Helyzetmutatók, szóródási mutatók, alakmutatók
Statisztika I.
1. A következ® táblázat 48 darab 70 nm körüli budapesti lakás áráról 1995-ben összegy¶jtött információkat foglalja össze. Egészítse ki a táblázatot az alábbi értékekkel: osztályközép, gyakoriság, relatív gyakoriság, értékösszeg, relatív értékösszeg. Jellemezze az eloszlást középértékeivel, számítsa ki a szóródási mér®számokat! Rajzolja fel a doboz-ábrát! Értelmezze a kapott eredményeket! Kínálati ár (millió Ft) Lakások száma -2.99 6 3-3.99 19 4-4.99 11 5-5.99 6 6-6.99 3 73 2. 46 vállalat egy éves fogyasztása (GWh) az alábbi: 105, 145, 7, 10, 11, 24, 26, 50, 32, 59, 91, 7, 15, 40, 15, 57, 28, 115, 20, 19, 36, 7, 7, 11, 142, 160, 29, 15, 16, 32, 30, 57, 58, 178, 120, 76, 19, 17, 12, 12, 24, 23, 21, 30, 103, 30
Jellemezze az eloszlást középértékeivel, számítsa ki a szóródási mér®számokat! Rajzolja fel a dobozábrát! Értelmezze a kapott eredményeket! 3. Adottak a következ® ismérvértékek: 9.5, 2.5, 12, 10.5, 3, 10.5
Jellemezze a ferdeséget a tanult alkalmas mutatók segítségével! 4. Azonos tevékenységet végz® 20 cég szeptemberi bruttó árbevétele (millió Ft) az alábbi: 107, 85, 92, 64, 82, 72, 58, 87, 81, 109, 69, 40, 54, 59, 73, 79, 89, 99, 96, 105 P P 2 A fenti adatokból számított értékek a következ®ek: Xi = 1600, Xi = 134808
a. Számítsa ki és értelmezze a szórást és a relatív szórást! b. Készítse el a dobozábrát, vonjon le következtetést az eloszlásra! b. Számoljon ferdeségi és csúcsossági mér®számokat!
Standardizálás
Statisztika I.
1. Egy szerel®üzemben dolgozókról egy 2001. márciusi felmérés alapján az alábbiakat tudjuk: 1998 1999 Állomány Átlagbér (Ft/f®) Létszám (f®) Átlagbér (Ft/f®) Létszám (f®) Szakmunkás 43300 110 43700 117 Betanított munkás 38050 40 39900 57 Segédmunkás 32400 51 32800 146 Összesen Elemezze standardizálással a szerel®üzemben dolgozók átlag zetésének alakulását és az arra ható tényez®ket! Az eredményeket szövegesen is értékelje!
2. Bergengócia 2000 és 2005 évi banántermelésér®l az alábbiak ismertek: Term®terület Banán fajtája Termésátlagok különbsége (kg/ha) 2000-ben (ha) 2005-ben (ha) Zöld 250 360 1700 Még zöldebb 250 240 1200 Összesen 500 600 1360 Elemezze standardizálással a banán termésátlagának változását és az arra ható tényez®ket! Az eredményeket szövegesen is értékelje!
3. Egy termel®szövetkezet burgonyatermelésére vonatkozóan az alábbi adatok ismertek: Burgonya fajtája
A termésátlag 2002-ben (2001=100%)
A termésmennyiség százalékos megoszlása 2002-ben
A 88 60 B 84 40 Összesen 90 100 Elemezze a burgonya termésátlagának a változását standardizálás segítségével! Szövegesen is értelmezze a kapott eredményeket!
4. Egy ruházati bolt forgalmára vonatkozóan az alábbi adatok ismertek: Egy eladóra jutó forgalom (ezer Ft) Osztály A dolgozók megoszlása 2002-ben (%) 2000-ben 2002-ben Konfekció 58 3382 4529 Rövidáru 42 3151 4295 Összesen 100 3209 Elemezze standardizálással az egy eladóra jutó forgalom változását!
Indexszámítás
Statisztika I.
1. A magyar háztartások egy f®re jutó élelmiszer fogyasztására vonatkozóan az alábbi adatok ismertek: Fogyasztott mennyiség Egységár Termék 1991-ben 1994-ben 1991-ben 1994-ben Tej (l) 87,2 77,4 20,7 43,6 Tojás (db) 233 212 4,3 8,2 Hús (kg) 19,4 17,2 192,4 359,8 a. b. c. d.
Számítsa ki az egyedi indexeket (1991=100%)! Hogyan változott 1991-ról 1994-re az egy f®re jutó élelmiszerfogyasztás értéke? Hogyan változott 1991-ról 1994-re az egy f®re jutó élelmiszerfogyasztás volumene? Hogyan változott az elfogyasztott élelmiszerek árszínvonala?
2. Egy söröz® forgalmáról az alábbi adatok ismertek: Fajta Árbevétel 2006-ban Eladási ár változása (2005=100%) Világos 80 108 Barna 60 102 Alkoholmentes 60 120
Volumenváltozás (2005=100%) 110 90 80
a. Határozza meg a Laspeyres- és a Paasche-féle árindexeket! b. Számítsa ki az értékindexet és a Fischer-féle volumenindexet! c. A 2005-ös eladott mennyiségekkel számolva, mennyi az árak változása miatti többletbevétel/bevételcsökkenés?
3. Egy vállalat 3 termékére vonatkozóan az alábbi adatok ismertek: Termelési érték 1991-ben Termék Volumenváltozás (1991=100%) Folyóáron 1987-es áron A 500 600 110 B 600 500 115 C 900 800 100 Együtt 2000 1900 a. Határozza meg a termelés értékindexét! b. Határozza meg mindkét súlyozással az ár- és a volumenindexeket! Válaszait szövegesen értékelje!
4. Egy cukorgyár 2005-ös és 2006-os termelési eredményei az alábbiak: Fajta Árbevétel 2006-ban Árbevétel változása (2005=100%) Kristály 60 80 Kocka 80 120
Eladási ár változása (2005=100%) 108 91
a. Határozza meg a termelés értékindexét! b. Határozza meg mindkét súlyozással az ár- és a volumenindexeket! Válaszait szövegesen értékelje!
Statisztika I.
Kapcsolatvizsgálat
1. A szem és a hajszín közötti kapcsolatot vizsgálták 400 f® bevonásával. Ezen vizsgálat eredményét az alábbi táblázat foglalja össze: Szemszín Hajszín Barna Fekete Sz®ke Vörös Kék 4 4 40 2 Sötét 120 80 75 25 Zöld 10 10 15 15 Állapítsa meg, hogy van-e kapcsolat a vizsgált 400 embernél a szem- és hajszín között! Jellemezze és értékelje a kapcsolat szorosságát! 2. Egy kereskedelmi cég munkavállalóinak megoszlása a nem ismérv és a betöltött munkakör alapján: Fels®vezet® Középvezet® Beosztott Összesen N® 4 20 176 200 Fér 6 30 Összesen 10 440 Töltse ki a táblázatot a hiányzó adatokkal! Van-e összefüggés a dolgozók beosztása és nemük között? 3. Módszertan szigorlaton egy alkalommal az egyik bizottságnál vizsgázó hallgatók pontszámai az alábbiak voltak: Sorszám Statisztika Matematika 1 27 25 2 18 6 3 29 9 4 43 33 5 32 20 6 38 25 7 18 26 8 25 18 9 43 28 10 20 20 11 31 18 12 22 8 13 17 35 14 35 28 15 37 31 Jellemezze a két tárgy pontszáma közötti korrelációs kapcsolat szorosságát!
4. Megkértek 7 embert, hogy egy 1-t®l 100-ig terjed® skálán értékeljék, hogy mennyire szeretik a málnaszörpöt és a csokoládés fagyit: Málnaszörp Csokoládés fagyi 30 52 25 70 50 40 50 50 80 10 60 20 40 15 Határozza meg van-e kapcsolat a között, hogy valaki mennyire szereti a málnaszörpöt és mennyire a csokoládés fagyit! Értelmezze is az eredményt! 5. Egy lóversenyen 10 ló indult. A verseny el®tti sorrend és a végeredmény az alábbi táblázatban látható: Ló Esély Eredmény 1 2 1 2 1 2 3 3 3 4 7 4 5 5 5 6 8 6 7 4 7 8 6 8 9 9 9 10 10 10 Határozza meg és értelmezze a két rangsor közötti kapcsolat szorosságát mér® rangkorrelációs együtthatót! 6. Egy állásinterjú során 32 jelentkez® vehetett részt tesztíráson. A 100 pontos teszten (nem szerint csoportosítva) az alábbi eredmények születtek: FÉRFI: 85, 66, 50, 78, 51, 72, 76, 64, 65, 95, 42, 58, 92, 81, 69, 89, 74, 72, 59
N: 84, 58, 80, 82, 80, 97, 59, 91, 76, 80, 96, 85, 77
Milyen szoros a kapcsolat a pályázók neme és a teszteredmények között?
7. A Bálna Biztosító, miel®tt összeállította volna a jöv® évi felel®sségbiztosítás tarifáit, meg akarta vizsgálni, hogy van-e összefüggés az ügyfelei életkora és az általuk az elmúlt 5 évben okozott balesetek száma között. Töltse ki a táblázat hiányzó értékeit! Hány éves volt a leg atalabb és a legid®sebb balesetmentesen vezet® ügyfél? Mennyi volt a legbalesetveszélyesebb ügyfelek átlagéletkora? Egy alkalmas módszer segítségével határozza meg, van-e összefüggés az ügyfelek életkora és az okozott balesetek száma között!
Intervallumbecslés
Statisztika I.
1. Bevezet® feladatok: a standard normális eloszlás, a χ2 -eloszlás és a t-eloszlás. 2. Egy konzervgyárban az egyik adagoló automatának 500 gramm súlyú anyagot kell dobozokba töltenie. A gép által töltött dobozokból vett minta: 483,
502,
498,
496,
502,
494,
491,
505,
486
A gép által töltött súly normális eloszlású 8 gramm szórással. Adjon 95% megbízhatósági szint mellett kon dencia intervallumot az átlagos tölt®tömegre! 3. Azonnal oldódó kávét egy automata tölt üvegekbe. A gép pontosságának megállapítása végett 16 elem¶ FAE mintát vettek. A töltött tömegek (g): 55, 57,
54,
54,
54,
56,
56,
55,
57,
54,
56,
57,
55,
54,
56,
50
El®z® adatfelvételekb®l ismert, hogy a gép által töltött súly normális eloszlású. Készítsen 95%-os megbízhatósággal intervallumbecslést a várható átlagos tölt®súlyra, ha a. a fenti feltételek mellet, ha a szórás 1,5 gramm. b. a fenti feltételek mellett. 4. Egy gép 20 mm átmér®j¶ csavarokat gyárt. Az átmér®re vett 10 elem¶ minta (FAE): 18,
21,
22,
21,
20,
17,
22,
23,
19,
21,
a. Feltételezve, hogy a minta normális eloszlásból származik, adjunk intervallumbecslést a várható értékre 99%-os megbízhatósággal, ha a szórás a korábbi vizsgálatok alapján 3 mm. b. Mekkora mintát kell venni, hogy harmad ilyen hosszú intervallumot kapjunk? c. A gép egy m¶szak alatt 10000 csavart gyárt le. Adjunk 99%-os megbízhatósági szint¶ kon dencia intervallumot a gép által az egy m¶szakban legyártott csavarok összátmér®jére! 5. Magnetofonok szalagsebességét vizsgáljuk. Feltesszük, hogy a szalagsebesség normális eloszlást követ 4,76 cm/sec várható értékkel. Egy tesztkészüléken az alábbi 10 egymástól független szalagsebességet mérték: 4.755,
4, 766,
4.761,
4.762,
4.759,
4.766,
4.76,
4.758,
4.762,
4.76
Adjunk 90%-os kon dencia intervallumot az ingadozást mér® szórásra! 6. Egy órásnál 10 óra javítási idejének összege 34,2 perc, javítási idejük négyzetösszege 121,6 perc. Tegyük fel, hogy a javítási id® normális eloszlású valószín¶ségi változó. Adjunk 98%-os kon dencia intervallumot az órásüzlet javítási idejének szórására! 7. A népszavazási kezdeményezéseket 10000 aláírás alapján tekintik érvényesnek. Az aláírások hitelességét mintavételes technikával ellen®rzik. Egy alkalommal 14000 aláírást gy¶jtöttek. 3000 elem¶ FAE minta alapján a hiteles aláírások aránya 70% volt. Adjunk 99%-os megbízhatósági szint¶ kon dencia intervallumot az érvényes aláírások arányára! Érvényesnek tekinthet®-e ez alapján a kezdeményezés? 8. Egy orvosi rendel® feljegyzései szerint 1000 légz®szervi megbetegedésben szenved® beteg közül 390 volt n®. Készítsen 95%-os megbízhatósággal intervallumbecslést ezen minta alapján a fér ak arányára!
9. Azt vizsgálták, hogy egy adott kezelés növeli-e a testsúlyt. Kiválasztottak 12 kísérleti állatot, amelyeken alkalmazták a kezelést, illetve 10 állatot, amelyeken nem alkalmazták a kezelést. Megmérték mindegyik állat súlyát (kg): Kezeltek: 53, 59, 63, 67, 60, 57, 73, 65, 58, 68, 62, 71
Nem kezeltek: 61, 52, 47, 51, 58, 64, 60, 55, 49, 53
Adjunk 99%-os megbízhatósági szint¶ kon dencia intervallumot a kezelés által okozott testsúlynövekedésre, ha a. feltételezzük, hogy a két csoportban a testsúly azonos 5, 52 szórásnégyzet¶, normális eloszlású valószín¶ségi változó! b. feltételezzük, hogy a két csoportban a testsúly normális eloszlású valószín¶ségi változó 36 (kezeltek), illetve 25 (nem kezeltek) szórásnégyzettel! c. feltételezzük, hogy a két csoportban a testsúly azonos szórásnégyzet¶, normális eloszlású valószín¶ségi változó! 10. A pincérek láthatatlan jövedelmének becslése céljából 10 kiválasztott pincér bevallott havi borravalójának ismeretében a vendégkör véleménye alapján megbecsülték a tényleges borravaló nagyságát is: Sorszám Bevallott Tényleges 1 4000 9000 2 2000 5300 3 3500 6000 4 5000 9800 5 1800 4300 6 6000 10100 7 2800 5900 8 1500 4200 9 3900 9400 10 4400 10500 A tényleges és a bevallott borravaló összege normális eloszlásúnak tekinthet®. Becsüle meg 95%-os biztonsággal, hogy átlagosan mekkora összeg¶ borravalót nem vallanak be a pincérek!
Gyakorlás
Statisztika I.
1. Egy szilveszteri buliban korlátlan ételfogyasztást tartalmazott a belép®jegy, de az italokat maguknak kellett zetniük a vendégeknek. A vendéglistáról véletlenszer¶en kiválasztottunk 50 embert és megnéztük, hogy mennyit költöttek italra a szilveszteri buli során. A kapott adatokat az alábbi táblázat tartalmazza: Italfogyasztás (Ft) 1000-2000 2000-3000 3000-4000 4000-5000
Vendégek száma 10 15 20 5
a. Számítsa ki és értelmezze az italfogyasztás értékének szórását, fels® kvartilisét és móduszát! b. A szilveszteri buli során lehetett tombolát is venni. A buli végén megnézték, hogy a fér ak és a n®k közül hányan nyertek a tombolán. Összesen 120 vendég volt a buliban. A vendégek 60%-a fér volt, a többiek n®k. A fér ak közül 30-an nyertek a tombolán, a n®k közül 40-en. Egy alkalmas mutató segítségével vizsgálja meg, hogy van-e összefüggés aközött, hogy valaki nyert-e a tombolán és hogy milyen nem¶! Értelmezze is a kapott eredményt! 2. A továbbiakban tegyük fel, hogy a 2. feladatban lev® italfogyasztás értéke normális eloszlást követ. Felhasználva a 2. feladatban szerepl® adatokat, adja meg az alábbi intervallumbecsléseket: a. Adjunk 95%-os megbízhatóságú intervallumbecslést az italfogyasztás szórására! b. Adjunk 90%-os megbízhatósági szint¶ intervallumbecslést azon vendégek arányára, akik 2000 Ftnál kevesebbet költöttek italra a buli során! 3. Ezen a bulihelyen tavaly is tartottak szilveszteri bulit. Az akkori és a mostani fogyasztásokról az alábbiakat ismerjük: Ital típusa kóla whiskey pezsg®
Forgalom értéke 2015-ben 12 20 18
Forgalom értékének változása (2014=100%) 95 90 110
Árváltozás (2014=100%) 105 110 108
a. Számítsa ki és értelmezze az értékindexet! b. Számítsa ki és értelmezze a Paasche-féle árindexet és a Laspeyres-féle volumenindexet!
