 3 Bezrozměrné souřadnice: t r 2 −1 → t, → r (M = 1), −gtt = grr = 1 − − yr2 M M r Horizonty: gtt = 0,

r−2 y = yh(r) ≡ 3 r


57/84



1 Kritická hodnota kosmologického parametru: yc = 27 • Pro 0 < y < yc existují horizonty: 2 π+ξ – rh = √ cos (černoděrový) 3 3y 2 π−ξ – rc = √ cos (kosmologický) 3 3y • Pro y < 0 (anti-de Sitter) "  # # " 1/2 1/3 1/2 1/3 1/2  1 1 1 rh = − × 1+ 1− ++ 1− 1−   y 27y 27y


58/84



Vnořovací diagramy Schwarzschildovy–de Sitterovy geometrie Řez t = const, ϑ = const: 2 dl(SdS)

−1 2 = 1 − − yr 2 dr 2 + r 2 dϕ2 r

Eukleidova geometrie: dσ 2 = d%2 + %2 dϕ2 + dz 2 Vnořovací formule: z = z(r),

r≡%

2 : 2-dim plocha v E 3 izometrická s dl(SdS)

2 dl(E)

"

= 1+

dz d%


2#

2

2

2

d% + % dϕ

⇒

dz dr

=±

2 + yr

3

r − 2 − yr 3

! 1/ 2 59/84



3

y=10-6

2.5

2

log z

y=0.002

y=0

1.5 y=-10-6 y=0.02 y=0.03

1

y=-0.002 y=-0.02 y=-0.03

0.5

0

0 Bezovec 2003, 30. května–1. června 2003

0.5

1

1.5 log r

2

2.5

3 60/84



Omezení na vnořitelnost: • Schwarzschild–de Sitter (y > 0) r − 2 − yr3 ≥ 0 Vnoření možné pro celou stacionární oblast . • Schwarzschild–anti-de Sitter (y < 0) r < remb ≡

2 − y

1/3

Existuje limita vnořitelnosti ve stacionární oblasti.


61/84



Pohyb testovacích částic a fotonů Mapuje geodetickou strukturu S–de S prostoročasu. Rovnice geodetiky pro 4-hybnost pµ = dxµ/dλ: Dpµ dpµ = + Γµαβ pαpβ = 0 dλ dλ Normovací podmínka: pµpµ = − |{z} m2 hmotnost částice (0 pro fotony)

Pohyb v centrálních rovinách: volíme ϑ = π/2. Pohybové konstanty : • Energie: E = −pt = −gtt pt • Axiální moment hybnosti: Φ = pϕ = gϕϕ pϕ • Specifická energie E = E /m Radiální pohyb (m 6= 0): (pr )2 = E 2 − Veff2 (r; L, y),


• Specifický moment hybnosti L = Φ/m • Impaktní parametr ` = Φ/E

2 2 L 2 2 Veff (r; L, y) = 1 − − yr 1+ 2 r r 62/84



Pohyb povolen v oblastech, kde E 2 ≥ Veff (r; L, y) Povolená oblast pro fotony: ` ≤ 2

`2R(r; y)

Kruhové geodetiky (∂Veff2 /∂r = 0): 1 − r2 − yr2 Ec(r; y) = q , 1 − r3

Lc(r; y) =

s

r3 ≡ r − 2 − yr3

r (1 − yr3) 1 − r3

Existují na poloměrech 3 < r ≤ rs ≡ y −1/3 rph = 3: fotonová kruhová geodetika rs: statický poloměr – gravitační atrakce kompenzuje kosmologickou repulzi , Es(y) = (1 − 3y 1/3)1/2, Ls = 0 Stabilní kruhové orbity (∂ 2Veff /∂r2 > 0): 4yr4 − 15yr3 − r + 6 ≤ 0 Bezovec 2003, 30. května–1. června 2003

63/84



Mezní stabilní orbity: r−6 y = yms(r) ≡ 3 r (4r − 15)

Existují pro y < yms = 12/154 ≈ 0.000237

Je-li Λ ∼ 10−55 cm−2:

Mc(ms) ≈ 8.43 × 1025cm ∼ 5.75 × 1020M

Pro y < 10−9 platí: rms(i) ∼ 6

rms(o) ∼ 0.63 rs Mezní stabilní kruhové orbity určují meze velikosti tenkých akrečních disků . y < 0 (anti-de Sitter): rms je omezeno pouze zdola Bezovec 2003, 30. května–1. června 2003

64/84



Rovnovážné konfigurace dokonalé kapaliny Stacionární, osově symetrické prostoročasy: ds2 = gtt dt2 + 2gtϕ dtdϕ + gϕϕ dϕ2 + grr dr2 + gϑϑ dϑ2 gµν = gµν (r, ϑ) Tenzor energie-hybnosti dokonalé kapaliny : T µν = (ε + p)U µUν + pδνµ ε hustota energie p tlak p = p(ε) baryotropická látka Rotující konfigurace dokonalé kapaliny: U µ = (U t, U ϕ, 0, 0) U t = U t(r, ϑ), Bezovec 2003, 30. května–1. června 2003

U ϕ = U ϕ(r, ϑ) 65/84



Uϕ Úhlová rychlost: Ω(r, ϑ) = t U Specifický moment hybnosti: 2 g tϕ − gtt gϕϕ 2 (Ut) = gϕϕ + 2`gϕt + `2gtt

Uϕ `(r, ϑ) = − , Ut

Rotační formule Ω = Ω(`): gtϕ + `gtt , Ω=− gϕϕ + `gtϕ

gtt Ω=− ` pro gϕϕ

gtϕ = 0

Zákon zachování: hαµ T µν;ν = 0,

h = gαµ + UαUµ {z } | αµ projekční tenzor

Relativistická Eulerova rovnice : Bezovec 2003, 30. května–1. června 2003

∂µ p Ω ∂µ ` = −∂µ(ln Ut) + p+ε 1 − Ω` 66/84


Boyerova podmínka rovnováhy :

Zp


dp = Win − W p+ε

0

Potenciál: Win − W = ln(Ut)in − ln(Ut) +

Z`

`in

Ω d` 1 − Ω`

(index „inÿ odpovídá vnitřnímu okraji konfigurace)

Ekvipotenciální plochy :

W (r, ϑ) = const

⇒

dϑ ∂p/∂r =− dr ∂p/∂ϑ

Typy ekvipotenciálních ploch: • Otevřené (dynamické procesy – výtrysky) • Uzavřené (rovnovážné konfigurace) • Kritické – sebeprotínající (umožňují akreci – výtoky hmoty z rovnovážných konfigurací) Bezovec 2003, 30. května–1. června 2003

67/84



Mezně stabilní konfigurace v poli Schwarzschildovy–de Sitterovy černé díry `(r, ϑ) = const v celé konfiguraci. Ekvipotenciální plochy: (1 − 2r−1 − yr2)1/2 r sin ϑ

W (r, ϑ) = ln 1/2 2 r2 sin ϑ − (1 − 2r−1 − yr2)`2 2 3 −1 2 2 2 r(1 − yr ) sin ϑ − (1 − 2r − yr ) ` r dϑ = tan ϑ dr (r − 2 − yr3)2`2 Potenciál v ekvatoriální rovině W (r, ϑ = π/2) určuje topologii ekvipotenciálních ploch. Podmínka reality:

Ut(r, ϑ = π/2) ≥ 0


⇒

r3 ` = `ph2 (r; y) ≡ r − 2 − yr3 2

68/84


Extrémy:

∂Ut (r, ϑ = π/2) = 0 ∂r

⇒


3 3 r (1 − yr ) 2 2 ` = `K(r; y) ≡ 3)2 (r − 2 − yr | {z }

kruhové geodetické orbity

Wextr(r, ϑ = π/2; y) = ln Ec(r, y)

Energie kruhových geodetik: −1/2 2 3 2 Ec(r, y) = 1 − − yr 1− r r • Wmax: vrcholy kritických, sebeprotínajících ploch – nestabilní geodetiky • Wmin: centrální kružnice rovnovážných konfigurací – stabilní geodetiky


69/84



Klasifikace Schwarzschildových–de Sitterových černých děr (A) (B) (C) (D)

0 < y < ye ( toroidální konfigurace) y = ye ( toroidální konfigurace) ye < y < yms ( toroidální konfigurace) yms ≤ y < yc ( bez toroidálních konfigurací)

kde 1 1 • ye = = 3 4 ≈ 0.00000846 118125 3 · 5 · 7 12 • yms = 4 ≈ 0.00023 15 1 • yc = ≈ 0.037 27 Bezovec 2003, 30. května–1. června 2003

70/84



• Mezní vázané kruhové geodetiky: Emb(rmb(i), `mb) = Emb(rmb(o), `mb) • Ve Schwarzschildově metrice ( lim Veff (r) = 1): r→∞

Emb = 1,

rmb = 4,

`mb = 4

• Mezní stabilní kruhové geodetiky: Ems(i),

rms(i),

`ms(i)

Ems(o),

rms(o),

`ms(o)

• Existence rovnovážných konfigurací: `ms(i) < ` < `ms(o) • Akrece do černé díry:

`ms(i) < ` ≤ `mb < lms(o)

• Kritická ekvipotenciální plocha se dvěma vrcholy: ` = `mb Bezovec 2003, 30. května–1. června 2003

71/84



Efekty způsobené repulzivní kosmologickou konstantou 1. Existence ekvipotenciální plochy s vnějším vrcholem • umožňuje odtékání hmoty z akrečního disku do vnějšího prostoru Paczy´ nského mechanismem (narušením hydrostatické rovnováhy) • pro ` = `mb existuje kritická ekvipotenciální plocha s vnitřním i vnějším vrcholem: charakterizuje maximální disk, v němž totéž narušení hydrostatické rovnováhy způsobuje akreci do černé díry i odtékání do vnějšího prostoru • vnější vrchol se nachází v blízkosti statického poloměru • pro Λ = 0 není možné odtékání hmoty z tlustého toroidálního disku kolem izolované černé díry 2. Sbíhavost otevřených ekvipotenciálních ploch u rotační osy • začíná se projevovat v okolí statického poloměru • naznačuje existenci účinného mechanismu pro kolimaci výtrysků z akrečních disků 3. Rozměrové koincidence Λ = 10−55 cm; y = 10−27 ⇒ M = 1.17 × 109 M S = rcusp(o)/rcusp(i) ∼ 108; rcusp(o) ∼ 25 kpc Dimenze galaxií ∼ 30–50 kpc Bezovec 2003, 30. května–1. června 2003

72/84



Einsteinův–Straussův–de Sitterův model 1. Definice • Gravitačně vázané (ostrovní) systémy v expandujícím vesmíru • Schwarzschildova–de Sitterova geometrie (reprezentující vnějšek vázaného systému) hladce napojena na Friedmannův model se shodným Λ. Plocha napojení expanduje ve S–de S geometrii a je souputující v R–W geometrii 2. Hladké napojení • Synchronizace vlastního času v S–de S a R–W geometrii na nadploše • Soulad vnitřní 3-geometrie nadplochy v S–de S a R–W geometrii • Soulad vnější křivosti nadplochy napojení vůči S–de S a R–W geometrii 3. Důsledky • Určeny Lorentzovou transformací mezi statickými S–de S a souputujícími Friedmannovskými pozorovateli na nadploše napojení • Transformace kulového povrchu v prostoru hybnosti v R–W geometrii na rotační elipsoid v prostoru hybností v S–de S geometrii • Mez na velikost kondenzací hmotných neutrin: Mcrit ∼ 1017 M Bezovec 2003, 30. května–1. června 2003

73/84



1. x 1015

1. x 1012

r

1. x 109

1. x 106

1000

1 1. x 10-25


1. x 10-19

1. x 10-13 y

1. x 10-7

0.1

74/84



10000

l

1000

100

10

1 1. x 10-25


1. x 10-19

1. x 10-13 y

1. x 10-7

0.1

75/84



1 0.99 0.98

E

0.97 0.96 0.95 0.94 0.93 1. x 10-25 Bezovec 2003, 30. května–1. června 2003

1. x 10-19

1. x 10-13 y

1. x 10-7

0.1

76/84


50

y = 5 x 10-6 < 1/118125 l2ph

40

l2


30 20

l2K l2mb

10

0.4 Bezovec 2003, 30. května–1. června 2003

0.6

0.8

1 1.2 log r

1.4

1.6 77/84


50 l2ph

l2

l2

30 l2K

0.6

0.8

50

1 log r

1.4

1.2

10 1.6

0.4

l2

l2K l2mb

0.8

1 1.2 log r


1.4

1

1.2

l2ph

l2K l2mb

10

1.6

1.4

30 20

10

0.8 log r

y = 2 x 10-5 > 1/118125

40

30

0.6

0.6

50

l2ph

0.4

30

l2K

y = 5 x 10-6 < 1/118125

40

20

l2ph

20 l2mb

0.4

y = 10-3

40

10

l2

50

y = 1/118125

40

20


0.4

0.6

0.8

1 log r

1.2

1.4

1.6

78/84


jet


kolimovaný jet

akreční disk

vnější cusp statický radius

Tlustý akreční disk kolem Schwarzschildovy

Tlustý akreční disk kolem S–de S černé díry:

černé díry: y = 0, `(r, ϑ) = const = 3.96 < `mb

y = 10−6, `(r, ϑ) = const


79/84



Cygnus A : VLA rádiový obraz ukazuje dva rádiové laloky oddělené vzdáleností kolem 100h−1 Mpc a jet tryskající z galaxie k pravému laloku. Cygnus A je úzkopásmová rádiová galaxie. Šířka obrazu je kolem 2 úhlových minut. [R. A. Perley, J. W. Dreher, and J. J. Cowan (NRAO/AUI)] Bezovec 2003, 30. května–1. června 2003

80/84



Strunový model kvantové gravitace (J. Ellis, N. Mavromatos, D. Nanopoulos) D-brány → neperturbativní přístup ke strunové teorii

Recoil D-částic indukuje: 1. Nenulovou vakuovou energii (prostoričasovou pěnu) na D3 bráně (R–W–F vesmír). Tato vakuová energie je „relaxujícíÿ, tj. časově proměnná!! 2. Narušení Lorentzovy invariance: rychlost světla závisí na energii 3. „Breathing horizonsÿ: expanze, a smršťování horizontu → Hawkingovo záření Bezovec 2003, 30. května–1. června 2003

81/84



Relaxující „kosmologická konstantaÿ Podle [Ellis et al., 2000]: Liouvilleova strunová gravitace: D-particle recoil → indukovaná prostoročasová pěna → časově závislá „kosmologická konstantaÿ na D3 brane ≡ R–W–F vesmír v pozdním stadiu Škálový faktor: R(t) ∼ t2

1 „Kosmologická konstantaÿ (vakuová energie): Λ(t) ∼ 2 , t R(t0) t0 = současný čas, Λ(t) = Λ(t0) R(t) R(t0) Rudý posuv: 1 + z = R(t)

1 Λ(t) ∼ R(t)

Relaxující „kosmologická konstantaÿ pomocí rudého posuvu (Λ(t) → Λ(z), Λ(t0) → Λ(z = 0) = Λ0): Λ(z) = Λ(1 + z) Bezovec 2003, 30. května–1. června 2003

82/84



Rovnovážné konfigurace dokonalé kapaliny v prostoročasu s relaxující „kosmologickou konstantouÿ Závislost na relaci mezi vakuovou energií s obyčejnou hmotou. Nevytvářejí se částice → „volná relaxaceÿ S–deS prostoročas, M zůstává fixováno, Λ ∼ R1 ∼ (1 + z) Kosmologický parametr (y = 31 ΛM 2): y(z) = y0(1 + z) Rozměry tenkého akrečního disku (y < 10−8): rms(o) ≈ 0.63rs Rozměry tlustého akrečního disku: rmb(o) ≈ rs Avšak rs(z) = y(z)−1/3, rs(z) = rs(z = 0)(1 + z)−1/3 Dimenze disku (v jednotkách M ): rmb(o)(z) = rmb(o)(z = 0)(1 + z)−1/3 ,

rms(o)(z) = 0.63rms(o)(z = 0)(1 + z)−1/3

Pro M = 1.1 × 109 M

z 0 1 2 3 4 5 6 7 rmb(o) [kpc] 130 103 90 82 76 72 68 65


83/84


Citovaná literatura

Citovaná literatura

[Ellis et al., 2000] Ellis, J., Mavromatos, N. E., and Nanopoulos, D. V. (2000). Time-Dependent Vacuum Energy Induced by D-Particle Recoil. Gen. Relativity Gravitation, 32(5):943. [Kolb and Turner, 1990] Kolb, E. W. and Turner, M. S. (1990). The Early Universe. Addison-Wesley, Redwood City, California. The Advanced Book Program.


84/84

INFLAČNÍKOSMOLOGIE,KOSMOLOGICKÁ KONSTANTAAPÁTÝELEMENT

Recommend Documents