Ì ÖØ ÐÓÑ ÝÞ ½º Ú Þ Ø ½ ¾º Ì Þ º ÊÅ ÊÅ ¹ Ê À ÑÓ ÐÐ Ô Ö Ñ Ø Ö Ð º½º ÊÅ ÊÅ ¹ Ê À ÑÓ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½º ÊÅ ÑÓ ÐÐ º º º

Pénzügyi id®sorok el®rejelzése ARMA-GARCH módszerekkel

Diplomamunka

Írta: Merész Gabriella

Alkalmazott matematikus szak

Témavezet®k:

dr. habil. L®rin z András (CS ), Szabó Zoltán (PhD) Programozáselmélet és Szoftverte hnológiai Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem, Informatikai Kar

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 2012

Tartalomjegyzék

1. Bevezetés

1

2. Tézisek

3

3. ARMA, ARMA-GARCH modellek és paraméterbe slésük

4

3.1. ARMA és ARMA-GARCH modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

3.1.1. ARMA modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

3.1.2. ARMA-GARCH modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

3.2. Modell indentiká ió módszerei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

3.2.1. EM módszer

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

3.2.2. Subspa e módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3.2.3. Subspa e-EM módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

3.2.4. Rekurzív legkisebb négyzetes módszer . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

4. Numerikus kísérletek

10

4.1. Vizsgált kérdések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.2. Adatbázisok ismertetése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.2.1. Különböz® típusú mintavételezés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.3. Választott paraméter tartomány

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.3.1. A be slés folyamata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.3.2. Paraméter tartomány

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.4. Alkalmazott jóság mér ék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.5. Eredményeim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.5.1. ARMA modell eredményei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.5.2. RLS módszer eredményei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.5.3. ARMA-GARCH modellel elért eredmények . . . . . . . . . . . . . . 28 4.5.4. Eredmények a heti mintavételezés¶ adatokon . . . . . . . . . . . . . 40 4.5.5. ARMA modell és a "high-low" segítségével elért eredmények . . . . . 46 4.5.6. ARMA-GARCH modell és a "high-low" segítségével elért eredmények 54 5. Konklúzió

69

1

Köszönetnyilvánítás

Köszönetet mondok témavezet®imnek dr. habil. L®rin z Andrásnak (CS ), Szabó Zoltánnak (PhD), akik lehet®séget és segítséget biztosítottak munkám sikeres elvégzéséhez és dolgozatom megírásához. Különösen köszönöm a segít®kész támogatását és dolgozatom alapos és kritikus átnézését. Hálás vagyok tanáraimnak, akik nélkülözhetetlen szakmai tudással alapozták meg munkámat, és hozzájárultak szakmai fejl®désemhez. Köszönöm szüleimnek, akik egyetemi éveim alatt támogattak, és barátaimnak, akik szakmai és emberi oldalukkal is hozzájárultak sikeres diplomamunkámhoz.

1. fejezet

Bevezetés

Az id®sorok elemzése és predik iója igen jelent®s feladat napjainkban. Fontos a mögötte rejl® dinamika felismerése és modellezésének segítségével az el®rejelzés. Számos területen használják fel az eddig kifejlesztett be slési és predik iós módszereket. Ezek közé tartozik az id®járás el®rejelzés, az agyhullámok vizsgálata, a gazdasági mutatók el®rejelzése, a jelfeldolgozás és a pénzügyi id®sorok. A t®zsdei vagy pénzügyi id®sorok elemzésér®l már széles szakirodalom áll rendelkezésre, dolgozatomban ezzel fogok foglalkozni. Ezekbe vezet be Ruey S. Tsay (2002) könyve ( [1℄). Az id®sorok normalizálását tekintve a ikkek általában vagy az egyszer¶ hozamot vagy a logaritmikus hozamot használják ( [28℄), én az egyszer¶ hozamot vizsgáltam. A jóság mér éje leginkább az abszolút eltérés, azaz a be sült és valós adatok különbségének abszolút értéke ( [2, 5, 7, 9, 10℄), de találkozunk prot alapú ( [9℄) mér ével is, én ezt vizsgálom numerikus kísérleteim során. Így azt mutatom meg, hogy a predik ió segítségével adott befektetési intervallumon milyen prot érhet® el. Az id®sor analízis az id®sorok statisztikai elemzésével foglalkozik, vizsgálatának tárgya az id®sorokon mutatkozó tenden iák, rejtett periódusok kimutatása, valamint ezek be slése, predik iója. Sz¶rési folyamatok terén nagy el®relépést értek el a Kálmán-sz¶r® segítségével ( [11, 12℄). Az id®sor analízisben kiugró szerepet tulajdonítanak az úgynevezett lineáris módszereknek, az ARMA és ARMA-GARCH modellezésnek ( [13, 14℄). Az ARMA modell zajáról feltesszük, hogy ez i.i.d. (független azonos eloszlású), ezt gyengíthetjük, amennyiben az ARMA-GARCH modellt alkalmazzuk. Meggyelhet® pénzügyi id®sorok esetén, hogy kis értékeket gyakran követ szintén kisebb, nagyobbakat pedig nagy. Ez alapján feltehetjük, hogy a hibatagban valamiféle dinamika van ( [37℄) és ezt az ARMA-GARCH modellel közelíthetjük. Fontos megismerni, hogy a már több területen alkalmazott modell be slési módszerek hogyan viselkednek pénzügyi id®sorok esetén. Én ezek közül az EM (Expe tation Maximization), subspa e, subspa e-EM módszert és az RLS (Re ursive Least Squares) algoritmust viszgáltam. A t®zsdei indexek jól kereskedhet® termékek, adataik könnyen hozzáférhet®ek, így ezek

1

jósolhatóságát vizsgálom, protorientált szempontból. Az általam használt id®sorok külföldi t®zsdék indexeinek (DIA (Dow Jones Industrial Average), Russell2000 és Nikkei225 (Tokiói t®zsde indexe)) napi és heti mintavételezés¶ árai, ugyanis több ikkben is olvasható ( [4,6,7,9℄), hogy napi mintavételezés helyett heti adatokat vizsgálva er®sebb dinamika gyelhet® meg így predikálhatóbb az id®sor. Segédváltozók hozzávételével a be slés pontossága gyakran javítható, ezért több dimenziós id®sorokat is megvizsgáltam, ahol a záróár mellé a napi legnagyobb és legala sonyabb kereskedési ár különbségét is felhasználtam a modellezés során. Pénzügyi termékek múltjának minden határon túli gyelembevétele gyakran káros hatással van a modellezésre, emiatt érdemes lehet a múltbéli értékeket folyamatosan elfelejteni. Emiatt a rekurzív (online) te hnikák is érdekesek, ezek közül az RLS módszert alkalmaztam. Dolgozatom során ezekkel a f®bb irányokkal foglalkozom. A 2. fejezetben ismertetem a téziseimet, f®bb kérdéseket amiket numerikus kísérleteim során vizsgáltam. A 3. fejezetben egyrészt bemutatom az id®sorokra kísérleteim során alkalmazott lineáris modelleket, azaz az ARMA és ARMA-GARCH modelleket, majd a második felében a modell paramétereinek be sléséhez kísérleteim során használt matematikai módszereket (EM, subspa e, subspa e-EM és RLS) ismertetem. A 4. fejezetben a kísérleteimre térek rá. El®ször sorra veszem az id®sorokat, amiket használtam, az id®sorok különböz® típúsait, a mintavételezés különböz® típusait, majd ismertetem a modellezés során használt paraméter tartományokat, illetve magának a predik iónak a folyamatát. Ezt követ®en még az eredmények ismertetése el®tt bemutatom az általam használt jóság mér éket. Kísérleteim eredményét ezután foglalom össze 6 alfejezetben. El®ször 1 dimenziós, napi mintavételezés¶ id®soron az ARMA modellezés eredményét mutatom be subspa e, subspa e-EM, EM és RLS módszerekkel, majd pedig ezeket a módszereket alkalmazva az ARMA-GARCH modellel predikálok. Ezt követ®en bemutatom a heti mintavételezés¶ adatokon elért eredményeket, majd pedig 2 dimenziós ARMA és ARMA-GARCH modellek alkalmazásával kapott be slések teljesítményét. Az 5. fejezetben összefoglalom a kísérletek eredményét, numerikus tapasztalataimat.

2

2. fejezet

Tézisek

Dolgozatom során pénzügyi id®sorokra kon entrálok, amelyek be sülhet®ségének jóságát nem az abszolút eltérésben mérem, hanem egyrészt a növekedés/ sökkenés predik iójának helyessége, másrészt a modell, és predik ió által elérhet® prot alapján. Legf®bb törekvésem az abszolút eltérésen keresztül már meggyelt, tanulmányozott eredmények és a pénzügyi id®sorok be sülhet®ségének igazolása. A következ®ket vizsgáltam és igazoltam:

• A klasszikusan használt abszolút eltérés helyett a pénzügyileg jobban motivált, prot alapú jóságmér ékkel vizsgáltam meg a pénzügyi id®sorok el®rejelezhet®ségét.

• A hagyományos i.i.d.(független azonos eloszlás) feltevéssel él® ARMA folyamat modell alkalmazhatóságát a pénzügyi id®sorokhoz jobban illeszked® ARMA-GARCH folyamat modellel, több pénzügyi termékre (DIA, Russell2000, Nikkei225) és gazdasági id®szaktípusra (növekedést mutató és törést tartalmazó id® intervallumok) numerikusan hasonlítottam össze.

• Az ARMA/ARMA-GARCH modellek be slésére a vizsgált pénzügyi el®rejelzési feladaton 4 identiká iós módszer (EM, subspa e, subspa e-EM, RLS) numerikus összevetését végeztem el.

• Több dimenziós ARMA és ARMA-GARCH modellek alkalmazásával tanulmányoztam a predik iós feladaoktban a segédváltozók gyelembevételét. Numerikus eredményeim azt mutatják, hogy a legmagasabb-legala sonyabb ár gyelembevétele pontosabb be slést tud eredményezni.

• Összevetettem a napi és heti mintavételezés alkalmazhatóságát. Numerikus kísérleteim a heti mintavételezési gyakoriság el®nyösebb voltát igazolják.

3

3. fejezet

ARMA, ARMA-GARCH modellek és paraméterbe slésük

Ebben a fejezetben ismertetem a modellezési típusokat, amelyeket magam is használtam a modellezés során. Ezek lineáris modellezési típusok, az ARMA és ARMA-GARCH modell. A fejezet második felében a modell paramétereinek be slésére alkalmas módszereket mutatom be, így az EM (Expe tation Maximization), subspa e, subspa e-EM és RLS (Re ursive Least Squares) módszereket, ahol az els® 3 úgynevezett bat h módszer, míg a negyedik rekurzív típusú.

3.1. ARMA és ARMA-GARCH modell Ebben az alfejezet ismertetem az ARMA illetve ARMA-GARCH modelleket ( [1318℄). Az ARMA egy rövidítés, jelentése az AR (autóregresszív) és a MA (mozgó átlag) szavak rövidítésének összetételéb®l adódik. A GARCH kifejezés, amely a maradékok szórásának fejl®dését hivatott leírni, ezzel enyhítve az ARMA maradékaira vonatkozó független azonos eloszlású feltételt. Ebben az esetben ez egy G (generált) ARCH modell, ahol AR jelentését már ismerjük, a CH ( onditional heteros edasti ) része a modellnek, ennek leírása Bollerslev ikkéb®l ( [15℄) ismert.

3.1.1. ARMA modell Az ARMA modell bevezetéséhez el®ször deniálom az AR és MA folyamatokat. Ezek segítségével kapjuk meg az ARMA modellt. Ezen modellek megtalálhatóak a már említett forrásokban ( [1,13,14℄), illetve ennek hiányzó adatokat is megenged® változatáról R. Kohn és C. F. Ansley (1986) ikke ( [19℄) számol be. Az AR folyamat ötlete lényegében az, hogy az id®sorunk y(t), t-beli állapota függ az azt megel®z® p id®pillanatban mért értékekt®l, azaz:

y(t) =

p X

Fi y(t − i) + e(t),

i=1

4

(3.1)

ahol Fi ∈ RD×D a megfelel® p darab AR együtthatómátrix és e ∈ RD a folyamat zajtényez®jét jelöli, amelyr®l feltesszük, hogy független azonos eloszlású valószín¶ségi változó. Az MA folyamatra tekinthetünk úgy, mint a hiba dinamikája, ami q id®pillanat múlva is hatással van az id®sorunk felj®désére. Ezt a következ®képpen írjuk le:

y(t) =

q X

(3.2)

Hj e(t − j) + e(t),

j=1

ahol Hj ∈

RD×D

a megfelel® q darab MA együtthatómátrix és e(t − j) ∈ RD a folyamat

zajtényez®jét jelöli a különböz® id®pontokban. Tehát az ARMA modellünk az id®sorra egyrészt egy autoregresszív (AR) és egy mozgóátlag (MA) tagból áll. Azaz:

y(t) =

p X

Fi y(t − i) + e(t) +

q X

(3.3)

Hj e(t − j)

j=1

i=1

ARMA(p,q) (Autoregressive Moving Average) folyamat, vagy röviden (3.4)

F[z]y = H[z]e, ahol F[z] = I −

R[z]D×D

Pp

i=1 Fi z

i

∈ R[z]D×D jelöli az AR (p rend¶), és H[z] = I +

Pq

j=1 Hj z

j

∈

MA (q rend¶) polinom mátrix reprezentá ióját, illetve I az egységmátrixot,

e ∈ RD a folyamat zajtényez®jét és z az id®lépték operátorát. A hagyományos ARMA modellnél az e-r®l (folyamat zajáról) feltesszük, hogy független azonos eloszlású az id®ben,

t függvényében. Ez er®s korlátozásnak t¶nhet pénzügyi id®sorok esetén.

3.1.2.

ARMA-GARCH modell

Az id®sorunk zajának e független azonos eloszlású (i.i.d. t-ben) tulajdonságát (amit a klasszikus ARMA modell feltételez) gyengíteni lehet, ha egy id®ben változó feltételes szórást tételezünk fel, hiszen az i.i.d. tulajdonság egy er®s megszorítás. Ebben az esetben a e modellezhet® úgynevezett GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasti ity) folyamattal ( [1517℄). AZ egyszer¶ ARCH(s) modell esetén feltehetjük, hogy az e két részb®l áll, (i) zt sztohasztikus részb®l és (ii) σt id®t®l függ® változótól, a következ®képpen: (3.5)

et = σt zt ,

ahol zt egy 0 várható érték¶ 1 szórású folyamat, mint például a standard normális eloszlás (N(0,1)), és σt -t az alábbi egyenletb®l kapjuk meg, ahol az α0 > 0 és αi >= 0, i > 0:

σt2

= α0 +

s X

(3.6)

αi e2t−i

i=s

Egydimenziós esetben a GARCH(r,s) modell esetén σ 2 a következ®képpen b®vül ki, a G (generalized) tag miatt:

σt2 = α0 +

s X

αi e2t−i +

s X i=1

i=1

5

2 βi σt−i ,

(3.7)

ahol σ 2 a GARCH rész és e2 az ARCH tag. A GARCH konstruk iót kísérleteim során több dimenziós esetben is alkalmaztam, ekkor a modellt 2 tulajdonság írja le: (i) feltétel nélküli momentumok E[et ] = 0, cov(et ) = Σt , és (ii) a feltételes momentumok, Et−1 [et ] = 0, Et−1 [et eTt ] = Σt . Ahol Et−1 [·] jelöli az argumentum várható értékét, feltéve az addig rendelkezésünkre álló informá iókat t − 1-ig, és itt 'T' a transzponálást jelöli. A GARCH(r,s) modellben a feltételes szórások, Σt -k a következ®képpen néznek ki:

(I − B[z])vech(Σt ) = vech(w) + A[z]vech(et eTt ),

(3.8)

Pr i ahol a polinom mátrixokat a következ®képpen deniáljuk: B[z] = i=1 Bi z , A[z] = Ps j j=1 Aj z és vech(·) jelöli a vektoriális féloperátort, ami egy D×D mátrix fels®háromszög

részében lév® elemek konkatenáltját adja. Ez a vektor D(D + 1)/2-dimenziós.

3.2. Modell indentiká ió módszerei Ebben a fejezetben a modellbe sléshez használt algoritmusok alapjait mutatom be, amelyeket a modellezéshez és predik ióhoz használtam. A legtöbb ikk hasonló algoritmusokat használ modellezésre és predik ióra, és említi, hogy a ML alapú be slések lassú, de robosztus be slési és predik iós módszernek t¶nnek ( [3, 6, 7, 10℄). Én a már említett

E 4 MATLAB program somagban1 használtam (lásd [20℄), amiben a következ® módszerek találhatóak.

• Expe tation Maximization (EM) iteratív, likelihood alapú módszer. • A subspa e módszer, ami gyorsabb, altereket kihasználó módszer. • A subspa e módszerrel ini ializált EM módszer, röviden subspa e-EM módszer. Ezeken kívül pedig a RLS (Re ursive Least Squares) algoritmust használtam, ezt AR (Auto Regressive) modell paramétereinek be sléseire majd predik ióra. Ezek megértéséhez nyújtanak segítséget az alábbi alfejezetek.

3.2.1.

EM módszer

Ezt a módszert leginkább statisztikában használják, valószín¶ségi modellek likelihood be slésének számolására, ahol a modell nem meggyelhet® változókat is tartalmaz. A módszer két lépésb®l áll. Az els® kiszámolja a log likelihood függvény várható értékét, gyelembe véve a nem meggyelhet® valószín¶ségi változó eloszlásának aktuális be slését. A második lépés pedig a maximizáló lépés, ez számítja ki azokat a paramétereket, amelyek maximalizálják a log likelihood várható értékét, amelyet kiszámoltunk az els® lépésben. Ezek a paraméterek fognak kiindulásul szolgálni, hogy megbe süljük az els® lépésben leírt rejtett 1

MATLAB program somag E 4 (GNU GPL li ensz): http://www.u m.es/info/i ae/e4/.

6

változók eloszlását. Az algoritmus elnevezése és leírása el®ször 1977-ben jelent meg Arthur Dempster, Nan Laird és Donald Rubin ikkében ( [21℄). A módszer megértéséhez segítséget nyújt még a ( [2224℄) tanulmány. Adott egy likelihood függvény L(θ; x, z), ahol θ a paraméter vektor, x a meggyelhet® adatok, z a rejtett adatok, vagy hiányzó adatok, a maximum likelihood (ML) be slést meghatározza a L(θ; x), de gyakran ez a mennyiség sem ismert. A módszer iteratív módon a következ® két lépést váltogatja: 1. várható érték számolás: kiszámolja a z feltételes eloszlásának log likelihood függvényének várható értékét, x és θt aktuális paraméter be slés alapján:

Q(θ|θt ) = E[log(L(θ; x, Z))|x, θt ]

(3.9)

2. a maximum keres® lépés: megkeresi, hogy mely paraméterekkel kapjuk a maximumot.

θt+1 = arg max Q(θ|θt ) θ

(3.10)

Az EM iterá ió lokális széls®értékhez való konvergen iája garantált. Többdimenziós eloszlásoknál ez azt jelenti, hogy elakadhat egy lokális maximumnál, ami a kezd®értékekt®l függ. Több módszer is ismert ennek elkerülésére. Példa: ha véletlen kezd®értékb®l indítjuk (így többféle kezd® θt be slésünk lesz).

3.2.2.

Subspa e módszer

A legtöbb be slési modell vagy a legkisebb négyzetes be slésen (LS - Least Square) vagy a Maximum Likelihood (ML) be slésen alapul. Az LS megközelítés el®nyeit ismerjük: számolása egyszer¶, és stabil. Azon modellekre azonban nem lehet könnyen alkalmazni, amelyeket vagy Mozgó Átlag (MA) vagy többszörös szezonalitás jellemez. Ezzel szemben az ML többszörös optimalizá iós iterá ióval dolgozik, ami statisztikailag hatásos, de sokszor együtt jár bizonyos bizonytalansággal, illetve összetett, és számolása költséges. Spe iálisan: ha egy gyors változású id®sort tekintünk, mint amilyenek a pénzügyi id®sorok, nehezen tudjuk kielégíteni a Gauss féle ML be slés feltételeit, és jelent®s költségnövekedés is tapasztalható. A subspa e módszer szintén egy iterá iós módszer. Gyorsasága annak köszönhet®, hogy egy lienáris egyenletrendszer megoldásánál a mátrixot ortogonális bázisba helyezi, az iterá iót ezen végzi. Így a feladat a kapott maradékok minimalizálása ebben a subspa e formában. Sok megel®z® tanulmány is foglalkozik a subspa e módszerrel ( [2530℄, ezekb®l merít a VARMAX modellezésre jól használható algoritmust leíró [31℄ ikk is, ami stabil algoritmust mutat be, kódja megtalálható az E 4 MATLAB program somagban (lásd: [20℄). Én is ezt használtam a modell paramétereinek be slése során.

7

Az alapgondolata az, hogy az ARMA és ARMA-GARCH modellünk a következ® alakban is értelmezhet®, ahol xt ∈ Rn állapot vektor, ut ∈ Rp észlelt input vektor és yt ∈ Rq észlelt kimen® adatok, illetve A ∈ Rnxn átmeneti mátrix:

xt+1 = Axt + But + Eet yt = Cxt + Dut + et ,

(3.11) (3.12)

ahol xt , yt és ut ismert. A meggyelhet®ségi mátrix pedig a következ®ként írható le:

O = [C T , (CA)T , (CA2 )T , . . . , ((CA)n−1 )T ]T

(3.13)

a subspa e módszer neve ezen mátrix oszlopai által kifeszített altér be sléséb®l ered. Feltesszük továbbá, hogy A és A − KC stabilak. Az állapot a bemeneti és kimeneti adatok által kifeszített altérben van, és a bemeneti vektor birtokában az állapot minden múltbeli informá iót tartalmaz a jöv® (lineáris) predik iójához. A subspa e módszerrel kapott paraméter be slés segítségével megkapjuk az eredeti ARMA és ARMA-GARCH modell paramétereit.

3.2.3.

Subspa e-EM módszer

Ez a módszer az EM (Expe tation Maximization) kezd® értékei be slésére használja a subspa e módszert, így gyorsítva az algoritmust, sökkentve a számítási költségeket, valamint ahogy említettük, az EM több dimenzióban elakadhat lokális maximumokban, amelyen több kezd®érték megfelel® választásával vagy párhuzamosan futtatott optimalizá ióval segíthetünk. Egy ilyen kezd®értéket szolgáltat a subspa e módszer, ebb®l indítva az iterá iós algoritmusunkat segítjük a be slés pontosítását. Ez az összetett algoritmus szintén megtalálható az E 4 ( [20℄) MATLAB program somagban, numerikus kísérleteim során ezt használtam.

3.2.4.

Rekurzív legkisebb négyzetes módszer

A legkisebb négyzetes módszer (re ursive least squares (RLS)) segítségével ( [12,3234℄) is be sülhetünk lineáris modellt. Ennek a módszernek a élja, hogy minimalizálja a folyamat hibáit, egy rekurzív algoritmussal keresse az AR modell együtthatóit, ahol minél régebbi egy hiba tag, annál kevesebb jelent®séget tulajdonít neki a módszer: t X

λt−k e2 (k),

(3.14)

k=1

ahol λ az úgynevezett felejtési tényez®. Szemléletesen: minél régebbi hibát nézünk, az annál kevésbé fontos számunkra a hiba minimalizálása során. A λ hatványozása során ez a 0-hoz tart, ha λ < 1, így a sebességét a paraméterválasztás meghatározza. Az RLS be slés az AR modellek be slésére alkalmas. Ez egy online, rekurzív módszer. Ehhez deniáljunk egy a vektort, ami az AR modell együtthatóit tartalmazza, y vektor az összes yi bemen® adatot tartalmazza. Ezekre az inputokra, azaz y -ra és az aktuális inverz 8

kovarian ia mátrixra (P -re) alapozva el®ször az algoritmus kiszámolja a Kálmán-sz¶r® ( [11,12℄) vektorát, K -t, majd ennek segítségével kapjuk meg a rekurziót, amit t = 0, 1, 2... mellett számolunk:

αt = yt − ytT at−1 Pt−1 yt Kt = λ + ytT Pt−1 yt

(3.15)

Pt = λ−1 Pt−1 − ytT λ−1 Pt−1

(3.17)

at = at−1 + αt Kt

(3.18)

et = yt − xTt wt

(3.19)

(3.16)

ahol a α(n) az n. lépés a priori hibája, míg e(n) az a posteriori hibája. Így tudjuk számolni a minimalizálni kívánt egyenletet ( [33, 34℄).

9

4. fejezet

Numerikus kísérletek

4.1. Vizsgált kérdések Ebben a fejezetben mutatom be az id®sorokon elért eredményeket, ahol a be slés jóságát egyrészt egy gyakorlati protorientált mér ével mérem, másrészt, azzal, hogy a napok hány százalékában találta el a predik ió az irányt, azaz amikor azt jósoltuk, hogy növekedés következik, akkor valóban az volt. Megmutatom, hogy a pénzügyi id®sorok esetén jobban motivált ARMA-GARCH módszer hogyan teljesít az ARMA modellel szemben, illetve, hogy a be slési módszerek, az EM, subspa e, subspa e-EM, RLS milyen eredményeket képes produkálni adott modelleken. Segédváltozó hozzávételével az elérhet® prot nagyságának növelésére teszek kísérletet. Így a napi záróárak mellé 2. változónak az id®sorom mellé veszem a napi legmagasabb és legala sonyabb ár különbségét, azaz a "high-low" változót, így egy több (D = 2) dimenziós ARMA illetve ARMA-GARCH modellt be slek és predikálok. Napi mintavételezéssel hasonlítom össze a heti mintavételezés¶ id®sorokat, ezzel mutatva meg, hogy több esetben el®nyösebb ez a típusú id®sor, a dinamika könnyebben modellezhet®.

4.2. Adatbázisok ismertetése A futtatások során az y(t) id®sorom adatai vagy a napi vagy a heti egy dimenziós (D = 1) záróértékekb®l álló adatok voltak, vagy pedig kétdimenziós (D = 2), ahol a napi záró ár mellé bevettem a legmagasabb napi ár és legala sonyabb napi ár különbségét ("high-low"). A következ® indexek szerepelnek kísérleteimben az elkövetkez® 4.5. fejezet során: a DIA (SPDR Dow Jones Industrial Average), vagy a Nikkei225, vagy a Russell2000 index, ezeket alább ismertetem, kisebb áttekintést adok róluk, amelyek elérhet®ek a Yahoo! Finan e oldalán (finan e.yahoo. om) is. A záró értékek vektorát a következ®képpen transzformáltam hozam vektorrá: (y1 (t +

1) − y1 (t))/y1 (t). A következ®kben az y1 (t) már az els® változóban transzformált id®sort fogja jelenteni, két dimenzió (D = 2) esetén y2 jelenti a "high-low" segédváltozót. 10

DIA

A DIA a Dow Jones Industrial Average, amit hívnak Ipari Átlagnak, Dow Jones-nak, Dow 30-nak vagy egyszer¶en sak Dow-nak. Ez egy a sok t®zsdei index közül, amit a Wall Street Journal szerkeszt®i és a Dow Jones Company alapítója Charles Dow hozott létre. 1896. május 26-án alapították, és most a Dow Jones Indexes tulajdonában van, ami a CME ég soport tulajdona. Az átlag Dow-ról és az egyik üzletér®l kapta a nevét, ami Edward Jones statisztikushoz kap solódik. Megmutatja az index, hogy hogyan kereskednek egy átlagos t®zsdei kereskedési napon a 30 nagy, köztulajdonban lév® amerikai egyesült államokbeli vállalattal. Ez a második legrégebbi index az Egyesült Államok t®zsdéjén, a Dow Jones Transportation után, amit szintén Dow alkotott meg. Az ipari rész az elnevezésben nagyrészt sak történelmi, hiszen a 30 modernkori komponensnek kevés vagy semmi köze nin s a hagyományos nehéziparhoz. Az átlag ársúlyozott, és ki van bel®le küszöbölve az osztalék és egyéb átállások hatása, így ez egy skálázott átlag. A Dow ára nem az aktuális részvény árak átlagából áll, hanem a benne szerepl® részvények valamilyen többszöröse, amely szorzó módosul, ha adott részvénynél osztalék vagy hozam kizetés történik. Russell2000

A Russell 2000 index az utolsó 2000 részvény a Russell 3000 indexb®l. Ez kisebb t®kéj¶ részvények soportja, úgynevezett "small- ap" index. A Russell 2000 régóta a legelterjedtebb mértéke a befektetési alapoknak, amelyek magukat "small- ap"-nek határozzák meg, míg az S&P index els®sorban a nagyt®kéj¶ részvényeket tartalmazza. Ez a legszélesebb körben idézett mér e, amely alkalmas a small- ap és middle- ap égek részvényeinek összesített teljesítmény mérés összehasonlítására. Az index megközelít®leg a teljes pia i t®ke 10%-át jelenti a Russell 3000 indexb®l. Ez egy t®ke súlyozott index, amelyet Frank Russell publikált, és 1986. de ember 31-t®l jegyzik. Nikkei225

A Nikkei 225 Részvény Index a tokiói t®zsde, a Tokyo Sto k Ex hange (TSE) részvényeib®l áll. Ez a legrégebbi és legismertebb ázsiai index a világon. A Nihon Keizai Shimbun (Nikkei) újság volt megbízva hivatalosan ennek kiszámításával 1971-t®l. 1950. szeptember 7-én kezdték számolni a Nikkei 225-t, és visszamen®leg 1949. május 16-ig számolták ki. Napjainkban a Nikkei-t használják a japán gazdaság legf®bb mutatójaként, hasonlóan a Dow Jones Industrial Average-hez. Az egész pia ot gyelembe véve alkották meg, így nin senek az ágazatok különböz®képp súlyozva. A részvény osztalékok és egyéb átállásainak hatásait úgy korrigálja, küszöböli ki, hogy az egyes részvényeken különböz® szorzókat alkalmaz. Ez egy ár súlyozott átlag index (egysége a jen), hasonlóan az amerikai gazdaságot jól jellemz® Dow Jones Industrial Average-hez, és 50 jen részvényenként az alapja. Ez 11

azt jelenti, hogy 50 jen árváltozás minden részvényben egyenl® hatással van az átlagra, függetlenül attól, hogy a részvény ára 5 jen vagy 500 jen. A Nikkei 225 index komponenseit minden év szeptemberében felülvizsgálják, és ha változás szükséges, akkor azt októberben megjelentetik, és annak megfelel®en változtatják az indexet.

4.2.1.

Különböz® típusú mintavételezés

Az els® típusú adatbázisom esetében napi mintavételezés¶ záró értékeket vettem, és

N = 260 volt a befektetési intervallum hossza, ez egy év kereskedési napjait jelenti. • El®ször az intervallum választása véletlenszer¶en volt a ["2009 November 1" - 999 nap, "2009 November 1"℄ 1000 hosszúságú intervallumból. Ezt illusztrálja a 4.1 ábra.

• A véletlenszer¶en kapott id®sorok esetében a korábbi id®szakok leginkább úgynevezett emelked® id®szakok voltak (így ezekre ezentúl így fogok hivatkozni a kés®bbi fejezetben ( 4.5.3-ben), ehhez választottam olyan intervallumokat is, amelyek egyfajta törést tartalmaznak. A másik típusú adatbázisomnál napi mintavételezés helyett megnéztem, hogy a heti záróértékekkel milyen eredmény érhet® el. A záró id®pontot a ["2009 November 1" - 99 hét, "2009 November 1"℄ intervallumból választottam véletlenszer¶en. Az intervallumok, amelyeket mintának használtam, egyaránt tartalmaztak törést és emelked® részeket (lásd: 4.2 ábra). A harmadik típusú id®sorom y(t) 2-dimenziós volt (D = 2), amely els®sorban a napi záróárak transzformáltját 'Close' (y1 ) tartalmazta, és emellett az adott indexnek (y2 ) "highlow" értékeit (lásd : 4.3 ábra), amit a napi legmagasabb és a legala sonyabb ár különbségéb®l kaptam.

4.3. Választott paraméter tartomány 4.3.1.

A be slés folyamata

A múltbeli értékeket használva y(1), . . . , y(T ) id®sorra illesztettem az ARMA modell-t az E 4 program somag segítségével1 , és az y értékét a következ® lépésben, y(T + 1)-et a megkapott ARMA modell segítségével be sültem. Majd egy lépéssel tovább: megbe sültem y(T + 2) értékét egy olyan ARMA modell segítségével, ami már az y(2), . . . , y(T +

1)-t használja a modell illesztés alapjául, és ezt a módszert használom végig az egyéves "befektetési" periódus alatt. Összegezve, be süljük y(T + n)-eket használva mindig egy ARMA modellt, amit azon y -okból be slünk, amik a [0+n, T −1+n] intervallumból kapunk, ahol n = 1, ..., N és N pedig egy egyéves periódushoz közel es® szám, jelen esetben: 260. Így 1

A bat h módszerekhez, ARMA identiká iókhoz az E 4 Matlab somagot használtam (GNU GPL li ensz alapján): http://www.u m.es/info/i ae/e4/.

12

DIA: törés

Záró ár

Záró ár

x10

1.1

90

80

70

2008−Jún−12

Nikkei225: törés

4

1.2

100

1 0.9 0.8

2008−Nov−09

2009−Ápr−08

2009−Júl−27

2008−Júl−28

2008−Dec−27

(a)

2009−Máj−24

2009−Szept−11

(b) Russel2000: törés 900 800

Záró ár

700 600 500 400 2007−Máj−02

2007−Dec−04

2008−Jún−10

2008−Dec−15

( )

4.1. ábra. Az els® típusú id®sorok illusztrá iója. (a): DIA, (b): Nikkei225, ( ): Russell2000 adatok. A véletlenül választott pediódusok, ezek általában törést tartalmaztak.

DIA: heti 1.8

140

1.6 Záró ár

Záró ár

130 120 110

1.4 1.2 1

100 2004−Júl−12

Nikkei225: heti

4

x 10

0.8 2006−Máj−29

2008 −Máj−27

2005−Márc−22

2007−Febr−19

(a)

2009−Febr−09

(b) Russell2000: heti 900

Záró ár

800

700

600

500 2004−Jan−12

2005−Dec−12

Nov−2007−Nov−26

( )

4.2. ábra. A második típusú adatok, heti mintavételezés. (a) DIA, (b): Nikkei225, ( ): Russell2000.

13

DIA: törés

4

1.2

100

Nikkei225: törés

1.1 Záró ár

90 Záró ár

x10

80

70

1 0.9 0.8

2008−Jún−12

2008−Nov−09

2009−Ápr−08

2009−Júl−27

2008−Júl−28

(a)

2008−Dec−27

2009−Máj−24

2009−Szept−11

(b)

Russel2000: törés

DIA: emelked˝o

900 140 800 135 130 Záró ár

Záró ár

700 600 500

125 120 115

400

110

2007−Máj−02

2007−Dec−04

2008−Jún−10

2008−Dec−15

105 2006−Jún−03

( ) 4

1.8

x 10

2006−Okt−31

2007−Márc−30

2007−Júl−18

(d)

Nikkei225: emelked˝o

650

Russell2000: emelked˝o

600 550 Záró ár

Záró ár

1.6

1.4

500 450 400

1.2

350 1 2004−Aug−20

2005−Ápr−04

2005−Nov−11

2006−Ápr−24

(e)

300 2003−Febr−15

2003−Júl−15

2003−Dec−12

2004−Márc−31

(f)

4.3. ábra. A harmadik típusú id®sorok. (a)-( ): azok az id®intervallumok, amelyek törést tartalmaznakDIA, Nikkei225 és Russell2000 index. (d)-(f): az emelkedést mutató indexek.

14

az intervallum hossza T + N volt, a "befektetést" szimuláló id®szak pedig N hosszúságú, a T = 30, 60, 90, 120, 150 választás mellett.

4.3.2.

Paraméter tartomány

Az 3. fejezetben leírt modelleket a futtatásaim során két különböz® módszerrel be sültem. AR modell esetén egy bat h, másrészt egy rekurzív megközelítés szerepelt a futtatásaim között, ARMA és ARMA-GARCH esetén pedig kizárólag a bat h módszer. Maga a modellbe sléshez használt id® intervallum T = 30, 60, 90, 120, 150 volt a futtatások során. Az ARMA folyamat identiká iója a következ® módokon történt: 1. A bat h megközelítésem:

• az expe tation maximization (EM) módszer, ami egy iteratív módszer és a maximum likelihood be slésen alapul

• ennek egy altereket kihasználó alternatívája, a subspa e módszer, vagy • a kett® kombiná iója: az EM keresést a subspa e optimális megoldásával ini ializáljuk, ez a subspa e-EM módszer. Ennek során az ARMA(p,q) rendek közül a p > 0 és p, q <= 2 rendeket vizsgáltam. 2. A rekurzív megközelítésem: A legkisebb négyzetes módszer (re ursive least squares (RLS)) segítségével, aminek élja, hogy minimalizálja a folyamat hibáit: t X

λt−k e2 (k),

(4.1)

k=1

ahol λ az úgynevezett felejtési tényez®. Az RLS be slésünk sak AR modellekre vonatkozott. A rekurzív identiká ió során a felejtési faktor λ paraméterét {0.9, 0.95, 0.98, 0.99, 0.995} közül választottam. Illetve az RLS módszer AR rendjeit pedig 1 és 10 között vizsgáltam. Az ARMA-GARCH modelleket a következ® 3 bat h módszerrel identikáltam:

• Az Expe tation Maximization (EM) iterativ, likelihood alapú módszer. • A subspa e, gyorsabb, altereket kihasználó módszer. • A subspa e módszerrel ini ializált EM módszer, röviden subspa e-EM módszer. ARMA(p,q)-GARCH(r,s) rendek közül pedig a p > 0 és p, q, r, s <= 2 választásokat elemeztem.

15

4.4. Alkalmazott jóság mér ék Akövetkez® jóságmér éket használtam a be slések és predik iók során. Ezek nem gyakoriak, de jobban szemléltetik egy-egy modell gyakorlati hasznosságát: 1. Ár növekedés/ sökkenés el®rejelzése: Az egyéves periódus alatt (N ) milyen százalékban predikálja a módszer megfelel®en az el®jelet, azaz jelzem el®re (yˆ(T + n)), hogy a következ® napi valós részvényárfolyam (y(T + n) (n = 1, . . . , N )) emelkedni vagy

sökkenni fog. Formálisan,

pud

N 1 X = χ{sgn(ˆ y (T + n)) = sgn(y(T + n))}, N

(4.2)

n=1

ahol sgn és χ jelenti a signum és az indikátor függvényeket. 2. Prot (additív): Ez a mérték több részb®l áll. Az els® fele azon hozamok abszolút értékének összege, ahol a be slésünk (yˆ(T + n)) el®jele megegyezik a valós y(T + n) (n = 1, . . . , N ) el®jelével. A második rész pedig azon értékek abszolút értékeinek összege, ahol yˆ(T + n)-nek az el®jele nem egyezik meg y(T + n) (n = 1, . . . , N ) el®jelével. Mindkét szumma az egész egyéves intervallumra (N ) vonatkozik; az els® kifejezés a nyereséget jelenti (azon tagok, ahol a rövid vagy hosszú távú ARMA modell jól teljesített), a második a veszteséget jelenti. Így a tényleges additív prot a két rész különbségeként áll el®:

padd =

N X

|y(t)|χ{sgn(ˆ y (T + n)) = sgn(y(T + n))}

n=1 N X

−

|y(t)|χ{sgn(ˆ y (T + n)) 6= sgn(y(T + n))}.

(4.3)

n=1

Ez a jóságmér e tekinthet® egy játéknak, ahol a játékosok egy x összeggel fogadnak (rövidtávú/hosszútávú befektetés) minden nap. 3. Prot (multiplikatív): Ez a mér e a hozamok egyéves (N ) szorzatával egyezik meg, mínusz egy. Pl. 1.03 × 0.98 × . . . × 1.02 − 1 (els® nap: 3% hasznot hozott, második nap: 2% veszteség történt, . . . , utolsó nap: 2% haszon van). Formálisan,

pmul =

N Y

[(1 + |y(t)|)χ{sgn(ˆ y (T + n)) = sgn(y(T + n))}+

n=1

(1 − |y(t)|)χ{sgn(ˆ y (T + n)) 6= sgn(y(T + n))}]

!

− 1.

(4.4)

4.5. Eredményeim A kapott eredményeim bemutatását 6 részre bontottam. El®ször az ARMA modell és a 3 bat h módszer segítségével kapott eredményeket ismertetem, majd ezt az RLS módszer 16

hatékonyságával hasonlítom össze. A harmadik alfejezetben az ARMA-GARCH megközelítéssel kapottak szerepelnek. Az eddig említettek napi mintavételezés¶ adatokon futottak. A negyedik részben bemutatom a heti adatokon kapott be sléseimet, szintén az egyéves befektetési intervallumon. A ötödik és hatodik részben megmutatom, hogy a segédváltozó, a második dimenzió ("high-low") hozzávétele hogyan módosította a be sléseket az ARMA és ARMA-GARCH modell esetén.

4.5.1. ARMA modell eredményei Ebben az esetben az id®soraimat véletlenszer¶en választottam, a 4.2.1 részben leírtak szerint. Mint ezt korábban említettem, ezek többnyire emelked® id®sorok. Az ARMA modell és 3 be slési módszer esetén a következ® predik iós eredményeket kaptam: DIA adatbázis:

• A vizsgált ARMA identiká iós te hnikák (subspa e, EM, subspa e-EM) képesek predikálni a növekedés/ sökkenés mér e szerint (pud > 0, 5), amennyiben a mintaszám T = 60 fölött van (körülbelül 2 hónap). A subspa e-EM és EM megközelítés pre ízebb eredményeket ad (lásd 4.4. ábra).

• Rendeket tekintve az (1,2), (2,0), (2,1) nyújtja a legpontosabb be sléseket (lásd Fig. 4.4. ábra), ezek közül az ARMA(1,2)-t illusztrálja a 4.5. ábra. Azt láthatjuk, hogy nagyobb MA rendekre az EM megközelítés robosztusabb pud -t tekintve, és a subspa e-EM te hnika szintén hatékony, amennyiben T ≥ 90.

• A prot alapú mér ékre hagyatkozva (padd , pmul ) az EM minden mintaszám esetén hatékony, és a subspa e-EM is képes protot elérni, ha T ≥ 30, ahogy ezt az (1,2) rendre a 4.6 ábra mutatja. Nikkei225 adatbázis:

• A DIA adatbázishoz hasonlóan a be slési te hnikák pud > 0, 5 eredményt adtak a legtöbb ARMA rendre, ha a mintaszámra igaz volt, hogy T ≥ 90 (lásd 4.7 ábra). Kisebb mintaszámra az EM módszer adott jobb eredményt, növelve ezt a subspa e és subspa e-EM is er®södött. Az ábrán szintén meggyelhet®, hogy a (2, 0) rend teljesít a legjobban a vizsgált mintaszámokra, és a legjobb a T = 120, 150 esetén.

• A prot mér ék eredményei ARMA(2,0) modellre a 4.8 ábrán gyelhet®k meg. Ez alapján mindegyik módszer alkalmas prot generálásra. Russell2000 adatbázis:

• Az emelkedés/ sökkenés mér ét tekintve a T = 90 (3 hónap) t¶nik a legjobb választásnak (lásd. 4.9 ábra). Ezen az adatbázison az ARMA(1,2) modell t¶nik ígéretesnek.

• Az ehhez tartozó prot alapú mér ék láthatóak a 4.10 ábrán. Azt mutatja, hogy ezen paraméter választások mellett a módszer protot képes elérni. 17

ud

Növekedés/csökkenés predikciója: p

DIA: subspace ARMA(1,0) ARMA(1,1) ARMA(1,2) ARMA(2,0) ARMA(2,1)

60 55 50 45 40

30

60

90 120 Mintaszám (T)

150

60 55

ARMA(1,0) ARMA(1,1) ARMA(1,2) ARMA(2,0) ARMA(2,1)

Növekedés/csökkenés predikciója: pud


(a) DIA: subspace−EM

50 45 40

30

60


150

60 55

DIA: EM


50 45 40

30

60


(b)

150

( )

4.4. ábra. Az irány predik iójának (pud ) illusztrá iója a DIA adatbázison. (a): subspa e,


(b): subspa e-EM, ( ): EM módszer. DIA: ARMA(1,2) T=30 T=60 T=90 T=120 T=150

55 50 45 40 0

subspace

subspace−EM Módszer

EM

4.5. ábra. Az irány predik ió (pud ) eredményének illusztrá iója az ARMA(1,2) rend esetén a DIA adatbázison a módszerek függvényében, különböz® mintaszámok esetén. DIA: ARMA(1,2)

DIA: ARMA(1,2)

40

200

T=30 T=60 T=90 T=120 T=150

Profit (multiplikatív): pmul

Profit (additív): p

add

60

20 0 −20

subspace−EM

150 100 50 0 −50

EM

T=30 T=60 T=90 T=120 T=150

subspace−EM

EM Módszer

Módszer

(a)

(b)

4.6. ábra. A protorientált mér ék (padd , pmul ) százalékban megadott eredményének illusztrá iója az ARMA(1,2) rend esetén a DIA adatbázison a módszerek függvényében, különböz® mintaszámok esetén. (a): padd , (b): pmul mér ék. 18

ud


60 55


Nikkei225: subspace

50 45 40

30

60


150

(a) Növekedés/csökkenés predikciója: pud


ARMA(2,1) Nikkei225: subspace−EM 60 55 50 45 40

30

60


150

60 55

Nikkei225: EM


50 45 40

30

60

(b)


150

( )

4.7. ábra. Az irány predik iójának (pud ) illusztrá iója a Nikkei225 adatbázison. (a): subspa e, (b): subspa e-EM, ( ): EM módszer.

Profit (additív): padd

30

T=30 T=60 T=90 T=120 T=150

20 10 0 −10

subspace


Nikkei225: ARMA(2,0) 40 Profit (multiplicative): pmul

Nikkei225: ARMA(2,0) 40

20 10 0 −10 −20

EM

T=30 T=60 T=90 T=120 T=150

30

subspace

(a)

subspace−EM Method

EM

(b)

4.8. ábra. A protorientált mér ék (padd , pmul ) százalékban megadott eredményének illusztrá iója az ARMA(2,0) rend esetén a Nikkei225 adatbázison a módszerek függvényében, különböz® mintaszámok esetén. (a): padd , (b): pmul mér ék.

19

ud


Russell2000: subspace ARMA(1,0) ARMA(1,1) ARMA(1,2) ARMA(2,0) ARMA(2,1)

55 50 45 40

30

60


150



(a) Russell2000: subspace−EM ARMA(1,0) ARMA(1,1) ARMA(1,2) ARMA(2,0) ARMA(2,1)

60 55 50 45 40

30

60


150

Russell2000: EM


60 55 50 45 40

30

60

(b)


150

( )

4.9. ábra. Az irány predik iójának (pud ) illusztrá iója a Russell2000 adatbázison. (a): subspa e, (b): subspa e-EM, ( ): EM módszer.

Russell2000: ARMA(1,2)

Russell2000: ARMA(1,2) 12

10

mul

subspace subspace−EM EM

Profit (multiplikatív): p


12

8 6 4 2 0

90

8 6 4 2 0

120


10

90

Mintaszám (T)

120 Mintaszám (T)

(a)

(b)

4.10. ábra. A protorientált mér ék (padd , pmul ) százalékban megadott eredményének illusztrá iója az ARMA(1,2) rend esetén a Russell2000 adatbázison a módszerek függvényében, T = 90 és 1T = 20 esetén. (a): padd , (b): pmul mér ék.

20

4.5.2.

RLS módszer eredményei

Itt szintén a véletlenszer¶en választott, leginkább emelkedést mutató id®sorokon végzem a vizsgálataimat. Az RLS módszerhez tartozó futtatásokat a következ®képpen összegzem, gyelembe véve az ARMA módszerrel kapott eredményeket, melyeket az el®z® alfejezetben ismertettem: DIA adatbázis:

• A tanulmányozott rekurzív módszer, az RLS megközelítés eredménye összehasonlítható a bat h módszerrel kapottakkal a növekedés/ sökkenés predik ióját (pud ) tekintve. Továbbá az RLS módszer ala sonyabb mintaszám mellett is képes elérni hatékony pud = 0, 55 (55%) be slést. Ez gyelhet® meg a 4.11 ábrán.

• A rendeket vizsgálva a (2, 0) és a (3, 0) nyújtja a legpontosabb be slést az RLS használata esetén. Az alább említett ábrák hasonlítják össze a két modell identiká iós módszer hatékonyságát pud mér e alapján. A 4.12 ábra a (2, 0) rendet ábrázolja, amely a bat h módszerrel történt be slés alapján is hatékony volt.

• A prot tekintetében a két mérési eszköz (padd , pmul ) alapján az RLS pozitív prottal zár a tanulmányozott (λ, T ) paraméterek mellett, ez látható a 4.13 ábrán. Nikkei225 adatbázis:

• A DIA eredményeket tekintve meggyelhet®, hogy a Nikkei225 esetén kisebb felejtési faktor (λ ≤ 0, 95, e.g., λ = 0, 9) jobb eredményt hoz a növekedés/ sökkenés be slését (pud ) illet®en, ez gyelhet® meg a 4.14 ábrán. AR(2) és AR(3) rendek t¶nnek leghatékonyabbnak RLS módszerünk rendjei közül. Az illusztrá iók során az AR(2) rendet fogom mutatni.

• A pud teljesítménye a (2,0) rendválasztás mellett az aktuális módszerrel látható a 4.15 ábrán. Ez alapján a bat h módszerrel kapott eredményhez hasonló eredmény érhet® el, f®leg kis mintaszám esetén.

• A másik két prot mér énk (padd , pmul ) a 4.16 ábrán gyelhet® meg, ahol láthatóan az RLS módszer nagyobb protot is képes elérni. Russell2000 adatbázis:

• Rendek tekintetében a (1,0) és a (2,0) t¶nik hatásosnak, a növekedés/ sökkenés be slését (pud ) tekintve, ezt látjuk a 4.17 ábrán. Továbbiakban a (2,0) ARMA rendet használom az illusztrá iókhoz.

• Összehasoníltva a bat h módszerrel azt tapasztaljuk, hogy képes jobban be sülni a pud -t kisebb mintaszámok esetén (T ≤ 60) is, lásd 4.18 ábrát.

21



DIA: subspace ARMA(1,0) ARMA(1,1) ARMA(1,2) ARMA(2,0) ARMA(2,1)

60

55

50

45

40

30

60

90 Mintaszám (T)

120

150

DIA: subspace−EM 60

55


50

45

40

30

60

55


50

45

40

30

60

90 Mintaszám (T)

150

DIA: RLS, λ=0.9

ud

DIA: EM 60

120

(b) Növekedés/csökkenés predikciója: p


(a)

90 Mintaszám (T)

120

150

60

55

50 ARMA(1,0) ARMA(2,0) ARMA(3,0) ARMA(5,0) ARMA(10,0)

45

40

30

60

( )

90 Mintaszám (T)

120

150

120

150

(d)

60

55

50

45

40

30

60

90 Mintaszám (T)

DIA: RLS, λ=0.995

ud

DIA: RLS, λ=0.99



ARMA(10,0)

120

150

(e)

60

55

50

45

40

ARMA(1,0) ARMA(2,0) ARMA(3,0) ARMA(5,0) ARMA(10,0) 30 60

90 Mintaszám (T)

(f)

4.11. ábra. Az irány predik iójának (pud ) illusztrá iója a DIA adatbázison. (a): subspa e, (b): subspa e-EM, ( ): EM módszer, (d): RLS, λ=0.9, (e): RLS, λ=0.99, (f): RLS, λ=0.995.

• A protorientált ábrákat (padd , pmul ) tekintve a λ ≥ 0.98 felejtési faktor RLS módszer esetén ígéretes tenden iát mutat, ez látható a 4.19 ábrán. További illusztrá ió a 4.20 ábra, amely az RLS módszer hatékonyságát mutatja a mintaszám függvényében különböz® rendek esetén.

22


ud

DIA: ARMA(2,0) 60

55

50

subspace subspace−EM EM RLS, λ=0.9 RLS, λ=0.99 RLS, λ=0.995

45

40

30

60

90 Mintaszám (T)

120

150

4.12. ábra. Az irány predik iójának (pud ) illusztrá iója a mintaszám függvényében, ARMA (2,0) esetén a DIA adatbázison különböz® módszerek és felejtési faktorok (λ) esetén.

DIA: ARMA(2,0) Profit (multiplikatív): pmul


add

100 75 50 T=30 T=60 T=90 T=120 T=150

25 0

subspace−EM

200 150 100 50 0

EM

DIA: ARMA(2,0)

T=30 T=60 T=90 T=120 T=150

subspace

subspace−EM

Módszer

Módszer

(a)

(b)

DIA: RLS, ARMA(2,0)

DIA: RLS, ARMA(2,0)

T=30 T=60 T=90 T=120 T=150

75



add

100

50 25 0

0.9

0.95

0.98 0.99 Felejtési faktor (λ)

200 150 100 50 0

0.995

T=30 T=60 T=90 T=120 T=150

0.9

0.95


( )

0.995

(d)

4.13. ábra. A protorientált mér ék (padd , pmul ) százalékban megadott eredményének illusztrá iója az ARMA(2,0) rend esetén a DIA adatbázison a subspa e-EM, az EM és az RLS módszerek alkalmazásával, különböz® mintaszámok esetén. Bal: padd , jobb: pmul , második sor: az RLS hatékonysága a felejtési faktor függvényében.

23



Nikkei225: subspace 60 55


50 45 40

30

60

90 Mintaszám (T)

120

150

Nikkei225: subspace−EM 60 55 50 45 40

30

60

60 55

Nikkei225: EM


50 45 40

30

60

90 Mintaszám (T)

120

150

Nikkei225: RLS, λ=0.9 60 55



Nikkei225: RLS, λ=0.95


55 50 45

60


45 40

30

60

90 Mintaszám (T)

120

150

(d)

60

30

150

50

( )

40

120

(b) Növekedés/csökkenés predikciója: pud


(a)

90 Mintaszám (T)

90 Mintaszám (T)

120

150

Nikkei225: RLS, λ=0.98 60


55 50 45 40

30

60

(e)

90 Mintaszám (T)

120

150

(f)

4.14. ábra. Az irány predik iójának (pud ) illusztrá iója a Nikkei225 adatbázison. (a): subspa e, (b): subspa e-EM, ( ): EM módszer, (d): RLS, λ=0.9, (e): RLS, λ=0.95, (f): RLS,


ud

λ=0.98.

Nikkei225: ARMA(2,0) 60 55 50 45 40

subspace subspace−EM EM RLS: λ=0.9 RLS: λ=0.95 RLS: λ=0.98 30 60

90 Mintaszám (T)

120

150

4.15. ábra. Az irány predik iójának (pud ) illusztrá iója a mintaszám függvényében, ARMA (2,0) esetén a Nikkei225 adatbázison különböz® módszerek és felejtési faktorok (λ) esetén.

24

Nikkei225: ARMA(2,0)

Nikkei225: ARMA(2,0) T=30 T=60 T=90 T=120 T=150

50

75 Profit (multiplikatív): pmul


add

75

25 0 −25

T=30 T=60 T=90 T=120 T=150

50 25 0 −25

subspace


EM

subspace


(a)

(b)

Nikkei225: RLS, ARMA(2,0)

50

Nikkei225: RLS, ARMA(2,0) 75

T=30 T=60 T=90 T=120 T=150



add

75

25 0 −25

EM

50 25

T=30 T=60 T=90 T=120 T=150

0 −25

0.9

0.95


0.995

0.9

( )

0.95


0.995

(d)

4.16. ábra. A protorientált mér ék (padd , pmul ) százalékban megadott eredményének illusztrá iója az ARMA(2,0) rend esetén a Nikkei225 adatbázison a subspa e-EM, az EM és az RLS módszerek alkalmazásával, különböz® mintaszámok esetén. Bal: padd , jobb: pmul , második sor: az RLS hatékonysága a felejtési faktor függvényében.

25



Russel2000: subspace ARMA(1,0) ARMA(1,1) ARMA(1,2) ARMA(2,0) ARMA(2,1)

60 55 50 45 40

30

60

90 Mintaszám (T)

120

150

Russel2000: subspace−EM 60 55 50 45 40

30

60

Russel2000: EM 60 55 50 45 40

30

60

90 Mintaszám (T)

120

150

55


50 45 40

30

60



Russel2000: RLS, λ=0.99

50 45 40

30

60

90 Mintaszám (T)

90 Mintaszám (T)

120

150

(d)


55

150

Russel2000: RLS, λ=0.9 60

( ) 60

120

(b) Növekedés/csökkenés predikciója: pud


(a)

90 Mintaszám (T)

120

150

Russel2000: RLS, λ=0.995 60 55 50 45 40

30

60

(e)

90 Mintaszám (T)

120

150

(f)

4.17. ábra. Az irány predik iójának (pud ) illusztrá iója a Russell2000 adatbázison. (a): subspa e, (b): subspa e-EM, ( ): EM módszer, (d): RLS, λ=0.9, (e): RLS, λ=0.99, (f):


RLS, λ=0.995.

Russel2000: ARMA(1,2), ARMA(2,0) subspace, ARMA(1,2) subspace−EM, ARMA(1,2) EM, ARMA(1,2) RLS: λ=0.9, ARMA(2,0) RLS: λ=0.99, ARMA(2,0) RLS: λ=0.995, ARMA(2,0)

60 55 50 45 40

30

60

90 Mintaszám (T)

120

150

4.18. ábra. Az irány predik iójának (pud ) illusztrá iója a mintaszám függvényében, ARMA (2,0) esetén a Russell2000 adatbázison különböz® módszerek és felejtési faktorok (λ) esetén.

26

Russel2000: ARMA(1,2) 12


10



Russel2000: ARMA(1,2)

8 6 4 2 0

90


10 8 6 4 2 0

120

90

120

Mintaszám (T)

Mintaszám (T)

(a)

(b) Russel2000: RLS, ARMA(2,0)

Russel2000: RLS, ARMA(2,0)

50 25

T=30 T=60 T=90 T=120 T=150



add

75

75

0 −25

50 25

T=30 T=60 T=90 T=120 T=150

0 −25

−50 0.9

0.95


0.9

0.995

0.95

( )


0.995

(d)

4.19. ábra. A protorientált mér ék (padd , pmul ) százalékban megadott eredményének illusztrá iója a Russell2000 adatbázison a subspa e-EM, az EM módszerek (itt az ARMA rend (1,2)) és az RLS módszer (ARMA rend (2,0)) használatával, különböz® mintaszámok esetén. Bal: padd , jobb: pmul , második sor: az RLS hatékonysága a felejtési faktor függvényében.




add


100

50

0

30

60

90 Mintaszám (T)

120

150

100

50

0

30

(a)

60

90 Mintaszám (T)

120

150

(b)

4.20. ábra. A protorientált mér ék (padd , pmul ) százalékban megadott eredményének illusztrá iója, rögzített λ = 0.995 mellett, a Russell2000 adatbázison a mintaszám függvényében különböz® rendek esetén. (a): padd , (b): pmul .

27

4.5.3.

ARMA-GARCH modellel elért eredmények

Ebben a részben az eddig véletlenszer¶en választott, többnyire emelkedést mutató id®sorok mellé választottam egy törést tartalmazó adatbázist, mint ezt a fejezet elején bemutattam a 4.3 ábrán. Törést tartalmazó id®sorok

El®ször összegzem az ARMA-GARCH futtatások eredményeit a törést tartalmazó id®intervallumon való futtatás esetén: DIA adatbázis:

• Az ARMA-GARCH megközelítés pozitív protokat eredményezett2 (pmul ) minden általam vizsgált GARCH rend esetén, ez látható a 4.21 ábrán. Az ARMA modellnek a (2,0) rendje volt leginkább hatásos, ezt választottam a további illusztrá iókhoz.

• A GARCH rendekre nézve a (2,0) t¶nik leginkább robusztusnak (lásd: 4.22 ábra). • A 4.23 ábrát vizsgálva láthatjuk, hogy a prot, amit az ARMA-GARCH módszerrel kaptunk, valamivel ala sonyabb, mint az ARMA esetén, de nagyságrendileg összehasonlítható az eredmény.

• Az ehhez tartozó protgörbét a 4.24 ábra mutatja az ARMA(2,0)-GARCH(2,0) rendek esetén. Ahogy meggyelhet®, a görbe ígéretesen növekszik, és egészen simának mondható. Nikkei225 adatbázis:

• A kapott protok (pmul ) - különböz® rendek függvényében - a 4.25 ábrán találhatók. Ebb®l kiindulva az ARMA (2,0) rendet választottam az illusztrá ióhoz.

• A különböz® GARCH rendeket tekintve, az (1,0) nyújtotta a legjobb eredményt, a legmagasabb protot, amint ez látható a mintaszám függvényében a 4.26 ábrán.

• A 4.27 ábrán az ARMA-GARCH megközelítés magasan túlteljesít a pmul mér ét tekintve, mint a hagyományos ARMA modellel kapott be slésünk.

• Ahogy az látszik a prot görbén (4.28 ábra), a kezdeti bizonytalanság után a prot növekedése közel monoton. Russell2000 adatbázis:

• A 4.29 ábráról leolvasható, hogy az ARMA rend (2,0)-ra kiugró eredményt mutat a prot (pmul ) mér e alapján, ezt fogjuk a továbbiakban ARMA rendnek használni az illusztrá iókhoz. 2

Hasonló eredményeket kaptam a padd prot mér e estén. Emiatt a pmul protot fogom használni az illusztrá iók során.

28

DIA: törés, EM, T=120 200 150


mul


DIA: törés, EM, T=150 200

GARCH(1,0) GARCH(1,1) GARCH(1,2) GARCH(2,0) GARCH(2,1)

100 50 0

(1,0)

(1,1)

(1,2) ARMA(p,q)

(2,0)

150 100 50 0

(2,1)

GARCH(1,0) GARCH(1,1) GARCH(1,2) GARCH(2,0) GARCH(2,1) (1,0) (1,1)

(1,2) ARMA(p,q)

(a) DIA: törés, subspace−EM, T=120

DIA: törés, subspace−EM, T=150 Profit (multiplikatív): pmul

mul


200 GARCH(1,0) GARCH(1,1) GARCH(1,2) GARCH(2,0) GARCH(2,1)

100 50 0

(2,1)

(b)

200 150

(2,0)

(1,0)

(1,1)

(1,2) ARMA(p,q)

(2,0)

150 100 50 0

(2,1)


(1,0)

(1,1)

(1,2) ARMA(p,q)

( )

(2,0)

(2,1)

(d)

4.21. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) százalékban elért értékének illusztrá iója a törést tartalmazó DIA adatokon, különböz® ARMA-GARCH rendek esetén. (a): EM, T = 120, (b): EM, T = 150, ( ): subspa e-EM, T = 120, (d): subspa e-EM, T = 150.

• Figyeljük meg a GARCH rendeket a 4.30 ábrán, így a (2,0) ideális választásnak t¶nik. • Az elért prot illusztrá iója látható különböz® mintaszám esetén az ARMA(2,0)GARCH(2,0) modellre a 4.31 ábrán. Ez alapján: (i) a prot szinte monoton n® a mintaszám növekedésével, (ii) a GARCH modell jobb választásnak bizonyult, (iii) a subspa e-EM identiká ió lényegesen segíti a be slésünket.

• Az erre vonatkozó prot görbe a 4.32 ábrán látható. A T = 150 mintaszám esetén a görbe szinte egyenletesen növekszik.

29

DIA: törés, subspace−EM, ARMA(2,0) Profit (multiplikatív): pmul


mul

DIA: törés, EM, ARMA(2,0) 150 100 50 GARCH(1,0) GARCH(1,1) GARCH(1,2) GARCH(2,0) GARCH(2,1) 120 150

0 30

60

90 Mintaszám (T)

150 100 50 0 30

60

GARCH(1,0) GARCH(1,1) GARCH(1,2) GARCH(2,0) GARCH(2,1) 90 Mintaszám (T)

(a)

120

150

(b)

4.22. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) százalékban elért értékének illusztrá iója a törést tartalmazó DIA adatokon, ARMA(2,0) rend mellett, különböz® GARCH rendek esetén a mintaszám függvényében. (a): EM, (b): subspa e-EM módszer.

DIA: törés, ARMA(2,0)

DIA: törés, ARMA(2,0)−GARCH(2,0) 250 Profit (multiplikatív): pmul


mul

250 200 150 100 T=30 T=60 T=90 T=120 T=150

50 0 −50

subspace

200 150 100

T=30 T=60 T=90 T=120 T=150

50 0 −50


subspace−EM EM Profit (multiplikatív): pmul

(a)

(b)

4.23. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) százalékban elért értékének illusztrá iója a törést tartalmazó DIA adatokon, a subspa e-EM és EM módszerek alkalmazásával különböz® mintaszámra, ARMA(2,0) rend mellett. (a): ARMA, (b): ARMA-GARCH.

DIA: törés, ARMA(2,0)−GARCH(2,0), subspace−EM Profit (multiplikatív): pmul

200

T=120 T=150

150 100 50 0 0

50

100 150 200 Predikciós horizont

250

300

4.24. ábra. A prot érték (pmul ) görbéjének illusztrá iója a predik iós horizonton, ARMA(2,0)-GARCH(2,0) modell és subspa e-EM módszer esetén a DIA törést tartalmazó adatain. Mintaszám: T = 120 és T = 150.

30

Nikkei225: törés, EM, T=120

Nikkei225: törés, EM, T=150



100

mul

100

50

0

−50 (1,0)

(1,1)

GARCH(1,0) GARCH(1,1) GARCH(1,2) GARCH(2,0) GARCH(2,1) (1,2) (2,0) ARMA(p,q)


50

0

−50

(2,1)

(1,0)

(1,1)

(1,2) ARMA(p,q)

(a)

Nikkei225: törés, subspace−EM, T=150 50

0

−50 (1,0)

(1,1)

(1,2) ARMA(p,q)

(2,0)


mul


mul


50

(2,1)

(b)

Nikkei225: törés, subspace−EM, T=120 GARCH(1,0) GARCH(1,1) GARCH(1,2) GARCH(2,0) GARCH(2,1)

100

(2,0)

0

−50

−100

(2,1)

(1,0)

(1,1)

( )

(1,2) ARMA(p,q)

(2,0)

(2,1)

(d)

4.25. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) százalékban elért értékének illusztrá iója a törést tartalmazó Nikkei225 adatokon, különböz® ARMA-GARCH rendek esetén. (a): EM, T =

120, (b): EM, T = 150, ( ): subspa e-EM, T = 120, (d): subspa e-EM, T = 150.

Nikkei225: törés, EM, ARMA(2,0)

Nikkei225: törés, subspace−EM, ARMA(2,0)



100

mul

100

50

0

−50 30

60

GARCH(1,0) GARCH(1,1) GARCH(1,2) GARCH(2,0) GARCH(2,1) 90 120 Mintaszám (T)

150

50

0

−50 30

(a)

60

GARCH(1,0) GARCH(1,1) GARCH(1,2) GARCH(2,0) GARCH(2,1) 90 120 Mintaszám (T)

150

(b)

4.26. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) százalékban elért értékének illusztrá iója a törést tartalmazó Nikkei225 adatokon, ARMA(2,0) rend mellett, különböz® GARCH rendek esetén a mintaszám függvényében. (a): EM, (b): subspa e-EM módszer.

31

Nikkei225: törés, ARMA(2,0)

Nikkei225: törés, ARMA(2,0)−GARCH(1,0) 100

T=30 T=60 T=90 T=120 T=150

80 60



mul

100

40 20 0 −20

subspace


80 60 40 20 0 −20

EM

T=30 T=60 T=90 T=120 T=150

subspace−EM

EM Módszer

(a)

(b)

4.27. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) százalékban elért értékének illusztrá iója a törést tartalmazó Nikkei225 adatokon, a subspa e-EM és EM módszerek alkalmazásával különböz® mintaszámra, ARMA(2,0) rend mellett. (a): ARMA, (b): ARMA-GARCH. Nikkei225: törés, ARMA(2,0)−GARCH(1,0), subspace−EM Profit (multiplikatív): pmul

100 80

T=120 T=150

60 40 20 0 0

50


250

300

4.28. ábra. A prot érték (pmul ) görbéjének illusztrá iója a predik iós horizonton, ARMA(2,0)-GARCH(1,0) modell és subspa e-EM módszer esetén a Nikkei225 törést tartalmazó adatain. Mintaszám: T = 120 és T = 150. Russell2000: törés, EM, T=120

150 100

Russell2000: törés, EM, T=150 200




mul

200

50 0 −50

(1,0)

(1,1)

(1,2) ARMA(p,q)

(2,0)

150 100 50 0 −50

(2,1)


(1,0)

(1,1)

(a)

100 50 0 −50

(1,0)

(1,1)

(1,2) ARMA(p,q)

(2,1)

Russell2000: törés, subspace−EM, T=150 200



mul


150

(2,0)

(b)

Russell2000: törés, subspace−EM, T=120 200

(1,2) ARMA(p,q)

(2,0)

100 50 0 −50

(2,1)

( )


150

(1,0)

(1,1)

(1,2) ARMA(p,q)

(2,0)

(2,1)

(d)

4.29. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) százalékban elért értékének illusztrá iója a törést tartalmazó Russell2000 adatokon, különböz® ARMA-GARCH rendek esetén. (a): EM, T =

120, (b): EM, T = 150, ( ): subspa e-EM, T = 120, (d): subspa e-EM, T = 150. 32

Russell2000: törés, EM, ARMA(2,0)

150 100

Russell2000: törés, subspace−EM, ARMA(2,0) 200




mul

200

50 0 −50

30

60

90 Mintaszám (T)

120

150 100 50 0 −50

150


30

60

90 Mintaszám (T)

(a)

120

150

(b)

4.30. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) százalékban elért értékének illusztrá iója a törést tartalmazó Russell2000 adatokon, ARMA(2,0) rend mellett, különböz® GARCH rendek esetén a mintaszám függvényében. (a): EM, (b): subspa e-EM módszer.

10

0

Russell2000: törés, ARMA(2,0)−GARCH(2,0) 200


90



mul

Russell2000: törés, ARMA(1,2)

150 100 50 0 −50

120

T=30 T=60 T=90 T=120 T=150

subspace−EM

Mintaszám (T)

EM Módszer

(a)

(b)

4.31. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) százalékban elért értékének illusztrá iója a törést tartalmazó Russell2000 adatokon, a subspa e-EM és EM módszerek alkalmazásával különböz® mintaszámra. (a): ARMA(1,2), (b): ARMA(2,0)-GARCH(2,0).


Russell2000: törés, ARMA(2,0)−GARCH(2,0), subspace−EM 200

T=120 T=150

150 100 50 0 0

50


250

300

4.32. ábra. A prot érték (pmul ) görbéjének illusztrá iója a predik iós horizont függvényében, ARMA(2,0)-GARCH(2,0) modell és subspa e-EM módszer esetén a Russell2000 törést tartalmazó adatain. Mintaszám: T = 120 and T = 150.

33

Emelked® id®sorok

DIA adatbázis:

• A prot illusztrá iója (pmul ) különböz® ARMA-GARCH rendekre a 4.33 ábrán látható. Az ARMA(1,0) rendet használva látjuk, hogy ez egy jó rendválasztás lehet, így a továbbiakban erre szorítkozom.

• A prot értékei külön szerepelnek az ARMA (1,0) rendre a mintaszám függvényében a 4.34 ábrán, a GARCH rendek közül az (1,0) és (2,0) el®nyösnek t¶nik.

• Pozitív prot gyelhet® meg a 4.35 ábrán. • Az ehhez tartozó prot görbéje a 4.36 ábrán látható. Ezt meggyelve láthatjuk, hogy a prot értéke növekszik körülbelül 150 lépésen keresztül, azután elkezd ingadozni. Nikkei225 adatbázis:

• A prot értékek láthatóak a 4.37 ábrán. Ezt gyelembe véve (i) a subspa e-EM optimizálás el®nyösnek t¶nik, (ii) az ARMA rendeknél pedig a (2,1)-et illusztrálom, gyelembe véve a 4.37(d) ábrát.

• A protot a mintaszám függvényében vizsgálhatjuk a 4.38 ábrán. A GARCH rendeket vizsgálva az (1,0) mutatkozik legjobbnak, f®leg nagyobb mintaszám esetén, így T =

150-re. • A magasabb prothoz, a subspa e-EM optimizálás ígéretes be slési lehet®ség, f®leg magasabb mintaszám (T = 150) esetén, ahogy ez a 4.39 ábrán látható.

• Az ehhez tartozó prot görbéket ábrázolja a 4.40 ábra: a fele után, ami egy ini ializáló intervallumnak is tekinthet®, a prot növekszik. Russell2000 adatbázis:

• A prot értékeket a 4.41 ábra mutatja. Láthatjuk, hogy az ARMA modellre a (2, 0) rend ér el pozitív protot (de azt is meggyelhetjük, hogy a törést tartalmazóval összehasonlítva kevesebb protot érünk el, hiszen ott több esetben is 100% felett volt), ezt a rendet választottam illusztrálni.

• A prot értékek láthatóak a 4.42 ábrán a mintaszám függvényében az ARMA(2,0) modell esetén. Ekkor a GARCH rendek közül az (1, 2) el®nyös választás.

• Figyelve a 4.43 ábrát, az EM módszer magasabb protot képes generálni. • Az ehhez tartozó prot görbéket pedig a 4.44 illusztrálja, ami ígéretesen emelkedik.

34

DIA: emelked˝o, EM, T=120

30 20 10 0 −10 −20

(1,0)

(1,1)

(1,2) ARMA(p,q)

(2,0)

DIA: emelked˝o, EM, T=150

40




mul

40

20 10 0 −10 −20

(2,1)


30

(1,0)

(1,1)

(a)

30 20

DIA: emelked˝o, subspace-EM, T=120

0 −10 (1,0)

(1,1)

(2,1)

(1,2) ARMA(p,q)

(2,0)

DIA: emelked˝o, subspace-EM, T=150

40


10

−20

(2,0)

(b)



mul

40

(1,2) ARMA(p,q)

20 10 0 −10 −20

(2,1)


30

(1,0)

(1,1)

( )

(1,2) ARMA(p,q)

(2,0)

(2,1)

(d)

4.33. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) százalékban elért értékének illusztrá iója az emelked® DIA adatokon, különböz® ARMA-GARCH rendek esetén. (a): EM, T = 120, (b): EM, T = 150, ( ): subspa e-EM, T = 120, (d): subspa e-EM, T = 150.

DIA: emelked˝o, subspace-EM, ARMA(1,0)


20 10



mul

DIA: emelked˝o, EM, ARMA(1,0) 30

0 −10 30

60

90 Mintaszám (T)

120

150


30 20 10 0 −10 30

60

(a)

90 Mintaszám (T)

120

150

(b)

4.34. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) százalékban elért értékének illusztrá iója az emelked® DIA adatokon, ARMA(1,0) rend mellett, különböz® GARCH rendek esetén a mintaszám függvényében. (a): EM, (b): subspa e-EM módszerek.

35

DIA: emelked˝o, ARMA(1,0)-GARCH(1,0)

25

T=30 T=60 T=90 T=120 T=150

20 15



25

10 5 0

subspace−EM

T=30 T=60 T=90 T=120 T=150

20 15 10 5 0

EM

DIA: emelked˝o, ARMA(1,0)-GARCH(2,0)

subspace−EM

Módszer

EM Módszer

(a)

(b)

4.35. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) százalékban elért értékének illusztrá iója az emelked® DIA adatokon, a subspa e-EM és EM módszerek alkalmazásával különböz® mintaszámra. (a): ARMA(1,0)-GARCH(1,0), (b): ARMA(1,0)-GARCH(2,0).

25

DIA: emelked˝o, ARMA(1,0)-GARCH(1,0), subspace-EM

25

T=120 T=150



30

20 15 10 5 0 0

50


250

20

(a)

T=120 T=150

15 10 5 0 −5 0

300

DIA: emelked˝o, ARMA(1,0)-GARCH(2,0), subspace-EM

50


250

300

(b)

4.36. ábra. A prot érték (pmul ) görbéje a predik iós horizonton, a subspa e-EM módszer esetén a DIA emelked® adatain. (a): ARMA(1,0)-GARCH(1,0), (b): ARMA(1,0)GARCH(2,0). Mintaszám: T = 120 és T = 150.

36

60 40

Nikkei225: emelked˝o, EM, T=120

80




mul

80

20 0 −20 −40

(1,0)

(1,1)

(1,2) ARMA(p,q)

(2,0)

60 40 20 0 −20 −40

(2,1)

Nikkei225: emelked˝o, EM, T=150 GARCH(1,0) GARCH(1,1) GARCH(1,2) GARCH(2,0) GARCH(2,1)

(1,0)

(1,1)

(1,2) ARMA(p,q)

(a)

60 40

Nikkei225: emelked˝o, subspace-EM, T=120

80


20 0 −20 −40

(1,0)

(1,1)

(1,2) ARMA(p,q)

(2,1)

(b)



mul

80

(2,0)

(2,0)

60 40 20 0 −20 −40

(2,1)

Nikkei225: emelked˝o, subspace-EM, T=150 GARCH(1,0) GARCH(1,1) GARCH(1,2) GARCH(2,0) GARCH(2,1)

(1,0)

(1,1)

(1,2) ARMA(p,q)

( )

(2,0)

(2,1)

(d)

4.37. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) százalékban elért értékének illusztrá iója az emelked® Nikkei225 adatokon, különböz® ARMA-GARCH rendek esetén. (a): EM, T = 120, (b): EM, T = 150, ( ): subspa e-EM, T = 120, (d): subspa e-EM, T = 150.

Nikkei225: emelked˝o, EM, ARMA(2,1)

80


60 40



mul

80

20 0 −20 30

60

90 Mintaszám (T)

120

150

Nikkei225: emelked˝o, subspace-EM, ARMA(2,1) GARCH(1,0) GARCH(1,1) GARCH(1,2) GARCH(2,0) GARCH(2,1)

60 40 20 0 −20 30

60

90 Mintaszám (T)

(a)

120

150

(b)

4.38. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) százalékban elért értékének illusztrá iója az emelked® Nikkei225 adatokon, ARMA(2,1) rend mellett, különböz® GARCH rendek esetén a mintaszám függvényében. (a): EM, (b): subspa e-EM módszer.

37

Nikkei225: emelked˝o, ARMA(2,1)-GARCH(1,0)


80

T=30 T=60 T=90 T=120 T=150

60 40 20 0 −20 subspace−EM

EM Módszer

4.39. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) százalékban elért értékének illusztrá iója az emelked® Nikkei225 adatokon, a subspa e-EM és EM módszerek alkalmazásával különböz® mintaszámra ARMA(2,1)-GARCH(1,0) esetén.


Nikkei225: emelked˝o, ARMA(2,1)-GARCH(1,0), subspace-EM T=120 T=150 40

20

0

−20 0

50


250

300

4.40. ábra. A prot érték (pmul ) görbéje a predik iós horizonton, ARMA(2,1)-GARCH(1,0) modell és subspa e-EM módszer esetén a Nikkei225 emelked® adatain. Mintaszám: T = 120 és T = 150. Russell2000: emelkedõ, EM, T=120

60 40

Russell2000: emelkedõ, EM, T=150 80




mul

80

20 0 −20 (1,0)

(1,1)

(1,2) ARMA(p,q)

(2,0)

60 40


20 0 −20

(2,1)

(1,0)

(1,1)

(a)

40

80 mul




60

20 0 −20 (1,0)

(1,1)

(1,2) ARMA(p,q)

(2,0)

(2,1)

(b)

Russell2000: emelkedõ, subspace−EM, T=120 80

(1,2) ARMA(p,q)

(2,0)

(2,1)

60 40

Russell2000: emelkedõ, subspace−EM, T=150 GARCH(1,0) GARCH(1,1) GARCH(1,2) GARCH(2,0) GARCH(2,1)

20 0 −20 (1,0)

( )

(1,1)

(1,2) ARMA(p,q)

(2,0)

(2,1)

(d)

4.41. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) százalékban elért értékének illusztrá iója az emelked® Russell2000 adatokon, különböz® ARMA-GARCH rendek esetén. (a): EM, T = 120, (b): EM, T = 150, ( ): subspa e-EM, T = 120, (d): subspa e-EM, T = 150. 38

Russell2000: emelkedõ, subspace−EM, ARMA(2,0)


60 40



Russell2000: emelkedõ, EM, ARMA(2,0)

20 0 −20 30

60



60 40 20 0 −20

150

30

60


(a)

150

(b)

4.42. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) százalékban elért értékének illusztrá iója az emelked® Russell2000 adatokon, ARMA(2,1) rend mellett, különböz® GARCH rendek esetén a mintaszám függvényében. (a): EM, (b): subspa e-EM módszer.


Russell2000: emelkedõ, ARMA(2,0)−GARCH(1,2) T=30 T=60 T=90 T=120 T=150

60 40 20 0 −20

subspace−EM

EM Módszer

4.43. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) százalékban elért értékének illusztrá iója az emelked® Russell2000 adatokon, a subspa e-EM és EM módszerek alkalmazásával különböz® mintaszámra ARMA(2,1)-GARCH(1,0) esetén.

Russell2000: emelkedõ, ARMA(2,0)−GARCH(1,2), EM Profit (multiplikatív): pmul

50 40

T=120 T=150

30 20 10 0 −10 0

50


250

300

4.44. ábra. A prot érték (pmul ) görbéje a predik iós horizonton, ARMA(2,1)-GARCH(1,0) modell és EM módszer esetén a Russell2000 emelked® adatain. Mintaszám: T = 120 és

T = 150.

39

4.5.4.

Eredmények a heti mintavételezés¶ adatokon

Ebben a részben ismertetem, hogy milyen eredményeket kaptam a heti mintavételezés¶ adatokon: DIA adatbázis:

• A kapott protot (pmul ) illusztrálja a 4.45 ábra, különböz® ARMA rendekre. Ez a legtöbb ARMA rendre pozitív, ezek közül az ARMA(2,0) rendet vizsgálom a további ábrákon.

• GARCH rendeket tekintve a (2,0) t¶nik robusztus választásnak a 4.46 ábra alapján. • A 4.47 ábrán a prot értékek láthatók a mintaszám függvényében, amit az ARMA(2,0)GARCH(2,0) modellel kaptam. Ezen látszik, hogy a subspa e-EM és az EM-el kapott eredmények hasonlóak.

• Az ehhez a rendhez tartozó prot görbe ígéretesen emelkedik a be slési intervallum alatt (lásd 4.48 ábra). Nikkei225 adatbázis:

• Meggyelve a 4.49 ábrát, az ARMA rendek (2,0) és (1,2) el®nyös választásnak t¶nnek az EM identiká ió esetén. Illusztrá ióként a (2,0) rendet használom a továbbiakban.

• Különböz® GARCH rendeket összehasonlítva (4.50 ábra), az (1,2) és (2,1) ad jobb eredményeket a multiplikatív protot (pmul ) tekintve.

• Az elért prot értékek a mintaszám függvényében a választott ARMA(2,0)-GARCH(1,2) modellre a következ®képpen néznek ki: 4.51 ábra. Az EM identiká ió jobb eredményeket ad, mint a subspa e-EM.

• Ennek a modellnek a görbéje látható a 4.52 ábrán a predik iós horizont függvényében. Az els® félév elteltével kezd emelkedni a görbe. Russell2000 adatbázis:

• Különböz® ARMA-GARCH rendek esetén a kapott prot értékek (pmul ) a 4.53 ábrán látszanak. Az ARMA(1,0) modell 20% körüli, az (1,2) és (2,0) néha jobb eredményeket is hoz. A további illusztrá ióhoz a (2,0) rendet választottam.

• A GARCH rendeket szemügyre véve (4.54 ábra), a legjobb értékek az (1,2) és (1,0) rend választása mellett mutatkoztak.

• A 4.55 ábrán a prot értékek szerepelnek a mintaszám függvényében a választott ARMA(2,0)-GARCH(1,0) és ARMA(2,0)-GARCH(1,2) modellre. Mindkét módszerrel (subspa e-EM, EM) a legmagasabb prot értékek 20-30% körüliek.

• Az ARMA(2,0)-GARCH(1,2) modell prot görbéi a 4.56 ábrán szerepelnek, subspa eEM identiká iós módszer mellett. Emelked® trendet mutatnak. 40

DIA: heti minta, EM, T=120 80 60 40

DIA: heti minta, EM, T=150 100




mul

100

20 0 −20 (1,0)

(1,1)

(1,2) ARMA(p,q)

(2,0)

80 60 40


20 0 −20

(2,1)

(1,0)

(1,1)

(a)

60 40 20 0 −20

(1,0)

(1,1)

(1,2) ARMA(p,q)

(2,1)

DIA: heti minta, subspace−EM, T=150 100



mul


80

(2,0)

(b)

DIA: heti minta, subspace−EM, T=120 100

(1,2) ARMA(p,q)

(2,0)

80 60 40


20 0 −20

(2,1)

(1,0)

(1,1)

( )

(1,2) ARMA(p,q)

(2,0)

(2,1)

(d)

4.45. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) százalékban elért értékének illusztrá iója a heti mintavételezés¶ DIA adatokon, különböz® ARMA-GARCH rendek esetén. (a): EM, T =

120, (b): EM, T = 150, ( ): subspa e-EM, T = 120, (d): subspa e-EM, T = 150.

mul


40

DIA: heti minta, subspace−EM, ARMA(2,0)


60 Profit (multiplikatív): pmul

DIA: heti minta, EM, ARMA(2,0) 60

20 0 −20 30

60

90 Mintaszám (T)

120

150

40 20


0 −20 30

(a)

60

90 Mintaszám (T)

120

150

(b)

4.46. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) százalékban elért értékének illusztrá iója a heti mintavételezés¶ DIA adatokon, ARMA(2,0) rend mellett, különböz® GARCH rendek esetén a mintaszám függvényében. (a): EM, (b): subspa e-EM módszer.

41

DIA: heti minta, ARMA(2,0)−GARCH(2,0) T=30 T=60 T=90 T=120 T=150


60 40 20 0 −20

subspace−EM

EM Módszer

4.47. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) százalékban elért értékének illusztrá iója az emelked® heti mintavételezés¶ DIA adatokon, a subspa e-EM és EM módszerek alkalmazásával különböz® mintaszámra. Modell: ARMA(2,0)-GARCH(2,0). DIA: heti minta, ARMA(2,0)−GARCH(2,0), subspace−EM Profit (multiplikatív): pmul

40

T=120 T=150

30 20 10 0 −10 0

10


50

60

4.48. ábra. Az elért prot (pmul ) görbéjének illusztrá iója a predik iós horizonton, a subspa e-EM módszer esetén a DIA heti adatain. Rend: ARMA(2,0)-GARCH(2,0). Mintaszám: T = 120 és T = 150.

Nikkei225: heti minta, EM, T=120 100

50


mul


Nikkei225: heti minta, EM, T=150 100


0

−50 (1,0)

(1,1)

(1,2) ARMA(p,q)

(2,0)


50

0

−50

(2,1)

(1,0)

(1,1)

(a) Nikkei225: heti minta, subspace−EM, T=120 Profit (multiplikatív): pmul

mul


0

−50 (1,1)

(1,2) ARMA(p,q)

(2,1)

Nikkei225: heti minta, subspace−EM, T=150 100


(1,0)

(2,0)

(b)

100

50

(1,2) ARMA(p,q)

(2,0)

(2,1)

50


0

−50 (1,0)

( )

(1,1)

(1,2) ARMA(p,q)

(2,0)

(2,1)

(d)

4.49. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) százalékban elért értékének illusztrá iója a heti mintavételezés¶ Nikkei225 adatokon, különböz® ARMA-GARCH rendek esetén. (a): EM,

T = 120, (b): EM, T = 150, ( ): subspa e-EM, T = 120, (d): subspa e-EM, T = 150. 42

Nikkei225: heti minta, subspace−EM, ARMA(2,0)


100

50



mul

Nikkei225: heti minta, EM, ARMA(2,0)

0

−50

30

60

90 Mintaszám (T)

120

100

50

0

−50

150


30

60

90 Mintaszám (T)

(a)

120

150

(b)

4.50. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) százalékban elért értékének illusztrá iója a heti mintavételezés¶ Nikkei225 adatokon, ARMA(2,0) rend mellett, különböz® GARCH rendek esetén a mintaszám függvényében. (a): EM, (b): subspa e-EM módszer.


Nikkei225: heti minta, ARMA(2,0)−GARCH(1,2) 100

50

T=30 T=60 T=90 T=120 T=150

0

−50 subspace−EM

EM Módszer

4.51. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) százalékban elért értékének illusztrá iója az emelked® heti mintavételezés¶ Nikkei225 adatokon, a subspa e-EM és EM módszerek alkalmazásával különböz® mintaszámra. Modell: ARMA(2,0)-GARCH(1,2).

Nikkei225: heti minta, ARMA(2,0)−GARCH(1,2), EM Profit (multiplikatív): pmul

100

T=120 T=150

50

0

−50 0

10


50

60

4.52. ábra. Az elért prot (pmul ) görbéje a predik iós horizonton, a subspa e-EM módszer esetén a Nikkei225 heti adatain. Rend: ARMA(2,0)-GARCH(1,2). Mintaszám: T = 120 és

T = 150.

43

Russell2000: heti minta, EM, T=150


40 20



mul

Russell2000: heti minta, EM, T=120

0 −20 (1,0)

(1,1)

(1,2) ARMA(p,q)

(2,0)


40 20 0 −20

(2,1)

(1,0)

(1,1)

40 20

Russell2000: heti minta, subspace−EM, T=120 GARCH(1,0) GARCH(1,1) GARCH(1,2) GARCH(2,0) GARCH(2,1)

0 −20 (1,0)

(1,1)

(1,2) ARMA(p,q)

(2,0)

(2,1)

(b)



mul

(a)

(1,2) ARMA(p,q)

(2,0)

40 20

Russell2000: heti minta, subspace−EM, T=150 GARCH(1,0) GARCH(1,1) GARCH(1,2) GARCH(2,0) GARCH(2,1)

0 −20

(2,1)

(1,0)

(1,1)

( )

(1,2) ARMA(p,q)

(2,0)

(2,1)

(d)

4.53. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) százalékban elért értékének illusztrá iója a heti mintavételezés¶ Russell2000 adatokon, különböz® ARMA-GARCH rendek esetén. (a): EM,

T = 120, (b): EM, T = 150, ( ): subspa e-EM, T = 120, (d): subspa e-EM, T = 150.

Russell2000: heti minta, subspace−EM, ARMA(2,0)


40 20



Russell2000: heti minta, EM, ARMA(2,0)

0 −20 30

60

90 Mintaszám (T)

120

150

40 20


0 −20 30

(a)

60

90 Mintaszám (T)

120

150

(b)

4.54. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) százalékban elért értékének illusztrá iója a heti mintavételezés¶ Russell2000 adatokon, ARMA(2,0) rend mellett, különböz® GARCH rendek esetén a mintaszám függvényében. (a): EM, (b): subspa e-EM módszer.

44

20

Russell2000: heti minta, ARMA(2,0)−GARCH(1,2) T=30 T=60 T=90 T=120 T=150


mul


40

Russell2000: heti minta, ARMA(2,0)−GARCH(1,0) T=30 T=60 T=90 T=120 T=150

0 −20 subspace−EM

40 20 0 −20

EM

subspace−EM

Módszer

EM Módszer

(a)

(b)

4.55. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) százalékban elért értékének illusztrá iója az emelked® heti mintavételezés¶ Russell2000 adatokon, a subspa e-EM és EM módszerek alkalmazásával különböz® mintaszámra. Modell: (a): ARMA(2,0)-GARCH(1,0), (b): ARMA(2,0)-


GARCH(1,2).

Russell2000: heti minta, ARMA(2,0)−GARCH(1,2), subspace−EM 50 T=120 T=150 40 30 20 10 0 −10 0

10


50

60

4.56. ábra. Az elért prot (pmul ) görbéje a predik iós horizonton, a subspa e-EM módszer esetén a Russell2000 heti adatain. Rend: ARMA(2,0)-GARCH(1,2). Mintaszám: T = 120 és T = 150.

45

4.5.5.

ARMA modell és a "high-low" segítségével elért eredmények

A "high-low" segédváltozó hozzávételével az immár 2 dimenziós id®sorok be slési eredményei szerepelnek ebben a fejezetben. A "high-low" a napi legnagyobb és legala sonyabb ár különbségét jelenti. A kapottakat a következ®képpen összegezhetem: Törést tartalmazó id®sorok

DIA adatbázis:

• Ahogy a 4.57 ábrán láthatjuk - a 2 dimenziós modell segítségével, azaz a "highlow" segédváltozó hozzávételével - elérhet® prot (pmul ), amennyiben a mintaszámot

T ≤ 60-re korlátozzuk. Az ARMA rendek tekintetében az (1,0) t¶nik hatékonynak, ezt illusztrálom a továbbiakban.

• Annak ellenére, hogy használjuk a "high-low" segédváltozót, a 4.58 ábra tanulsága az, hogy nem ér el nagyobb protot az így kapott be slésünk.

• Az ehhez tartozó prot görbék láthatóak a 4.59 ábrán. A görbe ígéretesen emelkedik egy rövid ini ializáló periódus után. Nikkei225 adatbázis:

• Különböz® rendekre kapott protot (pmul ) illusztrálja a 4.60 ábra. Ennek alapján ARMA rendnek az (1,0)-t használom az illusztrá iókhoz.

• Ebben az esetben az látszik, hogy nagyobb prot érhet® el a "high-low" segédváltozó hozzávételével (4.61 ábra).

• A prot görbéje szerepel a 4.62 ábrán a T = 60 és T = 90 mintaszám mellett. Növekv® trend gyelhet® meg. Russell2000 adatbázis:

• Látható, hogy ebben az esetben majdnem az egész vizsgált paramétertartományon pozitív protot eredményez a be slési modell (4.63 ábra). Így a rendek közül az (1,0)-t választottam.

• A 4.64 ábra azt mutatja, hogy a "high-low" változó alkalmazásával a prot jelent®sen növelhet®. Így itt a két dimenziós modell jobban teljesített.

• Az ehhez tartozó görbéket a 4.65 ábra mutatja, T = 60 és T = 90 mintaszámokra. Ezekb®l látszik, hogy a prot er®teljesen emelkedik a periódus második felét®l.

46

DIA high−low segédváltozóval: törés, subspace−EM

DIA high−low segédváltozóval: törés, EM 100


80 60 40



mul

100

20 0 −20 −40

30

60

90 Mintaszám (T)

120

60 40 20 0 −20 −40

150


80

30

60

90 Mintaszám (T)

(a)

120

150

(b)

4.57. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) a törést tartalmazó DIA adatokon, a "high-low" segédváltozó használatával, különböz® ARMA rendek esetén. (a): subspa e-EM, (b): EM módszer.

DIA high−low segédváltozóval: törés, ARMA(1,0)

DIA high−low segédváltozó nélkül: törés, ARMA(1,2) 200

T=30 T=60 T=90 T=120 T=150

150 100



mul

200

50 0 −50

subspace−EM

150 100 50 0 −50

EM

T=30 T=60 T=90 T=120 T=150

Módszer

subspace−EM

EM Módszer

(a)

(b)

4.58. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) a törést tartalmazó DIA adatokon, különböz® mintaszám és a subspa e-EM, EM módszer esetén. (a): "high-low" segédváltozóval,


ARMA(1,0), (b): "high-low" segédváltozó nélkül, ARMA(1,2).

DIA high−low segédváltozóval: törés, ARMA(1,0), subspace−EM 80 T=30 T=60 60 40 20 0 −20 −40 0

50


250

300

4.59. ábra. Az elért prot (pmul ) görbéje a predik iós horizonton, a subspa e-EM módszer esetén a törést tartalmazó 2 dimenziós, "high-low" hozzávételével kapott DIA id®soron. Rend: ARMA(1,0). Mintaszám: T = 30 és T = 60.

47


mul


Nikkei225 high−low segédváltozóval: törés, subspace−EM ARMA(1,0) ARMA(1,1) 100 ARMA(1,2) ARMA(2,0) ARMA(2,1) 50

0

−50

30

60

90 Mintaszám (T)

120

Nikkei225 high−low segédváltozóval: törés, EM ARMA(1,0) ARMA(1,1) ARMA(1,2) ARMA(2,0) ARMA(2,1)

100

50

0

−50

150

30

60

90 Mintaszám (T)

(a)

120

150

(b)

4.60. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) a törést tartalmazó Nikkei225 adatokon, a "highlow" segédváltozó használatával, különböz® ARMA rendek esetén. (a): subspa e-EM, (b): EM módszer.

Nikkei225 high−low segédváltozóval: törés, ARMA(2,0)

Nikkei225 high−low segédváltozóval: törés, ARMA(1,0) 100

80 60

mul

T=30 T=60 T=90 T=120 T=150



mul

100

40 20 0 −20

subspace−EM

60 40 20 0 −20

EM

T=30 T=60 T=90 T=120 T=150

80

subspace−EM

Módszer

EM Módszer

(a)

(b)

4.61. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) a törést tartalmazó Nikkei225 adatokon, különböz® mintaszám és a subspa e-EM, EM módszer esetén. (a): "high-low" segédváltozóval, ARMA(1,0), (b): "high-low" segédváltozó nélkül, ARMA(2,0).


Nikkei225 high−low segédváltozóval: törés, ARMA(1,0), subspace−EM 100 80

T=60 T=90

60 40 20 0 −20 0

50


250

300

4.62. ábra. Az elért prot (pmul ) görbéje a predik iós horizonton, a subspa e-EM módszer esetén a törést tartalmazó 2 dimenziós, "high-low" hozzávételével kapott Nikkei225 id®soron. Rend: ARMA(1,0). Mintaszám: T = 60 és T = 90.

48

Russell2000 high−low segédváltozóval: törés, subspace−EM 150 100


mul


Russell2000 high−low segédváltozóval: törés, EM 150


50 0 −50

30

60

90 Mintaszám (T)

120

50 0 −50

150


100

30

60

90 Mintaszám (T)

(a)

120

150

(b)

4.63. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) a törést tartalmazó Russell2000 adatokon, a "highlow" segédváltozó használatával, különböz® ARMA rendek esetén. (a): subspa e-EM, (b): EM módszer.

Russell2000 high−low segédváltozóval: törés, ARMA(1,0)

Russell2000 high−low segédváltozó nélkül: törés, ARMA(1,2)

T=30 T=60 T=90 T=120 T=150

100 80



120

60 40 20 0

subspace−EM

10 0 −10

T=30 T=60 T=90 T=120 T=150

20 10 0 −10

EM

subspace−EM

Módszer

EM Módszer

(a)

(b)

4.64. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) a törést tartalmazó RUT adatokon, különböz® mintaszám és a subspa e-EM, EM módszer esetén. (a): "high-low" segédváltozóval, ARMA(1,0), (b): "high-low" segédváltozó nélkül, ARMA(1,2).


Russell2000 high−low segédváltozóval: törés, ARMA(1,0), subspace−EM 100

T=60 T=90

80 60 40 20 0 −20 0

50


250

300

4.65. ábra. Az elért prot (pmul ) görbéje a predik iós horizonton, a subspa e-EM módszer esetén a törést tartalmazó 2 dimenziós, "high-low" hozzávételével kapott Russell2000 id®soron. Rend: ARMA(1,0). Mintaszám: T = 60 és T = 90.

49

Emelked® id®sorok

Az emelked® id®intervallumokra vonatkozó eredmények a következ®k, amennyiben a segédváltozót gyelembe vesszük, és így 2 dimenziós id®sorral be slem a következ® napi záróárat. DIA adatbázis:

• A különböz® rendekre kapott prot (pmul ) látható a 4.66 ábrán. Ez alapján a "highlow" segédváltozóval elért be slésekkel látszik pozitív prot is. Az illusztrá ióhoz az ARMA rendnek (2,0)-t választottam.

• A prot értékek a mintaszám függvényében növekednek, ez látszik a 4.67 ábrán. Ezek ellenére a segédváltozó nélküli eredmények el®nyösebbnek t¶nnek, mint a "high-low"val elért prot.

• A 4.68 ábra alapján, a be slési horizont felét®l a prot közel monoton módon emelkedik. Nikkei225 adatbázis:

• T ≥ 60 mintaszám esetén növekv® protot kapunk, ez látszik a 4.69 ábrán. Rendek tekintetében megállapíthatjuk, hogy az eredmények hasonlók, az illusztrá ió során az (1,1) ARMA rend fog szerepelni.

• A 4.70 ábrán a prot szépen növekszik a mintaszám függvényében, és a segédváltozó hozzávétele el®nyös.

• A prot görbéket prezentálja a 4.71 ábra. A mintaszám itt T = 120 és 150, és a görbe ebben az esetben emelkedik. Russell2000 adatbázis:

• A kapott protot mutatja a 4.72 ábra. Ebben az esetben az (1,0) és (1,1) a legadekvátabb választás. Ezeket illusztrálom.

• Figyelembe véve a 4.73 ábrát, a subspa e-EM jobb módszer, és a segédváltozó esetében a prot növekszik az 1 dimenziós modellhez képest.

• Ekkor a görbe T = 60 és T = 90 esetén ígéretesen emelkedik. (4.74 ábra)

50

DIA high−low segédváltozóval: emelkedõ, subspace−EM 40 30 20

DIA high−low segédváltozóval: emelkedõ, EM 50




mul

50

10 0 −10 30

60


40 30 20


10 0 −10

150

30

60


(a)

150

(b)

4.66. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) az emelked® DIA adatokon, a "high-low" segédváltozó használatával, különböz® ARMA rendek esetén. (a): subspa e-EM, (b): EM módszer.

DIA high−low segédváltozóval: emelkedõ, ARMA(2,0) 100 80 60

T=30 T=60 T=90 T=120 T=150



mul

120

40 20 0 −20

subspace−EM

DIA high−low segédváltozó nélkül: emelked\H{o}, ARMA(1,1) 120 T=30 100 T=60 T=90 80 T=120 T=150 60 40 20 0 −20

EM Módszer

subspace−EM

EM Módszer

(a)

(b)

4.67. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) az emelked® DIA adatokon, különböz® mintaszám és a subspa e-EM, EM módszer esetén. (a): "high-low" segédváltozóval, ARMA(2,0), (b): "high-low" segédváltozó nélkül, ARMA(1,1).


mul

DIA high−low segédváltozóval: emelkedõ, ARMA(2,0), subspace−EM 15 T=120 T=150 10 5 0 −5 −10 0

50


250

300

4.68. ábra. Az elért prot (pmul ) görbéje a predik iós horizonton, a subspa e-EM módszer esetén a 2 dimenziós, "high-low" hozzávételével kapott emelked® árakat tartalmazó DIA id®soron. Rend: ARMA(2,0). Mintaszám: T = 120 és T = 150.

51

20 0 −20

30

60


Nikkei225 high−low segédváltozóval: emelkedõ, EM 100 Profit (multiplikatív): pmul

mul


Nikkei225 high−low segédváltozóval: emelkedõ, subspace−EM 100 ARMA(1,0) ARMA(1,1) 80 ARMA(1,2) 60 ARMA(2,0) ARMA(2,1) 40

80 60 40 20 0 −20

150


30

60

90 Mintaszám (T)

(a)

120

150

(b)

4.69. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) az emelked® Nikkei225 adatokon, a "high-low" segédváltozó használatával, különböz® ARMA rendek esetén. (a): subspa e-EM, (b): EM

20 0

mul

Nikkei225 high−low segédváltozóval: emelkedõ, ARMA(1,1) 100 T=30 T=60 80 T=90 T=120 60 T=150 40



mul

módszer.

−20

Nikkei225 high−low segédváltozó nélkül: emelkedõ, ARMA(1,1) 100 T=30 T=60 80 T=90 60 T=120 T=150 40 20 0 −20

subspace−EM

EM

subspace−EM

Módszer

EM Módszer

(a)

(b)

4.70. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) az emelked® Nikkei225 adatokon, különböz® mintaszám és a subspa e-EM, EM módszer esetén. (a): "high-low" segédváltozóval, ARMA(1,1), (b): "high-low" segédváltozó nélkül, ARMA(1,1).

Nikkei225 high−low segédváltozóval: emelkedõ, ARMA(1,1), subspace−EM


mul

60

T=120 T=150

40 20 0 −20 0

50


250

300

4.71. ábra. Az elért prot (pmul ) görbéje a predik iós horizonton, a subspa e-EM módszer esetén a 2 dimenziós, "high-low" hozzávételével kapott emelked® árakat tartalmazó Nikkei225 id®soron. Rend: ARMA(1,1). Mintaszám: T = 120 és T = 150.

52

Russell2000 high−low segédváltozóval: emelkedõ, EM mul

60 Profit (multiplikatív): p

mul


Russell2000 high−low segédváltozóval: emelkedõ, subspace−EM 60 ARMA(1,0) ARMA(1,1) ARMA(1,2) 40 ARMA(2,0) ARMA(2,1) 20 0 −20 −40

30

60



40 20 0 −20 −40

150

30

60


(a)

150

(b)

4.72. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) az emelked® DIA adatokon, a "high-low" segédvál-


Russell2000 high−low segédváltozó nélkül: emelkedõ, ARMA(1,1) 60 T=30 T=60 40 T=90 T=120 T=150 20

mul

Russell2000 high−low segédváltozóval: emelkedõ, ARMA(1,1) 60 T=30 T=60 40 T=90 T=120 T=150 20



mul

tozó használatával, különböz® ARMA rendek esetén. (a): subspa e-EM, (b): EM módszer.


EM

EM Módszer

Módszer

(a)

(b)

4.73. ábra. A multiplikatív prot (pmul ) az emelked® Russell2000 adatokon, különböz® mintaszám és a subspa e-EM, EM módszer esetén. (a): "high-low" segédváltozóval, ARMA(1,1), (b): "high-low" segédváltozó nélkül, ARMA(1,1).

Russell2000 high−low segédváltozóval: emelkedõ, ARMA(1,1), subspace−EM


mul

60

T=60 T=90

40 20 0 −20 0

50


250

300

4.74. ábra. Az elért prot (pmul ) görbéje a predik iós horizonton, a subspa e-EM módszer esetén a 2 dimenziós, "high-low" hozzávételével kapott emelked® árakat tartalmazó Russell2000 id®soron. Rend: ARMA(2,0). Mintaszám: T = 60 és T = 90.

53

4.5.6.

ARMA-GARCH modell és a "high-low" segítségével elért eredmények

Szintén a "high-low" segédváltozó hozzávételével történt a predik ió, és ARMA-GARCH modellt használtam. Az itt kapott eredményeket, az ARMA-GARCH 1 dimenziós modell eredményeit és a 2 dimenziós ARMA modell eredményeit hasonlítottam össze. Törést tartalmazó id®sorok

DIA adatbázis:

• A kapott protok (pmul ) a 4.75 ábrán találhatók különböz® ARMA és GARCH rendekre. Az olvasható le, hogy az ARMA(2,0)-(2,0) modell el®nyös választás. Ezt alkalmazzuk az illusztrá iókhoz.

• A protok külön láthatóak. A 4.76(b) ábra mutatja a választott ARMA(2,0)-GARCH(2,0) modellel kapott be slésünket a mintaszám függvényében. Az ARMA identiká iós te hnikák tekintetében a subspa e-EM el®nyös lehet. Összehasonlítva a 4.76(a) ábrával, a segédváltozó nélkül kapott eredmények hasonlóak. Ugyanakkor a 4.76( ) ábrával való hasonlítás eredménye, (ahol a modellünk az ARMA, látszik), hogy nagyobb prot érhet® el, mint ARMA-GARCH modell esetén.

• A prot görbéket a 4.77 ábra mutatja T = 90 és T = 120 mintaszám mellett. Ezek növekednek a predik iós horizonton, ez ígéretes. Nikkei225 adatbázis:

• A 4.78 ábra alapján az ARMA(1,0)-GARCH(2,0) modellt választva ér el a be slés nagyobb protot (pmul ). Ezt használom az illusztrá ióhoz.

• Ahogy látható a 4.79 ábrán, maximális protot a segédváltozóval és ARMA-GARCH modellel produkál, de a segédváltozó nélküli ARMA-GARCH és a 2 dimenziós ARMA modell is hasonló eredménnyel szolgál.

• Ehhez tartozó prot görbe T = 60 mellett majdnem monoton módon emelkedik, ez látható a 4.80 ábrán. Russell2000 adatbázis:

• A prot értékeket mutatja a 4.81 ábra, különböz® ARMA-GARCH rendekre. Ez alapján az ARMA(2,0)-GARCH(1,0) modell el®nyös választás. Ezt illusztrálom.

• Az ARMA-GARCH megközelítés jóval nagyobb protot produkál, mint az ARMA modell, abban az esetben, ha a "high-low" változót használjuk a be sléshez [4.82(b)( ) ábra℄. Az ARMA-GARCH modell 1 dimenziós esetben eredményesebb, mint 2 dimenzió esetén [4.82(a)-(b) ábra℄. 54

• A prot görbéket illusztrálja a 4.83 ábra. Ezek er®sen emelkednek a befektetési periódusunk második felében.

55

DIA high−low segédváltozóval: törés, EM, ARMA(1,0) mul



DIA high−low segédváltozóval: törés, subspace−EM, ARMA(1,0) 200 GARCH(1,0) GARCH(1,1) 150 GARCH(1,2) GARCH(2,0) GARCH(2,1) 100 50 0 30

60

90 Mintaszám (T)

120


150 100 50 0

150

30

60

DIA high−low segédváltozóval: törés, subspace−EM, ARMA(1,1) 200 GARCH(1,0) GARCH(1,1) 150 GARCH(1,2) GARCH(2,0) 100 GARCH(2,1) 50 0


150 100 50 0 −50

30

60

90 Mintaszám (T)

120

150

30

60

DIA high−low segédváltozóval: törés, subspace−EM, ARMA(1,2) 200 GARCH(1,0) GARCH(1,1) 150 GARCH(1,2) GARCH(2,0) GARCH(2,1) 100

90 Mintaszám (T)

120

mul


150 100 50 0

150

30

60

(e)

150

DIA high−low segédváltozóval: törés, EM, ARMA(2,0) mul


0 90 Mintaszám (T)

120

250

50

60

90 Mintaszám (T)

(f)

DIA high−low segédváltozóval: törés, subspace−EM, ARMA(2,0) 250 GARCH(1,0) GARCH(1,1) 200 GARCH(1,2) GARCH(2,0) 150 GARCH(2,1) 100

30

150

DIA high−low segédváltozóval: törés, EM, ARMA(1,2)

0 60

120

200

50

30

90 Mintaszám (T)

(d)



( )


150

DIA high−low segédváltozóval: törés, EM, ARMA(1,1) 200

−50

120


200 150 100 50 0

150

30

60

(g)

90 Mintaszám (T)

120

150

(h)

50 0

DIA high−low segédváltozóval: törés, EM, ARMA(2,1) 200 mul

DIA high−low segédváltozó: törés, subspace−EM, ARMA(2,1) 200 GARCH(1,0) GARCH(1,1) 150 GARCH(1,2) GARCH(2,0) GARCH(2,1) 100



120

(b)



mul

(a)

90 Mintaszám (T)

−50


150 100 50 0 −50

30

60


150

30

(i)

60


150

(j)

4.75. ábra. A multiplikatív prot illusztrá iója (pmul ) a mintaszám függvényében a törést tartalmazó DIA adatokon, különböz® ARMA-GARCH rendekre a "high-low" segédváltozó használatával. Els® sor: ARMA(1,0), második sor: ARMA(1,1), harmadik sor: ARMA(1,2), negyedik: ARMA(2,0), ötödik: ARMA(2,1). Els® oszlop: subspa e-EM, második oszlop: EM módszer. 56

50 0 −50

subspace−EM

DIA high−low segédváltozóval: törés, ARMA(2,0)−GARCH(2,0) 200 T=30 T=60 150 T=90 T=120 100 T=150


mul


DIA high−low segédváltozó nélkül: törés, ARMA(2,0)−GARCH(2,0) 200 T=30 T=60 150 T=90 T=120 100 T=150

50 0 −50

EM

subspace−EM

Módszer

EM Módszer

(a)

(b) DIA high−low segédváltozóval: törés, ARMA(1,0)


mul

200 T=30 T=60 T=90 T=120 T=150

150 100 50 0 −50

subspace−EM

EM Módszer

( )

4.76. ábra. A multiplikatív prot illusztrá iója (pmul ) a törést tartalmazó DIA adatokon, különböz® mintaszámra, a subspa e-EM és EM módszerekre. (a): "high-low" nélkül, ARMA(2,0)-GARCH(2,0), (b): "high-low" hozzávételével, ARMA(2,0)-GARCH(2,0), ( ) "high-low" hozzávételével, ARMA(1,0).

DIA high−low segédváltozóval: törés, ARMA(2,0)−GARCH(2,0), subspace−EM


mul

200 150 100 T=90 T=120

50 0 0

50


250

300

4.77. ábra. Az elért prot (pmul ) görbéje a predik iós horizonton, a subspa e-EM módszer esetén. A törést tartalmazó DIA adatain a "high-low" segédváltozó hozzávételével. Rend: ARMA(2,0)-GARCH(2,0), mintaszám: T = 90 és T = 120.

57

Nikkei225 high−low segédváltozóval: törés, subspace−EM, ARMA(1,0) 200 GARCH(1,0) GARCH(1,1) 150 GARCH(1,2) GARCH(2,0) 100 GARCH(2,1)

Nikkei225 high−low segédváltozóval: törés, EM, ARMA(1,0) Profit (multiplikatív): pmul


mul

200

50 0 −50


150 100 50 0 −50

30

60

90 Mintaszám (T)

120

150

30

60

(a)

50 0


200 150 100 50 0 −50

30

60

90 Mintaszám (T)

120

150

30

60

( )

50 0 −50 60

90 Mintaszám (T)

120

100 50 0 −50

150

30

60


mul

0 −50 120

100 50 0 −50

150

30

60

120

150

0 −50 120

Nikkei225 high−low segédváltozóval: törés, EM, ARMA(2,1) 200 Profit (multiplikatív): pmul

mul

50

90 Mintaszám (T)

90 Mintaszám (T)

(h)


60

150


150

(g)

30

120

Nikkei225 high−low segédváltozóval: törés, EM, ARMA(2,0) 200

50

90 Mintaszám (T)

90 Mintaszám (T)

(f)


60

150


150

(e)

30

120



30

90 Mintaszám (T)

(d)

mul


150



mul

Nikkei225 high−low segédváltozóval: törés, subspace−EM, ARMA(1,1) 250 GARCH(1,0) GARCH(1,1) 200 GARCH(1,2) 150 GARCH(2,0) GARCH(2,1) 100


120

(b)

−50


90 Mintaszám (T)

150


150 100 50 0 −50 30

(i)

60

90 Mintaszám (T)

120

150

(j)

4.78. ábra. A multiplikatív prot illusztrá iója (pmul ) a mintaszám függvényében a törést tartalmazó Nikkei225 adatokon, különböz® ARMA-GARCH rendekre a "high-low" segédváltozó használatával. Els® sor: ARMA(1,0), második sor: ARMA(1,1), harmadik sor: ARMA(1,2), negyedik: ARMA(2,0), ötödik: ARMA(2,1). Els® oszlop: subspa e-EM, második oszlop: EM módszer. 58

50 0 −50

subspace−EM



mul

Nikkei225 high−low segédváltozó nélkül: törés, ARMA(2,0)−GARCH(1,0) 250 T=30 T=60 200 T=90 T=120 150 T=150 100

Nikkei225 high−low segédváltozóval: törés, ARMA(1,0)−GARCH(2,0) 250 T=30 T=60 200 T=90 T=120 150 T=150 100 50 0 −50

EM

subspace−EM

Módszer

EM Módszer

(a)

(b) Nikkei225 high−low segédváltozóval: törés, ARMA(1,0)


250 200 150

T=30 T=60 T=90 T=120 T=150

100 50 0 subspace−EM

EM Módszer

( )

4.79. ábra. A multiplikatív prot illusztrá iója (pmul ) a törést tartalmazó Nikkei225 adatokon, különböz® mintaszámra, a subspa e-EM és EM módszerekre. (a): "high-low" nélkül, ARMA(2,0)-GARCH(1,0), (b): "high-low" hozzávételével, ARMA(1,0)-GARCH(2,0), ( ): "high-low" hozzávételével, ARMA(1,0).

Nikkei225 high−low segédváltozóval: emelked\H{o}, ARMA(1,0)−GARCH(2,0), EM Profit (multiplikatív): pmul

200 150

T=60 T=90

100 50 0 0

50


250

300

4.80. ábra. Az elért prot (pmul ) görbéje a predik iós horizonton, a subspa e-EM módszer esetén. A törést tartalmazó Nikkei225 adatain a "high-low" segédváltozó hozzávételével. Rend: ARMA(1,0)-GARCH(2,0), mintaszám: T = 60 és T = 90.

59

150 100


50 0 −50 30

60

Russell2000 high−low segédváltozóval: törés, EM, ARMA(1,0) Profit (multiplikatív): pmul


mul

Russell2000 high−low segédváltozóval: törés, subspace−EM, ARMA(1,0)

90 Mintaszám (T)

120


150 100 50 0 −50

150

30

60

(a) GARCH(1,0) GARCH(1,1) GARCH(1,2) GARCH(2,0) GARCH(2,1)

50 0 −50 30

60

90 Mintaszám (T)

120


150 100 50 0 −50

150

30

60

( ) GARCH(1,0) GARCH(1,1) GARCH(1,2) GARCH(2,0) GARCH(2,1)

50 0 −50 30

60

90 Mintaszám (T)

120

100 50 0 −50

150

30

60

90 Mintaszám (T)

120


mul


0

60

30

60

0 −50 90 Mintazám (T)

120

150


mul


50

60

90 Mintaszám (T)

(h)


30

150

0 −50

150

Russell2000 high−low segédváltozóval: törés, subspace−EM, ARMA(2,1)

100

120

Russell2000 high−low segédváltozóval: törés, EM, ARMA(2,0) 150 GARCH(1,0) GARCH(1,1) GARCH(1,2) 100 GARCH(2,0) GARCH(2,1) 50

(g)

150

90 Mintaszám (T)

(f)

Russell2000 high−low segédváltozóval: törés, subspace−EM, ARMA(2,0) 150 GARCH(1,0) GARCH(1,1) GARCH(1,2) 100 GARCH(2,0) GARCH(2,1) 50

30

150


150

(e)

−50

120


mul


100

90 Mintaszám (T)

(d)

Russell2000 high−low segédváltozóval: törés, subspace−EM, ARMA(1,2) 150

150


mul


100

120

(b)

Russell2000 high−low segédváltozóval: törés, subspace−EM, ARMA(1,1) 150

90 Mintaszám (T)

120

150

150 100


50 0 −50 30

(i)

60

90 Mintaszám (T)

120

150

(j)

4.81. ábra. A multiplikatív prot illusztrá iója (pmul ) a mintaszám függvényében a törést tartalmazó Russell2000 adatokon, különböz® ARMA-GARCH rendekre a "high-low" segédváltozó használatával. Els® sor: ARMA(1,0), második sor: ARMA(1,1), harmadik sor: ARMA(1,2), negyedik: ARMA(2,0), ötödik: ARMA(2,1). Els® oszlop: subspa e-EM, második oszlop: EM módszer. 60

50 0 −50

subspace−EM

Russell2000 high−low segédváltozóval: törés, ARMA(2,0)−GARCH(1,0) 200 T=30 T=60 150 T=90 T=120 100 T=150



mul

Russell2000 high−low segédváltozó nélkül: törés, ARMA(2,0)−GARCH(1,1) 200 T=30 T=60 150 T=90 T=120 100 T=150

50 0 −50

EM

subspace−EM

Módszer

EM Módszer

(a)

(b) Russell2000 high−low segédváltozóval: törés, ARMA(1,0) Profit (multiplikatív): pmul

200 T=30 T=60 T=90 T=120 T=150

150 100 50 0 −50

subspace−EM

EM Módszer

( )

4.82. ábra. A multiplikatív prot illusztrá iója (pmul ) a törést tartalmazó Russell2000 adatokon, különböz® mintaszámra, a subspa e-EM és EM módszerekre. (a): "high-low" nélkül, ARMA(2,0)-GARCH(1,1), (b): "high-low" hozzávételével, ARMA(2,0)-GARCH(1,0), ( ): "high-low" hozzávételével, ARMA(1,0).


Russell2000 high−low segédváltozóval: törés, ARMA(2,0)−GARCH(1,0), EM

100

T=120 T=150

50

0 0

50


250

300

4.83. ábra. Az elért prot (pmul ) görbéje a predik iós horizonton, a subspa e-EM módszer esetén. A törést tartalmazó Russell2000 adatain a "high-low" segédváltozó hozzávételével. Rend: ARMA(2,0)-GARCH(1,0), mintaszám: T = 120 és T = 150.

61

Emelked® id®sorok

DIA adatbázis:

• Ha a prot értékeket nézem a 4.84 ábrán, az látszik, hogy az ARMA(2,0) modell mellett pozitív prot értékeket kaptam a vizsgált GARCH rendekre. Illusztrá ióhoz a (2,0)-(2,1) rendet választottam.

• A 4.85 ábrát tekintve az ARMA-GARCH modell alkalmazása el®nyös, illetve a "highlow" segédváltozó hozzávételével is az elért prot n®tt.

• Az ehhez kap solódó görbék a 4.86 ábrán láthatóak. A T = 60 és T = 90 mintaszám mellett elég egyenletes növekedést láthatunk a predik iós intervallumon. Nikkei225 adatbázis:

• Az elért protok elég változékonyak a különböz® rendekre és mintaszámokra. Ezt mutatja a 4.87 ábra, ami alapján az ARMA(1,1)-GARCH(1,0) modellt illusztrálom.

• Látható (4.88 ábra), hogy van olyan mintaszám (T = 120), amire a 2 dimenziós ARMA-GARCH modell kiemelked® protot ér el, de ennek ellenére az eddigi be sléseink, azaz a 2 dimenziós ARMA illetve az ARMA-GARCH modell segédváltozó nélkül jobb teljesítményt mutatott. Ebben az esetben a hagyományos ARMA modell a legel®nyösebb.

• A prot görbe er®sen emelkedik a már említett T = 120-as mintaszám esetén (4.89 ábra). Russell2000 adatbázis:

• Figyelembe véve a 4.90 ábrán látható prot értékeket az ARMA(2,1)-GARCH(1,1) modellt ábrázolom a továbbiakban.

• Ahogy látható (4.91 ábra),(i) a "high-low" segítségével extra protot érhetünk el, a másik meggyelés (ii), hogy az ARMA-GARCH és ARMA modell hasonló eredményeket produkál, illetve a (iii) a subspa e-EM modell be slés el®nyösebb.

• Az ehhez tartozó prot görbék a 4.92 ábrán szerepelnek a T = 120 és T = 150 mintaszámok esetén, ezek az intervallumon emelkednek.

62

20 0 −20 30

60


mul



DIA high−low segésváltozóval: emelkedõ, subspace−EM, ARMA(1,0) 100 GARCH(1,0) GARCH(1,1) 80 GARCH(1,2) 60 GARCH(2,0) GARCH(2,1) 40

DIA high−low segésváltozóval: emelkedõ, EM, ARMA(1,0) 100 GARCH(1,0) GARCH(1,1) 80 GARCH(1,2) 60 GARCH(2,0) GARCH(2,1) 40 20 0 −20

150

30

60

20 0 −20 60





30

DIA high−low segésváltozóval: emelkedõ, EM, ARMA(1,1) 100 GARCH(1,0) GARCH(1,1) 80 GARCH(1,2) 60 GARCH(2,0) GARCH(2,1) 40 20 0 −20

150

30

60

20 0 −20 90 120 Mintaszám (T)




60

20 0 −20

150

30

60

0 −20

mul



20


20 0 −20

150

30

60

0 −20

mul



20



150

(h)


60

150

DIA high−low segésváltozóval: emelkedõ, EM, ARMA(2,0) 100 GARCH(1,0) GARCH(1,1) 80 GARCH(1,2) 60 GARCH(2,0) GARCH(2,1) 40

(g)

30


(f)


60

150

DIA high−low segésváltozóval: emelkedõ, EM, ARMA(1,2) 100 GARCH(1,0) GARCH(1,1) 80 GARCH(1,2) 60 GARCH(2,0) GARCH(2,1) 40

(e)

30


(d)

mul

( )

30

150

(b)

mul

(a)


150

DIA high−low segésváltozóval: emelkedõ, EM, ARMA(2,1) 100 GARCH(1,0) GARCH(1,1) 80 GARCH(1,2) 60 GARCH(2,0) GARCH(2,1) 40 20 0 −20 30

(i)

60


150

(j)

4.84. ábra. A multiplikatív prot illusztrá iója (pmul ) a mintaszám függvényében az emelked® DIA adatokon, különböz® ARMA-GARCH rendekre a "high-low" segédváltozó használatával. Els® sor: ARMA(1,0), második sor: ARMA(1,1), harmadik sor: ARMA(1,2), negyedik: ARMA(2,0), ötödik: ARMA(2,1). Els® oszlop: subspa e-EM, második oszlop: EM módszer.

63

0 −20

subspace−EM

DIA high−low segésváltozóval: emelkedõ, ARMA(2,0)−GARCH(2,1) 60 T=30 T=60 T=90 40 T=120 T=150 20

mul



mul

DIA high−low segédváltozó nélkül: emelkedõ, ARMA(1,0)−GARCH(2,0) 60 T=30 T=60 T=90 40 T=120 T=150 20

0

−20

EM Módszer

subspace−EM

EM Módszer

(a)

(b) DIA high−low segédváltozóval: emelkedõ, ARMA(2,0)


mul

60 40

T=30 T=60 T=90 T=120 T=150

20 0 −20

subspace−EM

EM Módszer

( )

4.85. ábra. A multiplikatív prot illusztrá iója (pmul ) az emelked® DIA adatokon, különböz® mintaszámra, a subspa e-EM és EM módszerekre. (a): "high-low" nélkül, ARMA(1,0)-GARCH(2,0), (b): "high-low" hozzávételével, ARMA(2,0)-GARCH(2,1), ( ): "high-low" hozzávételével, ARMA(2,0).

DIA high−low segédváltozóval: emelkedõ, ARMA(2,0)−GARCH(2,1), subspace−EM


mul

35 30

T=60 T=90

25 20 15 10 5 0 0

50


250

300

4.86. ábra. Az elért prot (pmul ) görbéje a predik iós horizonton, a subspa e-EM módszer esetén. Az emelked® DIA adatain a "high-low" segédváltozó hozzávételével. Rend: ARMA(2,0)-GARCH(2,1), mintaszám: T = 60 és T = 90.

64

Nikkei225 high−low segédváltozóval: emelkedõ, subspace−EM, ARMA(1,0)

Nikkei225 high−low segédváltozóval: emelkedõ, EM, ARMA(1,0)

20 0 −20 −40

30

60



mul


40



60

40 20 0 −20 −40

150

30

60

(a)

Nikkei225 high−low segédváltozóval: emelkedõ, EM, ARMA(1,1)

20

60

0 −20 −40

30

60


mul




40


40 20 0 −20 −40

150

30

60

( )

20

mul


0 −20 −40

30

60


60

20 0 −20 −40

150


40

30

60

(e) Nikkei225 high−low segédváltozóval: emelkedõ, subspace−EM, ARMA(2,0)

0 −20 60


mul




30


40 20 0 −20 −40

150

30

60

(g)

20 0 −20 −40

30

60


mul




40


150

(h)

Nikkei225 high−low segédváltozóval: emelkedõ, subspace−EM, ARMA(2,1) 60

150

Nikkei225 high−low segédváltozóval: emelkedõ, EM, ARMA(2,0) 60

20

−40


(f)

60 40

150

Nikkei225 high−low segédváltozóval: emelkedõ, EM, ARMA(1,2) Profit (multiplikatív): p

mul


40


(d)


150

(b)



150

(i)

Nikkei225 high−low segédváltozóval: emelkedõ, EM, ARMA(2,1) GARCH(1,0) GARCH(1,1) GARCH(1,2) GARCH(2,0) GARCH(2,1)

60 40 20 0 −20 −40

30

60


150

(j)

4.87. ábra. A multiplikatív prot illusztrá iója (pmul ) a mintaszám függvényében az emelked® Nikkei225 adatokon, különböz® ARMA-GARCH rendekre a "high-low" segédváltozó használatával. Els® sor: ARMA(1,0), második sor: ARMA(1,1), harmadik sor: ARMA(1,2), negyedik: ARMA(2,0), ötödik: ARMA(2,1). Els® oszlop: subspa e-EM, második oszlop: EM módszer. 65

Nikkei225 high−low segédváltozóval: emelkedõ, ARMA(2,1)−GARCH(1,0)

40 20 0 −20 −40

subspace−EM

80 mul

T=30 T=60 T=90 T=120 T=150

60



mul

80

Nikkei225 high−low segédváltozóval: emelkedõ, ARMA(1,1)−GARCH(1,0) 60 40 20 0 −20 −40

EM

T=30 T=60 T=90 T=120 T=150

subspace−EM

Módszer

EM Módszer

(a)

(b) Nikkei225 high−low segédváltozóval: emelkedõ, ARMA(1,1)


mul

80

T=30 T=60 T=90 T=120 T=150

60 40 20 0 −20 −40

subspace−EM

EM Módszer

( )

4.88. ábra. A multiplikatív prot illusztrá iója (pmul ) az emelked® Nikkei225 adatokon, különböz® mintaszámra, a subspa e-EM és EM módszerekre. (a): "high-low" nélkül, ARMA(2,1)-GARCH(1,0), (b): "high-low" hozzávételével, ARMA(1,1)-GARCH(1,0), ( ): "high-low" hozzávételével, ARMA(1,1).

Nikkei225 high−low segédváltozóval: emelkedõ, ARMA(1,1)−GARCH(1,0), subspace−EM


mul

80 60

T=90 T=120

40 20 0 −20 0

50


250

300

4.89. ábra. Az elért prot (pmul ) görbéje a predik iós horizonton, a subspa e-EM módszer esetén. Az emelked® Nikkei225 adatain a "high-low" segédváltozó hozzávételével. Rend: ARMA(1,2)-GARCH(1,0), mintaszám: T = 90 és T = 120.

66

Russell2000 high−low segédváltozóval: emelkedõ, subspace−EM, ARMA(1,0)

20


mul

40

Russell2000 high−low segédváltozóval: emelkedõ, EM, ARMA(1,0) 60 Profit (multiplikatív): p


60

0 −20 −40 30

60



40 20 0 −20 −40

150

30

60

(a)

Russell2000 high−low segédváltozóval: emelkedõ, EM, ARMA(1,1)

20 0 −20 −40 30

60


mul




40


40 20 0 −20 −40

150

30

60

( )




20 0 −20 −40 30

60


40 20 0 −20 −40

150

30

60

(e)

mul

0 −20 −40 30

60



40 20 0 −20 −40

150

30

60

(g)

20

mul

0 −20 −40 30

60


150

Russell2000 high−low segédváltozóval: emelkedõ, EM, ARMA(2,1) 60 Profit (multiplikatív): p


40


(h)

Russell2000 high−low segédváltozóval: emelkedõ, subspace−EM, ARMA(2,1) GARCH(1,0) GARCH(1,1) GARCH(1,2) GARCH(2,0) GARCH(2,1)

60

150

Russell2000 high−low segédváltozóval: emelkedõ, EM, ARMA(2,0)



20

120

60


40

90 Mintazám (T)

(f)

Russell2000 high−low segédváltozóval: emelkedõ, subspace−EM, ARMA(2,0) 60

150

Russell2000 high−low segédváltozóval: emelked\H{o}, EM, ARMA(1,2) GARCH(1,0) GARCH(1,1) GARCH(1,2) GARCH(2,0) GARCH(2,1)

60

40


(d)


150

(b)



150


40 20 0 −20 −40 30

(i)

60


150

(j)

4.90. ábra. A multiplikatív prot illusztrá iója (pmul ) a mintaszám függvényében az emelked® Russell2000 adatokon, különböz® ARMA-GARCH rendekre a "high-low" segédváltozó használatával. Els® sor: ARMA(1,0), második sor: ARMA(1,1), harmadik sor: ARMA(1,2), negyedik: ARMA(2,0), ötödik: ARMA(2,1). Els® oszlop: subspa e-EM, második oszlop: EM módszer.

67

Russell2000 high−low segédváltozóval: emelkedõ, ARMA(2,0)−GARCH(1,2) 100

60 40

mul

T=30 T=60 T=90 T=120 T=150

80



mul

100

Russell2000 high−low segédváltozóval: emelkedõ, ARMA(2,1)−GARCH(1,1)

20 0 −20 −40

subspace−EM

80 60 40 20 0 −20 −40

EM

T=30 T=60 T=90 T=120 T=150

subspace−EM

Módszer

EM Módszer

(a)

(b) Russell2000 high−low segédváltozóval: emelkedõ, ARMA(1,1) T=30 T=60 T=90 T=120 T=150


mul

100 80 60 40 20 0 −20 −40

subspace−EM

EM Módszer

( )

4.91. ábra. A multiplikatív prot illusztrá iója (pmul ) az emelked® Russell2000 adatokon, különböz® mintaszámra, a subspa e-EM és EM módszerekre. (a): "high-low" nélkül, ARMA(2,0)-GARCH(1,2), (b): "high-low" hozzávételével, ARMA(2,1)-GARCH(1,1), ( ): "high-low" hozzávételével, ARMA(1,1).

Russell2000 high−low segédváltozóval: emelkedõ, ARMA(2,1)−GARCH(1,1), subspace−EM Profit (multiplikatív): pmul

100 80 60 40 20 T=120 T=150

0 −20 0

50


250

300

4.92. ábra. Az elért prot (pmul ) görbéje a predik iós horizonton, a subspa e-EM módszer esetén. Az emelked® Russell2000 adatain a "high-low" segédváltozó hozzávételével. Rend: ARMA(2,1)-GARCH(1,1), mintaszám: T = 120 és T = 150.

68

5. fejezet

Konklúzió

Dolgozatomban a pénzügyi id®sorok modellezését és predik ióját vizsgáltam. Modellek terén az AR, ARMA, ARMA-GARCH típusokat használtam, melyek paramétereit a subspa e, subspa e-EM, EM és RLS módszerekkel be sültem. Ismertettem a felhasznált id®sorokat, az alkalmazott jóságmér éket, az alkalmazott be slési folyamatot. Ezek után bemutattam az eredményeimet. ARMA és ARMA-GARCH modell esetén is beláttam, hogy a prot alapú mér e segítségével igazolhatjuk, hogy megfelel® paraméterválasztások mellett a modellek és módszerek protot eredményeztek. ARMA-GARCH modell több esetben is nagyobb eredményeket mutatott, amit az ARMA modellel kaptam, ez jellemz®en a törést tartalmazó szakaszokra volt igaz. A 4 identiká iós módszer közül a subspa e-EM és EM módszerek mutatkoztak a legjobbnak, a subspa e ini ializá ió gyakran segítette a modell paraméter be slését, az EM pedig szélesebb paraméter tartományban volt képes protot eredményezni. Napi és heti mintavételezések tekintetében megállapítottam, hogy az auto regresszív folyamat jobban meggyelhet®, mindhárom id®sor esetében az ARMA(2,0) volt a választott ARMA rend. A be slés pontosságát segítette a subspa e ini ializá ió, a subspa e-EM jobban teljesített. A több dimenziós id®sornál a törést tartalmazók esetén egyértelm¶en segítette a be slést a segédváltozó, mindkét modell típus esetében.

69

Irodalomjegyzék

[1℄ Ruey S. Tsay. Analysis of Finan ial Time Series. Finan ial E onometri s, 2002. [2℄ Norman R. Swanson Geetesh Bhardwaj. An empiri al investigaton of the usefulness of ARFIMA models for predi ting ma roe onomi and nan ial time series. Journal

of E onometri s, 2006. [3℄ José Dias Curto, José Castro Pinto, and Gon alo Nuno Tavares. Modeling sto k markets volatility using GARCH models with Normal, Students't and stable Paretian distributions. Statisti al Papers, 50(2):311321, Mar h 2007. [4℄ Komain Jiranyakul. Behavior of sto k market index in the sto k ex hange of Thailand.

NIDA E onomi Review, 2(2):4757, De ember 2007. [5℄ Svetlozar T. Ra hev, Stoyan V. Stoyanov, Chufang Wu, and Frank J. Fabozzi. Empiri al analyses of industry sto k index return distributions for the Taiwan sto k ex hange.

Annals of E onomi s and Finan e, 8:2131, 2007. [6℄ Ri hard T. Baillie and Tim Bollerslev. Predi tion in dynami models with timedependent onditional varian es. Journal of E onometri s, 52:91113, 1992. [7℄ Natalia Abrosimova, Gishan Dissanaike, and Dirk Linowski. Testing the weak-form e ien y of the Russian sto k market.

In EFA 2002 Berlin Meetings Presented

Paper, Berlin, 20 February 2002. Available at SSRN: http://papers.ssrn. om/sol3/ papers. fm?abstra t_id=302287. [8℄ Christian S herrer, Svetlozar T. Ra hev, Young Shin Kim, Mi hael Feindt, and Frank Fabozzi. Using a neural network approa h for ba ktesting methodologies for estimating and fore asting asset risk. In Fore asting Finan ial Markets: Advan es for Ex hange

Rates, Interest Rates and Asset Management, Hannover, May 2010. [9℄ John T. Barkoulas, Christopher F. Baum, and Ni kolas Travlos. Long memory in the Greek sto k market. Applied Finan ial E onomi s, 10(2):177184, 2000. [10℄ Asma Mobarek and Professor Keavin Keasey. Weak-form market e ien y of an emerging market: Eviden e from Dhaka sto k market of Bangladesh. In ENBS Conferen e, pages 130, Oslo, May 2000. 70

[11℄ Andrew C. Harvey. Fore asting, stru tural time series models and the Kalman lter.

Cambridge University Press, 1989. [12℄ B. Farhang-Boroujeny. Adaptive Filters: Theory and Appli ations. John Wiley and Sons, 1998. [13℄ Gregory C. Reinsel George E. P. Box, Gwilym M. Jenkins. Time Series Analysis:

Fore asting and Control. A John Wiley and Sons In , 1970. [14℄ Teren e C. Mills. Time Series Te hniques for E onomists. Cambridge University Press, Cambridge, 1990. [15℄ Tim Bollerslev. Generalized autoregressive onditional heteroskedasti ity. Journal of

E onometri s, (31):307317, 1986. [16℄ Lu Bauwens, Sébastien Laurent, and Jeroen V. K. Rombouts. Multivariate GARCH models: a survey. Journal of Applied E onometri s, 21(1):79109, 2006. [17℄ Ling S. and M. M Aleer.

Ne essary and su ient moment onditions for the

GARCH(r,s) and asymmetri power GARCH(r,s) models.

E onometri Theory,

(18):722729, 2002. [18℄ S. Ling. On probability properties of a double threshold ARMA onditional heteroskedasti ity model. Journal of Applied Probability, 36(3):668705, 1999. [19℄ C. F. Ansley R. Kohn. Estimation, predi tion, and interpolation for ARIMA models with missing data. Journal of the Ameri an Statisti al Asso iation, 81(395):751761, 1986. [20℄ Jaime Ter eiro, José Manuel Casals, Miguel Jerez, Gregorio R. Serrano, and Sonia Soto a. Time Series Analysis using MATLAB, In luding a omplete MATLAB Toolbox. Spanish Estima ión de modelos E onométri os en Espa io de los Estados, Jun 2000. [21℄ Maximum likelihood from in omplet data via the EM algorithm. Journal of the Royal

Statisti al So iety. Series B (Methodologi al), (39):138, 1977. [22℄ Sean Borman. The expe tation maximization algorithm: A short tutorial. January 2009. [23℄ Frank Dallert. The expe tation maximization algorithm. Te hni al Report, (GITGUV-02-20), February 2002. [24℄ G. C. Tiao S. C. Hillmer. Likelihood fun tion of stationary multiple autoregressive moving average models. Journal of the Ameri an Statisti al Asso iation, 74:652660, 1979.

71

[25℄ Peter Van Overs hee Wouter Favoreel, Bart De Moora. Subspa e state spa e system identi ation for industrial pro esses. Journal of Pro ess Control, 10(2-3):149155, April 2000. [26℄ Tohru Katayama. Subspa e Methods for System Identi ation. Springer Verlag, 2005. [27℄ Bart De Moor Peter Van Overs hee. Subspa e algorithms for the identi ation of

ombined deterministi -sto hasti systems. Automati a, 30(1):7593, 1994. [28℄ Dietmar Bauer. Estimating linear dynami al systems using subspa e methods. E o-

nometri Theory, 21:181211, 2005. [29℄ Lennart Ljung. System Identi ation - Theory For the User, 2nd edn. PTR Prenti e Hall, 1999. [30℄ M. Deistler K. Peternell, W. S herrer. Consisten y and relative e ien y of subspa e methods. Automati a, 31(12):18651875, De ember 1995. [31℄ Miguel Jerez Alfredo Gar ia-Hiernaux, José Casals. Fast estimation methods for timeseries models in state-spa e form. Journal of Statisti al Computation and Simulation, 79(2):121134, February 2009. [32℄ Simon Haykin. Adaptive lter theory (3rd ed.). Prenti e-Hall, In ., Upper Saddle River, NJ, USA, 1996. [33℄ Ja k Kurzweil. An Introdu tion to Digital Communi ations. John Wiley and Sons, New York, 2000. [34℄ John G. Proakis. Digital Communi ations. M Graw-Hill, fourth ed. edition, 2001.

72

Ì ÖØ ÐÓÑ ÝÞ ½º Ú Þ Ø ½ ¾º Ì Þ º ÊÅ ÊÅ ¹ Ê À ÑÓ ÐÐ Ô Ö Ñ Ø Ö Ð º½º ÊÅ ÊÅ ¹ Ê À ÑÓ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½º ÊÅ ÑÓ ÐÐ º º º

Recommend Documents