GLOBÁLIS OPTIMALIZÁLÁSI ALGORITMUSOK PNS FELADATOK MEGOLDÁSÁRA

´ ´ ASI ´ ALGORITMUSOK PNS GLOBALIS OPTIMALIZAL ´ ARA ´ FELADATOK MEGOLDAS

´ ´ DOKTORI (PhD) ERTEKEZ ES

´ am Nagy Ad´ T´emavezet˝o: Dr. Friedler Ferenc

Veszpr´emi Egyetem M˝uszaki Informatikai Kar Informatikai Tudom´anyok Doktori Iskola 2004

´ ´ ASI ´ ALGORITMUSOK PNS GLOBALIS OPTIMALIZAL ´ ARA ´ FELADATOK MEGOLDAS ´ Ertekez´ es doktori (PhD) fokozat elnyer´ese ´erdek´eben ´Irta: Nagy Ad´ ´ am K´esz¨ ult a Veszpr´emi Egyetem Informatikai Tudom´anyok Doktori Iskol´aja keret´eben T´emavezet˝o: Dr. Friedler Ferenc Elfogad´asra javaslom (igen / nem) (al´a´ır´as) A jel¨olt a doktori szigorlaton ..........%-ot ´ert el Veszpr´em,

........................................ a Szigorlati Bizotts´ag eln¨oke

Az ´ertekez´est b´ır´al´ok´ent elfogad´asra javaslom: B´ır´al´o neve: .................................................. (igen / nem) (al´a´ır´as) B´ır´al´o neve: .................................................. (igen / nem) (al´a´ır´as) A jel¨olt az ´ertekez´es nyilv´anos vit´aj´an ..........%-ot ´ert el Veszpr´em,

........................................ a B´ır´al´o Bizotts´ag eln¨oke

A doktori (PhD) oklev´el min˝os´ıt´ese ................................. .............................. Az EDT eln¨oke ii

Tartalomjegyz´ ek T´ abl´ azatok jegyz´ eke

vi

´ ak jegyz´ Abr´ eke

viii

Kivonat

x

Abstract

xii

Abstrakt

xiv

K¨ osz¨ onetnyilv´ an´ıt´ as

xvi

1. Bevezet´ es

1

2. Folyamatszint´ ezis: PNS feladatok 2.1. El˝ozm´enyek, a szakirodalom ´attekint´ese . . . . . . . . . . . 2.2. Matematikai modell PNS feladat le´ır´as´ara . . . . . . . . . 2.2.1. Folyamat (Process) gr´af . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. A folyamatszint´ezis ´altal´anos modellje . . . . . . . 2.2.3. PNS feladat line´aris modellje . . . . . . . . . . . . 2.3. Kombinatorikus algoritmusok PNS feladatok megold´as´ahoz

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

3. Szepar´ abilis konk´ av optimaliz´ al´ as PNS feladatok megold´ as´ ara 3.1. Szepar´abilis konk´av programoz´as szakirodalm´anak ´attekint´ese . . ´ 3.2. Altal´ anos algoritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. R´eszprobl´ema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Korl´atoz´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Sz´etv´alaszt´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4. A keretalgoritmus elemz´ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. ”Cs´ usztatott” part´ıcion´al´asi szab´aly . . . . . . . . . . . . . . . . . ¯ -part´ıcion´al´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. x ¯ konvergencia, v´egess´eg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. x 3.3.3. A m´odszer viselked´ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

4 4 5 5 6 9 18

. . . . . . . . . .

21 22 23 23 23 27 28 30 30 31 31

3.3.4. ”Cs´ usztatott” v´ag´asi m´odszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.5. Konvergencia, v´egess´eg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.6. Az eredm´eny r¨ovid ¨osszefoglal´asa . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Maxim´alis r´es part´ıcion´al´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. V´ag´asi strat´egia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2. Konvergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3. Az eredm´eny r¨ovid ¨osszefoglal´asa . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Egy el´egs´eges optimalit´asi krit´erium szepar´abilis konk´av minimaliz´al´asi feladatra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1. A relax´alt line´aris programoz´asi feladat . . . . . . . . . . . . . 3.5.2. A relax´alt line´aris programoz´asi feladat optimalit´asi krit´eriuma 3.5.3. El´egs´eges optimalit´asi krit´erium . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.4. A H halmazr´ol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.5. Az eredm´eny r¨ovid ¨osszefoglal´asa . . . . . . . . . . . . . . . . ´ ekenys´egi vizsg´alaton alapul´o v´ag´asi strat´egia . . . . . . . . . . . . 3.6. Erz´ 3.6.1. Egy b´azisv´altoz´o k¨olts´ege m´odosul . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2. T¨obb b´azisv´altoz´o k¨olts´ege m´odosul . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.3. Sz´etv´alaszt´asi strat´egia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.4. Az algoritmus helyess´eg´enek bizony´ıt´asa . . . . . . . . . . . . 3.6.5. Az algoritmus m˝ uk¨od´es´enek elemz´ese . . . . . . . . . . . . . . 3.6.6. Az eredm´eny r¨ovid ¨osszefoglal´asa . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Kombinatorikusan gyors´ıtott algoritmus . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1. Bevezet´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2. R´eszprobl´em´ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.3. Kiterjeszt´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.4. Algoritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.5. A helyess´eg bizony´ıt´asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.6. Az eredm´eny r¨ovid ¨osszefoglal´asa . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. N-legjobb megold´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.1. Bevezet´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.2. Algoritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.3. A helyess´eg bizony´ıt´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.4. P´elda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.5. Az eredm´eny r¨ovid ¨osszefoglal´asa . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. Gyakorlati tapasztalatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9.1. Gener´alt tesztfeladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9.2. Val´os ipari feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10. Alkalmaz´as: ipari h˝oell´at´o rendszer optim´alis tervez´ese . . . . . . . . 3.10.1. G˝ozh´al´ozat, kiindul´asi felt´etelek . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10.2. Alternat´ıv megold´asi lehet˝os´egek . . . . . . . . . . . . . . . . iv

32 35 35 35 36 36 42 42 42 44 46 50 55 55 56 58 63 64 64 65 65 65 66 67 69 73 73 74 74 77 82 83 83 86 86 88 92 92 93

3.10.3. M´odszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. A folyamat- ´ es h˝ ocser´ el˝ oh´ al´ ozat egy¨ uttes szint´ ezise 4.1. Bevezet´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. H˝ocser´el˝oh´al´ozat szint´ezis . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2. Az integr´alt folyamat- ´es h˝ocser´el˝oh´al´ozat szint´ezise 4.2. A szakirodalom ´attekint´ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 4.2.1. Altal´ anos HENS m´odszerek . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Integr´alt folyamat- ´es h˝ocser´el˝oh´al´ozat szint´ezise . . 4.3. A hP-gr´af . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Az anyagpont kiterjeszt´ese . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Kiindul´asi adatok, halmazok . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Hideg ´es meleg h˝o´aramok . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2. Rejtett h˝o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3. A hideg ´aramok eltol´asa . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.4. Az elemi h˝o´aramok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.5. A r´eszh˝o´aramok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. A matematikai modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1. Anyagponthoz tartoz´o matematikai modell . . . . . 4.5.2. Potenci´alis h˝ocser´ek meghat´aroz´asa . . . . . . . . . 4.5.3. H˝oegyens´ ulyi felt´etelek . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.4. H˝ocser´el˝ok k¨olts´ege . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.5. Egyes´ıtett matematikai modell . . . . . . . . . . . . 4.6. Az integr´alt m´odszer le´ır´asa . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1. A korl´atoz´o LP feladat tulajdons´aga . . . . . . . . 4.7. Szeml´eltet˝o p´elda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 4.7.1. Altal´ anos le´ır´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.2. Az 1. cs´ ucs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.3. Az 1.1.1.2 cs´ ucs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8. Alkalmaz´as: HDA folyamat . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9. Az eredm´eny r¨ovid ¨osszefoglal´asa . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94 99 99 99 100 101 101 103 105 106 106 106 107 107 108 108 109 109 111 112 114 115 116 116 117 117 121 130 134 135

´ tudom´ 5. Uj anyos eredm´ enyek 138 5.1. Az ´ertekez´es t´emak¨or´eb˝ol k´esz¨ ult publik´aci´ok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Irodalomjegyz´ ek

144

v

T´ abl´ azatok jegyz´ eke 2.1. K¨olts´egparam´eterek a m˝ uveleti egys´egekre . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.2. Param´eterek az anyagokra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

3.1. Lok´alisan optim´alis strukt´ ur´ak sz´amoss´aga . . . ´ 3.2. Altal´ anos m´odszer: 20 m˝ uveleti egys´eg . . . . . ´ 3.3. Altal´ anos m´odszer: 40 m˝ uveleti egys´eg . . . . . ´ 3.4. Altal´ anos m´odszer: 60 m˝ uveleti egys´eg . . . . .

. . . . . . . . . . . .

75

. . . . . . . . . . . .

87

. . . . . . . . . . . .

87

. . . . . . . . . . . .

87

´ 3.5. Altal´ anos m´odszer: 80 m˝ uveleti egys´eg . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

3.6. Kombinatorikusan gyors´ıtott m´odszer: 20 m˝ uveleti egys´eg . . . . . .

89

3.7. Kombinatorikusan gyors´ıtott m´odszer: 40 m˝ uveleti egys´eg . . . . . .

89

3.8. Kombinatorikusan gyors´ıtott m´odszer: 60 m˝ uveleti egys´eg . . . . . .

89

3.9. Kombinatorikusan gyors´ıtott m´odszer: 80 m˝ uveleti egys´eg . . . . . . ´ 3.10. Altal´ anos m´odszer: Alpha (41 m˝ uveleti egys´eg) . . . . . . . . . . . .

89 91

3.11. Kombinatorikusan gyors´ıtott m´odszer: Alpha (41 m˝ uveleti egys´eg) . . ´ 3.12. Altal´ anos m´odszer: Denmark (35 m˝ uveleti egys´eg) . . . . . . . . . . .

91 91

3.13. Kombinatorikusan gyors´ıtott m´odszer: Denmark (35 m˝ uveleti egys´eg)

91

4.1. A lehets´eges m˝ uveleti egys´egek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.2. K¨olts´egparam´eterek a m˝ uveleti egys´egekre . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.3. Nyersanyagok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.4. K¨ uls˝o hideg, meleg forr´asok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.5. M˝ uveleti egys´eg oszt´alyok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.6. Lehets´eges h˝o´aramok az 1. cs´ ucsn´al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.7. Rejtett h˝oforr´asok az 1. cs´ ucsn´al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.8. Lehets´eges elemi h˝o´aramok az 1. cs´ ucsban . . . . . . . . . . . . . . . 123 vi

4.9. Lehets´eges r´eszh˝o´aramok az 1. cs´ ucsban . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.10. Anyagok h˝okapacit´asai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.11. H˝ocser´ehez kapcsol´od´o v´altoz´ok az 1. cs´ ucsban . . . . . . . . . . . . . 125 4.12. A k¨ uls˝o hideg ´es meleg energi´ahoz kapcsol´od´o v´altoz´ok a 1. cs´ ucsban

127

4.13. H˝oegyens´ ulyi felt´etelek egy¨ utthat´oi az 1. cs´ ucsban . . . . . . . . . . . 129 4.14. A k¨olts´egf¨ uggv´enyhez tartoz´o param´eterek az 1. cs´ ucsban . . . . . . . 131 4.15. Potenci´alis hideg ´es meleg ´aramok az 1.1.1.2. cs´ ucsban . . . . . . . . 131 4.16. Rejtett h˝o el˝ofordul´asa az 1.1.1.2. cs´ ucsban . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.17. Meleg ´es hideg elemi h˝o´aramok az 1.1.1.2. cs´ ucsban . . . . . . . . . . 132 4.18. R´eszh˝o´aramok az 1.1.1.2. cs´ ucsban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

vii

´ ak jegyz´ Abr´ eke 2.1. P-gr´af. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.2. A szeml´eltet˝o p´elda P-gr´af ´abr´azol´asa. . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

´ 3.1. Altal´ anos algoritmus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3.2. A korl´atoz´asi elj´ar´as.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.3. A part´ıcion´al´asi elj´ar´as. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.4. ε-v´ag´as. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.5. Maxim´alis r´es part´ıcion´al´as. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.6. Az integr´alk¨ ul¨onbs´eg folytonos ´es nemfolytonos esetekre. . . . . . . .

37

3.7. Part´ıcion´al´as az 3.8. Az f

+

lj0 -t´ol

k¨ ul¨onb¨oz˝o helyen. . . . . . . . . . . . . . . . .

f¨ uggv´eny relax´aci´oja az

[lj0 , uqj ]

39

intervallumon. . . . . . . . . . .

40

3.9. Kombinatorikusan gyors´ıtott algoritmus. . . . . . . . . . . . . . . . .

70

3.10. A part´ıcion´al´asi elj´ar´as a kombinatorikusan gyors´ıtott algoritmusban.

71

3.11. V´ag´as egy m´eg nem d¨ont¨ott v´altoz´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

3.12. N -legjobb megold´ast meghat´aroz´o algoritmus v´azlata. . . . . . . . . .

78

3.13. N -list´at m´odos´ıt´o elj´ar´as. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

3.14. A szeml´eltet˝o p´elda lok´alisan optim´alis strukt´ ur´ai ´es a hozz´a tartoz´o k¨olts´eg.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

3.15. Denmark feladat P-gr´af ´abr´azol´asa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

3.16. Alpha feladat P-gr´af ´abr´azol´asa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

3.17. Az eredeti h˝oell´at´o rendszer sematikus ´abr´azol´asa. . . . . . . . . . . .

93

3.18. (a) Id˝oben v´altoz´o h˝oig´eny trend. (b) A diszkretiz´al´as eredm´enyek´ent kapott kumulat´ıv h˝oteljes´ıtm´eny trend. . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

3.19. Egy adott h˝oteljes´ıtm´enyhez tartoz´o maxim´alis strukt´ ura. . . . . . . .

96

viii

4.1. H˝o´aramok reprezent´al´asa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.2. Rejtett h˝o reprezent´al´asa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.3. Az anyag t´ıpus´ u pont kiterjeszt´ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.4. Egy mesters´eges m˝ uveleti egys´eg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.5. Folyamat´abra a szeml´eltet˝o feladathoz. . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.6. A szeml´eltet˝o p´elda hP-gr´afja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.7. Az ABB algoritmus ´altal el˝o´all´ıtott lesz´aml´al´asi fa (a legrosszabb eset). 122 4.8. Kaszk´ad diagram a jellemz˝o h˝o´aramokr´ol az 1. cs´ ucsban. . . . . . . . 123 4.9. H˝oegyens´ uly az elemi ´aramokra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.10. Az SSH1 r´eszh˝o´aram lehets´eges p´aros´ıt´asai az 1. cs´ ucsban. . . . . . . 128 4.11. Az SSH3 r´eszh˝o´aram lehets´eges p´aros´ıt´asai az 1. cs´ ucsban. . . . . . . 128 4.12. Megold´as strukt´ ura az 1.1.1.2 cs´ ucsban. . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.13. Kaszk´ad diagram a jellemz˝o h˝o´aramokr´ol az 1.1.1.2. cs´ ucsban. . . . . 133 4.14. Az optim´alis strukt´ ur´ahoz tartoz´o h˝o´atvitelek. . . . . . . . . . . . . . 134 4.15. HDA folyamat diagramja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.16. A HDA folyamat maxim´alis strukt´ ur´aja. . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.17. Az optim´alis h´al´ozatot tartalmaz´o folyamat´abra. . . . . . . . . . . . . 137

ix

Kivonat Glob´ alis optimaliz´ al´ asi algoritmusok PNS feladatok megold´ as´ ara A dolgozatban a folyamath´al´ozat-szint´ezis feladat fontos oszt´alyainak megold´as´ara alkalmas m´odszereket vezet¨ unk be. A vizsg´alt feladatok NP teljesek, az ´altal´anos megold´o m´odszerekkel gyakorlati feladatok megold´asa bel´athat´o id˝on bel¨ ul nem lehets´eges, ez´ert a c´elunk olyan specializ´alt megold´o m´odszerek l´etrehoz´asa, amely kihaszn´alj´ak a PNS feladatok tulajdons´agait. El˝osz¨or a PNS feladatoszt´aly konk´av c´elf¨ uggv´ennyel kib˝ov´ıtett line´aris modellj´et vizsg´aljuk. A kapcsol´od´o modell egy line´aris felt´etelrendszerrel adott, v´altoz´oiban sz´etv´alaszthat´o konk´av programoz´asi feladat, melyek megold´as´ara a korl´atoz´as ´es sz´etv´alaszt´as m´odszer´et v´alasztottuk. A megold´as sor´an felmer¨ ul˝o sz´etv´alaszt´as l´ep´esre hat´ekony ´es egyszer˝ uen kisz´am´ıthat´o part´ıcion´al´asi strat´egi´akat mutatunk be, amelyeket ¨osszehasonl´ıtunk kor´abban bevezetett m´odszerekkel. A kor´abbi part´ıcion´al´asi elj´ar´asokkal ellent´etben a korl´atoz´asi l´ep´esben haszn´alt k¨ozel´ıt˝o line´aris programoz´asi feladat ´erz´ekenys´egi vizsg´alat´aval figyelembe tudjuk venni a konvex poli´eder ´es a c´elf¨ uggv´eny viszony´at. ´Igy egy olyan optimaliz´al´asi elj´ar´ashoz jutunk, amely kihaszn´alja a PNS feladatokhoz kapcsol´od´o felt´etelrendszer tulajdons´ag´at. Egy P-gr´af j´ol reprezent´alja a PNS feladathoz kapcsol´od´o modell v´altoz´oi k¨oz¨ott l´ev˝o f¨ ugg˝os´egi kapcsolatokat. A kombinatorikusan gyors´ıtott algoritmus a v´altoz´ok lehets´eges ´ert´ekeinek part´ıcion´al´as´aval p´arhuzamosan egy P-gr´afon v´egez m˝ uveleteket,

x

xi ´es ´ıgy jav´ıtja a m´odszer hat´ekonys´ag´at. Val´os rendszerek eset´eben sokszor az adott t´ıpus´ u matematikai modellben nem lehet kifejezni a rendszer ¨osszes tulajdons´ag´at. K´ıv´anatos lenne, hogy az optim´alis megold´ason t´ ul az els˝o N legjobb megold´ast is meghat´arozzuk, amelyekb˝ol a felhaszn´al´o tov´abbi megfontol´asok alapj´an ki tudja v´alasztani a megfelel˝o strukt´ ur´at. Az ´altal´anos megk¨ozel´ıt´esben az ilyen szuboptim´alis megold´asok nem ´ertelmezhet˝ok, viszont a kombinatorikus eszk¨oz¨ok lehet˝ov´e teszik, hogy megfelel˝oen defini´aljuk, ´es algoritmikus m´odszerekkel gener´aljuk az ilyen optim´alis megold´ashoz k¨ozeli megold´asokat. Integr´alt folyamat- ´es h˝ocser´el˝oh´al´ozat-szint´ezis sor´an a teljes folyamat- ´es h˝ocser´el˝oh´al´ozat szint´ezise azonos id˝oben t¨ort´enik, ellent´etben a szekvenci´alis m´odszerekkel, ahol a k¨ ul¨onb¨oz˝o szint´ezis l´ep´esek egym´as ut´an t¨ort´ennek. K¨onnyen l´athat´o, hogy az ilyen strat´egia nem vezet kiel´eg´ıt˝o megold´ashoz, hiszen pl. az optim´alis folyamath´al´ozat meghat´aroz´asakor figyelmen k´ıv¨ ul hagyj´ak a h˝ocser´evel kapcsolatos inform´aci´okat. A dolgozat bemutat egy vegyes eg´esz line´aris programoz´asi modellen alapul´o m´odszert, amely a Friedler ´es munkat´arsai ´altal bevezetett ABB algoritmuson alapul, ´es megoldja az integr´alt szint´ezis feladatot.

Abstract Global optimization algorithms for solving PNS problems Algorithmic methods for solving important classes of Process Network Synthesis (PNS) problem have been elaborated. The examined problems are NP hard, solving industrial size problems with general solution methods is not possible within a reasonable time. Therefore our aim is to create specialized algorithmic methods exploit the nature of PNS problems. The PNS problem with concave cost function can be considered as a separable concave programming problem. Efficient partition strategies have been introduced for solving the separable concave programming problem. By the help of the sensitivity analysis of the relaxed linear programming problem, the relationship between the convex polyhedron and cost function can be taken into account. As a result an efficient optimization method utilizing the characteristics of the PNS problems have been elaborated. A combinatorially accelerated algorithm has also been proposed. In line with the partitioning the feasible domain it performs operations on the corresponding P-graph and improve the efficiency. Solving practical problems the first N-best solution is to be generated beyond the optimal solution thus enabling the user to select the suitable structure under further consideration. New methodology has been introduced which enables us to determine adequately and generate suboptimal solutions close to the optimal one.

xii

xiii During the integrated synthesis of process and heat-exchanger networks, the process synthesis and heat-exchanger-network synthesis are performed simultaneously. The dissertation introduces a method, which is based on the algorithm ABB introduced by Friedler and colleagues and solves the integrated synthesis problem.

Abstrakt Globale Optimierungsalgorithmen zur L¨ osung von PNS-Problemen Algorithmische Methoden zum L¨osen wichtiger Klassen von Problemen der Prozess-Netzwerk-Synthese (PNS) wurden entwickelt. Die untersuchten Probleme sind NP hart. Es ist unm¨oglich, Probleme im industriellen Maßstab mit allgemeinen L¨osungsmethoden in absehbarer Zeit zu l¨osen. Daher ist es unser Ziel, spezielle algorithmische Methoden, die die Natur der PNS-Probleme ausnutzen, zu entwickeln. Ein PNS-Problem mit konkaver Kostenfunktion kann als ein trennbares konkaves Programmierungsproblem betrachtet werden. Effiziente Partitionsstrategien werden vorgestellt, um das trennbare konkave Programmierungsproblem zu l¨osen. Mit Hilfe einer Sensitivit¨atsanalyse des vereinfachten linearen Programmierungsproblems kann die Beziehung zwischen dem konvexen Polyeder und der Kostenfunktion betrachtet werden. Darauf aufbauend wurde eine effiziente Optimierungsmethode erarbeitet, die die charakteristischen Eigenschaften des PNS-Problems ausnutzt. Ein kombinatorisch beschleunigter Algorithmus wurde ebenso vorgeschlagen. Parallel zum Partitionieren der ausf¨ uhrbaren Domain, werden Operationen am damit verbundenen P-Graph durchgef¨ uhrt und somit die Effizienz gesteigert. Neben der optimalen L¨osung muss die erste N-beste L¨osung generiert werden, die ¨ es dem Verwender erm¨oglicht, die entsprechende Struktur gem¨ass weiterer Uberlegung zu w¨ahlen. Eine neue Methode wurde entwickelt, die das Optimieren und Erzeugen von suboptimalen L¨osungen in der N¨ahe des Optimums erm¨oglicht.

xiv

xv Bei der integrierten Synthese von Prozess- und W¨armetauscher-Netzwerken werden die Prozesssynthese und die W¨armetauscher-Netzwerk-Synthese simultan durchgef¨ uhrt. Die Arbeit stellt eine Methode vor, die auf dem ABB-Algorithmus basiert. Dieser ABB-Algorithmus wurde von Friedler und Kollegen eingef¨ uhrt und l¨ost das integrierte Synthese-Problem.

K¨ osz¨ onetnyilv´ an´ıt´ as Ez´ uton szeretn´ek k¨osz¨onetet mondani mindazoknak, aki lehet˝ov´e tett´ek, hogy ez a dolgozat elk´esz¨ ulj¨on. Els˝osorban t´emavezet˝omnek, Dr. Friedler Ferenc professzor u ´rnak tartozom k¨osz¨onettel, aki ir´any´ıtotta munk´amat, ´es ´ert´ekes szakmai tan´acsokkal l´atott el. Dr. L. T. Fan professzor u ´rnak szakmai t´amogat´as´a´ert vagyok h´al´as. Koll´eg´aimnak a Veszpr´emi Egyetem Sz´am´ıt´astudom´any Alkalmaz´asa Tansz´eken, akik munk´am elv´egz´es´ehez t´amogat´ast ny´ ujtottak. Sz¨ uleimnek ´es b´aty´amnak a biztat´as´ert.

xvi

1. fejezet Bevezet´ es Egy feldolgoz´o rendszerben a rendszer az anyagok k´emiai, fizikai ´es biol´ogiai transzform´aci´oj´an kereszt¨ ul ´all´ıtja el˝o a k´ıv´ant term´ekeket a megl´ev˝o nyersanyagokb´ol kiindulva. A rendszerben l´ev˝o transzform´aci´okat a m˝ uveleti egys´egek v´egzik, melyek bemeneti anyagokat alak´ıtanak ´at kimeneti anyagokk´a. A m˝ uveleti egys´egek ´es a k¨oz¨ott¨ uk lehets´eges kapcsolatok egy h´al´ozattal reprezent´alhat´ok. A k´ıv´ant term´ekek el˝o´all´ıt´asa gyakran az adott h´al´ozat egy r´eszh´al´ozata ´altal t¨ort´enik. Egy h´al´ozatnak sok r´eszh´al´ozata van, mely k´epes az adott term´ekek el˝oa´ll´ıt´as´ara. A mell´ekterm´ekkibocs´at´as, energia- ´es nyersanyagfogyaszt´as nagyban f¨ ugg mag´at´ol a r´eszh´al´ozat kiv´alaszt´as´at´ol, ez´ert az optim´alis h´al´ozat vagy strukt´ ura kiv´alaszt´asa mind gazdas´agi, mind k¨ornyezetv´edelmi okokb´ol igen fontos. A folyamath´al´ozat-szint´ezis (Process Network Synthesis, PNS) c´elja ezen optim´alis strukt´ ur´ak meghat´aroz´asa. A h˝ocser´el˝oh´al´ozatok (HENS) szint´ezise az egyik legfontosabb ter¨ ulete a folyamattervez´es tudom´any´anak. Az ut´obbi id˝oben az egyik legintenz´ıvebben kutatott ter¨ uletek k¨oz´e tartozik, t¨obb sz´az publik´aci´o jelent meg e t´em´aban az elm´ ult ´evtizedekben. Fontoss´aga annak is tulajdon´ıthat´o, hogy a vegyipari rendszerek m˝ uk¨od´esi k¨olts´egeinek jelent˝os r´esze az energiak¨olts´eg, ezen bel¨ ul is a h˝oenergia, amelynek a hasznos´ıt´asa kiemelten fontos. Integr´alt folyamat- ´es h˝ocser´el˝oh´al´ozat szint´ezis sor´an a teljes folyamat- ´es h˝ocser´el˝oh´al´ozat szint´ezise azonos id˝oben t¨ort´enik, szemben a szekvenci´alis m´odszerekkel, amikor el˝osz¨or meghat´arozz´ak mag´at az optim´alis folyamath´al´ozatot ´es ut´ana az optim´alis h˝ocser´el˝oh´al´ozatot. K¨onnyen l´athat´o, hogy ez nem vezet optim´alis megold´ashoz, hiszen az optim´alis folyamath´al´ozat meghat´aroz´asakor figyelmen k´ıv¨ ul 1

2 hagyj´ak a h˝ocser´evel kapcsolatos inform´aci´okat. C´elom a megl´ev˝o ´altal´anos megold´o m´odszerekn´el hat´ekonyabb m´odszerek kidolgoz´asa volt, amelyet a vizsg´alt feladatoszt´aly speci´alis tulajdons´againak kihaszn´al´as´aval ´ertem el. Az ´altalam kifejlesztett m´odszereket a PNS feladatok bizonyos t´ıpusainak megold´as´ara dolgoztam ki, amelyek m´as feladatok megold´as´ara is kedvez˝oen viselkednek.

Szakirodalmi ´ attekint´ es A szakirodalomban a szint´ezis feladatot a bevezet´esben megfogalmazott ´altal´anoss´agban nem vizsg´alj´ak, csak a fontos feladatt´ıpusokat k¨ ul¨on-k¨ ul¨on. Ennek megfelel˝oen a szakirodalom ´attekint´es´et fejezetenk´ent t´argyaljuk.

Saj´ at eredm´ enyeim kiemel´ ese A dolgozat tartalmi r´esz´eben mindv´egig t¨obbes sz´am els˝o szem´elyt haszn´alok. Annak ´erdek´eben, hogy a dolgozatban elk¨ ul¨on´ıtsem m´asok szakirodalomb´ol ismert erem´enyeit˝ol saj´atjaimat, m´asok´era a szerz˝ok nev´evel hivatkozom, saj´atjaimat pedig minden fejezet ´es a dolgozat ¨osszefoglal´as´aban egyes sz´am els˝o szem´elyben egy´ertelm˝ uen megfogalmazom.

Jel¨ ol´ esjegyz´ ek A dolgozatban kicsi (´altal´aban indexelt), latin (illetve id˝onk´ent g¨or¨og), d˝olt bet˝ ukkel xi , yj , γ, β, ... (val´os) sz´amokat jel¨ol¨ unk. Kiv´etelt k´epeznek ez al´ol az f , fj , f¯, fk′ , g, gj , . . . bet˝ uk, amelyeket f¨ uggv´enyek jel¨ol´es´ere haszn´alunk. Az i, j, k ´es l indexekre utalnak.

Az m a (P ) feladat felt´eteleinek, m´ıg az n a v´altoz´oinak a

sz´am´ara utalnak. A d˝olt, latin nagybet˝ uk A, B, ... m´atrixokat, m´ıg a kalligrafikus, latin nagybet˝ uk A, P, ... halmazokat jel¨olnek. Val´os elem˝ u halmazok pontjai, egyenl˝otlens´egrendszerek v´altoz´oi, korl´atjai illetve m´atrixok oszlopai (sorai) mind– mind vektorok, jel¨ol´es¨ ukre vastag latin kisbet˝ uket x, b, l, u, 0, aj , ... haszn´alunk. A

3 val´os sz´amok halmaz´at IR, az n-dimenzi´os euklideszi teret IRn , m´ıg az m × n-es val´os m´atrixok halmaz´at IRm×n jel¨oli. A csupa egyesb˝ol ´all´o vektort jel¨olje e.

2. fejezet Folyamatszint´ ezis: PNS feladatok Jelen fejezetben a folyamatszint´ezis feladatoszt´aly alapvet˝o defin´ıci´oit ismertetj¨ uk. ´ Attekintetj¨ uk a szakirodalmat, tov´abb´a bemutatjuk a Friedler ´es munkat´arsai ´altal bevezetett kombinatorikus technik´at.

2.1.

El˝ ozm´ enyek, a szakirodalom ´ attekint´ ese

A h´al´ozatszint´ezis egyik f˝o neh´ezs´eg´et annak kombinatorikus jellege okozza, hogy a lehets´eges alternat´ıv´ak nagy sz´ama miatt optim´alis strukt´ ura meghat´aroz´asa igen sz´am´ıt´asig´enyes. A [22] dolgozat becsl´ese szerint egy ´atlagos h´al´ozatszint´ezis feladat 105 − 1010 alternat´ıv´at tartalmazhat. A kor´abban kidolgozott matematikai m´odszereken alapul´o elj´ar´asok nagy r´esze ´altal´anos matematikai programoz´asi m´odszereket alkalmaznak a folyamath´al´ozat-szint´ezis feladat megold´as´ara: [24], [33], [55], [58], [98], amelyek a folyamath´al´ozat-szint´ezis kombinatorikus jellege miatt ´altal´aban egy vegyes eg´esz matematikai programoz´asi feladat megold´as´at jelenti, p´eld´aul Benders dekompoz´ıci´o [58], k¨ uls˝o k¨ozel´ıt´es [23], [24]. A [30] ¨osszefoglal´ast ny´ ujt a folyamath´al´ozat-szint´ezisben haszn´alt glob´alis optimaliz´al´asi m´odszerekr˝ol. A [72], [90] ´attekint˝o ´ır´asokat ad a h´al´ozatszint´ezis t´emak¨or´eb˝ol. Egy ipari m´eret˝ u feladat megold´asa ´ori´asi sz´am´ıt´asig´eny˝ u, az ´altal´anos m´odszerek nem haszn´alj´ak ki a folyamath´al´ozat-szint´ezis feladat struktur´alts´ag´at, ez´ert hat´ekonys´aguk igen alacsony. A m´odszerek egy r´esze heurisztikus szab´alyokat alkalmaz a sz´am´ıt´asok gyors´ıt´asa ´erdek´eben, ez viszont nem garant´alja a glob´alis optimum 4

5 megtal´al´as´at. Kifejezetten folyamath´al´ozat-szint´ezis feladatok megold´as´ara a [83] szerz˝oi dolgoztak ki egy m´odszert. A t´argyalt m´odszer a feladat kombinatorikus tulajdons´agait le´ır´o logikai ¨osszef¨ ugg´eseket haszn´alva jav´ıtja a keres´es hat´ekonys´ag´at. A [8]-ban a szerz˝ok bebizony´ıtott´ak, hogy a gr´aftechnik´an alapul´o kombinatorikus technika (l´asd [37]) levezethet˝o a [83]-ban v´azolt logikai kifejez´esekb˝ol. Kombinatorikus m´odszereket, r´eszben a branch-and-bound technik´at, r´eszben dinamikus programoz´ast alkalmaz: [34], [35]. M´odszer¨ uk azonban nem teljesen ´altal´anos, a feladatot r´eszprobl´em´akra bont´o sz´etv´alaszt´o l´ep´es nem f¨ uggetlen a feladatt´ol. Az evol´ uci´os m´odszerek [45] alapvet˝o tulajdons´aga, hogy a megold´as menete sor´an egy lehets´eges megold´asb´ol kiindulva, azt jav´ıt´asok sorozat´aval fejlesztik, mindig megtartva egy aktu´alis megold´ast ´es ´ıgy ´erik el az optim´alis vagy a k¨ozel optim´alis megold´ast. A jav´ıt´o l´ep´esek alapj´an hat´arozz´ak meg az aktu´alis strukt´ ur´ab´ol kiindulva egy l´ep´essel el´erhet˝o ¨osszes lehets´eges strukt´ ur´at, majd azok k¨oz¨ ul kiv´alasztj´ak a legjobbat.

2.2.

Matematikai modell PNS feladat le´ır´ as´ ara

Fejezet¨ unkben Friedler ´es munkat´arsai ´altal kidolgozott PNS defin´ıci´ot ´es a hozz´a kapcsol´od´o matematikai modellt ismertetem [36].

2.2.1.

Folyamat (Process) gr´ af

A h´al´ozatszint´ezis feladatok reprezent´al´as´ara az ´altal´anos ir´any´ıtott gr´afok alkalmatlanok. Az alkalmatlans´ag abb´ol ered, hogy az egyszer˝ u gr´af nem tesz k¨ ul¨onbs´eget az anyagok ´es a m˝ uveleti egys´egek k¨oz¨ott, ´ıgy a rendszer le´ır´asa sokszor nem egy´ertelm˝ u. Legyen M objektumok v´eges halmaza, ´altal´aban ezek k¨ ul¨onb¨oz˝o anyagok vagy anyagok fajt´ai, melyek transzform´aci´oin kereszt¨ ul ´erj¨ uk el a k´ıv´ant c´elt. Egy transzform´aci´ot u ´gy ´ertelmez¨ unk, mint valamilyen hozz´arendel´est, amely az M egy r´eszhalmaz´ahoz rendeli az M egy m´asik r´eszhalmaz´at. A m˝ uveleti egys´egek reprezent´alj´ak ezen transzform´aci´okat. A m˝ uveleti egys´egek az anyagokon kereszt¨ ul kapcsol´odnak egym´ashoz, ezen kapcsolatok egy ir´any´ıtott p´aros gr´affal ´ırhat´ok le.

6 Defin´ıci´ o 2.2.1 Legyen M v´eges halmaz, O ⊆ ℘(M) × ℘(M) ´es M ∩ O = ∅, ahol ℘(M) az M halmaz hatv´anyhalmaza. Az (M, O) p´art folyamat gr´ afnak (Process graph) vagy P-gr´afnak nevezz¨ uk. A cs´ ucsok halmaza M ∪ O az ´elek halmaza A = A1 ∪ A2 , ahol A1 = {(x, Y ) : Y = (α, β) ∈ O, x ∈ α}, A2 = {(Y, z) : Y = (α, β) ∈ O, z ∈ β}. Az (M′ , O′ ) P-gr´af r´eszgr´ afja az (M, O)-nak azaz (M′ , O′ ) ⊆ (M, O), ha M′ ⊆ M ´es O′ ⊆ O. Az (M1 , O1 ) ´es (M2 , O2 ) P-gr´afok uni´oja azaz (M1 , O1 ) ∪ (M2 , O2 ) legyen az (M1 ∪M2 , O1 ∪O2 ) P-gr´af. Ha (α, β) ∈ O akkor α a bemeneti anyaghalmaz ´es β a kimeneti anyaghalmaz. Jel¨olje ω − (V ), (ω + (V )) a V cs´ ucsba bemen˝ o (kimen˝o) ´elek halmaz´at ´es ω(V ) = ω − (V )∪ω + (V ). Legyen d− (V ) = |ω − (V )|, d+ (V ) = |ω + (V )| ´es d(V ) = |ω(X)|. A 2.1 ´abra egy P-gr´afot ´abr´azol, az anyagpontokat (m1 , m2 , . . . , m11 ) k¨or¨ok, a m˝ uveleti egys´egeket (o1 , o2 , . . . , o7 ) v´ızszintes vonal jelzi.

2.2.2.

A folyamatszint´ ezis ´ altal´ anos modellje

Legyen P az el˝o´all´ıtand´o anyagok (term´ekek) halmaza, R a nyersanyagok halmaza, ´es O = {o1 , o2 , . . . , on } a rendelkez´esre ´all´o m˝ uveleti egys´egek halmaza. Tov´abb´a legyen M = {m1 , m2 , . . . , ml } a m˝ uveleti egys´egekhez kapcsol´od´o anyagok v´eges halmaza. A k¨ovetkez˝o felt´etelek teljes¨ ulnek: P ∩ R = ∅, P ⊆ M, O ⊆ ℘(M) × ℘(M) ´es M ∩ O = ∅. Jel¨olje (M, O) a probl´em´ahoz kapcsol´od´o P-gr´afot. Legyen adott az (M, O) gr´af egy r´eszgr´afja ´es legyen minden 1 ≤ j ≤ n-re yj = 1, ha a r´eszgr´af tartalmazza oj -t ´es legyen yj = 0, ha nem, ´ıgy egy (y1 , y2 , . . . , yn ) bin´aris vektor egy´ertelm˝ uen meghat´arozza r´eszgr´afban l´ev˝o m˝ uveleti egys´egeket. Feltehetj¨ uk, hogy a r´eszgr´af nem tartalmaz izol´alt anyag t´ıpus´ u cs´ ucsokat, ´ıgy az y indik´ator vektor egy´ertelm˝ uen meghat´arozza a r´eszgr´afot.

7

2.1. ´abra. P-gr´af. Vezess¨ unk be a h´al´ozatban l´ev˝o ´elekre ´es cs´ ucsokra vonatkoz´o felt´eteleket. Legyen A = {a1 , a2 , . . . , ar } az ´elek halmaza ´es xk (k = 1, 2, . . . , r) az ak ´elhez rendelt folytonos v´altoz´o, amely az ´elen ´athalad´o anyag mennyis´eg´et jelenti. A ϕ f¨ uggv´eny rendelje hozz´a az ´elhez, vagy az ´elek egy halmaz´ahoz a megfelel˝o v´altoz´ok halmaz´at. ul zj ul, {ai1 , ai2 , . . . , ait } ⊆ A-ra. V´eg¨ A ϕ(ai1 , ai2 , . . . , ait ) = (xi1 , xi2 , . . . , xit ) teljes¨ jel¨olje az oj (j = 1, 2, . . . , n) m˝ uveleti egys´eghez rendelt v´altoz´ot, amely a m˝ uveleti egys´eg m´eret´et jellemzi. Az oj m˝ uveleti egys´eghez kapcsol´od´o felt´etel illetve a k¨olts´eg a k¨ovetkez˝o: gj (yj , ϕ(ω − (oj )), ϕ(ω + (oj )), zj ) ≤ 0, j = 1, 2, . . . , n,

(2.2.1)

fj (yj , ϕ(ω − (oj )), ϕ(ω + (oj )), zj ), j = 1, 2, . . . , n,

(2.2.2)

ahol fj ´es gj f¨ uggv´enyek ´altal´aban differenci´alhat´ok r¨ogz´ıtett yj ´ert´ekre. Hasonl´oan az mi anyagponthoz kapcsol´od´o felt´etelrendszer ´es k¨olts´eg a k¨ovetkez˝o: gi′ (ϕ(ω − (mi )), ϕ(ω + (mi ))) ≤ 0, i = 1, 2, . . . , l,

(2.2.3)

8 fi′ (ϕ(ω − (mi )), ϕ(ω + (mi ))), i = 1, 2, . . . , l. A gyakorlatban g ′ ´es f ′ ´altal´aban line´aris. A g ′ reprezent´alja az anyagegyens´ uly felt´eteleket, illetve mennyis´egi ´es min˝os´egi k¨ovetelm´enyeket az adott anyagra. Az f ′ k¨olts´egf¨ uggv´eny lehet p´eld´aul a nyersanyagk¨olts´eg stb. PNS feladat Legyenek M = {m1 , m2 , . . . , ml } ´es (P, R, O) adottak, ahol P, R ´es O nem¨ ures halmazok, tov´abb´a O = {o1 , o2 , . . . , on }. Tegy¨ uk fel m´eg, hogy P ∩ R = ∅, P ⊆ S M, R ⊆ M, O ⊆ ℘(M) × ℘(M), ´es M = (α,β)∈O (α ∪ β). A PNS feladatot a k¨ovetkez˝ok´eppen fogalmazhatjuk meg. X fj (yj , ϕ(ω − (oj )), ϕ(ω + (oj )), zj )+ min j∈{1,2,...,n}

X

fi′ (ϕ(ω − (mi )), ϕ(ω + (mi )))

i∈{1,2,...,l}

felt´eve, hogy

(2.2.4)

gj (yj , ϕ(ω − (oj )), ϕ(ω + (oj )), zj ) ≤ 0, j = 1, 2, . . . , n gi′ (ϕ(ω − (mi )), ϕ(ω + (mi ))) ≤ 0, i = 1, 2, . . . , l zj ≤ M yj , j = 1, 2, . . . n yj ∈ {0, 1}, zj ≥ 0,

j = 1, 2, . . . n

Itt M ∈ IR egy megfelel˝oen v´alasztott nagy sz´am. Az (M, O) gr´af egy r´eszgr´afja szorosan kapcsol´odik a 2.2.4 modellt kiel´eg´ıt˝o megold´ashoz. A kor´abban eml´ıtettek szerint a r´eszgr´af le´ırhat´o egy (y1 , y2 , . . . , yn ) vektorral. Nyilv´anval´oan nem minden (y1 , y2 , . . . , yn ), (yi ∈ {0, 1}, i = 1, 2, . . . , n) vektor defini´al val´os folyamatot. A val´odi folyamatot defini´al´o strukt´ ur´ak rendelkeznek n´eh´any k¨oz¨os kombinatorikus tulajdons´aggal, amit explicite tartalmaz a 2.2.4 modell. Ezen tulajdons´agokat figyelembe v´etel´evel az (M, O) r´eszgr´afjainak halmaza reduk´alhat´o a kombinatorikusan lehets´eges megold´asok halmaz´ara. A reduk´al´as m´ert´ek´ere jellemz˝o, hogy p´eld´aul egy 35 m˝ uveleti egys´egb˝ol ´all´o ipari feladatra a lehets´eges r´eszgr´afok sz´ama 235 ≈ 3.4 × 1010 , szemben a 3465 sz´am´ u kombinatorikusan lehets´eges strukt´ ur´ak sz´am´aval. A feladat r´eszletes le´ır´as´at a [39] t´argyalja.

9 Defin´ıci´ o 2.2.2 Legyen adott a (P, R, O) h´armas, tov´abb´ a legyen az (M′ , O′ ) P-gr´af az (M, O) P-gr´af r´eszgr´ afja. (M′ , O′ ) r´eszgr´ af kombinatorikusan lehets´eges strukt´ ura (r¨oviden lehets´eges strukt´ ura), ha a k¨ovetkez˝o n´egy felt´etel teljes¨ ul. (S1) P ⊆ M′ , azaz minden v´egterm´ek reprezent´alva van a gr´afban. (S2) ∀x ∈ M′ , d− (x) = 0 ⇐⇒ x ∈ R, azaz egy anyag t´ıpus´ u cs´ ucsnak pontosan akkor nincs bemenete, ha nyersanyagot reprezent´al. (S3) ∀u ∈ O′ , ∃ u ´t [u, v], (M′ , O′ )-ban, ahol v ∈ P, azaz minden m˝ uveleti egys´eg t´ıpus´ u cs´ ucst´ol vezet u ´t a term´eket reprezent´al´o anyag t´ıpus´ u cs´ ucsig. (S4) ∀x ∈ M′ , ∃(α, β) ∈ O′ melyre x ∈ α ∪ β, azaz ha egy anyag t´ıpus´ u cs´ ucs r´esze a gr´afnak, akkor kell lennie legal´abb egy bemenet´enek vagy legal´abb egy kimenet´enek egy m˝ uveleti egys´eg t´ıpus´ u cs´ ucs fel˝ol illetve fel´e. A kombinatorikusan lehets´eges strukt´ ur´ak halmaz´at S(P, R, O)-val jel¨olj¨ uk. Megeml´ıt¨ unk n´eh´any ¨osszef¨ ugg´est a megold´as strukt´ ur´akkal kapcsolatban, a bizony´ıt´asok [36]-ben megtal´alhat´oak. Defin´ıci´ o 2.2.3 Tegy¨ uk fel, hogy S(P, R, O) 6= ∅, akkor az o¨sszes kombinatorikusan lehets´eges strukt´ ura uni´oj´at jel¨olj¨ uk µ(P, R, O)-val. Azaz, µ(P, R, O) =

[

σ.

σ∈S(P,R,O)

A µ(P, R, O) strukt´ ur´at maxim´alis strukt´ ur´ anak nevezz¨ uk. T´ etel 2.2.1 Az S(P, R, O) halmaz z´ art az uni´ora. K¨ ovetkezm´ eny 2.2.2 µ(P, R, O) ∈ S(P, R, O).

2.2.3.

PNS feladat line´ aris modellje

El˝osz¨or a folyamatszint´ezis egyik alapmodellj´et vezetj¨ uk be, ahol a felt´etelrendszer ´es a c´elf¨ uggv´eny line´aris. Az alapmodell kiindul´asnak tekinthet˝o az ´altal´anosabb nemline´aris modell megold´asa fel´e.

10 M˝ uveleti egys´ eg modell Az el˝oz˝o fejezetben bemutatott ´altal´anos PNS modell (2.2.4) egy-egy m˝ uveleti egys´eg (ok ∈ O) k¨olts´ege a k¨ovetkez˝o: fk (zk , yk ) = ak yk + bk zk , ahol a k¨olts´egf¨ uggv´eny m˝ uk¨od´esi ´es beruh´az´asi k¨olts´egb˝ol tev˝odik ¨ossze: ak = Oak +

Iak Ibk , bk = Obk + megt´er¨ ul´esi ´evek sz´ama megt´er¨ ul´esi ´evek sz´ama

Oak : a m˝ uk¨od´esi k¨olts´eg ´alland´o r´esze, Obk : a m˝ uk¨od´esi k¨olts´eg a m˝ uveleti egys´eg m´eret´et˝ol f¨ ugg˝o r´esze, Iak : a beruh´az´asi k¨olts´eg ´alland´o r´esze, Ibk : a beruh´az´asi k¨olts´eg a m˝ uveleti egys´eg m´eret´et˝ol f¨ ugg˝o r´esze, Mivel a k¨olts´eg f¨ uggetlen az illeszked˝o ´elekt˝ol, ´ıgy azt nem jel¨olt¨ uk a f¨ uggv´eny param´eterei k¨oz¨ott. A (2.2.1) egyenletben szerepl˝o gk : {0, 1} × IRp → IRq -beli f¨ uggv´eny, ahol p = d(ok ) + 1. A q term´eszetesen f¨ ugg a modellt˝ol, jelen esetben q = d(ok ). Legyen as egy ´el, amely ok -ra illeszkedik, azaz as = (mi , ok ) ∈ ω − (ok ) (vagy as = (ok , mi ) ∈ ω + (ok )), gks (yk , ϕ(ω − (ok )), ϕ(ω + (ok )), zk ) = 0, as ∈ ω(ok ) A m˝ uveleti egys´eg m´erete ´es az illeszked˝o ´elek folyamv´altoz´oi k¨oz¨otti kapcsolatot defini´alja a k¨ovetkez˝o k´eplet: gks (yk , ϕ(ω − (ok )), ϕ(ω + (ok )), zk ) = rki zk − xs , as ∈ ω(ok )

(2.2.5)

Az rki a m˝ uveleti egys´egre jellemz˝o param´eter. Nevezetesen rki az mi anyag mennyis´ege, amelyet az ok egys´egnyi kapacit´assal val´o m˝ uk¨od´esekor fogyaszt as = (mi , ok ) ∈ ω − (ok ), illetve termel as = (ok , mi ) ∈ ω + (ok ).

11 Anyagponthoz tartoz´ o felt´ etelek A P-gr´af ´altal´anos modellj´eben egy anyaghoz rendelhet˝o k¨olts´eg ´es felt´etel. Legyen mi ∈ M, akkor az mi anyagponthoz tartoz´o k¨olts´eg:  0, ′ − + fi (ϕ(ω (mi )), ϕ(ω (mi ))) = C P i

mi ∈ M \ R,

as =(mi ,ok )∈ω + (mi )

xs , mi ∈ R,

ahol Ci jelenti az egys´egnyi t¨omeg˝ u mi anyag k¨olts´eg´et. Az anyagokra vonatkoz´o felt´etelek (l´asd kor´abban a (2.2.3) egyenletek) a k¨oztes anyagokra meghat´arozz´ak az anyagegyens´ ulyt (azaz egy anyagb´ol a fogyasztott menynyis´eg nem lehet t¨obb, mint a termelt mennyis´eg), tov´abb´a a nyersanyagokra ´es term´ekekre vonatkoz´o korl´atokat. X

gi′ (ϕ(ω − (mi )), gi′ (ϕ(ω + (mi ))) =

X

xj −

aj =(mi ,ok )∈ω + (mi )

xj + p i − s i

aj =(ok ,mi )∈ω − (mi )

Felhaszn´alva a m˝ uveleti egys´eg modellt (l´asd kor´abban a (2.2.5) egyenlet) a felt´etel a k¨ovetkez˝o form´aba ´ırhat´o: X

gi′ (ϕ(ω − (mi )), gi′ (ϕ(ω + (mi ))) =

X

rki zk −

aj =(mi ,ok )∈ω + (mi )

rki zk + pi − si .

aj =(ok ,mi )∈ω − (mi )

(2.2.6)

Az si > 0 a rendelkez´esre ´all´o mi ∈ R nyersanyag mennyis´ege (si = 0, ha mi ∈ / R) ´es pi > 0 az mi ∈ P term´ekre vonatkoz´o legy´artand´o anyagmennyis´eg als´o korl´atja (pi = 0, ha mi ∈ / P). Hasonl´oan felhaszn´alva a m˝ uveleti egys´eg modellt (l´asd kor´abban a (2.2.5) egyenlet), a k¨olts´eg is a k¨ovetkez˝o form´aba ´ırhat´o:  0, fi′ (ϕ(ω − (mi )), ϕ(ω + (mi ))) = C P i

mi ∈ M \ R

as =(mi ,ok )∈ω + (mi ) rki zk ,

(2.2.7)

mi ∈ R.

¨ A PNS line´aris modellj´eb˝ol kik¨ usz¨ob¨olt¨ uk az ´elekhez tartoz´o v´altoz´okat. Osszefoglaljuk modell¨ unket: min

X

j∈{1,2,...,n}

fj (yj , zj ) +

X

mi ∈R

Ci

X

(mi ,ok )∈ω + (mi )

rki zk

12 felt´eve, hogy X

rki zk −

(mi ,ok )∈ω + (mi )

X

rki zk + pi − si ≤ 0, i = 1, 2, . . . , l

(ok ,mi )∈ω − (mi )

zj ≤ M yj , j = 1, 2, . . . n yj ∈ {0, 1}, zj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , n

(2.2.8)

Egy PNS feladatban a m˝ uveleti egys´egek az anyagpontokon kereszt¨ ul kapcsol´odnak egym´ashoz, a kapcsol´od´as abban az ´ertelemben lok´alis, hogy egy m˝ uveleti egys´eg ´altal´aban nincs kapcsolatban az ¨osszes t¨obbivel. Ez a tulajdons´ag nagyban kihat mag´ara a matematikai modellre, hiszen a modellben a v´altoz´ok a m˝ uveleti egys´egekhez kapcsol´odnak, a felt´etelek pedig a pontokhoz k¨othet˝ok. Kijelenthetj¨ uk, hogy az egy¨ utthat´o m´atrix ritka, amely a megold´o m´odszerek szempontj´ab´ol fontos. Szeml´ eltet˝ o p´ elda Tekints¨ uk a k¨ovetkez˝o p´eld´at. M = {m1 , . . . , m11 }, R = {m5 , m7 , m9 , m10 , m11 }, P = {m1 }, O = {o1 , o2 , . . . , o7 }. M˝ uveleti egys´egek legyenek a k¨ovetkez˝ok: o1 = ({m3 }, {m1 , m6 }), o2 = ({m4 }, {m1 , m2 }), o3 = ({m5 , m6 }, {m3 }), o4 = ({m6 , m7 }, {m3 , m4 }), o5 = ({m7 , m8 }, {m4 }), o6 = ({m9 }, {m6 }), o7 = ({m10 , m11 }, {m8 }). A P-gr´af reprezent´aci´ot a 2.2 ´abra mutatja. Az ´abr´an felt¨ untett¨ uk a m˝ uveleti egys´egekhez kapcsol´od´o rij param´etereket is.

13

2.2. ´abra. A szeml´eltet˝o p´elda P-gr´af ´abr´azol´asa.

14 A 2.2.8 modell szerint a k¨ovetkez˝o anyagegyens´ uly felt´eteleket kapjuk: −r11 z1 − r21 z2 + p1 ≤ 0 (m1 ) −r22 z2 ≤ 0 (m2 ) r13 z1 − r33 z3 − r43 z4 ≤ 0 (m3 ) r24 z2 − r44 z4 − r54 z5 ≤ 0 (m4 ) r35 z3 − s5 ≤ 0 (m5 ) r36 z3 + r46 z4 − r16 z1 − r66 z6 ≤ 0 (m6 ) r47 z4 + r57 z5 − s7 ≤ 0 (m7 ) r58 z5 − r78 z7 ≤ 0 (m8 ) r69 z6 − s9 ≤ 0 (m9 ) r710 z7 − s10 ≤ 0 (m10 ) r711 z7 − s11 ≤ 0 (m11 ) Az egyenl˝otlens´egek mellett z´ar´ojelben felt¨ untett¨ uk, hogy mely anyagra vonatkoznak. Miel˝ott ´ertelmezn´enk az egyenleteket, rendezz¨ uk ´at o˝ket u ´gy, hogy a negat´ıv el˝ojel˝ u tagokat vigy¨ uk ´at az egyenl˝otlens´eg m´asik oldal´ara.

p1 ≤ r11 z1 + r21 z2

(m1 )

0 ≤ r22 z2

(m2 )

r13 z1 ≤ r33 z3 + r43 z4

(m3 )

r24 z2 ≤ r44 z4 + r54 z5

(m4 )

r35 z3 ≤ s5

(m5 )

r36 z3 + r46 z4 ≤ r16 z1 + r66 z6

(m6 )

r47 z4 + r57 z5 ≤ s7

(m7 )

r58 z5 ≤ r78 z7

(m8 )

r69 z6 ≤ s9

(m9 )

r7

10 z7

≤ s10

(m10 )

r7

11 z7

≤ s11

(m11 )

15 Vegy¨ uk ´eszre, hogy egy rkj zk szorzat az ok m˝ uveleti egys´eg ´altal egys´egnyi id˝o alatt fogyasztott vagy termelt anyagmennyis´eget jelenti. Az egyenletek bal oldal´an az adott anyagb´ol elfogyasztott mennyis´eg, a jobb oldalon pedig a termelt mennyis´eg szerepel. A param´eterek meghat´aroz´asa sor´an a dimenzi´okat megfelel˝oen kell megv´alasztani. A mennyis´egek egy id˝otartamra vonatkoznak, p´eld´aul a nyersanyagra vonatkoz´o fels˝okorl´at t/´ev -ben lehet megadva, vagy a m˝ uveleti egys´egekre a m˝ uk¨od´esi k¨olts´eg is egys´egnyi m´erethez ´es egys´egnyi id˝otartamhoz van meghat´arozva. Egy gr´afban n´egyf´ele anyagt´ıpus´ u cs´ ucs l´etezik: nyersanyag, term´ek, k¨oztes anyag, mell´ekterm´ek. Csoportonk´ent n´ezz¨ uk v´egig ez egyes egyenl˝otlens´eg t´ıpusokat. Mell´ekterm´ekre (m2 ) vonatkoz´o egyenletek ´altal´aban elhagyhat´ok, kiv´eve ha nincs valamilyen kik¨ot´es a kibocs´ajt´as´ara vonatkoz´oan. A mell´ekterm´ekek halmaza k¨onnyen meghat´arozhat´o (olyan anyag t´ıpus´ u pontok, amelyek nem term´ekek ´es csak bemen˝o ´eleket tartalmaznak), ´ıgy ezen egyenleteket a modellgener´al´as folyam´an figyelmen k´ıv¨ ul hagyhatjuk. L´atszik, hogy az (m2 ) egyenlet val´oban elhagyhat´o. Trivi´alisan teljes¨ ul, hiszen r22 ´es z2 is nemnegat´ıv. A term´ekekre vonatkoz´o egyenletekn´el a bal oldalon szerepel az adott anyagb´ol a m˝ uveleti egys´egek ´altal felhaszn´alt anyagmennyis´eg ´es a pi legy´artand´o mennyis´eg. A pi -t u ´gy tekinthetj¨ uk, mint egy fogyaszt´ast, amit u ´gymond ki kell vinn¨ unk a rendszerb˝ol. Megjegyezz¨ uk, hogy az axi´om´ak (2.2.2 defin´ıci´o) nem tiltj´ak a term´ek fogyaszt´as´at. P´eld´aul az (m1 ) egyenlet garant´alja, hogy a o1 ´es o2 ´altal termelt m1 anyag mennyis´ege nagyobb vagy egyenl˝o, mint a k´ıv´ant p1 mennyis´eg. K¨oztes anyag eset´en a felt´etel szerint nem fogyasztunk t¨obbet egy anyagb´ol, mint amennyit termel¨ unk. Az (m3 ) egyenletben a baloldalon r13 z1 mennyis´eg az o1 ´altal adott id˝o alatt m3 -b´ol fogyasztott mennyis´eget jelenti. A jobb oldal az o3 ´es o4 ´altal termelt m3 mennyis´eget jel¨oli. A nyersanyaghoz kapcsol´od´o egyenletekn´el az egyenl˝otlens´eg jobb oldal´an jelenik meg az s mennyis´eg, ami egy k¨ uls˝o forr´ast jelent. A kor´abban t´argyalt axi´om´ak (2.2.2 defin´ıci´o) szerint nyersanyagot nem termel¨ unk, azaz a jobb oldal´an csak a rendelkez´esre ´all´o s mennyis´eg ´allhat. A bal oldal´an az adott anyagb´ol a m˝ uveleti egys´egek ´altal id˝oegys´eg alatt felhaszn´alt anyagmennyis´eg szerepel. P´eld´aul az (m7 ) felt´etel kimondja, hogy az o4 ´es az o5 ´altal fogyasztott m7 anyag r47 z4 + r57 z5 mennyis´ege nem lehet t¨obb, mint a rendelkez´esre ´all´o s7 .

16 Rendelj¨ unk ´ert´ekeket a megfelel˝o param´eterekhez. Itt most ´ev az id˝oegys´eg ´es a megt´er¨ ul´esi ´evek sz´ama 3. A 2.1 ´es 2.2 t´abl´azatokban a param´etereket ismertetj¨ uk, a nem jel¨olt param´etereket tekints¨ uk z´erusnak.

2.1. t´abl´azat. K¨olts´egparam´eterek a m˝ uveleti egys´egekre M˝ uveleti Beruh´az´asi k¨olts´eg M˝ uk¨od´esi k¨olts´eg ´ ´ egys´eg Alland´ o V´altoz´o Alland´ o V´altoz´o a o1 1500 210 250 100 750 o2 1800 270 1000 100 1600 o3 900 180 600 200 900 o4 3000 90 1500 120 2500 o5 900 570 800 200 1100 o6 750 120 500 130 750 o7 600 120 120 100 320

2.2. t´abl´azat. Param´eterek az anyagokra Anyag p s C m1 100 0 0 m5 0 10000 700 m7 0 10000 1100 m8 0 10000 400 m10 0 10000 500 m11 0 10000 700

b 170 190 260 150 390 170 140

17 Az RK m´atrix tartalmazza  2 0  1 0.5   0 0   RK = 0 0  0 0   0 0  0 0

az rij (i = 1, . . . 7, j = 1, . . . , 11) param´etereket.  3 0 0 1 0 0 0 0 0  0 1.5 0 0 0 0 0 0 0   2 0 1 2 0 0 0 0 0   1 1 0 0.3 1.7 0 0 0 0  0 3 0 0 2 1 0 0 0   0 0 0 1 0 0 1 0 0  0 0 0 0 0 2 0 1.2 0.8

A k¨ovetkez˝o programoz´asi feladatot kapjuk:

min 750y1 + 170z1 + 1600y2 + 190z2 + 900y3 + (260 + 700)z3 + 2500y4 + (150 + 1870)z4 + 1100y5 + (390 + 2200)z5 + 750y6 + (170 + 400)z6 + 320y7 + (140 + 1160)z7 felt´eve, hogy     −2 −1 0 0 0 0 0   −100  3    0 −2 −1 0 0 0     z1  0      0 1.5 0 −1 −3 0 0     z2   0         0 1 0 0 0 0     0  z3  10000      −1 0 2 0.3 0 −1 0        ≤ ·  z4   0        0 0 0 1.7 2 0 0       z5  10000     0  0 0 0 1 0 −2  z6   0         0 0 0 0 1 0  0   10000  z 7 0   0 0 0 0 0 1.2   10000 0 0 0 0 0 0 0.8 zi ≤ M yi zi ≥ 0, yi ∈ {1, 0}, i = 1, . . . , 7 Megoldva a feladatot az optim´alis strukt´ ura az o1 , o3 , o6 m˝ uveleti egys´egeket tartalmazza (azaz y1 = 1, y3 = 1, y6 = 1). A m´eret¨ uk, z1 = 50.0, z3 = 75.0, z6 = 100.

18 PNS mint konk´ av szepar´ abilis programoz´ asi feladat A line´aris modell ´altal´anosabb esete, amikor a m˝ uveleti egys´eg k¨olts´eg´et egy konk´av f¨ uggv´ennyel ´ırjuk le.

Gyakorlatban a m˝ uveleti egys´egek m´erett˝ol f¨ ugg˝o fajlagos

k¨olts´ege a m´eret n¨ovel´es´evel cs¨okken, ami egy a konk´av f¨ uggv´enyekre jellemz˝o tulajdons´ag. A konk´av f¨ uggv´enyek haszn´alat´aval modell¨ unk jobban le´ırja a val´os k¨olts´egeket, mint a kor´abban bevezetett line´aris k¨olts´egf¨ uggv´eny: fk (zk , yk ) = ak yk + bk zkα ,

(2.2.9)

ahol α ∈ IR, 0 ≤ α ≤ 1, ak ∈ IR, ak ≥ 0, bk ∈ IR, bk ≥ 0. Gyakorlatban az α = 0.6 haszn´alatos. K´es˝obbiekben ezen modell lesz vizsg´alatunk egyik f˝o t´argya.

2.3.

Kombinatorikus algoritmusok PNS feladatok megold´ as´ ahoz

Fejezet¨ unkben Friedler ´es munkat´arsai ´altal kidolgozott kombinatorikus alap algoritmusokat mutatjuk be. MSG algoritmus A kombinatorikusan lehets´eges strukt´ ur´ak halmaza v´eges, ´es z´art az uni´ora (l´asd 2.2.1 t´etel), ha ez a halmaz nem u ¨res, akkor l´etezik maxim´alis strukt´ ura, melynek minden kombinatorikusan lehets´eges strukt´ ura r´eszhalmaza. A Friedler ´es munkat´arsai ´altal kidolgozott MSG algoritmus [38] a maxim´alis strukt´ ur´at, µ(P, R, O)-t gener´alja polinomi´alis id˝oben. SSG algoritmus Az SSG algoritmus [39] lehet˝ov´e teszi az ¨osszes kombinatorikusan lehets´eges strukt´ ura gener´al´as´at. A kombinatorikusan lehets´eges strukt´ ur´ak gener´al´as´ahoz alternat´ıv d¨ont´eseket vagy d¨ont´esek sorozat´at kell v´egrehajtanunk. A d¨ont´esek m˝ uveleti egys´egek bev´etel´er˝ol vagy kiz´ar´as´ar´ol t¨ort´ennek.

19 Minden term´eket legal´abb egy m˝ uveleti egys´egnek kell gy´artani. Hasonl´oan legal´abb egy m˝ uveleti egys´egnek kell gy´artani egy olyan anyagot, amelyet egy kor´abbi d¨ont´es sor´an bevett m˝ uveleti egys´eg fogyaszt. A nyersanyagokra ez term´eszetesen nem vonatkozik. A d¨ont´esek sor´an vigy´aznunk kell arra, hogy az egyszer m´ar kiz´art m˝ uveleti egys´egeket egy m´asik d¨ont´es sor´an m´ar nem v´alaszthatjuk be. Az inkonzisztens d¨ont´esek elker¨ ul´ese ´erdek´eben a m˝ uveleti egys´egeket h´arom oszt´alyba soroljuk: a bev´alasztott m˝ uveleti egys´egek halmaza, a kiz´art m˝ uveleti egys´egek halmaza ´es a m´eg nem d¨ont¨ott m˝ uveleti egys´egek halmaza. Akt´ıv halmaznak h´ıvjuk az anyagok azon halmaz´at, amelyek el˝o´all´ıt´as´ar´ol d¨onteni kell. Kezdetben az akt´ıv halmaz a term´ekeket tartalmazza. Egy d¨ont´es sor´an meghat´arozzuk az anyagot el˝o´all´ıtani k´epes m˝ uveleti egys´egek k¨oz¨ ul azokat, amelyek az adott strukt´ ur´aban el˝o´all´ıtj´ak az anyagot. Az ´ıgy kiv´alasztott m˝ uveleti egys´egeket bev´alasztjuk a strukt´ ur´aba, a t¨obbit pedig kiz´arjuk. D¨ont´es ut´an friss´ıtj¨ uk az akt´ıv halmazt. Azokat a nem nyersanyagokat, amelyeket m´ar bev´alasztott m˝ uveleti egys´eg fogyaszt ´es m´eg nem volt rajtuk d¨ont´es, hozz´aadjuk az akt´ıv halmazhoz. Azokat az anyagokat, amelyek gy´art´as´ar´ol m´ar d¨ont¨ott¨ unk, kivessz¨ uk az akt´ıv halmazb´ol. Amikor a konzisztens d¨ont´esek eredm´enyek´ent az akt´ıv halmaz u ¨ress´e v´alik, a bev´alasztott m˝ uveleti egys´egek reprezent´alj´ak megold´ast. A d¨ont´esek sorozata ellentmond´ashoz is vezethet, ´es el˝ofordulhat, hogy egy akt´ıv halmazban l´ev˝o anyagot el˝o´all´ıt´o m˝ uveleti egys´egek k¨oz¨ ul kor´abban m´ar mindet kiz´artuk. A d¨ont´esek ¨osszes lehets´eges sorozat´anak lesz´aml´al´as´aval minden megold´asstrukt´ ura el˝o´all´ıthat´o. A d¨ont´esek ¨osszes lehets´eges sorozat´at u ´gy ´abr´azolhatjuk mint egy ir´any´ıtott fagr´afot. A pontok az anyagokon v´egzett d¨ont´esek, a kimen˝o ´elek pedig a lehets´eges d¨ont´esi alternat´ıv´ak. A fa lev´elpontjai az inkonzisztens r´eszprobl´em´ak ´es a kombinatorikusan lehets´eges strukt´ ur´ak.

20 ABB algoritmus Az ABB algoritmus [40] k´epes a kombinatorikusan lehets´eges megold´asokb´ol a k¨olts´eg szerinti optim´alis megold´ast kiv´alasztani. Az elj´ar´as az el˝oz˝o fejezetben ismertetett SSG m´odszeren alapszik. Az elj´ar´as a korl´atoz´as ´es sz´etv´alaszt´as (BB) keretalgoritmusra ´ep¨ ul. A k¨ ul¨onbs´eg az SSG-hez k´epest annyi, hogy egy d¨ont´es el˝ott egy korl´atsz´am´ıt´asi elj´ar´ast hajtunk v´egre, amely a r´eszprobl´em´ahoz egy als´o korl´atot rendel. Az als´okorl´at alapj´an t¨or¨olhet¨ unk r´eszprobl´em´akat. Az ABB algoritmus az SSG -hez tartoz´o fagr´af egy r´esz´et gener´alja ki. Az algoritmus ann´al hat´ekonyabb, min´el kisebb az ´ıgy bej´art fa, amit d¨ont˝oen a korl´atoz´asi elj´ar´asban meghat´arozott als´o korl´at ´eless´ege hat´aroz meg. RSG algoritmus Egy m˝ uveleti egys´eg kiz´ar´asa maga ut´an vonhatja m´as m˝ uveleti egys´egek kiz´ar´as´at is. Az RSG algoritmus meghat´arozza ´es kiz´arja ezeket a m˝ uveleti egys´egeket. Leggyakoribb eset az, amikor egy m˝ uveleti egys´eg kiz´ar´as´aval olyan diszjunkt r´eszgr´afok keletkeznek, ahonnan nem vezet ir´any´ıtott u ´t a term´ekig (l´asd a 2.2.2 defin´ıci´oban az S3 s´er¨ ul´ese).

3. fejezet Szepar´ abilis konk´ av optimaliz´ al´ as PNS feladatok megold´ as´ ara A PNS feladatoszt´aly konk´av f¨ uggv´ennyel kib˝ov´ıtett modellje egy line´aris felt´etelekkel adott szepar´abilis konk´av programoz´asi feladat (l´asd a (2.2.8) modellt ´es a (2.2.9) c´elf¨ uggv´enyt). Egy PNS feladathoz kapcsol´od´o felt´etelrendszer mag´an hordozza a PNS feladat struktur´alts´ag´at, melyet az ´altal´anos megold´ok nem tudnak figyelembe venni. C´elunk, hogy ezen tulajdons´agok figyelembev´etel´evel a kor´abbin´al hat´ekonyabb megold´o m´odszereket dolgozzunk ki. Tekints¨ uk a k¨ovetkez˝o szepar´abilis, konk´av optimaliz´aci´os feladatot  P min nj=1 fj (xj )   (P ) Ax ≤ b    l≤x≤u

(3.0.1)

ahol az A ∈ IRm×n m´atrix, a b ∈ IRm , l, u ∈ IRn adott vektorok, fj : IR → IR konk´av f¨ uggv´enyek. Legyen tov´abb´a A = {x ∈ IRn : A x ≤ b} ´es T = {x ∈ IRn : l ≤ x ≤ u} halmazok, amely metszetek´ent el˝o´all a (P ) feladat megengedett megold´asainak a halmaza, azaz D = A ∩ T . Megjegyezz¨ uk, hogy kor´abban a PNS line´aris modellj´eben (l´asd kor´abban (2.2.8)) a m˝ uveleti egys´egekhez tartoz´o z v´altoz´okat itt x-el jel¨olj¨ uk. A (P ) feladat ´erdekess´eg´et az adja, hogy a legegyszer˝ ubb nem konvex optimaliz´al´asi feladatoszt´alyba tartozik. Elmondhatjuk, hogy a (P ) feladat NP-teljes [75]. Fontos elm´eleti tulajdons´aga az, hogy az optim´alis megold´asa a D poli´edernek egy 21

22 cs´ ucs´aban is felv´etetik [69] s˝ot, ha az fj f¨ uggv´enyek szigor´ uan konk´avak, akkor az optimum cs´ ucsban van. ´ ıt´ All´ as 3.0.1 A (3.0.1) feladat optimuma a D poli´edernek egy extrem´ alis pontj´ aban is felv´etetik. Bizony´ıt´ as.

Legyen x, y ∈ D, 0 < λ < 1. Mivel f konk´av ´es nemline´aris, ´ıgy a

k¨ovetkez˝o igaz: f (λ x + (1 − λ) y) > λ f (x) + (1 − λ) f (y) ≥ min{f (x), f (y)} ¯ ∈ D nem extrem´alis pont, akkor l´etezik x1 , x2 ∈ D, hogy x ¯ = 12 x1 + 21 x2 , Teh´at, ha x amib˝ol az f (¯ x) > min{f (x1 ), f (x2 )} ad´odik.

3.1.

2

Szepar´ abilis konk´ av programoz´ as szakirodalm´ anak ´ attekint´ ese

A line´aris felt´etelrendszerrel adott szepar´abilis konk´av minimaliz´al´asi probl´em´ahoz m´eg sz´amos gyakorlati k´erd´es vezet. A teljess´eg ig´enye n´elk¨ ul megeml´ıt¨ unk n´eh´any olyan m˝ uszaki tervez´essel kapcsolatos probl´em´at, amely a (P ) optimaliz´al´asi feladattal ´ırhat´o le: bizonyos ir´any´ıt´aselm´eleti feladatok [3], konk´av h´atizs´ak probl´ema [73], termel´esi ´es sz´all´ıt´asi feladatok [60], termel´esi folyamatok tervez´ese [67], egyes h´al´ozati folyamfeladatok [100], l´etes´ıtm´enyek optim´alis elhelyez´ese [92], stb. A konk´av szepar´abilis programoz´asi feladat fontoss´ag´anak megfelel˝oen igen gazdag szakirodalma van. A szakirodalomban napjainkig ismertetett m´odszerek h´arom f˝o csoportra oszthat´ok: extrem´alis pontok bej´ar´asa, metsz˝o s´ık m´odszerek ´es korl´atoz´as ´es sz´etv´alaszt´as (Branch-and-Bound, BB) m´odszerek. A BB m´odszereket t´argyalj´ak a k¨ovetkez˝o cikkek: [4], [11], [29], [61], [68], [81], [88], [89]. Cs´ ucs lesz´aml´al´asi elj´ar´asokkal foglalkoznak p´eld´aul a [5], [27] ´es [26] dolgozatok. A metsz˝o s´ık elj´ar´asok bemutat´as´at a [9], [49], [82] ´es [95] munk´akban tal´aljuk meg. El˝ofordulnak m´eg egy´eb m´odszerek is, mint pl. a spline k¨ozel´ıt´es [59] vagy BB ´es metsz˝os´ık m´odszer kombin´al´asa [9].

23 A BB t´ıpus´ u algoritmusok egyik kritikus l´ep´ese a r´eszfeladatok gener´alasa, ez nagyban befoly´asolja az optim´alis megold´as megtal´al´as´at ´es a m´odszer hat´ekonys´ag´at. Az elj´ar´asok egy r´esze hipert´eglatestet haszn´al a r´eszfeladatok gener´al´as´ara. K¨ ul¨onb¨oz˝o feloszt´asi strart´egi´akat t´argyalnak a [16], [17], [84], [85], [86] k¨ozlem´enyek. Az [50] szerz˝oje egy a szimplexeken alapul´o part´ıcion´al´asi strat´egi´at mutat be.

3.2.

´ Altal´ anos algoritmus

Az algoritmus (3.1 ´abra) egy Branch-and-Bound (BB) keretalgoritmusra ([1], [53], [63]) t´amaszkodik. Egy BB elj´ar´as ismertet´esekor besz´eln¨ unk kell a f˝obb l´ep´esekr˝ol: ezek a r´eszprobl´ema defin´ıci´o, a korl´atoz´asi ´es sz´etv´alaszt´asi l´ep´esek.

3.2.1.

R´ eszprobl´ ema

Tekints¨ unk egy T k = {x ∈ IRn : lk ≤ x ≤ uk } ⊆ T hipert´eglatestet ´es a hozz´a tartoz´o Dk = A ∩ T k ⊆ D halmazt, ahol l ≤ lk < uk ≤ u. Ekkor a min

x∈Dk

n X

fj (xj )

j=1

feladatot a (P k ) r´eszprobl´em´anak nevezz¨ uk.

3.2.2.

Korl´ atoz´ as

Az als´okorl´at meghat´aroz´asa a korl´atoz´as ´es sz´etv´alaszt´as m´odszer´enek (BB) az alapvet˝o l´ep´ese. Az als´okorl´at pontoss´aga nagyban meghat´arozza az algoritmus konvergenci´aj´anak a sebess´eg´et. Legyen (P k ) egy r´eszprobl´ema a hozz´atartoz´o T k hipert´eglatesttel, ´es legyen Dk = A ∩ T k 6= ∅

24

Korl´ atoz´ as ´es sz´etv´ alaszt´ as keretalgoritmus: a t´eglatest m´ odszer Bemen˝ o adatok: m, n ∈ IN A ∈ IRm×n , b ∈ IRm , l, u ∈ IRn ´es l ≤ u f : IRn → IR konk´ av f¨ uggv´eny k = 0, L = −∞, U = ∞ A = {x ∈ IRn : A x ≤ b} T 0 = {x ∈ IRn : l ≤ x ≤ u} D0 = A ∩ T 0 P 0 = (T 0 , D0 ) S = {P 0 } Kimen˝ o adatok: ¯ a (P ) feladat optim´ alis megold´ asa x a (P ) feladat optimum ´ert´eke U Begin while (S = 6 ∅) begin P k = V´ alaszt(S); ¯ , β k ) = Korl´ ¯ , U, f ); (U, x atoz´ as(P k , x j L = minP j ∈S β ; if U = L then ¯ optim´ x alis megold´ asa a (P ) feladatnak, STOP; S = Part´ıcion´ al´ as(A, T k , f k , β k , S); S = S \ {P k }; end End.

´ 3.1. ´abra. Altal´ anos algoritmus.

25 halmaz. Az fj konk´ av f¨ uggv´ enyek k¨ ozel´ıt´ ese a T k halmazon Tekints¨ uk az fj : IR → IR konk´av f¨ uggv´enyek line´aris relax´aci´oj´at az [ljk , ukj ] z´art intervallumon a k¨ovetkez˝o m´odon: Fjk (xj ) = ckj xj + dkj , ahol ckj

fj (ukj ) − fj (ljk ) = ukj − ljk

dkj

´es

=

fj (ljk )

fj (ukj ) − fj (ljk ) k − lj = fj (ljk ) − ckj ljk , ukj − ljk

azaz Fjk (xj ) = ckj xj + dkj = ckj xj + fj (ljk ) − ckj ljk . Az f (x) =

n P

fj (xj ) f¨ uggv´enyt az

j=1

k

F (x) =

n X

Fjk (xj )

=

n X

(ckj xj + fj (ljk ) − ckj ljk )

j=1

j=1

k T

k

= (c ) x + (f (l ) − (ck )T lk ) = (ck )T x + δ k alak´ u line´aris f¨ uggv´ennyel k¨ozel´ıtj¨ uk a Dk = A ∩ T k halmazon, ahol δ k = f (lk ) − (ck )T lk . Ekkor nyilv´an f (x) ≥ F k (x) = (ck )T x + δ k teljes¨ ul b´armely x ∈ Dk eset´en. Az als´ okorl´ at meghat´ aroz´ asa Az als´okorl´at kisz´am´ıt´as´ara a k¨ovetkez˝o line´aris programoz´asi feladatot haszn´aljuk: min (ck )T x + δ k

x∈Dk

k (PLP ).

26

Korl´ atoz´ as Bemen˝ o adatok: ¯ , U, f P k = (T k , Dk ), x Kimen˝ o adatok: ¯, βk U, x Begin sz´ am´ıtsuk ki az F k line´ aris f¨ uggv´enyt; k ) feladatot; oldjuk meg a (PLP if Dk = ∅ then begin β k = +∞; αk = +∞; end else begin k ) feladat optim´ legyen az ω k a (PLP alis megold´ asa; k k k β = F (ω ); αk = f (ω k ); end ¯ = ωk ; if αk < U then U = αk ; x End.

3.2. ´abra. A korl´atoz´asi elj´ar´as. k A (PLP ) feladat optim´alis megold´as´at jel¨olje ω k , ´es a hozz´atartoz´o c´elf¨ uggv´eny´ert´ek

legyen β k = F k (ω k ) = (ck )T ω k + δ k . Ekkor β k ≤ (ck )T x + δ k ≤ f (x) ≤ f (ω k ) + (∇f (ω k )T (x − ω k ) teljes¨ ul b´armely x ∈ Dk eset´en, teh´at als´okorl´atot adtunk a (P k ) r´eszprobl´ema optim´alis ´ert´ek´ere. M´ıg a m´asodik egyenl˝otlens´eg az f (x) f¨ uggv´eny konkavit´asa miatt igaz, hiszen az f¯(x) = f (ω k ) + (∇f (ω k ))T (x − ω k )

(3.2.1)

line´aris f¨ uggv´eny az f konk´av f¨ uggv´enynek az ω k ∈ Dk pontbeli ´erint˝oje. A korl´atoz´asi elj´ar´as a 3.2 ´abr´an l´athat´o.

27

3.2.3.

Sz´ etv´ alaszt´ as

A r´eszprobl´em´akat egy–egy T k hipert´eglatesttel defini´altuk. A sz´etv´alaszt´as valamely adott T k t´eglatest kett´e v´ag´as´at jelenti.1 Sz´ etv´ alaszt´ asi szab´ aly A konvergencia ´es a v´egess´eg szempontj´ab´ol kritikus dolog a i ∈ J v´ag´asi v´altoz´o index´enek ´es a p ∈ [lik , uki ] v´ag´asi pont meghat´aroz´asa.2 Egy t´ eglatest part´ıcion´ al´ asa Legyen T k = {x ∈ IRn : lk ≤ x ≤ uk } adott t´eglatest ´es legyen p ∈ IR, amelyre ljk ≤ p ≤ ukj teljes¨ ul, valamely j ∈ J indexre. K¨ovetkez˝okben az xj v´altoz´ot v´ag´asi v´altoz´onak nevezz¨ uk, m´ıg a p ´ert´eket v´ag´asi pontnak. A v´ag´as a T (k,j,1) = {x ∈ T k : ljk ≤ xj ≤ p} ´es T (k,j,2) = {x ∈ T k : p ≤ xj ≤ ukj }

(3.2.2)

halmazokat eredm´enyezi, ahol j a v´ag´asi v´altoz´o indexe, k az aktu´alis r´eszprobl´ema indexe ´es 1. a jobb oldali, m´ıg 2. a bal oldali t´eglatestre utal.3 A T (k,j,1) ´es T (k,j,2) hipert´eglatestek defin´ıci´oj´ab´ol vil´agos, hogy T k = T (k,j,1) ∪ T (k,j,2) , ´es a metszet¨ uk a k´et hipert´eglatest (n − 1)-dimenzi´os k¨oz¨os lapja lesz, azaz T (k,j,1) ∩ T (k,j,2) = {x ∈ T k : xj = p}, ´ıgy a T k hipert´eglatestnek egy felbont´as´at kaptuk. A part´ıcion´al´asi elj´ar´as a 3.3 ´abr´an l´athat´o. 1

Eset¨ unkben a BB elj´ ar´as f´aja, bin´aris fa lesz. Az ´altal´anos m´ odszert sokf´ele sz´etv´ alaszt´asi szab´ allyal m˝ uk¨odtethetj¨ uk, pl. az intervallumokat csak a c´elf¨ uggv´eny als´o k¨ozel´ıt´es´ere haszn´ aljuk, de a minimaliz´al´ast az eredeti megold´as halmazon v´egezz¨ uk. Ennek a v´altozatnak el˝onye az, hogy az LP megold´asa mindig eredeti cs´ ucspontban van. Ezzel szemben a h´atr´ anya az, hogy id˝onk´ent relax´alt LP feladat optim´alis megold´asa nem esik bele az intervallumba, ´ıgy kapott megold´as nem lesz als´okorl´at, hiszen a line´ aris k¨ozel´ıt˝o f¨ uggv´eny¨ unk csak az intervallumon bel¨ ul lesz kisebb, mint az eredeti c´elf¨ uggv´eny. 3 Ha nem okoz f´elre´ert´est, akkor egyszer˝ uen T 1 ´es T 2 t´eglatestekr˝ol besz´el¨ unk. 2

28

Part´ıcion´ al´ as Bemen˝ o adatok: A, T k , f k , β k , S Kimen˝ o adatok: S Begin if U > β k then begin az xj v´ ag´ asi v´ altoz´ o meghat´ aroz´ asa; a p v´ ag´ asi pont meghat´ aroz´ asa; T 1 ´es T 2 t´eglatest meghat´ aroz´ asa; 1 1 k 2 2 S = S ∪ {(T , D , β ), (T , D , β k )}; end End.

3.3. ´abra. A part´ıcion´al´asi elj´ar´as.

3.2.4.

A keretalgoritmus elemz´ ese

A keretalgoritmusnak eddig m´eg nem t´argyaltuk a V´alaszt nev˝ u elj´ar´as´at. A V´alaszt elj´ar´as azt a P k r´eszprobl´em´at v´alasztja ki, amelyre a β k = L teljes¨ ul. A Korl´atoz´as elj´ar´as sor´an a kiv´alasztott r´eszprobl´ema LP relax´altj´at oldjuk meg. Ennek az optimum´ert´ek´et jel¨oli β k . Meghat´arozzuk az optim´alis megold´as hely´en az eredeti c´elf¨ uggv´eny αk ´ert´ek´et, amely a (P ) feladat optimum´ert´ek´ere lesz fels˝okorl´at. V´eg¨ ul az aktu´alis L ´es U korl´atokat ¨osszehasonl´ıtjuk az αk ´es β k sz´amokkal ´es sz¨ uks´eg eset´en m´odos´ıtjuk azokat. Az algoritmus k¨ovetkez˝o l´ep´ese a glob´alis optimalit´as vizsg´alata. Ha az aktu´alis legjobb megold´as nem el´eg´ıti ki ezt a felt´etelt, akkor a vizsg´alt r´eszfeladatot part´ıcion´aljuk. A Part´ıcion´al´as elj´ar´asban el˝osz¨or a r´eszprobl´ema als´okorl´atj´at hasonl´ıtjuk ¨ossze a (P ) feladat aktu´alis fels˝okorl´atj´aval. Ha β k ≥ U akkor az adott r´eszprobl´em´at eldobjuk an´elk¨ ul, hogy part´ıcion´aln´ank, hiszen a r´eszprobl´ema az eddig megtal´alt legjobb megold´asn´al nem tartalmazhat jobb megold´asokat. A part´ıcion´al´askor nyert r´eszfeladatokat tov´abbi elemz´esnek vethetn´enk al´a. Ha a Dk = A ∩ T k = ∅, akkor ezt a r´eszfeladatot nem kellene hozz´aadni a

29 feladatok halmaz´ahoz. Ennek az eld¨ont´ese sajnos egy line´aris egyenl˝otlens´egrendszer megold´as´at jelenti, amely az LP relax´alt megold´as´aval egyen´ert´ek˝ u. M´asfel˝ol, ha a Dk nem tartalmazza a D egyetlen egy extrem´alis pontj´at sem, akkor sem kellene hozz´avenni a feladatok list´aj´ahoz. Sajnos ennek kider´ıt´ese sem egyszer˝ u, hiszen a D halmaz ¨osszes extrem´alis pontj´anak az ismeret´eb˝ol a (P ) feladat megold´asa egyszer˝ uen megkaphat´o lenne. Az elj´ar´as sor´an, ha a megengedett megold´as t´egla, akkor igaz a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´as: k ´ ıt´ All´ as 3.2.1 Ha (P k ) r´eszprobl´ema eset´en Dk = T k , akkor a (PLP ) feladat opti-

mum´ert´eke β k nem lehet kisebb az aktu´ alis legkisebb ´ert´ekn´el. Bizony´ıt´ as. Az eddig megtal´alt legkisebb c´elf¨ uggv´eny´ert´eket jel¨olje U . A felt´etel alapj´an Dk = A ∩ T k = T k . k A korl´atoz´as l´ep´esben a (PLP ) feladatot oldan´ank meg, azaz egy n-dimenzi´os hiper-

t´eglatest felett optimaliz´aln´ank az F k (x) line´aris f¨ uggv´enyt. Mivel az optimum´ert´ek valamely cs´ ucsban is felv´etetik, ez´ert van olyan optim´alis ω k megold´asa a feladatnak, amely eset´en ωik = lik

vagy

ωik = uki

teljes¨ ul. Tov´abb´a f (ω k ) =

n X

fj (ωjk ) =

n X

Fjk (ωjk ) = β k ≥ U

j=1

j=1

hiszen az intervallumok hat´arpontjaiban a f¨ uggv´eny´ert´ekek megegyeznek, azaz Fjk (lj ) = fj (lj )

´es

Fjk (uj ) = fj (uj ).

Az egyenl˝otlens´eg pedig az´ert teljes¨ ul, mert f (ω k ) ≥ U . Ilyen esetekben teh´at a r´eszprobl´ema nem ker¨ ul tov´abbi part´ıcion´al´asra.

2

30

3.3.

”Cs´ usztatott” part´ıcion´ al´ asi szab´ aly

A part´ıcion´al´asi strat´egia d¨ont˝oen befoly´asolja az algoritmus hat´ekonys´ag´at. Jelen fejezetben, egy a szakirodalomban ismert [89] v´ag´asi szab´alyt ismertet¨ unk, bemutatjuk ezen v´ag´asi strat´egia korl´atait, majd megadjuk a strat´egia egy olyan m´odos´ıt´as´at, amely PNS feladatok megold´asakor hat´ekonyabban m˝ uk¨odik.

3.3.1.

¯ -part´ıcion´ x al´ as

A Shectman ´es munkat´arsai [89] ´altal bevezetett part´ıcion´al´asi strat´egi´at vizsg´aljuk meg. Vezess¨ uk be a k¨ovetkez˝o f¨ uggv´enyt: Level(P k ) f¨ uggv´eny mutassa a BB fa azon szintj´et, mely a (P k ) r´eszprobl´em´ahoz tartozik, ´es legyen N egy pozit´ıv eg´esz sz´am. if ( Level(P k ) mod N = 0 ) then j = argmaxi∈{1...n} (uki − lik ) p = (ukj + ljk )/2.0 else  j = argmaxi∈{1...n} fi (ωik ) − Fik (ωik )

¯ ∈ Dk ∧ x¯j ∈]ljk , ukj [ ) then if ( x p = x¯j else p = (ukj + ljk )/2.0 endif endif

Minden N -ik szinten l´ev˝o r´eszprobl´ema v´ag´asakor a leghosszabb ´el ment´en v´agjuk k´et egybev´ag´o r´eszbe a t´eglatestet, ´ıgy a t´eglatestek oldalainak hossza z´erushoz tart. M´as esetekben a v´ag´asi v´altoz´o legyen azon v´altoz´o, ahol relax´aci´os t´avols´ag az LP aktu´alis megold´asn´al (fj (ωjk ) − Fjk (ωjk )) maxim´alis. Ha az eddigi legjobb megold´ast tartalmazza az aktu´alis intervallum, ´es a v´ag´asra kijel¨olt ir´anyban pedig bels˝o ¯ . Ha ez pontk´ent tartalmazza, akkor v´ag´asi pont legyen az eddigi legjobb megold´as x nem teljes¨ ul, felezz¨ uk az intervallumot a kor´abban kijel¨olt v´altoz´o szerint.

31

3.3.2.

¯ konvergencia, v´ x egess´ eg

Tekints¨ uk a BB algoritmus ´altal gener´alt BB f´at. Tegy¨ uk fel, hogy az algoritmus v´egtelen, teh´at l´etezik egy v´egtelen T q sorozat, amelyre T q+1 ⊂ T q , azaz a BB f´aban l´etezik egy a gy¨ok´erb˝ol kiindul´o v´egtelen u ´t. A v´ag´asi strat´egi´ab´ol k¨onnyen levezethet˝o a k¨ovetkez˝o ¨osszef¨ ugg´es [89]: Lemma 3.3.1 limq→∞ (uqj − ljq ) = 0, ∀j ∈ {1, . . . , n}, azaz q → ∞ eset´en a P q r´eszprobl´em´ at defini´al´ o hipert´eglatest oldalainak hossza tart a z´erushoz. Aminek a fontos k¨ovetkezm´enye a 3.3.2 lemma. Lemma 3.3.2 limq→∞ (f (ω q ) − F q (ω q )) = 0, azaz q → ∞ eset´en a P q r´eszprobl´ema als´o korl´atja (F q (ω q )) tart a r´eszprobl´ema fels˝ o korl´atj´ ahoz (f (ω q )). A 3.3.2 lemma biztos´ıtja az algoritmus konvergenci´aj´at, a 3.3.1 lemma seg´ıts´eg´evel viszont meg lehet mutatni, hogy az algoritmus v´eges id˝oben azonos´ıtja a glob´alis optimumhelyet [89]. A optim´alis megold´as megtal´al´asa ut´an a program a tov´abbi part´ıcion´al´asokat m´ar mindig az optim´alis megold´as ment´en v´egzi. Egy v´altoz´on egy adott r´eszprobl´em´aban csak egyszer kell v´ag´ast v´egrehajtani, mert az olyan v´altoz´okon, amelyeken m´ar t¨ort´ent v´ag´as a megold´asban a line´aris k¨ozel´ıt´es elt´er´ese z´er´o lesz, hiszen a v´ag´as ut´an a pont az intervallum sz´el´ere ker¨ ul. ´Igy v´eges l´ep´esben a relax´aci´os t´avols´ag z´eruss´a v´altozik, azaz a kor´abban megtal´alt megold´as optimalit´asa bizony´ıtott´a v´alik.

3.3.3.

A m´ odszer viselked´ ese

Gyakorlati tapasztalatok azt mutatj´ak, hogy a (P ) feladat megold´asa sor´an az optimumhelyet a BB algorimtus el´eg kor´an azonos´ıtja. A sz´am´ıt´as nagy r´esze arra ford´ıt´odik, hogy a nyitott r´eszprobl´em´akr´ol bel´assuk, hogy azok nem tartalmaznak optim´alis megold´ast, azaz ezen r´eszprobl´em´akat als´okorl´at alapj´an el kell tudni vetni. A hangs´ ulyt teh´at ´erdemes arra fektetni, hogy olyan v´ag´asi strat´egi´at dolgozzunk ki, amely az optimumot nem tartalmaz´o r´eszprobl´em´akat hat´ekonyan tudja kezelni.

32 Az optim´alis megold´asn´al t¨ort´en˝o part´ıcion´al´askor az optimumhelyet mindk´et keletkez˝o r´eszprobl´ema tartalmazni fogja. Ez´ert a x¯-part´ıcion´al´asi strat´egia nagy feladatok megold´asa eset´eben nagy sz´am´ıt´asi ´es mem´oria kapacit´ast ig´enyel, amely nagyon megnehez´ıti ezen feladatok megold´as´at. Miut´an a m´odszer megtal´alta az optim´alis megold´ast, kett´ev´agja az aktu´alis r´eszprobl´em´at az optim´alis megold´asn´al, majd ezen r´eszprobl´em´akat is kett´ev´agja ´es ezt folyatja addig, am´ıg valamelyik szab´aly alapj´an el nem veti ezen r´eszprobl´em´akat. Als´o korl´at alapj´an az ilyen r´eszprobl´em´akat nem lehet t¨or¨olni, hiszen azok tartalmazz´ak az optim´alis megold´ast. Az optim´alis megold´ast tartalmaz´o r´eszprobl´em´ak elvet´ese csak akkor t¨ort´enhet, ha a c´elf¨ uggv´eny als´o k¨ozel´ıt´ese a megold´asban pontoss´a v´alik. Egy´eb gyors´ıt´asi m´odszerekkel sem ´erhet¨ unk el javul´ast, hiszen az optim´alis megold´as garant´al´asa ´erdek´eben alapk¨ovetelm´eny, hogy az optim´alis megold´ast tartalmaz´o r´eszprobl´ema nem t¨or¨olhet˝o. Teh´at a m´odszer fel´ep´ıt egy teljes bin´aris f´at. A fa m´elys´ege f¨ ugg az optim´alis megold´asban szerepl˝o eredetileg nem korl´aton l´ev˝o nemline´aris v´altoz´ok sz´am´at´ol. Ha k db nem korl´aton l´ev˝o nemline´aris v´altoz´ot tartalmaz az optim´alis megold´as, a hozz´atartoz´o bin´aris fa k m´elys´eg˝ u, azaz a 2k+1 − 1 db cs´ ucspont van benne, ami a megoldott LP-k sz´am´at is jelzi. A nyitott r´eszprobl´em´ak maxim´alis sz´am´ara is lehet becsl´est adni, ami a k m´elys´egben l´ev˝o cs´ ucsok sz´ama, azaz 2k . N´ezz¨ unk erre egy p´eld´at: egy gyakorlati feladat nemline´aris v´altoz´oinak sz´ama el´erheti a t¨obb sz´azat is. Tegy¨ uk fel, hogy az az optimumban mondjuk csak 50 nem korl´aton l´ev˝o v´altoz´o van, ami 251 − 1 ≈ 2 × 1015 db LP megold´as´at teszi sz¨ uks´egess´e. A r´eszprobl´em´ak sz´ama 250 ≈ 1015 (≡ milli´o × milli´ard), ha 1 r´eszprobl´ema t´arol´as´ahoz kb 1 kbyte t´ar sz¨ uks´eges, akkor egymilli´ard gigabyte mem´ori´ara lenne sz¨ uks´eg¨ unk. Az aktu´alis LP megold´as ment´en t¨ort´en˝o v´ag´as (ω v´ag´as [29]) eset´eben is hasonl´o viselked´es˝ u lesz a m´odszer, mert a glob´alis optimumhely meghat´aroz´asa ut´an a szaporod´o r´eszprobl´em´ak relax´alt megold´asa is a glob´alis optimumhely lesz.

3.3.4.

”Cs´ usztatott” v´ ag´ asi m´ odszer

Az el˝oz˝o m´odszer f˝o gyenges´eg´et pr´ob´aljuk elker¨ ulni a pozit´ıv tulajdons´agok megtart´as´aval. A relax´aci´os t´avols´agot pr´ob´aljuk cs¨okkenteni u ´gy, hogy a r´eszprobl´em´ak

33 sz´am´at is tudjuk k¨ozben kezelni. C´elunk az, hogy feleslegesen ne n¨ovelj¨ uk meg az optimumhelyet tartalmaz´o r´eszprobl´em´akat. Legyen a v´ag´asi strat´egia a k¨ovetkez˝o: if ( Level(P k ) mod N = 0 ) then j = argmaxi∈{1,...,n} (uki − lik ) p = (ukj + ljk )/2.0 else  j = argmaxi∈{1...n} fi (ωik ) − Fik (ωik )

¯ ∈ Dk ∧ x¯j ∈]ljk + ε, ukj [ ) then if ( x p = x¯j − ε else p = (ukj + ljk )/2.0 endif endif

fj Fj k

e k

lj

p

x-j

ujk

xj

3.4. ´abra. ε-v´ag´as. Az alap¨otlet az, hogy az optim´alis megold´as mindig csak az egyik r´eszintervallumban lesz benne, ´ıgy als´okorl´at alapj´an a m´asik eldobhat´o. Hasonl´o m´odszerrel tal´alkozhatunk az intervallum aritmetik´an alapul´o optimaliz´al´asi elj´ar´asokban az u ´gynevezett ”clustering” probl´ema megold´as´ara. A lapos helyi minimumok k¨orny´ek´en a meg´all´asi krit´erium ut´an ”f¨ urt¨okben” l´ognak az olyan r´eszintervallumok, amelyek potenci´alisan tartalmazhatj´ak a megold´ast. A javasolt m´odszer az volt, hogy a feladat megold´as´at t¨obb kezd˝ointervallummal kell megtenni,

34 ´ıgy egy j´ol meghat´arozott ε ´ert´ekkel megv´altoztatott korl´atok miatt sokkal kevesebb r´eszintervallum fogja csak tartalmazni a helyi minimumokat [56], [57]. V´ ag´ asi pont: (¯ xj − ε) Tekints¨ uk a 3.4 ´abr´at. Elemezz¨ uk, hogy mi t¨ort´enik az egyes r´eszprobl´em´akkal a part´ıcion´al´as ut´an. Az [ljk , x¯j − ε] eset´en az optimum m´ar nem r´esze a halmaznak (¯ xj ∈ / [ljk , x¯j − ε]). Azaz xj v´altoz´ohoz tartoz´o m˝ uveleti egys´eg m˝ uk¨od´ese fel¨ ulr˝ol korl´atoz´odott u ´gy, hogy m´ar nem k´epes kiel´eg´ıteni az ig´enyeket. A hi´anyz´o ig´enyeket vagy egy m´asik m˝ uveleti egys´eg p´otolhatja vagy egy teljesen m´as strukt´ ura lesz az optim´alis. Ezek m´ar szignifik´ans v´altoz´asok lesznek az optim´alis megold´ashoz k´epest, ´es nagy val´osz´ın˝ us´eggel az als´okorl´at alapj´an t¨orl˝odik. L´athatjuk, hogy itt fontos szerepet kap az a t´eny, hogy a felt´etelrendszer egy PNS feladatot reprezent´al. Az ε meghat´ aroz´ asa Legyen ε > 0 (∈ IR) olyan elegend˝oen nagy mennyis´eg, mely szerint a bal oldali intervallumhoz ([ljk , x¯j − ε]) tartoz´o r´eszprobl´ema megold´ashalmaz´aban nincs benne az optim´alis megold´as. Elm´eletileg term´eszetesen nincs benne, de az LP megold´o gyakorlatban valamekkora toleranci´aval dolgozik, enn´el a toleranci´an´al kell nagyobbnak lennie az ε-nak. ε v´ag´as eset´eben a v´ag´asi pont meghat´aroz´asa az x¯j ∈]ljk + ε, ukj [ felt´etel figyelembev´etel´evel t¨ort´enik. A x¯j ∈ [ljk , ljk + ε] esetben u ´gy tekintj¨ uk, hogy a v´altoz´o hat´aron van, ´es rajta v´ag´ast nem hajtunk v´egre. Ha az ¨osszes nem korl´aton l´ev˝o v´altoz´o az [lik , lik + ε] intervallumban van, akkor a r´eszfeladatot megoldottnak tekintj¨ uk ´es elvetj¨ uk. Teh´at egy ε ´elhossz´ us´ag´ u hiperkock´at hanyagoltunk” el. A ” line´aris felt´etelrendszer ´altal meghat´arozott poli´ederhez becs¨ ulhet˝o a cs´ ucsai k¨ozti legkisebb t´avols´ag. Ha az ε ´ert´ek kisebb enn´el a t´avols´agn´al, akkor a figyelmen k´ıv¨ ul hagyott r´eszben nem lehet m´as cs´ ucs. Mivel kor´abban bel´attuk, hogy az optim´alis megold´as a konvex poli´eder egy cs´ ucs´aban helyezkedik el, ´ıgy az ε ´elhossz´ us´ag´ u hiperkocka elhanyagolhat´o.

35

3.3.5.

Konvergencia, v´ egess´ eg

A konvergencia (l´asd 3.3.2 lemma) fenn´all itt is, mivel a 3.3.1 lemma az u ´j v´ag´asi strat´egi´aval is teljes¨ ul. Az eredeti m´odszer v´egess´ege abb´ol ad´odik, hogy a glob´alis optimumot v´eges id˝oben azonos´ıtja ´es az optimumhelyet tartalmaz´o r´eszprobl´em´akat az optimumn´al v´agja kett´e. Az optimumn´al t¨ort´en˝o v´ag´as v´eges l´ep´esben a relax´aci´os t´avols´agot z´eruss´a cs¨okkenti. Az optimumot nem tartalmaz´o r´eszprobl´em´ak lok´alis optimuma a glob´alis optimumt´ol v´eges t´avols´agra van. A konvergencia (3.3.2 lemma) eredm´enyek´ent v´eges l´ep´es alatt az ilyen t´ıpus´ u r´eszprobl´em´ak als´o korl´atjai az optimumn´al nagyobb´a v´alnak, ´es ´ıgy ezen r´eszprobl´em´ak v´eges l´ep´es alatt t¨orl˝odnek.

3.3.6.

Az eredm´ eny r¨ ovid ¨ osszefoglal´ asa

A 3.3 fejezet az 1a t´ezispontban megfogalmazott eredm´enyeket tartalmazza. A szakirodalomb´ol ismert ´es sz´elesk¨or˝ uen alkalmazott (Shectman ´es munkat´arsai [89]) part´ıcion´al´asi strat´egi´at megvizsg´alva bemutattam a part´ıcion´al´asi strat´egia egyik kedvez˝otlen tulajdons´ag´at: a m´odszer feleslegesen sok olyan r´eszprobl´em´at gener´al, ami tartalmazza az optim´alis megold´ast. Az, hogy az optim´alis megold´as sok akt´ıv r´eszprobl´em´aban szerepel, nagyban megnehez´ıti a megtal´alt megold´as optimalit´as´anak bizony´ıt´as´at. A bizony´ıt´as ´ıgy teljes bin´aris fa bej´ar´as´at teszi sz¨ uks´egess´e, amelynek a m´elys´ege megegyezik az optim´alis h´al´ozatban l´ev˝o cs´ ucsok sz´am´aval. Ennek a kedvez˝otlen tulajdons´agnak a kik¨ usz¨ob¨ol´es´ere dolgoztam ki az u ´gynevezett ”cs´ usztatott” sz´etv´alaszt´asi strat´egi´at, amelyben az optim´alis megold´ast tartalmaz´o r´eszprobl´em´akat nem sokszorozzuk meg. A PNS feladatok megold´as´ara ez k¨ ul¨on¨osen j´ol haszn´alhat´o. A m´odszer helyess´eg´et bizony´ıtottam.

3.4.

Maxim´ alis r´ es part´ıcion´ al´ as

Egy BB algoritmus hat´ekonys´ag´at nagyban befoly´asolja az als´okorl´at ´eless´ege. Fejezet¨ unkben bevezetj¨ uk a maxim´alis r´es part´ıcion´al´ast (l´asd 3.5 ´abra), amely ´altal meghat´arozott v´ag´asi pont minimaliz´alja a konk´av f¨ uggv´eny ´es a line´aris k¨ozel´ıt´es

36

3.5. ´abra. Maxim´alis r´es part´ıcion´al´as. integr´alk¨ ul¨onbs´eg´et. Az integr´alk¨ ul¨onbs´eg minimaliz´al´asa garant´alja az als´okorl´at ´eless´eg´et ´es a konvergenci´at is.

3.4.1.

V´ ag´ asi strat´ egia

Legyen P k a kiv´alasztott r´eszprobl´ema. A v´ag´asi v´altoz´o kiv´alaszt´asa legyen a k¨ovetkez˝o:  j = argmax fi (ωik ) − Fik (ωik ) .

(3.4.1)

 p = argsup fj (t) − Fjk (t) .

(3.4.2)

i=1,...,n

Legyen tov´abb´a p az a v´ag´asi pont, amelyre

t∈[ljk ,ukj ]

3.4.2.

Konvergencia

Tekints¨ uk a BB algoritmus ´altal gener´alt BB f´at. Tegy¨ uk fel, hogy az algoritmus v´egtelen, teh´at l´etezik egy v´egtelen T q sorozat, melyre T q+1 ⊂ T q , azaz a BB f´aban l´etezik egy, a gy¨ok´erb˝ol kiindul´o v´egtelen u ´t. Felt´etelezz¨ uk, hogy f az intervallum minden bels˝o pontj´aban deriv´alhat´o, ´es a v´egpontokban l´etezik a bal illetve a jobboldali deriv´alt. Lemma 3.4.1 Legyen P k egy r´eszprobl´ema, haszn´ aljuk a (3.4.1) ´es (3.4.2) part´ıcion´al´ asi szab´alyokat, ´es legyen P k1 ´es P k2 az ezut´an kapott r´eszprobl´em´ ak. Ekkor

37

(a) folytonos eset

(b) nemfolytonos eset

3.6. ´abra. Az integr´alk¨ ul¨onbs´eg folytonos ´es nemfolytonos esetekre. teljes¨ ulnek a k¨ovetkez˝ok: Zp

fj −

1 < 2

Fjk1

ljk

fj − Fjk ,

ljk

k

k

Zuj

Zp

fj − Fjk2 <

1 2

Zuj

fj − Fjk .

p

p

Bizony´ıt´ as. Tekints¨ uk a 3.6a ´abr´at. Legyen T1 , T2 a megfelel˝o paralelogramm´ak ter¨ ulete, akkor a k¨ovetkez˝ok igazak: Zp

k

Zuj

fj − Fjk < T1 ,

fj − Fjk < T2 .

p

ljk

Az egyenl˝otlens´egekb˝ol k¨ovetkezik, hogy Zp

fj − Fjk1 =

Zp

1 fj − Fjk − T1 < 2

1 fj − Fjk − 2

Zp

1 fj − Fjk = 2

ljk

ljk

ljk

ljk

Zp

Zp

fj − Fjk ,

ljk

´es hasonl´oan, k

k

Zuj p

fj − Fjk2 =

Zuj p

k

1 fj − Fjk − T2 < 2

Zuj p

k

fj − Fjk −

1 2

Zuj p

k

fj − Fjk =

1 2

Zuj p

fj − Fjk .

38 A nemfolytonos eset hasonl´oan k¨ovetkezik, l´asd a 3.6b ´abr´at.

2

T´ etel 3.4.2 limq→∞ f (ω q ) − β q = 0, azaz q → ∞ eset´en a P q r´eszprobl´ema als´o korl´atja (β q ) tart a r´eszprobl´ema fels˝ o korl´atj´ ahoz (f (ω q )). Bizony´ıt´ as. K´et f˝o esetet vizsg´alunk, amikor f folytonos T q felett, ´es amikor nem. 1. f folytonos T q felett Tegy¨ uk fel, hogy l´etezik az indexeknek egy olyan N1 ⊆ {1, . . . , n} r´eszhalmaza, hogy ∀q > K eset´en nem t¨ort´enik v´ag´as az N1 indexhalmazba tartoz´o v´altoz´okon. Tov´abb´a feltehetj¨ uk azt is, hogy N1 a legb˝ovebb ilyen tulajdons´ag´ u indexhalmaz. Ez´ert ∃ ε1 > 0, hogy ∀q > K eset´en ∀j ∈ N1 ,

fj (ωjq ) − Fjq (ωjq ) ≥ ε1 > 0.

Az {1, . . . , n} \ N1 -n viszont lesz v´ag´as, teh´at a kor´abbi ´all´ıt´asunk szerint q

Zuj

∀j ∈ {1, . . . , n} \ N1 -re,

fj − Fjq → 0, ahogy q → ∞.

ljq

Mivel f folytonos T q -n, ´ıgy ∀j ∈ {1, . . . , n} \ N1 -re Fjq → fj pontonk´ent. Ez´ert ∃ K1 > K, hogy q > K1 eset´en ∀j ∈ {1, . . . , n} \ N1 , t ∈ [ljq , uqj ],

fj (t) − Fjq (t) < ε1 .

Vagyis az algoritmus az N1 halmazb´ol fog v´alasztani v´ag´asi v´altoz´ot, de ez ellentmond annak, hogy N1 -ben q > K-re nem t¨ort´enik v´ag´as. ´Igy k¨ovetkezik, hogy az N1 halmaz u ¨res. Azaz q

∀j ∈ {1, . . . , n}-re,

Zuj

fj − Fjq → 0, ahogy q → ∞.

ljq

´Igy ∀j ∈ {1, . . . , n}-re F q → fj teljes¨ ul pontonk´ent. A folytonos esetre az ´all´ıt´ast j bel´attuk.

39

3.7. ´abra. Part´ıcion´al´as az lj0 -t´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o helyen. 2. f nem folytonos T q felett Ha az f nem folytonos T q -n, akkor a konkavit´as miatt csak a hat´aron lehet a szakad´asi pontja. Legyen D ⊆ {1, . . . , n} a nem folytonos v´altoz´ok indexhalmaza. Az ´altal´anoss´ag elveszt´ese n´elk¨ ul feltehetj¨ uk, hogy fj nem folytonos lj0 -ban. Vizsg´aljuk ilyen esetben a v´ag´asok sorozat´at. K¨ ul¨onb¨oztess¨ uk meg azt az esetet, mikor a v´ag´as lj0 -ban t¨ort´enik ´es azt amikor nem. Amikor v´ag´as lj0 -ban t¨ort´ent. Ekkor k´et intervallumot kaptunk: Az egyik intervallum, ([lj0 , lj0 ]) egy pontb´ol ´all, ´ıgy az a f¨ uggv´eny trivi´alisan folytonos. A m´asik intervallumon ([lj0 , uqj ]) pedig a f¨ uggv´enynek megsz¨ untetj¨ uk a szakad´as´at azzal, hogy a fj+

=

 fj (xj ), lim

t→lj0 +

xj ∈ (lj0 , uqj ] fj (t) xj = lj0

f¨ uggv´enyt defini´aljuk, ´es ´ıgy az fj+ folytonos lesz [lj0 , uqj ]-n. Az fj+ k¨ ul¨onb¨ozik az fj -t˝ol az lj0 (= ljq ) pontban, de a minimaliz´al´as miatt ez nem okoz v´altoz´ast az optimumban. ´Igy ez az eset is visszavezethet˝o a folytonos esetre. Tegy¨ uk fel, hogy sosem v´agunk az lj0 pontban. A 3.7 ´abr´an l´athat´o, hogy a v´ag´as ut´an k´et u ´j intervallumot kapunk, az egyiken [p, uqj ]-n az fj folytonos lesz – s ´ıgy ezzel k´esz vagyunk – ´es a m´asik intervallumon

40

3.8. ´abra. Az f + f¨ uggv´eny relax´aci´oja az [lj0 , uqj ] intervallumon. az fj -nek szakad´asa van. El˝osz¨or megmutatjuk, hogy ez ut´obbi intervallumok hossza tart a null´ahoz, azaz, uqj → lj0 mialatt q → ∞. Indirekten bizony´ıtunk. Mivel mindig bels˝o pontban v´agunk, ´ıgy az uqj szigor´ uan monoton m´odon cs¨okken, teh´at ezek sorozata konvergens. Tegy¨ uk fel, hogy limk→∞ uqj = u+ (6= lj0 ). Legyen F + a relax´aci´oja az fj+ -nak az [lj0 , uqj ] intervallumon (l´asd 3.8 ´abra). ul kiv´eve az uqj pontot, ahol ezek egyenl˝ok. A k¨ovetkez˝o felt´etel Az F + > Fjq teljes¨ ´all:

q

Zuj

lj0

q

F+ >

Zuj

Fjq ,

lj0

amib˝ol q

Zuj

q

fjq − Fjq =

lj0

Zuj

q

fj+ − Fjq ≥

lj0

Zuj

lj0

F + − Fjq >


u+ − lj0 + 0 fj (lj ) − fj (lj0 ) > 0 2

(3.4.3)

k¨ovetkezik. Mivel (3.4.3) minden q-ra igaz, ez´ert ez ellentmond annak az ´all´ıt´asunknak, hogy az integr´alk¨ ul¨onbs´eg tart a null´ahoz. El˝oz˝oekben bel´attuk azt, hogy az intervallum hossza tart a null´ahoz, vizsg´aljuk meg hogyan viselkedik ekkor a line´aris k¨ozel´ıt´es¨ unk. Legyen γj = fj+ (lj0 ) − fj (lj0 ). Mivel fj+ folytonos [ljq , uqj ]-n, ez´ert ∀ε > 0, ∃ δ, hogy uq − lq < δ-ra a f + (uq ) − f + (lj0 ) < ε teljes¨ ul. ´Igy ∀S ∈]0, γj [-re ∃ K1 , hogy ∀q > K1 j

j

j

j

j

eset´en

+ q f (u ) − f + (lj0 ) < γj − S. j j j

41 Azaz, S − γj < fj+ (uqj ) − fj+ (lj0 ) < γj − S.

(3.4.4)

A (3.4.4) egyenl˝otlens´egb˝ol, fj+ (uqj ) > S + fj+ (lj0 ) − γj = S + fj (ljq ).

(3.4.5)

Mivel fj (uqj ) = fj+ (uqj ), ´ıgy ad´odik az fj (uqj ) − fj+ (ljq ) > S ¨osszef¨ ugg´es. Mivel uqj → lj0 , ´ıgy ∀S ∈]0, γj [-re, ∀M > 0-ra, ∃ K2 , hogy ∀q > K2 , eset´en uqj −ljq <

S . M

Teh´at, ha q > max(K1 , K2 ), akkor fj (uqj ) − fj (ljq ) > M. uqj − ljq

(3.4.6)

teljes¨ ul. ´ ıtjuk a k¨ovetkez˝ot: ∃ q hogy az algoritmus lj0 -ban fog v´agni. All´  Azaz maxt∈[lj0 ,uqj ] fj (t) − Fjq (t) az lj0 pontban veszi fel az ´ert´eket. Legyen G =

fj+ (lj0 ) − Fjq ´es A = supt∈(lj0 ,uqj ] f ′ (t). ∃ q melyre Cxj + Bj , ∆ > 0 ´es ∆ ≤ uqj − lj0 .

fj (uqj )−fj (lj0 ) uqj −lj0

> A. Legyen Fjq (xj ) =

fj (lj0 + ∆) − Fjq (lj0 + ∆) < fj (lj0 ) + A∆ − Cj ∆ − Cj lj0 − Bj = fj (lj0 ) − Fjq (lj0 ) + (A − C)∆ < G. Hiszen kor´abban l´attuk a (3.4.6) egyenletben, hogy a C tetsz˝olegesen nagy lehet. Ezzel t´etel¨ unket bel´attuk.

2

T´ etel 3.4.3 ∀q-ra T q tartalmazza a glob´alis optimumhelyet. Bizony´ıt´ as.

¯ ∈ Ha a glob´alis minimum x / Dq = A ∩ T q , akkor f (ω q ) > f (¯ x), ´ıgy

∃ q, hogy F q (ω q ) el´eg k¨ozel van f (ω q )-hoz, azaz F q (ω q ) > f (¯ x), ´es ´ıgy nagyobb, mint b´armelyik legkisebb L als´o korl´at. Ez ellentmond annak a felt´etelnek, hogy mindig a legkisebb als´o korl´attal rendelkez˝o r´eszprobl´em´at v´alasztjuk.

2

42 A m´odszer v´egess´ege itt nem garant´alt, viszont hivatkozva a [89]-ban v´azolt part´ıcion´al´asi szab´alyra, ezen v´ag´asi strat´egia is kib˝ov´ıthet˝o u ´gy, hogy a v´egess´eg garant´alhat´o legyen.

3.4.3.

Az eredm´ eny r¨ ovid ¨ osszefoglal´ asa

A 3.4 fejezet az 1b t´ezispontban megfogalmazott eredm´enyeket tartalmazza. Kidolgoztam egy u ´j sz´etv´alaszt´asi strat´egi´at, amely a c´elf¨ uggv´eny ´es a relax´aci´os f¨ uggv´eny integr´alk¨ ul¨onbs´eg´et minimaliz´alja, ez´altal a relax´aci´o ´eless´eg´et maxim´alisra n¨oveli. Bizony´ıtottam a m´odszer helyess´eg´et.

3.5.

Egy el´ egs´ eges optimalit´ asi krit´ erium szepar´ abilis konk´ av minimaliz´ al´ asi feladatra

Az eddigi sz´etv´alaszt´asi elj´ar´asok a lehets´eges megold´asok halmaz´anak part´ıcion´al´asakor a c´elf¨ uggv´eny ´es annak line´aris relax´aci´oja alapj´an hat´arozt´ak meg a megfelel˝o v´ag´asi pontot. A relax´alt line´aris programoz´asi feladat vizsg´alat´aval egy olyan strat´egia lett kidolgozva, amely a part´ıcion´al´askor a konvex poli´eder ´es a c´elf¨ uggv´eny viszony´at figyelembe v´eve v´egzi a tov´abbi part´ıcion´al´ast.

A megfogalmazott al-

goritmus helyess´eg´et igazoljuk. Az elemz´esekhez sz¨ uks´eg¨ unk lesz az LP feladatok vizsg´alata sor´an haszn´alatos n´eh´any jel¨ol´esre.

3.5.1.

A relax´ alt line´ aris programoz´ asi feladat

A (P ) feladat megold´asa sor´an a korl´atoz´o l´ep´es egy relax´alt line´aris programoz´asi feladat megold´asa. A relax´alt line´aris programoz´asi feladat megold´as´aval ´es a megold´asnak az eredeti (P ) feladat szempontj´ab´ol t¨ort´en˝o ´erz´ekenys´eg vizsg´alat´aval meg tudjuk adni a (P ) feladat egy el´egs´eges optimalit´asi krit´erium´at. Eg´esz pontosan azt tudjuk eld¨onteni, hogy a relax´alt line´aris programoz´asi feladat optim´alis b´azismegold´asa egyben optim´alis megold´asa-e a line´aris felt´eteles szepar´abilis konk´av minimaliz´al´asi feladatnak is vagy sem.

43 A tov´abbiakban sz¨ uks´eg¨ unk lesz az egyv´altoz´os konk´av f¨ uggv´enyek tulajdons´aga´ [18], 228. oldal). ir´ol sz´ol´o j´ol ismert ´all´ıt´asra (megtal´alhat´o pl. Cs´asz´ar A., ´ ıt´ All´ as 3.5.1 Legyen f egyv´altoz´os f¨ uggv´eny, I ⊂ Df intervallum. A k¨ovetkez˝o all´ıt´ ´ asok egyen´ert´ek˝ uek: (a) f konk´ av az I intervallumban; (b) az x, y ∈ I, x 6= y eset´ere bevezetett m(x, y) =

f (y) − f (x) y−x

jel¨ol´essel, az a, b, c ∈ I, a < b < c eset´en m(a, b) ≥ m(a, c) ≥ m(b, c); (c) b´armely t ∈ I eset´en mt (x) = m(t, x) f¨ uggv´eny fogy´o az I \ {t} halmazon; (a) az a, b, c ∈ I, a < b < c eset´en m(a, b) ≥ m(b, c). 2 A konk´av f¨ uggv´enyek felsorolt tulajdons´againak a fontos k¨ovetkezm´enye az al´abbi ´ [18], 232. oldal). ´all´ıt´as (megtal´alhat´o pl. Cs´asz´ar A., ´ ıt´ All´ as 3.5.2 Legyen f egyv´altoz´os konk´ av f¨ uggv´eny az I ⊂ Df ny´ılt intervallumban, ekkor: (a) az f folytonos az I intervallumban; (b) az f b´armely t ∈ I helyen jobbr´ol ´es balr´ol differenci´ alhat´ o ´es f−′ (t) ≥ f+′ (t);

44 (c) ha az a, b ∈ I, a < b akkor f+′ (a) ≥ m(a, b) ≥ f−′ (b), s˝ ot, ha az f szigor´ uan konk´ av az I intervallumban, akkor f+′ (a) > m(a, b) > f−′ (b). 2

3.5.2.

A relax´ alt line´ aris programoz´ asi feladat optimalit´ asi krit´ eriuma

Tekintettel arra, hogy a (P ) feladat k¨ozel´ıt´es´et le´ır´o line´aris programoz´asi feladat c´elf¨ uggv´eny´eben szerepl˝o konstans tag nem befoly´asolja azt, hogy az optimum hol v´etetik fel, ez´ert a konstans tagot elhagyjuk a c´elf¨ uggv´enyb˝ol ´es a (PLP ) feladatot r´eszletesen a k¨ovetkez˝o alakban ´ırhatjuk ki:  min cT x    Ax ≤ b

(PLP ).

  l ≤ x ≤ u

A (PLP ) feladat megengedett megold´asainak a halmaza megegyezik a (P ) feladat´eval. A (PLP ) feladat optim´alis megold´asainak a halmaz´at jel¨olje Dc∗ = {x∗ ∈ D : cT x∗ ≤ cT x, x ∈ D}. Az elemz´eshez sz¨ uks´eg¨ unk lesz a line´aris programoz´asi feladatok vizsg´alata sor´an haszn´alatos n´eh´any jel¨ol´esre. Ezeket vezetj¨ uk most be. Jel¨olje J a (PLP ) feladathoz tartoz´o v´altoz´ok ´es ”slack” v´altoz´ok indexhalmaz´at, legyen JB ⊂ J az optim´alis b´azis v´altoz´oinak az indexhalmaza ´es JN a b´azison k´ıv¨ uli v´altoz´ok indexei. Ekkor az {aj : j ∈ JB } vektorok line´arisan f¨ uggetlenek. Nyilv´an J = JB ∪ JN . Jel¨olje JNl ⊂ JN (JNu ⊂ JN ) azon nem b´azisban l´ev˝o v´altoz´ok indexhalmaz´at, amelyek als´o (fels˝o) kort´aton vannak. Term´eszetesen JNl ∪JNu = JN (´es JB ∩JN = ∅).

45 Legyen A¯ = [B −1 A], ´es jel¨olje a cB vektor, a c vektornak a JB indexeire t¨ort´en˝o megszor´ıt´as´at. ¯ ∈ D vektor eset´en, ha x ¯ b´azis megold´asa a (PLP ) feladatnak, akkor Valamely x li ≤ x¯i ≤ ui

b´armely i ∈ JB ,

x¯i = li

b´armely i ∈ JNl ,

x¯i = ui

b´armely i ∈ JNu .

Ennek k¨ovetkezt´eben, ha ismert a J indexhalmaz (JB , JNl , JNu ) part´ıci´oja, akkor a b´azis v´altoz´ok ´ert´ekeit az ¯ B = B −1 b − x

X

¯j − lj a

l j∈JN

X

¯j uj a

u j∈JN

¯j vektor az A¯ m´atrix j. oszlopvektora. k´eplettel sz´am´ıthatjuk ki, ahol az a A (PLP ) feladat optimalit´asi krit´erium´anak a fel´ır´as´ahoz hasznos lesz a du´al feladat megfogalmaz´asa  max −bT y + lT z − uT s   −AT y + z − s = c

y ≥ 0,

z ≥ 0,

(DLP ),

  s ≥ 0

¯ = {(y, z, s) : −AT y + z − s = c, y ≥ 0, z ≥ 0, s ≥ 0} a du´al megengedett ´es jel¨olje D megold´asok halmaz´at. Egyszer˝ uen fel´ırhatjuk a (PLP ) ´es (DLP ) feladatokhoz tartoz´o gyenge dualit´as t´etelt. ¯ vektorok eset´en ´ ıt´ All´ as 3.5.3 B´armely x ∈ D ´es (y, z, s) ∈ D cT x ≥ −bT y + lT z − uT s egyenl˝otlens´eg teljes¨ ul ´es egyenl˝ os´eg pontosan akkor a´ll fenn, ha 0 = cT x + bT y − lT z + uT s = yT (b − A x) + zT (x − l) + sT (u − x).

2

Ezek ut´an a (PLP ) ´es (DLP ) feladatokhoz tartoz´o (sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges) optimalit´asi krit´eriumot az al´abbi m´odon adhatjuk meg A x ≤ b, −AT y + z − s = c, yT (b − A x) = 0,

l≤x≤u y ≥ 0, z ≥ 0, s ≥ 0

zT (x − l) = 0,

sT (u − x) = 0.

46 Felt´eve az x∗ ∈ Dc∗ megold´asr´ol azt is, hogy valamely B b´azishoz tartozik, ekkor y∗ = cTB B −1 ≥ 0. Az optimalit´asi krit´eriumot felhaszn´alva azt kapjuk, hogy • j ∈ JB , lj < x∗j < uj eset´en zj = 0 ´es sj = 0 teljes¨ ul ´es ´ıgy −aTj y = cj • j ∈ JNl , lj = x∗j eset´en zj ≥ 0 ´es sj = 0 teljes¨ ul, teh´at zj = cj + aTj y ≥ 0 • j ∈ JNu , uj = x∗j eset´en zj = 0 ´es sj ≥ 0 teljes¨ ul, teh´at −sj = cj + aTj y ≤ 0 ad´odik. A fentiek alapj´an azt kapjuk, hogy az x∗ ∈ D lehets´eges b´azismegold´as pontosan akkor optim´alis, ha y∗ = cTB B −1 ≥ 0,

(3.5.1)

− cTB B −1 aj ≤ cj

b´armely j ∈ JNl ´es

(3.5.2)

− cTB B −1 aj ≥ cj

b´armely j ∈ JNu

(3.5.3)

index eset´en.

3.5.3.

El´ egs´ eges optimalit´ asi krit´ erium

Ebben a r´eszben megfogalmazzuk ´es igazoljuk a (P ) feladat el´egs´eges optimalit´asi krit´erium´at a D halmaz extrem´alis pontj´ara, b´azismegold´as´ara n´ezve. Defini´aljuk azt a H halmazt, amely megadja a line´aris k¨ozel´ıt˝o f¨ uggv´enyek valamilyen m´odon el˝o´all´ıthat´o egy¨ utthat´oit. A H ⊆ IRn halmaz k´es˝obb igen fontos szerepet kap vizsg´alatunk sor´an. A H halmaznak olyannak kell lennie, hogy ha elm´eletileg ismern´enk a H halmaz elemeihez tartoz´o ¨osszes line´aris programoz´asi feladat megold´as´at, akkor az eredeti (P ) feladatnak is meg kell tudjuk hat´arozni az optim´alis megold´as´at. Ha ez nem

47 teljes¨ ulne, akkor eleve rem´enytelen lenne egy ilyen feladatot als´o line´aris k¨ozel´ıt´esen alapul´o m´odszerekkel megoldanunk. El˝osz¨or a H halmazr´ol ´altal´anoss´agban besz´el¨ unk ´es legfontosabb tulajdons´agait haszn´aljuk, majd pedig k´es˝obb megadunk olyan – lehet˝oleg min´el sz˝ ukebb – halmazokat, amelyek tartalmazz´ak a H halmazt. ˆ optim´alis megold´as´ahoz A k¨ovetkez˝o lemm´aban igazoljuk, hogy a (P ) feladat x tartozik egy h ∈ IRn vektor, amely eset´en a relax´alt line´aris programoz´asi feladat ˆ eleme, azaz x ˆ ∈ Dh∗ . optim´alis megold´ashalmaz´anak az x ˆ a (P ) optim´alis megold´as´at, azaz Lemma 3.5.1 Legyen adott a (P ) feladat. Jel¨olje x f (ˆ x) = minx∈D f (x). Ekkor f¯(ˆ x) = min f¯(x), x∈D

ˆ ) + f (ˆ ahol az f¯(x) = (∇f (ˆ x))T (x − x x), a (3.2.1) k´eplettel defini´alt affin (line´ aris) f¨ uggv´eny. Bizony´ıt´ as. A k¨ovetkez˝o egyenl˝otlens´eg az f f¨ uggv´eny konkavit´asa miatt teljes¨ ul, ˆ ) + f (ˆ f (x) ≤ f¯(x) = (∇f (ˆ x))T (x − x x), ˆ pontba ´all fenn, azaz f (ˆ ´es egyenl˝os´eg csak a x x) = f¯(ˆ x). Tekints¨ uk azt a line´aris programoz´asi relax´aci´ot amelyn´el az f¯(x) a feladat c´elf¨ uggv´enye. Ekkor f (ˆ x) = min f (x) ≤ min f¯(x) ≤ f¯(ˆ x) = f (ˆ x) x∈D

x∈D

amib˝ol a x) min f¯(x) = f¯(ˆ x∈D

ad´odik.

2

A lemma felt´etelezi az fj deriv´alhat´os´ag´at a [lj , uj ] intervallumon. K¨onny˝ u meggondolni, hogy az fj nem deriv´alhat´o pontjaiban a szuperderiv´altak halmaz´anak tetsz˝oleges pontja is megfelel˝o az f¯ v´alaszt´asakor. Vagyis megmutattuk, hogy l´etezik olyan h c´elf¨ uggv´eny vektor, amely eset´en a relax´alt line´aris programoz´asi feladat optim´alis b´azismegold´asa, a (P ) feladat optim´alis

48 megold´asa is egyben. A H halmaznak teh´at tartalmaznia kell a lemm´aban haszn´alt ∇f (x) vektorokat, ahol x ∈ D. ¯ ∈ D lehets´eges megold´ashoz elk´esz´ıthetj¨ B´armely x uk a CB = {c ∈ IRn : a c kiel´eg´ıti a (3.5.1)–(3.5.3) felt´eteleket}

(3.5.4)

halmazt. A CB , az olyan c´elf¨ uggv´eny egy¨ utthat´okat tartalmazza, amelyek eset´en a B ¯ lehets´eges megold´as optim´alis megold´asa lesz a b´azissal adott x  T min c x (Pc ) x∈D

line´aris programoz´asi feladatnak. Term´eszetesen a CB halmaz nem u ¨res. K¨onnyen igazolhat´o a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´as, amely a szepar´abilis konk´av minimaliz´al´asi feladat valamely line´aris programoz´asi feladattal t¨ort´en˝o k¨ozel´ıt´es´er˝ol sz´ol. ´ ıt´ ¯ ∈ D lehets´eges b´azismegold´as, a B b´azissal, ´es legyen All´ as 3.5.4 Legyen adott az x ¯ ∈ CB , akkor az x ¯ optim´alis b´azismegold´asa a h  T ¯ min h x (Ph¯ ) x∈D

¯ ∈ Dh¯∗ , ahol Dh¯∗ jel¨oli a (Ph¯ ) feladat optim´alis line´ aris programoz´asi feladatnak, azaz x megold´asainak a halmaz´at.

2

Ebb˝ol az is k¨ovetkezik, hogy ha

H ⊆ CB ,

akkor

¯ ∈ Dh∗ x

(3.5.5)

teljes¨ ul, b´armely h ∈ H eset´en. K´eszen ´allunk arra, hogy a (P ) feladat el´egs´eges optimalit´asi felt´etel´et megfogalmazzuk ´es igazoljuk. T´ etel 3.5.1 Tekints¨ uk a (P ) line´ aris felt´eteles szepar´abilis konk´ av minimaliz´ al´ asi fe¯ ∈ D egy ladatot ´es tegy¨ uk fel, hogy az fj f¨ uggv´enyek szigor´ uan konk´ avak. Legyen x olyan B b´azissal adott lehets´eges b´azismegold´as, amely eset´en H ⊆ CB teljes¨ ul. Ekkor D∗ = {¯ x}.

49 ¯ ∈ Dh∗ teljes¨ Bizony´ıt´ as. Mivel H ⊆ CB , ez´ert x ul, b´armely h ∈ H eset´en. M´asfel˝ol tudjuk, hogy a (P ) line´aris felt´eteles szepar´abilis konk´av minimaliz´al´asi feladatnak ˆ minimuma a D halmazon, amely extrem´alis pontja a megenl´etezik olyan glob´alis x gedett megold´asok halmaz´anak, vagyis b´azismegold´asa a felt´eteleknek. Tegy¨ uk fel, ˆ 6= x ¯. hogy x ˆ = ∇ f (ˆ ˆ ∈ H ⊆ CB miatt ˆ ∈ Dh∗ˆ , m´asfel˝ol h Legyen h x). A 3.5.1 Lemma miatt x ¯ ∈ Dh∗ˆ teljes¨ az x ul. ´Igy fenn´all a k¨ovetkez˝o f (ˆ x) = f¯(ˆ x) = f¯(¯ x) > f (¯ x).

(3.5.6)

ˆ=x ¯ , amib˝ol D∗ = {¯ Ami ellentmond´ashoz vezet, vagyis x x} ad´odik.

2

A szigor´ u egyenl˝otlens´eg a szigor´ u konkavit´asi felt´etelb˝ol ad´odik. Ha a 3.5.1 T´etel felt´etelei k¨oz¨ ul elhagyjuk a szigor´ u konkavit´asi megk¨ot´eseket, akkor a (3.5.6) egyenl˝otlens´eg a k¨ovetkez˝o alak´ u lesz: f (¯ x) ≥ f (ˆ x) = f¯(ˆ x) = f¯(¯ x) ≥ f (¯ x), ¯ ∈ D∗ , de nem biztos´ıthat´o a |D∗ | = 1. ´es ekkor f (¯ x) = f (ˆ x) teljes¨ ul, teh´at az x ¯ ∈ D b´azismegolEzzel bel´attuk, hogy a (P ) feladat egy B b´azishoz kapcsol´od´o x d´as´anak az el´egs´eges optimalit´asi krit´eriuma a H ⊆ CB . Degener´ alt b´ azismegold´ as ¯ optim´alis megold´asa Jel¨olje Cx¯ azon c´elf¨ uggv´eny egy¨ utthat´ok halmaz´at, amelyre az x lesz a minx∈D cT x line´aris programoz´asi feladatnak. A prim´al degener´alt b´azis eset´en a meghat´arozott CB halmaz sz˝ ukebb lesz, mint a cs´ ucsponthoz tartoz´o Cx¯ halmaz, ´ıgy ha az optimalit´asi krit´erium ´all a CB halmazra, akkor ez igaz lesz egy CB -n´el b˝ovebb Cx¯ halmazra is. Ha t¨obb inform´aci´ot szeretn´enk ¨osszeszedni, akkor ak´ar exponenci´alisan sok, ugyanazt a cs´ ucsot le´ır´o b´azissal kellene dolgoznunk, ami az am´ ugy is neh´ez feladatot egy m´asik szempontb´ol tenn´e neh´ezz´e. Egy prim´al degener´alt b´azisb´ol dolgozva az lehet a gond, hogy m´ar optim´alis a megold´asunk, azaz H ⊆ Cx¯ , de mivel mi csak CB -t

50 ismerj¨ uk, ez´ert nem tudunk az optimalit´as k¨ovetkeztet´es´ere jutni. Ez ¨osszhangot mutat a line´aris programoz´asi feladat elemz´esekor kapott eredm´enyekkel (l´asd [10], [42], [74]).

3.5.4.

A H halmazr´ ol

A H halmaz (als´o) k¨ozel´ıt´eseket tartalmaz, ez´ert szoros kapcsolatban van az f f¨ uggv´eny deriv´altjaival (szuperderiv´alt is lehet), hiszen a Lagrange k¨oz´ep´ert´ek t´etel miatt minden als´o k¨ozel´ıt´eshez l´etezik egy pont, ahol az als´o k¨ozel´ıt´es meredeks´ege a pontbeli deriv´alt. Az optimalit´as vizsg´alata a konvex CB poli´eder ´es a H halmaz tartalmaz´as´anak, illetve ´altal´aban a k´et halmaz egym´ashoz val´o viszony´anak a vizsg´alata. A H halmaz meghat´aroz´asakor azt is figyelembe kell venni, hogy a viszony k¨onnyen vizsg´alhat´o legyen. A H halmaz meghat´aroz´as´ara tekints¨ uk p´eld´aul az f f¨ uggv´eny deriv´altjainak (szuperderiv´altoknak) az ´ert´ekk´eszlet´et a D halmaz felett. Ha f szigor´ uan konk´av, akkor fj deriv´altja szigor´ uan monoton cs¨okken˝o, ´ıgy van neki gj inverze. Ekkor az F = {y : Ag(y) = b ´es l ≤ g(y) ≤ u} halmaz az f deriv´altj´anak ´ert´ekk´eszlete D halmaz felett, ami j´o H halmaznak. Az F bonyolult strukt´ ur´aj´ u halmaz lehet, ´es a tartalmaz´as eld¨ont´ese hasonl´oan neh´ez feladat lenne, mint a (P ) feladat megold´asa. Megtehetj¨ uk, hogy az F halmazn´al b˝ovebb halmazt v´alasztunk a H halmaznak u ´gy, hogy strukt´ ur´aja egyszer˝ ubb lesz, mint az F halmaz´e. Nyilv´anval´o, hogy a H meghat´aroz´as´at az f f¨ uggv´eny tulajdons´agai (szigor´ u konkavit´as, differenci´alhat´os´ag stb.) jelent˝osen befoly´asolj´ak. M´asfel˝ol, ha a H halmaz strukt´ ur´aja bonyolult (nem poli´eder), akkor a H ⊆ CB ¨osszef¨ ugg´est ellen˝orizni igen neh´ez lehet. Ez´ert ´erdemes a H halmazt tartalmaz´o, de egyszer˝ u strukt´ ur´aj´ u (pl. hipert´egla) c´elf¨ uggv´eny-egy¨ utthat´o param´eterhalmazt meghat´arozni. Ha csak a (P ) feladat adataira t´amaszkodunk, akkor a ′ ′ Hf = {h ∈ IRn : hj ∈ [fj− (uj ), fj+ (lj )]}

51 ¯ ∈ halmazt tudjuk defini´alni ´es nyilv´an H ⊆ Hf teljes¨ ul. Ha azonban valamely x D lehets´eges b´azismegold´as eset´en szeretn´enk meghat´arozni a relax´alt line´aris programoz´asi feladatok sz´oba j¨ov˝o c´elf¨ uggv´eny-egy¨ utthat´oit, akkor a Hf,¯x = {h ∈ IRn : hj ∈ [clj , cuj ]} halmazban gy˝ ujthetj¨ uk ¨ossze a c´elf¨ uggv´eny egy¨ utthat´okat, ahol ( ( ∗ ∗ m(x∗j , uj ), m(l , x ), x = 6 l j j j j ´es clj = cuj = ′ ′ fj− (uj ), fj+ (lj ), k¨ ul¨onben

x∗j 6= uj k¨ ul¨onben

A 3.5.1 ´es 3.5.2 ´all´ıt´asok alapj´an ′ ′ fj− (uj ) ≤ clj = m(¯ xj , uj ) ≤ m(lj , x¯j ) = cuj ≤ fj+ (lj )

(3.5.7)

¯ ∈ D b´azismegold´asb´ol nyeregyenl˝otlens´egek teljes¨ ulnek, ´ıgy Hf,¯x ⊆ Hf , azaz az x het˝o inform´aci´ot felhaszn´alva a relax´alt programoz´asi feladatok c´elf¨ uggv´eny egy¨ utthat´oinak egy sz˝ ukebb halmaz´at tudtuk meghat´arozni. Philips ´es Rosen cikk¨ ukben [81] a Hf,¯x halmazt vezett´ek be. A Hf,¯x ⊆ CB felt´etelb˝ol nem k¨ovetkezik a H ⊆ CB , ez´ert a Hf,¯x ⊆ CB mint el´egs´eges optimalit´asi krit´eriumot a k¨ovetkez˝o 3.5.2 t´etelben fogalmazom meg. T´ etel 3.5.2 Tekints¨ uk a (P ) line´ aris felt´eteles szepar´abilis konk´ av minimaliz´ al´ asi fe¯ ∈ D egy olyan B ladatot ´es tegy¨ uk fel, hogy az fj f¨ uggv´enyek konk´ avak. Legyen x ¯ ∈ D∗ . b´azissal adott b´azismegold´as, amely eset´en Hf,¯x ⊆ CB teljes¨ ul. Ekkor x ˆ a glob´alis optimuma a (P ) feladatnak, ´es tegy¨ Bizony´ıt´ as. Legyen x uk fel, hogy ˆ 6= x ¯ teljes¨ x ul. Legyen S = {x ∈ IRn : min{¯ xi , xˆi } ≤ xi ≤ max{¯ xi , xˆi }, i = 1, . . . , n} ˆ ∈ S ´es x ¯ ∈ S teljes¨ hipert´egla. Az x ul, tov´abb´a elmondhat´o, hogy mindkett˝o az S ˆ x + d az f f¨ hipert´egla egy-egy cs´ ucsa (extrem´alis pontja). Legyen F (x) = h uggv´eny relax´altja az S hipert´egla felett (F (x) ≤ f (x), minden x ∈ S eset´en). Ha valamely j indexre x¯j = xˆj teljes¨ ul, akkor a pontbeli ´erint˝o legyen a line´aris relax´aci´o (nem

52 ˆ ∈ Hf,¯x deriv´alhat´o esetben valamely szupergradiens). K¨onnyen bel´athat´o, hogy h felt´etel fenn´all, amib˝ol x¯ ∈ Dh∗ˆ k¨ovetkezik. A k¨ovetkez˝o egyenletek teljes¨ ulnek: f (ˆ x) = min f (x) = min f (x),

ˆ ∈ S, hiszen x

(3.5.8)

F (¯ x) = min F (x) = min F (x),

¯ ∈ S. hiszen x

(3.5.9)

x∈D

x∈S∩D

x∈D

x∈S∩D

A (3.5.8) ´es (3.5.9) egyenletekb˝ol kapjuk a k´ıv´ant ¨osszef¨ ugg´est: f (¯ x) = F (¯ x) = min F (x) ≤ min f (x) = min f (x). x∈S∩D

x∈S∩D

x∈D

¯ az S hipert´egla egy cs´ Az els˝o egyenl˝os´eg annak a k¨ovetkezm´enye, hogy x ucsa, ´es ´ıgy abban a pontban a relax´aci´os f¨ uggv´eny megegyezik a c´elf¨ uggv´ennyel.

2

Bel´attuk, hogy az optimalit´as k¨ovetkezik a Hf,¯x ⊆ CB felt´etelb˝ol, viszont a |D∗ | = 1 tulajdons´ag m´ar nem garant´alhat´o. A k¨ovetkez˝okben azt a k´erd´est szeretn´enk megvizsg´alni, hogy a Hf,¯x ⊆ CB tartalmaz´as ellen˝orz´ese mennyi sz´amol´ast ig´enyel. Philips ´es Rosen [81] exponenci´alisan sok line´aris programoz´asi feladat megold´as´ara vezette vissza a k´erd´est: ha ezeknek a line´aris programoz´asi feladatoknak van k¨oz¨os optim´alis megold´asa, akkor az egyben optim´alis megold´asa a (P ) feladatnak is. K¨onnyen bel´athat´o, hogy elegend˝o a Hf,¯x hipert´egla extrem´alis pontjair´ol eld¨onteni azt, hogy eleme-e a CB halmaznak vagy sem. Ezzel jelent˝os mennyis´eg˝ u sz´am´ıt´ast takar´ıthatunk meg, de sajnos m´eg mindig exponenci´alisan sok pont ellen˝orz´es´er˝ol van sz´o. Ezt mi tesztpont seg´ıts´eg´evel j´oval hat´ekonyabb´a tessz¨ uk. Tesztpontok el˝ o´ all´ıtsa A Hf,¯x ⊆ CB tartalmaz´as ellen¨orz´ese helyett olyan tesztpontot szeretn´enk el˝o´all´ıtani b´armely (3.5.1)–(3.5.3) felt´etelrendszerben szerepl˝o egyenl˝otlens´eghez, amely lehet˝oleg megs´erti az egyenl˝otlens´eget. A tesztpontot term´eszetesen a Hf,¯x halmazb´ol v´alasztjuk ki. A (3.5.1)–(3.5.3) egyenl˝otlens´eg-rendszerben a c´elf¨ uggv´eny egy¨ utthat´oi a v´altoz´ok jelenleg.

53 A tesztpont elk´esz´ıt´es´et vizsg´aljuk meg a j ∈ JNl eset´en, azaz a ¯ j ≤ cj −cTB B −1 aj = −cTB a egyenl˝otlens´eget megs´ert˝o c´elf¨ uggv´eny egy¨ utthat´okat keress¨ uk a Hf,¯x halmazb´ol. Ez azt jelenti, hogy az egyenl˝otlens´eg baloldal´at szeretn´enk min´el nagyobbra, m´ıg a job¯ j tesztpontot boldal´at a lehet˝o legkisebbre v´alasztani. Ennek ´erdek´eben defini´aljuk a h a k¨ovetkez˝o m´odon.   clj ,      cl , j ¯hij = u  cj ,      h , ij

i=j a ¯ij > 0, i ∈ JB a ¯ij < 0, i ∈ JB i∈ / (JB \ {i : a ¯ij = 0}) ∪ {j}, ahol hij ∈ [cli , cui ]

¯ j ∈ Hf,¯x teljes¨ Ekkor nyilv´anval´o, hogy h ul. A tesztpont konstrukci´oja alapj´an vil´agos,

hogy T ¯ ¯T a ¯j + hjj h B ¯ j + hjj ≤ hB a

teljes¨ ul b´armely h ∈ Hf,¯x eset´en, azaz T ¯ ¯T a ¯j − hjj −h B ¯ j − hjj ≥ −hB a

(3.5.10)

ad´odik. Amennyiben a tesztpont nem s´erti meg a felt´etelt, azaz ¯ ¯T a 0 ≥ −h B ¯ j − hjj

(3.5.11)

fenn´all, akkor a (3.5.10) ´es (3.5.11) egyenl˝otlens´eg alapj´an nincsen olyan pontja a ´ Hf,¯x halmaznak, amely a j ∈ JNl felt´etelt megs´erten´e. Altal´ anos´ıtva az el˝oz˝oket, ¯ k tesztpontot az al´abbi m´odon defini´alhatjuk tetsz˝oleges k ∈ J l ∪J u index eset´en a h N

a

Ji+

´es a

Ji− ,

N

(i ∈ JB ) halmazok seg´ıts´eg´evel, ahol ¯ik > 0}, ´es ¯ik < 0} ∪ {k ∈ JNu : a Ji+ = {k ∈ JNl : a

(3.5.12)

Ji− = {k ∈ JNl : a ¯ik > 0} ∪ {k ∈ JNu : a ¯ik < 0},

(3.5.13)

az al´abbi m´odon    cli ,     u    ci , ¯ ik = h clk ,     cuk ,      hi ,

k ∈ Ji− , i ∈ JB k ∈ Ji+ , i ∈ JB i = k, ´es k ∈ JNl i = k, ´es k ∈ JNu i∈ / (JB \ {i : a ¯ik = 0}) ∪ {k}, ahol hi ∈ [cli , cui ].

54 ¨ Osszegezve, a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´ast kapjuk. ¯ k tesztpont nem s´erti meg a k ∈ J l ∪ J u egyenl˝ T´ etel 3.5.3 Ha a h os´eget, akkor N N tetsz˝oleges h ∈ Hf,¯x vektor sem s´erti meg.

2

M´asfel˝ol, ha valamely j ∈ JNl (j ∈ JNu ) eset´en l ¯T a −h B,j ¯ j > cj

¯j < cuj ), (−h¯T B,j a

akkor a tesztpont megs´erti a j. v´altoz´ohoz tartoz´o optimalit´asi krit´eriumot. Hasonl´o m´odon k´esz´ıthet¨ unk tesztpontot a ¯ T B −1 ≥ 0 h B tesztel´es´ere is. Jel¨olje  l    ci , ¯ ji = h cui ,    h, i

¯i a B ¯ = B −1 m´atrixot ´es ekkor b ¯ m´atrix i. oszlopa B bji > 0, j ∈ JB bji < 0, j ∈ JB j ∈ JNl ∪ JNu ∪ {j ∈ JB : ¯bji = 0} ahol hi ∈ [clj , cuj ]

¯T b ¯ Ekkor a h es b´armelyik m´asik h ∈ Hf,¯x vektor is kiel´eg´ıti az i. nemnegatij,B i ≥ 0 ´ vit´asi felt´etelt. Ez azt jelenti, hogy a Hf,¯x hipert´egla 2n cs´ ucspontja helyett elegend˝o legfeljebb n tesztpont elk´esz´ıt´ese annak ´erdek´eben, hogy az ¨osszes optimalit´asi felt´etelt letesztelj¨ uk. ˆ indexhalmazt az al´abbi m´odon Vezess¨ uk be a K ¯ i tesztpont megs´erti az i. egyenl˝otlens´eget}. ˆ = {i : h K ˆ = ∅ eset´en Hf,¯x ⊆ CB , azaz az x ¯ ∈ D∗ teljes¨ Nyilv´an igaz, hogy a K ul. Ez azt

¯ ∈ D pontr´ol a k¨ovetkez˝o m´odon d¨onthet˝o el, hogy optim´alis jelenti, hogy valamely x megold´asa-e a (P ) feladatnak: 1. elk´esz´ıtj¨ uk a Hf,¯x halmazt; ¯ j tesztpontot; 2. figyelembe v´eve a B −1 ´es a B −1 AN m´atrix elemeit elk´esz´ıtj¨ uk a h

55 3. elv´egezz¨ uk a tesztpontok ellen˝orz´es´et; ha nem tal´alunk olyan j indexet, amelyre ¯ j megs´erti a j. felt´etelt akkor az x ¯ j optim´alis megold´asa a feladatnak. h ¯ j tesztpontot, amely megs´erti a j. felt´etelt, akkor abb´ol Ha azonban tal´alunk olyan h sajnos nem vonhatjuk le azt a k¨ovetkeztet´est, hogy az x ∈ D nem optim´alis megold´as. Mivel a H ´es a Hf,¯x halmazok jelent˝osen f¨ uggnek az lj ´es uj sz´amokt´ol is, ez´ert v´arhat´o, hogy a korl´atoz´as ´es sz´etv´alaszt´as t´ıpus´ u algoritmusok hat´ekonyak lehetnek a (P ) feladatok megold´as´ara, ha Hf,¯x halmaz ´atm´er˝oje gyorsan cs¨okken.

3.5.5.

Az eredm´ eny r¨ ovid ¨ osszefoglal´ asa

A 3.5 fejezet a 2a t´ezispontban megfogalmazott eredm´enyeket tartalmazza. Megadtam a line´aris felt´etelrendszerrel adott, v´altoz´oiban sz´etv´alaszthat´o konk´av programoz´asi feladat egy el´egs´eges optimalit´asi krit´erium´at.

3.6.

´ ekenys´ Erz´ egi vizsg´ alaton alapul´ o v´ ag´ asi strat´ egia

Az el´egs´eges optimalit´asi felt´etel megfogalmaz´asakor eml´ıtett¨ uk, hogy az itt megfogalmazott gondolatmenet alapul szolg´alhat egy, a korl´atoz´as ´es sz´etv´alaszt´as m´odszer´en alapul´o elj´ar´as kidolgoz´as´ahoz. Miel˝ott r´at´ern´enk a m´odszer bevezet´es´ere a (P ) feladatot m´odos´ıtottuk: az egyenl˝otlens´egek helyett itt most egyenl˝os´eget haszn´alunk. A m´odos´ıt´ast az´ert vezett¨ uk be, mert a gyakorlatban haszn´alt LP megold´okn´al ´altal´aban a ”slack” v´altoz´okat nem kezelik k¨ ul¨on, ´ıgy azokat be kell venni az adatok felt¨olt´es´en´el.  Pn min j=1 fj (xj )   (P ). Ax = b   l≤x≤u 

(3.6.1)

Bevezet¨ unk egy part´ıcion´al´asi strat´egi´at, amely a c´elf¨ uggv´eny egy¨ utthat´oinak ´erz´ekenys´egi vizsg´alat´an alapul.

56 A m´odos´ıt´assal a feladathoz tartoz´o PLP relax´alt feladat optimalit´asi krit´eriuma megv´altozott, ´ıgy a (3.5.1) felt´etel m´ar nem r´esze a krit´eriumnak. Term´eszetesen a CB halmaz is megfelel˝oen m´odosult.

3.6.1.

Egy b´ azisv´ altoz´ o k¨ olts´ ege m´ odosul

¯ ∈ Dc∗ megold´as a B b´azissal. Legyen k ∈ JB , ´es Tegy¨ uk fel, hogy adott az x c(k) = c + γk ek = (c1 , c2 , . . . , ck + γk , . . . , cn ), ahol az ek az IRn vektort´er k. egys´egvektora. Az a k´erd´es, hogy meddig marad a B b´azis optim´alis, azaz meddig teljes¨ ulnek a k¨ovetkez˝o egyenl˝otlens´egek cj ≥ −c(k)TB B −1 aj = −cTB B −1 aj − γk a ¯kj

(3.6.2)

b´armely j ∈ JNl , illetve cj ≤ −c(k)TB B −1 aj = −cTB B −1 aj − γk a ¯kj

(3.6.3)

b´armely j ∈ JNu indexek eset´en. A kor´abban bevezetett Jk+ , Jk− indexhalmazokat (l´asd (3.5.12) ´es (3.5.13) egyenletek) haszn´alva defini´aljunk olyan als´o ´es fels˝o korl´atot a γk sz´amra, amely eset´en a (3.6.2) ´es (3.6.3) egyenl˝otlens´egek fenn´allnak, azaz legyen  T −1  max cj +cBa¯ B aj ha Jk− 6= ∅ kj − γk− = j∈Jk  −∞ ha Jk− = ∅

illetve

γk+ ´es ekkor

=

  min

j∈Jk+



−1 a cj +cT j BB a ¯kj

ha Jk+ 6= ∅

+∞

ha Jk+ = ∅

γk− ≤ γk ≤ γk+ eset´en a B b´azis optim´alis marad. Nyilv´anval´o, hogy a 0 ∈ [γk− , γk+ ] ´es legal´abb az egyik ´ert´ek a γk− ´es γk+ k¨oz¨ ul v´eges. A korl´atok alapj´an sz´amos esetben meghat´arozhatjuk a (r´esz)feladat tov´abbi part´ıcion´al´as´at. Ennek elemeit dolgozzuk ki a k¨ovetkez˝o r´eszben.

57 Part´ıcion´ al´ as C´elunk az, hogy lehet˝oleg egyszer˝ u sz´am´ıt´asok seg´ıts´eg´evel olyan p v´ag´asi pontot hat´arozzunk meg, amellyel valamely xj v´altoz´ora adott [lj , uj ] intervallumot, [lj , p] ´es [p, uj ] intervallumokra bontsuk u ´gy, hogy a relax´alt LP optim´alis megold´as´anak a j. koordin´at´aja az egyik intervallumba ker¨ ulj¨on. Felhaszn´alva az fj f¨ uggv´enyek konkavit´as´at, defini´aljuk a k¨ovetkez˝o halmazokat: K− = {j ∈ JB : clj < cj + γj− < cuj } K+ = {j ∈ JB : clj < cj + γj+ < cuj }. Vezess¨ uk be tov´abb´a a K = K− ∪ K+ jel¨ol´est. Ekkor a K azon indexek halmaza, amelyek eset´en a c´elf¨ uggv´eny j. egy¨ utthat´oja m´odos´ıthat´o u ´gy, hogy az u ´j LP feladatnak a felbont´asa ut´an (legal´abb) az egyikben m´as legyen az optim´alis megold´asa, mint eredetileg volt. Legyen τ = max {fj (¯ xj ) − (cj x¯j + dj )} , j∈K

(3.6.4)

ahol c az (LP) feladat c´elf¨ uggv´eny egy¨ utthat´oja. Legyen k index az, amelyre τ = fk (¯ xk ) − (ck x¯k + dk ). Ha k ∈ K− , azaz clk < ck + γk− < cuk teljes¨ ul, akkor l´etezik p ∈ (lk , uk ), amelyre ck + γk− = fk′ (p)

(3.6.5)

Ha k ∈ K+ , azaz clk < ck + γk+ < cuk teljes¨ ul, akkor l´etezik p ∈ (lk , uk ), amelyre ck + γk+ = fk′ (p).

(3.6.6)

A p v´ag´asi pont seg´ıts´eg´evel az aktu´alis megold´ashalmaz t´egla r´esz´et a (3.2.2) ¨osszef¨ ugg´esben le´ırt m´odon part´ıcion´alhatjuk. Abban az esetben ha K = ∅ akkor meg kell vizsg´alni annak a lehet˝os´eg´et, hogy egyszerre t¨obb b´azisv´altoz´o c´elf¨ uggv´eny egy¨ utthat´oj´at v´altoztatjuk meg annak ´erdek´eben, hogy a megold´as optimalit´asi tulajdons´aga megv´altozzon.

58

3.6.2.

T¨ obb b´ azisv´ altoz´ o k¨ olts´ ege m´ odosul

Ha egy c´elf¨ uggv´eny egy¨ utthat´o m´odos´ıt´as´aval a b´azis optimalit´asa nem v´altozik meg, akkor azt az ´altal´anos esetet kell tekinten¨ unk, amikor az ¨osszes v´altoz´o c´elf¨ uggv´eny egy¨ utthat´oja v´altozhat. ¯ megold´as optim´alis meFeltehetj¨ uk, hogy a Hf,¯x * CB , ellenkez˝o esetben a x ¯ j tesztpont j ∈ J l (j ∈ J u ), amelyre gold´asa lenne a r´eszfeladatnak. L´etezik egy h N N l ¯T a −h B,j ¯ j > cj

¯j < cuj ). (−h¯T B,j a

ˆ =K ˆl ∪ K ˆ u indexhalmazt, ahol Vezess¨ uk be a K l ¯T a ˆ l = {i ∈ J l : −h K N B,i ¯ i > ci }

ˆ u = {i ∈ JNu : −h¯T B,i a ¯i < cui }. K ˆ azon indexeknek a halmaza, amelyekn´el a (PLP ) relax´alt line´aris programoz´asi AK feladat optimalit´asi krit´eriumai a tesztpont eset´en megs´er¨ ulnek. A kor´abbi feltev´esb˝ol ˆ= k¨ovetkezik, hogy K 6 ∅. Part´ıcion´ al´ as Vezess¨ uk be a l ¯T a τˆ = max | − h B,i ¯ i − ci | ˆ i∈K

ˆ az az index, amelyn´el a τˆ ´ert´ek felv´etetik, azaz sz´amot. Legyen k ∈ K l ¯T a τˆ = | − h B,k ¯ k − ck |.

Tekintettel arra, hogy τˆ m´eri az optimalit´asi krit´erium maxim´alis megs´ert´es´et, ez´ert a ˆ ⊆ J l ∪ J u az az index, amely eset´en legjobban s´er¨ k∈K ul az optimalit´asi krit´erium. N

N

ˆ l ´es legyen Tegy¨ uk fel, hogy k ∈ K ¯ B,ki − cB,i ) a j ′ = argmax | − (h ¯ki |.

(3.6.7)

i∈{1,2,...,m}

¯ B,k vektor egy indexe, az egyszer˝ A j ′ itt a B b´azisra megszor´ıtott h us´eg kedv´e´ert ¯ k vektorra vonatkoz´o megfelel˝o indexet. Induljunk ki a K ˆ l elemeit jel¨olje j az eredeti h defini´al´o egyenl˝otlens´egb˝ol, azaz l ¯T a −h B,k ¯ k > ck ,

59 amelyb˝ol egyszer˝ u ´atalak´ıt´assal kapjuk a ¯ ¯kj ′ ¯T a ¯ kj a −h ¯kj ′ > clk + h B,k ¯ k − hkj a egyenl˝otlens´eget. Legyen γj∗

¯ kj + =h

¯T a clk + h B,k ¯ k . −¯ akj ′

(3.6.8)

Ha γj∗ ∈ / (clj , cuj ) teljes¨ ul, akkor legyen ¯ kj − cj ) + cj , γj∗ = tk (h ahol tk =

(3.6.9)

¯k clk + cTB a . ¯ T − cT ) a −(h B ¯k B,k

¯ B,k − cB tov´abb´a ¯k < 0 miatt 0 < t < 1, ´ıgy a γj∗ ∈ (clj , cuj ). Legyen gk = h A clk + cTB a ¯k . A tk a k¨ovetkez˝o form´aba ´ırhat´o c¯k = clk + cTB a tk =

c¯k , ¯k −gkT a

tov´abb´a γj∗ = tk gkj ′ + cj . M´ar csak a p v´ag´asi pont meghat´aroz´asa maradt h´atra ebben az esetben. Tekints¨ uk az f ′ (lj ) < γj∗ < f ′ (uj ) egyenl˝otlens´egrendszert. Ekkor l´etezik olyan p ∈ (lj , uj ) sz´am, amelyre γj∗ = f ′ (p)

(3.6.10)

teljes¨ ul. A part´ıcion´ al´ as elemz´ ese. Az ´altal´anoss´ag megszor´ıt´asa n´elk¨ ul feltehetj¨ uk, hogy ˆ l , ahol legjobban s´er¨ k ∈ K ul az optimalit´asi krit´erium ´es j a v´ag´asi ir´any (azaz ¯ kj = cu (azaz a ul). A t¨obbi esetet ¯kj ′ < 0 teljes¨ ¯kj ′ a maxim´alis), tov´abb´a h −¯ gkj ′ a j

teljesen anal´og m´odon tudjuk kezelni.

60 A feloszt´as ut´an k´et r´eszprobl´em´at kaptunk. Vizsg´aljuk meg, hogy mi t¨ort´enik a k felt´etellel a feloszt´as ut´an. A part´ıcion´al´as ut´an marad a r´egi b´azis, ´ıgy csak a clj ´es a cuj ´ert´eke fog v´altozni. A kor´abbiakhoz hasonl´oan tekints¨ uk a BB algoritmus ´altal gener´alt BB f´at. Tegy¨ uk fel, hogy az algoritmus v´egtelen, teh´at l´etezik a r´eszprobl´em´ak egy v´egtelen P q sorozata (P q+1 a P q k¨ozvetlen ut´oda), melyre T q+1 ⊂ T q teljes¨ ul. ´ ıt´ All´ as 3.6.1 Az (3.6.8)-el defini´alt part´ıcion´ al´ as v´eges sok esetben hajt´odik v´egre. Bizony´ıt´ as. Legyen az aktu´alis r´eszprobl´ema P q . Jel¨olje (q) fels˝o index hogy az adott ´ert´ek mely r´eszprobl´em´ara vonatkozik. l(q)

∗(q)

Tekints¨ uk azt az esetet, amikor a P q+1 a P q baloldali gyereke: [cj , γj ¯ (q+1) ´ert´eke γ ∗(q) lesz. Ah

]

j

kj

T ¯ ¯k = − −(h B,k ) a (q+1)

∗(q) ¯ (q) a h )a ¯kj ′ B,ki ¯ki − (γj

X

i∈{1,··· ,m}\{j ′ } l(q)

¯ (q) a h B,ki ¯ki −

X

= −

¯ (q) + h kj

i∈{1,··· ,m}\{j ′ } l(q)

ck

¯ (q) )T a ¯k + (h B,k −¯ akj ′

!

a ¯kj ′

l(q+1)

= ck

= ck

Az k egyenlet m´ar nem s´er¨ ul. Mivel az egyenletek sz´ama v´eges, ´ıgy ez az eset csak v´eges sokszor fordulhat el˝o. ∗(q)

Tekints¨ uk azt az esetet, amikor a P q+1 a P q jobboldali gyereke: [γj ∗(q+1) ¯ (q+1) ´ert´eke a cu(q) lesz. Sz´amoljuk ki ekkor az u tagot. ´j γ Ah

]

j

j

kj

u(q)

, cj

¯ (q+1) )T a ¯k + (h B,k = −¯ akj ′ l(q) ¯ (q) )T a ¯k ck + (h B,k (q) ¯ = hkj + = −¯ akj ′ l(q+1)

∗(q+1) γj

¯ (q+1) + = h kj

∗(q+1)

= γj ∗(q+1) γj

∈ /



l(q+1) u(q+1) cj , cj

szab´aly szerint.



ck

l(q+1)

= cj

miatt a j k´es˝obb m´ar nem lehet v´ag´asi ir´any a (3.6.8)

61 Megvizsg´alva a keletkezett r´eszprobl´em´akat, arra a k¨ovetkeztet´esre jutunk, hogy a (3.6.8) szerinti part´ıcion´al´asi szab´alyt ism´etelten alkalmazva, v´eges l´ep´esben eljutunk oda, hogy a r´eszprobl´ema b´azisa m´ar nem v´altozhat (azaz a r´eszfeladat t¨or¨olhet˝o) vagy a (3.6.9) szab´aly szerint kell a feloszt´ast elv´egezn¨ unk.

2

´ ıt´ All´ as 3.6.2 (3.6.9)-ban defini´alt part´ıcion´ al´ as l´ep´es v´eges v´egrehajt´asa ut´an vagy az optimalit´asi felt´etel teljes¨ ul, vagy egy v´altoz´o c´elf¨ uggv´eny´enek m´odos´ıt´ asa b´azisv´altoz´ast eredm´enyez. Bizony´ıt´ as. Hasonl´oan az el˝oz˝o ´all´ıt´as bizony´ıt´ashoz itt is k¨ ul¨on-k¨ ul¨on vizsg´aljuk a r´eszprobl´em´akat. A c az aktu´alisan relax´alt egy¨ utthat´okat jelenti, xj v´altoz´o u ´jrarelax´al´asa ut´an a (q+1)

cj ´ert´ek fog megv´altozni. A v´altoz´as m´ert´eke legyen p = cj l(q)

hogy p ∈ (cj

(q)

u(q)

− cj , cj

(q)

− cj , nyilv´anval´o,

(q)

− cj ). l(q)

∗(q)

Baloldali r´eszprobl´ema: [cj , γj

].

Becs¨ ulj¨ uk meg a k egyenlet mennyivel s´er¨ ul a part´ıcion´al´as ut´an. Vezess¨ uk be az eredeti elt´er´esre k¨ovetkez˝o jel¨ol´est: (q) ¯ (q) )T a ¯k − c¯(q) ¯k − cl(q) = −(gk )T a d(q) = −(h k . k B,k

Sz´am´ıtsuk ki d(q+1) -t a part´ıcion´al´as ut´an. X

d(q+1) = −

(q+1)

gki

∗(q)

a ¯ki − (γj

(q+1)

− cj

(q+1)

)a ¯kj ′ − c¯k

=

i∈{1,··· ,m}\{j ′ }

= −

X

(q)

∗(q)

(q)

gki a ¯ki + gkj ′ a ¯kj ′ − (γj

(q)

(q)

ck + p a ¯kj ′ ) = ¯kj ′ − (¯ − cj − p) a

i∈{1,··· ,m} (q)

= d

(q)

∗(q)

(q)

(q)

+ gkj ′ a ¯kj ′ − (γj

(q)

− cj ) a ¯kj ′

(3.6.11)

¯kj ′ = d(q) + gkj ′ a ¯kj ′ − tk gkj ′ a (q)

= d(q) + gkj ′ a ¯kj ′ (1 − tk ) (q)

A −gkj ′ a ¯kj ′ szorzatr´ol feltett¨ uk, hogy maxim´alis – l´asd (3.6.7) egyenlet – ´ıgy a k¨ovetkez˝o teljes¨ ul: (q)

(q)

−gkj ′ a ¯kj ′ ≥

c¯k + d(q) , m

62 ahol m a felt´etelek sz´ama, amely term´eszetesen r¨ogz´ıtett. Z´ar´ojelben megjegyezz¨ uk, hogy a becsl´es¨ unk el´eg durva, a gyakorlatban a konvergencia gyorsabb. Visszat´erve (3.6.11)-hez kapjuk, hogy: (q)

d(q+1) = d(q) − (−gkj ′ a ¯kj ′ ) (1 − tk ) l(q)

d(q) + d(q) (q) m c¯k + d(q)   1 d(q) (q) (q) =d 1− . = d − m m ck

≤ d(q) −

Azaz a v´ag´asok sor´an a d(q) → 0. Mivel mindig a legjobban s´ertett felt´etelt v´alasztjuk, ´ıgy az ¨osszes felt´etelre is igaz a konvergencia. Teh´at bizonyos l´ep´es ut´an m´ar nem s´er¨ ul az egyenletrendszer. ∗(q)

Jobboldali r´eszprobl´ema: [γj

u(q)

, cj

] (q+1)

Sz´amoljuk ki az egyenletre vonatkoz´o c¯k (q+1)

c¯k

(q+1)

´es dk

´ert´ekeket.

(q)

= c¯k − p (−¯ akj ′ ) (q)

∗(q)

(q)

(q)

(q)

(q)

≤ c¯k + γj

a ¯kj ′

¯kj ′ tk = c¯k + gkj ′ a ¯kj ′ = c¯k + gkj ′ a

c¯k ¯k −gkT a

(3.6.12)

(q)

≤

(q) c¯k

+

=

(q) c¯k



(q+1)

X

d(q+1) = −

gki

(q) gkj ′ a ¯kj ′

1−

1 m

ck

(q)

−m gkj ′ a ¯kj ′ 

∗(q)

a ¯ki − γj

(q+1)

a ¯kj ′ − c¯k

i∈{1,··· ,m}\{j ′ }

X

= −

(q)

(q)

i∈{1,··· ,m}\{j ′ }

= −

X

i∈{1,··· ,m}

vagyis d nem v´altozik.

(q)

ck − p (−¯ akj ′ )) (3.6.13) gki a ¯ki − (gkj ′ − p) a ¯kj ′ − (¯ (q)

(q)

gki a ¯ki − c¯k = d(q)

63 Megfelel˝oen nagy q-ra a k¨ovetkez˝o teljes¨ ul: (q)

(q) −gkj ′ a ¯kj ′

d(q) d(q) + c¯k (q) ≥ > c¯k , ≥ m m

(q)

hiszen a (3.6.12) miatt c¯k → 0 ´es (3.6.13) miatt d(q) nem v´altozik. Tov´abb´a ¯ − c )¯ ¯k −(h akj ′ > clk + cTB a j kj X (q) ¯ (q) a cB,i a ¯ki > clk −h kj ¯kj ′ − (q)

(q)

i∈{1,··· ,m}\{j ′ }

Ami pontosan azt jelenti, hogy v´ag´asok v´eges sz´am´ u v´egrehajt´as´aval el tudunk jutni egy olyan part´ıcion´al´as´ahoz, ahol egy v´altoz´o m´odos´ıt´asa m´ar b´azisv´altoz´ast eredm´enyez ´es visszat´er¨ unk ahhoz az esethez, amikor egy v´altoz´o c´elf¨ uggv´enye m´odosul. 2

3.6.3.

Sz´ etv´ alaszt´ asi strat´ egia

Fejezet¨ unkben ¨osszefoglaljuk a kor´abbi fejezetekben kidolgozott part´ıcion´al´asi elj´ar´asokat. A 3.3.1 fejezetben eml´ıtett jel¨ol´est haszn´alva Level(P k ) f¨ uggv´eny mutassa a BB fa azon szintj´et, mely az (P k ) r´eszprobl´em´ahoz tartozik ´es tov´abb´a legyen N egy ˆ a 3.6.2 fejezet pozit´ıv eg´esz sz´am ´es K a 3.6.1 fejezet szerint defini´alt indexhalmaz ´es K szerint defini´alt indexhalmaz. if ( Level(P k ) mod N = 0 ) then j = argmaxi∈{1...n} (uki − lik ) p = (ukj + ljk )/2.0 else if K = 6 ∅ then j = argmaxj∈K {fj (¯ xj ) − (cj x¯j + dj )} legyen p v´ag´asi pont a (3.6.5) ´es (3.6.6) k´eplet alapj´an meghat´arozva. ˆ= else if K 6 ∅ then ¯ B,ki − cB,i ) a j ′ = argmaxi∈{1,2,...,m} | − (h ¯ki |. legyen a p v´ag´asi pont a (3.6.10) k´eplet alapj´an meghat´arozva. else ˆ = ∅ eset´en nincs tesztpont, amely megs´ertene valamely felt´etelt, K

64

´ıgy a r´eszprobl´ema optim´alis megold´asa az aktu´alis b´azismegold´as endif

3.6.4.

Az algoritmus helyess´ eg´ enek bizony´ıt´ asa

Minden N -ik szinten l´ev˝o r´eszprobl´em´at a leghosszabb ´el ment´en v´agjuk a k´et egybev´ag´o r´eszbe, ´ıgy a t´eglatestek oldalainak hossza z´erushoz tart. A 3.3.1 lemma itt is teljes¨ ul, amib˝ol a 3.3.2 lemma k¨ovetkezik bizony´ıtva az algoritmus helyess´eg´et.

3.6.5.

Az algoritmus m˝ uk¨ od´ es´ enek elemz´ ese

A glob´alis optimum megtal´al´as´at a BB fa minden N -ik szinten l´ev˝o r´eszprobl´em´aj´anak part´ıcion´al´asa garant´alja, viszont a hat´ekonys´ag´at nem. Az relax´alt LP vizsg´alat´aval meghat´arozott v´ag´asi pontok azok, amelyek megalapozz´ak m´odszer¨ unk hat´ekonys´ag´at. Megjegyezz¨ uk, hogy ´erz´es¨ unk szerint – amit a tapasztalat is al´at´amaszt – az ´erz´ekenys´egi vizsg´alattal kapott v´ag´asi pontok is garant´alj´ak az optim´alis megold´as megtal´al´as´at, de a bizony´ıt´as m´eg a j¨ov˝o egyik feladata. A v´ag´asi pontok meghat´aroz´as´at a k¨ovetkez˝o alapgondolat vezette: mivel az optim´alis megold´as a poli´eder egy cs´ ucs´aban van, ´ıgy ´erdemes olyan v´ag´asi pontokat gener´alni, amely eset´eben az u ´j r´eszprobl´em´ak k¨oz¨ ul az egyik relax´alt feladatnak az optim´alis megold´asa m´ar egy m´asik lehets´eges b´azismegold´as legyen. Ez sokszor nem teljes´ıthet˝o (K = ∅), ilyenkor az LP feladat ´erz´ekenys´egi vizsg´alat´aval keres¨ unk megfelel˝o v´ag´asi pontot. Ekkor c´elunk az, hogy min´el kevesebb part´ıcion´al´assal ˆ = ∅) vagy olyan r´eszfeladatokhoz jussunk, amelyek m´ar vagy optim´alisak (azaz K b´azisv´altoz´as l´ep fel. A kor´abbi r´eszben a part´ıcion´al´as ut´ani r´eszfeladatok viselked´es´et vizsg´altuk. Megmutattuk, hogy elegend˝oen sok part´ıcion´al´asi l´ep´es ut´an egy r´eszprobl´ema vagy termin´aliss´a v´alik, vagy b´azisv´altoz´as l´ep fel. Az algoritmus szempontj´ab´ol fontos a felt´etelrendszer ´altal meghat´arozott poli´eder szerkezete, azok az u ´gymond sz´ep” cs´ ucsok (b´azismegold´asok), amelyek az ´erz´ekeny” s´egvizsg´alat alapj´an el´egg´e stabilak a c´elf¨ uggv´eny m´odos´ıt´as´ara n´ezve. P´eld´aul egy focilabda (amely 5 ´es 6 sz¨ogekb˝ol ´all) cs´ ucsai nem annyira sz´epek” szemben egy ”

65 kocka cs´ ucsaival. A PNS feladatok egy¨ utthat´om´atrixa ritka, ´ıgy a felt´etelek ´altal meghat´arozott s´ıkok sz´ep” cs´ ucsokat k´epezhetnek. A m´odszer¨ unk j´ol kihaszn´alja a ” PNS feladatok ilyen tulajdons´ag´at. Az ´erz´ekenys´egi vizsg´alat seg´ıts´eg´evel a part´ıcion´al´as ut´ani r´eszprobl´em´akr´ol sok esetben el˝ore tudjuk, hogy a korl´atoz´asi l´ep´esben mi lesz az optim´alis b´azis. Ilyen estekben term´eszetesen nem kell az LP feladatot megoldani.

3.6.6.

Az eredm´ eny r¨ ovid ¨ osszefoglal´ asa

A 3.6 fejezet a 2b t´ezispontban megfogalmazott eredm´enyeket tartalmazza. ´ elj´ar´ast dolgoztam ki a line´aris felt´etelrendszerrel adott, v´altoz´oiban sz´etUj v´alaszthat´o konk´av programoz´asi feladat megold´asa sor´an felmer¨ ul˝o sz´etv´alaszt´as l´ep´esre. Az elj´ar´as a 2a t´ezispontban megfogalmazott optimalit´asi krit´eriumon alapulva v´egzi a r´eszprobl´em´ak part´ıcion´al´as´at, illetve a termin´alis r´eszprobl´em´ak meghat´aroz´as´at. A megfogalmazott algoritmus helyess´eg´et igazoltam.

3.7.

Kombinatorikusan gyors´ıtott algoritmus

Egy PNS feladathoz tartoz´o konk´av szepar´abilis feladat felt´etelrendszere mag´an hordozza a PNS feladat saj´atoss´agait, melyek figyelembev´etel´evel u ´j, hat´ekony m´odszer k´esz´ıthet˝o PNS feladatok optimaliz´al´as´ara.

3.7.1.

Bevezet´ es

Egy P-gr´af j´ol reprezent´alja a PNS modellben l´ev˝o v´altoz´ok k¨oz¨otti f¨ ugg˝os´egeket (l´asd 2.2.3 fejezet). A matematikai modell egy lehets´eges x megold´as´at azonos´ıthatjuk a P-gr´af egy s (strukt´ ur´aval) P-r´eszgr´afj´aval : oi ∈ s ⇔ xi 6= 0 (term´eszetesen nem minden r´eszgr´afhoz l´etezik lehets´eges x megold´asvektor). Az alap algoritmus (3.1 ´abra) m˝ uk¨od´ese k¨ozben a lehets´eges megold´asok halmaz´at part´ıcion´alja. Az itt bevezet´esre ker¨ ul˝o m´odszer abban k¨ ul¨onb¨ozik a kor´abbi

66 elj´ar´ast´ol, hogy a part´ıcion´al´assal p´arhuzamosan az elj´ar´as egy P-gr´afon v´egez m˝ uveleteket. A gr´af seg´ıts´eg´evel kisz˝ urhet¨ unk olyan r´eszprobl´em´akat, amelyek nem teljes´ıtik a kor´abban bevezetett axi´om´akat (2.2.2 defin´ıci´o), ez´altal t¨or¨olhet˝oek. Egy LP feladat megold´as´anak sz´am´ıt´asig´enye j´oval t¨obb egy P-gr´afon v´egzett egyszer˝ u m˝ uveletn´el, viszont a P-gr´af haszn´alata n´elk¨ ul csak az als´okorl´at sz´am´ıt´as (egy LP feladat megold´asa) ut´an lenne lehet˝os´eg a r´eszprobl´ema t¨orl´es´ere. A m´odszer egy ´altal´anosabb feladatoszt´alyt kezel´es´et teszi lehet˝ov´e, amely f´elfolytonos v´altoz´okat is tartalmazhat. Egy xi ∈ IR v´altoz´o f´elfolytonos, ha xi = 0 vagy 0 ≤ li ≤ xi ≤ ui teljes¨ ul (0 ∈ / [li , ui ], k¨ ul¨onben folytonos v´altoz´oval van dolgunk). A f´elfolytonos v´altoz´ok gyakran el˝ofordulnak val´os ipari feladatok modellez´es´en´el. Szeml´eletesen annyit jelent, hogy egy m˝ uveleti egys´eg m´erete nem lehet ak´armilyen kicsi. A T halmaz a k¨ovetkez˝ok´eppen m´odosul: T = {x ∈ IRn : 0 ≤ li ≤ xi ≤ ui vagy xi = 0, i = 1, . . . , n}. A f´elfolytonos v´altoz´ok miatt a T halmaz nem konvex, ´ıgy a kiindul´asi T halmazt k¨ozel´ıten¨ unk kell: T 0 = {x ∈ IRn : 0 ≤ xi ≤ ui , i = 1, . . . , n}. A m˝ uveleti egys´eghez kapcsol´od´o k¨olts´egf¨ uggv´eny (kor´abban l´asd (2.2.9) egyenlet):  0, xi = 0, fi (xi ) = (3.7.1) a + b xα , x > 0, i

i

i

i

ahol α ∈ IR, 0 ≤ α ≤ 1, ai ≥ 0, bi ≥ 0, (i = 1, . . . , n).

3.7.2.

R´ eszprobl´ em´ ak

Kor´abbi t´argyal´asunkban egy r´eszprobl´em´at egy T k hipert´egla hat´arozott meg (l´asd 3.2.1 fejezet), a kombinatorikusan gyors´ıtott m´odszer eset´eben a r´eszprobl´em´ahoz egy P-gr´afot is hozz´arendel¨ unk. A P-gr´af le´ır´as´at a m˝ uveleti egys´egek halmaz´anak egy oszt´alyoz´asa adja meg: f ixk0 ⊆ O, f ixk1 ⊆ O, f reek ⊆ O halmazok. A r´eszprobl´ema meghat´aroz´asakor ezeket a halmazokat is defini´alni kell.

67 Legyen P k = (T k , Dk , f ixk0 , f ixk1 , f reek ) r´eszprobl´ema. Legyen T k = {x ∈ IRn : lk ≤ x ≤ uk } ⊆ T 0 ´es a f ixk0 , f ixk1 , f reek halmazok a kor´abban eml´ıtett oszt´alyoz´asa a m˝ uveleti egys´egek halmaz´anak. A halmazok k¨oz¨ott a k¨ovetkez˝o ¨osszef¨ ugg´esek ´allnak fenn: oi ∈ f ixk0

⇔

lik = uki = 0,

oi ∈ f ixk1

⇔

0 ≤ li ≤ lik ≤ xi ≤ uki ≤ ui ,

oi ∈ f reek

⇔

0 = lik ≤ xi ≤ uki = ui .

A f ixk0 halmaz tartalmazza a kiz´art m˝ uveleti egys´egeket, f ixk1 a bev´alasztott m˝ uveleti egys´egek halmaza ´es a f reek halmaz a m´eg nem d¨ont¨ott m˝ uveleti egys´egeket tartalmazza.

3.7.3.

Kiterjeszt´ es

A kiterjeszt´esi elj´ar´as v´egrehajt´asakor, a gr´af m´ar r¨ogz´ıtett r´esz´et ´ep´ıtj¨ uk” tov´abb ” a kor´abban v´egzett d¨ont´esek alapj´an. A kiterjeszt´esi l´ep´es a kombinatorikusan lehets´eges megold´asok tulajdons´agait kihaszn´alva v´egzi a d¨ont´eseket a m´eg nem d¨ont¨ott m˝ uveleti egys´egek bev´etel´er˝ol vagy kiz´ar´as´ar´ol. A kiterjeszt´es egy iterat´ıv folyamat, a kiterjeszt´esi l´ep´eseket addig kell ism´etelni, am´ıg m´ar nincs v´altoz´as a gr´afon. Ez v´eges sok iter´aci´os l´ep´est jelent, hiszen a m˝ uveleti egys´egek sz´ama v´eges. A kiterjeszt´es k´et ir´anyban lehets´eges: felfel´e ´es lefel´e. Megjegyezz¨ uk, hogy a kiterjeszt´esek csak gyors´ıtj´ak az algoritmus konvergenci´aj´at, a konvergenci´anak nem felt´etelei. Felfel´ e´ ep´ıtkez´ es Legyen mi anyagpont, ahol potenci´alisan kiterjeszt´est v´egezhet¨ unk, tov´abb´a kisz´amoljuk Ui halmazt, amely az mi -t el˝o´all´ıt´o m˝ uveleti egys´egek halmaza.     [ [ oj  \ f ixk0 . Ui =  αj  ∪ P \ R, mi ∈  (αj ,βj )∈f ixk1

(αj ,βj )∈O,mi ∈βj

68 Ha Ui = {(αl , βl )} ⊆ f reek , akkor f reek = f reek \ {l}, f ixk1 = f ixk1 ∪ {l}. A szab´aly szerint, ha l´etezik egy mi anyag, mely nem nyersanyag ´es azt valamely m˝ uveleti egys´eg m´ar fogyasztja, akkor azt legal´abb egy m˝ uveleti egys´egnek el˝o kell ´all´ıtani. Ha az mi -t el˝o´all´ıt´o m˝ uveleti egys´egek halmaza egyelem˝ u, akkor azt az elemet hozz´a kell venni a m´ar bev´alasztott m˝ uveleti egys´egek k¨oz´e, k¨ ul¨onben az S2 felt´etel (2.2.2 defin´ıci´o) s´er¨ ulne. Lefel´ e´ ep´ıtkez´ es Legyen os = (αs , βs ) ∈ f ixk1 , melyre βs ∩ P = ∅, legyen tov´abb´a   [ Us =  oj  \ f ixk0 . (αj ,βj )∈O,βs ∩αj 6=∅

Us tartalmazza az os ´altal gy´artott anyagokat fogyaszt´o m˝ uveleti egys´egeket. Ha Us = {(αl , βl )} ⊆ f reek , akkor f reek = f reek \ {l}, f ixk1 = f ixk1 ∪ {l}. Ha adott egy m´ar bev´alasztott m˝ uveleti egys´eg, mely nem gy´art term´eket, ´es az ´altala gy´artott anyagokat csak egy m˝ uveleti egys´eg k´epes felhaszn´alni, akkor azt hozz´avessz¨ uk a bev´alasztott m˝ uveleti egys´egekhez. Ha az ´ıgy meghat´arozott halmaz u ¨res, akkor a r´eszprobl´ema eldobhat´o, hiszen s´er¨ ul az S3 felt´etel (2.2.2 defin´ıci´o). A kiterjeszt´es eredm´enyek´ent bizonyos m˝ uveleti egys´egek a f reek halmazb´ol ´atker¨ ulnek egy m´asik oszt´alyba. Ilyenkor megv´altoznak a m˝ uveleti egys´egekhez kapcsol´od´o v´altoz´ok korl´atai. Jel¨olje most oj ∈ f reek a m˝ uveleti egys´eget ´es xj a hozz´a tartoz´o v´altoz´ot (0 ≤ xj ≤ uj teljes¨ ul). K´et eset van: 1. Az oj m˝ uveleti egys´eg a f reek -b´ol a f ixk0 -be ker¨ ul. A m˝ uveleti egys´eget a kiz´artak k¨oz´e helyezt¨ uk, ´ıgy az xj = 0 teljes¨ ul (ljk = 0, ukj = 0). 2. Az oj m˝ uveleti egys´eg a f reek -b´ol a f ixk1 -be ker¨ ul. A m˝ uveleti egys´eget a bevettek k¨oz´e helyezt¨ uk. Az xj = 0 lehet˝os´eget kiz´artuk, ´ıgy lj ≤ xj ≤ uj teljes¨ ul ( ljk = lj , ukj = uj ).

69

3.7.4.

Algoritmus

Az algoritmus az ´altal´anos szepar´abilis konk´av mininimaliz´aci´os elj´ar´asra ´ep¨ ul kieg´esz´ıtve a P-gr´af reprezent´aci´on alapul´o kombinatorikus r´eszekkel. A kor´abban bevezetett (3.1 ´abra) algoritmust m´odos´ıtjuk ´es csak az u ´j r´eszeket r´eszletezz¨ uk (l´asd 3.9 ´abra). Csak akkor v´egezz¨ uk el a m˝ uveleteket a p´arhuzamosan ´ep¨ ul˝o P-gr´afon, ha a d¨ont´es el˝ott ´all´o v´altoz´on m´eg nem volt d¨ont´es (j ∈ f reek ). Ha egy kor´abban d¨ont¨ott v´altoz´on v´egz¨ unk d¨ont´est, akkor a kapcsol´od´o m˝ uvelet egys´eget m´ar kor´abban bev´alasztottuk a strukt´ ur´aba ´es ´ıgy a P-gr´af v´altozatlan. Korl´ atoz´ as A korl´atoz´asi l´ep´es teljesen anal´og a 3.2.2 fejezetben bevezetett elj´ar´assal. A f´elfolytonos v´altoz´ok miatt a T halmazt kiterjesztett¨ uk T 0 halmazra. Az indul´o r´eszprobl´em´aban defini´alt T 0 halmaz a T halmaz kiterjeszt´ese (3.9 ´abra). A kiterjeszt´es miatt az alaphalmazunk b˝ov¨ ult. Ha valamely i ∈ {1, . . . , n}-re ωik ∈]0, li [ teljes¨ ul, az ω k nem lehets´eges megold´asa az eredeti feladatnak. Az F k (ω) tov´abbra is als´o korl´at, hiszen b˝ovebb halmazon minimaliz´altunk, az f (ω k ) ´ert´ek fels˝o korl´atk´ent m´ar nem haszn´alhat´o. Sz´ etv´ alaszt´ as A v´ag´asi v´altoz´o kiv´alaszt´asa legyen a k¨ovetkez˝o szab´ alyok szerint: if ( ∃i (ωik ∈]0, li [ ) then  j = argmaxωik ∈]0,li [ fi (ωik ) − Fik (ωik )

else if ( ∃i ( i ∈ f reek ∧ (fi (ωjk ) − Fik (ωik )) > 0) ) then  j = argmaxi∈f reek fi (ωik ) − Fik (ωik )

else

 j = argmaxi∈1...n fi (ωik ) − Fik (ωik )

endif

A kor´abbi v´ag´asi strat´egi´akhoz k´epest a k¨ ul¨onbs´eg annyi, hogy el˝osz¨or olyan xj v´altoz´on d¨ont¨ unk, amelyhez tartoz´o ωjk megold´as ´ert´eke nem megengedett. Ha nincs

70

Kombinatorikusan gyors´ıtott algoritmus Bemen˝ o adatok: m, n ∈ IN A ∈ IRm×n , b ∈ IRm , l, u ∈ IRn ´es 0 ≤ l ≤ u f : IRn → IR f¨ uggv´eny k = 0, L = −∞, U = ∞, A = {x ∈ IRn : A x ≤ b} T 0 = {x ∈ IRn : 0 ≤ x ≤ u} D0 = A ∩ T 0 P 0 = (T 0 , D0 , ∅, ∅, O) S = {P 0 } Kimen˝ o adatok: ¯ a (P ) feladat optim´ alis megold´ asa x a (P ) feladat optimum ´ert´eke U Begin while (S = 6 ∅) begin P k = V´ alaszt(S); ¯ ) = Korl´ ¯ ); (L, U, x atoz´ as(P k , x if U = L then ¯ optim´ x alis megold´ asa a (P ) feladatnak, STOP; k k k 1 2 3 (P , P , P , ι) = Part´ıcion´ al´ as(P k , f k , β k ); if ι = 1 then S = S ∪ {P k1 , P k2 }; else if ι = 2 then begin RSG(P k1 ); hajtsuk v´egre a kiterjeszt´esi l´ep´eseket a r´eszprobl´em´ akra k k k 1 2 3 S = S ∪ {P , P , P }; end end End.

3.9. ´abra. Kombinatorikusan gyors´ıtott algoritmus.

71

Part´ıcion´ al´ as Bemen˝ o adatok: P k, f k, βk Kimen˝ o adatok: P k1 , P k2 , P k3 , ι Begin if U ≥ β k then begin a v´ ag´ asi v´ altoz´ o xj meghat´ aroz´ asa; a v´ ag´ asi pont p meghat´ aroz´ asa; if j ∈ f reek then begin kisz´ amoljuk az u ´j halmazokat (l´ asd (3.7.4) ´es (3.7.5) k´epletek). ι = 2; end else begin kisz´ amoljuk az u ´j halmazokat (l´ asd (3.7.2) ´es (3.7.3) k´epletek). ι = 1; end end else begin ι = 0; a halmazok legyenek u ¨resek; end S = S \ {P k } End.

3.10. ´abra. A part´ıcion´al´asi elj´ar´as a kombinatorikusan gyors´ıtott algoritmusban.

72 ilyen, akkor olyan v´altoz´on d¨ont¨ unk, amelyen m´eg nem volt d¨ont´es (j ∈ f reek ), k¨ ul¨onben a kor´abban m´ar bevezetett m´odon d¨ont¨ unk. A sz´etv´alaszt´asi strat´egia szerint lehet˝oleg a m´eg nem d¨ont¨ott v´altoz´on v´agunk, ´es mivel csak az i ∈ f reek -ra lehets´eges az ωik ∈]0, li [ nem megengedett megold´as, ´ıgy v´eges l´ep´esben val´odi megold´ast kapunk. A v´ag´asi pont meghat´aroz´asa lehet a kor´abban a bemutatott ”cs´ usztatott” vagy maxim´alis r´es part´ıcion´al´asban haszn´alt v´alaszt´as. Egy r´eszfeladat part´ıcion´al´asa is m´odosul a kor´abbiakhoz k´epest.

Legyen az

k

aktu´alis r´eszfeladat P , j a v´ag´asi v´altoz´o ´es p a v´ag´asi pont. Ha j ∈ f ixk1 , akkor k´et r´eszprobl´ema keletkezik (P k1 , P k2 ). f reek1 = f reek , f ixk01 = f ixk0 , f ixk11 = f ixk1 ,

(3.7.2)

f reek2 = f reek , f ixk02 = f ixk0 , f ixk12 = f ixk1 , T 1 = {x ∈ T k : ljk ≤ xj ≤ p}

(3.7.3)

T 2 = {x ∈ T k : p ≤ xj ≤ ukj } Ha j ∈ f reek , akkor h´arom r´eszprobl´ema keletkezik (P k1 , P k2 , P k3 ). A 3.11 ´abr´an a I. II. III. jel¨oli a megfelel˝o r´eszprobl´em´akat. f reek1 = f reek \ {j}, f ixk01 = f ixk0 ∪ {j}, f ixk11 = f ixk1 , f reek2 = f reek \ {j}, f ixk02 = f ixk0 , f ixk12 = f ixk1 ∪ {j},

(3.7.4)

f reek3 = f reek \ {j}, f ixk03 = f ixk0 , f ixk13 = f ixk1 ∪ {j}, T k1 = {x ∈ T k : xj = 0} T k2 = {x ∈ T k : lj ≤ xj ≤ p}

(3.7.5)

T k3 = {x ∈ T k : p ≤ xj ≤ uj } A part´ıcion´al´asi elj´ar´ast a 3.10 ´abra foglalja ¨ossze. RSG Kor´abban m´ar eml´ıtett RSG algoritmus (2.3 fejezet) itt is haszn´alhat´o v´altozatlan form´aban.

73

3.11. ´abra. V´ag´as egy m´eg nem d¨ont¨ott v´altoz´on.

3.7.5.

A helyess´ eg bizony´ıt´ asa

Az eredeti algoritmushoz k´epest (l´asd 3.1 ´abra) f˝o elt´er´es a f´elfolytonos v´altoz´ok kezel´ese. Egy m´ar kor´abban d¨ont¨ott xj v´altoz´on (j ∈ f ixk0 ∪ f ixk1 ) a part´ıcion´al´as m´ar az eredeti algoritmus szerint viselkedik. Egy m´eg nem d¨ont¨ott v´altoz´o (j ∈ f reek ) d¨ont´es ut´an m´ar d¨ont¨ott´e v´alik, mivel kezdetben a nem d¨ont¨ott v´altoz´ok sz´ama v´eges, ez´ert v´eges sz´am´ u olyan d¨ont´es van, amely m´eg nem d¨ont¨ott v´altoz´on t¨ort´enik, azaz v´eges l´ep´esben t´er el m´odszer¨ unk az eredeti algoritmust´ol. Ezek alapj´an mondhatjuk, ha az eredeti algoritmusunk konvergens, akkor a kombinatorikusan gyors´ıtott algoritmus is konvergens lesz, ´es ez v´egess´egre is teljes¨ ul.

3.7.6.

Az eredm´ eny r¨ ovid ¨ osszefoglal´ asa

A 3.7 fejezet a 3a t´ezispontban megfogalmazott eredm´enyeket tartalmazza. A Friedler ´es munkat´arsa ´altal kidolgozott P-gr´af m´odszert felhaszn´alva elk´esz´ıtettem a line´aris felt´etelrendszerrel adott szepar´abilis konk´av programoz´asi feladatot megold´o algoritmus kombinatorikusan gyors´ıtott v´altozat´at.

74

3.8.

N-legjobb megold´ as

Vegyipari rendszerek eset´eben a matematikai modell nem k´epes (vagy abban az esetben ha k´epes lenne, akkor t´ ul bonyolultt´a v´alna a modell) a rendszer minden tulajdons´ag´at le´ırni, pl.: ir´any´ıthat´os´ag, megval´os´ıthat´os´ag stb. Ez´ert sz¨ uks´eg van az optim´alis megold´ason t´ ul szuboptim´alis megold´asok meghat´aroz´as´ara is, amelyek k¨oz¨ ul a felhaszn´al´o tudja kiv´alasztani a sz´am´ara megfelel˝ot.

3.8.1.

Bevezet´ es

Egy optimaliz´aci´os feladatban, amely tartalmaz folytonos v´altoz´okat nincs ´ertelme m´asodik legjobb megold´asr´ol besz´elni. A kombinatorikusan lehets´eges megold´asok defin´ıci´oj´at (2.2.2 defin´ıci´o) bevezetve, a szuboptim´alis megold´asok j´ol defini´altakk´a v´alnak. Defini´aljuk f˜ f¨ uggv´enyt az f k¨olts´egf¨ uggv´eny (l´asd (3.7.1) egyenlet) felhaszn´al´as´aval: f˜i (xi ) =

 0,

xi = 0,

(3.8.1)

b xα , x > 0, i i i

ahol bi ≥ 0 ´es 0 ≤ α ≤ 1, azaz a fix k¨olts´egt˝ol tekintett¨ unk el. Legyen s ∈ S(P, R, O), kombinatorikusan lehets´eges strukt´ ura. Jel¨olje z˜(s) ´ert´ek az f˜ k¨olts´egf¨ uggv´ennyel vett optimum´ert´eket az s strukt´ ur´ara megszor´ıtva (oj ∈ / s-re xj = 0), ´es hasonl´oan jel¨olje z(s) ´ert´ek az f k¨olts´egf¨ uggv´ennyel vett optimum´ert´eket az s strukt´ ur´ara megszor´ıtva. Defin´ıci´ o 3.8.1 A p ∈ S(P, R, O) kombinatorikusan lehets´eges strukt´ ura lok´alisan optim´alis strukt´ ura, ha ∀q ∈ S(P, R, O) ((q ⊂ p) ⇒ (z(p) < z(q))) teljes¨ ul. A lok´alisan optim´alis strukt´ ur´ ak halmaz´at jel¨olje L(P, R, O).

75

3.1. t´abl´azat. Lok´alisan optim´alis strukt´ ur´ak sz´amoss´aga Feladat Komb. lehets´eges strukt´ ur´ak Lok. opt. strukt´ ur´ak Denmark 3465 96 Alpha 423 36

p ∈ S(P, R, O) kombinatorikusan lehets´eges strukt´ ura ar´anyos k¨olts´eg szerinti lok´alisan optim´alis strukt´ ura, ha ∀q ∈ S(P, R, O) ((q ⊂ p) ⇒ (˜ z (p) < z˜(q))) teljes¨ ul. Az ar´anyos k¨olts´eg szerinti lok´alisan optim´alis strukt´ ur´ ak halmaz´at jel¨olje ˜ L(P, R, O). A lok´alisan optim´alis strukt´ ur´ak halmaza f¨ ugg a modell param´etereit˝ol, ellent´etben a kombinatorikusan lehets´eges megold´asok halmaz´aval, amely csak maxim´alis a strukt´ ur´at´ol f¨ ugg. A 3.1 t´abl´azat tartalmazza k´et ipari feladat [39] lok´alisan optim´alis megold´asainak a sz´am´at ´es a kombinatorikusan lehets´eges strukt´ ur´ak sz´am´at. A lok´alisan optim´alis strukt´ ur´ak halmaza r´esze a kombinatorikusan lehets´eges strukt´ ur´ak halmaz´anak, tov´abb´a egy lok´alisan optim´alis strukt´ ur´ahoz hozz´atartozik egy x megold´asvektor, amely megadja a strukt´ ur´aban szerepl˝o m˝ uveleti egys´egek m´eret´et. Elk´epzelhet˝o, hogy egy p strukt´ ur´ahoz t¨obb optim´alis x megold´asvektor tartozik, amely egy ritka eset, de nem z´arhat´o ki. Szeml´eletes jelent´ese az, hogy egy azonos strukt´ ur´ahoz k´et optim´alis konfigur´aci´o (megold´asvektor) tartozik. Ilyenkor mindk´et megold´asvektor hasznos lehet, ´es az algoritmus azonos´ıtani fogja ezeket. A k¨ovetkez˝okben a lok´alisan optim´alis strukt´ ur´ak n´eh´any tulajdons´ag´at mutatjuk meg. ˜ ´ ıt´ All´ as 3.8.1 L(P, R, O) ⊆ L(P, R, O) ˜ Bizony´ıt´ as. Megmutatjuk, hogy ha s ∈ L(P, R, O), akkor s ∈ L(P, R, O). ˜ s ∈ IRn , melyre z˜(s) = f˜(˜ Legyen xs ∈ IRn , melyre z(s) = f (xs ), x xs ). z˜(s) ≤ z(s), hiszen f˜ ≤ f .

76 ˜ ˜ q vektor, melyre z˜(q) = f˜(˜ Indirekten: Tfh. s ∈ / L(P, R, O), akkor ∃ q ⊂ s ´es x xq ) ≤ f˜(˜ xs ) = z˜(s). A k¨ovetkez˝o teljes¨ ul: X

ai ≤

i:˜ xqi 6=0

X

ai , hiszen, q ⊂ s ´es s ∈ L(P, R, O).

i:xsi 6=0

Az egyenl˝otlens´eg felhaszn´al´as´aval kapjuk, hogy f (˜ xq ) = f˜(˜ xq ) +

X

ai ≤ f˜(˜ xs ) +

i:˜ xqi 6=0

X

ai ≤ f˜(xs ) +

i:˜ xqi 6=0

Mivel q ⊂ s, ez´ert s ∈ / L(P, R, O) k¨ovetkezik.

X

ai = f (xs ).

i:xsi 6=0

2

˜ ´ ıt´ All´ as 3.8.2 L(P, R, O) 6= L(P, R, O) Bizony´ıt´ as. Trivi´alisan adhat´o egy ellenp´elda. O = {1, 2}, o1 = ({m2 }, {m1 }), o2 = ({m3 }, {m1 }) Modell param´eterek A m˝ uveleti egys´egekhez tartoz´o param´eterek: l1 = 0, l2 = 0,u1 = 100, u2 = 100, a1 = 1, a2 = 1000, b1 = 0, b2 = 0, r11 = 1, r12 = 1, r21 = 1, r23 = 1. Az anyagponthoz tartoz´o param´eterek: C1 = 0, C2 = 100, C3 = 1, p1 = 10, p2 = 0, p3 = 0, s1 = 0, s2 = 100, s3 = 5 ˜ K¨onnyen ellen˝orizhet˝o, hogy az {1, 2} ∈ / L(P, R, O), viszont {1, 2} ∈ L(P, R, O). 2 ¨ Osszefoglalva: a lok´alisan optim´alis strukt´ ur´ak nem tartalmaznak olyan m˝ uveleti egys´egeket, amelyek ¨onc´el´ uan vesznek r´eszt a v´egterm´ekek gy´art´as´aban. Ellenkez˝o esetben sok ´ertelmetlen strukt´ ur´at lehetne l´etrehozni, amelyben az optim´alis megold´ast kib˝ov´ıtj¨ uk fikt´ıv m˝ uveleti egys´egekkel, ´es azokat valamilyen szinten m˝ uk¨odtetj¨ uk. ´ ıt´ All´ as 3.8.3 Legyen p ∈ L(P, R, O) lok´alisan optim´alis strukt´ ura, ´es x∗ ∈ IRn a hozz´a tartoz´ o optim´alis megold´asvektor, akkor x∗ a D politop extrem´ alis pontja (cs´ ucsa).

77 Bizony´ıt´ as.

A megold´asvektor u ´gy kapjuk, hogy a kor´abban eml´ıtett m´odon p

strukt´ ur´ara megszor´ıtjuk a D halmazt, ´es azon keress¨ uk az optim´alis megold´as´at. A p strukt´ ur´ara megszor´ıtott D halmaz a k¨ovetkez˝ok´eppen n´ez ki:   \ D ∩  {xi : xi = 0} .

(3.8.2)

oi ∈p /

Mivel xi ≥ 0 teljes¨ ul minden i-re, ´ıgy az u ´j halmazban nincs u ´j extrem´alis pont, ´es

kor´abban m´ar megmutattuk, hogy az optim´alis megold´as mindig extrem´alis pontban van (l´asd 3.0.1 lemma).

2

Megjegyz´ es: Visszafel´e term´eszetesen nem igaz, egy extrem´alis pont nem biztos, hogy kiel´eg´ıti a lok´alisan optim´alis strukt´ ura defin´ıci´oj´at. Tekints¨ unk a legegyszer˝ ubb esetet: legyen k´et cs´ ucs, amelyben a nemz´er´o v´altoz´ok halmaza megegyezik, ´es a cs´ ucsokban sz´amolt c´elf¨ uggv´eny ´ert´eke k¨ ul¨onb¨oz˝o, a cs´ ucsok k¨oz¨ ul csak az egyik lehet lok´alisan optim´alis strukt´ ura. A cs´ ucs lesz´aml´al´asi elj´ar´asokkal elvileg lehets´eges N-legjobb megold´ast keresni. A lok´alisan optim´alis strukt´ ur´akhoz tartoz´o cs´ ucsok m´eg csak nem is szomsz´edosak, ´ıgy az ¨osszes cs´ ucs gener´al´as´at tenn´e sz¨ uks´egess´e a m´odszer. Tov´abb´a minden cs´ ucsra ki kell ´ert´ekelni a f¨ uggv´enyt ´es ellen˝orizni, hogy lok´alisan optim´alis strukt´ ura-e? Felmer¨ ul a k´erd´es, hogy mi´ert k¨ ul¨onb¨oztetj¨ uk meg a lok´alisan optim´alis strukt´ ur´akat az ar´anyos k¨olts´eg szerinti lok´alisan optim´alis strukt´ ur´akt´ol. A 2.3 fejezetben eml´ıtett ABB algoritmust is lehet u ´gy m´odos´ıtani, hogy az N -legjobb megold´ast szolg´altassa. Az ABB m´odszer a k¨olts´eg fix r´esz´et k¨ ul¨on kezeli, ´ıgy csak az ar´anyos k¨olts´eg szerinti lok´alis optim´alis strukt´ ur´akat k´epes azonos´ıtani.

3.8.2.

Algoritmus

A m´odszer a kombinatorikusan gyors´ıtott algoritmusra (l´asd 3.9 ´abra) ´ep¨ ul. A m´odszer a lok´alisan optim´alis strukt´ ur´ak halmaz´an keresi meg az els˝o N -legjobbat. Az algoritmus v´azlatos le´ır´as´at a 3.12 ´abra tartalmazza, csak az u ´j r´eszeket r´eszletezz¨ uk. Megjegyezz¨ uk, hogy az ar´anyos k¨olts´eg szerinti lok´alisan optim´alis strukt´ ur´ak halmaz´an t¨ort´en˝o keres´es csak kis m´ert´ekben t´er el a bemutatott elj´ar´ast´ol, az arra t¨ort´en˝o m´odos´ıt´as megval´os´ıthat´o.

78

N-legjobb megold´ as algoritmus Bemen˝ o adatok: N, m, n ∈ IN A ∈ IRm×n , b ∈ IRm , l, u ∈ IRn ´es 0 ≤ l ≤ u f : IRn → IR konk´ av f¨ uggv´eny k = 0, L = −∞, U = ∞ A = {x ∈ IRn : A x ≤ b} T 0 = {x ∈ IRn : 0 ≤ x ≤ u} D0 = A ∩ T 0 P 0 = (T 0 , D0 ) S = {P 0 } Kimen˝ o adatok: a (P ) feladat els˝ o N legjobb lok´ alisan optim´ alis strukt´ ur´ at tartalmaz´ o sN lista Begin while (S = 6 ∅) begin P k = V´ alaszt(S); ¯ ) = Korl´ ¯ ); (L, U, x atoz´ as(P k , x k N N-Lista Friss´ıt(ω , s ) if P k nem termin´ alis then (P k1 , P k2 , P k3 , ι) = Part´ıcion´ al´ as(P k , f k , β k ); else ι=0 if ι = 1 then S = S ∪ {P k1 , P k2 }; else if ι = 2 then begin RSG(P k1 ); hajtsuk v´egre a kiterjeszt´esi l´ep´eseket a r´eszprobl´em´ akra k k k 1 2 3 S = S ∪ {P , P , P }; end end End.

3.12. ´abra. N -legjobb megold´ast meghat´aroz´o algoritmus v´azlata.

79 A m´odszert a kombinatorikusan gyors´ıtott algoritmusb´ol (l´asd 3.9 ´abra) sz´armaztatjuk. A potenci´alis lok´alisan optim´alis strukt´ ur´akat egy list´aba gy˝ ujtj¨ uk (N -lista), amit az algoritmus folyamatosan friss´ıt. A r´eszprobl´em´ak terminalit´as´anak eld¨ont´ese ´es a v´ag´asi strat´egia is m´odosult. Part´ıcion´ al´ as A part´ıcion´al´as megegyezik a Kombinatorikusan gyors´ıtott algoritmusn´al bevezetett elj´ar´assal (l´asd 3.7.4 fejezet). Az N -lista friss´ıt´ ese Az eddig megtal´alt legjobb megold´asokat tartalmazza az N -lista. Jel¨olje rendre sN i ⊆ n O, xN aban l´ev˝o i-edik strukt´ ur´at, ´es a hozz´a tartoz´o i ∈ IR , i ∈ {1, . . . N }, az N -list´

megold´asvektort. Legyen ω k az aktu´alis r´eszfeladatokhoz tartoz´o megold´asvektor, q k ⊆ O az ω k megold´asvektorhoz tartoz´o strukt´ ura, amelyre oj ∈ q k ↔ ωjk 6= 0, (q k ⊆ f ixk1 ∪ f reek ), ´es β k az als´okorl´at. Az elj´ar´as le´ır´as´at a 3.13 ´abra tartalmazza. Vegy¨ uk sorra az elj´ar´as egyes l´ep´eseit: 1. Az els˝o sor azt vizsg´alja, hogy ha az aktu´alis megold´as rosszabb, mint a lista legrosszabb megold´asa, akkor az elj´ar´as befejez˝odik ´es nem t¨ort´enik semmi v´altoz´as a list´aban. 2. A ciklus megvizsg´alja az ¨osszes list´aban l´ev˝o elemet, ´es ¨osszehasonl´ıtja az aktu´alis elemmel. (a) A list´aban egy hasonl´o strukt´ ur´at tal´altunk. i. Az aktu´alis q k strukt´ ur´anak kisebb a c´elf¨ uggv´eny ´ert´eke, ´ıgy a list´aban l´ev˝o sN or¨olj¨ uk a list´ab´ol. i elemet t¨ ii. Az aktu´alis strukt´ ur´anak a c´elf¨ uggv´eny´ert´eke megegyezik a list´aban l´ev˝o strukt´ ur´aval, ´es a megold´asvektorok k¨ ul¨onb¨oz˝oek. Ebben az esetben mindk´et megold´ast megtartjuk ´es megn¨ovelj¨ uk a list´at, mert ilyen esetekben egy strukt´ ura t¨orl´ese maga ut´an vonja az ¨osszes azonos strukt´ ura t¨orl´es´et.

80

N-lista Friss´ıt Bemen˝ o adatok: ω k , sN lista Kimen˝ o adatok: sN lista Begin if (f (ω k ) > f (xN N )) then return; for i ∈ {1, . . . , N } do begin if (q k = sN i ) then if (f (ω k ) < f (xN i )) then N delete si , xN i ; k N else if (ω k 6= xN i ∧ f (ω ) = f (xi )) IncreaseList; k ∧ f (xN ) < f (ω k )) then if (sN ⊂ q i i return; k N else if (q k ⊂ sN i ∧ f (ω ) ≤ f (xi )) then N N delete si , xi ; else if (q k ∩ sN i ∈ S(P, R, O)) then IncreaseList; end k k N sN N = q ; xN = ω ; ReorderList; End.

3.13. ´abra. N -list´at m´odos´ıt´o elj´ar´as.

81 (b) L´etezik olyan strukt´ ura a list´aban, amely r´eszhalmaza az aktu´alis strukt´ ur´anak ´es a c´elf¨ uggv´eny´ert´eke kisebb. Ez ellentmond a lok´alisan optim´alis strukt´ ura defin´ıci´oj´anak, a list´ank v´altozatlan marad. (c) Az aktu´alis strukt´ ura r´eszhalmaza egy, a list´aban l´ev˝o strukt´ ur´anak ´es a c´elf¨ uggv´eny´ert´eke kisebb. Ez ellentmond a lok´alisan optim´alis strukt´ ura defin´ıci´oj´anak, ez´ert a listaelemet t¨or¨olj¨ uk a list´ab´ol, ´es az aktu´alis elemet hozz´aadjuk a list´ahoz. (d) Ha k´et listaelemnek van k¨oz¨os r´esze, amely maga is megold´asstrukt´ ura, akkor elk´epzelhet˝o, hogy egy u ´j strukt´ ura (ami r´esze a metszetnek) t¨obb listaelem t¨orl´es´ehez vezet. Besz´ ur´as eset´en n¨ovelj¨ uk a lista m´eret´et, ´ıgy az u ´j listaelem nem szor´ıt” ki egy, m´ar kor´abban bevett elemet a list´ab´ol. A ” q k ∩ sN ∈ S(P, R, O) felt´etel el´egg´e ´altal´anos, ez ´eles´ıthet˝o egy LP feladat i fizibilit´as vizsg´alat´aval, ami viszont sz´am´ıt´asig´enyes. A lista m´erete akkor cs¨okken, amikor egy u ´j potenci´alis listaelem t¨obb kor´abbi listaelem t¨orl´es´ehez vezetett. A lista elemsz´ama nem cs¨okkenhet az eredetileg megadott N al´a, viszont el˝ofordulhat, hogy az algoritmus lefut´asa ut´an az N -lista m´erete nagyobb, mint amit param´eterk´ent megadtunk, hiszen t¨obb elem egy¨ uttes t¨orl´es´et nem tudjuk el˝ore megj´osolni. Terminalit´ as ellen˝ orz´ ese Egy r´eszprobl´em´at akkor tekint¨ unk termin´alisnak, ha m´ar nem tartalmaz tov´abbi lok´alisan optim´alis strukt´ ur´at, mely eleme lehetne a list´anak ´es ez´altal az t¨or¨olhet˝o. Hasonl´oan, mint az N -lista b˝ov´ıt´es´en´el jel¨olje sN aban l´ev˝o ii , i = 1, . . . , N a N -list´ ik strukt´ ur´at ´es legyen xN a tartoz´o megold´asvektor. Legyen ω k , β k az aktu´alis i a hozz´ megold´asvektor ´es a hozz´a kapcsol´od´o als´okorl´at. Egy P k r´eszprobl´ema t¨or¨olhet˝o, ha a k¨ovetkez˝o felt´etel teljes¨ ul: k N k N N (f (ω k ) − β k < ε) ∨ β k > f (xN N ) ∨ (∃sj ∈ {N − lista} sj ⊆ f ix1 ∧ β > f (xj )),

(3.8.3) ahol ε > 0 egy tolerancia param´eter.

82

3.8.3.

A helyess´ eg bizony´ıt´ as

Kor´abban m´ar eml´ıtett¨ uk, hogy az algoritmus a kombinatorikusan gyors´ıtott algoritmusra ´ep¨ ul, amelynek konvergenci´aja bizony´ıtott. A helyess´eg bizony´ıt´ashoz azt kell megmutatnunk, hogy az N -lista a k´ıv´ant megold´asstrukt´ ur´akat tartalmazza, ´es a terminalit´asi krit´erium helyes. Tekints¨ uk a BB algoritmus ´altal gener´alt BB f´at. Tegy¨ uk fel, hogy az algoritmus v´egtelen, teh´at l´etezik egy v´egtelen P k sorozat melyre, P k+1 a P k lesz´armazottja, azaz BB f´aban l´etezik egy, a gy¨ok´erb˝ol kiindul´o v´egtelen u ´t. Lemma 3.8.1 A (3.8.3) terminalit´asi felt´etel el´egs´eges egy r´eszprobl´ema t¨orl´es´ehez. Bizony´ıt´ as.

Az indokl´as egyszer˝ u, a (f (ω k ) − β k < ε) kifejez´es igaz volta a

r´eszprobl´ema megold´as´at jelenti, ´es egy megoldott r´eszprobl´ema nem tartalmazhat tov´abbi lok´alisan optim´alis strukt´ ur´akat, ez´altal t¨or¨olhet˝o. A β k > f (xN ul´ese N ) teljes¨ szerint, a r´eszprobl´ema nem tartalmazhat olyan lok´alisan optim´alis strukt´ ur´at, amely N k k N eleme lehetne a list´anak. Ha a (∃sN ul, j ∈ {N − lista} sj ⊆ f ix1 ∧ β > f (xj ) teljes¨

akkor a r´eszprobl´ema nem tartalmazhat tov´abbi lok´alisan optim´alis strukt´ ur´akat hiszen, ha tartalmazna, akkor a strukt´ ur´aban l´ev˝o m˝ uveleti egys´egek a f ixk1 halmaz b˝ov´ıt´esei lenn´enek, ´es a k¨olts´eg als´o korl´atja is rosszabb, mint a list´aban l´ev˝o elem k¨olts´ege.

2

Lemma 3.8.2 A (3.8.3) terminalit´asi felt´etel valamely k-ra teljes¨ ul. Bizony´ıt´ as. A konvergencia miatt biztos, hogy v´eges l´ep´es ut´an a P k r´eszfeladat t¨orl˝odik, hiszen f (ω k ) − β k < ε felt´etel teljes¨ ulni fog, ami elegend˝o az ´all´ıt´asunk bizony´ıt´as´ahoz, viszont az ezen felt´etel alapj´an val´o d¨ont´es lass´ u fut´ast eredm´enyezne. Nem v´eletlen¨ ul nem csak ezt a felt´etelt tartalmazza a (3.8.3) terminalit´asi felt´etel¨ unk. N´ezz¨ uk meg azt az esetet, amikor nem tartalmaz lok´alisan optim´alis strukt´ ur´at a r´eszfeladat. Azt kell megmutatni, hogy l´etezik olyan k, amelyre a terminalit´asi felt´etel¨ unk igazz´a v´alik. A β k < f (xN o, k¨ ul¨onben a feladat egyszer˝ uen N ) feltehet˝ t¨or¨olhet˝o. Mivel feltett¨ uk, hogy a r´eszprobl´ema nem tartalmaz lok´alisan optim´alis strukt´ ur´at ´es β k < f (xN ul, ez´ert valamely k-ra l´eteznie kell a list´aban egy N ) is teljes¨

83 lok´alisan optim´alis sN ur´anak, amelyre q k ⊂ sN es f (xk ) > f (xN abb´a j strukt´ j ´ j ). Tov´ N a konvergencia miatt a β k > f (xN ulni fog, azaz a (∃sN j ) teljes¨ j ∈ {N − lista} sj ⊆

f ixk1 ∧ β k > f (xN etel igazz´a v´alik. j )) felt´ Tegy¨ uk fel, hogy a P k sorozatban egy lok´alisan optim´alis strukt´ ur´at tartalmaz a r´eszprobl´ema. A β k < f (xN o. Ez az eset hasonl´ıt a kombinatoN ) itt is feltehet˝ rikusan gyors´ıtott algoritmusban az optim´alis megold´ast tartalmaz´o r´eszfeladat viselked´es´ehez, hiszen als´o korl´at alapj´an nem lehet eldobni a r´eszfeladatot. Teh´at a r´eszfeladat a f (ω k ) − β k < ε felt´etel alapj´an fog termin´aliss´a v´alni.

2

T´ etel 3.8.3 A (3.8.3) terminalit´asi felt´etel helyes. Bizony´ıt´ as. A 3.8.1 ´es 3.8.2 lemm´akb´ol k¨ovetkezik.

2

A 3.8.3 t´etel a terminalit´asi krit´erium helyess´eg´et bizony´ıtja, az algoritmus helyess´eg´ehez m´eg az N -lista korrekt volt´at kell megmutatni. T´ etel 3.8.4 Az N -lista korrekt. Bizony´ıt´ as.

A 3.8.1 lemma szerint csak olyan r´eszprobl´em´at t¨or¨ol az algoritmus, amely nem tartalmaz tov´abbi lok´alisan optim´alis strukt´ ur´akat. ´Igy minden lok´alisan optim´alis strukt´ ur´at az N -lista Friss´ıt” algoritmus (3.13 ´abra) megpr´ob´alja besz´ urni ” a list´aba. A besz´ ur´ast kor´abban m´ar r´eszletezt¨ uk (3.8.2 fejezet), a lok´alisan optim´alis strukt´ ura defin´ıci´oj´anak ´ertelm´eben minden esetet megvizsg´altunk.

3.8.4.

2

P´ elda

A 2.2.3 fejezetben ismertetett feladatra futtatjuk le a m´odszert, annyi m´odos´ıt´assal, hogy c´elf¨ uggv´eny itt konk´av. Keress¨ uk a ¨osszes lok´alisan optim´alis strukt´ ur´at (kis m´eret˝ u feladatr´ol l´ev´en sz´o itt ez megtehet˝o). A 3.14 ´abra mutatja a megold´asokat, ´es a megold´ashoz tatoz´o k¨olts´eget.

3.8.5.

Az eredm´ eny r¨ ovid ¨ osszefoglal´ asa

A 3.8 fejezet a 3b t´ezispontban megfogalmazott eredm´enyeket tartalmazza.

84

1: 102839

2: 149352

3: 150075

4: 150260

5: 279073

6: 288560

7: 311062 3.14. ´abra. A szeml´eltet˝o p´elda lok´alisan optim´alis strukt´ ur´ai ´es a hozz´a tartoz´o k¨olts´eg.

85 PNS feladatokra bevezettem a lok´alisan optim´alis strukt´ ur´ak fogalm´at, amely lehet˝ov´e teszi az optim´alis megold´asok mellett szuboptim´alis megold´asok meghat´aroz´as´at. Kidolgoztam a kombinatorikusan gyors´ıtott algoritmus egy v´altozat´at, amely k´epes ezen szuboptim´alis megold´asok gener´al´as´ara.

86

3.9.

Gyakorlati tapasztalatok

Az eddig t´argyalt a szepar´abilis konk´av minimaliz´al´ashoz kapcsol´od´o algoritmusokat megval´os´ıtottam C++ nyelven. LP feladat megold´ok´ent a F´abi´an Csaba ´altal kidolgozott ´es kutat´asi c´elokra forr´ask´odon rendelkez´es¨ unkre bocs´atott LINX megold´ot [28] haszn´altuk.

3.9.1.

Gener´ alt tesztfeladatok

Minden feladatm´erethez 200 gener´alt PNS feladatot [6] oldottunk meg a k¨ ul¨onb¨oz˝o megold´o m´odszerekkel. ´ Altal´ anos m´ odszer A kor´abban bevezetett part´ıcion´al´asi m´odszereket vizsg´aljuk. A 3.2 – 3.5 t´abl´azatok tartalmazz´ak a k¨ ul¨onb¨oz˝o m´eret˝ u tesztfeladatokon v´egrahajtott fut´asi eredm´enyeket. N´eh´any megjegyz´es az oszlopokhoz x¯ jel¨oli a Shectman ´es munkat´arsai [89] ´altal bevezetett part´ıcion´al´ast. ε jel¨oli a ”cs´ usztatott” part´ıcion´al´ast. Max jel¨oli a maxim´alis r´es part´ıcion´al´ast. ´ Erz. jel¨oli az ´erz´ekenys´egi vizsg´alaton alapul´o v´ag´asi strat´egi´at. 1 ´ Atlagolt megold´asi id˝o. (mp) 2

Megoldott LP-k ´atlagos sz´ama.

3

A felhaszn´alt mem´oria ´atlagos nagys´aga. (MB)

4

Az optim´alis megold´ast h´anyadik LP megold´asa ut´an lett azonos´ıtva.

5

Az id˝okorl´at (106 db LP megold´asa) alapj´an nem megoldott feladatok sz´ama.

6

A mem´oria korl´at (300MB) alapj´an nem megoldott feladatok sz´ama.

87

´ 3.2. t´abl´azat. Altal´ anos m´odszer: 20 m˝ uveleti egys´eg 1 2 3 4 Strat´egia Id˝o #LP Mem. Opt.meghat. Lim.LP5 Lim.Mem6 x¯ 0.19 639.83 0.04 49.5 0 0 ε 0.27 1007.32 0.01 72.9 0 0 Max 0.84 2541.55 0.1 27.9 0 0 ´ Erz. 0.01 16.21 0.002 4.1 0 0

´ 3.3. t´abl´azat. Altal´ anos m´odszer: 40 m˝ uveleti egys´eg 1 2 3 4 Strat´egia Id˝o #LP Mem. Opt.meghat. Lim.LP5 Lim.Mem6 x¯ 22.48 9171 1.858 645.2 0 0 ε 7.12 11131 0.291 2269.5 0 0 Max 11.51 16182 0.761 919.1 5 1 ´ Erz. 0.13 49 0.011 8.5 0 0

3.4. Strat´egia Id˝o1 x¯ 139.07 ε 84.25 Max 121.92 ´ Erz. 2.07

´ t´abl´azat. Altal´ anos m´odszer: 60 m˝ uveleti egys´eg 2 #LP Mem.3 Opt.meghat.4 Lim.LP5 Lim.Mem6 49638 10.013 2400.7 16 1 70621 2.894 2419.9 12 0 44667 5.329 265.9 23 8 394 0.069 8.1 0 2

´ 3.5. t´abl´azat. Altal´ anos m´odszer: 80 m˝ uveleti egys´eg 1 2 3 4 Strat´egia Id˝o #LP Mem. Opt.meghat. Lim.LP5 Lim.Mem6 x¯ 181.42 93845 10.291 17088 44 12 ε 168.58 108925 4.608 3397 43 0 Max 100.99 42020 4.441 3863 24 10 ´ Erz. 13.122 1172 0.309 8 2 4

88 Kombinatorikusan gyors´ıtott m´ odszer A kombinatorikusan gyors´ıtott elj´ar´ast (l´asd 3.7 fejezet) tesztelt¨ uk a k¨ ul¨onb¨oz˝o part´ıcion´al´asi strat´egi´akkal. Az ´erz´ekenys´egi vizsg´alaton alapul´o v´ag´asi m´odszer direkt nem ´ep´ıthet˝o be a kombinatorikusan gyors´ıtott keretalgoritmusba a f´elfolytonos v´altoz´ok miatt, ´ıgy az nem szerepel a list´aban. Ezen strat´egia kib˝ov´ıt´ese a j¨ov˝o egyik feladata. A 3.6 – 3.9 t´abl´azatok tartalmazz´ak a k¨ ul¨onb¨oz˝o m´eret˝ u tesztfeladatokon v´egrehajtott fut´asi eredm´enyeket. Elemz´ es Az ´atlagolt eredm´enyek sz´am´ıt´asakor csak az ¨osszes megold´o m´odszer ´altal megoldott feladatokat vett¨ uk figyelembe. Ezzel sajnos a feladatokat j´ol megold´o m´odszereket b¨ untetj¨ uk”, hiszen az ´altaluk megoldott, de egy rosszabb m´odszer ´altal nem megol” dott feladatokat figyelmen k´ıv¨ ul hagyjuk, ez´ert a nem megoldott feladatok sz´am´at k¨ ul¨on kiemelt¨ uk.

3.9.2.

Val´ os ipari feladatok

K´et val´os ipari feladaton tesztelt¨ uk a m´odszereket (l´asd 3.15 ´es 3.16 ´abr´ak). A 3.10 – 3.13 t´abl´azatok tartalmazz´ak az eredm´enyeket. A feladatok le´ır´as´at a [39] tartalmazza.

89

3.6. t´abl´azat. Kombinatorikusan gyors´ıtott m´odszer: 20 m˝ uveleti egys´eg 1 2 3 4 5 Strat´egia Id˝o #LP Mem. Opt.meghat. Lim.LP Lim.Mem6 x¯

0.11

309.2

0.044

53.2

0

0

ε

0.08

227.5

0.022

15.6

0

0

Max

0.04

124.1

0.003

7.3

0

0

3.7. t´abl´azat. Kombinatorikusan gyors´ıtott m´odszer: 40 m˝ uveleti egys´eg Strat´egia Id˝o1 #LP2 Mem.3 Opt.meghat.4 Lim.LP5 Lim.Mem6 x¯

22.23

8063

1.897

552

0

0

ε

6.22

4401

0.875

133

0

0

0.181

246

0.015

12

0

0

Max

3.8. t´abl´azat. Kombinatorikusan gyors´ıtott m´odszer: 60 m˝ uveleti egys´eg 1 2 3 4 5 Strat´egia Id˝o #LP Mem. Opt.meghat. Lim.LP Lim.Mem6 x¯

160.72

68927

10.616

1816

6

1

ε

139.46

36848

9.984

651

0

4

2.15

1952

0.146

146

0

0

Max

3.9. t´abl´azat. Kombinatorikusan gyors´ıtott m´odszer: 80 m˝ uveleti egys´eg 1 2 3 4 5 Strat´egia Id˝o #LP Mem. Opt.meghat. Lim.LP Lim.Mem6 x¯

438.65 109955

31.273

3423

8

25

ε

351.08

87853

31.756

9402

0

25

6.22

3685

0.497

437

0

0

Max

90

A6

A4

A3

A14

A7 A8 A18

4

3 A2

5

A10

7

6 A15

A13

A27 A28 A29 A30

A12

A17 A19

A16

A20 2

12

10 11

9

19 13

A25 A9

A32

A24

8

22

A21

A37 A22

A23

15

25

21

17

16

A41

A34

A33

A31

A26

A11

A36

A45

A43

A51

A38 A39 24 24

23

A54

A46

A44

A50 31

26 27

A48

A52 A53

A1

A49

A56

A47

A55

1

29

32 28

A5

A58

33

A57

A61

3.15. ´abra. Denmark feladat P-gr´af ´abr´azol´asa. 4

5

10

39

32

38 56

52 37

31 51

50

7

30

12

43

44

7

25 45

46

9

53

27

45

35 47

54

9

28 49

12 33

26

34 48

9

55

36

29

18

11

42 8

13 7

14

9

24 41

5

23

11

8 16

7

7

5

35

36

6

18

16

30

13

4 29

25

1

2

31

5

40

12

19 27

38

32

20 7 21 9

5

11

19

21

7

9

28 7

20

1 33 2

14 34

40 22

7

13 39

26

9

11

6 37

7

15 8

10

17

15

9

22

23

3 24 17

3.16. ´abra. Alpha feladat P-gr´af ´abr´azol´asa.

5

91

3.10. t´abl´azat. Strat´egia Id˝o(mp) x¯ 41.40 ε 9.48 Max 1.48 ´ Erz. 0.65

´ Altal´ anos m´odszer: Alpha (41 m˝ uveleti egys´eg) #LP Mem´oria (MB) Opt.meghat. 44765 10.63 295 16639 0.30 359 2592 0.04 793 225 0.03 7

3.11. t´abl´azat. Kombinatorikusan gyors´ıtott m´odszer: Alpha (41 m˝ uveleti egys´eg) Strat´egia

Id˝o(mp)

#LP

Mem´oria (MB)

Opt.meghat.

x¯

25.59

33779

11.63

21

ε

0.42

679

0.02

21

Max

0.57

1043

0.01

18

´ 3.12. t´abl´azat. Altal´ anos m´odszer: Denmark (35 m˝ uveleti egys´eg) Strat´egia

Id˝o(mp)

#LP

Mem´oria (MB)

Opt.meghat.

x¯

0.32

1022

0.285

1

ε

1.17

3521

0.051

1

Max ´ Erz.

0.09

181

0.002

1

0.01

1

0.001

1

3.13. t´abl´azat. Kombinatorikusan gyors´ıtott m´odszer: Denmark (35 m˝ uveleti egys´eg) Strat´egia

Id˝o(mp)

#LP

Mem´oria (MB)

Opt.meghat.

x¯

0.51

1322

0.47

1

ε

0.51

1042

0.17

1

Max

0.09

217

0.01

1

92

3.10.

Alkalmaz´ as: ipari h˝ oell´ at´ o rendszer optim´ alis tervez´ ese

Vegyipari rendszerek jellemz˝oje a nagy h˝oenergiaig´eny. A h˝oenergia sz¨ uks´egletet az esetek jelent˝os r´esz´eben v´ızg˝oz kondenz´aci´oj´aval biztos´ıtj´ak. A g˝ozt kaz´anh´azakban ´all´ıtj´ak el˝o vagy ellennyom´asos er˝om˝ ub˝ol szolg´altatj´ak. A g˝oz el˝o´all´ıt´as´anak ´es felhaszn´al´asi hely´enek t´avols´aga ak´ar t¨obb kilom´eter is lehet, ´ıgy a g˝ozell´at´o h´al´ozat param´eterei (pl. cs˝ovezet´ek keresztmetszete, szigetel´ese) a h´al´ozat beruh´az´asi- ´es u ¨zemeltet´esi-k¨olts´eg´et is jelent˝osen befoly´asolj´ak. ¨ Osszetett vegyipari rendszerekben a szakaszos u ¨zem˝ u ´es az id˝oszakosan m˝ uk¨odtetett technol´ogi´aknak k¨osz¨onhet˝oen a felhaszn´al´as hely´en fell´ep˝o g˝ozig´eny jelent˝os ingadoz´ast mutathat. A g˝ozig´eny id˝obeni v´altoz´asa tov´abb nehez´ıti az optim´alis g˝ozell´at´o rendszer meghat´aroz´as´at, hiszen a g˝ozell´at´o rendszernek az id˝oben v´altoz´o g˝ozig´eny ¨osszess´eg´et tekintve kell optim´alisan m˝ uk¨odnie, mik¨ozben el´egg´e rugalmasnak kell lennie ahhoz, hogy a fell´ep˝o ig´enymaximumokat is biztos´ıtani tudja. Sz´amos k¨ozlem´eny foglalkozik a v´altoz´o ig´eny˝ u h˝oell´at´o h´al´ozat optimaliz´al´as´aval. P´eld´aul egy multiperiodikus optimaliz´al´as elj´ar´ast mutat be a [78], [79]; egy kombinatorikus optimaliz´al´asi m´odszert ismertet a [76]; csak a g˝oznyom´as optimaliz´al´as´at v´egzi a [70]. A fejezetben ismertetett elj´ar´as term´eszetesen tetsz˝oleges v´altoz´o ig´eny˝ u PNS feladatokra is haszn´alhat´o.

3.10.1.

G˝ ozh´ al´ ozat, kiindul´ asi felt´ etelek

A g˝ozell´at´o rendszer eredeti strukt´ ur´aj´at a 3.17 ´abra szeml´elteti. Az er˝om˝ u ´es a kaz´anh´az g˝ozeloszt´okon kereszt¨ ul csatlakozik az S1, S2, O jel˝ u vezet´ekekhez. Az A, . . . , E u ¨zemek az S1 ´es S2 csatlakoz´asa ut´an S2-b˝ol le´agaz´asokon kereszt¨ ul kapj´ak a g˝ozt. Az u ¨zemi le´agaz´asok viszonylag k¨ozel vannak egym´ashoz, mintegy 20-50m-re, az er˝om˝ u ´es az els˝o le´agaz´as k¨oz¨otti cs˝ohossz k¨or¨ ulbel¨ ul 1800m, a kaz´anh´az ´es az er˝om˝ u k¨oz¨otti cs˝ohossz pedig 2 km. Az O jel˝ u vezet´ek eredetileg haszn´alaton k´ıv¨ ul van, csak az S1 ´es S2 vezet´ekeket haszn´alj´ak a g˝ozig´eny ell´at´as´ara.

93

3.17. ´abra. Az eredeti h˝oell´at´o rendszer sematikus ´abr´azol´asa.

3.10.2.

Alternat´ıv megold´ asi lehet˝ os´ egek

Az el˝obbiek figyelembev´etel´evel a k¨ovetkez˝o g˝ozell´at´asi lehet˝os´egeket fogalmaztuk meg: 1. Megsz¨ untetj¨ uk a kaz´anh´azat (h˝oell´at´as csak a h˝oer˝om˝ u ´altal t¨ort´enik). (a) Az ´araml´asi keresztmetszet n¨ovel´ese. Ez az O jel˝ u vezet´ek u ¨zembe helyez´es´evel ´es tov´abbi cs˝ovezet´ekek ki´ep´ıt´es´evel val´os´ıthat´o meg. (b) A nyom´ases´es n¨ovel´ese. i. Megn¨ovelj¨ uk a g˝oz indul´o nyom´as´at. ii. A cs˝oben a g˝ozelv´eteli helyen a nyom´as cs¨okkent´ese. 2. A kaz´anh´az tov´abbi u ¨zemeltet´ese. (a) A t´apv´ızell´at´as megv´altoztat´as´aval. (b) A kaz´anh´az id˝oszakos u ¨zemeltet´es´evel.

94

(a)

(b)

3.18. ´abra. (a) Id˝oben v´altoz´o h˝oig´eny trend. (b) A diszkretiz´al´as eredm´enyek´ent kapott kumulat´ıv h˝oteljes´ıtm´eny trend.

3.10.3.

M´ odszer

A v´altoz´o h˝oig´eny miatt a kor´abban bemutatott h´al´ozatszint´ezis m´odszerek k¨ozvetlen¨ ul nem haszn´alhat´ok.

A g˝ozfogyaszt´o egys´egek ¨osszes´ıtett h˝oteljes´ıtm´eny-ig´e-

ny´enek az id˝obeni alakul´as´at kapjuk meg bemenetk´ent. Hogy az optimaliz´al´o m´odszert alkalmazni tudjuk az al´abbiak szerint diszkretiz´aljuk, alak´ıtjuk ´at a h˝oteljes´ıtm´eny-ig´eny trendet. 1. Megkeress¨ uk a minimum ´es maximum h˝oteljes´ıtm´eny-ig´eny ´ert´ekeket. A null´at´ol a maximum ´ert´ekig terjed˝o tartom´anyt felosztjuk n r´eszre u ´gy, hogy a legals´o teljes´ıtm´enys´av fels˝o hat´ara a tal´alt minimum ´ert´ek f¨ol¨ott legyen (diszkretiz´al´as). 2. A trenden v´egighaladva az egyes h˝oteljes´ıtm´eny-ig´eny ´ert´ekekhez tartoz´o id˝otartamokat teljes´ıtm´enys´avonk´ent ¨osszegezz¨ uk. Ezzel az ´atalak´ıt´assal a h˝oteljes´ıtm´eny-ig´eny trendb˝ol n darab (¨ot) teljes´ıtm´enyszintet kapunk a hozz´a tartoz´o id˝otartamokkal egy¨ utt, amit a h˝oteljes´ıtm´eny-ig´eny trendhez hasonl´oan teljes´ıtm´eny - id˝o koordin´atarendszerben ´abr´azolhatunk (3.18 ´abra). Ennek alapj´an m´ar egyszer˝ uen megfogalmazhat´o a feladat: hat´arozzuk meg azt a g˝ozell´at´o rendszert, amely k´epes az n (¨ot) f´ele elt´er˝o teljes´ıtm´eny egyenk´enti biztos´ıt´as´ara u ´gy, hogy az egyes teljes´ıtm´enyszintekhez tartoz´o id˝otartamokkal s´ ulyozott

95 k¨olts´eg¨osszeg minim´alis legyen. Az alternat´ıv megold´asokb´ol l´etrehozzuk a maxim´alis strukt´ ur´at (3.19 ´abra). Egy term´ekhez (h˝oig´eny szinthez) tartoz´o h´al´ozatot annyi p´eld´anyban kell venn¨ unk, ah´any term´ek¨ unk van. Egy term´ekhez tartoz´o h´al´ozaton bel¨ ul az ism´etl˝od˝o, t¨obbsz¨or el˝ofordul´o m˝ uveleti egys´egek k¨oz¨ ul a megold´asstrukt´ ur´aban csak egy szerepelhet, hiszen egy adott id˝opillanatban az adott m˝ uveleti egys´eg nem dolgozhat p´arhuzamosan ¨onmag´aval. A k¨ ul¨onb¨oz˝o term´ekek k¨ ul¨onb¨oz˝o id˝opontokban t¨ort´en˝o g˝ozig´enyt el´eg´ıtenek ki, ´ıgy a k¨ ul¨onb¨oz˝o term´ekekhez tartoz´o h´al´ozatok egyidej˝ uleg is tartalmazhatj´ak ugyanazt a m˝ uveleti egys´eget, esetleg megegyez˝o vagy elt´er˝o diszkr´et ´allapotban. L´enyeges azonban, hogy minden m˝ uveleti egys´eg esetleges beruh´az´asi k¨olts´ege csak egyszer szerepelhet a k¨olts´egf¨ uggv´enyben. Matematikai modell

ni X

yijk ≤ 1, k ∈ P, i = 1, 2, . . . , N

j=1

zij ≤

X

yijk , i = 1, 2, . . . , N, j = 1, 2, . . . , ni

k∈P

yijk

≤ zij , i = 1, 2, . . . , N, j = 1, 2, ... . . . ni , k ∈ P

xkij ≤ yijk uij , i = 1, 2, . . . , N, j = 1, 2, . . . , ni , k ∈ P ni N X X

sil xkij = 0, l ∈ M \ R \ P, k ∈ P

i=1 j=1

ni N X X

sik xkij ≥ pk , k ∈ P

i=1 j=1

ni N X X

−sil xkij ≤ ql , k ∈ P, l ∈ R

i=1 j=1

´ Eves k¨olts´eg: ni N X X i=1 j=1

ahol

X
aij zij + cij tk + dij xkij tk E k∈P

!

+

X l∈R

rl

ni N X XX k∈P i=1 j=1

−sil tk xkij

!

,

96

PE+

PE+

S1

I.

PE+

S2

PE+

PE+

200

O

300

-

P II.

R1

n E

P

Po

n E

n

S2

S1

PE

300

200

O -

PK1h

PCh

h

PK2

Po CSCh CSK1h CSK2h

Notes operating unit steam

III.

n

PE

n

PE

h

PE

CSEh

G +

+

PE

S2

S1

IV.

+

PE

PK1

RC

S2

n

PK2 S2

n

PE S1

S2

PE 300

n

n

PE

+

PE 200

O Po

PCh

+

PE

n

PE

200

O

n

PE

PE 300

R2

V. Po n

3.19. ´abra. Egy adott h˝oteljes´ıtm´enyhez tartoz´o maxim´alis strukt´ ura.

97 yijk : bin´aris v´altoz´o az i m˝ uveleti egys´eg j diszkretiz´alt eset´enek l´etez´ese az adott strukt´ ur´aban, a k term´ek el˝o´all´ıt´as´an´al, xkij : v´altoz´o ( xij ) az i m˝ uveleti egys´eg j diszkretiz´alt eset´enek kapacit´asa k term´ek el˝o´all´ıt´as´aban, (xkij ≥ 0), zij : bin´aris v´altoz´o, az i m˝ uveleti egys´eg j diszkretiz´alt eset´enek a fixk¨olts´eg sz´am´ıt´as´an´al, uij : az i m˝ uveleti egys´eg j diszkretiz´alt eset´enek kapacit´as korl´atja, ni : az i m˝ uveleti egys´eg diszkretiz´alt eseteinek a sz´ama, aij : az i m˝ uveleti egys´eg j diszkretiz´alt eset´enek a beruh´az´asi k¨olts´eg´enek ´alland´o r´esze, cij : az i m˝ uveleti egys´eg j diszkretiz´alt eset´enek a m˝ uk¨odtet´esi k¨olts´eg´enek ´alland´o r´esze, dij : az i m˝ uveleti egys´eg j diszkretiz´alt eset´enek a kapacit´assal ar´anyos m˝ uk¨odtet´esi k¨olts´ege, rl : l nyersanyag egys´egnyi mennyis´eg´ere vonatkoz´o k¨olts´ege, l ∈ R, ql : az l nyersanyagra megadott fels˝okorl´at, l ∈ R, pk : a k term´ekre megadott teljes´ıtm´enyig´eny, k ∈ P, t/hour, tk : k term´eknek megfelel˝o teljes´ıtm´enyszint biztos´ıt´asa o´r´akban, k ∈ P,hour, sil : az l ∈ M anyagnak az i m˝ uveleti egys´eg ´altal szolg´altatott (sil > 0) ill. felhaszn´alt (sil < 0) g˝ozteljes´ıtm´enye (tonna/´ora) egys´egnyi kapacit´as mellet (sil = 0 eset´en ´ertelemszer˝ uen az i m˝ uveleti egys´egnek nincs kapcsol´od´asa az l anyaghoz), E : megt´er¨ ul´esi id˝o ´evekben.

98 A modell¨ unk 530 bin´aris v´altoz´ot tartalmaz; az elj´ar´asunk 550.41 m´asodperc alatt azonos´ıtotta az optim´alis h´al´ozatot egy PC-n (Athlon 1.33GHz, 1852 MFLOPS, 3687 MIPS), a megoldott LP feladatok sz´ama 115596 volt. Az ´eves k¨olts´eg 143,905,000 HUF, amely 8 sz´azal´ekkal kevesebb, mint a jelenlegi k¨olts´eg.

4. fejezet A folyamat- ´ es h˝ ocser´ el˝ oh´ al´ ozat egy¨ uttes szint´ ezise 4.1.

Bevezet´ es

A folyamath´al´ozat szint´ezis´er˝ol kor´abban m´ar a 2. fejezetben r´eszletesen ´ırtunk. Bevezet´es¨ unkben a h˝ocser´el˝oh´al´ozatokr´ol tesz¨ unk eml´ıt´est.

4.1.1.

H˝ ocser´ el˝ oh´ al´ ozat szint´ ezis

A h˝ocser´el˝oh´al´ozatok (HENS) szint´ezise az egyik legfontosabb ter¨ ulete a folyamattervez´es tudom´any´anak. Az ut´obbi id˝oben az egyik legintenz´ıvebben kutatott ter¨ uletek k¨oz´e tartozik, t¨obb sz´az publik´aci´o jelent meg e t´em´aban az elm´ ult ´evtizedekben. A fontoss´aga annak is tulajdon´ıthat´o, hogy a vegyipari rendszerek k¨olts´egeinek jelent˝os r´esze az energiak¨olts´eg, ezen bel¨ ul is a h˝oenergi´a´e, aminek hasznos´ıt´asa kiemelten fontos. Az els˝o publik´aci´o, amely a h˝ocser´el˝oh´al´ozatok tervez´es´evel foglakozik 1944-ben jelent meg [93], az els˝o teljes h˝ocser´el˝oh´al´ozat-tervez´est 1965-ben publik´alt´ak [52], 1969-ben jelent meg az els˝o szigor´ u matematikai le´ır´as [71]. Az ´altal´anos HENS probl´em´at a k¨ovetkez˝ok´eppen defini´aljuk: Adottak: • a meleg anyag´aramok halmaza (F H ), melyeket a bemen˝o h˝om´ers´ekletr˝ol kell 99

100 leh˝ uteni a kimen˝o h˝om´ers´ekletre; • a hideg anyag´aramok halmaza (F C ), melyeket a bemen˝o h˝om´ers´ekletr˝ol kell felmeleg´ıteni a kimen˝o h˝om´ers´ekletre; • az anyag´aram h˝okapacit´asa ´es az anyag´aram nagys´aga; • a rendelkez´esre ´all´o k¨ uls˝o meleg ´es hideg forr´asok, a megfelel˝o h˝om´ers´ekletekkel egy¨ utt, ´es ezen forr´asok k¨olts´ege; • h˝ocser´el˝ok k¨olts´ege. C´el: egy k¨olts´egoptim´alis h˝ocser´el˝oh´al´ozat meghat´aroz´asa, amely kiel´eg´ıti a fenti ig´enyeket. A feladat nem k¨onny˝ u, az ´altal´anos h˝ocser´el˝oh´al´ozatok szint´ezise NP neh´ez probl´ema [41].

4.1.2.

Az integr´ alt folyamat- ´ es h˝ ocser´ el˝ oh´ al´ ozat szint´ ezise

Integr´alt folyamat- ´es h˝ocser´el˝oh´al´ozat szint´ezise sor´an a teljes folyamat- ´es h˝ocser´el˝oh´al´ozat meghat´aroz´asa azonos id˝oben t¨ort´enik. A szekvenci´alis m´odszerek eset´eben el˝osz¨or meghat´arozz´ak mag´at az optim´alis folyamath´al´ozatot ´es ut´ana hat´arozz´ak meg az optim´alis h˝ocser´el˝o h´al´ozatot. K¨onnyen l´athat´o, hogy az ut´obbi nem vezet optim´alis megold´ashoz, hiszen az optim´alis folyamath´al´ozat meghat´aroz´asakor figyelmen k´ıv¨ ul hagyj´ak a h˝ocser´evel kapcsolatos inform´aci´okat. A PNS feladatot vessz¨ uk alapul a feladat r´eszletes ismertet´es´ehez. A PNS feladatot kib˝ov´ıtj¨ uk u ´j param´eterekkel, amelyek sz¨ uks´egesek a HENS feladathoz (l´asd a HENS defin´ıci´ot). Anyag´ aramhoz kapcsol´ od´ o h˝ o´ aram A kiterjesztett feladatban az anyag´aramhoz tartozhat h˝om´ers´eklet is. Ha egy m˝ uveleti egys´eg kimen˝o anyag´arama k¨ozvetlen¨ ul kapcsol´odik egy m´asik m˝ uveleti egys´eg bemen˝o anyag´aram´ara ´es a defini´alt h˝om´ers´ekletek k¨ ul¨onb¨oz˝oek, akkor h˝obevitel, illetve h˝oelvitel v´alik sz¨ uks´egess´e, az itt fell´ep˝o h˝o mennyis´ege az anyag´arammal ar´anyos.

101 Rejtett h˝ o Rejtett h˝onek nevezz¨ uk azokat a h˝oig´enyeket, amikor a m˝ uveleti egys´eggel u ´gy val´os´ıtunk meg h˝oforgalmat, hogy k¨ozben a m˝ uveleti egys´eg h˝om´ers´eklete ´alland´o marad. Ilyen lehet p´eld´aul a halmaz´allapot-v´altoz´ast ´es a k´emiai ´atalakul´ast k´ıs´er˝o entalpiav´altoz´as. Egyes m˝ uveleti egys´eg t´ıpusokn´al a m˝ uvelet sor´an bet´apl´alt, illetve elvont rejtett h˝o mennyis´ege t¨obbsz¨or¨ose lehet annak a h˝oforgalomnak, amit a m˝ uveleti egys´egbe bel´ep˝o, illetve kil´ep˝o anyag´aramok k´epviselnek. Erre j´o p´elda a rektifik´al´o kondenz´atora ´es kiforral´oja, vagy egy er˝osen exoterm illetve endoterm h˝osz´ınezet˝ u reaktor. Ezen okok miatt a folyamatszint´ezis h˝ointegr´aci´oval val´o kiterjeszt´esekor sz¨ uks´eges a rejtett h˝o figyelembev´etele, ´es a matematikai modellbe val´o be´ep´ıt´ese. A rejtett h˝ot t´ıpus´at´ol f¨ uggetlen¨ ul u ´gy defini´aljuk a modellben, hogy minden egyes esetben megadjuk a h˝om´ers´ekletet ´es azt a h˝omennyis´eget is, ami a rejtett h˝o forr´as´ahoz tartozik a m˝ uveleti egys´eg egys´egnyi kapacit´asa mellett.

4.2.

A szakirodalom ´ attekint´ ese

El˝osz¨or az ´altal´anos HENS m´odszerek szakirodalm´at tekintj¨ uk ´at, majd az integr´alt m´odszerekr˝ol sz´olunk.

4.2.1.

´ Altal´ anos HENS m´ odszerek

A HENS m´odszereket k´et f˝o csoportra oszthatjuk: szekvenci´alis m´odszerek ´es a teljes HEN szint´ezis. Szekvenci´ alis szint´ ezis A szekvenci´alis szint´ezis sor´an a feladatot olyan r´eszfeladatokra bontjuk, amelyek k¨ ul¨onb¨oz˝o c´el szerint oldj´ak meg a probl´em´at. A c´elok k¨oz¨ott egy sorrendet ´all´ıtunk fel, amely ´altal´aban valamilyen heurisztik´an alapszik. A megfogalmazott r´eszfeladatokat a c´elok szerint cs¨okken˝o sorrendben oldjuk meg ´es az el˝oz˝o feladat eredm´eny´et alkalmazzuk a k¨ovetkez˝o feladat megold´asakor. A h˝ocser´el˝oh´al´ozatok szint´ezise folyam´an ´altal´aban a k¨ovetkez˝o h´arom c´elt szokt´ak haszn´alni:

102 1. a k¨ uls˝o meleg ´es hideg forr´asok haszn´alat´anak minimaliz´al´asa, 2. a h˝ocser´el˝ok sz´am´anak minimaliz´al´asa, 3. a h˝ocser´el˝o fel¨ ulet minimaliz´al´asa. ´Igy azt a megold´ast kapjuk, amely minim´alis k¨ uls˝o forr´ast haszn´al ezen bel¨ ul a legkevesebb h˝ocser´el˝ovel ´es ezen bel¨ ul a legkisebb h˝ocser´el˝o fel¨ uletet haszn´alja [7]. A szekvenci´alis m´odszereket k´et f˝o csoportra oszthatjuk: 1. Evol´ uci´os m´odszerek: pinch elj´ar´as (PDM) [2], [64], [65]; du´alis h˝om´ers´eklet [13], [94]; ´es pszeud´o-pinch elj´ar´as [87], [94], [99]. 2. Matematikai programoz´asi m´odszerek: vegyes eg´esz line´aris egyenletek megold´as´anak sorozat´ara ´ep¨ ulnek a [12], [80], illetve nemline´aris optimaliz´al´asi feladatok megold´as´ara ´ep¨ ul a [32]. A pinch m´odszer egy olyan grafikus elj´ar´as, amely a h˝om´ers´eklet intervallumokat felhaszn´alva sz´amolja ki a minim´alisan felhaszn´alt k¨ uls˝o energia mennyis´eg´et. Az elj´ar´as k¨ozben a rendszer sz˝ uk keresztmetszeteit is megkapjuk, ezeket nevezz¨ uk pinch pontoknak. A pinch pontok h˝om´ers´ekleti pontok, amelyeken kereszt¨ ul nem t¨ort´enik h˝o´atad´as. A feladat a pinch pontok ment´en felbonthat´o r´eszfeladatokra. A du´alis h˝om´ers´eklet m´odszer megengedi a h˝ocser´et a pinch pontokon kereszt¨ ul, ez´altal a kapott h´al´ozat kevesebb h˝ocser´el˝ot tartalmaz, illetve a h´al´ozat strukt´ ur´aja egyszer˝ us¨odik. A pszeud´o-pinch tervez´es szint´en laz´ıtja a pinch felt´etelt. A pinch pontok ment´en t¨ort´en˝o part´ıcion´al´asi strat´egi´an alapszik a vertik´alis h˝ocsere elv [47], [48]. A matematikai programoz´asi m´odszeren alapul´o elj´ar´as a kor´abban eml´ıtett h´arom r´eszfeladatot oldja meg. Egy r´eszfeladat megold´as´ert´eke param´eterk´ent szolg´al a k¨ovetkez˝o r´eszfeladat sz´am´ara. A minim´alis k¨ uls˝o h˝oforr´as meghat´aroz´as´ara line´aris programoz´asi modellt ´ırnak fel a [12], [80] szerz˝oi, vegyes eg´esz line´aris feladatot (MILP) ´es vegyes eg´esz nemline´aris feladatot (MINLP) haszn´al [43], [44], amelyek m´ar struktur´alis megszor´ıt´asokat is tartalmaznak. A minim´alis k¨ uls˝o h˝oforr´as meghat´aroz´asa mellett h˝ocser´et is meghat´arozza a [12], [80].

103 Teljes szint´ ezis A szekvenci´alis szint´ezissel ellent´etben itt az a c´el, hogy a feladat dekompon´al´asa ´ n´elk¨ ul hat´arozzuk meg az optim´alis h´al´ozatot. Altal´ aban ezek vegyes eg´esz nemline´aris programoz´asi feladatot (MINLP) fogalmaznak meg a felt´etelekt˝ol f¨ ugg˝oen. Az egyik legkor´abban publik´alt HENS modell a [103], aminek a h´atr´anya, hogy nem enged´elyezi a h˝o´aramok megoszt´as´at. Egy m´asik MINLP feladat a [31]-ban tal´alhat´o, amely a h˝om´ers´ekleti intervallumok part´ıcion´al´as´an alapszik. A [101]-ben publik´alt modell felt´etelezi, hogy egy megosztott h˝o´aram csak egy h˝ocser´el˝on megy kereszt¨ ul, ´ıgy a felt´etelrendszer line´aris lesz. [20] szerz˝oi bevezettek egy m´odszert, amely k´epes als´o ´es fels˝o korl´at meghat´aroz´as´ara egy HENS feladatn´al.

4.2.2.

Integr´ alt folyamat- ´ es h˝ ocser´ el˝ oh´ al´ ozat szint´ ezise

A HENS feladatot megold´o m´odszerek k¨ozvetlen¨ ul nem haszn´alhat´ok, mivel az anyag´aramok nagys´aga nem adott (l´asd a HENS feladat defin´ıci´oj´at), ´ıgy a h˝o´aramok h˝otartalma ismeretlen. Az integr´alt PNS-HENS m´odszereket a folyamatszint´ezis t´ıpusa szerint k¨ ul¨onb¨oztethetj¨ uk u ´gy meg, mint szakaszos ´es folytonos. A jelenlegi munk´ank a folytonos t´ıpushoz tartozik, de r¨oviden kit´erek a szakaszos esetre is. Folytonos PNS-HENS integr´ alt m´ odszerek Az integr´alt h˝ocser´el˝o- ´es folyamatszint´ezis m´odszerek ´altal´aban m´ar megl´ev˝o HENS ´es PNS elj´ar´asok m´odos´ıt´as´at haszn´alj´ak. Az itt eml´ıtett elj´ar´asokat a HENS r´esz szerint t´argyaljuk. Pinch elj´ar´ason alapul´o m´odszerek: az [54] szerz˝oi a h˝om´ers´eklet-entalpia diagramot terjesztik ki; a [66] a folyamattervez´es feladatot vizsg´alja a pinch m´odszer felhaszn´al´as´aval. A [104] dolgozatban u ´gy val´os´ıtanak meg HENS retrofit tervez´est, hogy a kapcsol´od´o folyamatban a folyam´ert´ekek megv´altozhatnak. Az [51] is Pinch technol´ogi´at alkalmaz, t¨obb k¨ ul¨onb¨oz˝o folyamat k¨ oz¨os k¨ uls˝o hideg ´es meleg forr´asainak optimaliz´al´as´ara. Nemline´aris folytonos (NLP) modelleket vezet be a [25], ahol a modell egyszerre

104 optimaliz´alja a folyamatot, minim´alis k¨ uls˝o hideg vagy meleg forr´ast ´es a h˝om´ers´ekleteket. A szerz˝ok tapasztalataik alapj´an meg´allap´ıtj´ak a kor´abban m´ar eml´ıtett ´eszrev´etelt, hogy jelent˝os elt´er´es van a k¨olts´egekben a szimult´an optimaliz´al´as ´es a szekvenci´alisan v´egrehajtott PNS-HENS k¨oz¨ott. Vegyes eg´esz line´aris modellt alkalmaznak a k¨ovetkez˝o munk´ak. A [77]-ben bemutatott m´odszer k´et f˝o l´ep´esb˝ol ´all: egy bels˝o l´ep´es a h˝ointegr´aci´ot val´os´ıtja meg, ´es k¨ozben egy k¨ uls˝o l´ep´esben pedig a h´al´ozatot optimaliz´alja. A [19] cikk a szint´ezisfeladathoz kapcsol´od´o keretalgoritmust mutat be, amely a rendszer r´eszeit megfelel˝o esetekben egyes´ıti, illetve dekompon´alja. Az elj´ar´ast egy desztill´al´o rendszerre alkalmazza, maga a MILP modell azonos a [20]-ban le´ırt modellel. A m´odszer k´epes kisz˝ urni a lehets´eges alternat´ıv´ak egy olyan r´eszhalmaz´at, amely m´ar nem lehet optim´alis. Vegyes eg´esz nemline´aris modellt (MINLP) alkalmaznak: a [102] felt´etelezi, hogy csak egy meleg ´es hideg k¨ uls˝o h˝oforr´as ´all rendelkez´esre; a [46] szerz˝oi elemzik a h˝ointegr´aci´o neh´ezs´egeit, majd a [25]-ben szerepl˝o MINLP modellt analiz´alva jutnak el a feladat egy u ´j MINLP megfogalmaz´as´ahoz. A [21] egy keretelj´ar´ast ad a folyamat hierarchikus dekompoz´ıci´oj´ara, az optimaliz´aci´os l´ep´esek a dekompoz´ıci´o ´altal meghat´arozott szintenk´ent t¨ort´ennek, ellent´etben az eddigi m´odszerekkel, amelyek egy nagy MINLP feladatot defini´altak. Itt sok kis MINLP feladatot kell megoldani, ´ıgy k´erd´eses, hogy a glob´alis optimumot mennyire tudja garant´alni az elj´ar´as. Egy´eb elj´ar´asok: a [62] szekvenci´alis folyamatszint´ezis m´odszert haszn´al, amely egy interf´eszen kereszt¨ ul kapcsol´odik a HENS megold´ohoz. A [91] szerz˝oi ´attekint´est adnak a leg´ ujabb eredm´enyekr˝ol a folyamat integr´aci´oban, a munk´aban k¨ ul¨on fejezet foglalkozik a h˝ocser´el˝o h´al´ozatokkal. Szakaszos PNS-HENS integr´ alt m´ odszerek A szakaszos folyamatok eset´eben nehez´ıti a feladatot, hogy egyben u ¨temez´esi probl´em´akat is meg kell oldanunk. MILP modell fel´ır´as´aval jutnak el a megold´asig a [96], [105], [106] munk´ak. Heurisztik´aval keres megold´ast a [97], majd egy MINLP modell fel´ır´as´aval jav´ıtja a kor´abban megtal´alt megold´ast. Tiszt´an heurisztikus megk¨ozel´ıt´est alkalmaznak a [14] ´es [15] dolgozatok.

105

4.1. ´abra. H˝o´aramok reprezent´al´asa.

4.2. ´abra. Rejtett h˝o reprezent´al´asa.

4.3.

A hP-gr´ af

A kor´abban bevezetett P-gr´af reprezent´aci´ot b˝ov´ıtj¨ uk ki u ´gy, hogy k´epes legyen a lehets´eges h˝obevitelek ´es h˝oelvon´asok reprezent´al´as´ara. Az anyag´aramhoz kapcsol´od´o h˝oforgalom hP-gr´af reprezent´aci´oj´at mutatja be a 4.1 ´abra. A m˝ uveleti egys´eghez kapcsol´od´o rejtett h˝o hP-gr´af reprezent´aci´oj´at mutatja be a 4.2 ´abra.

106

4.3. ´abra. Az anyag t´ıpus´ u pont kiterjeszt´ese

4.3.1.

Az anyagpont kiterjeszt´ ese

Olyan esetekben, ahol mi anyagot t¨obb m˝ uveleti egys´eg is gy´artja, illetve fogyasztja; elk´epzelhet˝o, hogy azt k¨ ul¨onb¨oz˝o h˝om´ers´ekleten v´egzik. A P-gr´af figyelmen k´ıv¨ ul hagyja az anyagok h˝om´ers´ekleti param´etereit, a t¨obb m˝ uveleti egys´eg ´altal termelt anyagokat ¨osszekeveri, ´ıgy a h˝om´ers´ekletre vonatkoz´o param´eterek torzuln´anak. Ilyen esetekben a hP-gr´afban minden termel˝o-fogyaszt´o m˝ uveleti egys´eg p´arra k¨ ul¨on kell meghat´arozni a k´et m˝ uveleti egys´eg k¨oz¨ott ´at´aramlott anyagmennyis´eget. Ennek ´erdek´eben az anyagpontot felbontjuk mesters´eges anyagpontokk´a ´es mesters´eges m˝ uveleti egys´egekk´e. A kiterjeszt´esnek az ´altal´anos ´abr´aj´at mutatja be a 4.3 ´abra.

4.4. 4.4.1.

Kiindul´ asi adatok, halmazok Hideg ´ es meleg h˝ o´ aramok

Jel¨olje prod(mi ) az mi anyagot el˝o´all´ıt´o ´es f eed(mi ) az anyagot fogyaszt´o m˝ uveleti egys´egek halmaz´at, azaz prod(mi ) = {ok : ok = (α, β) ∈ O, i ∈ β} , f eed(mi ) = {ok : ok = (α, β) ∈ O, i ∈ α} . Egy h˝o´aramot egy h´armassal jellemezhet¨ unk att´ol f¨ ugg˝oen, hogy melyik anyagr´ol van sz´o, ´es mely m˝ uveleti egys´eg bemenet´en illetve kimenet´en fordul el˝o. Figyelembe

107 v´eve az anyagok h˝om´ers´ekleti param´etereit, a lehets´eges hideg ´es meleg ´aramok:  in F H = (i, k, l) : tout ik > til , yk 6= 0, yl 6= 0, mi ∈ M, ok ∈ prod(mi ), ol ∈ f eed(mi ) FC

= {F H1 , F H2 , . . . , F HnF H } ,  in = (i, k, l) : tout < t , y = 6 0, y = 6 0, m ∈ M, o ∈ prod(m ), o ∈ f eed(m ) k l i k i l i ik il = {F C1 , F C2 , . . . F CnF C } .

A h˝o´aramokat defini´al´o indexek alapj´an meg tudjuk mondani egy h˝o´aram kezd˝o- ´es in v´egh˝om´ers´eklet´et, p´eld´aul F Cj = (i, k, l) ∈ F C -re tout o- illetve v´egh˝om´erik , til kezd˝ (i,k,l)

s´eklete. A k¨onnyebb meg´ert´es c´elj´ab´ol ezen kezd˝o- ´es v´egh˝om´ers´ekleteket jel¨olje t0 (i,k,l)

´es t1

(i,k,l)

. Hasonl´oan F Hj = (i, k, l) ∈ F H -ra azzal a kik¨ot´essel, hogy t0

jelentse

mindig a kisebb h˝om´ers´ekletet. (Meleg ´aramokn´al a kezd˝o h˝om´ers´eklet a magasabb, ´es ezt ford´ıtsuk meg a k´es˝obbi k¨onnyebb jel¨ol´es miatt.)

4.4.2.

Rejtett h˝ o

A feladat defini´al´asakor sz¨ uks´eges megadni a rejtett h˝o param´etereit. Legyen ok ∈ O, ´es jel¨olje lk az ok -hoz tartoz´o rejtett h˝oforr´asok sz´am´at. Jel¨olje hki az i. rejtett h˝oforr´ashoz tartoz´o param´etert, amely megmondja az ok egys´egnyi m˝ uk¨od´esekor az id˝oegys´egre es˝o bet´apl´aland´o, illetve elvonand´o h˝o mennyis´eg´et. Legyen T Mki az i. rejtett h˝o h˝om´ers´ekleti param´etere (i = 1, . . . , lk ). A m˝ uveleti egys´egekhez kapcsol´od´o rejtett h˝ot k´et indexszel jellemezhetj¨ uk. Az els˝o index megmondja, hogy mely m˝ uveleti egys´eghez tartozik a rejtett h˝o, a m´asodik pedig a m˝ uveleti egys´egen bel¨ uli sorsz´am´at jel¨oli. A lehets´eges meleg ´es hideg rejtett h˝oforr´asok halmaza legyen (LH , LC ). LH = {(k, j) : hkj > 0, yk 6= 0, ok ∈ O} = {LH1 , . . . , LHnLH } , LC = {(k, j) : hkj < 0, yk 6= 0, ok ∈ O} = {LC1 , . . . , LCnLC } . Egy (j, k) ∈ LH ∪ LC -ra legyen t(k,j) a rejtett h˝oforr´ashoz kapcsol´od´o h˝om´ers´eklet.

4.4.3.

A hideg ´ aramok eltol´ asa

Minden hideg h˝o´aram, illetve hideg k¨ uls˝o forr´as h˝om´ers´ekleti param´etereit el kell tolni pozit´ıv ir´anyba minim´alis megk¨ozel´ıt´esi t´avols´aggal (M T ). A tov´abbiakban, amikor a

108 hideg ´aramok, rejtett h˝oforr´asok h˝om´ers´ekleteir˝ol besz´el¨ unk, akkor m´ar a m´odos´ıtott (i,k,l)

´ert´ekekkel dolgozunk. (i, k, l) ∈ F C -ra a t0

+ M T , (k, j) ∈ LC -re a t(k,j) + M T

´ert´ekekkel sz´amolunk.

4.4.4.

Az elemi h˝ o´ aramok

Megadjuk az elemi h˝om´ers´ekleti intervallumok fogalm´at. Elemi h˝om´ers´ekleti intervallumok Defini´aljuk a k¨ovetkez˝o sorozatot: t1 , t2 , . . . , tne , ahol a sorozat elemei az (i, k, l) ∈ F H ∪ F C h˝o´aramhoz tartoz´o kezd˝o- ´es v´egh˝om´ers´ekletek, illetve (k, j) ∈ LC ∪ LH a rejtett h˝oforr´ashoz tartoz´o h˝om´ers´ekleti ´ert´ekek egyszeres el˝ofordul´assal. Legyen a sorozat rendezve (i > j ⇒ ti > tj ). A h˝ointervallumokat a tp sorozat szerint elemi intervallumokra bontjuk. Legyen Ep = [tp , tp+1 ], p ∈ [1, . . . , ne ] egy elemi intervallum. Az elemi h˝ointervallumok alapj´an u ´gynevezett elemi h˝oa´ramokk´a (E H , E C ) bontjuk fel az ´aramokat: n o (i,k,l) (i,k,l) H H E = (i, k, l, p) : (i, k, l) ∈ F , tp ≥ t0 & tp+1 ≤ t1 EC

= {F SH1 , . . . , F SHnF SH } , n o (i,k,l) (i,k,l) C = (i, k, l, p) : (i, k, l) ∈ F , tp ≥ t0 & tp+1 ≤ t1

= {F SC1 , . . . , F SCnF SC } .

4.4.5.

A r´ eszh˝ o´ aramok

Az elemi h˝ointervallumok felhaszn´al´as´aval a h˝o´aramokat felbontjuk r´eszh˝o´aramokra. (i,k,l)

Az (i, k, l) ∈ F C ∪ F H , [t0 (i,k,l)

ban, ahol tp = t0

(i,k,l)

, t1

] h˝om´ers´eklet intervallum fel´ırhat´o [tp , tp+d ] alak-

(i,k,l)

, tp+d = t1

. [tp , tp+d ] felbonthat´o Iqs = [tq , ts+1 ] r´eszintervallu
mokra, ahol p ≤ q ≤ s ≤ p + d − 1 (ez ¨osszesen d+1 intervallum). 2

Az el˝obb v´azolt intervallumfelbont´asokat a h˝o´aramokra haszn´alva r´eszh˝o´aramokat

109 kapunk: IH =

IC

o n (i,k,l) (i,k,l) (i, k, l, q, s) : (i, k, l) ∈ F H , & Iqs ⊆ [t0 , t1 ]

= {SSH1 , SSH2 , . . . , SSHnSSH } , n o (i,k,l) (i,k,l) = (i, k, l, q, s) : (i, k, l) ∈ F C , & Iqs ⊆ [t0 , t1 ] = {SSC1 , SSC2 , . . . , SSCnSSC } .

4.5.

A matematikai modell

Fejezet¨ unkben a PNS modellt terjesztj¨ uk ki a HENS-hez kapcsol´od´o r´eszekkel. Kor´abban m´ar defini´altuk a PNS line´aris modellj´et (2.2.3 fejezet). A bevezetett HENS modell f¨ uggetlen mag´at´ol a PNS r´eszhez kapcsol´od´o modellt˝ol, ´ıgy a meg´ert´es k¨onny´ıt´ese c´elj´ab´ol haszn´aljuk a PNS line´aris modellj´et.

4.5.1.

Anyagponthoz tartoz´ o matematikai modell

Fejezet¨ unkben a kiterjesztett anyagpontokhoz tartoz´o felt´eteleket r´eszletezz¨ uk. Legyen T azon anyagok halmaza, melyre l´etezik specifik´alt h˝om´ers´eklet. Legyen mi ∈ T , (ok , mi ) ∈ ω − (mi ) ´es (mi , ol ) ∈ ω + (mi ). Jel¨olje tin uveleti ik az mi anyag mint ok m˝ egys´eg kimeneti anyag´anak h˝om´ers´eklet´et. Hasonl´oan jel¨olje tout il az mi anyag mint ol m˝ uveleti egys´eg bemeneti anyag´anak h˝om´ers´eklet´et. Jel¨olj¨ uk hkl uveleti i -vel az ok m˝ egys´egb˝ol ol m˝ uveleti egys´egbe ´araml´o mi anyaghoz tartoz´o mesters´eges m˝ uveleti egys´eget a rajta ´at´araml´o anyag mennyis´eg´et pedig jel¨olje wikl . Jel¨olje tov´abb´a mki az ok m˝ uveleti egys´eghez tartoz´o u ´j mesters´eges anyagpontot” (l´asd 4.4 ´abra). ” A kor´abban adott mi anyagponthoz kapcsol´od´o felt´etelt u ´j felt´etelekkel fogjuk helyettes´ıteni. Jel¨olje Ki az mi anyagpont kiterjeszt´es´evel l´etrehozott u ´j mesters´eges m˝ uveleti egys´egek halmaz´at, ´es Mi az u ´j anyagpontok halmaz´at. A mesters´eges m˝ uveleti egys´egek egy input, illetve output anyaggal rendelkeznek. ´Igy k´et felt´etel tartozik egy m˝ uveleti egys´eghez. A mesters´eges m˝ uveleti egys´egekre vonatkoz´o k¨olts´eg ´es felt´etelrendszer: K¨olts´eg: fikl () = 0, hkl i ∈ Ki , i ∈ T

110

ok k

mi k ai

out

t ik

kl

hi l

ai l mi

in

til

ol

4.4. ´abra. Egy mesters´eges m˝ uveleti egys´eg. Felt´etelek: gikl1 (xkl , wikl ) = 0,

hkl i ∈ Ki , i ∈ T ,

gikl2 (xkl , wikl ) = 0,

hkl i ∈ Ki , i ∈ T .

− kl l kl l + kl Itt legyen aki = (mki , hkl es jel¨olje xki = ϕ(aki ), i ) ∈ ω (hi ), ai = (hi , mi ) ∈ ω (hi ), ´

xli = ϕ(ali ) az ´elekhez tartoz´o v´altoz´okat. kl k gikl1 (yk , yl , xki , hkl i ) = wi − x i ,

hkl i ∈ Ki , i ∈ T

l kl gikl2 (yk , yl , xki , hkl i ) = wi − x i ,

hkl i ∈ Ki , i ∈ T

A mesters´eges anyagpontokhoz tartoz´o k¨olts´eg ´es felt´etelrendszer: ′

fi k (ϕ(ω − (mi )), ϕ(ω + (mi ))) = 0, mki ∈ Mi , ′

gik (ϕ(ω − (mki )), ϕ(ω + (mki ))) ≤ 0,

mki ∈ Mi , ok ∈ prod(mi ),

′

gil (ϕ(ω − (mli )), ϕ(ω + (mli ))) ≤ 0,

mli ∈ Mi , ol ∈ f eed(mi ).

Legyen ok ∈ prod(mi ) ´es as = (ok , mki ) ∈ ω + (ok ), ′

gik (ϕ(ω − (mki )), ϕ(ω + (mki ))) =

X

ol ∈f eed(mi )

wikl − xs .

(4.5.1)

111 Hasonl´oan ol ∈ f eed(mi ) ´es as = (mli , ol ) ∈ ω + (ok ), ′

gil (ϕ(ω − (mli )), ϕ(ω + (mli ))) = xs −

X

wikl .

(4.5.2)

ok ∈prod(mi )

Felhaszn´alva a m˝ uveleti egys´egekhez tartoz´o (2.2.5) felt´eteleket, a (4.5.1) ´es (4.5.2) formul´ak rendre a k¨ovetkez˝o form´aban ´ırhat´ok: ′

gik (ϕ(ω − (mki )), ϕ(ω + (mki ))) =

X

wikl − rki zk ,

ol ∈f eed(mi ) ′l

gi (ϕ(ω − (mli )), ϕ(ω + (mli ))) = rli zl −

X

wikl .

ok ∈prod(mi )

Modell¨ unkben kik¨ usz¨ob¨olt¨ uk az ´elekhez tartoz´o x v´altoz´okat a z ´es w v´altoz´ok seg´ıts´eg´evel.

4.5.2.

Potenci´ alis h˝ ocser´ ek meghat´ aroz´ asa

Minden ´aramhoz defini´aljuk az ´aramok egy r´eszhalmaz´at, melyeknek k´epes h˝ot ´atadni. A meleg r´esz´aramokhoz rendelj¨ uk a vele p´aros´ıthat´o hideg r´esz´aramokat.  JF F (SSHj ) = SSCj ′ = (i′ , k ′ , l′ , q ′ , s′ ) ∈ I C : q ≤ q ′ , s ≤ s′ , SSHj = (i, k, l, q, s) ∈ I H  JF L(SSHj ) = LCj ′ = (k ′ , j ′ ) ∈ LC : tq ≤ Tk′ j ′ ,

SSHj = (i, k, l, q, s) ∈ I H  JLF (LHj ) = SSCj ′ = (i′ , k ′ , l′ , q ′ , s′ ) ∈ I C : Tkj ≤ ts′ +1 , LHj = (k, j) ∈ LH  JLL(LHj ) = LHj ′ = (k ′ , j ′ ) ∈ LC : Tkj ≤ Tk′ j ′ , LHj = (k, j) ∈ LH

Minden elemi ´aramhoz, rejtett meleg ´es hideg forr´ashoz hozz´arendelj¨ uk a megfelel˝o k¨ uls˝o forr´ast. u ∈ U H : U Tu ≥ tp+1 , F SCj = (i, k, l, p) ∈ E C  JF U (F SHj ) = u ∈ U C : U Tu ≤ tp , F SHj = (i, k, l, p) ∈ E H  JLU (LCj ) = u ∈ U H : U Tu ≥ Tkj , LCj = (k, j) ∈ LC  JLU (LHj ) = u ∈ U C : U Tu ≤ Tkj , LHj = (k, j) ∈ LH JF U (F SCj ) =



112 A nem p´ aros´ıthat´ o h˝ o´ aramok Lehetnek olyan ´aramok, melyek valami okn´al fogva nem p´aros´ıthat´ok. A tiltott h˝o´atad´asokat kivessz¨ uk a megfelel˝o halmazokb´ol.

4.5.3.

H˝ oegyens´ ulyi felt´ etelek

A h˝oegyens´ ulyi egyenleteket az elemi h˝o´aramokra ´ırjuk fel, a h˝ocser´ek defini´al´asakor a r´eszh˝o´aramokat, valamint a rejtett hideg ´es meleg forr´asokat haszn´aljuk. A h˝oegyens´ ulyi felt´etelek defini´al´asakor meg kell hat´aroznunk az elvonand´o illetve bet´apl´aland´o h˝o mennyis´eg´et. QF Hj = ci wikl (tp+1 − tp ), F SHj = (i, k, l, p) ∈ E H QF Cj = ci wikl (tp+1 − tp ), F SCj = (i, k, l, p) ∈ E C QLHj = hki zk , LHj = (k, i) ∈ LH QLCj = hki zk , LCj = (k, i) ∈ LC H˝ ocser´ ekhez tartoz´ o v´ altoz´ ok A v´altoz´ok az egym´ashoz rendelt hideg ´es meleg r´eszh˝o´aram vagy a rejtett h˝o´aram k¨oz¨otti ´atvitt h˝omennyis´eget jel¨olik. A v´altoz´okat a hozz´arendel´esek t´ıpusainak megfelel˝oen k¨ ul¨onb¨oztetj¨ uk meg. A v´altoz´oknak k´et f˝o index¨ uk van: az els˝o mindig a meleg r´eszh˝o´aram azonos´ıt´oja, a m´asodik pedig a hozz´arendelt hideg r´eszh˝o´aram azonos´ıt´oja. QF Fij : SSHi ∈ I H , SSCj ∈ JF F (SSHi ) QF Lij : SSHi ∈ I H , LCj ∈ JF L(SSHi ) QLFij : LHi ∈ LH , SSCj ∈ JLF (LHi ) QLLij : LHi ∈ LH , LCj ∈ JLL(LHi ) A k¨ uls˝o h˝oforr´asokat az elemi h˝o´aramokhoz rendelj¨ uk. Az ide vonatkoz´o v´altoz´ok eset´eben is az egyik index a h˝o´aramra vonatkozik, a m´asik a megfelel˝o k¨ uls˝o forr´asra.

113 Az indexek sorrendje a h˝oelvon´as ir´any´at mutatja. QF Uiu : F SHi ∈ E H , u ∈ JF U (F SHi ) QU Fui : F SCi ∈ E C , u ∈ JF U (F SCi ) QLUiu : LHi ∈ LH , u ∈ JLU (LHi ) QU Lui : LCi ∈ LC , u ∈ JLU (LCi ) A h˝oegyens´ ulyi felt´etelek: H(F SHi ) = 0, F SHi ∈ E H H(F SCi ) = 0, F SCi ∈ E C H(LHi ) = 0, LHi ∈ LH H(LCi ) = 0, LCi ∈ LC R´eszletezz¨ uk az egyenletek bal oldal´at: X

H(F SHi ) = QF Hi −

SSHj =(i,k,l,q,s)∈I H ,s≤p≤q

"

X

QF Fjj ′ +

SSCj ′ ∈JF F (SSHj )

X

tp+1 − tp tq+1 − ts X

#

QF Ljj ′ −

LCj ′ ∈JF L(SSHj )

QF Uiu ,

u∈JF U (F SHi )

F SHi = (i, k, l, p) ∈ E H , X

H(F SCi′ ) = QF Ci′ +

SSCj ′ =(i′ ,k′ ,l′ ,q ′ ,s′ )∈I C ,s′ ≤p′ ≤q ′

"

X

QF Fjj ′ +

SSCj ′ ∈JF F (SSHj )

X

QU Fui′ ,

u∈JF U (F SCi′ )

F SCi′ = (i′ , k ′ , l′ , p′ ) ∈ E C ,

X

tp′ +1 − tp′ tq′ +1 − ts′

SSCj ′ ∈JLF (LHj )

#

QLFjj ′ +

114 X

H(LHi ) = QLHi −

QLFii′ −

SSCi′ ∈JLF (LHi )

X

X

QLLii′ −

LCi′ ∈JLL(LHi )

u∈JLU (LHi )

H

LHi ∈ L , X

H(LCi′ ) = QLCi′ +

QLUiu ,

QF Lii′ −

LCi′ ∈JF L(SSHi )

X

QLLii′ +

LCi′ ∈JLL(LHi ))

QU Lui′ ,

u∈JLU (LCi′ )

C

LCj ∈ L .

4.5.4.

X

H˝ ocser´ el˝ ok k¨ olts´ ege

A modell¨ unkben a h˝ocser´el˝o k¨olts´eg a fel¨ ulettel ar´anyos. Az ar´anyoss´agi t´enyez˝oket adjuk most meg a k¨ ul¨onb¨oz˝o t´ıpus´ u h˝ocser´ek eset´en. 1 , Uii′ LM T D(ts , tq+1 , ts′ , tq′ +1 ) SSHj = (i, k, l, q, s) ∈ I H ,

CF Fjj ′ = Aii′

SSCj ′ = (i′ , k ′ , l′ , q ′ , s′ ) ∈ JF F (SSHj ), ulet˝ u h˝ocser´el˝o k¨olts´ege ´es Uii′ az ahol Aii′ az mi ´es mi′ anyagok k¨oz¨otti egys´egnyi fel¨ oli a r´eszh˝o´aramok anyagok k¨oz¨otti fajlagos h˝o´atad´asi t´enyez˝o ( mW 2 ·K ). Az LM T D jel¨ k¨oz¨otti logaritmikus k¨oz´eph˝om´ers´ekletet. LM T D(x1 , x2 , y1 , y2 ) =

(x1 − y1 ) − (x2 − y2 ) −y1 ln xx21 −y 2

A rejtett forr´asok eset´eben a h˝o´atvitel valamilyen k¨oztes anyagon kereszt¨ ul t¨ort´enik. Ilyenkor erre az anyagra vonatkoznak az anyagt´ol f¨ ugg˝o param´eterek. Jel¨olje most

115 ezt az anyagot m. 1 , Uim LM T D(ts , tq+1 , Tk′ i′ , Tk′ i′ ) SSHj = (i, k, l, q, s) ∈ I H , LCj ′ = (k ′ , i′ ) 1 = Ami′ Umi′ LM T D(Tki , Tki , ts′ , tq′ +1 ) LHj = (k, i) ∈ LH , SSCj ′ = (i′ , k ′ , l′ , q ′ , s′ ) ∈ JLF (LHj ), 1 2 = Amm Umm (Tki + Tk′ i′ ) LHj = (k, i) ∈ LH , LCj ′ = (k ′ , i′ ) ∈ JLL(LHj )

CF Ljj ′ = Aim

CLFjj ′

CLLjj ′

K¨ uls˝ o h˝ o energia k¨ olts´ ege A k¨ uls˝o meleg ´es hideg energia k¨olts´ege az id˝oegys´eg alatt elvitt h˝o line´aris f¨ uggv´enye. u ∈ U H ∪ U C -re a U Cu jelentse a line´aris k¨olts´eghez tartoz´o egy¨ utthat´ot.

4.5.5.

Egyes´ıtett matematikai modell

¨ Osszefoglalva az eddigieket a matematikai modell a k¨ovetkez˝ok´eppen n´ez ki: C´elf¨ uggv´eny: min

X

fi′ +

mi ∈R

X

X

fj +

oj ∈O

CF Fjj ′ QF Fjj ′ + CLFjj ′ QLFjj ′ +

QLUiu

X

QF Uiu

QLFjj ′

X

CF Ljj ′ QF Ljj ′ +

QF Ljj ′

QF Fjj ′

X

X

U Cu QLUiu

U Cu QF Uiu +

(4.5.3)

116 Felt´etelrendszer: gi′ (ϕ(ω − (mi )), ϕ(ω + (mi ))) ≤ 0, mi ∈ M \ T ′

gik (ϕ(ω − (mki )), ϕ(ω + (mki ))) ≤ 0, mki ∈ Mi , ok ∈ prod(mi ) i ∈ T ′

gil (ϕ(ω − (mli )), ϕ(ω + (mli ))) ≤ 0, mli ∈ Mi , ol ∈ f eed(mi ) i ∈ T H(F SHi ) = 0, F SHi ∈ E H

(4.5.4)

H(F SCi ) = 0, F SCi ∈ E C H(LHi ) = 0, LHi ∈ LH H(LCi ) = 0, LCi ∈ LC

4.6.

Az integr´ alt m´ odszer le´ır´ asa

A m´odszer az ABB algoritmus [40] m´odos´ıtott´asa. Az algoritmus kombinatorikus r´esze (sz´etv´alaszt´as, kiterjeszt´esek) v´altozatlan. A korl´atsz´am´ıt´asi l´ep´es v´altozik, a matematikai modell b˝ov¨ ul ki a h˝ocser´ehez tartoz´o v´altoz´okkal, egyenletekkel. A felt´etelrendszereket a m´ar le´ırtak szerint kell gener´alni. Az algoritmus az iter´aci´ok sor´an d¨ont a m˝ uveleti egys´egek bev´etel´er˝ol (yk = 1) ´es kiz´ar´as´ar´ol (yk = 0). A modell fel´ır´asakor a fixen kiz´art (yk = 0) m˝ uveleti egys´egek jelentenek v´altoz´asokat, az ahhoz kapcsol´od´o h˝o´aramok, rejtett meleg ´es hideg forr´asok nem ker¨ ulnek bele a modellbe.

4.6.1.

A korl´ atoz´ o LP feladat tulajdons´ aga

A korl´atoz´as l´ep´es sor´an egy LP feladatot kell megoldanunk. A felt´etelrendszer az anyagokra ´es az elemi h˝o´aramokra vonatkoznak, a v´altoz´ok a m˝ uveleti egys´egekhez ´es a h˝ocser´el˝okh¨oz vannak hozz´arendelve. A potenci´alis h˝ocser´el˝ok sz´ama az egym´ashoz rendelhet˝o r´eszh˝o´aramok ´es rejtett forr´asok kombin´aci´oit´ol f¨ ugg, ez´ert m´ar k¨ozepes feladatok eset´eben is nagysz´am´ u potenci´alis h˝ocser´el˝ot kapunk. Ez t¨obb nagys´agrendben is elt´erhet magukt´ol az elemi ´aramok sz´am´at´ol. Ez azt jelenti, hogy az LP feladat oszlopainak a sz´ama j´oval nagyobb a sorok sz´am´an´al. Gyakorlati p´eld´akn´al nagym´eret˝ u LP feladatok mer¨ ulhetnek fel, amelyek kev´es sz´am´ u felt´etelt

117 ´es nagysz´am´ u v´altoz´ot tartalmaznak. A SIMPLEX m´odszer ilyen t´ıpus´ u LP feladatokra igen hat´ekony. Az optim´alis megold´asban az ¨osszes h˝ocser´el˝o sz´am´ahoz k´epest eleny´esz˝o az optim´alis megold´ashoz tartoz´o h˝o´atvitelek sz´ama, ´ıgy a megold´asban szerepl˝o nemz´er´o v´altoz´ok sz´ama is j´oval kevesebb mint a modellhez tartoz´o v´altoz´osz´am.

4.7.

Szeml´ eltet˝ o p´ elda

Egy szeml´eltet˝o p´elda alapj´an fogjuk bemutatni algoritmusunk m˝ uk¨od´es´et.

4.7.1.

´ Altal´ anos le´ır´ as

A feladat maxim´alis strukt´ ur´aj´anak reprezent´aci´oj´at a 4.5 ´abra mutatja. A t´eglalapok a m˝ uveleti egys´egeket, az ir´any´ıtott ´elek az anyag´aramokat ´abr´azolj´ak. Az esetlegesen sz¨ uks´eges h˝oig´enyeket is felt¨ untett¨ uk. C´elunk egy olyan k¨olts´egoptim´alis r´eszstrukt´ ura megtal´al´asa, amely kiel´eg´ıti a felt´eteleket. A felt´etelek lehetnek: term´ekekre megfogalmazott korl´at, h˝oig´enyek kiel´eg´ıt´ese, anyagegyens´ uly felt´etelek. A term´ek az M1 anyag, melyb˝ol 100 t/´ev mennyis´eget kell gy´artani. A m˝ uveleti

4.5. ´abra. Folyamat´abra a szeml´eltet˝o feladathoz.

118

M˝ uveleti egys´eg o1 o2 o3 o4 o5 o6 o7

4.1. t´abl´azat. A lehets´eges m˝ uveleti egys´egek Rejtett h˝o Bemeneti Kimeneti H˝om. (K) Forr´as e¨ u. ´aramok ´aramok − − M3 (3, 343) M1 (2), M6 (1, 363) − − M4 (1.5) M1 (1), M2 (0.5) 353 20 M5 (1), M 6(1, 353) M3 (2, 333) − − M6 (0.3), M7 (1.7) M3 (1, 363), M4 (1) − − M7 (2), M8 (1) M4 (3) − − M9 (1) M6 (1, 328) − − M10 (1.2), M11 (0.8) M8 (2)

egys´eg modellj´et le´ır´o param´etereket a 4.1 t´abl´azat tartalmazza, a kapcsol´od´o k¨olts´egparam´eterek a 4.2 t´abl´azatban tal´alhat´ok. A m˝ uveleti egys´egekkel kapcsolatosan felmer¨ ul˝o rejtett h˝o mennyis´eg´et a forr´as egy¨ utthat´o ´es a m´eret szorzata adja meg (l´asd a 4.1 t´abl´azat megfelel˝o oszlopai). Egy m˝ uveleti egys´eg egy bemeneti vagy kimeneti anyag´aram´anak param´eter´et az anyagn´ev ut´ani z´ar´ojelbe tett mennyis´eg jellemzi, a m´asodik ´ert´ek a h˝om´ers´ekletre vonatkozik. A k¨olts´egparam´etereket a 4.2 t´abl´azat tartalmazza. A p´eld´ankban a megt´er¨ ul´esi ´evek sz´ama 5.

4.2. t´abl´azat. K¨olts´egparam´eterek a m˝ uveleti egys´egekre M˝ uveleti Beruh´az´asi k¨olts´eg M˝ uk¨od´esi k¨olts´eg ´ ´ egys´eg Alland´ o V´altoz´o Alland´ o V´altoz´o o1 7500 1200 500 160 o2 3800 1000 140 250 o3 8000 1000 400 170 o4 15000 1500 500 100 o5 10000 1500 900 300 o6 3000 750 200 100 o7 5000 800 700 160

119

N´ev M5 M7 M9 M10 M11

4.4. K¨ uls˝o forr´as H1 C1

4.3. t´abl´azat. Nyersanyagok K¨olts´eg [USD/t] Limit [t/´ev] 140 Nincs limit 200 Nincs limit 250 Nincs limit 50 Nincs limit 70 Nincs limit

t´abl´azat. K¨ uls˝o hideg, meleg forr´asok T´ıpus H˝om´ers´eklet (K) K¨olts´eg (USD/MJ) Meleg 373.0 2.0 Hideg 293.0 3.0

A nyersanyagok felsorol´as´at ´es a hozz´a megfelel˝o ´ert´ekek a 4.3 t´abl´azat tartalmazza. A felhaszn´alhat´o k¨ uls˝o hideg ´es meleg forr´asokat 4.4 t´abla tartalmazza a rendelkez´esre ´all´o h˝om´ers´eklet ´es a k¨olts´egadatokkal egy¨ utt. A h˝ocser´el˝o k¨olts´eg´et anyagp´aronk´ent lehet defini´alni, a p´eld´ankban minden anyagp´arra azonos k¨olts´eget adunk meg: 5.0 USD/m2 ; hasonl´oan a h˝o´atad´asi t´enyez˝o is egy anyagp´arra vonatkozik, most itt minden p´arra 1.0 MJ/(h K m2 ). hP-Gr´ af A feladat hP-gr´af reprezent´aci´oj´at mutatja a 4.6 ´abra, ahol m´ar a lehets´eges h˝ocser´eket is felt¨ untett¨ uk. ABB algoritmus A feladatot a 2.3 fejezetben eml´ıtett ABB m´odszerrel lett megoldva, az algoritmus ´altal bej´art BB keres˝ofa a 4.7 ´abr´an l´athat´o.

A BB fa minden pontj´ahoz

tartozik a m˝ uveleti egys´egek egy oszt´alyoz´asa: kiz´art, bev´alasztott, nem d¨ont¨ott

120

M9

6 M6(1)

M6(6)

M11

M10

7

M5

M6(3)

M6(4)

M7

M8

5

4

3

M3(4)

M3(3)

M4 M3(1)

1

2

M1

M2

4.6. ´abra. A szeml´eltet˝o p´elda hP-gr´afja.

121

4.5. t´abl´azat. M˝ uveleti egys´eg oszt´alyok Cs´ ucs M˝ uveleti egys´eg Nem d¨ont¨ott Bev´alasztott Kiz´art 1 1,2,3,4,5,6 − − 1.1 3,4,6 1 2,5,7 1.1.1 6 1,3 2,4,5,7 1.1.1.1 − 1,3 2,4,5,6,7 1.1.1.2 − 1,3,6 2,4,5,7 1.1.2 6 1,4 2,3,5,7 1.1.3 6 1,3,4 2,5,7 1.2 4,5,6,7 2 1,3 1.3 3,4,5,6,7 1,2 − 1.3.1 6 1,2,3,5,7 4 1.3.2 5,6,7 1,2,4 3 1.3.3 5,6,7 1,2,3,4 −

m˝ uveleti egys´egek. A 4.5 t´abl´azat tartalmazza a BB f´aban a cs´ ucsokhoz tartoz´o oszt´alyoz´asokat. Tov´abbiakban k´et cs´ ucsra, 1 (gy¨ok´erpont) ´es 1.1.1.2 (lev´elpont), r´eszletezz¨ uk a modell fel´ır´as´at.

4.7.2.

Az 1. cs´ ucs

Az 1. cs´ ucs a gy¨ok´er cs´ ucsot reprezent´alja, m´eg nem t¨ort´ent d¨ont´es, ´ıgy minden m˝ uveleti egys´eg a nem d¨ont¨ott oszt´alyban tal´alhat´o. Potenci´alisan k´et meleg ´es k´et hideg ´aram van, ezeket a 4.6 t´abl´azat tartalmazza, tov´abb´a rejtett h˝o a 3. m˝ uveleti egys´eghez tartozik, ennek a param´etereit a 4.7 t´abl´azat tartalmazza. A meleg ´es hideg ´aramokat kaszk´ad diagrammal ´abr´azolhatjuk (l´asd 4.8 ´abra), ahol a hideg ´aramokat a minim´alis megk¨ozel´ıt´esi t´avols´aggal (10 K) m´ar eltoltuk. A diagramban az I1 , I2 , . . . I5 jel¨oli a h˝om´ers´ekleti intervallumokat. A h˝om´ers´ekleti intervallumok (I1 , I2 , . . . I5 ) a meleg ´es hideg ´aramokat elemi h˝o´aramokk´a part´ıcion´alj´ak (l´asd a 4.8 t´abl´azat).

122

1

1.1

1.3 1.2

1.1.1 1.1.2

1.1.1.1

1.1.3

1.3.1

1.3.2

1.3.3

1.1.1.2

4.7. ´abra. Az ABB algoritmus ´altal el˝o´all´ıtott lesz´aml´al´asi fa (a legrosszabb eset).

4.6. t´abl´azat. Lehets´eges h˝o´aramok az 1. cs´ ucsn´al ´ Aram T´ıpus Anyag Kezd˝o h˝om. (K) V´eg h˝om. (K) S1 meleg M3 363.0 343.0 S2 meleg M6 363.0 353.0 S3 hideg M3 333.0 343.0 S4 hideg M6 328.0 353.0

4.7. t´abl´azat. Rejtett h˝oforr´asok az 1. cs´ ucsn´al ´ Aram T´ıpus M˝ uveleti egys´eg H˝om´ers´eklet (K) LH1 meleg 3 353.0

123

4.8. ´abra. Kaszk´ad diagram a jellemz˝o h˝o´aramokr´ol az 1. cs´ ucsban.

4.8. t´abl´azat. Elemi h˝o´aramok F SH1 F SH2 F SH3 F SC1 F SC2 F SC3 F SC4

Lehets´eges elemi h˝o´aramok az 1. cs´ ucsban T´ıpus Anyag Kezd˝o h˝om. (K) V´eg h˝om. (K) meleg M3 363.0 353.0 meleg M3 353.0 343.0 meleg M6 363.0 353.0 hideg M3 343.0 353.0 hideg M6 338.0 343.0 hideg M6 343.0 353.0 hideg M6 353.0 363.0

124 R´eszh˝o´aramokat az elemi h˝o´aramok folytonos intervallumot alkot´o kombin´aci´oi hat´arozz´ak meg. A r´eszh˝o´aramok list´aja a 4.9 t´abl´azatban l´athat´o. Egy h˝ocser´el˝o egy (hideg-meleg) r´eszh˝o´aram p´arral adhat´o meg, a JSS(SSHi ) (i = 1, 2, 3, 4) halmazok tartalmazz´ak a SSHi -vel potenci´alisan p´aros´ıthat´o r´eszh˝o´aramokat, melyeket az al´abbiakban r´eszletezz¨ uk: JSS(SSH1 ) = {SSC1 , SSC2 , SSC3 , SSC5 }, JSS(SSH2 ) = {SSC1 , SSC2 , SSC3 , SSC4 , SSC5 , SSC6 , SSC7 }, JSS(SSH3 ) = {SSC1 , SSC2 , SSC3 , SSC5 , SSC6 , SSC7 }, JSS(SSH4 ) = {SSC1 , SSC2 , SSC3 , SSC4 , SSC5 , SSC6 , SSC7 }. A rejtett h˝o u ´gy kezelhet˝o, mint egy r´eszh˝o´aram amelynek a kezd˝o- ´es v´egh˝om´ers´eklete ugyanaz: JLS(LH1 ) = {SSC1 , SSC2 , SSC3 , SSC5 } A k¨ uls˝o meleg, hideg forr´asokat minden elemi h˝o´aramhoz hozz´a kell rendeln¨ unk: JSU (F SH1 ) = {C1 }, JSU (F SH2 ) = {C1 }, JSU (F SH3 ) = {C1 }, JSU (F SH4 ) = {C1}, JSU (F SC1 ) = {H1 }, JSU (F SC2 ) = {H1 }, JSU (F SC3 ) = {H1 }. Itt C1 a k¨ uls˝o hideg forr´as ´es H1 a k¨ uls˝o meleg forr´as. Hasonl´oan a rejtett h˝ore: JLU (LH1 ) = {C1 }. Az anyagok h˝okapacit´asait a 4.10 t´abl´azat tartalmazza. Egy elemi h˝o´aram sz´am´ara bet´apl´aland´o illetve elvonand´o h˝o mennyis´eg´et a h˝okapacit´as az ´aram ´es a h˝om´ers´ekleti intervallum szorzata adja (QF Ci , i = 1, 2, ..., 7). A rejtett h˝o mennyis´ege a kapcsol´od´o m˝ uveleti egys´eg m´eret´enek ´es rejtett h˝o param´eter´enek szorzata (QLH1 ). Meleg h˝o´aramokra QF Hi > 0, hideg h˝o´aramokra QF Ci < 0 teljes¨ ul ez term´eszetesen a rejtett h˝ore is igaz. A h˝o´atvitelhez kapcsol´od´o v´altoz´okat a megfelel˝o r´esz´aramok vagy rejtett h˝o´aramok indexeivel azonos´ıtjuk, az els˝o index a meleg ´aramra, a m´asodik index a hideg ´aramra vonatkozik (l´asd a 4.11 t´abl´azatot). Rejtett ´es elemi h˝o´aramokhoz rendelj¨ uk a k¨ uls˝o meleg ´es hideg energiaforr´asokat, a k¨ uls˝o energi´ahoz kapcsol´od´o v´altoz´okat a 4.12 t´abla tartalmazza. A h˝ocser´ek r´eszh˝o´aramok k¨oz¨ott mennek v´egbe, viszont a h˝oegyens´ ulyi felt´eteleket

125

4.9. R´eszh˝o´aramok SSH1 SSH2 SSH3 SSH4 SSC1 SSC2 SSC3 SSC4 SSC5 SSC6 SSC7

t´abl´azat. Lehets´eges r´eszh˝o´aramok az 1. cs´ ucsban T´ıpus Anyag Intervallum Kezd˝o h˝om. (K) V´eg meleg M3 I3 353.0 meleg M3 I4 363.0 meleg M3 I3 , I4 363.0 meleg M6 I4 363.0 hideg M3 I3 338.0 hideg M6 I2 343.0 hideg M6 I3 338.0 hideg M6 I4 343.0 hideg M6 I2 , I3 338.0 hideg M6 I3 , I4 343.0 hideg M6 I2 , I3 , I4 338.0

h˝om.(K) 343.0 353.0 343.0 353.0 353.0 343.0 353.0 363.0 353.0 363.0 363.0

4.10. t´abl´azat. Anyagok h˝okapacit´asai Anyagn´ev ´ert´ek M3 0.4 M4 1.0 M6 1.0

SSH1 SSH2 SSH3 SSH4 LH1

4.11. t´abl´azat. H˝ocser´ehez kapcsol´od´o v´altoz´ok az 1. cs´ ucsban SSC1 SSC2 SSC3 SSC4 SSC5 SSC6 QF F11 QF F12 QF F13 − QF F15 − QF F21 QF F22 QF F23 QF F24 QF F25 QF F26 QF F31 QF F32 QF F33 − QF F35 QF F36 QF F41 QF F42 QF F43 QF F44 QF F45 QF F46 QLF11 QLF12 QLF13 − QLF15 −

SSC7 − Q27 Q37 Q47 −

126 az elemi h˝o´aramokra sz´am´ıtjuk, ez´ert fontos a r´eszh˝oa´ramb´ol elvont h˝o elemi h˝o´aramra es˝o r´esz´enek a meghat´aroz´asa (l´asd 4.9 ´abra). A h˝o´aram egy t´eglalapnak tekinthet˝o, a horizont´alis m´erete a fajh˝o ´es az anyag´aram szorzata, a vertik´alis hossz pedig a kezd˝o- ´es v´egh˝om´ers´eklet k¨ ul¨onbs´ege. A k´et oldal szorzata adja meg az id˝oegys´eg alatt elvonand´o illetve bet´apl´aland´o h˝omennyis´eget. Tekints¨ uk az F SHk (EF GH t´eglalap) elemi h˝o´aramot a hozz´a kapcsol´od´o h˝om´ers´ekleti intervallummal [T2 ,T3 ]. Jel¨olje a hozz´a tartoz´o t´eglalap ter¨ ulet´et QFk . Legyen SSHi (ABCD t´eglalap) a r´eszh˝o´aram ´es SSCj a h˝ocser´eben r´esztvev˝o m´asik r´eszh˝o´aram. A [T1 ,T4 ] az SSHi -hoz tartoz´o h˝om´ers´ekleti intervallum ´es legyen az ´atvitt h˝o mennyis´ege QF Fij . Az EF GH ´es ABCD t´eglalapok metszete jelzi az F SHk -r´ol t´enylegesen elvitt h˝omennyis´eget, mely a k¨ovetkez˝ok´eppen sz´amolhat´o: T3 − T2 QF Fij T4 − T1

(4.7.1)

A megfelel˝o h˝ointervallumok ar´anya hat´arozza meg, hogy a QF Fij mennyis´eg˝ u elvitt h˝o mekkora h´anyada sz´armazik a k´erd´eses elemi r´eszh˝o´aramr´ol. Tekints¨ uk az F SH2 elemi h˝o´aramot. Az F SH2 -re vonatkoz´o h˝oegyens´ ulyi felt´etel meghat´aroz´as´aban a r´a illeszked˝o r´eszh˝o´aramokat kell figyelembe venn¨ unk, ezek most az SSH1 ´es az SSH3 . Az SSH1 r´eszh˝o´aram lehets´eges p´aros´ıt´asait a 4.10 ´abr´an mutatjuk be. Hasonl´oan a SSH3 r´eszh˝o´aram lehets´eges p´aros´ıt´asait a 4.11 ´abra mutatja. Az F SH2 -re vonatkoz´o h˝oegyens´ ulyi felt´etel a k¨ovetkez˝ok´eppen n´ez ki: 0 = QF H2 − QF F11 − 0.5 QF F31 − QF F12 − 0.5 QF F32 − QF F13 −0.5 QF F33 − QF F15 − 0.5 QF F35 − 0.5 QF F36 − 0.5 QF F37 − QF U21 . Hasonl´oan minden elemi h˝o´aramra ´es rejtett h˝ore fel´ırhat´o a h˝oegyens´ ulyi felt´etel, ezek egy¨ utthat´oit a 4.13 t´abl´azat tartalmazza. A h˝ocser´el˝o k¨olts´ege a fel¨ ulettel ar´anyos, ennek a kisz´am´ıt´as´ahoz tekints¨ unk egy h˝ocser´el˝ot, amely az SSHi ´es SSCj r´eszh˝o´aramok k¨oz¨ott van. A h˝ocser´ehez tartoz´o k¨olts´eg a k¨ovetkez˝o: cij QF Fij = aij

1 QF Fij , Uij LM T Dij

ahol QF Fij az ´atvitt h˝omennyis´eg. A 4.14 t´abl´azat tartalmazza ezen cij egy¨ utthat´okat.

127

4.12. t´abl´azat. A k¨ uls˝o hideg ´es meleg energi´ahoz kapcsol´od´o v´altoz´ok a 1. cs´ ucsban F SH1 F SH2 F SH3 F SC1 F SC2 F SC3 F SC4 LH1 C1 QF U 11 QF U21 QF U31 − − − − QLU11 H1 − − − QU F41 QU F51 QU F61 QU F71 −

Hõmérséklet Sn A

T4

T3

B

SSH i

E

FSHk

F

QFk G

T2 H T1

QFFij

D

C

SSC j

4.9. ´abra. H˝oegyens´ uly az elemi ´aramokra.

128

4.10. ´abra. Az SSH1 r´eszh˝o´aram lehets´eges p´aros´ıt´asai az 1. cs´ ucsban.

4.11. ´abra. Az SSH3 r´eszh˝o´aram lehets´eges p´aros´ıt´asai az 1. cs´ ucsban.

129

4.13. t´abl´azat. H˝oegyens´ ulyi felt´etelek egy¨ utthat´oi az 1. cs´ ucsban V´altoz´ok QF H1 QF H2 QF H3 QF C1 QF C2 QF C3 QF C4 QLH1 QF F11 -1 1 QF F21 -1 1 QF F31 -1/2 -1/2 1 QF F41 -1 1 QF F12 -1 1 QF F22 -1 1 QF F32 -1/2 -1/2 1 QF F42 -1 1 QF F13 -1 1 QF F23 -1 1 QF F33 -1/2 -1/2 1 QF F43 -1 1 QF F24 -1 1 QF F44 -1 1 QF F15 -1 1/3 2/3 QF F25 -1 1/3 2/3 QF F35 -1/2 -1/2 1/3 2/3 QF F45 -1 1/3 2/3 QF F26 -1 1/2 1/2 QF F36 -1/2 -1/2 1/2 1/2 QF F46 -1 1/2 1/2 QF F27 -1 1/5 2/5 2/5 QF F37 -1/2 -1/2 1/5 2/5 2/5 QF F47 -1 1/5 2/5 2/5 QLF11 1 -1 QLF12 1 -1 QLF13 1 -1 QLF15 1/3 2/3 -1 QF U11 -1 QF U21 -1 QF U31 -1 QU F11 1 QU F21 1 QU F31 1 QU F41 1 QLU11 -1

130 A fel´ırt matematikai programoz´asi modell line´aris, a megold´as egy als´o k¨olts´egkorl´atot ad a r´eszprobl´em´ara n´ezve.

4.7.3.

Az 1.1.1.2 cs´ ucs

Az aktu´alis cs´ ucs egy lev´elpont a BB f´aban. Az 1, 3 ´es 6 m˝ uveleti egys´egek a bev´alasztott halmazban vannak, a t¨obbi m˝ uveleti egys´eg pedig a kiz´artakat tartalmaz´o halmazban (a nem d¨ont¨ott m˝ uveleti egys´egek halmaza u ¨res). A potenci´alis meleg ´es hideg ´aramokat a 4.15 t´abl´azat, a rejtett h˝oket a 4.16 t´abl´azat tartalmazza. A 4.13 ´abr´an l´athat´o a r´eszfeladathoz kapcsol´od´o kaszk´ad diagram. A 4.17 t´abl´azat tartalmazza a meleg ´es hideg elemi h˝o´aramok list´aj´at, a 4.18 t´abla pedig a r´eszh˝o´aramokat tartalmazza. Megoldva az LP feladatot, 51534 USD lett az ´eves k¨olts´eg. Egy lev´elpontban voltunk, ´ıgy ez val´odi k¨olts´eget jelent. Az ABB algoritmus miut´an bej´arta a BB fa egy r´esz´et, azonos´ıtja az optim´alis megold´ast, amely az 1.1.1.2 cs´ ucsban megtal´alt strukt´ ura (4.12 ´abra). Az optim´alis strukt´ ura tartalmazza az 1, 3, ´es 6 m˝ uveleti egys´egeket; m´eret¨ uk rendre 50, 75, and 25. Az h˝ocser´eket az 4.14 ´abra mutatja.

131

4.14. t´abl´azat. A k¨olts´egf¨ uggv´enyhez tartoz´o param´eterek az 1. cs´ ucsban V´altoz´o Egy¨ utthat´o cij V´altoz´o Egy¨ utthat´o cij Q11 0.5000 QF F15 0.4055 QF F25 0.2231 Q21 0.2500 Q31 0.3465 QF F35 0.2877 Q41 0.2500 QF F45 0.2231 Q12 0.2876 QF F26 0.3466 Q22 0.1823 QF F36 0.5000 Q32 0.2310 QF F46 0.3466 Q42 0.1823 QF F27 0.3054 Q13 0.5000 QF F37 0.4055 QF F47 0.3054 Q23 0.2500 Q33 0.3466 QLF11 0.3466 Q43 0.2500 QLF12 0.2231 Q24 0.5000 QLF13 0.3466 Q44 0.5000 QLF15 0.3054

4.15. t´abl´azat. Potenci´alis hideg ´es meleg ´aramok az 1.1.1.2. cs´ ucsban ´ Aram T´ıpus Anyag Kezd˝o h˝om. (K) V´eg h˝om. (K) S1 meleg M6 363.0 353.0 S2 hideg M3 363.0 343.0 S3 hideg M6 328.0 353.0

4.16. t´abl´azat. Rejtett h˝o el˝ofordul´asa az 1.1.1.2. cs´ ucsban ´ Aram T´ıpus M˝ uvelet egys´eg H˝om. (K) LH1 meleg 3 363.0

132

M9

6 M6(1)

M6(6)

M11

M10

7

M5

M6(3)

M6(4)

M7

M8

5

4

3

M3(4)

M3(3)

M4 M3(1)

1

2

M1

M2

4.12. ´abra. Megold´as strukt´ ura az 1.1.1.2 cs´ ucsban.

4.17. t´abl´azat. Meleg ´es hideg elemi h˝o´aramok az 1.1.1.2. cs´ ucsban Elemi h˝o´aramok T´ıpus Anyag Kezd˝o h˝om. (K) V´eg h˝om. (K) F SH1 meleg M6 363.0 353.0 F SC1 hideg M3 333.0 343.0 F SC2 hideg M6 338.0 343.0 F SC3 hideg M6 343.0 353.0 F SC4 hideg M6 353.0 363.0

133

373

Külsõ meleg forrás

I5 363 I4 353

(M6) S1

(M6) S3 LH1

(M3) S2

I3 343

…

338

I2 I1

Külsõ hideg forrás

293

4.13. ´abra. Kaszk´ad diagram a jellemz˝o h˝o´aramokr´ol az 1.1.1.2. cs´ ucsban.

R´eszh˝o´aramok SSH1 SSC1 SSC2 SSC3 SSC4 SSC5 SSC6

4.18. t´abl´azat. R´eszh˝o´aramok az 1.1.1.2. cs´ ucsban T´ıpus Anyag Intervallum Kezd˝o h˝om. (K) V´eg meleg M6 I4 363.0 hideg M3 I2 338.0 hideg M6 I3 343.0 hideg M6 I4 353.0 hideg M6 I2 , I3 338.0 hideg M6 I3 , I4 343.0 hideg M6 I2 , I3 , I4 338.0

h˝om.(K) 353.0 343.0 353.0 363.0 353.0 363.0 363.0

134

4.14. ´abra. Az optim´alis strukt´ ur´ahoz tartoz´o h˝o´atvitelek. Gáz recirkuláció H2, CH4 Toluol

Égetés H2, CH4 Benzén

Reaktor

Szeparációs hálózat

Difenil

Toluol recirkuláció

4.15. ´abra. HDA folyamat diagramja.

4.8.

Alkalmaz´ as: HDA folyamat

A szakirodalomban j´ol ismert probl´ema kiterjeszt´es´ere alkalmazzuk az elj´ar´asunkat. A HDA (toulene-hydrodealkylation) [22] folyamat mag´aba foglal egy reaktort ´es egy szepar´aci´os h´al´ozatot (l´asd 4.15 ´abra). A reakci´ok a k¨ovetkez˝ok: Tolulol + H2 → Benz´en + CH4 2 Benz´en ↔ Difenil + H2 A nyersanyagok a toluol ´es hidrog´en, amelyeket meleg´ıt´es ut´an a visszavezetett toluollal ¨osszekeverve vezetik be a reaktorba. A reaktorb´ol kij¨ov˝o anyag´aram hidrog´ent, met´ant, benz´ent, toluolt ´es a nem k´ıv´ant difenilt tartalmaz. A hidrog´ent ´es a met´an

135 legnagyobb r´esz´et kondenz´al´assal kivonj´ak. Az ´ıgy kivont hidrog´en csak egy r´esz´et vezetik vissza, mert szennyez˝oanyagk´ent met´ant is tartalmaz ´es a feld´ usul´as elker¨ ul´ese miatt a g´az egy r´esz´et el´egetik. A term´ek a benz´en, amit a szepar´aci´os r´esz v´alaszt el a nem k´ıv´ant difenilt˝ol ´es a toluolt´ol, amit visszavezetnek. A szepar´aci´os r´esz k´et egyszer˝ u (egy bemenet-k´et kimenet) ´es k´et ¨osszetett (egy bemenet-h´arom kimenet) szepar´atort tartalmaz (l´asd 4.16 ´abra). A reaktor m˝ uk¨od´esi h˝om´ers´eklete 895K ´ıgy a bemen˝o anyagokat erre a h˝om´ers´ekletre kell meleg´ıteni. A reaktort elhagy´o anyag´aramot h˝ uteni kell a kondenz´aci´o miatt. Minden szepar´atorhoz tartozik egy kiforral´o ´es egy kondenz´al´o r´esz, amely szint´en h˝obevitelt vagy h˝oelvitelt tesz sz¨ uks´egess´e. A reaktor exoterm h˝osz´ınezet˝ u, ´ıgy h˝ ut´est ig´enyel. A rendszer tartalmaz 4 meleg ´es 4 hideg h˝o´aramot tov´abb´a 6 meleg ´es 5 hideg rejtett h˝ot. A meleg elemi h˝o´aramok sz´ama 14, a hideg elemi h˝o´aramok sz´ama pedig 48. Ez 48+12 line´aris felt´etelt jelent a HENS modellben. 105 hideg ´es 333 meleg r´eszh˝o´aram keletkezett, amely 10227 db potenci´alis h˝ocser´el˝ot eredm´enyezett. Az elj´ar´asunk 96.07 m´asodperc alatt azonos´ıtotta az optim´alis h´al´ozatot egy PC-n (Celeron 400MHz). Az optim´alis h´al´ozatot a 4.17 ´abra mutatja, amely 7 m˝ uveleti egys´eget ´es 18 h˝ocser´el˝ot tartalmaz.

4.9.

Az eredm´ eny r¨ ovid ¨ osszefoglal´ asa

A 4 fejezet a 4. t´ezispontban megfogalmazott eredm´enyeket tartalmazza. Az integr´alt folyamath´al´ozat- ´es h˝ocser´el˝oh´al´ozat-szint´ezis feladat megold´as´ahoz a korl´atoz´as ´es sz´etv´alaszt´as algoritmus r´eszprobl´em´ainak matematikai modellj´eben a h˝ocser´el˝oh´al´ozat nemline´aris felt´eteleit kombinatorikus eszk¨oz¨okkel line´ariss´a transzform´altam, ez´altal a feladat megoldhat´ov´a v´alt a MILP alap´ u PNS keretalgoritmussal.

136

Megjegyzés: Hõbevitel

Kompresszor

Hõelvonás

HM H2 betáplálás Toluene betáplálás P u m p a

T B D

B

Reaktor

S z e BTD p B a r á t o r

B

D

S z e BTD p a r á t o r

Flash

HM

S z e HMBTD p a r á t o r

TD BTD

HM T

D

TD S z e p a r á t o r

S z HMBTD e B p a r á t o r

TD

4.16. ´abra. A HDA folyamat maxim´alis strukt´ ur´aja.

137

Megjegyzés: Hõbevitel

Kompresszor

Hõelvonás

HM H2 betáplálás Toluene betáplálás P u m p a

T B D

B

Reaktor

S z e BTD p B a r á t o r

B

D

S z e BTD p a r á t o r

Flash

HM

S z e HMBTD p a r á t o r

TD BTD

HM T

D

TD S z e p a r á t o r

S z HMBTD e B p a r á t o r

TD

4.17. ´abra. Az optim´alis h´al´ozatot tartalmaz´o folyamat´abra.

5. fejezet ´ tudom´ Uj anyos eredm´ enyek Az ´ertekez´es u ´j tudom´anyos eredm´enyeinek t´ezisszer˝ u o¨sszefoglal´asa. 1. A line´aris felt´etelrendszerrel adott, v´altoz´oiban sz´etv´alaszthat´o konk´av programoz´asi feladat megold´asa sor´an felmer¨ ul˝o sz´etv´alaszt´as l´ep´esre k´et u ´j part´ıcion´al´asi strat´egi´at dolgoztam ki, melyek sz´am´ıt´asig´enye alacsony, ´es PNS feladatokon kedvez˝o tulajdons´agokkal b´ırhatnak nagym´eret˝ u feladatok eset´en. A k´et m´odszer viselked´es´et gyakorlati p´eld´akon illusztr´altam. (a) A szakirodalomb´ol ismert ´es sz´elesk¨or˝ uen alkalmazott (Shectman ´es munkat´arsai [89]) part´ıcion´al´asi strat´egi´at megvizsg´alva bemutattam a part´ıcion´al´asi strat´egia egyik kedvez˝otlen tulajdons´ag´at: a m´odszer feleslegesen sok olyan r´eszprobl´em´at gener´al, ami tartalmazza az optim´alis megold´ast. Az, hogy az optim´alis megold´as sok akt´ıv r´eszprobl´em´aban szerepel, nagyban megnehez´ıti a megtal´alt megold´as optimalit´as´anak bizony´ıt´as´at. A bizony´ıt´as ´ıgy teljes bin´aris fa bej´ar´as´at teszi sz¨ uks´egess´e, amelynek a m´elys´ege megegyezik az optim´alis h´al´ozatban l´ev˝o cs´ ucsok sz´am´aval. Ennek a kedvez˝otlen tulajdons´agnak a kik¨ usz¨ob¨ol´es´ere dolgoztam ki az u ´gynevezett ”cs´ usztatott” sz´etv´alaszt´asi strat´egi´at, amelyben az optim´alis megold´ast tartalmaz´o r´eszprobl´em´akat nem sokszorozzuk meg. A PNS feladatok megold´as´ara ez k¨ ul¨on¨osen j´ol haszn´alhat´o. A m´odszer helyess´eg´et bizony´ıtottam. (b) Kidolgoztam egy u ´j sz´etv´alaszt´asi strat´egi´at, amely a c´elf¨ uggv´eny ´es a relax´aci´os f¨ uggv´eny integr´alk¨ ul¨onbs´eg´et minimaliz´alja, ez´altal a relax´aci´o 138

139 ´eless´eg´et maxim´alisra n¨oveli. Bizony´ıtottam a m´odszer helyess´eg´et. 2. A line´aris programoz´asi feladat ´erz´ekenys´egi vizsg´alat´at felhaszn´alva u ´j elj´ar´ast dolgoztam ki a line´aris felt´etelrendszerrel adott, v´altoz´oiban sz´etv´alaszthat´o konk´av programoz´asi feladat megold´as´ara. (a) Megadtam a line´aris felt´etelrendszerrel adott, v´altoz´oiban sz´etv´alaszthat´o konk´av programoz´asi feladat egy el´egs´eges optimalit´asi krit´erium´at. ´ elj´ar´ast dolgoztam ki a line´aris felt´etelrendszerrel adott, v´altoz´oiban (b) Uj sz´etv´alaszthat´o konk´av programoz´asi feladat megold´asa sor´an felmer¨ ul˝o sz´etv´alaszt´as l´ep´esre. Az elj´ar´as a 2a t´ezispontban megfogalmazott optimalit´asi krit´eriumon alapulva v´egzi a r´eszprobl´em´ak part´ıcion´al´as´at, illetve a termin´alis r´eszprobl´em´ak meghat´aroz´as´at. A megfogalmazott algoritmus helyess´eg´et igazoltam. 3. A line´aris felt´etelrendszerrel adott, v´altoz´oiban sz´etv´alaszthat´o konk´av programoz´asi feladat megold´as´ara kidolgoztam a szakirodalomban ismert korl´atoz´as ´es sz´etv´alaszt´as alapalgoritmus kombinatorikusan gyors´ıtott v´altozat´at. A kombinatorikus gyors´ıt´asok els˝osorban a PNS feladatok megold´as´ara hat´ekonyak, de ritka m´atrixszal adott, j´ol strukt´ ur´alt felt´etelek eset´eben is j´ol alkalmazhat´ok. (a) A Friedler ´es munkat´arsa ´altal kidolgozott P-gr´af m´odszert felhaszn´alva elk´esz´ıtettem a line´aris felt´etelrendszerrel adott szepar´abilis konk´av programoz´asi feladatot megold´o algoritmus kombinatorikusan gyors´ıtott v´altozat´at. (b) PNS feladatokra bevezettem a lok´alisan optim´alis strukt´ ur´ak fogalm´at, amely lehet˝ov´e teszi az optim´alis megold´asok mellett szuboptim´alis megold´asok meghat´arozz´as´at. Kidolgoztam a kombinatorikusan gyors´ıtott algoritmus egy v´altozat´at, amely k´epes ezen szuboptim´alis megold´asok gener´al´as´ara.

140 4. Az integr´alt folyamath´al´ozat- ´es h˝ocser´el˝oh´al´ozat-szint´ezis feladat megold´as´ahoz a korl´atoz´as ´es sz´etv´alaszt´as algoritmus r´eszprobl´em´ainak matematikai modellj´eben a h˝ocser´el˝oh´al´ozat nemline´aris felt´eteleit kombinatorikus eszk¨oz¨okkel line´ariss´a transzform´altam, ez´altal a feladat megoldhat´ov´a v´alt a MILP alap´ u PNS keretalgoritmussal.

5.1.

Az ´ ertekez´ es t´ emak¨ or´ eb˝ ol k´ esz¨ ult publik´ aci´ ok

Refer´ alt foly´ oiratcikkek nemzetk¨ ozi foly´ oiratban [1] Nagy, A. B., R. Adonyi, L. Halasz, F. Friedler, and L. T. Fan, Integrated Synthesis of Process and Heat Exchanger Networks: Algorithmic Approach, Applied Thermal Engineering, 21 (2001), 1407-1427. [2] Halasz, L., A. B. Nagy, T. Ivicz, F. Friedler, L. T. Fan, Optimal Retrofit Design and Operation of the Steam-Supply System of a Chemical Complex, Applied Thermal Engineering 22 (2002), 939 -947. [3] Hertwig, T. A., A. Xu, A. B. Nagy, R. W. Pike, J. R. Hopper, and C. L. Yaws, A Prototype System for Economic, Environmental and Sustainable Optimization of a Chemical Complex, Clean Techn. Environ. Policy, 3 (2002), 363-370. [4] Illes, T., A. B. Nagy, New and elementary proof of a sufficient optimality criteria for constrained, concave minimization problems, k¨ozl´esre elfogadva Journal of Optimization Theory and Applications (2004).

Konferencia-kiadv´ anyokban megjelent k¨ ozlem´ enyek [5] Hertwig, T. A., A. Xu, A. B. Nagy, R. W. Pike, J. R. Hopper, and C. L. Yaws, A Prototype System for Economic, Enviromental and Sustainable Optimization of

141 a Chemical Complex, Computer-Aided Chemical Engineering, 9 R. Gani, S.B. Jorgensen (Eds.), Elsevier (2001), 1017-1022. [6] Hertwig, T. A., A. Xu, A. B. Nagy, R. W. Pike, J. R. Hopper, and C. L. Yaws, Optimal Configuration of Chemical Complexes Based on Economic, Environmental and Sustainable Costs, appeared in the proceedings of the PRES’01 (4th Conference on Process Integration, Modelling and Optimisation for Energy Saving and Pollution Reduction), Florence, Italy, May 20-23, 2001, pp.1-6 [7] Halasz, L., A. B. Nagy, T. Ivicz, F. Friedler, and L. T. Fan, Optimal Operation of the Steam Supply Network of a Complex Chemical Processing System, appeared in the proceedings of the PRES’01 (4th Conference on Process Integration, Modelling and Optimisation for Energy Saving and Pollution Reduction), Florence, Italy, May 20-23, 2001, pp.331-336 [8] T. A. Hertwig, A. B. Nagy, and R. W. Pike, An Advanced System for Optimizating the design of a Chemical-Production Complex, appeared in Proceedings of IFA Technical Conference, New Orleans, Louisiana, United States, October 1-4, 2000.

Nemzetk¨ ozi konferencia el˝ oad´ asok [9] Holenda, B., A. B. Nagy, A. Dallos, F. Friedler, and L. T. Fan, A Combinatorial Approach for Generating Environmentally Benign Solvents and Separation Agents, presented at ICheaP-6, Pisa, Italy, June 8-11, 2003. [10] Halasz, L., A. B. Nagy, M. Narodoslawsky, F. Friedler, Synthesis Method for Tankage Treatment, presented at the PRES’02 (5th Conference on Process Integration, Modelling and Optimisation for Energy Saving and Pollution Reduction), Praha, Czech Republic, August 25-29, 2002. [11] Hertwig, T. A., A. B. Nagy, R. W. Pike, J. R. Hopper, and C. L.Yaws, An Advanced System for Optimizing the Design of a Chemical Production Complex,

142 presented at ESCAPE-11 (Eleventh European Symposium on Computer Aided Process Engineering), Kolding, Denmark, May 27-30, 2001. [12] Hertwig, T. A., A. Xu, A. B. Nagy, R. W. Pike, J. R. Hopper, and C. L. Yaws, Optimal Configuration of Chemical Complexes Based on Economic, Environmental and Sustainable Costs, Plenary lecture, presented at the PRES’01 (4th Conference on Process Integration, Modelling and Optimisation for Energy Saving and Pollution Reduction), Florence, Italy, May 20-23, 2001. [13] Halasz, L., A. B. Nagy, T. Ivicz, F. Friedler, and L. T. Fan, Optimal Operation of the Steam Supply Network of a Complex Chemical Processing System, presented at PRES ’01 (4th Conference on Process Integration, Modelling and Optimisation for Energy Saving and Pollution Reduction), Florence, Italy, May 20-23, 2001. [14] Pike, R. W., T. A. Hertwig, and A. B. Nagy, An advanced system for optimizing the design of a chemical-production complex, presented at IFA Technical Conference, New Orleans, Louisiana, United States, October 1-4, 2000 [15] Nagy, A. B., G. Biros, F. Friedler, and L. T. Fan, Integrated Synthesis of Combined Process and Heat Exchanger Networks, presented at the CHISA 2000 (14th International Congress of Chemical and Process Engineering), Praha, Czech Republic, August 27-31, 2000. [16] Nagy, A. B., F. Friedler, and L. T. Fan, Integrated Synthesis of Combined Process and Heat Exchanger Networks, presented at the 20th Workshop on Chemical Engineering Mathematics, Veszprem, Hungary, July 26-29, 2000. [17] Nagy, A. B., L. Halasz, F. Friedler, and L. T. Fan, Integrated Synthesis of Process and Heat Exchanger Networks: Algorithmic Approach, presented at the PRES’99 (2nd Conference on Process Integration, Modelling and Optimisation for Energy Saving and Pollution Reduction, Budapest, Hungary, May 31-June 2, 1999. [18] Nagy, A. B., F. Friedler, and L. T. Fan, Combinatorial Acceleration of Separable

143 Concave Programming for Process Synthesis, presented at the AIChE Annual Meeting, Miami Beach, FL, U.S.A., November 15-20, 1998. [19] F¨ ul¨op, J., F. Friedler, and A. B. Nagy, Integration of Combinatorial and Global Optimization Approaches for Solving Process Network Synthesis Problems, presented at the INFORMS (Institute for Operations Research and the Management Sciences) Conference, Seattle, WA, U.S.A., October 25-28, 1998. [20] Nagy, A. B., F. Friedler, and L. T. Fan, Algorithmic Generation of Multiple Solutions for Process Synthesis, presented at the CHISA ’98 (13th International Congress of Chemical and Process Engineering), Praha, Czech Republic, August 23-28, 1998. [21] F¨ ul¨op, J., F. Friedler, and A. B. Nagy, A Global Optimization for Solving Process Network Synthesis Problems, presented at the ISMP’97 (International Symposium on Mathematical Programming), EPFL, Lausanne, Switzerland, August 24-29, 1997.

Hazai konferencia el˝ oad´ asok ´ am, Friedler Ferenc, Inside-out algoritmus PNS feladatok megold´as´ara, [22] Nagy Ad´ XXV. Magyar Oper´aci´okutat´asi Konferencia, Debrecen, 2001. okt´ober 17-20. ´ am ´es Friedler Ferenc, A folyamatszint´ezis glob´alis optimaliz´al´ [23] Nagy Ad´ asi elj´ar´asainak ¨osszehasonl´ıt´ asa, 26. M˝ uszaki K´emiai Napok, Veszpr´em, 1998. ´aprilis 15-17.

Irodalomjegyz´ ek [1] N. Agin, Optimum seeking with branch and bound, Management Sci. 13 (1966), 176–185. [2] S. Ahmad, B. Linnhoff, and R. Smith, Cost optimum heat exchanger networks 2. targets and design for detailed capital cost models, Comp. Chem. Eng. 14 (1990), 751–767. [3] P. Apkarian and H. D. Tuan, Concave programming in control theory, J. Global Optim. 15 (1999), 343–370. [4] H. P. Benson, Separable concave minimization via partial outer approximation and branch and bound, Oper. Res. Lett. 9 (1990), 389–394. [5] H. P. Benson and S. Sayin, A finite concave minimization algorithm using branch and bound and neighbor generation, J. Global Optim. 5 (1994), 1–14. [6] B. Bertok, F. Friedler, and L. T. Fan, Generation of process synthesis problems for testing evaluating and comparing synthesis methods, PRES’99 (Second Conference on Process Integration, Modelling and Optimisation for Energy Saving and Pollution Reduction) Budapest, 1999. [7] L. T. Biegler, I. E. Grossmann, and A. W. Westerberg, Systematic methods of chemical process design, Prentice Hall: Upper Saddle River, New Jersey, 1997. [8] M. H. Brendel, F. Friedler, and L. T. Fan, Combinatorial foundation for logical formulation in process network synthesis, Comp. Chem. Eng. 24 (2000), 1859– 1864.

144

145 [9] K. M. Bretthauer and A. V. Cabot, A composite branch and bound, cutting plane algorithm for concave minimization over a polyhedron, Comput. Oper. Res. 21 (1994), 777–785. [10] T. Terlaky C. Roos and J.P. Vial, Theory and algorithms for linear optimization: An interior point approach, John Wiley and Sons, 1997. [11] A. V. Cabot and S. S. Erenguc, A branch and bound algorithm for solving a class of nonlinear integer programming problems, Naval Res. Logist. Quart. 33 (1986), 559–567. [12] J. Cerda, A. W. Westerberg, D. Mason, and B. Linnhoff, Minimum utility usage in heat exchanger network synthesis, Chem. Eng. Sci. 38 (1983), 373–387. [13] R. W. Colbert, Industrial heat exchange networks, Chem. Eng. Prog. 78 (1982), 47–54. [14] J. Corominas, A. Espuna, and L. Puigjaner, A new look at energy integration in multiproduct batch processes, Comp. Chem. Eng. 17 (1993), S15–S20. [15]

, Method to incorporate energy integration considerations in multiproduct batch processes, Comp. Chem. Eng. 18 (1994), 1043–1055.

[16] A. Csallner, T. Csendes, and M. Mark´ot, Multisection in interval branch-andbound methods for global optimization I. theoretical results, J. Global Optim. 16 (2000), 219–228. [17] T. Csendes and D. Ratz, Subdivision direction selection in interval methods for global optimization, SIAM Journal of Numerical Analysis 34 (1997), 922–938. ´ Cs´asz´ar, Val´ [18] A. os anal´ızis I., Tank¨onyvkiad´o, Budapest, 1983. [19] M. M. Daichendt. and I. E. Grossmann, Preliminary screening procedure for the minlp synthesis of process systems I. aggregation and decomposition, Comp. Chem. Eng. 18 (1994), 663–677. [20]

, Preliminary screening procedure for the MINLP synthesis of process systems II. heat exchanger networks, Comp. Chem. Eng. 18 (1994), 679–709.

146 [21]

, Integration of hierarchical decomposition and mathematical programming for the synthesis of process flowsheets, Comp. Chem. Eng. 22 (1998), 147–175.

[22] J. M. Douglas, Conceptual design of chemical processes, McGraw-Hill, New York, 1988. [23] V. Dua and E. N. Pistikopoulos, An outer-approximation algorithm for the solution of multiparametric MINLP problems, Comp. Chem. Eng. 22 (1998), S955–S958. [24] M. A. Duran and I. E. Grossmann, An outer-approximation algorithm for a class of mixed-integer nonlinear programs, Math. Programming 36 (1986), 307–339. [25]

, Simultaneous optimization and heat integration of chemical processes, AIChE J. 32 (1986), 123–138.

[26] M. E. Dyer, The complexity of vertex enumeration methods, Math. Oper. Res. 8 (1983), 381–402. [27] M. E. Dyer and L. G. Proll, An algorithm for determining all extreme points of a convex polytope, Math. Programming 12 (1977), 81–96. [28] Cs. Fabian, Linx, an interactive linear programming library, 1992. [29] J. E. Falk and R. M. Soland, An algorithm for separable nonconvex programming problems, Management Sci. 15 (1969), 550–569. [30] C. A. Floudas, Recent advances in global optimization for process synthesis, design and control: Enclosure of all solutions, Comp. Chem. Eng. 23 (1999), S963–S973. [31] C. A. Floudas and A. R. Ciric, Strategies for overcoming uncertainties in heat exchanger network synthesis, Comp. Chem. Eng. 13 (1989), 1133–1152. [32] C. A. Floudas, A. R. Ciric, and I. E. Grossmann, Automatic synthesis of optimum heat exchanger network configurations., AIChE J. 32 (1986), 276–290. [33] C. A. Floudas and V. Visweswaran, A global optimization algorithm (GOP) for certain classes of nonconvex NLPs - I. Theory, Comp. Chem. Eng. 14 (1990), 1397–1417.

147 [34] E. S. Fraga, The automated synthesis of complex reaction separation processes using dynamic programming, Chem. Eng. Res. Des. 74 (1996), 249–260. [35] E. S. Fraga and K. I. M. McKinnon, The use of dynamic programming with parallel computers for process synthesis, Computers chem. Engng 18 (1994), 1–13. [36] F. Friedler, L. T. Fan, and B. Imreh, Process network synthesis: problem definition, Networks 31 (1998), 119–124. [37] F. Friedler, K. Tarjan, Y. W. Huang, and L. T. Fan, Graph-theoretic approach to process synthesis: Axioms and theorems, Chem. Engng Sci. 47 (1992), 1973– 1988. [38]

, Graph-theoretical approach to process synthesis: Polynomial algorithm for maximal structure generation, Comput. Chem. Eng. 17 (1993), 929–942.

[39] F. Friedler, J. B. Varga, and L. T. Fan, Decision-mapping: A tool for consistent and complete decisions in process synthesis, Chem. Engng Sci. 50 (1995), 1755– 1768. [40] F. Friedler, J. B. Varga, E. Feh´er, and L. T. Fan, Combinatorial accelerated branch-and-bound method for solving the MIP model of process network synthesis, Nonconvex Optimization and its Applications (Eds: C. A. Floudas and P. M. Pardalos), pp. 609–626, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA, U.S.A., 1996. [41] K. C. Furman and N.V. Sahinidis, Computational complexity of heat exchanger network synthesis, Comput. Chem. Eng. 25 (2001), 1371–1390. [42] T. Gal and H. J. Greenberg (eds.), Advances in sensitivity analysis and parametric programming, Kluwer Academic Publishers, 1997. [43] M. R. Galli and J. Cerda, Synthesis of structural-constrained heat exchanger networks I. series networks, Comp. Chem. Eng. 22 (1998), 819–839. [44]

, Synthesis of structural-constrained heat exchanger networks II. split networks, Comp. Chem. Eng. 22 (1998), 1017–1035.

[45] B. Gross and P. Roosen, Total process optimization in chemical engineering with evolutionary algorithms, Comp. Chem. Eng. 22 (1998), S229–S236.

148 [46] I. E. Grossmann, H. Yeomans, and Z. Kravanja, A rigorous disjunctive optimisation model for simultaneous flowsheet optimisation and heat integration, Comp. Chem. Eng. 22 (1998), S157–S164. [47] T. Gundersen, S. Duvold, and Hashemi-Ahmady A., An extended vertical MILP model for heat exchanger network synthesis, Comp. Chem. Eng. 20 (1996), S97– S102. [48] T. Gundersen and I. E. Grossmann, Improved optimization strategies for automated heat exchanger network synthesis through physical insights, Comp. Chem. Eng. 14 (1990), 925–944. [49] K. L. Hoffman, A method for globally minimizing concave functions over convex sets, Math. Programming 20 (1981), 22–32. [50] R. Horst, On generalized bisection of n-simplices, Math. Comp. 66 (1997), 691– 698. [51] C. W. Hui and S. Ahmad, Total site integration using the utility system, Comp. Chem. Eng. 18 (1994), 729–742. [52] C. S. Hwa, Mathematical formulation and optimization of heat exchanger networks using separable programming, AIChE-IChemE Symposium Series No. 4 (1965), 101–106. [53] T. Ibaraki, Theoretical comparisons of search strategies in branch-and-bound algorithms, Internat. J. Comput. Information Sci. 5 (1976), 315–344. [54] J. Itoh, K. Shiroko, and T. Umeda, Extensive applications of the t-q diagram to heat integrated system synthesis, Comp. Chem. Eng. 10 (1986), 59–66. [55] J. Kallrath, Mixed integer optimization in the chemical process industry - experience, potential and future perspectives, Chem. Eng. Res. Des. 78 (2000), 809–822. [56] B. Kearfott and K. Du, The cluster problem in global optimization: The univariate case, Computing (Suppl.) 9 (1992), 117–127. [57]

, The cluster problem in multivariate global optimization, J. Global Optim. 5 (1994), 253–265.

149 [58] G. R. Kocis and I. E. Grossmann, A modeling and decomposition strategy for the MINLP optimization of process flowsheets, Comp. Chem. Eng. 13 (1989), 797–819. [59] S. Kontogiorgis, Practical piecewise-linear approximation for monotropic optimization, INFORMS J. Comput. 12 (2000), 324–340. [60] T. Kuno and T. Utsunomiya, A Lagrangian based branch-and-bound algorithm for production-transportation problems, J. Global Optim. 18 (2000), 59–73. [61] B. W. Lamar, Nonconvex optimization over a polytope using generalized capacity improvement, J. Global Optim. 7 (1995), 127–142. [62] Y. D. Lang, L. T. Biegler, and I. E. Grossmann, Simultaneous optimisation and heat integration with process simulators, Comp. Chem. Eng. 12 (1988), 311–327. [63] E. L. Lawler and D. E. Wood, Branch-and-bound methods: A survey, Operations Res. 14 (1966), 699–719. [64] B. Linnhoff and S. Ahmad, Cost optimum heat exchanger networks 1. minimum energy and capital using simple models for capital cost, Comp. Chem. Eng. 14 (1990), 729–750. [65] B. Linnhoff and E. Hindmarsh, The pinch design method for heat exchanger networks, Chem. Eng. Sci 38 (1983), 745–763. [66] B. Linnhoff, R. Smith, and J. D. Williams, The optimization of process changes and utility selection in heat integrated processes, Chem. Eng. Res. Des. 68 (1990), 221–236. [67] M. Liu, N. V. Sahinidis, and J. P. Shectman, Planning of chemical process networks via global concave minimization, Global optimization in engineering design, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1996, pp. 195–230. [68] M. Locatelli and N. V. Thoai, Finite exact branch-and-bound algorithms for concave minimization over polytopes, J. Global Optim. 18 (2000), 107–128. [69] D. G. Luenberger, Intoduction to linear and nonlinear programming, AddisonWesley Publishing Co., Massachusetts, 1973.

150 [70] F. Marechal and B. Kalitventzeff, Identification of the optimal pressure levels in steam networks using integrated combined heat and power method, Chem. Eng. Sci. 52 (1997), 2977–2989. [71] A. H. Masso and D. F Rudd, The synthesis of system designs II. heuristic structuring, AIChE J. 15 (1969), 10–17. [72] M. Minoux, Network synthesis and optimum network design problems: models, solution methods and applications, Networks 19 (1989), 313–360. [73] J. J. Mor´e and S. A. Vavasis, On the solution of concave knapsack problems, Math. Programming 49 (1990/91), 397–441. [74] K. G. Murty, Linear programming, John Wiley and Sons, 1983. [75] K. G. Murty and S. N. Kabadi, Some NP-complete problems in quadratic and nonlinear programming, Math. Programming 39 (1987), 117–129. [76] L. Otavio, A. Maia, and R.Y. Qassim, Synthesis of utility systems with variable demands using simulated annealing, Comp. Chem. Eng. 21 (1997), 947–950. [77] K. P. Papalexandri and E. N. Pistikopoulos, A decomposition-based approach for process optimization and simultaneous heat integration, Chem. Eng. Res. Des. 76 (1998), 273–286. [78] K. P. Papalexandri, E.N. Pistikopoulos, and B. Kalitventzeff, Modelling and optimization aspects in energy management and plant operation with variable energy demands-application to industrial problems, Comp. Chem. Eng. 22 (1998), 1319–1333. [79] K. P. Papalexandri, E.N. Pistikopoulos, B. Kalitventzeff, M.N. Dumont, K. Urmann, and J. Gorschluter, Operation of a steam production network with variable demands modelling and optimization under uncertainty, Comp. Chem. Eng. 20 (1996), S763–S768. [80] S. A. Papoulias and I. E. Grossmann, A structural optimization approach in process synthesis II. heat recovery networks., Comp. Chem. Eng. 7 (1983), 707– 721.

151 [81] A. T. Phillips and J. B. Rosen, Sufficient conditions for solving linearly constrained separable concave global minimization problems, J. Global Optim. 3 (1993), 79–74. [82] M. Porembski, Cone adaptation strategies for a finite and exact cutting plane algorithm for concave minimization, J. Global Optim. 24 (2002), 89–107. [83] R. Raman and I. E. Grossmann, Symbolic integration of logic in MILP branch and bound methods for the synthesis of process networks, Annals of Operations Research 42 (1993), 169–191. [84] D. Ratz, Boxsplitting strategies for the interval gausssidel step in a global optimization method, Computing 53 (1994), 1–16. [85]

, On branching rules in second-order branch-and-bound methods for global optimization, Scientific Computing and Validated Numerics (Berlin) (G. Alefeld, A. Frommer, and B. Lang, eds.), Akademie Verlag, 1996, pp. 221–227.

[86] D. Ratz and T. Csendes, On the selection of subdivision directions in interval branchandbound methods for global optimization, J. Global Optim. 7 (1995), 183–207. [87] E. Rev and Z. Fonyo, Hidden and pseudo pinch phenomena and relaxation in the synthesis of heat-exchange networks, Comp. Chem. Eng 10 (1986), 601–607. [88] J. B. Rosen, Global minimization of a linearly constrained concave function by partition of feasible domain, Math. Oper. Res. 8 (1983), 215–230. [89] J. P. Shectman and N. V. Sahinidis, A finite algorithm for global minimization of separable concave programs, J. Global Optim. 12 (1998), 1–35. [90] R. Smith, Chemical process design, McGraw-Hill, New York, 1994. [91]

, State of the art in process integration, Applied Thermal Engineering 20 (2000), 1337–1345.

[92] R. M. Soland, Optimal facility location with concave costs, Operations Res. 22 (1974), 373–382. [93] H. Ten Broeck, Economic selection of exchanger sizes, Ind. & Eng. Chem. 36 (1944), 64–67.

152 [94] K. K. Trivedi, B. K. O’Neill, and J. R. Roach, Synthesis of heat exchanger networks featuring multiple pinch points, Comp. Chem. Eng. 13 (1989), 291– 294. [95] H. Tuy, T. V. Thieu, and Ng. Q. Thai, A conical algorithm for globally minimizing a concave function over a closed convex set, Math. Oper. Res. 10 (1985), 498–514. [96] N. Vaklieva-Bancheva, B. B. Ivanov, N. Shah, and C. C. Pantelides, Heat exchanger network design for multipurpose batch plants, Comp. Chem. Eng. 20 (1996), 989–1001. [97] J. A. Vaselenak, I. E. Grossmann, and A. W. Westerberg, Heat integration in batch processing, Ind. Eng. Chem. Proc. Des. Dev. 25 (1988), 357–366. [98] V. Visweswaran and C. A. Floudas, A global optimization algorithm (GOP) for certain classes of nonconvex NLPs - II. application of theory and test problems, Comp. Chem. Eng. 14 (1990), 1419–1434. [99] R. M. Wood, K. Suaysompol, B. K. O’Neill, J. R. Roach, and K. K. Trivedi, A new option for heat exchanger network design., Chem. Eng. Prog. 87 (1991), 38–43. [100] Y. Yajima and H. Konno, An algorithm for a concave production cost network flow problem, Japan J. Indust. Appl. Math. 16 (1999), 243–256. [101] T. F. Yee and I. E. Grossmann, Simultaneous optimization models for heat integration II. heat exchanger network synthesis, Comp. Chem. Eng. 14 (1990), 1165–1184. [102] T. F. Yee, I. E. Grossmann, and Z. Kravanja, Simultaneous optimization models for heat integration III. process and heat exchanger network optimization, Comp. Chem. Eng. (1990), 1185–1200. [103] X. Yuan, L. Pibouleau, and Domenech S., Experiments in process synthesis via mixed-integer programming, Chem. Eng. Process. 25 (1989), 99–116. [104] J. Zhang and X. X. Zhu, Simultaneous optimization approach for heat exchanger network retrofit with process changes, Ind. Eng. Chem. Res. 39 (2000), 4963– 4973.

153 [105] X. G. Zhao, B. K. O’Neill, J. R. Roach, and R. M Wood, Heat integration for batch processes part 1: Process scheduling based on cascade analysis, Chem. Eng. Res. Des. 76(A) (1998), 685–699. [106]

, Heat integration for batch processes part 2: Heat exchanger network design, Chem. Eng. Res. Des. 76(A) (1998), 700–710.