Hely – és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel Bevezetés A repülő szerkezetek – repülőgépek, rakéták, stb. – helyének ( koordinátáinak ) meghatározása nem új feladat. Ezt a szakirodalom részletesen taglalja – [ 1 ], [ 2 ]. Felmerült a gondolat, hogy az itteni eredményeket más, „polgári célú” alkalmazásokban is hasznosítani lehetne. Ebből született meg – egyebek mellett – a „cérnás mérés” alapötlete. Az alábbiakban ennek az elméleti alapjait foglaljuk össze.
A koordináta - meghatározás alapképleteinek levezetése Mostanság, a GPS - alapú helymeghatározó eszközök széles körű – polgári célú – elterjedésével egyre többen és egyre világosabban látják az ilyen rendszerek működésének a lényegét. Ebben sok segítséget ad az internet is – [ 3 ],[ 4 ], stb. A helymeghatározás geometriai lényegét az 1. ábra segít megvilágítani; forrása: [ 1 ].
1. ábra Az alap: a térbeli ívmetszés. Ennek lényege, hogy 3 ismert térbeli helyzetű O1, O2, O3 ponttól egyidejűleg meghatározzuk a keresett koordinátájú mozgó M pont D1, D2, D3 távolságát. Az 1. ábra szemlélete alapján: a D1 és D2 sugarú gömbök egy körben metszik egymást, amit a D3 sugarú gömb 2 pontban metszhet. A 2 metszéspont közül az egyiket valamilyen feltétel szerint kizárva kapjuk az egyetlen megoldást, azaz a pont térbeli helyét. A különböző ti időpontokban végzett mérések eredményeinek számítással történő kiértékelése után rendelkezésünkre áll a Mi pontok egymásutánja, azaz a mozgó pont pályája, majd sebessége, stb., az adott koordináta - rendszerben. A számítást egy ( OXYZ ) térbeli derékszögű koordináta - rendszerben végezzük – ld. 2. ábra!
2
2. ábra A feladat megfogalmazása: Adott: O1( X1, Y1, Z1 ); O2(X2, Y2, Z2 ); O3( X3, Y3, Z3 ); D1, D2, D3 . Keresett: M ( X, Y, Z ) . Megoldás: Ehhez tekintsük a 3. ábrát is! A 3. ábra alapján: D = li + Di .
(1)
Innen: Di =D − li .
3. ábra
(2)
3
Di D l i X i Y j Z k Xi i Yi j Zi k
i1,2,3
i1,2,3
tehát
X Xi i Y Yi j Z Zi k ; D X Xi i Y Yi j Z Zi k .
(3)
i i1,2,3
Innen:
Di Di Di2 X Xi Y Yi Z Zi . 2
2
2
i1,2,3
(4)
Most másképpen alakítva ( 2 ) - t:
Di2 D l i D 2 2 D l i l i2 D 2 li2 2 X X i Y Yi Z Zi ; 2
innen:
Di D 2 li2 2 X X i Y Yi Z Zi .
(5) Természetesen ( 4 ) - ből is megkaphatjuk ( 5 ) - öt, a kijelölt műveletek elvégzésével. Most ( 5 ) szerint, i = 1, 2, 3 - mal:
D12 D2 l12 2 X X1 Y Y1 Z Z1 ;
(6)
D 22 D 2 l22 2 X X 2 Y Y2 Z Z 2 ;
(7)
D 32 D 2 l32 2 X X 3 Y Y3 Z Z3 .
(8)
Ezután képezzük az alábbi különbségeket!
D12 D 22 D 2 l12 2 X X1 Y Y1 Z Z1 D 2 l22 2 X X 2 Y Y2 Z Z 2 l12 l22 2 X X1 X 2 Y Y1 Y2 Z Z1 Z 2 , tehát
D12 D 22 l12 l 22 2 X X1 X 2 Y Y1 Y2 Z Z1 Z 2 .
(9)
Hasonlóképpen:
D12 D32 l12 l32 2 X X1 X3 Y Y1 Y3 Z Z1 Z3 ;
( 10 )
D 22 D 32 l 22 l32 2 X X 2 X 3 Y Y2 Y3 Z Z 2 Z3 .
( 11 )
Innen rendezéssel:
1 X X1 X 2 Y Y1 Y2 Z Z1 Z2 D 22 D12 l12 l22 ; 2 1 X X1 X 3 Y Y1 Y3 Z Z1 Z3 D 32 D12 l12 l32 ; 2 1 X X 2 X 3 Y Y2 Y3 Z Z 2 Z3 D 32 D 22 l 22 l32 . 2
( 12 ) ( 13 ) ( 14 )
4
Most bevezetjük a
1 c1 D 22 D12 l12 l22 ; 2 1 c 2 D32 D12 l12 l32 ; 2 1 c3 D32 D 22 l22 l32 2
( 15 ) ( 16 ) ( 17 )
rövidítő jelöléseket, majd ( 12 ), ( 13 ), ( 14 ) és ( 15 ), ( 16 ), ( 17 ) képletekkel:
X X1 X2 Y Y1 Y2 Z Z1 Z2 c1;
( 18 )
X X1 X3 Y Y1 Y3 Z Z1 Z3 c2 ;
( 19 )
X X 2 X 3 Y Y2 Y3 Z Z2 Z3 c3.
( 20 ) A most kapott egyenletek nem függetlenek egymástól, amit könnyen beláthatunk, ha képezzük különbségüket; viszont lineárisak, vagyis a keresett koordináták négyzeteit tartalmazó tagok nem szerepelnek bennük. A megoldás lényege: két ismeretlent kifejezünk egy harmadikkal. Először küszöböljük ki Z - t, így: ( 18 ) x ( Z2 – Z3 ) – ( 20 ) x ( Z1 – Z2 ); elvégezve a kijelölt műveleteket és rendezve:
X k1 a Y, ahol
c1 Z2 Z3 c3 Z1 Z2 ; X1 X 2 Z 2 Z3 X 2 X3 Z1 Z2
( 22 )
Y1 Y2 Z2 Z3 Y2 Y3 Z1 Z2 . X1 X 2 Z2 Z3 X 2 X3 Z1 Z2
( 23 )
k1
a
( 21 )
Másodszor: küszöböljük ki X - et, így: ( 18 ) x ( X1 – X3 ) – ( 19 ) x ( X1 – X2 ); elvégezve a kijelölt műveleteket és rendezve:
Z k 2 b Y, ahol
k2
b
c1 X1 X 3 c 2 X1 X 2 ; X1 X 3 Z1 Z 2 X1 X 2 Z1 Z3
X1 X 3 Y1 Y2 X1 X 2 Y1 Y3 . X1 X3 Z1 Z2 X1 X 2 Z1 Z3
( 24 )
( 25 )
( 26 )
5
Az Y koordináta meghatározására a ( 4 ) képlettel, i = 1 - re:
D12 X X1 Y Y1 Z Z1 ; 2
2
2
( 27 ) most ( 21 ), ( 24 ) és ( 27 ) képletekkel, behelyettesítés, átalakítások és rendezés után:
a 2 b2 1 Y 2 2 X1 a Y1 Z1 b k1 a k 2 b Y D12 l12 k12 k 22 2 X1 k1 2 Z1 k 2 0.
( 28 )
Most tekintsük azt a speciális esetet, amikor a távmérő egységek mind ugyanazon a vízszintes síkon helyezkednek el, azaz: Y1* Y2 * Y3 * 0 . (S1) Ekkor ( 23 ) és ( 26 ) miatt a* = b* = 0, (S1/1) így ( S 1 ), ( S 1 / 1 ) és ( 21 ), ( 24 ), ( 28 ) - cal: X* k1; ( 29 )
Z* k 2 ;
( 30 )
Y* D12 l12 k12 k 22 2 X1 k1 2 Z1 k 2 ,
( 31 )
ahol figyelembe vettük az Y* ≥ 0 korlátozást is.
Egy speciális eset Vegyük fel úgy az elrendezést, hogy az Oi távmérő egységek egy szabályos háromszög csúcsain helyezkedjenek el – ld. 4. ábra!
A csúcsok koordinátái:
3 l; 2 1 Z1 l sin 30 l; 2 (*) X 2 X1; Z2 Z1; X 3 0; Z3 l. X1 l cos 30
4. ábra
6
Az l1 = l2 = l3 = l összefüggés miatt ( 15 ), ( 16 ) és ( 17 ) - ből:
1 c1* D 22 D12 ; 2 1 c 2 * D32 D12 ; 2 1 c3 * D32 D22 . 2
(l) ( 38 ) ( 39 ) ( 40 )
Most ( 22 ) és ( * ) képletekkel:
k1*
c1 * ; 3l
( 41 )
majd ( 38 ) és ( 41 ) - gyel:
D 22 D12 k 1* . 2 3 l
( 42 )
Ezután a ( 25 ) és ( * ) képletekkel:
k2*
2 c 2 * c1 * ; 3 l
( 43 )
továbbá a ( 38 ), ( 39 ) és ( 41 ) képletekkel:
2 D32 D 22 D12 k 2* . 6 l
( 44 )
Most ( 29 ) és ( 42 ) - vel:
D 22 D12 X* ; 2 3 l
( 45 )
majd ( 30 ) és ( 44 ) - gyel:
2 D32 D 22 D12 Z* ; 6 l
( 46 )
végül ( 31 ), ( l ), ( 45 ), ( 46 ) képletekkel is: 2 2 D12 D 22 D32 2 Y* l X * Z * . 3
( 47 )
Az M pont távolsága az origótól, általában:
D X 2 Y 2 Z2 ,
( 48 )
illetve az itteni speciális esetben:
D *
X * Y * Z * . 2
2
2
Most teszteljük képleteinket néhány különleges helyzetben!
( 49 )
7 a.) D1 D 2 D12 : ekkor ( 45 ) szerint X * 0, azaz az M pont a függőleges YZ síkban található.
b.) D1 D2 D3 D123 : ekkor ( 45 ) és ( 46 ) szerint X * 0, Z* 0, valamint 2 2 ( 47 ) és ( 49 ) szerint D * Y * D123 l . Az utóbbi esetet szemlélteti az 5. ábra.
5. ábra A cérnás mérésről Most képzeljük el, hogy a mozgó M ponthoz az MOi cérnákat erősítjük, melyeket az alsó végükön súllyal megfeszítünk – ld. 6. ábra! Itt a kezdeti helyzetet szemléltettük.
6. ábra
8
A cérnákhoz erősített „mutató” segítségével a „skáláról” leolvashatjuk a cérna Di mérő hosszának ΔDi megváltozását, amellyel Di, új = Di + ΔDi. Ezzel az új mérőhosszal kiszámítjuk az M pont helyének új koordinátáit, majd az új és a régi koordináták különbsége megadja az egyes tengelyek menti u, v, w elmozdulás komponenseket. Ehhez ld. a 7. ábrát is!
7. ábra A 7. ábráról leolvasható, hogy
u X új X régi ;
( 50 )
v Yúj Yrégi ;
( 51 )
w Z új Z régi .
( 52 )
Az eredő elmozdulás nagysága:
f u 2 v2 w 2 ;
( 53 )
az eredő elmozdulás irányát megadó összefüggések:
u cos(X, f ) ; f v cos(Y, f ) ; f w cos(Z, f ) . f
( 54 )
9
( 53 ) és ( 54 ) - ből látható, hogy a keresett szögek közt fennáll az alábbi összefüggés:
cos 2 (X, f ) cos 2 (Y, f ) cos 2 (Z, f ) 1.
( 55 ) Ezzel meghatároztuk a mozgó M pont elmozdulását, nagyság és irány szerint. Megjegyzések: M1. A 6. ábra kapcsán említett mutató, skála, stb. csak a szemléltetést szolgálta. Egy valóságos elmozdulásmérés során akár század - milliméteres „pontosságú” mérőeszközre is szükség lehet. M2. A fentiek alapul szolgálhatnak a sebességek, stb. meghatározásához is. M3. Látható, hogy az ( 50 ), ( 51 ), ( 52 ) képletekkel számítható elmozdulás komponensek tetszőlegesek. Ez a körülmény különösen alkalmassá teheti módszerünket nagy elmozdulásokkal járó kísérletek elvégzéséhez és kiértékeléséhez is.
Irodalomjegyzék [ 1 ] – Red. A. A. Dmitrijevszkij: Ballisztika i navigacija raket Moszkva, Masinosztroenie, 1985. [ 2 ] – Red. E. I. Krineckij: Osznovü iszpütanij letatelnüh apparatov Moszkva, Masinosztroenie, 1989. [ 3 ] – http://www.agt.bme.hu/tutor_h/terinfor/t35a.htm [ 4 ] – http://astro.u-szeged.hu/szakdolg/vegiandras/felhasznalas/helymeghatarozas.html
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2008. augusztus 28.
