ˇ A ´ INTELIGENCE KYBERNETIKA A UMEL ´ 1. Uvod do kybernetiky a dynamika syst´ em˚ u
laboratory
Gerstner
Gerstnerova laboratoˇr katedra kybernetiky fakulta elektrotechnick´ a ˇ CVUT v Praze
O pˇredmˇ etu
Kˇ cemu je tento pˇredmˇet − K z´ısk´an´ı vˇseobecn´eho pˇrehledu o probl´emech a technik´ach kybernetiky a UI a pochopen´ı jejich povahy. − Uvede z´akladn´ı pojmy a koncepty ˇcasto a v r˚ uzn´ych souvislostech pouˇz´ıvan´e v u´ˇzeji zamˇeˇren´ych ‘kybernetick´ych’ pˇredmˇetech ∗ Elektrick´e obvody, Syst´emy a Modely, Syst´emy a ˇr´ızen´ı, Teorie dynamick´ych syst´em˚ u, Pˇrenos informace, Umˇel´a Inteligence (´uvod, I, II), Biokybernetika, ... − Upozorn´ı na souvislosti, kter´e v tˇechto pˇredmˇetech explicitnˇe nevypl´yvaj´ı.
Oˇ cem je tento pˇredmˇet − Kybernetika je obor s dlouhou histori´ı (t´emˇeˇr 100 let). − Za tuto dobu v r´amci K. vznikla ˇrada samostatn´ych obor˚ u a ˇs´ıˇre K. je znaˇcn´a. − UI (a cel´a informatika) je jednou z tˇechto dceˇrinn´ych obor˚ u. − Souˇradn´e spojen´ı K & UI vzhledem k d˚ urazu na UI v tomto pˇredmˇetu.
Historie kybernetiky
Vˇeda o sloˇzit´ych syst´ emech a procesech, jejich modelov´ an´ı, ˇr´ızen´ı a pˇrenosu informace
James Watt (1736 - 1819) − parn´ı stroj se zpˇ etnovazebn´ı regulac´ı
Andr´ e-Marie Amp` ere (1775 – 1836) − ,,Kybernetika” - umˇen´ı vl´adnout − Kybernetes (κυβρντ ς) = kormideln´ık
Norbert Wiener (1894 – 1964) − funkˇcn´ı podobnost mezi stroji, ˇziv´ymi organizmy, soci´aln´ımi syst´emy, atd. − d˚ uraz na spoleˇcn´e aspekty a metody popisu, zejm. statistick´e
Souˇ casn´ a kybernetika: mnoˇzstv´ı samostatn´ych obor˚ u − Dynamick´e syst´emy: zpˇetn´a vazba, stavov´y popis, stochastick´e syst´emy, ˇr´ızen´ı, ... − Pˇrenos informace: informaˇcn´ı entropie, kapacita komunikaˇcn´ıho kan´alu, ... − Umˇ el´ a inteligence: strojov´e vn´ım´an´ı a uˇcen´ı, multi-agentn´ı syst´emy, robotika, ... − Biokybernetika: modelov´an´ı neuronov´ych s´ıt´ı, konekcionismus, vazba ˇclovˇek-stroj, ... − Teorie rozhodov´an´ı, her, teorie sloˇzitosti, chaotick´e syst´emy, atd....
Syst´ em, pozorovatel, model
Co tyto obory spojuje? Zkoumaj´ı r˚ uzn´e aspekty (sloˇzit´ych) syst´em˚ u.
Co je to syst´ em?
Soustava entit (objekt˚ u) a jejich vz´ajemn´ych vztah˚ u, takov´a, ˇze kaˇzd´y objekt je v nˇejak´em vztahu s nˇekter´ym jin´ym [Wikipedia.org]
Definice je trivi´aln´ı
. D˚ uleˇzit´e jsou syst´emy vznikl´e abstrakc´ı re´aln´ych syst´em˚ u.
Pozorovatel definuje abstraktn´ı syst´em vymezen´ım − d˚ uleˇzit´ych veliˇcin re´aln´eho syst´emu a jejich vz´ajemn´ych vztah˚ u − ostatn´ı veliˇciny/vztahy tvoˇr´ı okol´ı syst´emu − mohou b´yt ignorov´any, ˇci ovlivˇnovat vstupy syst´emu resp. b´yt ovlivˇnov´any jeho v´ ystupy (Urˇc´ıme-li, kter´e veliˇciny syst´emu jsou vstupn´ı/v´ystupn´ı, definujeme orientaci syst´emu.)
Syst´ em, pozorovatel, model
Zjednoduˇsen´ı pˇri zachov´an´ı d˚ uleˇzit´ych princip˚ u:
Syst´ em Re´aln´y syst´em S
Entity
Vztahy
∞ mnoho: napˇ et´ı, barva, teplota, odpor, d´elka, ∞ mnoho proud, pr˚ umˇer, ...
Abstraktn´ı syst´em S 0 napˇ et´ı U , odpor R, proud I
U =R·I
Abstraktn´ı syst´em S 0 je modelem fyzick´eho syst´emu S. Model umoˇznˇuje pˇredpov´ıdat chov´an´ı re´aln´eho syst´emu. D˚ usledek kvantov´e teorie: − Fyzick´y syst´em nen´ı moˇzno pozorovat (mˇeˇrit) bez jeho ovlivnˇen´ı. − “Kybernetika 2. ˇr´adu” (meta-kybernetika) zkoum´a syst´emy pozorovatel-syst´em
Obecn´ a teorie syst´ em˚ u
Ludwig von Bertalanffy 1901 V´ıdeˇn - 1972 Binghamton, USA
George Klir 1932 Praha, nyn´ı Binghamton, USA
OTS rozliˇsuje syst´emy dle u´rovnˇe detailu jejich popisu. − Zdrojov´ y syst´ em: vyjmenov´any veliˇciny a jejich interaguj´ıc´ı podmnoˇziny ∗ napˇr. veliˇciny: {U, R, I}, interakce: {{U, R, I}} − Datov´ y syst´ em: zdrojov´y syst´em + empirick´e hodnoty veliˇcin U 12V 10V 8V ... ∗ napˇr. R 1kΩ 1kΩ 1kΩ ... I 12mA 10mA 8mA ... − Generativn´ı syst´ em: veliˇciny + vztahy mezi nimi. Umoˇznˇuje generovat datov´y syst´em. ∗ U =R·I − Strukturn´ı syst´ em: jsou rozliˇseny podsyst´emy (napˇr. hierarchicky) ∗ napˇr. elektrick´y obvod rozdˇelen´y na samostatn´e funkˇcn´ı jednotky
Kaˇzd´y typ syst´emu nese informaci nav´ıc oproti pˇredchoz´ımu typu.
Emergence
´ NAMITKA 1: K ˇcemu speci´aln´ı syst´emov´a vˇeda? Nestaˇc´ı v´yzkum na u´rovni komponent?
Syst´em je ,,v´ıce” neˇz sourhn jeho souˇc´ast´ı.
Z jednoduch´ych vztah˚ u na u´rovni komponent mohou emergovat pˇrekvapiv´e vlastnosti na u´rovni syst´emu. Pˇr´ıklady:
Jednoduch´y model neuronu P Um´ı jen poˇc´ıtat φ ij wij xi (nelin. funkce v´aˇzen´eho souˇctu vstup˚ u)
f (z) = z 2 + c trivi´aln´ı vztah mezi komplexn´ımi promˇenn´ymi
Propojen´ı velk´eho mnoˇzstv´ı neuron˚ u
Odst´ın: rychlost divergence f (f (. . . f (z))) pro dan´e c
Umˇel´a neuronov´a s´ıt’ Lze nauˇ cit k rozpozn´av´an´ı obraz˚ u, simulaci lidsk´e pamˇeti, ...
Generuje extr´emnˇe sloˇzitou frakt´ aln´ı strukturu (sobˇe-podobnou v r˚ uzn´ych m´ır´ach zvˇetˇsen´ı) v rovinˇe Re c× Im c.
Pˇr´ıklady syst´ em˚ u
Technick´e
spalovac´ı motor
elektrick´y obvod
poˇc´ıtaˇcov´y algoritmus
buˇnka
mozek
metabolick´y proces
Biologick´e
Ekologick´e (osciluj´ıc´ı populace pred´ator / koˇrist), socio-ekonomick´e, atd...
Kybernetika studuje syst´emy velmi rozliˇ cn´ ych povah. Z ˇcehoˇz plyne .....
Analogie mezi syst´ emy
´ NAMITKA 2: K ˇcemu vˇseobecn´a syst´emov´a vˇeda, jsou-li jednotliv´e syst´emy studov´any ve speci´aln´ıch oborech (technika, biologie, ekonomie, ...)? Nˇekter´e kybernetick´e koncepty jsou spoleˇcn´e syst´em˚ um rozliˇcn´ych druh˚ u. Souvisej´ıc´ı techniky lze analogicky vyuˇz´ıt. Pˇr´ıklady: zpˇetn´a vazba
Vˇsudypˇr´ıtomn´a v pˇr´ırodˇe (regulace pH oce´an˚ u, populace pred´ator/koˇrist, akciov´e trhy, ...) Vyuˇz´ıvan´a hojnˇe v technick´ych syst´emech.
stavov´y prostor
Pojem zaveden Poincarem pro fyzik´aln´ı (termodynamick´e) syst´emy. Nyn´ı nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı technika modelov´an´ı dynamick´ych syst´em˚ u v technice.
entropie
P˚ uvodnˇe zavedena jako vlastnost termodynamick´ych syst´em˚ u. Nyn´ı analogicky v jin´ych syst´emech (informaˇcn´ı entropie, algoritmick´a entropie).
Analogie mezi syst´ emy
Nˇekter´e syst´emov´e vlastnosti lze nal´ezt a studovat pro syst´emy rozliˇcn´ych druh˚ u. Pˇr´ıklady: harmonick´y pr˚ ubˇeh veliˇcin
Vˇsechny line´arn´ı dynamick´e syst´emy elektrick´e, mechanick´e, hydraulick´e, ...
neklesaj´ıc´ı entropie
Vˇsechny uzavˇren´e syst´emy. (bez pˇr´ısunu energie)
frakt´aln´ı struktury
Pˇr´ırodn´ı u´tvary (pobˇreˇzn´ı linie, hory, rostliny) Trajektorie ve stavov´em prostoru chaotick´ych dynamick´ych syst´em˚ u
Analogie mezi syst´ emy
Nˇekter´e kybernetick´e modely plat´ı stejnˇe pro r˚ uzn´e syst´emy. Elektrick´y obvod
Mechanick´a soustava
d u2 1 1 d2 u2 + u2 = u1 L 2 +R dt dt C C
d l2 d2 l2 + Dl2 = Dl1 m 2 +B dt dt
induktance L odpor R inv. kapacita 1/C napˇet´ı u1 napˇet´ı u2
↔ ↔ ↔ ↔ ↔
hmotnost m brzdic´ı s´ıla B tuhost pruˇziny D d´elka l1 d´elka l2
Stejn´y matematick´y model (lin´arn´ı dif. rovnice 2. ˇr´adu), jen jin´e n´azvy veliˇcin. Syst´emy jsou tzv. izomorfn´ı (stejn´e aˇz na n´azvy). Kaˇzd´y ze syst´em˚ u je modelem druh´eho.
Aspekty syst´ em˚ u
Aspekty syst´emu, kter´e n´as budou zaj´ımat v KUI:
Dynamika (dnes) − Line´arn´ı a neline´arn´ı syst´emy: od poˇr´adku k chaosu.
Entropie a informace (t´yden 2) − Jak mˇeˇrit neuspoˇr´adanost syst´emu a mnoˇzstv´ı informace pomoc´ı pravdˇepodobnosti.
Pˇrenos informace (t´yden 3) − Jak informaci pˇren´est. Komunikaˇcn´ı kan´al, chybn´e pˇrenosy a komprese dat.
Algoritmick´ a entropie, sloˇ zitost (t´yden 4) − Jak mˇeˇrit sloˇzitost syst´emu a mnoˇzstv´ı informace bez pomoci pravdˇepodobnosti. Sloˇzitost a rozhodnutelnost u´loh.
Umˇ el´ a inteligence (t´yden 5 - 12) ˇ sen´ı u´loh, rozhodov´an´ı za neurˇcitosti, rozpozn´av´an´ı, uˇcen´ı, ... − Reˇ ˇ ızen´ı (t´yden 13) R´ − Vnˇejˇs´ı popis dynamiky, zpˇetn´a vazba, regulace a ovl´ad´an´ı syst´em˚ u.
Aplikace (t´yden 14)
Dynamika syst´ em˚ u
Necht’ ~x = [x1, x2, . . . xn] je vektor veliˇcin syst´emu (mezi veliˇcinami nen´ı ˇcas!).
Dynamika syst´emu = v´yvoj ~x v ˇcase.
Dynamick´ y model syst´emu: pravidlo urˇcuj´ıc´ı tento v´yvoj − diskr´ etn´ı model: ~x(k + 1) = f~(~x(k)) (k = 0, 1, 2, . . .) N´asleduj´ıc´ı stav vypl´yv´a ze souˇcasn´eho stavu. − spojit´ y model: d ~x(t) = f~(x) dt
(0 ≤ t ≤ ∞) Zmˇena stavu vypl´yv´a ze souˇcasn´eho stavu. Deterministick´ y dynamick´y syst´em: f~ je funkce
Stochastick´ y dynamick´y syst´em: f~ je pravdˇ epodobnostn´ı rozloˇ zen´ı (mimo r´amec KUI!)
Z´akladn´ı pˇredpoklady: − Koneˇ cn´ y rozmˇ er syst´emu: n < ∞. Stacionarita: f~ nez´avis´ı na k (resp. t).
Dynamika syst´ em˚ u
Vhodnost spojit´eho resp. diskr´etn´ıho modelu z´avis´ı na povaze re´aln´eho syst´emu. − Ve fyzice zejm. spojit´e modely (napˇr. el. obvod), v ekonomii diskr´etn´ı (kurz akcie k datu)
− Diskr´etn´ı model ˇcasto pouˇz´ıv´an jako aproximace spojit´eho (zejm´ena v poˇc´ıtaˇcov´ych simulac´ıch). Potom t ≡ k · ∆τ (∆τ - vzorkovac´ı perioda). ´ NAMITKA: Model ~x(k + 1) = f~(~x(k)) zjednoduˇsuje, u re´aln´ych syst´em˚ u m˚ uˇze ~x(k + 1)
z´aviset i na ~x(k − 1), ~x(k − 2) atd. ˇ sen´ı: staˇc´ı uvaˇzovat dalˇs´ı veliˇciny jako “pamˇet’ syst´emu”. Pˇr´ıklad Reˇ x1(k + 1) = x1(k) + x1(k − 1)
x1(k+1) = x1(k)+x2(k) x2(k + 1) = x1(k)
tj. [x1(k + 1), x2(k + 1)] = ~x(k + 1) nyn´ı z´avis´ı pouze na ~x(k).
Analogicky u spojit´ych model˚ u. Pro eliminaci vyˇsˇs´ıch derivac´ı staˇc´ı uvaˇzovat dalˇs´ı veliˇciny kter´e jsou derivacemi p˚ uvodn´ıch veliˇcin (pˇr´ıklad za chv´ıli). Takto sestaven´e syst´emov´e veliˇciny tvoˇr´ı tzv. stavov´ y vektor. Jeho hodnota v ˇcase t (resp. emu v ˇcase t (resp. k). Vektorem ~x budeme oznaˇcovat stavov´y vektor. k) je stav syst´
Line´ arn´ı orientovan´ y syst´ em
Speci´aln´ı typ dynamick´eho syst´emu s obrovsk´ ym uplatnˇen´ım: f~ je line´ arn´ı zobrazen´ı: diskr´etn´ı lin. syst´em: ~x(k + 1) = A~x(k)
spojit´y lin. syst´em:
d x d t~
= Ax
Line´arn´ı syst´emy se snadno matematicky analyzuj´ı. D´ıky tomu je moˇzno uvaˇzovat podrobnˇejˇs´ı, tzv. orientovan´ y line´arn´ı model, diskr´etn´ı ~x(k + 1) = A~x(k) + B~v (k) ~y (k) = C~x(k) + D~v (k)
spojit´y d ~x(t) = A~x(k) + B~v (t) dt ~y (t) = C~x(t) + D~v (t)
v nˇemˇz jsou od stavov´ych veliˇcin ~x odliˇseny − vstupn´ı veliˇciny ~v (nejsou ovlivˇnov´any stavem) − v´ystupn´ı veliˇciny ~y (neovlivˇnuj´ı stav)
V´ yhoda line´arn´ıho modelu: pr˚ ubˇeh ~x(k) (resp. ~x(t)) lze analyticky odvodit. Nev´ yhoda line´arn´ıho modelu: ˇcasto jen aproximace, re´aln´e fyzik´aln´ı syst´emy obvykle neline´arn´ı.
Pˇr´ıklad: spojit´ y line´ arn´ı orientovan´ y syst´ em Obvodov´a rovnice: u2 + Ru˙ 2 + L¨
1 1 u2 = u1 C C
Vstup: v := u1 Stavov´e veliˇciny: x1 := u2 x2 := x˙ 1 (eliminace x¨1) V´ystup: y := x1 Z obvodov´e rovnice:
1 1 R x˙ 2 = − x2 − x1 + v L LC LC
Stavov´y popis:
x˙ 1 x˙ 2
0 1 x1 0 = + 1 [v] 1 − LC − RL x2 | {z } | LC {z } A
B
x1 0 [y] = 1 0 + [v] 0 | {z } x2 | {z } C D
Dynamick´ e vlastnosti line´ arn´ıho spojit´ eho syst´ emu
~ Po doznˇen´ı vstupu v ˇcase t0 (t > t0 ⇒ v(t) = 0), obecn´ e ˇreˇsen´ı ddt ~x(t) = Ax(t): ~x(t) =
Pn
rieλit i=1 ki~
kde ~ri jsou vlastn´ı vektory A, λi odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ı ˇc´ısla a ki konstanty z´avisl´e na poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınk´ach (~x(t0) v okamˇziku t0 doznˇen´ı vstupu).
Pˇr´ıklady ˇcasov´eho pr˚ ubˇehu (napˇr. pro x1) nekmitav´y (∀i Im λi = 0) stabiln´ı (x(t) → 0 pro t → ∞) pokud ∀i Re λi < 0, tj. vˇsechna vlastn´ı ˇc´ısla v lev´ e komplexn´ı polorovinˇ e. Proˇc je toto d˚ uvodem stability? nestabiln´ı (x(t) → ∞ pro t → ∞) pokud ∃i Re λi > 0. Fyzik´alnˇe nerealizovateln´e s nulov´ym vstupn´ım sign´alem, tj. bez pˇr´ısunu energie.
kmitav´y (∃i Im λi 6= 0)
Stavov´ y prostor line´ arn´ıho spojit´ eho syst´ emu
Hodnoty n stavov´ych veliˇcin = souˇradnice v n-rozmˇern´em stavov´ em prostoru V naˇsem pˇr´ıkladˇe: < x1, x2 = x˙ 1 > ˇ Casov´ y v´yvoj syst´emu: trajektorie ve stavov´em prostoru. Pˇr´ıklady:
stabiln´ı, nekmitav´y. Stav (0,0) = “atraktor”
nestabiln´ı, kmitav´y
jedna z trajektori´ı: projekce x1 dle t
jedna z trajektori´ı: projekce x1 dle t
Dynamick´ e vlastnosti line´ arn´ıho diskr´ etn´ıho syst´ emu
Dynamick´e vlastnosti line´arn´ıho diskr´etn´ıho syst´emu lze podobnˇe jako ve spojit´em pˇr´ıpadˇe snadno matematicky odvodit. Pˇredpokl´adejme doznˇen´ı vstupn´ıho sign´alu v ˇcase k0 (t > t0 ⇒ v(k) = 0). Hled´ame ˇreˇsen´ı ~x(k + 1) = A~x(k) pro poˇc´ateˇcn´ı podm´ınku ~x(k0) = x0 v okamˇziku k0 doznˇen´ı vstupu. Evidentnˇe: ~x(k) = A · . . . · A} ~x0 = Ak−k0 ~x0 | · A {z (k−k0 )×
lze pˇrev´est na ~x(k) =
Pn
riλki i=1 αi~
kde ~ri jsou vlastn´ı vektory A, λi odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ı ˇc´ısla A a αi konstanty z´avisl´e na poˇc´ateˇcn´ı podm´ınce.
Syst´em stabiln´ı (x(k) →k→∞ 0) pr´avˇe tehdy, kdyˇz ∀i |λi| < 1, tj. vˇsechna vlastn´ı ˇc´ısla uvnitˇr jednotkov´ eho kruhu v komplexn´ı rovinˇe. Kontroln´ı ot´azka: kde leˇz´ı vlastn´ı ˇc´ısla A pro stabiln´ı spojit´ y line´arn´ı syst´em?
Pˇr´ıklad: diskr´ etn´ı neline´ arn´ı syst´ em
Line´ arn´ı syst´ emy: dobˇre matematicky modelovateln´e, chov´an´ı snadno odvoditeln´e ze stavov´eho arn´ı syst´ emy: mnohem sloˇzitˇejˇs´ı situace. nebo vnˇejˇs´ıho popisu. Neline´ Pˇr´ıklad: modelov´an´ı velikosti populace v ˇcase. Prvn´ı “n´astˇrel” diskr´etn´ıho modelu: x(k + 1) = p · x(k) 0 ≤ x(k) ≤ 1 velikost populace v k-t´e generaci, p - parametr r˚ ustu (rychlost rozmnoˇzov´an´ı)
Tento model je line´arn´ı, ˇreˇsen´ı je x(k) = pk , pro p > 1 nestabiln´ı (x(k) →k→∞ ∞). Populace nem˚ uˇze r˚ ust do ∞ kv˚ uli nedostatku potravy. Do modelu je tˇreba zaˇclenit faktor (1 − x(k)) potravy ub´yvaj´ıc´ı s r˚ ustem populace. Obdrˇz´ıme tzv. logistick´ y model: x(k + 1) = p · x(k) · (1 − x(k)) pˇredpokl´adaj´ıc´ı normovanou velikost populace: 0 ≤ x(k) ≤ 1 pro ∀k.
Narozd´ıl od line´arn´ıho modelu nen´ı k dispozici analytick´e ˇreˇsen´ı x(k). Zkoumejme numericky: napˇr. pro p = 2 a poˇc´ateˇcn´ı populaci x(0) = 0.2. Pro p = 2: konvergence ke stabiln´ımu stavu.
Pˇr´ıklad: diskr´ etn´ı neline´ arn´ı syst´ em
Pˇri p ≈ 3 n´ahl´a zmˇena: pr˚ ubˇeh je periodick´y, s periodou 2 generace
Pˇri p ≈ 3.5 n´ahl´a zmˇena: perioda se zv´yˇs´ı na 4 generace. D´ale skokovˇe stoup´a s roustouc´ım r.
Pˇri p ≈ 3.57: Nastupuje chaotick´ e chov´ an´ı neperiodick´y pr˚ ubˇeh, x(k) dos´ahne ˇcasem vˇsech hodnot v intervalu (0; 1) (pˇrestoˇze jde o diskr´etn´ı syst´em!).
Emergence chaosu
Bifurkaˇ cn´ı diagram.
Vodorovnˇ e: hodnota parametru p. Svisle: vˇsechny hodnoty dosaˇzen´e x(k) (k = 0, 1, . . . ∞) pro dan´e p.
Chaos ve spojit´ em neline´ arn´ım syst´ emu
Edward Norton Lorenz (*1917, dnes MIT) Zavedl jednoduch´y neline´arn´ı model meteorologick´eho jevu: x˙ 1 = a(x2 − x1) x˙ 2 = x1(b − x3) − x2 x˙ 3 = x1x2 − cx3 (a, b, c re´aln´e konstanty).
Trajektorie ve 3D stavov´ em prostoru [x1, x2, x3] (pro a = 10, b = 28, c = 8/3)
− Tzv. “podivn´ y atraktor”. Chaotick´e chov´an´ı: − Trajektorie nikde neprot´ın´a (d˚ usledek aperiodicity).
sama
sebe
− Mal´y rozd´ıl v poˇc´ateˇcn´ı podm´ınce ⇒ velk´y rozd´ıl po mal´em ∆t. − Prvn´ı “objeven´y” chaotick´y syst´em (1963).
Shrnut´ı pˇredn´ aˇsky
Kybernetika je vˇeda o netrivi´aln´ıch syst´ emech a procesech, jejich modelov´ an´ı a ˇr´ızen´ı a pˇrenosu informace. Zkoum´a aspekty spoleˇcn´e syst´ em˚ um rozliˇ cn´ ych druh˚ u (technick´ym, biologick´ym, socioekonomick´ym, ekologick´ym, ...).
Jedn´ım ze syst´emov´ych aspekt˚ u je dynamika (v´yvoj v ˇcase).
Dynamika se snadno modeluje pro line´ arn´ı syst´ emy.
Z´akladn´ım modelem dynamiky syst´emu je stavov´ y popis.
Ze stavov´eho popisu line´arn´ıho syst´emu lze snadno odvodit d˚ uleˇzit´e asymptotick´ e vlastnosti (zejm. stabilitu), a obecnˇe v´ yvoj v ˇ case, kter´y je vˇzdy d´an line´arn´ı kombinac´ı − komplexn´ıch exponenci´aln´ıch funkc´ı (pro spojit´e syst´emy) − komplexn´ıch mocninn´ych funkc´ı (pro diskr´etn´ı syst´emy)
U neline´ arn´ıch syst´ em˚ u m˚ uˇze b´yt v´yvoj v ˇcase mnohem sloˇ zitˇ ejˇs´ı a obecnˇe jej ze stavov´eho popisu nelze matematicky odvodit.
I jednoduˇse popsan´e neline´arn´ı syst´emy mohou v ˇcase vyv´ıjet extr´emnˇe sloˇzitˇe - chaoticky.
Pˇr´ıˇstˇ e: Jak popsat a modelovat sloˇzit´e syst´emy, nelze-li to deterministicky?
