Híradástechikai jelfeldolgozás 13. Előadás 2015. 04. 24. Jeldigitalizálás és rekonstrukció Dr. Gaál József 2015. április 27. Budapest
docens BME Hálózati Rendszerek és SzolgáltatásokTanszék
[email protected]
Tartalom Bevezetés Kvantálás Differenciális, prediktív kódolás Részsávú kódolás Transzformációs kódolás
© Gaál József Híradástechnikai jelfeldolgozás
Hálózati Rendszerek és Szolgáltatások Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
2
Bevezetés Lehetséges szinoním címek: Forrás kódolás • Jel-forrás (nem adat forrás) • veszteséges, hűség kritériummal
Jel digitalizálás • (és rekonstrukció)
Jeltömörítés • veszteséges, hűség kritériummal
Analóg jel átvitele digitális csatornán
© Gaál József Híradástechnikai jelfeldolgozás
Hálózati Rendszerek és Szolgáltatások Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
3
Bevezetés: az alapmodell Analóg forrás
x(t)
Kódoló
cn
Analóg jel (hang, kép, adat, stb.):
Digitális csatorna forrás: x(t)
c’n
y(t) Dekódoló
Analóg nyelő
rekonstrált: y(t)
Időben, térben változó (elektronikusan reprezentálható) fizikai jellemző matematikai modell: folytonos idő/tér valós függvénye(i) (egy, két, tőbb változós, skalár, vektor ...értékű) folytonos sztochasztikus folyamatok
Digitális jel
cn
c’n
véges (binárisan kódolható) szimbólumhalmaz elemeinek sorozatai (időben, címtartományban) matematikai modell számsorozat valószínűségi változó sorozat, diszkrét sztochasztikus folyamat © Gaál József Híradástechnikai jelfeldolgozás
Hálózati Rendszerek és Szolgáltatások Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
4
Bevezetés: az alapmodell x(t)
Analóg forrás
Kódoló
cn
Digitális csatorna
c’n
y(t) Dekódoló
Analóg nyelő
Digitális csatorna Térbeli transzláció: (digitális) távközlés Időbeli transzláció: (digitális) jelrögzítés
Kódoló:
digitalizálás: idő(tér) és amplitúdó diszkretizálás
Mintavételezés: idő(tér) diszkretizálás → valós számsorozat, val. vált. sorozat Kvantálás: amplitúdó diszkretizálás → véges értékkészlet kódolás → digitális kód szekvencia
Dekódoló:
rekonstrukció
Dekódolás → minta index analóg minta rekonstrukció → diszkrét minta sorozat simító szűrés, interpoláció: időben (térben) folytonos analóg kimenet © Gaál József Híradástechnikai jelfeldolgozás
Hálózati Rendszerek és Szolgáltatások Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
5
Bevezetés: az alapmodell Analóg forrás
x(t)
cn
Kódoló
Minősítés
Digitális csatorna
c’n
y(t) Dekódoló
Analóg nyelő
Additív hiba (torzítás, zaj) modell:
Hibajel: e(t) = y(t) – x(t)
e(t)
Torzítás
Analóg forrás
Zaj
SNR (Signal to Noise Ratio)
SNRdb
x(t)
+
y(t)
Analóg nyelő
jel teljesítmény x 2 (t) x 2 (t) SNR = = = hiba teljesítmény e 2 (t) (y(t) − x(t) )2
SNRdb = 10log10SNR
Hullámforma kódolás! (van más is!) © Gaál József Híradástechnikai jelfeldolgozás
Hálózati Rendszerek és Szolgáltatások Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
6
Bevezetés: az alapmodell x(t) Analóg forrás
Q
fs
Kódoló:
c’n
cn
in
xn
C
Digitális csatorna
C-1
Kódoló
y(t)
yn
i’n Q-1
LPF
Analóg nyelő
dekódoló
digitalizálás: idő(tér) és amplitúdó diszkretizálás
Mintavételezés: idő(tér) diszkretizálás → valós számsorozat, val. vált. sorozat Kvantálás: amplitúdó diszkretizálás → véges értékkészlet kódolás → digitális kód szekvencia
Dekódoló:
rekonstrukció
Dekódolás → minta index analóg minta rekonstrukció → diszkrét minta sorozat simító szűrés, interpoláció: időben (térben) folytonos analóg kimenet © Gaál József Híradástechnikai jelfeldolgozás
Hálózati Rendszerek és Szolgáltatások Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
7
Bevezetés: mintavételezés x(t) Analóg forrás
C
Q
fs
c’n
cn
in
xn
Digitális csatorna
C-1
Kódoló
y(t)
yn
i’n Q-1
LPF
Analóg nyelő
dekódoló
Ideális csatorna: cn = c’n és nincs kvantálás: yn = xn
x(t)
y(t)
xn
Analóg forrás
LPF
fs
Ha x(t) sávhatárolt: Analóg nyelő
F{x(t)}=X(f)=0,
|f| > B
és fs ≥ 2B és LPF határfrekvencia fh=B akkor y(t)=x(t)
© Gaál József Híradástechnikai jelfeldolgozás
Hálózati Rendszerek és Szolgáltatások Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
8
Kvantálás x(t) Analóg forrás
Ideális csatorna: cn = c’n in = i’n
c’n
cn
in Q
LPF
Q-1
Analóg nyelő
dekódoló
Digitális csatorna
C
Diszkrét (idejű) analóg forrás
q()
Q-1
Diszkrét (idejű) analóg nyelő
yn Q-1
Q
yn
i’n C-1
in
xn
xn
© Gaál József Híradástechnikai jelfeldolgozás
C-1
y(t)
yn
i’n
Kódoló
xn Diszkrét (idejű) analóg forrás
Digitális csatorna
C
Q
fs
c’n
cn
in
xn
Diszkrét (idejű) analóg nyelő
yn
Hálózati Rendszerek és Szolgáltatások Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
9
Kvantálás Kvantáló, mint diszkrét idejű input-output doboz yn
xn q(x)
• valós • memória mentes: yn = q(n, xn ) • invariáns:
yn = q( xn )
• véges kimeneti értékkészlet: yn ∈ [Y1, Y2, ... YL ] • nem lineáris • monoton
© Gaál József Híradástechnikai jelfeldolgozás
Hálózati Rendszerek és Szolgáltatások Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
10
Kvantálás Kvantáló, mint diszkrét idejű input-output doboz yn
xn
L szintű lépcsős kvantálási karakterisztika:
q(x)
bemeneti intervallum felosztás: X1, X2, ... XL-1 döntési intervallumok
q(x)
kimeneti lehetséges értékek:Y1, Y2, ... YL
Y5 X1 X2
Y4 Y2 Y1
© Gaál József Híradástechnikai jelfeldolgozás
Y3 X3
döntött (rekonstruált) értékek x
X4
Y1 , ha x ∈ (−∞, X1 ) y = q(x ) = Yi , ha x ∈ [X i −1 , X L ), i = 2,..., L − 1 Y , ha x ∈ [X ,−∞) L -1 L Hálózati Rendszerek és Szolgáltatások Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
11
Kvantáló, inverz kvantáló, kódoló, dekódoló Kvantáló = bemeneti döntés + kimeneti rekonstrukció: kvantáló, inverz kvantáló yn
xn q(x)
in
xn
Ξ
yn Q-1
Q
in: index sorozat
Kvantáló, kvantálás, kódolás, csatorna, dekódolás, rekonstrukció yn
xn q(x)
xn
Ξ
Q
C
in
cn
cn
in
Channel
C-1
yn Q-1
cn: kód (szimbólum) sorozat © Gaál József Híradástechnikai jelfeldolgozás
Hálózati Rendszerek és Szolgáltatások Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
12
Kvantálási hiba Kvantálási karakterisztika: yn = q(xn)
q(x) Y5
lépcsős függvény
Kvantálási hiba: en= yn - xn hiba karakterisztika: E(x) = q(x) − x
X1 X2
Y4 Y2 Y1
fűrész függvény
additív kvantáló modell: yn = xn + E(xn)
x
Y3
X4
X3
E(x) Y5 X1 X2
Y4 Y2 Y1
© Gaál József Híradástechnikai jelfeldolgozás
Hálózati Rendszerek és Szolgáltatások Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Y3
x X4
X3
13
Nevezetes kvantáló (karakterisztika) típusok szimmetrikus: Q(−x) = −Q(x) egyenletes: Yi+1 − Yi = dy = q = dx = Xi+1 − Xi
i=1...(L-1)
• kerekítéses • csonkolásos
nem egyenletes • logaritmikus • Max-Lloyd
© Gaál József Híradástechnikai jelfeldolgozás
Hálózati Rendszerek és Szolgáltatások Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
14
Szimmetrikus, egyenletes kvantáló Jellemzői: szintek száma L= 8 szintű bitek száma: b=log2(L) kvantálási lépcső: q=1 Dinamika tartomány: • ahol a hiba ≤ q/2 • [-d,d] d=4
© Gaál József Híradástechnikai jelfeldolgozás
Hálózati Rendszerek és Szolgáltatások Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
15
Szimmetrikus, egyenletes kvantáló Üzemmódok: nagy jelű • túlvezérléses: |x|>d
kis jelű • |x|< q/2 • nullabemenetű
normál üzemmód • q/2<|x|
© Gaál József Híradástechnikai jelfeldolgozás
Hálózati Rendszerek és Szolgáltatások Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
16
Szimmetrikus, egyenletes kvantáló Példa: 3 bites kvantálási és
hibakarakterisztikák:
páros szintű
páratlan szintű
Kis jelű viselkedés: „Iddle channel noise”: nulla bemenetű zaj teljesítmény: P= q2/4 © Gaál József Híradástechnikai jelfeldolgozás
Hálózati Rendszerek és Szolgáltatások Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
17
Stacioner forrás kvantálása ξn
ζn q(x)
ξn
ζn = q (ξn )
A ζn stacioner forrás: fξ(x) pdf fξ(x)
εn
e(x)
+
ζn
εn = ζn - ξn
Kvantáló: q(x), e(x) q(x)
x
x
bemeneti eloszlás tartója ↔ a kvantáló dinamika tartománya kimeneti diszkrét eloszlás: túlvezérlés, normál működés valószínűsége hibajel eloszlása, teljesítménye © Gaál József Híradástechnikai jelfeldolgozás
Hálózati Rendszerek és Szolgáltatások Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
18
Stacioner forrás finom kvantálása A kvantáló normál működési tartományban A kvantálási hiba eloszlása: Finom kvantálás lineáris, additív zaj modellje, helyettesítő képe: εn , σ2= q2/12 ξn
© Gaál József Híradástechnikai jelfeldolgozás
ζn Q
Hálózati Rendszerek és Szolgáltatások Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
=
ξn
+
ζn
19
Kvantálás minősítése: SNR SNR = átlagos jelteljesítmény / átlagos hibateljesítmény
{ } { }
{ }
Eξ2 Eξ2 SNR = = = 2 Pε Eε E (ξ − ζ) 2 Pξ
ξn
ζn q(x)
© Gaál József Híradástechnikai jelfeldolgozás
{
} ξn
e(x)
εn +
Hálózati Rendszerek és Szolgáltatások Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
ζn
20
Egyenletes eloszlás egyenletes kvantálása
{ }
Pξ = E ξ 2
∞
x max
2 x 1 = ∫ x 2 f ξ (x)dx = ∫ x 2 dx = max 2x max 3 −∞ − x max
Pε = pr{normal} Pε normal + pr{overload} Pε overload Pε normal
q2 = 12
{
}
Pε overload = E ε 2 −d
• nulla várható érték • szimmetrikus kvantáló SNR max =
Pξ max Pε normal
© Gaál József Híradástechnikai jelfeldolgozás
=
∞
2 2 ( x − y ) f ( x ) dx + ( x − y ) fξ ( x)dx ξ min max ∫ ∫
−∞
d2 2 2 d L 3 = 2 = 4 = 4 = L2 = 2 2 r q 2 q 12
r bites kvantáló:
ξ >d =
−d
∫
−∞
d ∞
fξ ( x)dx + ∫ fξ ( x)dx d
SNRdBmax = 6 r [dB] Hálózati Rendszerek és Szolgáltatások Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
21
Egyenletes eloszlás egyenletes kvantálása
© Gaál József Híradástechnikai jelfeldolgozás
Hálózati Rendszerek és Szolgáltatások Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
22
Nem egyenletes kvantálás y
x Q
u
x g( )
=
y
z Q0
g-1( )
Q : nem egyenletes kvantáló Q0 : egyenletes kvantáló g(x) : kompander larakterisztika g(x)-1 : exander larakterisztika
© Gaál József Híradástechnikai jelfeldolgozás
Hálózati Rendszerek és Szolgáltatások Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
23
Logaritmikus kvantálás Szimmetrikus, logaritmikus kvantáló • 1 bit előjel • r-1 bit abszolut érték kvantálás
Szint független SNR:
xi
Méretezés: • adott: SNR, xmin, xmin • kérdés: r ln(x max ) − ln(x min ) x i2 d = SNR = SNR i = 2 L -1 qi x 12 ln max x min L= +1 d r − 1 = log2(L)
q q d = ln x i + i − ln x i − i = 2 2
qi
© Gaál József Híradástechnikai jelfeldolgozás
1 = ln1 + xi 1 − qi 2 Hálózati Rendszerek és Szolgáltatások Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
24
Logaritmikus kvantálás Példa:
4 bites logaritmikus kvantálási és hibakarakterisztikák:
© Gaál József Híradástechnikai jelfeldolgozás
Hálózati Rendszerek és Szolgáltatások Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
25
Logaritmikus kvantálás
© Gaál József Híradástechnikai jelfeldolgozás
Hálózati Rendszerek és Szolgáltatások Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
26
Max-Lloyd kvantáló PDF optimalizált (nem egyenletes) kvantáló Adott a forrás eloszlása, és a kvantáló szintjeinek L száma.
Meghatározandó az • • •
X1, X2, ... X(L-1) döntési intervallum határok és Y1, Y2, ... YL döntési szintek optimális (SNR-t maximalizáló) értékei
A megoldást az alábbi iterációval éretjük el: Kiindulás:
x1( 0) , x 2( 0) , ... , x L( 0−)1 ; y1( 0) , ... , y L( 0)
{
y k(i ) = E ξ x k(i−−11) < ξ < x k(i −1) i=1,2, … © Gaál József Híradástechnikai jelfeldolgozás
x
(i ) k
(
1 (i ) = y k + y k(i+)1 2
)
Hálózati Rendszerek és Szolgáltatások Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
}
k = 1... L k = 1... L − 1 27