Hidraulika Komputasi Metoda Beda Hingga Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Gadjah Mada
Penyelesaian Pendekatan • Karena tidak diperoleh penyelesaian analitis, maka digunakan penyelesaian pendekatan numeris. • Digunakan penyelesaian pendekatan numerik dengan metoda beda hingga. • Untuk dapat menggunakan metoda beda hingga, maka domain dari persamaan dasar harus di-diskrit-kan. 4/25/2005
Djoko Luknanto
2
1
Diskrit versus Kontinu • Banyak permasalahan lapangan yang sebenarnya kontinu, namun harus dijadikan diskrit karena kondisi lapangan: – Q sungai adalah kontinu dari satu lokasi ke lokasi yang lain, namun – jika kita melakukan pengukuran, maka lokasi pengukuran tidak dapat kontinu sepanjang sungai, tetapi hanya dilakukan di titik-titik tertentu, karena keterbatasan dana dan kemampuan pelaksanaan. 4/25/2005
Djoko Luknanto
3
Diskritisasi Kondisi Alam i=1 i=N
arah x
titik hitung
i+1
i-1 i
sungai alami yang menjadi domain model harus di-diskrit-kan 4/25/2005
Djoko Luknanto
penyelesaian persamaan kerja/dasar yang berlaku hanya diperoleh di lokasilokasi (node) yang telah dipilih terlebih dahulu. 4
2
Kisi beda hingga x-t batas hulu
batas hilir
t
f i n +1
tn+1 tn
f i +n1+1
fi n
i=1
i-1 Data: Dihitung:
f i +n1
i
i+1
kondisi awal titik interior
4/25/2005
x
i=N
kondisi batas titik tinjauan – sudah dihitung titik tinjauan – akan dihitung
Djoko Luknanto
5
Persamaan hidrodinamika sungai • Pada penggal sungai normal, sungai dimodelkan dengan persamaan matematis: – Konservasi massa
∂Q ∂A + = qA ∂x ∂t – Konservasi momentum
∂Q ∂ ⎛ Q 2 ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎟⎟ + gA⎜ + S f ⎟ = 0 + ⎜⎜ α ∂t ∂x ⎝ A ⎠ ⎝ ∂x ⎠ 4/25/2005
Djoko Luknanto
6
3
Aplikasi pada Kisi Beda Hingga • Pada kisi beda hingga persamaan matematis menjadi: – Konservasi massa untuk titik i
∂Q ∂A + = qA i ∂x i ∂t i
– Konservasi momentum untuk titik i ∂Q ∂ ⎛ Q2 ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎟⎟ + gA⎜ + S f ⎟ = 0 + ⎜⎜ α ∂t i ∂x ⎝ A ⎠ i ⎝ ∂x ⎠i 4/25/2005
Djoko Luknanto
7
Definisi-definisi Beda Hingga • Metoda beda hingga akan mendefinisikan bagaimana suku-suku dalam persamaan kerja harus ditulis:
∂Q =? ∂x i 4/25/2005
∂A =? ∂t i Djoko Luknanto
qA i = ? 8
4
Deret Taylor • Deret Taylor digunakan untuk memprediksi/ menghitung nilai sebuah fungsi di sebuah lokasi jika nilai fungsi tersebut di lokasi yang berdekatan telah diketahui. nilai derivatif yang akan digunakan
f ( xi + Δx) = f ( xi ) +
(Δx)1 (1) (Δx) 2 ( 2) (Δx) n ( n ) f ( xi ) + f ( xi ) + ... + f ( xi ) + ... 1! 2! n! nilai fungsi yang telah diketahui
nilai fungsi yang dicari
4/25/2005
Djoko Luknanto
9
Penjabaran Skema Maju • Dijabarkan dari Deret Taylor
f ( xi + Δx) − f ( xi ) Δx ( 2 ) f ( xi ) − 2! Δx f ( xi + Δx) − f ( xi ) Δx ( 2 ) f ( xi ) = − 2 ! Δx
derajad satu
f (1) ( xi ) = df ⎤ dx ⎥⎦ x = xi
f ( xi + Δx) − f ( xi ) df ⎤ = dx ⎥⎦ x = xi Δx 4/25/2005
Djoko Luknanto
10
5
Skema Maju - Ruang • Beda hingga terhadap ruang f i n +1
tn+1
n f i +1 − fi n ∂f = ∂x i Δx
f i +n1+1
Δt
tn
fi n i-1
Δx
f i +n1
f i +n1+1 − f i n +1 ∂f = ∂x i Δx
i+1
i
Δx = xi +1 − xi 4/25/2005
Djoko Luknanto
11
Skema Maju - Waktu • Beda hingga terhadap waktu f i n +1
tn+1
f i +n1+1
Δt
tn
fi n i-1
Δx i
f i +n1 i+1
Δt = t n +1 − t n 4/25/2005
f i n +1 − f i n ∂f = ∂t i Δt ∂f ∂t Djoko Luknanto
f i +n1+1 − f i +n1 = Δt i +1 12
6
Penjabaran Skema Mundur • Dijabarkan dari Deret Taylor f ( xi − Δx) = f ( xi ) −
(Δx)1 (1) (Δx) 2 ( 2) f ( xi ) + f ( xi ) 1! 2!
f ( xi ) − f ( xi − Δx) Δx ( 2 ) f ( xi ) + 2! Δx f ( x i ) − f ( x i − Δx ) Δx ( 2 ) f ( xi ) = + 2!
Δx derajad satu
menjadi f (1) ( xi ) = df ⎤ dx ⎥⎦ x = xi
f ( xi ) − f ( xi −1 ) df ⎤ = ⎥ dx ⎦ x = xi Δx 4/25/2005
Djoko Luknanto
13
Skema Mundur - Ruang • Beda hingga terhadap ruang f i n +1
f i −n1+1
Δt
f i −n1 i-1
tn
fi n
Δx i
n f i n − f i −1 ∂f = ∂x i Δx
tn+1
f i n +1 − f i −n1+1 ∂f = ∂x i Δx
i+1
Δx = xi − xi −1 4/25/2005
Djoko Luknanto
14
7
Skema Mundur - Waktu • Beda hingga terhadap waktu f i n +1
f i −n1+1
Δt
f i −n1 i-1
tn
fi n
Δx
f i n +1 − f i n ∂f = ∂t i Δt
tn+1
∂f ∂t
i+1
i
Δt = t n +1 − t n 4/25/2005
f i −n1+1 − f i −n1 = Δt i −1
Djoko Luknanto
15
Skema Tengah - Ruang • Beda hingga terhadap ruang f i −n1+1
f i n +1
f i +n1+1 Δt
f i −n1 i-1
fi n
Δx i
f i +n1 i+1
Δx = xi − xi −1 4/25/2005
tn+1 tn
f i +n1 − f i −n1 ∂f = ∂x i 2 Δx f i +n1+1 − f i −n1+1 ∂f = ∂x i 2Δx
Djoko Luknanto
16
8
Skema Tengah - Ruang • Beda hingga terhadap ruang derivasi kedua ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ f i +1 − f i f − f i −1 −⎜ ⎟ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + i ∂ f ∂x ⎠ ⎝ ∂x ⎠ maju ⎝ ∂x ⎠ mundur ⎝ Δx Δx = = = ∂x 2 i ∂x Δx Δx 2
f i +1 − 2 f i + f i −1 (Δx )2
=
untuk tn dan tn+1 menjadi ∂2 f ∂x 2
=
f i +n1 − 2 f i n + f i −n1
f i +n1+1 − 2 f i n +1 + f i −n1+1 ∂2 f = ∂x 2 i (Δx )2
(Δx )2
i
4/25/2005
Djoko Luknanto
17
Skema Tengah - Waktu • Beda hingga terhadap waktu f i −n1+1 − f i −n1 ∂f = f f f tn+1 ∂t i −1 Δt n +1 i −1
n +1 i +1
n +1
i
Δt
f
n i −1
fi
Δx
i-1
f
i
Δt = t 4/25/2005
n
tn
n i +1
i+1
n +1
−t
n
f i n +1 − f i n ∂f = ∂t i Δt ∂f ∂t Djoko Luknanto
f i +n1+1 − f i +n1 = Δt i +1 18
9
Skema Lompat Katak • Beda hingga terhadap ruang dan waktu f i n +1 Δt
f i −n1 i-1
i
fi
n −1
tn+1 tn
f i +n1
Δx
f i +n1 − f i −n1 ∂f = ∂x i 2 Δx f i n +1 − f i n −1 ∂f = ∂t i 2Δt
tn-1
i+1
4/25/2005
Djoko Luknanto
19
Skema DuFort Frenkel • Skema ini menggunakan beberapa parameter dari waktu yang lalu (tn-1), waktu sekarang (tn) dan diskritisasi waktu yang akan datang (tn+1) dengan kombinasi ruang yang agak rumit. f i n +1 Δx
Δt
f i −n1 i-1 4/25/2005
f i +n1 i
f i n −1
i+1
tn+1 tn tn-1
∂2 f ∂x 2
= i
f i +n1 − f i n +1 − f i n −1 + f i −n1
(Δx )2
f i n +1 − f i n −1 ∂f = ∂t i 2Δt Djoko Luknanto
20
10
Skema Crank Nicolson • Skema ini menggunakan teknik pembobotan untuk diskritisasi waktu sekarang (tn) dan diskritisasi waktu yang akan datang (tn+1) dengan cara yang lebih fleksibel yaitu dengan menggunakan faktor pemberat waktu (0 ≤ θ ≤ 1).
∂2 f ∂x 2
i
⎛ f n +1 − 2 f i n +1 + f i −n1+1 ⎞ ⎛ f i +n1 − 2 f i n + f i −n1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ( 1 ) = θ ⎜⎜ i +1 + − θ 2 2 ⎟ ⎜ ⎟ ( ) ( ) x x Δ Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
• Beda hingga terhadap waktu:
f i n +1 − f i n ∂f = ∂t i Δt 4/25/2005
Djoko Luknanto
21
Skema-skema lain • Untuk menyelesaikan permasalahan hidrodinamika dan angkutan limbah di sungai telah banyak dikembangkan skema-skema beda hingga yang handal. • Salah satu diantaranya adalah Skema Empat Titik Preissmann. • Skema beda hingga yang lain tidak dijelaskan dalam tayangan ini. 4/25/2005
Djoko Luknanto
22
11
Skema Empat Titik Preissmann • Salah satu skema beda hingga yang populer untuk menyelesaikan problema sungai di lapangan adalah Skema Empat Titik Preissmann. • Untuk menghitung nilai suatu variabel di titiktitik hitungan sepanjang sungai Preissmann menggunakan empat buah titik untuk menghitung setiap suku pembentuk persamaan dasar aliran tak tunak di sungai. 4/25/2005
Djoko Luknanto
23
Skema 4 Titik Preissmann • Empat titik yang digunakan tn+1
f i n +1
Δx = xi +1 − xi
θ
f i +n1+1
Δt = t n +1 − t n
Δt
f i +n1
fi n
tn
1−θ
Δx i
i+1
titik tinjauan – akan dihitung titik tinjauan – sudah dihitung
4/25/2005
• 0 ≤ θ ≤ 1 disebut dengan faktor pemberat waktu (θ = 1 untuk skema implisit, sedangkan θ = 0 untuk skema eksplisit)
Djoko Luknanto
24
12
Skema Preissmann • Nilai fungsi dihitung dengan cara: 1−θ n f i + f i +n1 2 θ n 1−θ n = f i + Δf i + f i +n1 + Δfi +1 + f i + f i +n1 2 2 θ 1 = (Δf + Δf i +1 ) + f i n + f i +n1 2 2
f ( x, t ) =
θ
(f 2
n +1
i
)
(
+ f i +n1+1 +
(
)
)
(
(
)
)
misal untuk nilai Q θ Q ( x, t ) =
2
(ΔQi + ΔQi +1 ) + 1 (Qin + Qin+1 )
4/25/2005
2
Djoko Luknanto
25
Skema Preissmann • Beda hingga terhadap ruang: 1−θ n θ ∂f f i +n1+1 − f i n +1 + f i +1 − f i n = ∂x Δx Δx 1−θ n θ f i +n1 + Δf − f i n − Δf + f i +1 − f i n = i + 1 i Δx Δx θ 1 = Δf − Δf + f i +n1 − f i n 1 i i + Δx Δx
(
( (
)
(
)
)
misal untuk nilai Q ∂Q θ ∂x
4/25/2005
=
)
(
(
)
1 ( (Q ΔQ − ΔQ ) + i +1 i Δx Δx
n i +1
Djoko Luknanto
)
− Qin
) 26
13
Skema Preissmann • Nilai fungsi dihitung dengan cara:
(
1 1 ∂f n +1 n = f i +n1+1 − f i +n1 + fi − fi 2 Δt ∂t 2Δt 1 1 = Δf i +1 + Δf i 2 Δt 2 Δt
(
)
)
misal untuk nilai Q 1 1 ∂Q = ΔQi +1 + ΔQi 2 Δt ∂t 2Δt 4/25/2005
Djoko Luknanto
27
Pembobotan Waktu dan Ruang • Ide dari skema Crank-Nicolson dengan 0 ≤ θ ≤ 1 sebagai ‘faktor pemberat waktu,’ dapat dikembangkan secara umum untuk ‘faktor pemberat ruang’ dengan simbol 0 ≤ ψ ≤ 1. 1−ψ tn+1
ψ
fi −n1+1
θ
fi n +1 Δt
tn
f
n i −1
fi
n
1−θ
Δx i
i-1 4/25/2005
Djoko Luknanto
28
14
Contoh pembobotan Skema Mundur • Pembobotan terhadap ruang: n +1
∂f ∂f ∂f = (1 − θ ) +θ ∂x i ∂x i ∂x i n
= (1 − θ )
fi n − fi −n1 f n +1 − f i −n1+1 +θ i Δx Δx
• Pembobotan terhadap waktu: ∂f ∂f = (1 −ψ ) ∂t ∂t
4/25/2005
f i −n1+1 − fi −n1 fi n +1 − f i n ∂f +ψ = (1 −ψ ) +ψ ∂t i Δt Δt i −1
Djoko Luknanto
29
Skema Eksplisit-Implisit • Untuk aplikasi pembobotan terhadap waktu dikenal tiga jenis skema yaitu 1. Skema Eksplisit yaitu skema pembobotan ruang dengan nilai θ = 0, 2. Skema Eksplisit yaitu skema pembobotan ruang dengan nilai θ = 1, 3. Skema Eksplisit-Implisit yaitu skema pembobotan ruang dengan nilai 0 < θ < 1. 4/25/2005
Djoko Luknanto
30
15
Skema Mundur - Eksplisit Persamaan angkutan limbah adveksi murni:
∂C ∂C +U =0 ∂t ∂x Penyelesaian eksplisit dengan Skema Mudur U Δt n Ci − Cin−1 Δx n = Ci − Cr Cin − Cin−1
(
Cin +1 = Cin −
Cin +1 − Cin C n − Cin−1 +U i =0 Δt Δx
(
)
)
= (1 − Cr )Cin + CrCin−1 4/25/2005
Djoko Luknanto
31
Skema Mundur - Implisit Persamaan angkutan limbah adveksi murni:
∂C ∂C +U =0 ∂t ∂x Penyelesaian eksplisit dengan Skema Mudur Cin +1 − Cin Cin +1 − Cin−+11 +U =0 Δt Δx
4/25/2005
U Δt n +1 Ci − Cin−+11 = Cin Δx (1 + Cr )Cin +1 − CrCin−+11 = Cin
Cin +1 +
Djoko Luknanto
(
)
32
16
Skema Mundur: Eksplisit-Implisit • Persamaan angkutan limbah adveksi murni:
∂C ∂C +U =0 ∂t ∂x • Penyelesaian eksplisit dengan Skema Mudur
⎧ Cin−+11 − Cin−1 Cin +1 − Cin ⎫ +ψ ⎨(1 −ψ ) ⎬+ Δ Δ t t ⎩ ⎭ ⎧ Cin − Cin−1 Cin +1 − Cin−+11 ⎫ +θ U ⎨(1 − θ ) ⎬=0 Δ Δ x x ⎩ ⎭ 4/25/2005
Djoko Luknanto
33
17
