II. kolo kategorie Z5 Z5–II–1 Z čísel 959 362 a 192 075 vyškrtneme celkem 5 číslic. Pak od většího z takto vzniklých čísel odečteme číslo menší. Jaký nejmenší rozdíl můžeme dostat? (Bednářová) Řešení. Z jednoho čísla vyškrtneme 2 číslice, z druhého 3 číslice, a to tak, aby první číslo (2 vyškrtnuté číslice) bylo co nejmenší a druhé (3 vyškrtnuté číslice) bylo co největší. Jsou tedy dvě možnosti: 1. 2 číslice z 959 362 a 3 číslice z 192 075: 5 362 − 975 = 4 387, 2. 2 číslice z 192 075 a 3 číslice z 959 362: 1 075 − 996 = 79 Nejmenší rozdíl, který můžeme dostat, je 79. Z5–II–2 Když se dva obdélníky skamarádí, spojí se stranami tak, aby měly alespoň jeden vrchol společný. Po skamarádění 2 obdélníků vznikl obrázek: 42
24
19 27 Urči, jaké mohly být rozměry původních obdélníků.
(Dillingerová)
Řešení. Jsou dvě možnosti: 1. jeden obdélník 42 cm a 24 cm, druhý 27 cm a 19 cm 2. jeden obdélník 27 cm a 43 cm, druhý 15 cm a 24 cm Z5–II–3 Pan Majer chová 25 beránků a 30 oveček. Jednoho beránka ostříhá za čtvrt hodiny. Ostřihání 5 oveček mu trvá stejně dlouho jako ostřihání 4 beránků. Co mu bude trvat déle: ostřihání všech oveček anebo všech beránků? O kolik minut? (kolektiv autorů) Řešení. Ze zadání vyplývá, že pan Majer ostřihá za 1 hodinu 4 beránky a za tutéž dobu 5 oveček. Všechny ovečky ostříhá za 30 : 5 = 6 hodin. Za 6 hodin ale ostříhá jen 6 · 4 = = 24 beránků (jeden zbyde neostřihaný). Déle bude střihat beránky, a to o 15 minut.
II. kolo kategorie Z6 Z6–II–1 Tatínek vyřízl z kartonu čtvercového tvaru rámeček o šířce 4 cm. Obsah rámečku je 320 cm2 . Zjisti vnější a vnitřní rozměr rámečku. (Hozová) Řešení. Nejprve si rámeček rozdělíme na 4 shodné obdélníky. Obsah každého z nich je 320 : 4 = 80 cm2 . Šířka tohoto obdélníka je 4 cm. Délka tedy je 80 : 4 = 20 cm. Z obrázku je vidět, že vnitřní rozměr rámečku je 20−4 = 16 cm, vnější rozměr rámečku je 20+4 = 24 cm.
Z6–II–2 a) Máš tyto kartičky s čísly: 1
2
3
4
Použij všechny kartičky a sestav z nich dvě čísla tak, aby jejich rozdíl byl co nejmenší. b) Máš tyto kartičky s čísly: 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Použij všechny kartičky a sestav z nich dvě čísla tak, aby jejich rozdíl byl co nejmenší. (Volfová) Řešení. a) Žáci zřejmě budou zkoušet různé kombinace takových čísel: 43 − 21 = 22, 42 − 31 = 11, 41 − 32 = 9, 34 − 21 = 13, 32 − 14 = 18, 31 − 24 = 7. Jistě přijdou na to, že číslice na místě desítek u obou čísel se musí lišit jen o 1 a dále že „zbývajícíÿ číslice u většího z čísel musí být co nejmenší. Výsledkem jsou tedy čísla 31 a 24. b) V tomto příkladu využijí poznatků z části a). Najdou tak dvojici čísel 50 123 a 49 876, jejichž rozdíl je 247.
Z6–II–3 Paní Hodná koupila dva stejné balíčky lentilek. Pět jejích dětí si je spravedlivě rozdělilo mezi sebe. Každé dostalo 6 lentilek a ty co už nešly rozdělit, snědla paní Hodná. Pan Hodný koupil 4 balíčky lentilek (stejné jako jeho žena). Děti si lentilky opět spravedlivě rozdělily a ty co už nešly rozdělit, snědl pan Hodný. Kolik lentilek je v krabičce, když víš, že pan Hodný snědl méně lentilek než jeho žena? (Bednářová) Řešení. 1) Paní Hodná: Děti snědly dohromady 6 · 5 = 30 lentilek. Protože paní Hodná koupila 2 stejné balíčky, musel být nerozdělitelný zbytek sudé číslo, tedy 2 nebo 4 lentilky. V jednom balíčku tedy mohlo být buď (30 + 2) : 2 = 16, nebo (30 + 4) : 2 = 17 lentilek. 2) Pan Hodný: Ve čtyřech balíčcích potom mohlo být 4 · 16 = 64 nebo 4 · 17 = 68 lentilek. Děti pak dohromady snědly 60 (balíček po 16 lentilkách) nebo 65 (balíček po 17 len tilkách) lentilek. Na pana Hodného pak zbyly buď 4 (balíček po 16 lentilkách), nebo 3 (balíček po 17 len tilkách) lentilky. Protože pan Hodný snědl méně lentilek než paní Hodná, muselo být v jednom balíčku 17 lentilek.
II. kolo kategorie Z7 Z7–II–1 V čísle 9 876 543 210 123 456 789 škrtni několik číslic tak, aby vzniklo co největší zrca dlové číslo (tedy takové, co zůstává stejné, ať je čteme zleva doprava či naopak), které je dělitelné číslem 36. (Bednářová) Řešení. Číslo je dělitelné číslem 36, je-li dělitelné čísly 9 a 4 (36 = 9 · 4). Původní číslo je dělitelné devíti, je tedy nutno vyškrtnout jen ty číslice, jejichž součet je dělitelný devíti. Nejdříve škrtneme devítku, neboť číslo končící devítkou není dělitelné čtyřmi: 87 654 321 012 345 678. a) Aby bylo číslo končící číslicí 8 dělitelné čtyřmi, musí být poslední dvojčíslí dělitelné čtyřmi, tj. 08, 28, 48, 68, 88: – 08: nemá řešení, neboť 808 není dělitelné devíti, – 28: nemá řešení, neboť ani 8210128, ani 821128, ani 82028 nejsou dělitelná devíti, – 48: má řešení 84 321 012 348, škrtneme-li číslice 5, 6, 7, vznikne 11ciferné číslo, – 68: je nejvhodnější, vznikne 13ciferné číslo 8 654 310 134 568, škrtneme-li číslice 7 a 2 nebo 12ciferné číslo 865 431 134 568, škrtneme-li číslice 7, 2, 0, – 88: nemá řešení, neboť 88 není dělitelné devíti. Uvažujme o čísle končícím na číslici 6: 6 543 210 123 456. b) aby bylo číslo končící číslicí 6 dělitelné čtyřmi, musí mít poslední dvojčíslí 16, 36, 56: – 16: nemá řešení, neboť 61 016 ani 6 116 nejsou dělitelná devíti, – 36: má řešení, vznikne pěticiferné číslo 63 036, škrtneme-li číslice 5, 4, 2, 1 nebo čtyř ciferné číslo 6 336, škrtneme-li číslice 5, 4, 2, 1, 0, – 56: má řešení, vznikne 11ciferné číslo 65 421 012 456, škrtneme-li číslice 3, nebo dese ticiferné číslo 6 542 112 456, škrtneme-li číslice 3, 0. Odpověď : Největší z daných zrcadlových čísel je 13ciferné číslo 8 654 310 134 568. Z7–II–2 Míša změřila strany narýsovaného trojúhelníka a s překvapením zjistila: „To je zvlášt ní; když vynásobím délky všech tří stran trojúhelníka s počtem korun, které mám v pe něžence, dostanu číslo, které je letopočtem 2004.ÿ Kolik mohla mít Míša peněz? Najdi všechna řešení. (Hozová) Řešení. 2004 = 2 · 2 · 3 · 167. Číslo 2004 napíšeme jako součin čtyř čísel: 2004 = 1 · 1 · 1 · 2004 = 1 · 1 · 2 · 1002 = 1 · 1 · 3 · 668 = 1 · 1 · 4 · 501 = 1 · 1 · 6 · 334 = 1 · · 1 · 12 · 167 = 1 · 2 · 2 · 501 = 1 · 2 · 3 · 334 = 1 · 2 · 6 · 167 = 1 · 3 · 4 · 167 = 2 · 2 · 3 · 167 Největší čísla v jednotlivých součinech nemohou vyjadřovat délku strany, znamenají tedy počet korun. U zbývajících tří čísel je třeba uvážit, zda splňují trojúhelníkovou ne rovnost. Strany trojúhelníka splňují tyto trojice: (1, 1, 1), (1, 2, 2) a (2, 2, 3). Odpověď : Úloha má tři řešení. Jsou-li strany trojúhelníka (1, 1, 1), má Míša 2004 Kč, jsou-li strany (1, 2, 2), má 501 Kč, jsou-li strany (2, 2, 3), má Míša 167 Kč.
Z7–II–3 V rovnoběžníku ABCD je |AB| : |BC| = 1 : 2 a | XDA| = α, kde X je střed BC. Jaká je velikost úhlu XAD? (Ptáčková) Řešení. „Přidámeÿ ještě jeden shodný rovnoběžník BEF C (obr.). Vznikne kosočtverec AEF D, který má kolmé úhlopříčky; proto je | AXD| = 90◦ ; | XAD| = 90◦ − α. D
C
F
α
90 ◦ −α
X
A
B
E
II. kolo kategorie Z8 Z8–II–1 Myslím si dvě dvojciferná čísla. Pokud první z nich vydělíme druhým, dostaneme zbytek 45. Pokud druhé vydělíme prvním, dostaneme zbytek 34. Jaké čísla si myslím? (Bednářová) Řešení. Označme první hledané číslo a a druhé b. První zbytek je 45 a druhý 34. Pokud oba zbytky sečteme, dostaneme číslo 79. Nyní stačí položit a = 45 a b = 79. Z8–II–2 Úhlopříčka dělí lichoběžník na dvě části, jejichž obsahy jsou v poměru 2 : 3. V jakém poměru jsou obsahy dvou částí, na které dělí tento lichoběžník jeho střední příčka? (Bednářová) Řešení. Ze zadání je zřejmé, že jedna základna lichoběžníka je dlouhá 3 díly a druhá 2 díly. Proto je jeho střední příčka dlouhá 52 dílu. Poměr částí na které dělí střední příčka lichoběžník je poměrem obsahů „malýchÿ lichoběžníků. Tedy 2+ 3+ Střední příčka dělí lichoběžník v poměru
5 2 5 2
=
9 . 11
9 11 .
Z8–II–3 Po sezóně zbyly v prodejně letní trička za 70 Kč. Majitel prodejny snížil jejich cenu o více než 25 %, ale o méně než 50 %. Nová cena vyjádřená v korunách je celé číslo. Všechna takto zlevněná trička prodal a získal za ně 2 430 Kč. Kolik triček prodal po zlevnění? (Hozová) Řešení. Trička po zlevnění mohla stát nejméně 36 a nejvíce 52 korun. Rozložme číslo 2430 na součin prvočísel, 2430 = 2 · 35 · 5. Z rozkladu nyní musíme vytvořit číslo, které je větší nebo rovno 36 a menší nebo rovno 52. Jediná možnost je 45. Cena trička po zlevnění byla 45 Kč a majitel prodejny prodal celkem 54 zlevněných triček.
II. kolo kategorie Z9 Z9–II–1 Tělesová úhlopříčka kvádru měří 17 cm. Jaké mohou být rozměry takového kvádru, jsou-li v cm vyjádřeny navzájem různými přirozenými čísly? (Ptáčková) Řešení. Označme strany kvádru a, b, c a úhlopříčky (stěnovou i tělesovou jako na ob rázku).
ut c us
b a Z Pythagorovy věty plyne, že
u2s = a2 + b2 ,
u2t = u2s + c2 .
Vzhledem k zadání platí, že 172 = u2s + c2 . Po dosazení za u2s dostáváme rovnici: 172 = a2 + b2 + c2 . Hledáme tedy takovou trojici přirozených čísel, aby součet jejich druhých mocnin byl 17 2 , tedy 289. Tomu vyhovují pouze čísla 12, 9 a 8. Rozměry kvádru jsou 12 cm, 9 cm a 8 cm. Z9–II–2 V delfináriu měli jednotné vstupné 4 euro. Poslední neděli snížili vstupné, tím se počet návštěvníků zvýšil o dvě třetiny a příjem v pokladně stoupl o 25 %. O kolik euro bylo sníženo vstupné? (Krejčová) Řešení. Označíme n počet návštěvníků před slevou a x cenu lístku po slevě. Ze zadání úlohy plyne rovnice 2 n + n · x = 4 · n · 1,25. 3 Odtud po úpravě dostaneme, že x = 3. Nová cena je tedy 3 euro, vstupné bylo sníženo o 1 euro.
Z9–II–3 Moderní čísla jsou taková, jejichž některé 4 po sobě jdoucí číslice jsou 2, 0, 0, 3 (v tomto pořadí). Najděte nejmenší moderní číslo, které se dá beze zbytku dělit každou svou nenu lovou číslicí. (Bednářová) Řešení. Ze zadání je patrné, že hledané číslo musí být sudé. Musíme tedy na poslední místo přidat sudou číslici. Současně, ale musí být hledané číslo dělitelné třemi a to lze splnit jen pokud přidáme 4. Dostaneme tak číslo 20 034, to však není dělitelné 4. Vidíme, že přidat jednu cifru nestačí. Pokud budeme „na konecÿ přidávat dvě cifry, tak ihned vidíme, že nejmenší možné moderní číslo je 200 304. Ještě bychom mohli přidávat jednu cifru na první místo a jednu na poslední. Vzhledem k tomu, že už máme nalezeno číslo 200 304 nemá smysl dát na první číslo jinou cifru než 1. Hledáme tedy moderní číslo ve tvaru 120 03∗, kde ∗ je sudé číslo. Vidíme, že číslo 120 030 je moderní a je nejmenší možné. Z9–II–4 Jakou částí obsahu obdélníka je kosočtverec KLM N ?
(Hozová)
N 30
◦
30◦
K
M
L Řešení. Lze očekávat, že žáci budou postupovat různě. Využít lze goniometrických funkcí, Pythagorovy věty a vlastností trojúhelníků. Ukažme jeden možný postup. Vzhledem k symetrii se omezíme na „horní levouÿ čtvrtinu obdélníka. Dostaneme tak následující obrázek.
A
N 30◦
30◦ 30◦
T
K
S
U
Máme tedy určit, jakou část obdélníka T U N A tvoří trojúhelník KU N . Bod S je střed úsečky T U . 4AT S je „polovinouÿ rovnostranného trojúhelníka (velikosti jeho vnitřních úhlů jsou 30◦ , 60◦ , 90◦ ). Protože v každém rovnostranném trojúhelníku je každá těžnice zároveň výškou a navíc půlí vnitřní úhel trojúhelníka, je T S „těžnicíÿ a AK „částí těžniceÿ. Bod K je „těžištěmÿ. Proto |KS| = 2 · |KT | a |KU | = 56 |T U |. Obsah trojúhelníka KU N je 5 5 12 obsahu obdélníka AT U N . Kosočtverec KLM N tedy zabírá 12 plochy daného obdélníka.
III. kolo kategorie Z9 Z9–III–1 Najdi taková dvě čísla, pro která současně platí: – jedno je dvojciferné a druhé je trojciferné, – obě končí stejnou cifrou, – jejich druhé mocniny končí stejným trojčíslím, – jejich druhé odmocniny jsou celá čísla a končí stejnou číslicí.
(Dillingerová)
Řešení. Ze zadání je patrné, že hledané dvouciferné číslo musí být některé z čísel 25, 36, 49, 64, 81. Vzhledem k tomu, že druhé mocniny hledaných čísel končí stejným trojčíslím, je hledané trojciferné číslo ve tvaru ∗25, ∗36, ∗49, ∗64, ∗81. Toto číslo má být zároveň druhou mocninou nějakého přirozeného čísla a to splňují pouze čísla 225, 625. Nyní se již snadno se ověří, že úloha má dvě řešení (25, 225) a (25, 625). Z9–III–2 Mám červenou kuličku, která má stejnou hmotnost jako zelená a bílá dohromady. Modrá kulička se žlutou má stejnou hmotnost jako tři bílé. Dvě zelené a dvě bílé mají stejnou hmotnost, co modrá s bílou. A konečně červená a modrá kulička vyváží dvě zelené, žlutou a dvě bílé. Které dvě kuličky různých barev mají stejnou hmotnost? (Ptáčková) Řešení. Pomocí symbolů zapíšeme vztahy: č = z + b, m + ž = 3b, 2z + 2b = m + b, č + m = 2z + ž + 2b. Dosadíme z první rovnice do čtvrté, upravíme třetí a dostaneme m + ž = 3b, 2z + b = m, z + b + m = 2z + ž + 2b. Po úpravě platí:
m + ž = 3b, 2z + b = m, m = z + ž + b.
Pak ze druhé a třetí rovnice plyne, že stejnou hmotnost mají zelená a žlutá kulička.
Z9–III–3 Jakou částí obsahu obdélníka je pravidelný šestiúhelník KLM N OP ? D
(Hozová)
C
O
N
P
M
K
30◦ 30◦
L
60◦
30◦
60◦
A
B
Řešení. Lze očekávat, že žáci budou postupovat různě. Využít lze goniometrických funkcí, Pythagorovy věty a vlastností trojúhelníků. Ukažme jeden možný postup. Vzhledem k symetrii se omezíme na „horní pravouÿ čtvrtinu obdélníka. Přidáme vhodné úsečky a dostaneme tak následující obrázek. C
N
S
3 16
M
Nyní je již i bez dalších výpočtů zřejmé, že pravidelný šestiúhelník KLM N OP zabírá čtverce ABCD.
Z9–III–4 V Janině třídě je 40 % chlapců. Jejich průměrná výška je 145 cm. Průměrná výška všech dětí v Janině třídě je 142 cm. Ve své třídě je Jana mezi děvčaty nadprůměrně vysoká, ale je
menší než je průměrná výška všech dětí v její třídě. Zjistěte, kolik Jana měří, pokud víte, že její výška je v centimetrech celé číslo. (Bednářová) Řešení. Shrňme všechny známé údaje do tabulky: chlapci 40 %, tj. 2 díly průměrná výška . . . 145 cm dívky 60 %, tj. 3 díly průměrná výška . . . x cm Pak platí (vážený aritmetický průměr): 2 · 145 + 3 · x = 142. 5 Odtud po úpravě dostáváme, že x = 140. Průměrná výška dívek je tedy 140 cm. Jana je vyšší, ale menší než 142 cm (což je průměrná výška celé třídy), proto měří 141 cm.
