Hádanka kněží boha Ra

Hádanka kněží boha Ra Stojíš před stěnou, za kterou je studna Lotosu jako kruh Slunce. Vedle studny je položen jeden kámen, jedno dláto a dva stvoly třtiny. Jeden stvol je dlouhý tři míry, druhý dvě míry. Stvoly (opřené ve stabilní poloze v diametrálně protilehlých bodech na okraji dna) se kříží na povrchu vody ve studni Lotosu a ten povrch je jednu míru nade dnem. Kdo určí velikost nejdelší úsečky, kterou lze umístit do dna studny Lotosu, ten si vezme oba stvoly a bude knězem boha Ra. Jinými slovy: Vypočítejte průměr studny tvaru válce, stvoly jsou postaveny na dno tak, že kolmý průmět každého z nich na podstavu válce je týmž průměrem podstavy válce. Úloha pochází ze starověkého Egypta a abych pravdu řekl, jaksepatří mi zavařila šiškebab. Nejdřív si opětovně uděláme náčrtek:

Vztahy s odmocninami vlevo a vpravo jsou odvozené pomocí Pythagorovy věty (kterou ve starém Egyptě neznali) z trojúhelníků ABC a ABD. Dále vyjdeme s podobností trojúhelníků ATV a ABD (věta uu) a trojúhelníků BTV a BAC (věta uu) a sestavíme dvě rovnice (dáme do poměru odpovídající si strany):

1 4d

2



d u u  1 d d

1 9d

2



u d

u levou stranou druhé rovnice a dostaneme tak jednu d 1 1 rovnici o neznámé d : 1 . Výrazy pod odmocninami mi přijdou příliš 2 4d 9d2 složité, tak zavedeme substituci z = 4 – d2. Výraz 9 – d2 tím pádem přepíšeme na z + 5. Rovnice určitě trochu „prokoukne“.

V první rovnici nahradíme výraz

1 z

 1

1 No, prokoukla, ale ne moc. Zkusíme ji trochu upravit. Nejdřív se zbavíme zlomků, protože zlomek (jak smýšlejí mí drazí studenti) je od slova ZLO!

z 5

z5  z  z5  z z  z  z5 z5 z  z 5





Na pravé straně „zatkneme“ výrazem vydělíme.

z  5 a poté rovnici tímto

z 1

z

 z 1 z5 z  z  2 z 1 z5

A už je tam zas zlomek! A těch odmocnin je tam taky požehnaně. Tak to celé umocníme (vpravo podle vzorce!) Na levé straně provedeme příslušné dělení. Jak se dělí výrazy s proměnnými určitě všichni znáte, vysvětlovati tudíž netřeba.

5  z  2 z 1 z 5 5 2 z  z z5

1

2x  x 2 



Hm, pořád mi to přijde jakési složité. Zavedeme tedy ještě jednu substituci (nedělám si srandu) z = x2.

5 2 x 5







2x  x 2  5  x 2 x 2  5  5 0  x 4  2 x 3  5 x 2  10 x  5

Rovnici vynásobíme kvadratickým dvojčlenem x2 + 5, seřadíme a jelikož vznikne rovnice čtvrtého stupně, pokusíme se určit alespoň přibližné řešení. Mimochodem, v této fázi úlohy už je nad Slunce jasné, že staří Egypťané postupovali jinak.

Z metod, pomocí kterých se dá určit přibližné řešení takto nechutné rovnice, použijeme metodu tečen. Za prvé je určitě nejjednodušší a za druhé jinou ani neznám. Tato metoda se nazývá Newtonova, z čehož je patrné, že ji vymyslel jeden z největších borců na poli vědy, co kdy žili. Pokusím se tuto metodu krátce vysvětlit. Máme funkci f, která je na určitém uzavřeném intervalu spojitá a monotónní (tj. pořád rostoucí nebo pořád klesající), dále nemá na tomto intervalu žádný inflexní bod (tj. je pořád konvexní nebo konkávní) a nechť se hodnoty funkce v krajních bodech tohoto intervalu liší znaménkem (tj. existuje na tomto intervalu průsečík grafu funkce s osou x). Vybereme si nějaké číslo x0 z tohoto intervalu a sestrojíme v tomto bodě tečnu ke grafu funkce f. Tečna je přímka a její směrnice je derivací funkce f v bodě x0 (základní geometrický význam derivace funkce). Má tedy rovnici y = f´(x0)x + q; kde číslo q udává posun přímky po ose y. Do rovnice dosadíme souřadnice bodu dotyku [x0; y0], kde y0 = f(x0), a vyjádříme q. f  x0   f ´ x0   x 0  q q  f  x 0   f ´ x 0   x0 Naše tečna má také průsečík s osou x. Jeho souřadnice, které označíme [x1; 0], musejí vyhovovat rovnici tečny. Takže opět dosadíme: 0  f ´ x0   x1  q Z rovnice vyjádříme x1. q x1  Za číslo q dosadíme a upravíme. f ´ x 0 

x1 

 f  x 0   f ´ x0   x 0 f  x0   x0  f ´ x 0  f ´ x 0 

Takto dostaneme x1. Je to jakási první aproximace námi hledaného průsečíku grafu funkce s osou. Budeme-li chtít druhou a přesnější aproximaci, stačí vztah „přeindexovat“. Dostaneme: f  x1  x 2  x1  f ´ x1  No a tak můžeme pokračovat dál a dál do té doby, než dosáhneme požadované přesnosti. Osobně na tyto výpočty doporučuji použít nějaký program (např. Microsoft Excel), jinak je to docela dřina. Pro názornost ještě jeden obrázek. Je na něm patrné, jak se postupné aproximace blíží k hledanému průsečíku grafu funkce s osou x (jehož x-ová souřadnice je řešením rovnice f(x) = 0).

Tak a teď zpět k hádance kněží boha Ra. Řešení rovnice x 4  2 x 3  5 x 2  10 x  5  0 je vlastně hledáním průsečíku grafu příslušné funkce s osou x. Funkci označíme standardně f : y  x 4  2 x 3  5 x 2  10 x  5 . Nejdříve musíme najít vhodný uzavřený interval vyhovující podmínkám výše. Vraťme se k průměru studny. Aby menší stvol alespoň čouhal z vody, musí platit:

4  d 2  1 . Z toho po jednoduchých úpravách plyne d <

3 . Uvažme na chvíli, že

průměr studny bude roven číslu 1. Pak 4  d 2  3 , 9  d 2  8 . Výšku hladiny označíme v. Z podobností trojúhelníků ATV a ABD a trojúhelníků BTV a BAC plyne: v 1 u 1 u   Z druhé rovnice dosadíme do první a vyjádříme v. 1 3 8 1  1  v  3 1    přibližně 1,12 (což je moc). Z toho plyne, že průměr studny d > 1. Celkem 8  tedy platí:

1  d  3 . Přejdeme k první substituci, tj. neznámé z = 4 – d2 . Z tohoto vztahu vyjádříme d. d2  4z d  4 z

Dostaneme soustavu nerovnic: 1 4 z  3 Umocníme. 1 4 z  3  3   z  1 3  z 1 Teď už zbývá jen přejít k proměnné x zavedené vztahem z = x2. 1 z  3

1  x2  3 1 x  3 Zajímají nás pouze kladná čísla, hledaný interval je tudíž 1; 3 . To by bylo. Nyní je třeba určit první a druhou derivaci. To by neměl být pro nikoho problém. f ´ 4 x 3  6 x 2  10 x  10 f ´´ 12 x 2  12 x  10

Položíme-li druhou derivaci rovnu 0, daná kvadratická rovnice nemá řešení. Snadno ověříme, že druhá derivace je pro všechna x  R kladná, tudíž funkce je na celém svém definičním oboru konvexní. Gut. První derivace je však docela oříšek. Položíme-li ji rovnu 0 (hledáme lokální extrémy funkce), dostaneme kubickou rovnici, která je sice obecně řešitelná, její řešení však není v mých možnostech. Takže si vypomůžeme programem Microsoft Excel, kde provedeme pár dílčích výpočtů.

číslo

hodnota funkce

hodnota první derivace

1 -1 -2 1,732051 1,287187 10,10512 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

-1,1479 -1,1824 -1,0879 -0,8464 -0,4375 0,1616

-0,936 0,272 1,648 3,216 5 7,024

Z tabulky vidíme, že daný interval (vyznačen žlutě) nevyhovuje, derivace je nejdříve záporná a potom kladná, funkce má někde mezi 1,1 a 1,2 lokální minimum. Jako nejvhodnější pro užití Newtonovy metody se jeví interval 1,5 ; 1,6 . Položíme tedy x0 = 1,5 a provedeme pár dalších výpočtů.

aproximace

jmenovatel

následující aproximace

5

1,5875 x1

x1

1,5875 0,075473 6,757055

1,576331 x2

x2

1,576331 0,001316 6,521975

1,576129 x3

x3

1,576129 4,25E-07 6,517759

1,576129 x4

x0

čitatel

1,5

-0,4375

Z tabulky vidíme, že x3 = x4 (v přesnosti na pět desetinných míst, což by starým Egypťanům jistě stačilo). Zbývá návrat zpět k průměru studny d. Je-li x = 1,576129, pak z = x2 = 2,484182625. d  4  z = 1,23119. Nejdelší úsečka, kterou lze umístit do dna studny Lotosu, bude dlouhá přibližně 1,231 míry. Smekám svůj imaginární klobouk před starými Egypťany!! Na závěr pro úplnost ještě jeden obrázek s grafem funkce f : y  x 4  2 x 3  5 x 2  10 x  5 . Je na něm vidět hledaný průsečík (druhý nevyhovuje podmínkám úlohy) i lokální minimum funkce někde mezi x = 1,1 a x = 1,2.

y

x