Voorbeelden Voorbeelden van opgaven uit de eerste ronde 1 Als je 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 uitrekent kom je uit op 720. Hoeveel delers heeft het getal 720? (Een deler van een getal n is een positief geheel getal waardoor n deelbaar is. Voorbeelden: de delers van 6 zijn 1, 2, 3 en 6; de delers van 11 zijn 1 en 11.) (A) 6 (B) 8 (C) 20 (D) 30 (E) 36
5 Zowel de rijen als de kolommen van een 8 x 8-schaakbord zijn genummerd van 1 t/m 8. Op elk veld van het schaakbord wordt een aantal graankorrels gelegd dat gelijk is aan het product van het rijnummer en het kolomnummer. Hoeveel graankorrels liggen er in totaal op het schaakbord?
2 Van een vierhoek ABCD is gegeven: |AB| = 3, |BC| = 4, |CD| = 5, |DA| = 6 en ∠ABC = 90°. (|AB| staat voor de lengte van lijnstuk AB, etc.)
6 Van een 50-tal verschillende getallen uit de verzameling {1, 2, 3, . . . , 100} is de som gelijk aan 2900. Wat is het kleinst mogelijke aantal even getallen onder deze 50 getallen?
3 Ronald gooit met drie dobbelstenen. Die zien er net zo uit als gewone dobbelstenen, alleen staan er op de zes zijvlakken andere getallen. Op de eerste dobbelsteen staan de getallen: 1, 1, 2, 2, 3 en 3. Op de tweede dobbelsteen staan de getallen: 2, 2, 4, 4, 6 en 6. En op de derde dobbelsteen staan de getallen: 1, 1, 3, 3, 5 en 5. Hij telt de drie getallen die hij gooit bij elkaar op. Hoe groot is de kans dat het resultaat een oneven getal is? (A) 1/4 (B) 1/3 (C) 1/2 (D) 2/3 (E) 3/4 4 Bekijk alle getallen van vier cijfers waarin elk van de cijfers 3, 4, 6 en 7 precies eenmaal voorkomt. Hoeveel van deze getallen zijn deelbaar door 44? (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 12
Wi-broch (6 pag) 2010.indd 1
Overige sponsors en donateurs • Ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschap • Stichting Compositio Mathematica • Cito • NOCW – Nederlandse Onderwijs Commissie Wiskunde • Natuurwetenschap & Techniek • Nederlandse Spoorwegen • Pythagoras - wiskundetijdschrift voor jongeren
7 Op een vel papier staat een rooster van 101 bij 101 witte vierkantjes. Er is een slang gevormd door vierkantjes grijs te kleuren zoals in bijgaande figuur. De slang begint linksboven en loopt door tot hij niet verder kan. Slechts een deel van het rooster is afgebeeld. Hoeveel vierkantjes zijn er in totaal grijs gekleurd in het volledige rooster van 101 bij 101 vierkantjes? 8 Het gehele getal N bestaat uit 2009 negens achter elkaar geschreven. Een computer berekent N 3 = (99999...99999) 3. Hoeveel negens bevat het uitgeschreven getal N 3 in totaal?
Zie voor de uitgebreide uitwerkingen www.wiskundeolympiade.nl en klik door naar Opgaven.
Antwoorden: 1. D 2. B 3. B 4. A 5. 1296 6. 6 7. 5201 8. 4017
Hoe groot is de oppervlakte van vierhoek ABCD? (A) 16 (B) 18 (C) 18½ (D) 20 (E) 6 + 5√11
Hoofdsponsors • Technische Universiteit Eindhoven • Transtrend BV • ORTEC • Centraal Bureau voor de Statistiek • All Options
Doe mee met de Wiskunde Olympiade. Wie weet stroom jij, met nog zo’n 500 andere winnaars, door naar de tweede ronde op een universiteit bij jou in de buurt. Informatie over deelname kun je krijgen bij je wiskundedocent. Voor meer informatie kun je kijken op www.wiskundeolympiade.nl
26-08-2009 14:45:59
De Wiskunde Olympiade Blink jij uit in bètavakken en ga jij voor goud? Doe dan mee met de nationale olympiades. Dé wedstrijd voor exacte vakken. Meedoen aan de nationale olympiades is niet alleen uitdagend en spannend, het is bovendien leuk om leeftijdgenoten te leren kennen die óók uitblinken in een vak zoals aardrijkskunde, biologie, informatica, natuurkunde, scheikunde of wiskunde.
Als kers op de taart hebben de winnaars van de nationale wedstrijden de eer om Nederland te vertegenwoordigen op de internationale olympiades. Nederlandse middelbare scholieren hebben in het verleden hun sporen verdiend bij deze wedstrijden. Vorig jaar hebben maar liefst vijfentwintig Nederlandse deelnemers een medaille in de wacht gesleept bij de internationale olympiades. Een geweldige prestatie! Ook jij kunt je kennis ‘verzilveren’ in een gouden medaille.
Schrijf je daarom in voor de nationale olympiades. In de folder staat precies hoe je mee kunt doen. Ik daag je uit om je bètakennis om te zetten in een gouden plak voor Nederland en wens je daarbij ongelofelijk veel succes!
De staatssecretaris van Onderwijs, Cultuur en Wetenschap
Marja van Bijsterveldt-Vliegenthart
Colofon Publicatie van de gezamenlijke olympiaden
foto omslag Julius Visser, Enschede
tekst Stichting Nederlandse Wiskunde Olympiade
vormgeving en druk VDA-groep, Enschede
productie SLO, Axis Media-ontwerpers
uitgave oktober 2009
Wi-broch (6 pag) 2010.indd 2
De Wiskunde Olympiade is een wedstrijd voor leerlingen van havo en vwo. Uit de winnaars wordt een team van zes leerlingen samengesteld dat Nederland vertegenwoordigt bij de eerstvolgende Internationale Wiskunde Olympiade. In 2009 won het Nederlandse team maar liefst een zilveren en een bronzen medaille. Wie kan er meedoen? Zit je nog niet in 6 vwo en ben je goed in wiskunde, creatief en heb je behoorlijk wat pit en doorzettingsvermogen? Dan is de Wiskunde Olympiade iets voor jou. Ook als je in de onderbouw zit, kun je meedoen. De opgaven zijn voor iedereen hetzelfde, maar leerlingen uit lagere klassen hebben minder punten nodig om door te gaan naar de volgende ronde. De Wiskunde Olympiade in tien stappen 1. Als je graag wilt meedoen, moet je zorgen dat je school vóór 31 december 2009 (door een wiskundedocent van je school) wordt opgegeven. 2. De eerste ronde is op vrijdagmiddag 29 januari 2010. Jouw wiskundedocent kijkt de antwoorden na en stuurt het resultaat naar de organisatie van de olympiade. 3. De organisatie van de olympiade selecteert de (ongeveer) 500 beste leerlingen. Zij worden uitgenodigd voor de tweede ronde bij een universiteit in de buurt. 4. De tweede ronde vindt plaats op verschillende universiteiten in maart 2010. 5. De (ongeveer) 130 beste leerlingen worden uitgenodigd voor de finale en ontvangen een prijs en een uitnodiging voor de training voor de finale. 6. De training voor de finale bestaat uit drie dagen in april, mei en juni en wordt gegeven op verschillende universiteiten. 7. De finale vindt plaats op de TU Eindhoven in september 2010.
8. De tien deelnemers met de hoogste scores krijgen een prijs tijdens een feestelijke prijsuitreiking aan de TU Eindhoven en worden samen met nog circa 20 andere uitblinkers uitgenodigd om deel te nemen aan een speciaal trainingsprogramma voor de Internationale Wiskunde Olympiade. 9. Het trainingsprogramma voor de Internationale Wiskunde Olympiade loopt van november 2010 tot juni 2011. 10. De zes beste leerlingen van de training vertegenwoordigen Nederland bij de Internationale Wiskunde Olympiade in juli 2011 in Nederland. Daaraan voorafgaand wordt het Nederlandse team ontvangen op het ministerie van OCW en gehuldigd door de minister. Jij kunt één van de gelukkigen zijn! Eerste ronde De eerste ronde vindt vrijdagmiddag 29 januari 2010 plaats op school. Je krijgt twee uur de tijd om de antwoorden te vinden bij een aantal opgaven. Er zijn acht vijfkeuze-opgaven en vier open opgaven met een exact getal als uitkomst. Je hoeft geen bewijs of uitwerking te geven. Sommige opgaven zijn gemakkelijk, andere lastig tot zeer lastig. De opgaven laten iets zien van ongebruikelijke wiskunde en kunnen met een gezonde dosis creativiteit en doorzettingsvermogen opgelost worden. Verderop in deze folder staan enkele voorbeelden. Alle deelnemers uit het hele land krijgen dezelfde opgaven. Je docent corrigeert het werk aan de hand van een correctieformulier en stuurt de resultaten op. Het afgelopen jaar hebben er zo’n 4400 leerlingen meegedaan, maar we hebben het idee dat er nog veel meer zijn die plezier aan de Wiskunde Olympiade zouden kunnen beleven.
Probeer het eens! Als je zin hebt om mee te doen, zeg dat dan tegen je wiskundedocent. Die kan zorgen voor aanmelding van de school. Scholenprijs Je kunt niet alleen zelf in de prijzen vallen, je kunt er met je medeleerlingen ook voor zorgen dat jullie school in de prijzen valt! Dat werkt zo: bij de eerste ronde worden de punten van de vijf beste leerlingen per school opgeteld. De school die de hoogste score bereikt, krijgt een wisselprijs, die op school wordt uitgereikt. In 2009 is die prijs, net als in 2008, gewonnen door het Stedelijk Gymnasium uit Nijmegen. Tweede ronde Als je bij de (ongeveer) 500 deelnemers met de hoogste resultaten zit, dan krijg je een uitnodiging om aan de tweede ronde mee te doen. Die wordt in maart 2010 gehouden op een universiteit in de buurt. De tweede ronde is vanzelfsprekend moeilijker dan de eerste. Er zijn geen meerkeuze-opgaven meer. Bij een aantal opgaven moet je niet alleen de uitkomst geven, maar ook je uitwerking. De (ongeveer) 130 beste leerlingen uit het land worden vervolgens uitgenodigd voor de finale en de training voor de finale. Finale De finale wordt in september 2010 gehouden op de Technische Universiteit Eindhoven. De finale duurt drie uur en in die tijd moet je vijf opgaven oplossen. Bij elke opgave moet je een volledige berekening geven of een sluitend bewijs. Voor de meeste leerlingen is dit nieuw. Het is daarom goed om hier vooraf enige aandacht aan te besteden. Dit gebeurt in de training die gegeven wordt door een aantal Nederlandse universiteiten op drie dagen in april, mei en juni 2010. Als je meedoet met
deze training verschijn je goed voorbereid bij de finale en dat maakt het meedoen een stuk leuker! Enige weken later vindt de prijsuitreiking plaats. De tien deelnemers met de hoogste scores krijgen een prijs. Internationale Wiskunde Olympiade De vraagstukken bij de Internationale Wiskunde Olympiade, die elk jaar in een ander land wordt georganiseerd, zijn zo moeilijk dat zelfs beroepswiskundigen er een zware kluif aan hebben. Toch slaagt het Nederlandse team er bijna elk jaar weer in om één of meer medailles te winnen. Dat kan alleen maar dankzij een intensief trainingsprogramma, waar dan ook direct na de prijsuitreiking van de finale mee wordt begonnen. Het trainingsprogramma bestaat uit het werken aan lesbrieven, het insturen van geselecteerde inleveropdrachten en het bijwonen van een aantal gezamenlijke trainingsdagen en -weekenden. Als je daar plezier in hebt, kun je een paar maanden onder deskundige leiding werken aan je verdere wiskundige ontwikkeling. Op grond van algehele inzet, het inleverwerk en de eindtoets wordt het team van zes personen geselecteerd dat Nederland zal vertegenwoordigen op de Internationale Wiskunde Olympiade in juli 2011 in Nederland. Wie weet zit jij erbij! Meer weten? Meer informatie over de Wiskunde Olympiade kun je krijgen bij de secretaris van de Stichting Nederlandse Wiskunde Olympiade: Melanie Steentjes Cito, Postbus 1034 6801 MG Arnhem tel. (026) 352 13 32 e-mail:
[email protected]
wiskunde 26-08-2009 14:45:59
De Wiskunde Olympiade Blink jij uit in bètavakken en ga jij voor goud? Doe dan mee met de nationale olympiades. Dé wedstrijd voor exacte vakken. Meedoen aan de nationale olympiades is niet alleen uitdagend en spannend, het is bovendien leuk om leeftijdgenoten te leren kennen die óók uitblinken in een vak zoals aardrijkskunde, biologie, informatica, natuurkunde, scheikunde of wiskunde.
Als kers op de taart hebben de winnaars van de nationale wedstrijden de eer om Nederland te vertegenwoordigen op de internationale olympiades. Nederlandse middelbare scholieren hebben in het verleden hun sporen verdiend bij deze wedstrijden. Vorig jaar hebben maar liefst vijfentwintig Nederlandse deelnemers een medaille in de wacht gesleept bij de internationale olympiades. Een geweldige prestatie! Ook jij kunt je kennis ‘verzilveren’ in een gouden medaille.
Schrijf je daarom in voor de nationale olympiades. In de folder staat precies hoe je mee kunt doen. Ik daag je uit om je bètakennis om te zetten in een gouden plak voor Nederland en wens je daarbij ongelofelijk veel succes!
De staatssecretaris van Onderwijs, Cultuur en Wetenschap
Marja van Bijsterveldt-Vliegenthart
Colofon Publicatie van de gezamenlijke olympiaden
foto omslag Julius Visser, Enschede
tekst Stichting Nederlandse Wiskunde Olympiade
vormgeving en druk VDA-groep, Enschede
productie SLO, Axis Media-ontwerpers
uitgave oktober 2009
Wi-broch (6 pag) 2010.indd 2
De Wiskunde Olympiade is een wedstrijd voor leerlingen van havo en vwo. Uit de winnaars wordt een team van zes leerlingen samengesteld dat Nederland vertegenwoordigt bij de eerstvolgende Internationale Wiskunde Olympiade. In 2009 won het Nederlandse team maar liefst een zilveren en een bronzen medaille. Wie kan er meedoen? Zit je nog niet in 6 vwo en ben je goed in wiskunde, creatief en heb je behoorlijk wat pit en doorzettingsvermogen? Dan is de Wiskunde Olympiade iets voor jou. Ook als je in de onderbouw zit, kun je meedoen. De opgaven zijn voor iedereen hetzelfde, maar leerlingen uit lagere klassen hebben minder punten nodig om door te gaan naar de volgende ronde. De Wiskunde Olympiade in tien stappen 1. Als je graag wilt meedoen, moet je zorgen dat je school vóór 31 december 2009 (door een wiskundedocent van je school) wordt opgegeven. 2. De eerste ronde is op vrijdagmiddag 29 januari 2010. Jouw wiskundedocent kijkt de antwoorden na en stuurt het resultaat naar de organisatie van de olympiade. 3. De organisatie van de olympiade selecteert de (ongeveer) 500 beste leerlingen. Zij worden uitgenodigd voor de tweede ronde bij een universiteit in de buurt. 4. De tweede ronde vindt plaats op verschillende universiteiten in maart 2010. 5. De (ongeveer) 130 beste leerlingen worden uitgenodigd voor de finale en ontvangen een prijs en een uitnodiging voor de training voor de finale. 6. De training voor de finale bestaat uit drie dagen in april, mei en juni en wordt gegeven op verschillende universiteiten. 7. De finale vindt plaats op de TU Eindhoven in september 2010.
8. De tien deelnemers met de hoogste scores krijgen een prijs tijdens een feestelijke prijsuitreiking aan de TU Eindhoven en worden samen met nog circa 20 andere uitblinkers uitgenodigd om deel te nemen aan een speciaal trainingsprogramma voor de Internationale Wiskunde Olympiade. 9. Het trainingsprogramma voor de Internationale Wiskunde Olympiade loopt van november 2010 tot juni 2011. 10. De zes beste leerlingen van de training vertegenwoordigen Nederland bij de Internationale Wiskunde Olympiade in juli 2011 in Nederland. Daaraan voorafgaand wordt het Nederlandse team ontvangen op het ministerie van OCW en gehuldigd door de minister. Jij kunt één van de gelukkigen zijn! Eerste ronde De eerste ronde vindt vrijdagmiddag 29 januari 2010 plaats op school. Je krijgt twee uur de tijd om de antwoorden te vinden bij een aantal opgaven. Er zijn acht vijfkeuze-opgaven en vier open opgaven met een exact getal als uitkomst. Je hoeft geen bewijs of uitwerking te geven. Sommige opgaven zijn gemakkelijk, andere lastig tot zeer lastig. De opgaven laten iets zien van ongebruikelijke wiskunde en kunnen met een gezonde dosis creativiteit en doorzettingsvermogen opgelost worden. Verderop in deze folder staan enkele voorbeelden. Alle deelnemers uit het hele land krijgen dezelfde opgaven. Je docent corrigeert het werk aan de hand van een correctieformulier en stuurt de resultaten op. Het afgelopen jaar hebben er zo’n 4400 leerlingen meegedaan, maar we hebben het idee dat er nog veel meer zijn die plezier aan de Wiskunde Olympiade zouden kunnen beleven.
Probeer het eens! Als je zin hebt om mee te doen, zeg dat dan tegen je wiskundedocent. Die kan zorgen voor aanmelding van de school. Scholenprijs Je kunt niet alleen zelf in de prijzen vallen, je kunt er met je medeleerlingen ook voor zorgen dat jullie school in de prijzen valt! Dat werkt zo: bij de eerste ronde worden de punten van de vijf beste leerlingen per school opgeteld. De school die de hoogste score bereikt, krijgt een wisselprijs, die op school wordt uitgereikt. In 2009 is die prijs, net als in 2008, gewonnen door het Stedelijk Gymnasium uit Nijmegen. Tweede ronde Als je bij de (ongeveer) 500 deelnemers met de hoogste resultaten zit, dan krijg je een uitnodiging om aan de tweede ronde mee te doen. Die wordt in maart 2010 gehouden op een universiteit in de buurt. De tweede ronde is vanzelfsprekend moeilijker dan de eerste. Er zijn geen meerkeuze-opgaven meer. Bij een aantal opgaven moet je niet alleen de uitkomst geven, maar ook je uitwerking. De (ongeveer) 130 beste leerlingen uit het land worden vervolgens uitgenodigd voor de finale en de training voor de finale. Finale De finale wordt in september 2010 gehouden op de Technische Universiteit Eindhoven. De finale duurt drie uur en in die tijd moet je vijf opgaven oplossen. Bij elke opgave moet je een volledige berekening geven of een sluitend bewijs. Voor de meeste leerlingen is dit nieuw. Het is daarom goed om hier vooraf enige aandacht aan te besteden. Dit gebeurt in de training die gegeven wordt door een aantal Nederlandse universiteiten op drie dagen in april, mei en juni 2010. Als je meedoet met
deze training verschijn je goed voorbereid bij de finale en dat maakt het meedoen een stuk leuker! Enige weken later vindt de prijsuitreiking plaats. De tien deelnemers met de hoogste scores krijgen een prijs. Internationale Wiskunde Olympiade De vraagstukken bij de Internationale Wiskunde Olympiade, die elk jaar in een ander land wordt georganiseerd, zijn zo moeilijk dat zelfs beroepswiskundigen er een zware kluif aan hebben. Toch slaagt het Nederlandse team er bijna elk jaar weer in om één of meer medailles te winnen. Dat kan alleen maar dankzij een intensief trainingsprogramma, waar dan ook direct na de prijsuitreiking van de finale mee wordt begonnen. Het trainingsprogramma bestaat uit het werken aan lesbrieven, het insturen van geselecteerde inleveropdrachten en het bijwonen van een aantal gezamenlijke trainingsdagen en -weekenden. Als je daar plezier in hebt, kun je een paar maanden onder deskundige leiding werken aan je verdere wiskundige ontwikkeling. Op grond van algehele inzet, het inleverwerk en de eindtoets wordt het team van zes personen geselecteerd dat Nederland zal vertegenwoordigen op de Internationale Wiskunde Olympiade in juli 2011 in Nederland. Wie weet zit jij erbij! Meer weten? Meer informatie over de Wiskunde Olympiade kun je krijgen bij de secretaris van de Stichting Nederlandse Wiskunde Olympiade: Melanie Steentjes Cito, Postbus 1034 6801 MG Arnhem tel. (026) 352 13 32 e-mail:
[email protected]
wiskunde 26-08-2009 14:45:59
De Wiskunde Olympiade Blink jij uit in bètavakken en ga jij voor goud? Doe dan mee met de nationale olympiades. Dé wedstrijd voor exacte vakken. Meedoen aan de nationale olympiades is niet alleen uitdagend en spannend, het is bovendien leuk om leeftijdgenoten te leren kennen die óók uitblinken in een vak zoals aardrijkskunde, biologie, informatica, natuurkunde, scheikunde of wiskunde.
Als kers op de taart hebben de winnaars van de nationale wedstrijden de eer om Nederland te vertegenwoordigen op de internationale olympiades. Nederlandse middelbare scholieren hebben in het verleden hun sporen verdiend bij deze wedstrijden. Vorig jaar hebben maar liefst vijfentwintig Nederlandse deelnemers een medaille in de wacht gesleept bij de internationale olympiades. Een geweldige prestatie! Ook jij kunt je kennis ‘verzilveren’ in een gouden medaille.
Schrijf je daarom in voor de nationale olympiades. In de folder staat precies hoe je mee kunt doen. Ik daag je uit om je bètakennis om te zetten in een gouden plak voor Nederland en wens je daarbij ongelofelijk veel succes!
De staatssecretaris van Onderwijs, Cultuur en Wetenschap
Marja van Bijsterveldt-Vliegenthart
Colofon Publicatie van de gezamenlijke olympiaden
foto omslag Julius Visser, Enschede
tekst Stichting Nederlandse Wiskunde Olympiade
vormgeving en druk VDA-groep, Enschede
productie SLO, Axis Media-ontwerpers
uitgave oktober 2009
Wi-broch (6 pag) 2010.indd 2
De Wiskunde Olympiade is een wedstrijd voor leerlingen van havo en vwo. Uit de winnaars wordt een team van zes leerlingen samengesteld dat Nederland vertegenwoordigt bij de eerstvolgende Internationale Wiskunde Olympiade. In 2009 won het Nederlandse team maar liefst een zilveren en een bronzen medaille. Wie kan er meedoen? Zit je nog niet in 6 vwo en ben je goed in wiskunde, creatief en heb je behoorlijk wat pit en doorzettingsvermogen? Dan is de Wiskunde Olympiade iets voor jou. Ook als je in de onderbouw zit, kun je meedoen. De opgaven zijn voor iedereen hetzelfde, maar leerlingen uit lagere klassen hebben minder punten nodig om door te gaan naar de volgende ronde. De Wiskunde Olympiade in tien stappen 1. Als je graag wilt meedoen, moet je zorgen dat je school vóór 31 december 2009 (door een wiskundedocent van je school) wordt opgegeven. 2. De eerste ronde is op vrijdagmiddag 29 januari 2010. Jouw wiskundedocent kijkt de antwoorden na en stuurt het resultaat naar de organisatie van de olympiade. 3. De organisatie van de olympiade selecteert de (ongeveer) 500 beste leerlingen. Zij worden uitgenodigd voor de tweede ronde bij een universiteit in de buurt. 4. De tweede ronde vindt plaats op verschillende universiteiten in maart 2010. 5. De (ongeveer) 130 beste leerlingen worden uitgenodigd voor de finale en ontvangen een prijs en een uitnodiging voor de training voor de finale. 6. De training voor de finale bestaat uit drie dagen in april, mei en juni en wordt gegeven op verschillende universiteiten. 7. De finale vindt plaats op de TU Eindhoven in september 2010.
8. De tien deelnemers met de hoogste scores krijgen een prijs tijdens een feestelijke prijsuitreiking aan de TU Eindhoven en worden samen met nog circa 20 andere uitblinkers uitgenodigd om deel te nemen aan een speciaal trainingsprogramma voor de Internationale Wiskunde Olympiade. 9. Het trainingsprogramma voor de Internationale Wiskunde Olympiade loopt van november 2010 tot juni 2011. 10. De zes beste leerlingen van de training vertegenwoordigen Nederland bij de Internationale Wiskunde Olympiade in juli 2011 in Nederland. Daaraan voorafgaand wordt het Nederlandse team ontvangen op het ministerie van OCW en gehuldigd door de minister. Jij kunt één van de gelukkigen zijn! Eerste ronde De eerste ronde vindt vrijdagmiddag 29 januari 2010 plaats op school. Je krijgt twee uur de tijd om de antwoorden te vinden bij een aantal opgaven. Er zijn acht vijfkeuze-opgaven en vier open opgaven met een exact getal als uitkomst. Je hoeft geen bewijs of uitwerking te geven. Sommige opgaven zijn gemakkelijk, andere lastig tot zeer lastig. De opgaven laten iets zien van ongebruikelijke wiskunde en kunnen met een gezonde dosis creativiteit en doorzettingsvermogen opgelost worden. Verderop in deze folder staan enkele voorbeelden. Alle deelnemers uit het hele land krijgen dezelfde opgaven. Je docent corrigeert het werk aan de hand van een correctieformulier en stuurt de resultaten op. Het afgelopen jaar hebben er zo’n 4400 leerlingen meegedaan, maar we hebben het idee dat er nog veel meer zijn die plezier aan de Wiskunde Olympiade zouden kunnen beleven.
Probeer het eens! Als je zin hebt om mee te doen, zeg dat dan tegen je wiskundedocent. Die kan zorgen voor aanmelding van de school. Scholenprijs Je kunt niet alleen zelf in de prijzen vallen, je kunt er met je medeleerlingen ook voor zorgen dat jullie school in de prijzen valt! Dat werkt zo: bij de eerste ronde worden de punten van de vijf beste leerlingen per school opgeteld. De school die de hoogste score bereikt, krijgt een wisselprijs, die op school wordt uitgereikt. In 2009 is die prijs, net als in 2008, gewonnen door het Stedelijk Gymnasium uit Nijmegen. Tweede ronde Als je bij de (ongeveer) 500 deelnemers met de hoogste resultaten zit, dan krijg je een uitnodiging om aan de tweede ronde mee te doen. Die wordt in maart 2010 gehouden op een universiteit in de buurt. De tweede ronde is vanzelfsprekend moeilijker dan de eerste. Er zijn geen meerkeuze-opgaven meer. Bij een aantal opgaven moet je niet alleen de uitkomst geven, maar ook je uitwerking. De (ongeveer) 130 beste leerlingen uit het land worden vervolgens uitgenodigd voor de finale en de training voor de finale. Finale De finale wordt in september 2010 gehouden op de Technische Universiteit Eindhoven. De finale duurt drie uur en in die tijd moet je vijf opgaven oplossen. Bij elke opgave moet je een volledige berekening geven of een sluitend bewijs. Voor de meeste leerlingen is dit nieuw. Het is daarom goed om hier vooraf enige aandacht aan te besteden. Dit gebeurt in de training die gegeven wordt door een aantal Nederlandse universiteiten op drie dagen in april, mei en juni 2010. Als je meedoet met
deze training verschijn je goed voorbereid bij de finale en dat maakt het meedoen een stuk leuker! Enige weken later vindt de prijsuitreiking plaats. De tien deelnemers met de hoogste scores krijgen een prijs. Internationale Wiskunde Olympiade De vraagstukken bij de Internationale Wiskunde Olympiade, die elk jaar in een ander land wordt georganiseerd, zijn zo moeilijk dat zelfs beroepswiskundigen er een zware kluif aan hebben. Toch slaagt het Nederlandse team er bijna elk jaar weer in om één of meer medailles te winnen. Dat kan alleen maar dankzij een intensief trainingsprogramma, waar dan ook direct na de prijsuitreiking van de finale mee wordt begonnen. Het trainingsprogramma bestaat uit het werken aan lesbrieven, het insturen van geselecteerde inleveropdrachten en het bijwonen van een aantal gezamenlijke trainingsdagen en -weekenden. Als je daar plezier in hebt, kun je een paar maanden onder deskundige leiding werken aan je verdere wiskundige ontwikkeling. Op grond van algehele inzet, het inleverwerk en de eindtoets wordt het team van zes personen geselecteerd dat Nederland zal vertegenwoordigen op de Internationale Wiskunde Olympiade in juli 2011 in Nederland. Wie weet zit jij erbij! Meer weten? Meer informatie over de Wiskunde Olympiade kun je krijgen bij de secretaris van de Stichting Nederlandse Wiskunde Olympiade: Melanie Steentjes Cito, Postbus 1034 6801 MG Arnhem tel. (026) 352 13 32 e-mail:
[email protected]
wiskunde 26-08-2009 14:45:59
Voorbeelden Voorbeelden van opgaven uit de eerste ronde 1 Als je 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 uitrekent kom je uit op 720. Hoeveel delers heeft het getal 720? (Een deler van een getal n is een positief geheel getal waardoor n deelbaar is. Voorbeelden: de delers van 6 zijn 1, 2, 3 en 6; de delers van 11 zijn 1 en 11.) (A) 6 (B) 8 (C) 20 (D) 30 (E) 36
5 Zowel de rijen als de kolommen van een 8 x 8-schaakbord zijn genummerd van 1 t/m 8. Op elk veld van het schaakbord wordt een aantal graankorrels gelegd dat gelijk is aan het product van het rijnummer en het kolomnummer. Hoeveel graankorrels liggen er in totaal op het schaakbord?
2 Van een vierhoek ABCD is gegeven: |AB| = 3, |BC| = 4, |CD| = 5, |DA| = 6 en ∠ABC = 90°. (|AB| staat voor de lengte van lijnstuk AB, etc.)
6 Van een 50-tal verschillende getallen uit de verzameling {1, 2, 3, . . . , 100} is de som gelijk aan 2900. Wat is het kleinst mogelijke aantal even getallen onder deze 50 getallen?
3 Ronald gooit met drie dobbelstenen. Die zien er net zo uit als gewone dobbelstenen, alleen staan er op de zes zijvlakken andere getallen. Op de eerste dobbelsteen staan de getallen: 1, 1, 2, 2, 3 en 3. Op de tweede dobbelsteen staan de getallen: 2, 2, 4, 4, 6 en 6. En op de derde dobbelsteen staan de getallen: 1, 1, 3, 3, 5 en 5. Hij telt de drie getallen die hij gooit bij elkaar op. Hoe groot is de kans dat het resultaat een oneven getal is? (A) 1/4 (B) 1/3 (C) 1/2 (D) 2/3 (E) 3/4 4 Bekijk alle getallen van vier cijfers waarin elk van de cijfers 3, 4, 6 en 7 precies eenmaal voorkomt. Hoeveel van deze getallen zijn deelbaar door 44? (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 12
Wi-broch (6 pag) 2010.indd 1
Overige sponsors en donateurs • Ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschap • Stichting Compositio Mathematica • Cito • NOCW – Nederlandse Onderwijs Commissie Wiskunde • Natuurwetenschap & Techniek • Nederlandse Spoorwegen • Pythagoras - wiskundetijdschrift voor jongeren
7 Op een vel papier staat een rooster van 101 bij 101 witte vierkantjes. Er is een slang gevormd door vierkantjes grijs te kleuren zoals in bijgaande figuur. De slang begint linksboven en loopt door tot hij niet verder kan. Slechts een deel van het rooster is afgebeeld. Hoeveel vierkantjes zijn er in totaal grijs gekleurd in het volledige rooster van 101 bij 101 vierkantjes? 8 Het gehele getal N bestaat uit 2009 negens achter elkaar geschreven. Een computer berekent N 3 = (99999...99999) 3. Hoeveel negens bevat het uitgeschreven getal N 3 in totaal?
Zie voor de uitgebreide uitwerkingen www.wiskundeolympiade.nl en klik door naar Opgaven.
Antwoorden: 1. D 2. B 3. B 4. A 5. 1296 6. 6 7. 5201 8. 4017
Hoe groot is de oppervlakte van vierhoek ABCD? (A) 16 (B) 18 (C) 18½ (D) 20 (E) 6 + 5√11
Hoofdsponsors • Technische Universiteit Eindhoven • Transtrend BV • ORTEC • Centraal Bureau voor de Statistiek • All Options
Doe mee met de Wiskunde Olympiade. Wie weet stroom jij, met nog zo’n 500 andere winnaars, door naar de tweede ronde op een universiteit bij jou in de buurt. Informatie over deelname kun je krijgen bij je wiskundedocent. Voor meer informatie kun je kijken op www.wiskundeolympiade.nl
26-08-2009 14:45:59
Voorbeelden Voorbeelden van opgaven uit de eerste ronde 1 Als je 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 uitrekent kom je uit op 720. Hoeveel delers heeft het getal 720? (Een deler van een getal n is een positief geheel getal waardoor n deelbaar is. Voorbeelden: de delers van 6 zijn 1, 2, 3 en 6; de delers van 11 zijn 1 en 11.) (A) 6 (B) 8 (C) 20 (D) 30 (E) 36
5 Zowel de rijen als de kolommen van een 8 x 8-schaakbord zijn genummerd van 1 t/m 8. Op elk veld van het schaakbord wordt een aantal graankorrels gelegd dat gelijk is aan het product van het rijnummer en het kolomnummer. Hoeveel graankorrels liggen er in totaal op het schaakbord?
2 Van een vierhoek ABCD is gegeven: |AB| = 3, |BC| = 4, |CD| = 5, |DA| = 6 en ∠ABC = 90°. (|AB| staat voor de lengte van lijnstuk AB, etc.)
6 Van een 50-tal verschillende getallen uit de verzameling {1, 2, 3, . . . , 100} is de som gelijk aan 2900. Wat is het kleinst mogelijke aantal even getallen onder deze 50 getallen?
3 Ronald gooit met drie dobbelstenen. Die zien er net zo uit als gewone dobbelstenen, alleen staan er op de zes zijvlakken andere getallen. Op de eerste dobbelsteen staan de getallen: 1, 1, 2, 2, 3 en 3. Op de tweede dobbelsteen staan de getallen: 2, 2, 4, 4, 6 en 6. En op de derde dobbelsteen staan de getallen: 1, 1, 3, 3, 5 en 5. Hij telt de drie getallen die hij gooit bij elkaar op. Hoe groot is de kans dat het resultaat een oneven getal is? (A) 1/4 (B) 1/3 (C) 1/2 (D) 2/3 (E) 3/4 4 Bekijk alle getallen van vier cijfers waarin elk van de cijfers 3, 4, 6 en 7 precies eenmaal voorkomt. Hoeveel van deze getallen zijn deelbaar door 44? (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 12
Wi-broch (6 pag) 2010.indd 1
Overige sponsors en donateurs • Ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschap • Stichting Compositio Mathematica • Cito • NOCW – Nederlandse Onderwijs Commissie Wiskunde • Natuurwetenschap & Techniek • Nederlandse Spoorwegen • Pythagoras - wiskundetijdschrift voor jongeren
7 Op een vel papier staat een rooster van 101 bij 101 witte vierkantjes. Er is een slang gevormd door vierkantjes grijs te kleuren zoals in bijgaande figuur. De slang begint linksboven en loopt door tot hij niet verder kan. Slechts een deel van het rooster is afgebeeld. Hoeveel vierkantjes zijn er in totaal grijs gekleurd in het volledige rooster van 101 bij 101 vierkantjes? 8 Het gehele getal N bestaat uit 2009 negens achter elkaar geschreven. Een computer berekent N 3 = (99999...99999) 3. Hoeveel negens bevat het uitgeschreven getal N 3 in totaal?
Zie voor de uitgebreide uitwerkingen www.wiskundeolympiade.nl en klik door naar Opgaven.
Antwoorden: 1. D 2. B 3. B 4. A 5. 1296 6. 6 7. 5201 8. 4017
Hoe groot is de oppervlakte van vierhoek ABCD? (A) 16 (B) 18 (C) 18½ (D) 20 (E) 6 + 5√11
Hoofdsponsors • Technische Universiteit Eindhoven • Transtrend BV • ORTEC • Centraal Bureau voor de Statistiek • All Options
Doe mee met de Wiskunde Olympiade. Wie weet stroom jij, met nog zo’n 500 andere winnaars, door naar de tweede ronde op een universiteit bij jou in de buurt. Informatie over deelname kun je krijgen bij je wiskundedocent. Voor meer informatie kun je kijken op www.wiskundeolympiade.nl
26-08-2009 14:45:59
