INDUKTIVNÍ A DEDUKTIVNÍ PŘÍSTUPY VE VÝUCE MATEMATIKY NA SŠ INDUCTIVE AND DEDUCTIVE METHODS IN TEACHING OF MATHEMATICS AT SECONDARY SCHOOL

Zborník vedeckých prác doktorandov a mladých vedeckých pracovníkov “Mladí vedci 2010“

INDUKTIVNÍ A DEDUKTIVNÍ PŘÍSTUPY VE VÝUCE MATEMATIKY NA SŠ INDUCTIVE AND DEDUCTIVE METHODS IN TEACHING OF MATHEMATICS AT SECONDARY SCHOOL Jiří Břehovský Fakulta výrobních technologií a managementu (FVTM), Univerzita J. E. Purkyně v Ústí nad Labem, Na Okraji 1001, 400 01, Ústí nad Labem, Česká Republika, E-mail: [email protected] , Telefon: + 420 475 283 684 Abstract In the paper the attention is paid to the application of inductive and deductive methods in teaching of mathematics at secondary school. There are shown results of research conected with this problem there. Keywords: inductive and deductive method in teaching, experiment, linear function, results of research 1 Úvod Vzhledem k tomu, ţe matematika představuje značně abstraktní disciplínu, hrozí všeobecně při předávání matematických poznatků v rámci školské matematiky nebezpečí formalismu. Je zřejmé, ţe při výuce tak komplexní vědy, jakou matematika bezesporu je, není vhodné drţet se stále metody prezentování „hotových“ poznatků, jak často pozorujeme na vysokých a středních školách. Autoři článků (2), (5), (6) upozorňují na některá specifika vysokoškolského studia matematiky a doporučují alespoň občas uplatnit i některé méně pouţívané metody výuky. Jednou z alternativ je experimentálně induktivní metoda výuky popsaná v (8). Při tomto přístupu by se měli studenti naučit zkoumat určité matematické situace a na základě tohoto zkoumání vyslovovat problémy a hypotézy. Tento induktivní postup by pak měl být završen potvrzením hypotézy, tedy zpětnou dedukcí. Induktivní cesta je sice časově náročnější, ale na druhé straně obsahuje ničím nenahraditelné činnosti zkoumání, vyslovení hypotézy a její ověřování. Vyučující by se měl při tom snaţit maximálně aktivizovat studenty a jeho pomoc by se měla omezit pouze na nezbytně nutnou míru. Ve výuce matematiky na střední škole má samozřejmě uplatnění experimentálně induktivního přístupu ještě mnohem větší význam vzhledem k niţšímu věku studentů. V následujícím článku je popsán průběh a výsledky výzkumu, jehoţ cílem bylo zjistit moţnosti vyuţití experimentálně induktivních a deduktivních metod jako prostředku pro efektivnější matematické vzdělávání na střední škole. V rámci výzkumu bylo provedeno porovnání efektivity těchto méně pouţívaných metod s metodami tradičními, kdy jsou ţáci pouze seznamováni s matematickými poučkami a vzorci, aniţ by poznali radost z jejich objevování. 2 Výzkum Po předběţné teoretické analýze byly formulovány následující problémy, které se přímo týkají zkoumané problematiky:  Zajišťuje zařazení induktivních a deduktivních metod do výuky matematiky efektivnější a trvalejší získávání poznatků?  Přispívá pouţití induktivních a deduktivních metod ve výuce matematiky k lepšímu pochopení látky?

666


 Přispívá pouţití induktivních a deduktivních metod ve výuce matematiky k větší schopnosti aplikovat získané vědomosti a dovednosti? Cílem výzkumu bylo ověřit, ţe vhodné zařazování a vyuţívání induktivních a deduktivních metod ve výuce matematiky vede k efektivnějšímu a trvalejšímu získávání poznatků. Na základě těchto faktů byly pro vlastní výzkum stanoveny tyto hypotézy: H1: Pouţití induktivních a deduktivních přístupů a metod ve výuce matematiky zvyšuje úroveň vědomostí ţáků v dané problematice oproti tradičním metodám výkladu. H2: Pouţití induktivních a deduktivních přístupů a metod ve výuce matematiky vede k trvalejšímu získávání vědomostí a dovedností neţ při uplatnění tradičních přístupů. Jako výzkumný prostředek pro verifikaci obou hypotéz H1 a H2 byl vybrán pedagogický experiment. Výzkum spočíval ve zpracování určitého tématu v rámci předmětu Matematika takovým způsobem, aby bylo moţné při výuce zařadit induktivní nebo deduktivní metody. Jako nejvhodnější bylo vzhledem ke všem okolnostem zvoleno téma Lineární funkce. Dále bylo nutné vybrat vhodné střední školy, na kterých mohl experiment proběhnout. Abychom mohli porovnat všechny typy středních škol, experiment byl realizován na střední průmyslové škole, střední škole technické a na dvou gymnáziích. 2.1 Pedagogický experiment Vlastní experiment spočíval v rozdělení vybraného vzorku ţáků na dvě srovnatelné skupiny: kontrolní a experimentální. Rozdělení proběhlo na základě výsledků ze vstupního testu (pretest), který absolvovali všichni ţáci, a který zjistil vstupní úroveň jejich vědomostí a dovedností. V kontrolní skupině byla výuka prezentována běţným způsobem a v experimentální skupině byly při výuce pouţívány induktivní nebo deduktivní metody. Bezprostředně po experimentu proběhlo testování výstupní úrovně poznatků (posttest), které studenti získaly během výuky. Pro zjištění trvalosti poznatků byl s odstupem jednoho měsíce ţákům předloţen test, který opět zjišťuje úroveň vědomostí z daného tématu (retest). 2.1.1 Vzorek pro realizaci výzkumu Z ohledem ke zvoleným hypotézám a celkovému zaměření výzkumu byl experiment realizován s ţáky 1. resp. 2. ročníku středních škol. Na kaţdé škole byla vybrána třída (popř. třídy), která se experimentu zúčastnila. Tato třída byla rozdělena na kontrolní a experimentální skupinu na základě výsledků ze vstupního testu. Vstupní test byl tématicky zaměřen na učivo probírané před experimentem, konkrétně jde o témata „Algebraické výrazy“ a „Mocniny a odmocniny“. Kaţdý ţák byl zařazen do skupiny se stejným počtem bodů, které získal ze vstupního testu (např. jednu z těchto skupin tvořili všichni ţáci, kteří získali 7 bodů z testu, další skupinu představovali všichni se 2 body atd.). Z těchto skupin se stejným počtem bodů byl metodou náhodného výběru (losováním) kaţdý ţák zařazen do kontrolní nebo experimentální skupiny. Díky tomuto postupu jsme získali dvě skupiny, ve kterých byla četnost získaného počtu bodů ze vstupního testu stejná. Věrohodnost hypotéz byla ověřena napříč všemi školami, které se experimentu zúčastnily, došlo také ke srovnání všech typů škol vzhledem k ověřovaným hypotézám. 2.1.2 Testy a získaná data Všechny tři didaktické testy byly sestaveny s ohledem na to, jaké vědomosti, dovednosti a postupy musí ţáci po výkladu daného tématu ovládat. Testy obsahovaly úlohy zaměřené na zapamatování poznatků, porozumění těmto poznatkům a pouţití vědomostí v typových i problémových situacích. Při vytváření jednotlivých testových úloh byly zohledněny příklady,

667


které jsou pouţívány v učebnicích a sbírkách úloh vyuţívaných ţáky při výuce. Kaţdý test obsahoval 15 úloh, čas vymezený na jeho vypracování byl 40 minut. Všechny tři testy (pretest, posttest a retest) byly před započetím vlastního výzkumu standardizovány ţáky středních škol. Standardizace probíhala na pěti středních školách a celkem se jí zúčastnilo 355 ţáků. Při standardizaci psali ţáci jednotlivé testy v těchto termínech: pretest před započetím výuky tématického celku „Lineární funkce“, posttest po ukončení výuky tohoto tématického celku a retest po uběhnutí jednoho měsíce od psaní posttestu. Pomocí didaktického testu jsme získali ordinální data a podle toho byla tato data zpracovávána. Z těchto dat jsme získali aritmetický průměr a směrodatnou odchylku obou skupin. S ohledem na druh získaných dat jsme pouţili pro verifikaci hypotéz Studentův t-test a F-test. 2.1.3 Induktivní a deduktivní metody výuky Cílem zařazení těchto metod do výuky bylo přiblíţit studentům matematiku jako vědeckou disciplínu s ohledem na jejich schopnosti a dovednosti a ozřejmit jim postupy získávání nových vědomostí v matematice. Tímto způsobem se u ţáků přirozeně rozvíjí přehled o vztazích mezi jednotlivými pojmy a oblastmi matematiky. Ţáci jsou vedeni k samostatnému hledání těchto vztahů, vyslovování hypotéz a pokud je to v jejich moţnostech, k jejich následnému ověřování. Naučí se tak přistupovat k řešení problémů a matematizování reálných situací, kriticky ověřovat získané vědomosti a zobecňovat dílčí výsledky konkrétních situací. Velmi motivující je pro studenty fakt, ţe na spoustu postupů a vlastností jednotlivých objektů přicházejí sami, objevují nové dílčí poznatky a sami navrhují, jak je ověřit. To se týká i nejslabších ţáků, kteří jsou tímto způsobem nuceni zapojit se aktivně do výuky. V praxi probíhá výuka následujícím způsobem. Ţákům je předloţen jednoduchý příklad (problém) z běţného ţivota tak, aby co nejvíce ţáků bylo schopno příklad bez věších problémů vyřešit. Na řešení této konkrétní situace navazují další úkoly, které jsou sloţitější a vedou k zobecnění problému, neboli nalezení řešení pro obecnou situaci. Tento postup vede buď k nalezení nového problému, nebo k vyslovení nějaké hypotézy. V případě nalezení nového problému dochází k hledání řešení a v případě vyslovení hypotézy dochází k jejímu ověření. Tímto způsobem ţáci objevují popřípadě ověřují své závěry. Ţáci pracují samostatně na svém řešení a s ním pak seznamují ostatní. Kaţdý nápad je podroben kritice ostatních a následně pouţit k další práci, nebo zavrhnut. Vyučující navozuje další úkoly v závislosti na situaci a koriguje průběh hodiny, dopomáhá k zpřesnění závěrů a hypotéz, pomáhá s jejich ověřováním. Na závěr hodiny jsou shrnuty všechny podstatné skutečnosti, které ţáci objevili a je poukázáno na celkový sled kroků, který těmto objevům předcházel. 3 Výsledky výzkumu Experiment byl proveden na SPŠ Teplice, Střední škole technické AGC a.s., Gymnázium Ústí nad Labem Jateční a Biskupské gymnázium Bohosudov. Celkem se experimentu zúčastnilo 101 studentů čtyř tříd. Kaţdá třída byla rozdělena na základě vstupního testu na dvě skupiny: experimentální a kontrolní. V kontrolní skupině proběhla výuka tradičním způsobem a v experimentální skupině proběhla výuka pomocí induktivních a deduktivních metod. V experimentální skupině bylo celkem 50 studentů a v kontrolní skupině bylo celkem 51 studentů. Pro experiment bylo vyuţito téma „Lineární funkce“. Bezprostředně po experimentu byl studentům obou skupin předloţen didaktický test (posttest), který zjišťoval úroveň vědomostí studentů, které získaly při výuce daného tématu. Výsledky posttestu poté slouţily k verifikaci hypotézy H1. Po uplynutí doby cca 30 dní byl studentům obou skupin předloţen třetí didaktický test (retest), který zjišťoval úroveň vědomostí studentů po delší časové odmlce. Výsledky retestu slouţily k verifikaci hypotézy H2. Nejprve uvedeme tabulku četností, která udává výsledky druhého didaktického testu (posttestu) všech zúčastněných

668


studentů rozdělených do dvou skupin (experimentální a kontrolní). V kaţdém z testů bylo moţné získat maximálně 15 bodů, vţdy 1 bod za správnou odpověď. Tab.1 Výsledky posttestu experimentální a kontrolní skupiny

Experimentální skupina E Počet bodů xi Četnost ni

Kontrolní skupina K

Kumulativní Percentilové četnost pořadí Četnost ni

Kumulativn Percentilové í četnost pořadí

0

0

0

0,0

0

0

0,0

1

0

0

0,0

2

2

2,0

2

0

0

0,0

1

3

4,9

3

0

0

0,0

0

3

5,9

4

4

4

4,0

7

10

12,7

5

0

4

8,0

5

15

24,5

6

8

12

16,0

8

23

37,3

7

3

15

27,0

3

26

48,0

8

2

17

32,0

4

30

54,9

9

4

21

38,0

4

34

62,7

10

7

28

49,0

2

36

68,6

11

5

33

61,0

5

41

75,5

12

3

36

69,0

3

44

83,3

13

5

41

77,0

1

45

87,3

14

4

45

86,0

5

50

93,1

15

5

50

95,0

1

51

99,0

3.1 Studentův t-test Pro verifikaci hypotéz pomocí statistických operací byl pouţit Studentův t-test. Studentův t-test je jedním z nejznámějších statistických testů významnosti (viz. 7), který pouţíváme pro vyhodnocování metrických dat. Pomocí tohoto testu lze rozhodnout, jestli dva soubory dat, která jsou získána ve dvou různých skupinách objektů, mají stejný aritmetický průměr. Abychom mohli pouţít tento statistický test významnosti, musíme nejprve formulovat nulovou a alternativní hypotézu (H0, HA), přičemţ alternativní hypotéza přímo vychází z hypotézy, jejíţ platnost ověřujeme (věcnou hypotézu jsme tímto převedli na hypotézu statistickou): 3.2 Ověřování hypotézy H1: K ověřování hypotézy H1 jsme pouţívali výsledky získané z posttestu. H0: Mezi průměrným počtem bodů získaných z posttestu dosaženým ve skupině E a průměrným počtem bodů dosaženým ve skupině K není statisticky významný rozdíl. HA: Mezi dosaženými průměry v obou skupinách je statisticky významný rozdíl. Zvolená hladina významnosti: α = 0,05

669


Tab.2 Dílčí výsledky obou skupin pro výpočet testového kritéria

Experimentální skupina

Kontrolní skupina

nE = 50

nK = 51

Σ xi = 494

Σ xi = 403

Σxi2 = 5442

Σxi2 = 3869

průměr ΦE = 9,88

průměr ΦK = 7,9

rozptyl sE = 3,38

rozptyl sK = 3,7

Odpověď na otázku, kterou z vyslovených hypotéz (H0, HA) můţeme na zvolené hladině významnosti přijmout, nám poskytne následující výpočet parametru t.    n* n t E K E K(1) s n  n E K 2  1  2 2  s  x    x         Ei E Kj K   n  n  2   (2)   E K



s



s2

(3)

Po výpočtu parametru t se tento parametr porovná s kritickou hodnotou (tu nalezneme v tabulkách) Studentova t-testu pro zvolenou hladinu významnosti a počet stupňů volnosti f: f n  n  2 (4) E K

Tab.3 Vypočítané testové kritérium, jeho tabulkové hodnoty pro daný počet stupňů volnosti

vypočtené testové kritérium počet stupňů volnosti tabulková (kritická) hodnota na hladině významnosti α = 0,05 pro 100 stupňů volnosti tabulková (kritická) hodnota na hladině významnosti α = 0,01 pro 100 stupňů volnosti

t = 2,8018 f = 98 t0,05(100) = 1,984

t0,01(100) = 2,626

Protoţe vypočítaná hodnota parametru t je větší neţ hodnota kritická (t = 2,8018 > t0,05(26) = 1,984), odmítáme nulovou hypotézu H0. Zjistili jsme tedy, ţe na hladině významnosti α = 0,05 je mezi průměrným počtem bodů v experimentální skupině a průměrným počtem bodů v kontrolní skupině statisticky významný rozdíl. Z výše provedených úvah a dílčích výsledků výzkumu vyplývá, ţe na zvolené hladině významnosti můţeme přijmout hypotézu H1. Nyní uvedeme tabulku četností, která udává výsledky třetího didaktického testu (retestu) všech zúčastněných studentů rozdělených do dvou skupin (experimentální a kontrolní).

670


Tab.4 Výsledky retestu experimentální a kontrolní skupiny

Experimentální skupina E Počet bodů xi Četnost ni

Kontrolní skupina K Kumulativní Percentilové četnost pořadí Četnost ni

Kumulativní Percentilové četnost pořadí

0

0

0

0,0

0

0

0,0

1

1

1

1,0

1

1

1,0

2

2

3

4,2

3

4

4,8

3

1

4

7,3

1

5

8,7

4

2

6

10,4

4

9

13,5

5

4

10

16,7

3

12

20,2

6

2

12

22,9

6

18

28,8

7

7

19

32,3

6

24

40,4

8

6

25

45,8

3

27

49,0

9

0

25

52,1

3

30

54,8

10

1

26

53,1

4

34

61,5

11

5

31

59,4

3

37

68,3

12

3

34

67,7

5

42

76,0

13

2

36

72,9

2

44

82,7

14

3

39

78,1

4

48

88,5

15

9

48

90,6

4

52

96,2

3.3 Ověřování hypotézy H2: K ověřování hypotézy H2 jsme pouţívali výsledky získané z retestu a pro její verifikaci jsme pouţili Studentův t-test. Postup byl obdobný jako v předchozím případě. H01: Mezi průměrným počtem bodů získaných z retestu dosaženým ve skupině E a průměrným počtem bodů dosaženým ve skupině K není statisticky významný rozdíl. HA1: Mezi dosaženými průměry v obou skupinách je statisticky významný rozdíl. Zvolená hladina významnosti: α = 0,05 Tab.5 Dílčí výsledky obou skupin pro výpočet testového kritéria

Experimentální skupina

Kontrolní skupina

nE = 48

nK = 51

Σ xi = 449

Σ xi = 444

2

Σxi = 5037

Σxi2 = 4602

průměr ΦE = 9,35

průměr ΦK = 8,54

rozptyl sE = 4,22

rozptyl sK = 3,99

671


Odpověď na otázku, kterou z vyslovených hypotéz (H01, HA1) můţeme na zvolené hladině významnosti přijmout, nám poskytne obdobný výpočet parametru t a porovnání vypočteného parametru t s kritickou hodnotou, kterou nalezneme v tabulkách Studentova t-testu pro zvolenou hladinu významnosti a počet stupňů volnosti f (viz. 7). Tab.6 Vypočítané testové kritérium, jeho tabulkové hodnoty pro daný počet stupňů volnosti

vypočtené testové kritérium počet stupňů volnosti tabulková (kritická) hodnota na hladině významnosti α = 0,05 pro 100 stupňů volnosti tabulková (kritická) hodnota na hladině významnosti α = 0,01 pro 100 stupňů volnosti

t = 0,99 f = 98 t0,05(100) = 1,984

t0,01(100) = 2,626

Protoţe vypočítaná hodnota parametru t je menší neţ hodnota kritická (t = 0,99 < t0,05(26) = 1,984), přijímáme nulovou hypotézu H01. Zjistili jsme tedy, ţe na hladině významnosti α = 0,05 není mezi průměrným počtem bodů v experimentální skupině a průměrným počtem bodů v kontrolní skupině statisticky významný rozdíl. Z výše provedených úvah a dílčích výsledků výzkumu vyplývá, ţe na zvolené hladině významnosti nemůţeme přijmout hypotézu H2. 4 Závěr Výsledky popsaného výzkumu potvrdily hypotézu H1, v níţ jsme předpokládali, ţe experimentálně induktivní a deduktivní přístup k výuce matematiky na středních školách je efektivnější a pro studenty zajímavější neţ přístup tradiční. Dále lze z dostupných výsledků přijmout fakt, ţe hypotéza H2, v níţ jsme předpokládali, ţe experimentálně induktivní přístup k výuce matematiky na středních školách vede k trvalejšímu získávání vědomostí a dovedností neţ při uplatnění tradičních přístupů, nebyla potvrzena. 5 Použité zdroje BŘEHOVSKÝ, J., EMANOVSKÝ, P.: Induktivní a deduktivní přístupy ve výuce matematiky na SŠ. In Sborník z XXVII. mezinárodního kolokvia o řízení vzdělávacího procesu, Brno, 2009, 31. ISBN 978-80-7231-650-2

EMANOVSKÝ, P. Moţnosti experimentálně induktivního přístupu ve vysokoškolské výuce matematiky. In Sborník z XIX. Mezinárodního kolokvia o řízení osvojovacího procesu, Vyškov, 2001, s. 87-89. ISBN 80-7231-071-2. CHRÁSKA, M.: Metody pedagogického výzkumu. Praha. Grada, 2007 ISBN 978-802471369-4 CHRÁSKA, M.: Didaktické testy. Brno: Paido, 1999. ISBN 80-85931-87-7 KOPKA, J. Jak přednášet budoucím učitelům matematiky? In Sborník příspěvků z Mezinárodní konference kateder matematiky fakult připravujících učitele matematiky, Liberec, 2000, s. 21 – 32. KOPKA, J. Jak s ţáky opravdu tvořit matematiku? In Zborník príspevkov z 2. Konferencie učiteĺov matematiky na tému „Autentické vyučovanie a využitie medzipredmetových vzťahov vo vyučovaní matematiky“, Banská Bystrica, 2000, s. 7 - 14. KOPKA, J. Hrozny problémů ve školské matematice. Acta Universitatis Purkynianae 40, Matematica I, Ústí nad Labem, 1999. KOPKA, J. Výzkumný přístup při výuce matematiky. Acta Universitatis Purkynianae 133, 672


Matematica, Ústí nad Labem, 2007. Recenzent: Doc. RNDr. Petr Emanovský, PhD., Katedra algebry a geometrie PřF UP Olomouc, email: [email protected]

673

INDUKTIVNÍ A DEDUKTIVNÍ PŘÍSTUPY VE VÝUCE MATEMATIKY NA SŠ INDUCTIVE AND DEDUCTIVE METHODS IN TEACHING OF MATHEMATICS AT SECONDARY SCHOOL

Recommend Documents