Harmonick´e oscil´atory Jakub K´akona,
[email protected] Abstrakt Tato u ´loha se zab´ yv´ a mˇeˇren´ım rezonanˇcn´ıch vlastnost´ı mechanick´ ych tlumen´ ych i netlumen´ ych oscil´ ator˚ u.
1
´ Uvod 1. Zmˇeˇrte tuhost pruˇziny statickou metodou a vypoˇctˇete u ´hlovou frekvenci (vˇcetnˇe celkov´e chyby urˇcen´ı), se kterou bude soustava kmitat kolem rovnov´aˇzn´e polohy s V´ami zvolen´ ym z´avaˇz´ım. Odhadnˇete, s jakou chybou jste schopen prodlouˇzen´ı pruˇziny mˇeˇrit a vypoˇctˇete minim´aln´ı hmotnost z´avaˇz´ı, kter´e mus´ıte k prodlouˇzen´ı pouˇzit, aby jste dos´ahl relativn´ı chyby mˇeˇren´ı tuhosti pruˇziny 50%. Chybu mˇeˇren´ı hmotnosti z´avaˇz´ı ∆m povaˇzujte za nulovou. 2. Zmˇeˇrte u ´hlovou frekvenci kmit˚ u pruˇziny dynamickou metodou. Rozhodnˇete, jestli pro v´ ypoˇcet u ´hlov´e frekvence je nutn´e pouˇz´ıt vztah ω=
q
ω02 − δ 2 ,
(1)
tj. jestli je u ´tlum tak velk´ y, ˇze pˇrekon´av´a chybu mˇeˇren´ı. 3. Zmˇeˇrte koeficienty tlumen´ı δ pro 2 konfigurace tlum´ıc´ıch magnet˚ u. Ovˇeˇrte pˇriton platnost vztahu (1). 4. Namˇeˇrte z´avislost amplitudy a f´azov´eho posunu kmit˚ u pruˇziny oproti bud´ıc´ı s´ıle na u ´hlov´e frekvenci bud´ıc´ı s´ıly. 5. Z´avislost amplitudy A kmit˚ u na u ´hlov´e frekvenci bud´ıc´ı s´ıly Ω vyneste do grafu, nafitujte tuto z´avislost funkc´ı A=
q
ω02 − δ 2 ,
(2)
z t´eto funkce pak urˇcete vlastn´ı frekvenci ω0 a u ´tlum δ a urˇcete pomoc´ı vztahu ωREZ =
q
ω02 − 2δ 2 ,
(3)
hodnotu rezonanˇcn´ı frekvence ΩREZ . Proˇc nelze pouˇz´ıt mˇeˇren´ı rezonanˇcn´ı kˇrivky k urˇcen´ı vlastn´ı frekvence kriticky tlumen´ ych syst´em˚ u?
6. Z´avislost f´azov´eho posunu kmit˚ u pruˇziny θ na u ´hlov´e frekvenci bud´ıc´ı s´ıly ω vyneste do grafu, nafitujte tuto z´avislost funkc´ı !
ω02 − Ω2 θ = arctan . 2δΩ
(4)
Mˇejte na pamˇeti, ˇze tento vztah plat´ı pro f´azov´ y posun v radi´anech. Z nafitovan´e funkce pak opˇet urˇcete vlastn´ı u ´hlovou frekvenci a u ´tlum syst´emu. 7. Srovnejte v´ ysledky mˇeˇren´ı pro vlastn´ı u ´hlovou frekvenci z u ´kol˚ u 1,2,5 a 6. Kter´e mˇeˇren´ı povaˇzujete za nejpˇresnˇejˇs´ı a naopak? 8. Zmˇeˇrte tuhost pruˇziny Pohlova kyvadla. 9. Namˇeˇrte ˇcasov´ y v´ yvoj v´ ychylky kmit˚ u kyvadla pro netlumen´e kmity. Za pouˇzit´ı v´ ysledku tohoto a minul´eho u ´kolu vypoˇc´ıtejte moment setrvaˇcnosti kyvadla I. 10. Zmˇeˇrte koeficient u ´tlumu pro nˇekolik zvolen´ ych hodnot tlum´ıc´ıho proudu. Z´avislost vyneste do grafu. 11. Extrapolac´ı urˇcete hodnotu tlum´ıc´ıho proudu, pˇri kter´em doch´az´ı ke kritick´emu tlumen´ı. Nastavte tuto hodnotu, zmˇeˇrte pr˚ ubˇeh pˇri rychlostn´ı a polohov´e poˇca´teˇcn´ı podm´ınce a ovˇeˇrte, ˇze je kyvadlo skuteˇcnˇe kriticky tlumeno.
2 2.1
Postup mˇ eˇ ren´ı Gravitaˇ cn´ı oscil´ ator
Nejdˇr´ıve bylo nutn´e zaˇc´ıt zmˇeˇren´ım tyhosti pruˇziny na laboratorn´ım oscil´atoru. Ten to u ´kol jsme vyˇreˇsili zavˇeˇsen´ım dvou r˚ uzn´ ych z´avaˇz´ı na pruˇzinu. Prvn´ı z´avaˇz´ı mˇelo hmotnost 48,62g a pruˇzinu nat´ahlo o 4cm druh´e 87,6g o 7cm z tˇechto hodnot jsme urˇcili tuhost pruˇziny 11,92 a 12,28 N/m. V´ ypoˇctem pro pˇr´ıpad zavˇeˇsen´eho mˇeˇr´ıtka a z´avaˇz´ı 48,62g n´am d´ale vyˇsla u ´hlov´a frekvence 15,21 rad/s. A pˇri zmˇeˇren´ı kmit˚ u a jejich nafitov´an´ı funkc´ı x = A exp(−δt) sin(ωt + ϕ)
(5)
N´am vyˇsla u ´hlov´a frekvence ω = 15, 18[rad/s] V´ ysledek fitu je vidˇet na grafu. D´ale jsme chtˇeli zmˇeˇrit f´azovou a amplitudovou charakteristiku kmit˚ u. Data z tohoto mˇeˇren´ı jsou ale d´ıky pouˇzit´e metodˇe sn´ıman´ı kamerou ponˇekud nekvalitn´ı a vyˇzaduj´ı n´aroˇcnˇejˇs´ı zpracovan´ı, kter´e jsem nestihl realizovat.
2.2
Pohlovo Kyvadlo
Nejdˇr´ıve jsme zmˇeˇrili tuhost pruˇziny v kyvadle a podobn´ ym zp˚ usobem, jako v pˇredeˇsl´em mˇeˇren´ı gravitaˇcn´ıho oscil´atoru. S t´ım rozd´ılem, ˇze bylo pouˇzito jedno z´avaˇz´ı o hmotnosti 40,3g ,kter´e stoˇcilo pruˇzinu o 14,9 jednotek na kotouˇci kyvadla. N´aslednˇe jsmˇe zmˇeˇrili kmity pro netlumen´e kyvadlo a pro nˇekolik pˇr´ıpad˚ u tlumen´ı. N´aˇs v´ ysledek ilustruj´ı n´asleduj´ıc´ı grafy 2, 3 a z´avislost tlumen´ı na velikosti proudu v ´ tlum´ıc´ıch c´ıvk´ach 4 . Ukolem bylo tak´e spoˇc´ıtat moment setrvaˇcnosti ten pˇri znalosti z´ateˇze a polomˇeru kyvadla 93,9 mm vych´az´ı na 3, 4 ∗ 10−4 kg/m2 .
2400 2300 2200
amplitude [1]
2100 2000 1900 1800 1700 1600 1500 1400 0
1
2
3
4 time [s]
5
6
7
Obr´azek 1: Oscilace s ω = 15, 18[rad/s] koeficientem tlumen´ı δ = 0, 34
8
2
1.95
amplitude [1]
1.9
1.85
1.8
1.75
1.7 -10
-5
0 time [s]
5
ˇ Obr´azek 2: Casov´ y v´ yvoj v´ ychylky ”netlumen´eho” Pohlova kyvadla
10
20
15
amplitude [1]
10
5
0
-5
-10
-15 -10
-5
0 time [s]
5
10
Obr´azek 3: Kmity tlumen´eho Pohlova kyvadla pˇri proudu tlum´ıc´ı c´ıvkou 700mA
0.5 0.45 0.4 0.35
damping
0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0
100
200
300 400 current [mA]
500
600
Obr´azek 4: Z´avislost tlumen´ı na velikosti proudu v tlum´ıc´ı c´ıvce.
700
3
Diskuse
Pˇri mˇeˇren´ı bylo nejvˇetˇs´ım probl´emem zprovoznˇen´ı sn´ımac´ı ”kamery” od kter´e nen´ı nikde ani bˇeˇznˇe dostupn´ y popis principu mˇeˇren´ı. N´asledkem toho n´am sestaven´ı experimentu trvalo ne´ umˇernˇe dlouho. A neprobihalo, tak jak jsme si predstavovali z pripravy.
Z´ avˇ er Mˇeˇren´ı oscilac´ı nepˇrineslo pˇrekvapiv´e v´ ysledky kter´e by nesouhlasily s analytick´ ym popisem mˇeˇren´ ych soustav. A doˇslo tak jenom k jejich dalˇs´ımu potvrzen´ı.
Reference
[1] Zad´an´ı u ´lohy 10 - Harmonick´e oscilace. http://rumcajs.fjfi.cvut.cz/fyzport/Mechanika/HarmOscila [2] Pohlovo torzni kyvadlo. http://praktika.fjfi.cvut.cz/PohlKyv
