InfinityJurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012

Infinity

Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012

PENERAPAN METODE BESARAN PIVOT DALAM PENURUNAN RUMUS TAKSIRAN INTERVAL DARI KOEFISIEN REGRESI LINEAR SEDERHANA Oleh :

Nar Herrhyanto Jurusan Pendidikan Matematika, FPMIPA, UPI

Abstrak Regresi merupakan bentuk hubungan antara variabel bebas X dan variabel respon Y yang dinyatakan dalam sebuah persamaan matematik. Persamaan matematik tsb selanjutnya akan merupakan sebuah persamaan regresi. Persamaan regresi linear yang sebenarnya berbentuk Y = α + βX + ε. Dari koefisien regresi α dan β, maka β merupakan koefisien regresi yang berpengaruh terhadap perubahan variabel respon Y. Karena nilai β ini biasanya tidak diketahui, maka nilainya akan ditaksir berdasarkan data sampel. Dalam hal ini, penaksiran β yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah penaksiran interval. Dengan kata lain, bagaimana bentuk rumus taksiran interval dari β ini. Sehingga dalam makalah ini akan dijelaskan bagaimana penurunan rumus taksiran interval dari β. Dalam statistika matematik ada sebuah metode yang digunakan dalam penaksiran interval ini, yaitu metode besaran pivot. Kata Kunci : Regresi Linear Sederhana, Taksiran Interval Koefisien Regresi, Besaran Pivot

Pendahuluan Dalam kehidupan sehari-hari banyak data yang diperoleh atau dikumpulkan dengan melibatkan variabel. Apabila ada dua variabel, yaitu variabel bebas dan variabel respon, maka dapat diketahui hubungan antara kedua variabel tsb. Variabel bebas adalah variabel yang nilainya sudah diketahui dan biasanya dinyatakan dengan X. Variabel respon adalah variabel yang nilainya ditentukan berdasarkan variabel bebas, dan biasanya dinyatakan dengan Y. Dari kedua variabel tsb, dapat diketahui bentuk hubungan antara keduanya yang dinyatakan dengan sebuah persamaan matematik. Bentuk hubungan tsb sering disebut sebagai regresi.

104

Infinity


Regresi ada dua macam, yaitu regresi linear dan regresi non linear. Penentuan regresi linear atau non linear ini bisa diketahui melalui metode tangan bebas. Dalam metode tangan bebas ini didasarkan pada diagram pencar, yaitu diagram yang dibentuk berdasarkan data berpasangan (x,y) dan berupa sekumpulan titik-titk yang terpencar dimana-mana. Apabila letak sekumpulan titik-titik itu sekitar garis lurus, maka regresi yang diperoleh berbentuk linear. Apabila letak sekumpulan titik-titik itu membentuk sebuah kurva, maka regresi yang diperoleh berbentuk non linear. Dalam hal ini akan dibahas regresi yang berbentuk linear saja. Regresi linearnya juga merupakan regresi linear sederhana, yaitu regresi yang melibatkan satu variabel bebas X dan satu variabel respon Y. Persamaan regresi yang sebenarnya berbentuk Y = α + βX + ε. Dari koefisien regresi α dan β, maka β merupakan koefisien regresi yang berpengaruh terhadap perubahan variabel respon Y. Artinya β merupakan koefisien yang menyatakan perubahan variabel respon Y, apabila variabel bebas X berubah sebesar satu satuan. Karena nilai β ini biasanya tidak diketahui, maka nilainya akan ditaksir berdasarkan data sampel. Dalam statistika dibahas penyelesaian suatu masalah, mulai dari pengumpulan data sampai penarikan kesimpulan. Salah satu cara yang digunakan untuk menarik kesimpulan adalah berhubungan dengan penaksiran parameter. Penaksiran parameter adalah penentuan sebuah nilai atau nilai-nilai yang dihitung dari sampel acak sebagai pengganti dari sebuah parameter yang nilainya tidak diketahui. Penentuan nilai dari sampel acak ini disesuaikan dengan parameternya. Penaksiran interval merupakan cara untuk menentukan nilai-nilai yang berbentuk interval berdasarkan data sampel, dimana nilai-nilai tsb sebagai pengganti dari nilai parameter yang tidak diketahui. Dalam penentuan taksiran interval tsb harus dicari dahulu taksiran titik dari parameter yang bersesuaiannya. Dalam statistika yang membahas rumusrumusnya secara teoritis (disebut statistika matematik) ada sebuah metode yang digunakan untuk menentukan taksiran interval dari sebuah parameter, yaitu metode besaran pivot. Permasalahan Dalam statistika ada dua cara untuk mempelajarinya, yaitu menggunakan rumus-rumusnya dan menurunkan rumus-rumusnya. Orang yang mempelajari statistika, selain menggunakan rumus yang ada sebaiknya harus dipelajari juga bagaimana rumus-rumus itu diturunkan. Untuk menurunkan rumus dalam statistika diperlukan materi prasyarat, sehingga masalah ini merupakan masalah teoritis. Sehubungan dengan masalah teoritis ini, maka penulis

105

Infinity


berusaha untuk menurunkan rumus-rumus yang terdapat dalam statistika khususnya dalam regresi. Salah satu masalah yang terdapat dalam regresi adalah taksiran interval dari koefisien regresi dalam regresi linear sederhana. Sehingga permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah bagaimana penurunan rumus taksiran interval untuk koefisien regresi linear sederhana dengan menggunakan metode besaran pivot?

Pembahasan Menurut Herrhyanto (2003:156) dan (2010:52), langkah-langkah yang diperlukan untuk menentukan taksiran interval sebuah parameter dari sebuah distribusi dengan menggunakan metode besaran pivot sbb: 1. Tentukan taksiran titik dari parameter itu. Dalam hal ini, tentunya dicari penaksir tak bias bagi parameter itu. 2. Tentukan distribusi dari penaksir tak bias itu (kalau diperlukan). 3. Tentukan besaran pivot, yaitu besaran yang mengandung penaksir dan parameter sedemikian hingga distribusinya tidak bergantung pada parameternya. 4. Tentukan distribusi dari besaran pivot. 5. Besaran pivot itu disubstitusikan kedalam bentuk umum dari taksiran interval dengan derajat keyakinan sebesar (1 – α), yaitu : P(a < besaran pivot < b) = 1 – α 6. Ubah bentuk dalam langkah kelima kedalam bentuk: P(c < parameter < d) = 1 - α Berikut ini akan dijelaskan langkah-langkah di atas. 1.

Penaksir Titik Parameter yang Tak Bias

Persamaan regresi linear sederhana mempunyai bentuk Y = α + βX + ε dan 





persamaan regresi taksirannya berbentuk Y     X . Karena Y berdistribusi N(α + βx ; σ2), maka fungsi kepadatan peluang dari Y berbentuk:

f ( y) 

 1 2 exp  2  y    x   ;    y    2  2 . 2 1

Dalam hal ini akan ditentukan penaksir dari α dan β dengan menggunakan metode kemungkinan maksimum. Fungsi kemungkinan dari Y1,Y2,…,Yn adalah:

106

Infinity


 1 2 exp  2  y1    x1    2  2 . 1  1 2 x exp  2  y 2    x2   2  2  2 . 1  1 2 x…x exp  2  y n    xn   2  2  2 .

L(α,β,σ2;y1,y2,…,yn) =

1

2

n

  1 1 n  exp  2   yi    xi 2  =     2  2 i 1  2 .    1 1 n 2  ln L(α,β,σ2;y1,y2,…,yn) = n. ln   y i     xi   2   2  2 .  2 i 1 n  1 ln L ,  ,  2 ; y1 , y 2 ,..., y n    2 .2.  yi    xi (1) i 1  2 n 1  2   y i     xi   i 1 n  1 ln L  ,  ,  2 ; y1 , y 2 ,..., y n   2 .2.  yi    xi ( xi ) i 1  2 n 1  2   yi    xi ( xi )  i 1



Syarat : a.



 ln L  ,  ,  2 ; y1 , y 2 ,..., y n  0    1 n  y     xi   0 2  i  i 1     n     y i     xi   0 i 1   n













n

 yi  n.   . xi  0

i 1 n

i 1 n

 yi  n.   . xi

i 1

i 1

107

Infinity b.


 ln L  ,  ,  2 ; y1 , y 2 ,..., y n  0    1 n  y     xi ( xi )  0   i 2  i 1  





  n     yi     xi ( xi )  0 i 1   

n



n

n

2  xi yi   . xi   . xi  0

i 1

i 1



n

i 1



n

n

2  xi yi   . xi   . xi

i 1

i 1

i 1

Jadi diperoleh dua persamaan normal, yaitu:  

n





n

 yi  n.   . xi

i 1 n

i 1



n



n

2  xi yi   . xi   . xi

i 1

i 1

i 1

Dengan menggunakan Aturan Cramer diperoleh : n   n 2   n  n   y i   xi     xi   xi y i  i 1 i 1 i 1 i 1          2 n n n. xi2    xi  i 1  i 1  n n n   x y     x   n . y i       i i i  i 1 i 1 i 1        2 n n n. xi2    xi  i 1  i 1  

Jadi penaksir kemungkinan maksimum bagi α dan β adalah: n   n 2   n  n   Yi   X i     X i   X i Yi  i 1 i 1 i 1 i 1          2 n n n. X i2    X i  i 1  i 1  n n n   X Y     X   n . Yi       i i i  i 1 i 1 i 1        2 n n n. X i2    X i  i 1  i 1  

108

Infinity


Atau bisa juga diperoleh: n









n

 yi  n.   . xi

i 1

i 1

1 1 n  y i     .  xi n i 1 n i 1 n





y     .x 



  y   .x 



Jadi penaksir bagi α berbentuk:   Y   . X 

Dan penaksir  nya bisa ditulis sbb: n n n       n . X Y X Yi       i i i    i 1  i 1     i 1 2 n n 2   n. X i    X i  i 1  i 1  n





 X i Yi  n. X .Y

i 1 n

2  X i  n. X

2

i 1



Kemudian akan diperiksa bahwa  harus merupakan penaksir tak bias bagi β. 

Dari penaksir  akan diuraikan bentuk pada pembilang maupun penyebutnya satu persatu. 

n

n

n

i 1

i 1

 X i Yi  n. X .Y   X i Yi  X . Yi

i 1

 =  X n

=  X i Yi  X .Yi i 1 n

i 1

i





 X .Yi

109

Infinity


n

n

2

2

2 2  X i  n. X   X i  2.n. X  n. X



i 1

2

i 1

n

n

i 1

i 1

=  X i2  2. X . X i  n. X n



=  X i2  2. X . X i  X i 1

n



=  Xi  X i 1

2

2





2

Sehingga:

    X  X  X  X Y  X  X Y   X  X   X  X  n



 X i  X .Yi

i 1 n

2

i

i 1



1

1 2

n

i 1

2

2 2

n

i

i

i 1

 ... 

X  X Y  X  X  n

n 2

n

i 1

i



  c1Y1  c2Y2  ...  cnYn

X  X   X  X  X  X  (ii) c   X  X  X  X  (iii) c   X  X 

Dengan : (i)

c1 

1

n

2

i

i 1

2

2

n

i 1

2

i

n

n

n

i 1

2

i

Karena Y1,Y2,…,Yn adalah sampel acak berukuran n yang berasal dari populasi berdistribusi N(α + βXi ; σ2), maka:

 E     E (c1Y1  c2Y2  ...  cnYn )    E (c1Y1 )  E (c2Y2 )  ...  E (cnYn )

 c1 .E (Y1 )  c2 .E (Y2 )  ...  cn .E (Yn )

110

Infinity


 c1 (  X 1 )  c2 (  X 2 )  ...  cn (  X n )   (c1  c2  ...  cn )   (c1 X 1  c2 X 2  ...  cn X n ) Dengan : 

X  X   X  X   X  X   X  X  1

c 1 + c2 + … + c n =

n

2

i

i 1 n

=

=

n



2

  X

X

i 1

2

i

+…+

X  X

n

n

i 1

  X

X

2

i

2

i

0

 Xi  X

i 1

X  X n

i

i 1 n

i 1

+



2

c 1 + c2 + … + c n = 0 

X  X X + X  X X  X  X   X  X   X  X X =  X  X  1

c1X1 + c2X2 + … + cnXn =

1 2

n

2

i

i 1

2 2

n

i 1

i

n

i 1 n

i

i

2

i

i 1

n



i 1 n

i 1

n

 X  2. X . X i  n. X

i 1 n



n

2  X i  X . X i

2 i

i 1

 X  n. X

2

2  X i  n. X

2

i 1 n

2 i

i 1

c1X1 + c2X2 + … + cnXn = 1

  

Jadi : E      (0)   (1)  0     

Sehingga  merupakan penaksir tak bias bagi β.

111

2

+…+

X  X X  X  X  n

n 2

n

i 1

i

Infinity 2.


Distribusi dari Penaksir Tak Bias 

Dalam hal ini, penentuan distribusi dari penaksir  digunakan teknik fungsi pembangkit momen. Dari uraian sebelumnya diperoleh : 

  c1Y1  c2Y2  ...  cnYn

X  X   X  X 

Dengan : ci 

; i  1,2,3,..., n

i

n

2

i

i 1

Karena Y1,Y2,…,Yn adalah sampel acak berukuran n yang berasal dari populasi berdistribusi N(α + βXi ; σ2), maka fungsi pembangkit momen dari Yi adalah : MYi(t) = exp[(α + βXi)t + ½ σ2t2] ; t   

Fungsi pembangkit momen dari  adalah: 

M  (t )  E[exp(t  )] 

= E[exp{t(c1Y1 + c2Y2 + … + cnYn)}] = E[exp(tc1Y1) . exp(tc2Y2) . … . exp(tcnYn)] = E[exp(tc1Y1)] . E[exp(tc2Y2)] . … . E[exp(tcnYn)] = MY1(c1t). MY2(c2t). … . MYn(cnt). = {exp[(α + βX1)t + ½ σ2(c1t)2] }. {exp[(α + βX2)t + ½ σ2(c2t)2] } . … . {exp[(α + βXn)t + ½ σ2(cnt)2] } 2 2 2 = exp    X i (ci t )  (1 / 2) t . ci  n

n

i 1

i 1



Akan diuraikan bentuk yang ada pada pangkatnya. 

   X i (ci t )    .ci t    .t.ci X i n

n

i 1

n

i 1

i 1

n

n

i 1

i 1

  .t  ci   .t. ci X i n

Karena dari uraian sebelumnya sudah diperoleh hasil bahwa  ci  0 dan i 1

n

 ci X i  1 , maka:

i 1

   X i (ci t )   .t (0)   .t (1)  0   .t   .t n

i 1

112

Infinity 


n

2 2 2 2  ci  c1  c2  ...  cn

i 1













n

 Xi  X

=

i 1

2

 X  X 2  i 1 i  n 1 2  ci  n 2 i 1  Xi  X n

i 1

2

  1   Jadi : M  (t )  exp   .t  (1 / 2). 2 t 2 . n  2   Xi  X   i 1     2  2 = exp   .t  (1 / 2). n t  2  Xi  X   i 1  









Ternyata bentuk di atas merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi normal dengan mean = β dan varians =

n

2



 Xi  X

i 1

  2 Sehingga  berdistrib usi N   ; n   Xi  X i 1  



3.



2

  .  

Besaran Pivot

Misalkan besaran pivotnya adalah: 

 

T n



S e2

 Xi  X

i 1

113



2



2

.

Infinity 4.


Distribusi dari Besaran Pivot

Besaran pivot di atas bisa dituliskan kembali sbb: 

 

T n

S e2



 Xi  X

i 1



2



 

T n

2



 Xi  X

i 1

. 2



(n  2).S e2  2 .(n  2)



  n

2



 Xi  X

i 1

T

(n  2).S e2



2

.



2

1 n2

W

T

V n2

Berikut ini akan diuraikan bentuk W dan V. 

 

 W  n



2

 Xi  X

i 1



2

Penentuan distribusi dari W akan digunakan teknik fungsi pembangkit momen.

  2 Karena  berdistrib usi N   ; n   Xi  X i 1  



momennya berbentuk:

114



2

   , maka fungsi pembangkit  

Infinity


 2  M  (t )  exp   .t  (1 / 2). n   Xi  X  i 1 





2

  t    2

Fungsi pembangkit momen dari W adalah: MW(t) = E[exp(tW)]

           = E exp t  2     n Xi  X    i 1 



       t.    = E exp  2     n X X i   i 1



      .t = exp  2   n   Xi  X  i 1



      .t = exp  2   n   Xi  X  i 1





2



2



2

                 

t.





2

n



2

 Xi  X

i 1



2

        

              .t  . E exp  2       n     Xi  X    i 1



       t   . M   2     n X  X  i  i 1 



115



2



2

        

        

Infinity


   =    .t exp  2   n   Xi  X  i 1





2

        .t  . exp   2   n     X X   i 1 i 



 (1 / 2).



n

 Xi  X

i 1

2



2



2

t2

. n



2

 Xi  X

i 1



2

       

MW(t) = exp (½ t2) Ternyata bentuk di atas merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi normal baku. Sehingga W berdistribusi N(0;1).

(n  2).S e2

 V 

2

S e2  

 1 n    Yi  Y i  i  1 n2  

2

  1 n    Yi     . X i  i  1 n2  

2





Dari uraian sebelumnya diperoleh   Y   . X sehingga :    1 n S    Yi  Y   . X   . X i  n  2 i 1  

2

2 e





 n   (n  2).S e2   Yi  Y   X i  X  i 1  

2

         Yi  (   . X i )  (   . X i )  Y   ( X i  X )  (   . X )  (   . X ) i 1   n





    Yi  (   . X i )  Y  (   . X )   ( X i  X )   ( X i  X ) i 1   = n





    Yi  (   . X i )  Y  (   . X )  (    )( X i  X )  = i 1  n

116

2

2

2

Infinity


n

=









2  Yi  (   . X i )  n. Y  (   . X )  (    ) . X i  X 2

i 1

2

i 1



 2. Yi  (   . X i ) Y  (   . X ) n

i 1

n



2



n     2. Yi  (   . X i ) (    )( X i  X ) i 1    n    2. Y  (   . X ) (    )( X i  X ) i 1  





Dengan : (i)



 Yi  (   . X i ) Y  (   . X ) n

i 1



n



 

n

  Yi . Y  (   . X )   (   . X i ) Y  (   . X ) i 1



i 1







n  n.Y . Y  (   . X )   n.   . X i  Y  (   . X ) i 1  



n

n

i 1

i 1

2

 n.Y  n. .Y  n. . X .Y  n. .Y   .Y . X i  n. 2   . . X i n

 n. . . X   2 . X . X i i 1

2

 n.Y  n. .Y  n. . X .Y  n. .Y   .Y .n. X  n. 2   . .n. X  n. . . X   2 . X .n. X 2

 n.Y  2.n. .Y  2.n. . X .Y  n. 2  2. . .n. X  n. 2 . X 2

2

2

 n.(Y  2. .Y  2. . X .Y   2  2. . . X   2 . X )



2

 n. Y  2.Y (   . X )  (   . X ) 2



 n. Y  (   . X )





2

 



 

(ii)  Yi  (   . X i ) (    )( X i  X ) n

i 1





 (    ). Yi  (   . X i ) X i  X n

i 1



 n n n n n  (    ). X i Yi  X . Yi   . ( X i  X )   . X i2   . X . X i  i 1  i 1 i 1 i 1 i 1

117

Infinity


 n n 2  (    ). X i Yi  X .n.Y   (0)   . X i2   .n. X  i 1  i 1  n 2  n  (    ). X i Yi  n. X .Y   .  X i2  n. X   i 1  i 1 n



Karena  

 X i Yi  n. X .Y

i 1 n

 X  n. X

i 1

, maka diperoleh :

2

2 i

 n 2 2   n  (    ).   X i2  n. X      X i2  n. X    i 1    i 1   n 2    (    ).(   )   X i2  n. X    i 1 

n



 (    ) 2 . X i  X i 1

n



 



2

 



(iii)  Y  (   . X ) (    )( X i  X ) i 1

   Y  (   . X )(    ).(0) 

n

 Y  (   . X ) (    ). ( X i  X ) i 1



=0 Sehingga:









(n  2).S e2   Yi  (   . X i )  n. Y  (   . X )  (    ) 2 . X i  X n

2

i 1







2

n

2



 2.n. Y  (   . X )  2.(    ) 2 . X i  X i 1









2

i 1

2

2

118

i 1

0



  Yi  (   . X i )  n. Y  (   . X )  (    ) 2 . X i  X n

n

n

i 1



2



2

Infinity


Kedua ruas dibagi σ2, sehingga diperoleh:

 Yi  (   . X i ) n

(n  2).S



2

2 e



2

i 1



2





n. Y  (   . X )



2

  2  n  Y  (   . X )  Y  (   . X  i     i    i 1        n

2





2



n

i 1

2

          n   Xi  X  i 1



A=B–C–D B=A+C+D Fungsi pembangkit momen dari B adalah: MB(t) = E[exp(tB)] = E[exp{t(A + C + D)}] = E[exp(tA + tC + tD)] = E[exp(tA).exp(tC).exp(tD)] = E[exp(tA)].E[exp(tC)].E[exp(tD)] = MA(t).MC(t).MD(t)

M A (t ) 

M B (t ) M C (t ).M D (t )

Karena : a. Y berdistribusi N(α + β.X ; σ2)

Y  (   . X )

berdistribusi N(0;1)

 2  Y  (   . X )    berdistribusi χ2(1)    n n  Y  (   . X )  i B   Bi2    i  berdistribusi χ2(n) i 1 i 1    2

MB(t) = (1 – 2t)(-1/2)(n) ; t < 1/2

119



(    ) 2 . X i  X



2

       

2



2

Infinity


2 



 b. Y berdistrib usi N     . X ; n   Y  (   . X )




n 2

    Y  (   . X )   berdistribusi χ2(1) C      n   MC(t) = (1 – 2t)-1/2 ; t < 1/2

  2  berdistrib usi N   ; n   Xi  X i 1  

c.





2

    



   n




 Xi  X

i 1



2

       D   n   X X  i  i 1



2



2

    2  berdistribusi χ (1)    

MD(t) = (1 – 2t)-1/2 ; t < 1/2

Sehingga: M A (t ) 

(1  2t ) ( 1 / 2). n  (1  2t ) ( 1 / 2)( n2) 1 / 2 1 / 2 (1  2t ) .(1  2t )

Ternyata bentuk di atas merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi Chi-Kuadrat dengan derajat kebebasan = n – 2.

120

Infinity


Sehingga bisa ditulis : A 

(n  2).S e2

2

berdistribusi  2 (n  2).

Selanjutnya akan ditentukan distribusi dari T dengan menggunakan teknik transformasi peubah acak. Misalkan W adalah peubah acak berdistribusi normal baku dan V adalah peubah acak berdistribusi Chi-Kuadrat dengan derajat kebebasan dk = r = n - 2. Kedua peubah acak W dan V saling bebas.

W

Jika peubah acak T 

V /r

, maka akan ditentukan fungsi kepadatan peluang

dari T. Fungsi kepadatan peluang dari W adalah:

f ( w) 

1 2

2 e w / 2 ;    w  

Fungsi kepadatan peluang dari V adalah:

1

g(v) =

2

r/2

.(r / 2)

=

v (r / 2) 1.e  v / 2 ; 0  v   0

; v lainnya.

Karena W dan V saling bebas, maka fungsi kepadatan peluang gabungannya adalah: h(w,v) = f(w).g(v) =

1 2

2 e w / 2 .

1 2

r/2

.(r / 2)

v (r / 2) 1.e  v / 2

;   w , 0 v  

= 0 ; w,v lainnya. Karena transformasi peubah acak yang diketahui berbentuk T  akan dimisalkan transformasi peubah acak keduanya adalah U = V. Jadi transformasi peubah acaknya adalah T 

121

W V /r

dan U = V.

W V /r

, maka

Infinity


Hubungan antara nilai w dari W dan nilai v dari V dengan nilai t dari T dan nilai u dari U diberikan dengan:

t

Invers: w 

t u

w

dan u = v

v/r

dan v = u

r

w Jacobiannya: J = t v t J 

w u  v u

u/ r 0

t /( 2 ru ) u  1 r

u r

Fungsi kepadatan peluang gabungan dari T dan U adalah:

t u    r ,u  . J  

k(t,u) = h

  u  t 2  u 1   . u (e / 2) 1. exp  ; -∞ < t < ∞ , r  r  2  2 .2 r / 2. (r / 2)  1

k(t,u) =

0
k1 (t ) 



 k (t , u) du

 

  u  t 2  u ( r / 2) 1 1   .  u . exp du  2 .2 r / 2. (r / 2) 2  r  r  0      u  t 2  u 1 ( r / 2)  (1 / 2) 1   .  u . exp du =  r  r  2  2 .2 r / 2. (r / 2) 0  =

1

122

Infinity Misalkan:


u  t 2  1 y 2  r 

2y

u

1 du 

t2 r 2

t2 1 r

dy

Batas-Batas: Untuk u = 0, maka y = 0 Untuk u = ∞, maka y = ∞

k1 (t ) 





  1  2y  r/2 2 .2 . (r / 2) 0  t2 1   r 

     

( r / 2)  (1 / 2)

.e  y . 

2 ( r / 2)  (1 / 2)

y

( r 1) / 2 0 t2 

 2r .2 r / 2. (r / 2).1    r    r 1    2 

 t2  r . (r / 2).1    r  

Maka: k1 (t ) 

2 t2 1 r

( r / 2)  (1 / 2)  y

( r 1) / 2

 r 1    2   t2  r . (r / 2).1    r  

( r 1) / 2

123

dy

; t  

.e

dy

Infinity


Ternyata bentuk di atas merupakan fungsi kepadatan peluang dari distribusi t dengan derajat kebebasan = r = n – 2.

5.

Besaran Pivot Disubstitusikan kedalam Bentuk Umum Taksiran Interval

    P  t ( / 2 ); ( n  2)     

6.



  n



S e2

 Xi  X

i 1



2

     t ( / 2); ( n  2)   1      

Ubah Bentuk Taksiran Interval dalam Besaran Pivot Menjadi Bentuk Parameter

  S e2 P   t ( / 2);( n 2) . n   Xi  X i 1 



S e2





2

     t ( / 2); ( n 2) .

n



 Xi  X

i 1



    1  

Sehingga taksiran interval dari β dengan derajat keyakinan sebesar (1 – α) berbentuk: 

  t ( / 2);( n2) .

n



S e2

 Xi  X

i 1





2

     t ( / 2);( n 2) .

n



S e2

 Xi  X

i 1



2

Penutup Penentuan taksiran interval sebuah parameter dari sebuah distribusi dilakukan menggunakan metode besaran pivot, dengan langkah-langkah sbb: 1. Tentukan taksiran titik dari parameter itu. Dalam hal ini, tentunya dicari penaksir tak bias bagi parameter itu. 2. Tentukan distribusi dari penaksir tak bias itu (kalau diperlukan). 3. Tentukan besaran pivot, yaitu besaran yang mengandung penaksir dan parameter sedemikian hingga distribusinya tidak bergantung pada parameternya. 4. Tentukan distribusi dari besaran pivot.

124

Infinity 5. 6.


Besaran pivot itu disubstitusikan kedalam bentuk umum dari taksiran interval dengan derajat keyakinan sebesar (1 – α), yaitu : P(a < besaran pivot < b) = 1 – α Ubah bentuk dalam langkah kelima kedalam bentuk: P(c < parameter < d) = 1 - α

Taksiran interval dari β dengan derajat keyakinan sebesar (1 – α) berbentuk: 

  t ( / 2);( n2) .

n



S e2

 Xi  X

i 1





2

     t ( / 2);( n 2) .

n



S e2

 Xi  X

i 1



2

Daftar Pustaka Clarke, G.M. & Cooke, D. 1983. A Basic Course in Statistics. Second Edition. London : The English Language Book Society. Freund, John E. & Walpole, Ronald E. 1980. Mathematical Statistics. Third Edition. New York : Prentice-Hall, Inc, Englewood. Guttman, Irwin; Wilks, S.S; dan Hunter, J.Stuart. 1982. Introductory Engineering Statistics. Third Edition. New York : John Willey & Sons. Herrhyanto, Nar. 2003. Statistika Matematis Lanjutan. Bandung : Pustaka Setia. Herrhyanto, Nar & Gantini, Tuti. 2009. Pengantar Statistika Matematis. Bandung : Penerbit Yrama-Widya. Herrhyanto, Nar. 2010. Bank Soal Teori Statistika Matematik dan Penyelesaiannya. Bandung : Penerbit Yrama Widya. Hogg, Robert V. dan Tanis, Elliot A. 1977. Probability and Statistical Inference. New York : Macmillan Publishing Co., Inc.

125

InfinityJurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012

Recommend Documents