Matematika Diskrit
Graf Materi ke-5 Matematika Diskrit
1
• Diketahui matriks ketetanggaan (adjacency matrices) dari sebuah graf tidak berarah. Gambarkan dua buah graf yang yang bersesuaian dengan matriks tersebut. 0 1 0 0 1
1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0
Matematika Diskrit
Graf Isomorfik
2
• Dua buah graf yang sama (hanya penggambaran secara geometri berbeda) isomorfik!
Matematika Diskrit
• Jawaban:
3
Graf Isomorfik
• Dua buah graf, G1 dan G2 dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara simpul-simpul keduanya dan antara sisisisi keduaya sedemikian sehingga hubungan kebersisian tetap terjaga. • Dengan kata lain, misalkan sisi e bersisian dengan simpul u dan v di G1, maka sisi e’ yang berkoresponden di G2 harus bersisian dengan simpul u’ dan v’ yang di G2. • Dua buah graf yang isomorfik adalah graf yang sama, kecuali penamaan simpul dan sisinya saja yang berbeda. Ini benar karena sebuah graf dapat digambarkan dalam banyak cara.
Matematika Diskrit
• Dua buah graf yang sama tetapi secara geometri berbeda disebut graf yang saling isomorfik.
4
3
d
c
v
w
a
b
x
y
1
2
(a) G1
(b) G2
(c) G3
Matematika Diskrit
4
Gambar 6.35 G1 isomorfik dengan G2, tetapi G1 tidak isomorfik dengan G3
5
z a
v
w
x
y
e c d
(a) G1
(b) G2
Gambar 6.36 Graf (a) dan graf (b) isomorfik [DEO74]
0 1 1 1 e 0
a b AG1 = c d
a b c d 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0
e x 0 y 1 AG2 = w 1 v 1 z 0
x 1 0 1 0 0
y 1 1 0 1 0
w 1 0 1 0 1
v z 0 0 0 1 0
Matematika Diskrit
b
6
Matematika Diskrit
(a)
(b) 7
Gambar 6.38 (a) Dua buah graf isomorfik, (b) tiga buah graf isomorfik
Dari definisi graf isomorfik dapat dikemukakan bahwa dua buah graf isomorfik memenuhi ketiga syarat berikut [DEO74]: 1. Mempunyai jumlah simpul yang sama. 2. Mempunyai jumlah sisi yang sama 3. Mempunyai jumlah simpul yang sama berderajat tertentu
w u
Matematika Diskrit
Namun, ketiga syarat ini ternyata belum cukup menjamin. Pemeriksaan secara visual perlu dilakukan.
x y v (a)
8
(b)
Latihan
d
a
p
e
t
h
f
b
s
w
Matematika Diskrit
• Apakah pasangan graf di bawah ini isomorfik?
u
g
v
c
r
q
9
Latihan a
b
e
d
p
q
t
f
u c
s
Matematika Diskrit
• Apakah pasangan graf di bawah ini isomorfik?
r
10
Latihan
Matematika Diskrit
• Gambarkan 2 buah graf yang isomorfik dengan graf teratur berderajat 3 yang mempunyai 8 buah simpul
11
Matematika Diskrit
• Jawaban:
12
• Graf yang dapat digambarkan pada bidang datar dengan sisi-sisi tidak saling memotong (bersilangan) disebut graf planar, • jika tidak, maka ia disebut graf tak-planar. • K4 adalah graf planar:
Matematika Diskrit
Graf Planar (Planar Graph) dan Graf Bidang (Plane Graph)
13
Matematika Diskrit
• K5 adalah graf tidak planar:
14
Matematika Diskrit
Graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang tidak saling berpotongan disebut graf bidang (plane graph).
(a)
(b)
(c)
Tiga buah graf planar. Graf (b) dan (c) adalah graf bidang
15
Aplikasi Graf Planar
H1
H2
H3
H1
H2
H3
W
G
E
W
G
E
(a)
(b)
Matematika Diskrit
Persoalan utilitas (utility problem)
(a) Graf persoalan utilitas (K3,3), (b) graf persoalan utilitas bukan graf planar. 16
Aplikasi Graf Planar
• Tidak boleh ada kawat-kawat di dalam IC-board yang saling bersilangan dapat menimbulkan interferensi arus listrik malfunction • Perancangan kawat memenuhi prinsip graf planar
Matematika Diskrit
• Perancangan IC (Integrated Circuit)
17
Latihan
Matematika Diskrit
• Gambarkan graf (kiri) di bawah ini sehingga tidak ada sisi-sisi yang berpotongan (menjadi graf bidang). (Solusi: graf kanan)
18
• Sisi-sisi pada graf bidang membagi bidang datar menjadi beberapa wilayah (region) atau muka (face).
R2
R1
R3
R4
R6
Matematika Diskrit
• Graf bidang pada gambar di bawah initerdiri atas 6 wilayah (termasuk wilayah terluar):
R5
19
• Hubungan antara jumlah simpul (n), jumlah sisi (e), dan jumlah wilayah (f) pada graf bidang:
R2
R1
R3
R4
R6
R5
Matematika Diskrit
n – e + f = 2 (Rumus Euler)
• Pada Gambar di atas, e = 11 dan n = 7, f = 6, maka 7 – 11 + 6 = 2. 20
• Misalkan graf sederhana planar memiliki 24 buah simpul, masing-masing simpul berderajat 4. Representasi planar dari graf tersebut membagi bidang datar menjadi sejumlah wilayah atau muka. Berapa banyak wilayah yang terbentuk?
Matematika Diskrit
Latihan
21
•
Diketahui n = jumlah simpul = 24, maka jumlah derajat seluruh simpul = 24 × 4 = 96.
•
Menurut lemma jabat tangan, jumlah derajat = 2 × jumlah sisi, sehingga jumlah sisi = e = jumlah derajat/2 = 96/2 = 48
•
Dari rumus Euler, n – e + f = 2, sehingga f = 2 – n + e = 2 – 24 + 48 = 26 buah.
Matematika Diskrit
Jawaban:
22
• Ketidaksamaan yang terakhir dinamakan ketidaksamaan Euler, • yang dapat digunakan untuk menunjukkan keplanaran suatu graf sederhana
Matematika Diskrit
• Pada graf planar sederhana terhubung dengan f buah wilayah, n buah simpul, dan e buah sisi (e > 2) selalu berlaku: e ≤ 3n – 6
• kalau graf planar, maka ia memenuhi ketidaksamaan Euler, sebaliknya jika tidak planar maka ketidaksamaan tersebut tidak dipenuhi. 23
K4
K5
K3,3
Matematika Diskrit
• Contoh: Pada K4, n = 4, e = 6, memenuhi ketidaksamaan Euler, sebab 6 ≤ 3(4) – 6. Jadi, K4 adalah graf planar. Pada graf K5, n = 5 dan e = 10, tidak memenuhi ketidaksamaan Euler sebab 10 ≥ 3(5) – 6. Jadi, K5 tidak planar
24
Ketidaksamaan e ≤ 3n – 6 tidak berlaku untuk K3,3 karena e = 9, n = 6 9 ≤ (3)(6) – 6 = 12 (jadi, e ≤ 3n – 6)
Buat asumsi baru: setiap daerah pada graf planar dibatasi oleh paling sedikit empat buah sisi,
Matematika Diskrit
padahal graf K3,3 bukan graf planar!
Dari penurunan rumus diperoleh e ≤ 2n - 4
25
H1
H2
H3
H1
H2
H3
W
G
E
W
G
E
Matematika Diskrit
Contoh Graf K3,3 pada Gambar di bawah memenuhi ketidaksamaan e ≤ 2n – 4, karena e = 9, n = 6 (salah) 9 ≤ (2)(6) – 4 = 8 yang berarti K3,3 bukan graf planar.
26
Teorema Kuratoswki
Matematika Diskrit
Berguna untuk menentukan dengan tegas keplanaran suat graf.
(a)
(b)
(c)
Gambar (a) Graf Kuratowski pertama (K5) (b) Graf Kuratowski kedua (K3, 3) (c) Graf yang isomorfik dengan graf Kuratowski kedua
27
Matematika Diskrit
Sifat graf Kuratowski adalah: 1. Kedua graf Kuratowski adalah graf teratur. 2. Kedua graf Kuratowski adalah graf tidak-planar 3. Penghapusan sisi atau simpul dari graf Kuratowski menyebabkannya menjadi graf planar. 4. Graf Kuratowski pertama adalah graf tidak-planar dengan jumlah simpul minimum, dan graf Kuratowski kedua adalah graf tidak-planar dengan jumlah sisi minimum.
28
v
y x
G1
G2
Matematika Diskrit
TEOREMA Kuratowski. Graf G bersifat planar jika dan hanya jika ia tidak mengandung upagraf yang isomorfik dengan salah satu graf Kuratowski atau homeomorfik (homeomorphic) dengan salah satu dari keduanya.
G3
Gambar Tiga buah graf yang homemorfik satu sama lain.
29
a
f
b
e G
a
c
d
f
b
e
c
Matematika Diskrit
Contoh: Kita gunakan Teorema Kuratowski untuk memeriksa keplanaran graf. Graf G di bawah ini bukan graf planar karena ia mengandung upagraf (G1) yang sama dengan K3,3.
d
G1
Graf G tidak planar karena ia mengandung upagraf yang sama dengan K3,3.
30
Graf G tidak planar karena ia mengandung upagraf (G1) yang homeomorfik dengan K5 (dengan membuang simpul-simpul yang berderajat 2 dari G1, diperoleh K5).
i
a
a i
b
h
c
b
h
c
d
g
f
G
e
h
c
d
g
f
G1
e
g
Matematika Diskrit
a
e
K5
Gambar Graf G, upagraf G1 dari G yang homeomorfik dengan K5.
31
Latihan
Matematika Diskrit
• Perlihatkan dengan teorema Kuratowski bahwa graf Petersen tidak planar.
32
Jawaban:
1
6
1
7
2
6
1
7
2
6
2
10
9
8
3
5
4
9
8
3
4
(a) Graf Petersen, G
3
5
4 (c) G2
(b) G1
1
3
5
2
4 (d) K3,3
6
Gambar (a) Graf Petersen (b) G1 adalah upagraf dari G (c) G2 homeomorfik dengan G1 (d) G2 isomorfik dengan K3,3
Matematika Diskrit
5
33
Lintasan dan Sirkuit Euler
• Sirkuit Euler ialah sirkuit yang melewati masing-masing sisi tepat satu kali.. •
Graf yang mempunyai sirkuit Euler disebut graf Euler (Eulerian graph). Graf yang mempunyai lintasan Euler dinamakan juga graf semi-Euler (semi-Eulerian graph).
Matematika Diskrit
• Lintasan Euler ialah lintasan yang melalui masing-masing sisi di dalam graf tepat satu kali.
34
Contoh. Lintasan Euler pada graf (a) : 3, 1, 2, 3, 4, 1 Lintasan Euler pada graf (b) : 1, 2, 4, 6, 2, 3, 6, 5, 1, 3 Sirkuit Euler pada graf (c) : 1, 2, 3, 4, 7, 3, 5, 7, 6, 5, 2, 6, 1 Sirkuit Euler pada graf (d) : a, c, f, e, c, b, d, e, a, d, f, b, a Graf (e) dan (f) tidak mempunyai lintasan maupun sirkuit Euler (b)
(a)
2
2
1
1
(c)
3 4
4
3
5
3 5 4
1
6
6
7
a
b
c
d
a (d)
d
b
(e)
1
2
(f)
Matematika Diskrit
2
3
e
c
4
5
e
f
(a) dan (b) graf semi-Euler (c) dan (d) graf Euler (e) dan (f) bukan graf semi-Euler atau graf Euler
35
TEOREMA. Graf tidak berarah G adalah graf Euler (memiliki sirkuit Euler) jika dan hanya jika setiap simpul berderajat genap.
Matematika Diskrit
TEOREMA. Graf tidak berarah memiliki lintasan Euler jika (graf semi-Euler) dan hanya jika terhubung dan memiliki dua buah simpul berderajat ganjil atau tidak ada simpul berderajat ganjil sama sekali.
36
a b
d
c
d
c
a
b
a
b
g
f
c e
Matematika Diskrit
TEOREMA. (a) Graf berarah G memiliki sirkuit Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajat-masuk dan derajat-keluar sama. (b) G memiliki lintasan Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajat-masuk dan derajat-keluar sama kecuali dua simpul, yang pertama memiliki derajat-keluar satu lebih besar derajat-masuk, dan yang kedua memiliki derajat-masuk satu lebih besar dari derajat-keluar.
d (a)
(b)
Gambar (a) Graf berarah Euler (a, g, c, b, g, e, d, f, a) (b) Graf berarah semi-Euler (d, a, b, d, c, b) (c) Graf berarah bukan Euler maupun semi-Euler
(c)
37
Latihan
Manakah di antara graf di bawah ini yang dapat dilukis tanpa mengangkat pensil sekalipun?
Matematika Diskrit
•
38
Lintasan dan Sirkuit Hamilton
• Sirkuit Hamilton ialah sirkuit yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali, kecuali simpul asal (sekaligus simpul akhir) yang dilalui dua kali. • Graf yang memiliki sirkuit Hamilton dinamakan graf Hamilton, sedangkan graf yang hanya memiliki lintasan Hamilton disebut graf semi-Hamilton.
Matematika Diskrit
• Lintasan Hamilton ialah lintasan yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali.
39
1
2
1
2
1
2
4
3
4
3
4
3
(a)
(b)
(c)
(a) graf yang memiliki lintasan Hamilton (misal: 3, 2, 1, 4) (b) graf yang memiliki lintasan Hamilton (1, 2, 3, 4, 1) (c) graf yang tidak memiliki lintasan maupun sirkuit Hamilton
40
(b)
(a) Dodecahedron Hamilton, (b) graf yang mengandung sirkuit Hamilton
Matematika Diskrit
(a)
41
TEOREMA. Setiap graf lengkap adalah graf Hamilton. TEOREMA. Di dalam graf lengkap G dengan n buah simpul (n ≥ 3), terdapat (n – 1)!/2 buah sirkuit Hamilton.
Matematika Diskrit
TEOREMA. Syarat cukup supaya graf sederhana G dengan n (≥ 3) buah simpul adalah graf Hamilton ialah bila derajat tiap simpul paling sedikit n/2 (yaitu, d(v) ≥ n/2 untuk setiap simpul v di G). (coba nyatakan dalam “jika p maka q”)
42
TEOREMA. Di dalam graf lengkap G dengan n buah simpul (n ≥ 3 dan n ganjil), terdapat (n – 1)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas (tidak ada sisi yang beririsan). Jika n genap dan n ≥ 4, maka di dalam G terdapat (n – 2)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas.
Jawaban: Jumlah pengaturan tempat duduk yang berbeda adalah (9 – 1)/2 = 4. 9 8
1
7
Matematika Diskrit
Contoh. Sembilan anggota sebuah klub bertemu tiap hari untuk makan siang pada sebuah meja bundar. Mereka memutuskan duduk sedemikian sehingga setiap anggota mempunyai tetangga duduk berbeda pada setiap makan siang. Berapa hari pengaturan tersebut dapat dilaksanakan?
2 6 3 5
Gambar Graf yang merepresentasikan persoalan pengaturan tempat duduk.
43
Beberapa graf dapat mengandung sirkuit Euler dan sirkuit Hamilton sekaligus, mengandung sirkuit Euler tetapi tidak mengandung sirkuit Hamilton, dan sebagainya..
1
2
1
2
4
3
4
3
Matematika Diskrit
5
5
6
(a)
(b)
(a) Graf Hamilton sekaligus graf Euler (b) Graf Hamilton sekaligus graf semi-Euler
44
Latihan
Matematika Diskrit
• Gambar di bawah ini adalah denah lantai dasar sebuah gedung. Apakah dimungkinkan berjalan melalui setiap pintu di lantai itu hanya satu kali saja jika kita boleh mulai memasuki pintu yang mana saja?
45
• Nyatakan ruangan sebagai simpul dan pintu antar ruangan sebagai sisi. • Setiap pintu hanya boleh dilewati sekali (tidak harus kembali ke titik asal) melewati sisi tepat sekali lintasan Euler • Di dalam graf tersebut ada 2 simpul berderajat ganjil (simpul 1 dan 6), selebihnya genap pasti ada lintasan Euler • Kesimpulan: setiap pintu dapat dilewati sekali saja 7
1
4
2
Matematika Diskrit
Jawaban:
3
5
6
46
Beberapa Aplikasi Graf • Lintasan terpendek (shortest path)
• Persoalan pedagang keliling (travelling salesperson problem) • Persoalan tukang pos Cina (chinese postman problem) • Pewarnaan graf (graph colouring)
Matematika Diskrit
(akan dibahas pada kuliah IF3051)
47
Diberikan sejumlah kota dan diketahui jarak antar kota. Tentukan tur terpendek yang harus dilalui oleh seorang pedagang bila pedagang itu berangkat dari sebuah kota asal dan menyinggahi setiap kota tepat satu kali dan kembali lagi ke kota asal keberangkatan.
==> menentukan sirkuit Hamilton yang memiliki bobot minimum.
Matematika Diskrit
Persoalan Pedagang Keliling (travelling salesperson problem (TSP)
48
49
Matematika Diskrit
Matematika Diskrit
Aplikasi TSP: 1.Pak Pos mengambil surat di kotak pos yang tersebar pada n buah lokasi di berbagai sudut kota. 2.Lengan robot mengencangkan n buah mur pada beberapa buah peralatan mesin dalam sebuah jalur perakitan. 3.Produksi n komoditi berbeda dalam sebuah siklus.
50
Jumlah sirkuit Hamilton di dalam graf lengkap dengan n simpul: (n – 1)!/2. a
b
5
9 8
d
15
c
Graf di atas memiliki (4 – 1)!/2 = 3 sirkuit Hamilton, yaitu:
a
12
12 5
10
d
a
b
9
10
8 15
c
d
15
a
b
c
d
b 5
Matematika Diskrit
10
12
9 8 c
51
12
12 5
10
d
a
b
9
10
8 15
c
d
15
a
b
c
b 5
d
9 8 c
I1 = (a, b, c, d, a) bobot = 10 + 12 + 8 + 15 = 45 I2 = (a, c, d, b, a) bobot = 12 + 5 + 9 + 15 = 41 I3 = (a, c, b, d, a) bobot = 10 + 5 + 9 + 8 = 32 Sirkuit Hamilton terpendek: I3 = (a, c, b, d, a) dengan bobot = 10 + 5 + 9 + 8 = 32. • Jika jumlah simpul n = 20 akan terdapat (19!)/2 sirkuit Hamilton atau sekitar 6 × 1016 penyelesaian.
Matematika Diskrit
a
52
Persoalan Tukang Pos Cina (Chinese Postman Problem)
• Persoalan: seorang tukang pos akan mengantar surat ke alamat-alamat sepanjang jalan di suatu daerah. Bagaimana ia merencanakan rute perjalanannya supaya ia melewati setiap jalan tepat sekali dan kembali lagi ke tempat awal keberangkatan?
Matematika Diskrit
• Dikemukakan oleh Mei Gan (berasal dari Cina) pada tahun 1962.
menentukan sirkuit Euler di dalam graf 53
2
8 8
1
4
3
A
C
4
D 2
6 F
5
E
Lintasan yang dilalui tukang pos: A, B, C, D, E, F, C, E, B, F, A.
Matematika Diskrit
B
54
• Jika graf yang merepresentasikan persoalan adalah graf Euler, maka sirkuit Eulernya mudah ditemukan.
• Jadi, pak pos harus menemukan sirkuit yang mengunjungi setiap jalan paling sedikit sekali dan mempunyai jarak terpendek.
Matematika Diskrit
• Jika grafnya bukan graf Euler, maka beberapa sisi di dalam graf harus dilalui lebih dari sekali.
55
Seorang tukang pos akan mengantar surat ke alamatalamat sepanjang jalan di suatu daerah. Bagaimana ia merencanakan rute perjalanannya yang mempunyai jarak terpendek supaya ia melewati setiap jalan paling sedikit sekali dan kembali lagi ke tempat awal keberangkatan?
Matematika Diskrit
Persoalan tukang pos Cina menjadi:
56
Ada dua macam: pewarnaan simpul, dan pewarnaan sisi Hanya dibahas perwarnaan simpul Pewarnaan simpul: memberi warna pada simpul-simpul graf sedemikian sehingga dua simpul bertetangga mempunyai warna berbeda.
Matematika Diskrit
• • •
Pewarnaan Graf
57
58
Matematika Diskrit
• Aplikasi pewarnaan graf: mewarnai peta.
• Wilayah dapat menyatakan kecamatan, kabupaten, provinsi, atau negara. • Peta diwarnai sedemikian sehingga dua wilayah bertetangga mempunyai warna berbeda.
Matematika Diskrit
• Peta terdiri atas sejumlah wilayah.
59
60
Matematika Diskrit
• Mewarnai wilayah pada peta berarti mewarnai simpul pada graf yang berkoresponden. • Setiap wilayah bertetangga harus mempunyai warna berbeda warna setiap simpul harus berbeda.
Matematika Diskrit
• Nyatakan wilayah sebagai simpul, dan batas antar dua wilayah bertetangga sebagai sisi.
61
1
3
7
6
(a)
3 5
8 6
7
(b) 1 merah biru
4 hijau
2
4
5
8
5
7
3
4
4 8
1
2
2
7
(d)
biru
3 jingga
putih
2 kuning ungu
4 kuning
6
hitam
Gambar 8.72
1 merah
5
8
(c)
2 kuning
ungu
6
3 merah
5
8 7
6
kuning
merah
Matematika Diskrit
1
(e)
(a) Peta (b) Peta dan graf yang merepresentasikannya, (c) Graf yang merepresentasikan peta, (d) Pewarnaan simpul, setiap simpul mempunai warna berbeda, (e) Empat warna sudah cukup untuk mewarnai 8 simpul
62
• Suatu graf G yang mempunyai bilangan kromatis k dilambangkan dengan χ(G) = k. • Graf di bawah ini memiliki χ(G) = 3
Matematika Diskrit
• Bilangan kromatik: jumlah minimum warna yang dibutuhkan untuk mewarnai peta. • Simbol: χ(G).
63
Matematika Diskrit
• Graf kosong Nn memiliki χ(G) = 1, karena semua simpul tidak terhubung, jadi untuk mewarnai semua simpul cukup dibutuhkan satu warna saja.
64
Matematika Diskrit
• Graf lengkap Kn memiliki χ(G) = n sebab semua simpul saling terhubung sehingga diperlukan n buah warna.
65
Matematika Diskrit
• Graf bipartit Km,n mempunyai χ(G) = 2, satu untuk simpulsimpul di himpunan V1 dan satu lagi untuk simpul-simpul di V2.
66
• Graf lingkaran dengan n ganjil memiliki χ(G) = 3, sedangkan jika n genap maka χ(G) = 2.
• Untuk graf-graf yang lain tidak dapat dinyatakan secara umum bilangan kromatiknya.
Matematika Diskrit
• Sembarang pohon T memiliki χ(T) = 2.
67
• Teorema 4 berhasil menjawab persoalan 4-warna (yang diajuka pada abad 19): dapatkah sembarang graf planar diwarnai hanya dengan 4 warna saja? • Jawaban dari persoalan ini ditemukan oleh Appel dan Haken yang menggunakan komputer untuk menganalisis hampir 2000 graf yang melibatkan jutaan kasus
Matematika Diskrit
• Perkembangan teorema pewarnaan graf: TEOREMA 1. Bilangan kromatik graf planar ≤ 6. TEOREMA 2. Bilangan kromatik graf planar ≤ 5. TEOREMA 3. Bilangan kromatik graf planar ≤ 4.
68
Matematika Diskrit
Cukup 4 warna saja untuk mewarnai sembarang peta 69
• Aplikasi lain pewarnaan graf: penjadwalan.
1 2 3 4 5 6 7 8
A 0 0 0 1 0 0 1 0
B 1 1 0 1 1 0 0 0
C 0 0 1 0 0 1 1 1
D 0 1 1 0 1 1 0 1
E 1 0 0 0 0 0 0 0
Matematika Diskrit
Misalkan terdapat delapan orang mahasiswa (1, 2, …, 8) dan lima buah mata kuliah yang dapat dipilihnya (A, B, C, D, E). Tabel berikut memperlihatkan matriks lima mata kuliah dan delapan orang mahasiswa. Angka 1 pada elemen (i, j) berarti mahasiswa i memilih mata kuliah j, sedangkan angka 0 menyatakan mahasiswa i tidak memilih mata kuliah j.
70
Penyelesaian: simpul mata kuliah sisi ada mahasiswa yang mengambil kedua mata kuliah (2 simpul)
Matematika Diskrit
Berapa paling sedikit jumlah hari yang dibutuhkan untuk jadwal ujian tersebut sedemikian sehingga semua mahasiswa dapat mengikuti ujian mata kuliah yang diambilnya tanpa bertabrakan waktunya dengan jadwal ujian kuliah lain yang juga diambilnya?
71
merah A
E
B
biru
E
B
merah merah
biru
D
(a)
D
C
(b)
Gambar 8.74. (a) Graf persoalan penjadwalan ujian 5 mata kuliah untuk 8 orang mahasiswa (b) Hasil pewaranan pada simpul-simpul graf
Matematika Diskrit
A
• Bilangan kromatik graf pada Gambar 8.74 adalah 2.
• Jadi, ujian mata kuliah A, E, dan D dapat dilaksanakan bersamaan, sedangkan ujian mata kuliah B dan C dilakukan bersamaan tetapi pada waktu yang berbeda dengan mata kuliah A, E, dan D.
72
1. Dapatkah kita menggambar graf teratur berderajat 3 dengan 7 buah simpul? Mengapa? 2. Tentukan jumlah simpul pada graf sederhana bila mempunyai 20 buah sisi dan tiap simpul berderajat sama. 3. Berapa jumlah minimum simpul yang diperlukan agar sebuah graf dengan 6 buah sisi menjadi planar? Ulangi soal yang sama untuk 11 buah sisi.
Matematika Diskrit
Latihan soal
73
4. Diberikan gambar sebuah graf G seperti di bawah ini. (a) Tunjukkan dengan ketidaksamaan Euler bahwa graf G tidak planar.
B
C
D
(b) Tunjukkan dengan Teorema Kuratowski bahwa graf G tidak planar.
E
F
G
H
Matematika Diskrit
A
74
Gambarkan 2 buah graf yang isomorfik dengan graf teratur berderajat 3 yang mempunyai 8 buah simpul.
6.
Sebuah departemen mempunyai 6 kelompok kerja yang setiap bulannya masing-masing selalu mengadakan rapat satu kali. Keenam kelompok kerja dengan masingmasing anggotanya adalah: K1 = {Amir, Budi, Yanti}, K2 = {Budi, Hasan, Tommy}, K3 = {Amir, Tommy, Yanti}, K4 = {Hasan, Tommy, Yanti}, K5 = {Amir, Budi}, K6 = {Budi, Tommy, Yanti}. Berapa banyak waktu rapat berbeda yang harus direncanakan sehingga tidak ada anggota kelompok kerja yang dijadwalkan rapat pada waktu yang sama. Gambarkan graf yang merepresentasikan persoalan ini lalu (jelaskan sisi menyatakan apa, simpul menyatakan apa) tentukan jumlah waktu rapat ini.
Matematika Diskrit
5.
75
8.
Apakah K13 memiliki sirkuit Euler? Sirkuit Hamilton? Ulangi pertanyaan yang sama untuk K14 Sebuah graf akan dibentuk dari 25 buah sisi. Berapa jumlah maksimum simpul di dalam graf sederhana yang dapat dibuat dari 25 buah sisi tersebut? Matematika Diskrit
7.
76
