Geodéziai számítások

Dr. Csepregi Szabolcs: Geodéziai számítások

Geodéziai számítások 2. Pontkapcsolások számítása 2.1. Pontkapcsolásokról általában Nagyobb területek felmérése során a részletpontok meghatározásának összhangját alappontok létesítésével biztosítjuk. Az ország területére földi- és csillagászati mérésekkel egy felsőrendű alapponthálózatot hoztak létre. Ezt további pontmeghatározással tovább sűrítették. Ezek meghatározása után egy-két kilométer távolságban alappontok létesültek az ország egész területén. Ezek meghatározásával a későbbi tanulmányainkban, különböző tantárgyakban foglalkozunk részletesen. A meghatározás során létrejött egy olyan alapponthálózat, melyben az egyes pontok koordinátáit ismerjük és a pontok a terepi helyét is megjelölték valamilyen állandósítási móddal. A részletes felmérések az alapponthálózat pontjai között csak újabb pontok meghatározásával végezhetők. Ezeket a pontokat általában különböző pontkapcsolások segítségével végezzük. Pontkapcsolások alatt azokat a geometriai feladatokat értjük, melyek segítségével ismert koordinátájú pontok felhasználásával, irány- és távolságmérések elvégzésével új pont koordinátáját határozhatjuk meg. Pontkapcsolások során az ismert koordinátájú pontok, mint adott pontok szerepelnek. A mérési eredmények irány, szög és távolságadatok lehetnek. Ezek ismeretében kell egy - kivételesen több - új meghatározandó pont koordinátáját számítani. A pontkapcsolások esetén mindig annyi adatot, ismert koordinátájú pontot és mérési eredményt veszünk figyelembe, amennyi az új pont koordinátájának meghatározásához szükséges. Mindig annyi adatot - koordinátát és mérési eredményt veszünk figyelembe, amennyi az új pont egyértelmű meghatározásához matematikai szempontból szükséges. Egy új pont adott pontokhoz viszonyított, egyértelmű - ellentmondás mentes meghatározásához két geometriai adatra van szükség. Ez lehet két szög, vagy két távolság, vagy egy szög és egy távolság. Attól függően, hogy ezek a helymeghatározó adatok milyenek, milyen adatokat mérünk meg a pont meghatározása érdekében, különböző pontkapcsolási alapesetekről beszélünk. A különböző pontmeghatározásokat a mérésekre utaló névvel jelöljük. A pontkapcsolások egy pont meghatározására csak matematikai szempontból elégségesek. Geodéziai szempontból egy új pont meghatározását csak úgy végezhetjük, ha a mérésekre is ellenőrzésünk van. Ezt újabb mérések - a matematikailag szükséges és elégséges méréseken kívül - további mérések végrehajtásával végezzük. Ezek a meghatározás szempontjából fölös mérések. A fölös mérésekre geodéziai okok miatt van szükség. Geodéziai meghatározásnál biztosítani kell, hogy a mérési eredmények ne legyenek durva hibával terheltek. Ezt csak úgy érhetjük el, ha a matematikailag szükséges mérések felett, további méréseket végzünk. Egy pont meghatározásánál arra törekszünk, hogy az új pont koordinátáját, két egymástól független (közös adatot nem tartalmazó) pontkapcsolással határozzuk meg. Kivételesen nehezebb terepi körülmények között megelégszünk azzal, hogy a két pontkapcsolás közös adatot tartalmazzon. Ekkor közös oldalú pontkapcsolásról beszélünk. A pontkapcsolások megoldása matematikai-geometriai feladat megoldását jelenti. Ezek megoldására több lehetőségünk van. A különböző lehetőségek közül a legegyszerűbbet célszerű alkalmazni. Ennek kiválasztása nem egyértelmű. A számítási segédeszköz, a számítási lehetőségek lényegesen befolyásolják, hogy melyik megoldást tekintjük legegyszerűbbnek, legalkalmasabbnak. A számítási segédeszközök változása, fejlődése időről-időre szükségessé teszi, hogy megvizsgáljuk, melyik megoldást célszerű alkalmazni.

2003.03.10.14:55

1


Más-más számítási lehetőség, más számítási segédeszköz, újabb megoldás keresését teszi szükségessé. Ezért alkalmaztak más összefüggéseket logaritmus könyv használatakor a század elején, és más összefüggéseket a mechanikus számológépek alkalmazásakor a század közepén. Ma, amikor a zsebszámológépek általánosan használatosak, újabb összefüggések alkalmazása terjedt el. Nagyobb programok részeként, a pontkapcsolási feladatok megoldásánál - a megoldás módjának kiválasztásánál - a programnyelv sajátosságait kell figyelembe venni. Kézi számoláskor - nem programozott gépeken végzett számoláskor - különös gondot kell fordítani a számítás ellenőrzésére. A számítás ellenőrzésére több lehetőségünk van. Az ellenőrzés módjának olyannak kell lenni, hogy a teljes számítási folyamatot ellenőrizze. Nem jó az, az ellenőrzési mód, mely ugyanakkora számítást jelent, mint magának a feladatnak a megoldása. Az ellenőrzéskor már ismerjük az új pont koordinátáit, melyet a megoldás során meghatároztak. Az ellenőrzést a már ismert koordináta felhasználásával végezzük. Az ellenőrzéssel a teljes feladatot, nemcsak annak egy részét kell ellenőrizni. Közvetlenül a kiinduló adatokat, koordinátákat, mérési eredményeket kell ellenőrizni, azt, hogy az új pont koordinátája kielégíti-e a mérési eredmények által meghatározott feltételt. Pontkapcsolások esetén - mikor nincs fölös mérés - az ellenőrzésnek teljesen a számítási élességnek megfelelően teljesülni kell. Programmal végzett számítás esetén szükséges, hogy speciális feladatok esetén különleges adat-elrendezés esetén is jó megoldást adjon. Lehetőleg ne fordulhasson elő 0-val való osztás, vagy végtelennel való szorzás. Ilyen esetekre a programot belső vizsgálattal fel kell készíteni. Igen kellemetlen lehet, ha a programban ilyen eset fellép. A pontkapcsolások során mindig új pontot határozunk meg. A kiinduló adatok az adott pontok koordinátái és a mérési eredmények is, kis mértékben hibával terheltek. Az adott pontok koordinátái nem teljesen felelnek meg a pontjelölésnek, megfelelő terepi helynek. A pontoknak ezt a hibáját kerethibának nevezzük. A mérési eredmények a műszer szerkezeti hibái, a mérés külső körülményei miatt, a mérőszemély nem tökéletes műszer kezelése miatt, a mérési eredmények hibásak. Az adott pontok kerethibái és a mérési eredmények hibái, bizonytalanságai, a meghatározott pont koordinátáiban is bekerülnek. Az adott pontok elhelyezkedésétől a mérési eredmények által meghatározott alakzattól függ az új pont koordinátájának megbízhatósága. Ugyanolyan mérési hibák esetén, egyes alakzatoknál az új pont megbízhatóbban határozható meg. Ezért foglalkoznunk kell, hogy az egyes pontkapcsolások esetén, mely alakzatot tekintjük legkedvezőbbnek. Általában azt a geometriai alakzatot, amikor a mérési eredmények egységnyi, kismértékű megváltoztatása esetén kisebb eltéréssel kapjuk meg az új pont koordinátáját. Ha a mérési eredmények kismértékű megváltoztatása esetén nagyobb koordináta eltérést kapunk, azt az alakzatot kedvezőtlennek nevezzük. A pont terepen történő kitűzésekor, amikor az új pont helyét és a mérendő adatokat kiválasztjuk, erre az alakzatra figyelemmel kell lennünk.

2.2. A pontkapcsolások csoportosítása A pontkapcsolások során irány és távmérési eredményeket használunk fel. A méréseket ismert koordinátájú pontokon és az új ponton is végezhetjük. A meghatározások során annyi ismert pontot és annyi mérést használunk fel amennyi a pont meghatározásához matematikailag szükséges. A meghatározásokat a szerint csoportosítjuk, hogy milyen méréseket használunk fel. A mérést végezhetjük adott ponton az új pontok felé, ezt a mérést előre mérésnek nevezzük. Ha a mérést az új ponton mérjük adott pont felé, akkor hátra mérésről beszélünk.

2003.03.10.14:55

2


A meghatározás első csoportját az azok a pontkapcsolások adják, melyeknél csak iránymérést végzünk. Ezek lehetnek: Előmetszés: ekkor két adott ponton végzünk iránymérést és mérünk az új pontra is. Ennek két változata van. Az egyik, amikor a két adott ponton mérjük a szomszédos adott pontra menő irány és az új pontra menő irány közötti két szöget, ezt belsőszöges előmetszésnek nevezzük. A másik, amikor a két adott ponton tájékozó irányokat mérünk, és mérjük az új pontra is az irányértéket. A két adott ponton elvégezzük az álláspont tájékozását, és levezetjük az új pontra a tájékozott irány értéket. Ezt nevezzük tájékozott irányértékkel végzett előmetszésnek (22.1 ábra és 22.2 ábra). C

B

D

A B A E

P

P 22.2 ábra előmetszés tájékozott irányértékekkel

22.1 ábra belsőszöges előmetszés

Oldalmetszés: az egyik adott ponton tájékozó irányokat mérünk és mérünk az új pontra is, a másik mérést az új ponton végezzük, itt mérünk vissza az ismert pontra és mérünk egy újabb adott pontra is. Ezt nevezzük oldalmérésnek (22.3 ábra). Hátrametszés: csak az új ponton végzünk iránymérést három adott pontra. Ez csak egy ponton kívánja meg a mérést (22.4 ábra) A

D

B

A C

B P E

P

C

22.3 ábra oldalmetszés

22.4 ábra hátrametszés

Távolságméréssel pontkapcsolást ívmetszéssel végezhetünk. Ekkor két adott pontra mérünk távolságot az új pontról. A távolságokat mérhetjük az adott pontokról is. A pontkapcsolások egy újabb változata, amikor csak az új ponton végzünk mérést két adott pontra, az egyikre irányt és távolságot mérünk, a másikra csak irányt. Ezt nevezzük szabad álláspontnak is, vagy a pont geometriáját tekintve nevezzük külpontnak is, mert a mérések azonosak a külpont mérési eredményekkel.

2003.03.10.14:55

3


B

B

A

A

P

P

22.6 ábra külsőpont meghatározása

22.5 ábra ívmetszés

Pontkapcsolások esetén csak annyi mérést végzünk amennyi a pont meghatározásához szükséges. Ezzel a pont koordinátáját egyértelműen ki tudjuk számítani, de a mérési eredmények hibáját nem tudjuk meg adni. Ha valamelyik mérés hibás, akkor is kapunk valahol egy hibás koordinátát. A mérések hibájára csak akkor tudunk következtetni, ha további méréseket végzünk és a pontot más módon, más mérésekkel is meghatározzuk. A matematikailag szükséges mérések felett, további méréseket végzünk. Ezeket a matematikailag szükséges mérések felett végzett méréseket nevezzük fölös méréseknek. A pontkapcsolások ellenőrző számításakor csak a számítási hibát tudjuk meghatározni, a mérések hibájára nem tudunk következtetni. Ezt csak fölös, további mérésekkel tudjuk felismerni. A mérési hibák Ezt látjuk a 22.7 ábrán. Az ábrán azt is látjuk, hogy az új P pontot az A és B pontokból B határoztuk meg először, majd a második A meghatározás során az új pontot a C és D pontokból metszettük elő, az előmetszésből egy másik a korábbitól jelentősen eltérő P pontot kapunk P1 P2 eredményül. De az ábrából azt is látjuk, D hogy a két előmetszés a miatt tér el, hogy a C pontról mért irány jelentősen hibás C (22.7 ábra). A geodéziai gyakorlatban 22.7 ábra egy pont meghatározása két mindig fontos feladat a mérési durva független pontkapcsolással hibák megkeresése.

2003.03.10.14:55

4


2.3. Előmetszés belső szögekkel A pontkapcsolásoknál előmetszésnek nevezzük azokat a feladatokat, amikor két adott pontról az új pontra végzett irány, vagy szögméréssel határozzuk meg az új pontot. Belsőszöges előmetszésen azt a pontkapcsolást értjük, amikor két adott ponton egy-egy szög mérésével határozzuk meg az új pontot. Belsőszöges előmetszésen két adott pont ismert. Mérési eredményeink mindkét adott ponton mért, a szomszédos adott pontra és az új pontra menő irányok közötti szög. Belsőszöges előmetszésnél szükség van a két adott pont összelátására, mert mindkét ponton mért szög egyik mása a két adott pont közötti egyenes. A két adott pontot az elmondottak szerint, mindkét irányból oda-vissza kell összelátni. Az új pontokra menő irányokat elegendő csak az adott pontról látni. 23.1 ábra. A két adott ponton mért α és β szög nem P határozza meg egyértelműen a P pontot. A P pont ugyan ezekkel az adatokkal matematikailag az AB egyenesre tükörképként is B meghatározható. A 23.2 ábrán ezt a helyzetet is felrajzoltuk. Geodéziai szempontból az új pont kitűzésekor biztosítjuk a feladat egyértelműségét úgy, hogy a kitűzéskor készített vázlat egyértelművé teszi az új pont helyét. A Számításkor a háromszög körbejárásának megkötésével biztosítjuk az egyértelműséget úgy, hogy megkötjük: azt a P pontot számítjuk, melynél a háromszög A-B-P körbejárása pozitív, P' az óramutató járásával egyező. 23.1 ábra Belsőszöges előmetszés A számítás végrehajtását a 23.2 ábra alapján, a következőképpen végezhetjük. Először számítjuk az A és B adott P pontok közötti irányszöget és távolságot. Ehhez a koordináta különbségeket ∆y AB = YB − YA és ∆x AB = X B − X A B tAP képletnek megfelelően képezzük. Az irányszöget és távolságot poláris AP x AB tAB átalakítással számíthatjuk zsebszámológépeken: t ∆x AB A → POL AB yAB AB ∆y AB δ AB A következő lépésben meghatározzuk 23.2 ábra Belsőszöges előmetszés számítása az AP oldal irányát és távolságát. Az AP irányszöge összegzéssel számítható δ AP = δ AB + α a távolságot szinusz-tétellel határozzuk meg. sin β t AP = t AB ⋅ sin( α + β )

2003.03.10.14:55

5


Fenti összefüggésben az AB oldallal szemben fekvő szög a γ szinusza az α+β mért szögek összegének szinuszával egyenlő, ezért célszerűen ezt használjuk. sin γ = sin(α + β ) Az új pontra menő irányszög és távolság ismeretében már polárispontként számíthatjuk a P pont koordinátáit. Először számítjuk a vetületeket ∆x AP = t AP cos δ AP ∆y AP = t AP sin δ AP és természetesen derékszögű (rectangulár) átalakításnak megfelelően t AP ∆x AB → REC δ AP ∆y AB majd, meghatározhatjuk a P pont koordinátáit X P = X A + ∆x AP YP = YA + ∆y AP és összegzéssel. Ezzel a feladatot megoldottuk. A számítás során egyes (különösen kisebb kapacitású) számológépeken ki kell írni. Ha lehetőségünk van rá, célszerű ezeket tárolni valamelyik tároló regiszterben. Kiíráskor és tároláskor is megfelelő a szögadatokat, például δ AB és δ AP irányszögeket fok, tizedfok egységben megőrizni és nem szükséges pozitív szöggé átalakítani. A továbbszámolás szempontjából ez kedvezőbb, mert később közvetlenül felhasználható. A számítás ellenőrzésénél legyünk tekintettel arra, hogy az ellenőrzésnek a teljes számítást kell ellenőriznie és nemcsak egy részét. Ekkor már ismerjük a kiszámított P pont koordinátáit is. Az ellenőrzéshez számítjuk ki a koordinátákból a háromszög oldalainak irányszögét. Ezekből számítjuk a mért α és β szögeket α = δ AP − δ AB β = δ BA − δ BP és A két számított szögnek egyezni kell az α és a β mért szögekkel. Az eltérés csak a számítási kerekítési hibák miatt következhet be, ez általában nem lehet több, mint 1” szögmásodperc. Ennél nagyobb eltérés számítási hibát jelent. A mérési eredmények hibáira egyetlen belsőszöges előmetszés megoldásából nem lehet következtetni. A mérési hibák csak fölös mérések (az új pontra végzett további irány vagy távmérések) alapján mutathatók ki. Az új pont meghatározásának megbízhatósága függ az alakzattól, a háromszög alakjától is. A pont megbízhatóságát azzal a területtel jellemezhetjük, mely akkor keletkezik, ha a mérési eredményeknek felvett nagyságú, kis értékű hibát, eltérést tételezünk fel, és ezzel a mért értékektől eltérő eredményekkel határozzuk meg az új pont koordinátáit. A 23.3 ábrán a pontok koordináta hibáira mk nagyságú hibát vettünk fel. A szögek hibáira az msz értéket a szögmérés hibája vettünk fel. Az új pont a megrajzolt szélső a BA irány hibája a B pont hibája irányok által meghatározott négyszögön belül P helyezkedhet el a felvett mk és msz hibáknál kisebb eltérések esetén. A négyszög kis hibák esetén jó közelítéssel paralelogrammának B tekinthető. A legkedvezőbb alakzat az, mely esetén ez a négyszög hiba a legkisebb lesz. Ezt akkor érhetjük el, ha az új pontnál keletkező γ metszőszög derékszög lesz, és két új pontra A menő irányok egyenlő hosszúak. 23.3 ábra Belsőszöges előmetszés Gyakorlatban ez nem valósítható meg szabatosan, így megelégszünk az ezt megközelítő alakzatokkal is. A metszőszög 30˚-nál nagyobb és 150˚-nál kisebb esetben megfelelőnek tekintjük a háromszöget. Ennek betartására a feladat kitűzésekor az új pont és az adott pontok kiválasztásánál kell figyelemmel lenni.

2003.03.10.14:55

6


2.4. Előmetszés tájékozott irányértékekkel

z tá

Tájékozott irányértékekkel végzett előmetszésnek nevezzük azt az előmetszést, amikor a két adott ponton végzett iránymérés tájékozása után, az új pontra menő tájékozott irányérték segítségével határozzuk meg az új pont koordinátáit. Ennél az előmetszésnél mindkét adott ponton iránysorozatot mérünk. Ebben az iránymérésben szerepelnek adott pontra mért irányok, melyeket tájékozó irányoknak nevezünk, és az új pontra mért irány is (24.1. ábra).

al im

bu

sz

0o s

A számítás előkészítéseként E tájékozzuk az iránysorozatot a l korábban megismert módon. Tehát D AP képezzük az ismert koordináták z alapján az ismert koordinátájú AP BP álláspontról az ismert koordinátájú A F tájékozó irányok végpontjára menő irányszögeket. Az ugyanarra a pontra C számított irányszög és a mért B irányérték különbségeként számítjuk az irány tájékozási szögét. A gyakorlatban több, általában három G tájékozó irányt mérünk. A tájékozási szögek súlyozott középértékét 24.1 ábra előmetszés tájékozott irányértékekkel képezzük, súlyként az irányok kmben kifejezett hosszát használva. Ezt a középtájékozási szöget hozzáadva az új pontra mért irányértékhez, kapjuk az új pontra mért irány tájékozott irányértékét. Mindkét adott ponton mért iránysorozat tájékozása után levezetett tájékozott irányértéket tekintjük mérési eredménynek. Az új pont koordinátáinak számításához adott két pont koordinátáival és ezekről az új pontra levezetett két tájékozott irányérték. Tájékozott irányértékekkel végzett előmetszésnél nem szükséges, hogy a két adott pontot összelássuk. Ez előnyt jelent a belsőszöges előmetszéssel szemben. Előny az is, hogy a tájékozó irányok biztosítják az iránymérés ellenőrzését is, és lehetővé teszik, hogy az új pont több adott ponthoz illeszkedjen. Előny az is, hogy a tájékozó irányok biztosítják az iránymérés ellenőrzését is, és BP lehetővé teszik, hogy az új pont több adott ponthoz illeszkedjen. Természetesen, ha a AP tájékozó irányok jók a tájékozás alapján, P még nem biztosítják, hogy az új pontra mért irány is jó legyen, de ritkán fordul elő, AP hogy jó tájékozás eseten hibás legyen az új AP tAP pontra mért irány. A tájékozás lehetővé A AB teszi, hogy az új pont több adott ponthoz illeszkedjen. tAB Az új pont koordinátáinak számításához B BP adott két pont koordinátáival és ezekről az új pontra levezetett két tájékozott 24.2 ábra előmetszés tájékozott irányérték. A számítást a következő irányértékekkel számítása sorrendben célszerű végezni a 24.2 ábra alapján. P

2003.03.10.14:55

7


Először meghatározzuk a két adott pont közötti irányszög és távolság értéket B pontról az A pontra értelemben. Ehhez számítjuk a ∆y BA és ∆xBA koordináta különbségeket ∆y BA = YA − YB és ∆xBA = X A − X B Az irányszöget és távolságot poláris átalakítással számíthatjuk. ∆xBA t → POL BA ∆y BA δ BA Az ABP háromszög B és P pontnál lévő belső szögét különbségként számíthatjuk. γ = δA −δB β = δ B − δ BA és Az A és P távolságát szinusz tétellel határozhatjuk meg. sin(δ B − δ BA ) sin β t AP = t AB = t AB sin(δ A − δ B ) sin γ . Végezetül számíthatjuk a P pont koordinátáit poláris számítással. A vetületeket a ∆y AP = t AP sinδ A és ∆X AP = ∆x AP = t AP cos δ A képletekkel vagy zsebszámológépeken, célszerűen t AP ∆x AP → REC δ AP ∆y AP derékszögű (rectangular) átalakítással számíthatjuk. Ezután az új pont koordinátáit az YP = YA + ∆y AP X P = X A + ∆x AP és formában határozhatjuk meg. A számítás ellenőrzését ugyanazzal végezhetjük, hogy a P pont új koordinátái és az A; B adott pontok koordinátáiból számítjuk a δ BP δ AP és irányszögeket, és ezeknek a számítás élességén belül egyezni kell a mért δ A és δ B tájékozott irányértékekkel. A mérési eredmények helyességét természetesen csak fölös mérések végzésével ellenőrizhetjük. Gyakorlatban általában azt kívánjuk meg, hogy az új pont koordinátáit két B független háromszögből számítsuk. Ez alatt azt értjük, hogy az új pont meghatározásához négy adott ponton végzünk iránymérést és ebből P A négy adott pontról vezetjük le az új pont felé a tájékozott irányértékeket. Ebből, két egymástól PAB PAD független adat felhasználásával két előmetszést végzünk. A pont végleges koordinátájának a C két koordináta-pár számtani középértékét tekintjük. A P pont koordinátáinak meghatározására 24.3. ábra. Durva hiba helyének közvetlen képleteket is felírhatunk. Az megkeresése előmetszésnél előzőekben felírt összefüggések felhasználásával sin( δ B − δ BA ) ∆y AP = t AB sin δ A sin( δ A − δ B ) és

2003.03.10.14:55

8


sin( δ B − δ BA ) cos δ A sin( δ A − δ B ) A két egyenletben felbontva a számláló zárójelét, majd felhasználva, hogy t AB sinδ BA = YA − YB és t AB cosδ BA = X A − X B azonosságokat, a következő kifejezéseket kapjuk a vetületek meghatározására rendezés után a (Y − YA )cos δ B − ( X B − X A ) sin δ B sin δ YP = YA + B A sin(δ A − δ B ) (Y − YA )cos δ B − ( X B − X A ) sin δ B cos δ XP = XA + B A sin(δ A − δ B ) ezekből az új pont koordinátáit az A pont koordinátáival összevonva, közvetlenül a P új pont koordinátáit kapjuk. A legkedvezőbb alakzatot a belsőszöges előmetszéshez hasonlóan határozzuk meg ebben a tájékozott irányérték hibája a pont hibája az esetben is. A pontok koordinátáinak mk az adott pontokon levezetett tájékozott irányértékeknek mi nagyságú hibát tételezünk fel. Az adott pontokon felrajzolva az mk koordináta hibákat, a mért irányokat ezekhez a körökhöz húzott érintőkkel és ezek mi nyílású szélesedő sávjával 24.4. ábra. Tájékozott irányértékekkel előmetszett pont jellemezzük. Az új pont pontossága megbízhatóságát, hibájának nagyságát a két szélesedő vonal (sáv) közös területe jellemzi. Ha a két előmetsző irány metszési szöge kicsi, akkor a keletkező hiba terület hosszan elnyúló négyszög lesz. A legkisebb területet akkor kapjuk, ha a két irány merőleges egymásra. Előmetszésnél azért, hogy az új pont meghatározásánál ne keletkezzen kedvezőtlen (elnyúló) hibanégyszög, ezért megkötjük, hogy az előmetsző irányok metszési szöge ne legyen 30˚-nál kisebb és 150˚-nál nagyobb. Ezt a feltételt már a terepen történő kitűzés során vesszük figyelembe az új pont helyének és a meghatározandó irányok kiválasztásánál. Az előmetszés tájékozott irányértékekkel a geodéziai pontmeghatározások közül a leggyakrabban alkalmazott. ∆x AP = t AB

2.5. Az előmetszés speciális esetei 2.5.1. Előmetszés helyi rendszerben Helyi rendszernek nevezzük az országos rendszerhez nem csatlakozó önálló koordináta rendszereket. Helyi rendszerben a koordináta rendszert úgy vesszük fel, hogy az számunkra a legegyszerűbb legyen. Helyi rendszerben az adott pontokat leggyakrabban mint egy alapvonal két végpontját vesszük fel. Az új pontokat ehhez a két ponthoz viszonyítva vesszük fel. A

2003.03.10.14:55

9


X

P XP

YP

A

B

Y

25.1 ábra előmetszés helyi rendszerben

belsőszöges előmetszésnek megfelelően. A képletek egyszerűsödnek. Az A és P pont távolságát szinusz tétellel számíthatjuk. t AP = a

koordináta rendszert célszerűen úgy vesszük fel, hogy az alapvonal egyik végpontja a koordináta rendszer kezdőpontja legyen és az y tengelyen menjen át az alapvonal másik végpontján (25.1.ábra). A P pont meghatározására mérni kell az A és B alapvonal pontokon az ábra szerinti α és β szögeket. Tehát a helyi rendszerben végzett előmetszés tulajdonképpen belsőszöges előmetszés. A számítást végezhetjük a ebben az esetben némileg

sin β sin( α + β )

Ezután a P koordinátáit

sin β cos α sin β sin α és X P = t AP sinα = a sin( α + β ) sin( α + β ) képletekkel számíthatjuk, mert az α szög az irányszög pótszöge. Egy másik megoldást az alábbi módon írhatunk fel. Fejezzük ki az új pont X P koordinátáját α és β segítségével. X P = YPtgα = ( a − YP )tgβ ebből, rendezés után az YP kifejezhető a ⋅ tgβ tgα ⋅ tgβ YP = és X P = YP ⋅ tgα = a tgα + tgβ tgα + tgβ valamint az X P koordináta is felírható. A helyi rendszerben végzett előmetszést elsősorban mozgásvizsgálatok során alkalmazzuk. Ebben az esetben az A és B pontok mozdulatlannak tekintjük és különböző alkalmakkor mérjük az α és β szögeket a P pont meghatározására. A vizsgált P pont elmozdulására a P pont koordináta változásaiból következtetünk. YP = t AP cos α = a

2.5.2. Szelvény-átmetszés számítása A geodéziai felmérések eredményét térképszelvényeken ábrázoljuk. A térképszelvények határvonalát a koordináta rendszerrel párhuzamos egyenesek alkotják. A szelvények határvonalai elméleti egyenesek. A szelvények bevezetése lehetővé teszi, hogy egy nagyobb területet több kezelhető méretű lapon ábrázoljunk. A szelvények határvonala természetesen sok tereptárgyat és mérési vonalat is átmetsz. Átmetszett mérési vonalakra bemért eredményeket csak akkor tudjuk felrakni, ha kiszámítjuk a mérési vonal és a szelvény

2003.03.10.14:55

10


határvonalának metszéspontját. Ez a feladat egy olyan előmetszési feladatnak tekinthető, mikor az egyik előmetsző irány valamelyik koordináta tengellyel párhuzamos. A feladat két formában fordulhat elő. Az egyik esetben egy y tengellyel párhuzamos szelvényvonal metszését keressük, a másik esetben egy x tengellyel párhuzamos szelvényvonal metszését kell meghatározni. YP

B

B R

XB - X A

P

X P- X A

A

XB - X A

XR XR- X A

A

YP - YA

YR - YA YB - YA

YB YA -

25.2.b. ábra szelvény átmetszés számítása

25.2.a. ábra szelvény átmetszés számítása

A feladat megoldását a 25.2 ábra alapján az alábbi módon végezhetjük. A feladat a szelvényvonalat metsző egyenes - mérési vonal esetén - két végpontjának koordinátáival adott. Az ábra alapján a következő aránypárt írhatjuk fel. X P − X A YP − YA = X B − X A YB − YA amiből az X P ismeretlen koordináta: Y − YA (X B − X A ) XP = XA + P YB − YA formában írható fel. Ha az y tengellyel párhuzamos egyenes metszéspontját keressük, akkor a háromszögek alapján felírható aránypár: X R − X A YR − YA = X B − X A YB − YA lesz és ebben a metszéspont YR koordinátája ismeretlen. Ezt kifejezve a X − XA YR = YA + R ( YB − YA ) XB − XA kifejezést kapjuk a meghatározandó koordináta értékére. Mérési vonal metszése esetén szükség van, hogy a metszéspont abszcissza értékét is ismerjük. Ehhez az alábbi hasonlóságot írhatjuk fel: aP X P − X A YR − YA aR = és = aB X B − X A YB − YA aB amiből a metszéspont abszcissza értékét. X − XA Y − YA aP = P ab és aR = R aB XB − XA YB − Y A formában számíthatjuk ki. A feladat egy másik változatában adott ponton levezetett tájékozott irányértékkel meghatározott egyenes metszéspontját keressük valamelyik koordináta-tengellyel párhuzamos egyenessel.

2003.03.10.14:55

11


Ez a feladat fordul elő hibaábra szerkesztése esetén, amikor a mért irányok helyzetét kívánjuk ábrázolni. Ez az irányok helyzetének szemléletes képét mutatja. Az irányok, melyeknek koordinátájuk és tájékozott irányértékük adott) és a koordináta tengelyekkel párhuzamos egyenesek metszéspontját a 25.3 ábra alapján számíthatjuk.

X max P1 P2

R1

R2

Ymin

Ymax

X min

Az A ponton levezetett tájékozott irányérték tangense és a koordináta különbségekre a XP − X A XR − X A tg δ = = yP − yA yR − y A egyenletet írhatjuk fel. Ebből az ismeretlen X P , illetve YR koordinátákat az X P = X A + ( YP − YA ) ⋅ tgδ és

1 tgδ kifejezésekkel számíthatjuk. A 25.3 ábra egyenes metszése téglalappal metszékek számításánál általában nem ismerjük, hogy az adott pontból induló egyenes mely tengellyel párhuzamos egyenesét metszi (a 25.3 ábrának megfelelően). A számítható P1 és P2 , valamint R1 és R2 metszéspontok közül csak kettő az, amit közvetlenül a téglalappal metszéspontot ad. A számítás során nekünk kell eldönteni, hogy melyik az a két pont, mely a téglalap oldalaival metszéspontot ad.

A

YR = X A + ( X R − X A )

2.6. Oldalmetszés számítása Oldalmetszés esetén két adott pontot ismerünk. Iránymérést két ponton végzünk. Az egyik adott ponton a tájékozó irányokon kívül mérjük az új pontra menő irányt is. Az új ponton két irányt mérünk. Az egyiket arra az adott pontra, melyről az új pontra mértünk, ezt az irányt tehát oda-vissza mérjük. A másik irányt egy másik adott pontra mérjük. Ezt az irányt nevezzük oldalmetsző iránynak. A számításhoz tehát ismerjük az A és B pontok Y és X koordinátáit. Mérési eredményként az A pontról a P pontra levezetett δA tájékozó P irányértéket és az új ponton mért γ szöget, melynek szára az A pontra és a B pontra mért irány. BA A számítást az előmetszéshez hasonlóan a következő lépésekben végezhetjük. t AP Először számítjuk a két adott pont közötti A irányszöget és távolságot. C t BA ∆xBA POL → B ∆y BA δ BA D t BA majd meghatározzuk a háromszög B pontjánál A lévő belső szögét E β = δ BA − δ A − γ 26.1. ábra. Oldalmetszés számítása

2003.03.10.14:55

12


amiből az A pontról az új P pontra menő távolság szinusz tétellel számítható. sin β t AP = t AB sin γ Ezután a P pont koordinátáit poláris pontként számíthatjuk. YP = YA + t AP sin δ AP X P = X A + t AP cos δ AP Természetesen zsebszámológépen célszerűen a rectangulár átalakítást használjuk a vetületek számítására. A számítás ellenőrzését az új pont koordinátáinak ismeretében végezzük. Számítsuk ki a P pontról az A és B pontra az irányszöget. Az A pontra számított irányszög 180˚ eltéréssel egyezni kell az A pontról mért tájékozott irányértékekkel. A két irányszög A különbségnek a γ szöggel kell egyezni. B A számítás másik formájában már ismert feladat számítására vezethetjük vissza az P oldalmetszés megoldását. A 26.2 ábra alapján B pontról az új pont felé mutató tájékozott irányértéket számítjuk a B δB = δ A +γ összefüggésnek megfelelően az A oldalmetszés mérési eredményeiből. Ezzel a feladatot vissza- vezettük tájékozott irányértékekkel végzett előmetszés B számítására. Tehát az oldalmetszést A ugyanazzal a számítással, és programmal számíthatjuk egy kis előkészítő számítás 26.2 ábra oldalmetszés visszavezetése után, mint az előmetszést. előmetszésre Az oldalmetszés pontosság szempontjából kedvezőtlenebb, mint az előmetszés számítása. Ez azzal magyarázható, hogy a B pontról számított tájékozott irányérték gyengébb, mint a közvetlen tájékozással levezetett tájékozott irányérték. Ebben az eseten ugyanis az új ponton végzett mérést csak oda-vissza irány alapján tudjuk tájékozni. Az oldalmetszés esetén is legkedvezőbb, ha a két irány metszőszöge közel 90˚. Ezen kívül jó, ha az oda-vissza mért irány hosszabb, mint a lemetsző irány. a p o n t h ib á ja tá jé k o z o tt irá n y é rté k h ib á ja a s z ö g m é ré s h ib á ja a P A s z ö g s z á r h ib á ja

B A

A

26.3. ábra. Az oldalmetszés pontossága

2003.03.10.14:55

13

P


2.7. Hátrametszés 2.7.1. Hátrametszés és a veszélyes kör Hátrametszésnek azt a pontkapcsolást nevezzük, amikor csak az új pontról mért belső irányok alapján határoznak meg egy új pontot. Az egyértelmű meghatározáshoz 3 adott pontra A, B és C pontokra kell iránymérést végezni az új pontról (27.1 ábra). A három irány három szöget határoz meg, ezeket α = lC − lB β = l A − lC γ = lB − l A formában képezhetjük. A három szögből kettő független, mert a három szög összege

A

C

α + β + γ = 360 o , ami csak hibás számítás esetén nem teljesül. B Az CB húrhoz tartozó α kerületi szög egy kört határoz meg, mely átmegy a C és B pontokon és bármely pontjáról ez a húr α szög alatt látszik. 27.1 ábra hátrametszés Hasonlóan a CB húrhoz szintén tartozik egy kör, melynek kerületéről a CB szakasz β szög alatt látszik. A feladat megoldása a két kör metszéspontja. A P pont az AB szakaszhoz tartozó γ szög alatt látszik. A hátrametszés feladata az előzőek alapján két kör metszéspontjának meghatározását jelenti. Ez egy két-ismeretlenes másodfokú egyenlet megoldását jelenti. Ezt közvetlenül megoldani körülményes. A megoldásokat a másodfokú egyenlet közvetlen felírása nélkül végezzük el. Ez egyszerűbb, mint a másodfokú két ismeretlenes egyenlet megoldása. Ennek megfelelően adódó különböző megoldások igen sokfélék. Többféle megoldás alakult ki, melyek közül a legjobb megoldást kiválasztani nem lehet egyértelműen. B A hátrametszés egy különleges esetben megoldhatatlanná válik. Ez a helyzet akkor áll elő, K mikor az újpont a veszélyes körre esik. Veszélyes körnek nevezzük a három adott pontra illeszkedő P1 kört. Ha az új pont a veszélyes körre esik, akkor a feladat nem oldható meg matematikailag. A megoldás valamelyik lépésében jelentkezik egy 0val való osztás, mely nem értelmezhető. A A veszélyes körön lévő P pont a veszélyes kör P2 bármely pontjáról az BC húrt, α a AC húrt β szög alatt látja. Tehát a feladat kiinduló feltételét a 27.2 ábra a veszélyes kör veszélyes kör bármely pontja kielégíti (27.2 ábra).

2003.03.10.14:55

14


Matematikai szempontból csak azt kell elkerülni, hogy az új pont a veszélyes körre essen, minden más esetben van a feladatnak matematikai megoldása. Geodéziai szempontból azonban az is kellemetlen, ha az új pont a veszélyes kör közelébe esik. A veszélyes kör közelében az új pont meghatározásának pontossága jelentősen lecsökken. Ez abban jelentkezik, hogy a mért szögek kis hibája esetén ( például 1 szögmásodperc eltérése esetén) már jelentős koordináta változások következnek be, melyek a méteres eltérést is elérhetik. A veszélyes körtől lehetőség szerint távol kell felvenni az új pontot. A 27.3. ábra alapján a veszélyes körtől akkor vagyunk távol, ha az új pont a három pont által meghatározott háromszögén belül vagyunk (P1). Hasonló a helyzet – bár a meghatározás szempontjából kedvezőtlenebb, ha az új pont a háromszög valamely csúcsa mögött van (P2). Ha a háromszög valamely oldala mellett választjuk az új pontot (P3), akkor különös figyelemmel kell lenni arra, hogy a veszélyes kört elkerüljük, és az új pont annak közelébe se essen. A meghatározás szempontjából legkedvezőbb az a helyzet, ha az új pontról mért 3 irány 120-120 fokos szöget zár be egymással B és az irányok hossza is közel azonos. A hátrametszés számítása nem egyszerű feladat. Ezért a többféle megoldás alakult ki, melyek között nem lehet határozott különbséget tenni abból a szempontból, hogy A melyik az egyszerűbb. Különböző számítási segédeszközök esetén más-más megoldás a kedvezőbb. A hátrametszés története során igen sokféle megoldás alakult ki. Ezek C azonban csak néhány jelent alapelvében különbözőt. A következőkben ezek közül ismertetünk néhányat, melyek a mai 27.3 ábra A veszélyes kör területei számítási segédeszközök esetén is jól alkalmazhatók. A hátrametszés ellenőrzése legegyszerűbben úgy végezhető el, hogy a kiszámított új pont koordinátáinak ismeretében elvégezzük az iránymérés tájékozását. δ A − lA = zA δ B − lB = z B δ C − lC = zC Jó számítás esetén a három tájékozási szögnek meg kell egyezni, a számítási élességen belül. Ha az eltérés nagyobb akkor az számítási hibából adódik.

2.7.2. Hátrametszés megoldása egy segédkörrel (Collins-féle megoldás) Geometriai szempontból a Collins-féle megoldás az egyik legjobban áttekinthető. Ma zsebszámológépeken is jól számítható megoldás. A három adott pont közül válasszunk egy középső pontot, ezt jelöljük K-val. A másik két pontot A-val és B-vel jelöljük. A szögeket is ennek megfelelően értelmezzük lK − l A = α lB − lK = β l A − lB = γ a harmadik szöget csak ellenőrzés miatt számítjuk, mert a három szög összege 360º-kal egyenlő.

2003.03.10.14:55

15


A megoldás a 27.5 ábrán bemutatott szerkesztés alapján érthetjük meg. Rajzoljuk meg az A-B adott pontok és az új P pont által meghatározott kört. Az új pont és a K középső adott pont által meghatározott egyenes és a kör metszéspontja határozza meg a C segédpontot. Az A C B P pontok egy húrnégyszög pontjai. A CB húrhoz tartozó kerületi szög a mért β szög. Az A pontnál úgy helyezkedik el, hogy az egyik szára az ismert AB oldal másik szára az AC oldal lesz. Hasonlóan az AC húrhoz tartozó mért α szög a B pontnál a BA és a BC egyenesek közötti szög. Ezzel az ABC háromszögben ismerjük az AB oldalt és a rajta fekvő α és β szögeket, amiből a C pont koordinátája belsőszöges előmetszéssel számítható. Ha ismerjük a C pont koordinátáit, akkor a PKC egyenesnek meghatározhatjuk az irányszögét, mert a K pont eredetileg adott és a C pont koordinátáit az előzőekben számítottuk. A P ponton végzett iránymérés ezzel tájékozható, amivel a feladatot előmetszésre vezethetjük vissza. Az ACP háromszög C pontnál lévő α* szögét az ismert CA irány és a számítható CK irányszög különbségeként határozhatjuk meg. Ezután a CP távolság hosszát az α + α* szög képzésével szinusz tétellel számíthatjuk a BCP háromszögből. A CP iránya a CK irányával azonos a C pont szerkesztése miatt. Végezetül a C pontból polárisan számíthatjuk a meghatározandó P pont koordinátáit. A számítás elvi áttekintése után nézzük meg részletesen, milyen lépésekben C határozhatjuk meg a P pont koordinátáit. Számítsuk ki az A és B adott szélső pontok alapján az δ AB és t AB K irányszöget és távolságát. Ezt A zsebszámológépen XB − XA t → POL AB YB − YA δ AB B formában poláris átalakítással számíthatjuk. Számítsuk ki az APBC pontokon áthaladó Collins-féle segédkör P átmérőjét (a sugár kétszeresét) t AB 2R = 27.5 hátrametszés számítása egy segédkörrel sin( α + β ) szinusz tétel segítségével. Határozzuk meg az AC oldal irányát és távolságát δ AC = δ AB − β és t AC = 2 R sinα 4. A következő lépésben számíthatjuk a C segédpont koordinátáit. YC = y A + t A sin δ AC X C = X A + t AC cos δ AC A vetületeket természetesen rectangulár átalakítással célszerű számítani. A CK egyenes irányszögét, ami azonos a CP egyenes irányával is, irányszög számítás segítségével határozhatjuk meg, poláris átalakítással. X K − XC t → POL CK δ CK YK − YC A tCK távolságra közvetlenül nincs szükségünk, azonban ez a távolság jellemző a veszélyes körtől való távolságra. Az α* segédszöget α* = δ CA − δ CK

2003.03.10.14:55

16


irányszögek különbségével számíthatjuk. Határozzuk meg a CP távolság értékét. Ezt a tCP = 2 R sin( α + α*) kifejezéssel számíthatjuk. Végezetül polárispontként számíthatjuk a P koordinátáit YP = YC + tCP sin δ CK X P = X C + tCP cos δ CK Az előző fejezetben láttuk, hogy a hátrametszés esetén legkedvezőbb a helyzet, ha az új pont a három adott ponton belül van. Ebben az esetben a számítás az alakzatnak megfelelően változik. 27.6 ábra egy ilyen helyzetet mutat. Az előbbi megoldást követve, ebben az esetben részben más összefüggéseket kell felírni. A feladat azonban ebben az esetben is számítható az előző alakzatnak megfelelő összefüggésekkel is, de figyelnünk kell néhány változásra. Már a 2. lépésben a kétszeres sugár értékére negatív számot kapunk, és ezzel összhangban negatív lesz a 3. lépésben számított tCP távolság is. Az ugyanekkor számított irány, a vázlattal ellentétesen 180 fokkal eltérő lesz. E két változás együttesen mégis azt teszi lehetővé, hogy a C koordinátáját helyesen kapjuk meg a poláris számítás után, a 4. lépésben. Hasonló eset áll fenn az α* számításakor is, és ennek következtében a 7. lépésben számított tCP távolságot helyes eredménnyel kapjuk, mert mindkét tényező (a 2R és a sin(α+α*) is negatív. A felírt összefüggések tehát más alakzat esetén is jó megoldást adnak. Egyes gépeknél azonban figyelembe kell venni, hogy a poláris átalakítás negatív távolság esetén nem értelmezett. Ezt a hibát a poláris átalakítás képleteinek felírásával kerülhetjük el. A Collins-féle hátrametszés esetén, a veszélyes körön lévő új pont számításakor, a C Collinsféle segédpont és a K pont egybeesik. Ez azt jelenti, hogy határozatlanná válik a CK irányszög értéke, mert a CK koordináta különbsége 0-val egyenlő y és x irányban is. A veszélyes kör közelében a 27.5 ábra C és K pont távolsága kicsi és a P pontot a CK egyenes kihosszabbításában lehet meghatározni. Ez (hasonlóan a mérési vonalakhoz) ebben az esetben is bizonytalanságot okoz. Ha a háromszögön belül vagyunk, akkor a CK távolság hogy lesz (27.6 ábra) és a P pont a CK szakasz belső részére esik. A CK távolság a P pont veszélyes körtől való távolságával egyenesen (de nem lineárisan) arányos. A CK távolság, mind a veszélyes körtől való távolság, mind a meghatározás megbízhatóságának B értékelésekor figyelembe kell venni a mért C irányok hosszát is, tehát önmagában még * nem jellemző, csak az egész feladat alapján tekinthető, mint a meghatározás megbízhatóságát jellemző mérőszám. P A számítás ellenőrzését (és hasonlóan más megoldások ellenőrzését is) úgy végezhetjük legegyszerűbben, hogy új pont A K koordinátái alapján elvégezzük az álláspont tájékozását. Tehát irányszöget számítunk az új P pontról az A, K és B adott pontokra. 27.6 ábra Collins hátrametszés a három Az irányszögek és a mért irányértékek ponton belül különbségeként számított tájékozási szögeknek azonosaknak kell lenni. Eltérés csak a számítás kerekítési hibáiból adódnak. Tehát a megszokott számítási élességnek

2003.03.10.14:55

17


megfelelően legfeljebb 1” eltérések lehetnek. Ezzel ellenőrizzük az α és β szögek számítását és a feladat teljes megoldását is.

2.7.3. Hátrametszés közvetlen megoldása (Kupis József – Kruspér István megoldása) A hátrametszett új pont koordinátái és az adott pont koordinátái között, valamint a mért irányértékek között, a következő összefüggés írható fel. Y − YP tgLi + tgZ tg ( Li + Z ) = i = ahol: i = A; K; B. X i − X P 1 − tgLitgZ Yi X i az A; K és B pontok koordinátái YP X P az új pont meghatározandó koordinátái Li mért irányérték Z az új ponton mért iránysorozat tájékozási szöge Az egyenletet rendezzük át ( tgLi + tgZ )( X i − X P ) = ( 1 − tgLi ⋅ tgZ )( Yi − YP ) formára majd végezzük el a zárójelek felbontását, X i ⋅ tgLi + X i ⋅ tgZ − X P ⋅ tgLi − X P ⋅ tgZ =Y i−Yi ⋅ tgLi ⋅ tgZ − YP + YP ⋅ tgLi ⋅ tgZ majd vezessük be az eredeti yp xp és z ismeretlenek helyett az alábbi új ismeretleneket. U = YP − X P ⋅ tgZ V = −( X P + YP ⋅ tgZ ) W = tgZ ezek beírása után a fenti egyenlet U + V ⋅ tgLi + W ( X i + Yi ⋅ tgLi ) = Yi ⋅ X i ⋅ tgLi alakú lesz. Ebben az egyenletben az U, V és W mennyiségek ismeretlenek. Ilyen egyenletet hármat írhatunk fel (i=A; K; B). A három ismeretlenes egyenlet rendszer megoldásával meghatározzuk az U, V, és W értékét amiből számíthatjuk az YP, XP új pont koordinátáit és a tájékozási szög tangensét.

2.7.4. Hátrametszés megoldása két segédkörrel (Sossna-féle eljárás)

K

B

90 OB

A

OA

90

A'

B'

90

90

P

27.7 ábra Sossna-féle hátrametszés

2003.03.10.14:55

18

A megoldás során ebben az esetben is választunk egy középső pontot. A pontokat és a szögeket ugyanúgy jelöljük, mint azt a Collins-féle hátrametszésnél tettük. A megoldás menetét a 27.7 ábrán szemléltetjük. Rajzoljuk meg az A K és P pontokon, valamint a K; B és P pontokon átmenő kört. Ezután szerkesszük meg az A1 segédpontot úgy, hogy az AK egyenesre merőlegest állítunk az A pontban. Ez a merőleges egyenes az a segédkörből kimetszi az A1 segédpontot. Hasonlóan megszerkeszthetjük a B1 segédpontot is, úgy, hogy a KB


egyenesre merőlegest állítunk a B pontban. Ez a b körből a B1 segédpontot metszi ki. Az A1 A K háromszög A pontban lévő szöge 90 fok, ezért az a kör átmérője, az A1 K szakasz. Ennek következtében az A1 K P háromszög is derékszögű. A P pontnál lévő szög 90 fok. Ugyanígy belátható, hogy K B B1 háromszög szintén derékszögű és a b kör átmérője a K B1 szakasz. Hasonlóan derékszög a K B1 P háromszög P pontnál lévő szöge is. Mivel a P pontnál az A1 P K szög és a K P B1 szög is derékszög, ezért az A1 P és B1 pontok egy egyenesre esnek. De következik az is, hogy az A1 P B1 egyenes merőleges a KP egyenesre is. Ezek ismeretében a P pont az A1 és K pontból előmetszhető. Az A1 pont koordinátáit az A K A1 háromszögből számíthatjuk, mert ennek A1 pontnál lévő szöge a mért α szöggel egyenlő. YA1 = YA − ( X A − X K )ctgα és X A1 = X A + ( YA − YK )ctgα hasonlóan számítható. YB1 = YB + ( X B − X K )ctgβ és X B1 = X B − ( YB − YK )ctgβ képletekből látható, hogy az A1 K pont y és x koordináta különbsége. A képleteket összehasonlítva az előző megoldás segédmennyiségeivel, láthatjuk a hasonlóságot. Az A1 és B1 segédpontok koordinátáinak ismeretében A1-B1 irányszöggel és a K pontból A1B1-re merőleges irányszöggel előmetszhető a P pont. Ha az új pont a veszélyes körre esik, akkor a két segédpont azonos lesz. Ennek következtében az A1-B1 irányszög számítása 0/0 műveletre vezet, ami értelmetlen. Ez a megoldás elsősorban mechanikus számológépek esetén volt jól alkalmazható. Ma kevésbé használatos.

2.7.5. Hátrametszés megoldása a koordináták súlyozott középértékének számításával (Ansermet-féle megoldás).

B B A

A C 27.8. ábra. Ansermet-féle megoldás

P Y +P Y +P Y YP = A A B B C C PA + PB + PC képletekkel történik.

2003.03.10.14:55

C

A számításhoz az adott pontokat A B C nagy betűkkel jelöljük. A pontok mindegyike azonos módon szerepel a meghatározás során. A mért irányok közötti szögeket, úgy jelöljük, hogy az α szög az amelyiknél nem szerepel az A pontra mért irány, a β és γ szögeket is ugyanígy képezzük. α = lC − lB β = l A − lC γ = lB − l A Természetesen a szögek összege 360˚. A későbbiek miatt még jelöljük az adott pontok háromszögének belső szögeit rendre A B C nagy betűkkel, ezek összege 180˚ (27.8 ábra). Hátrametszésnél az új pont koordinátáit az adott pontok súlyozott középértékeként is számítjuk. Ez az P X + PB X B + PC X C és XP = A A PA + PB + PC

19


A súlyokat a 27.9 ábra jelöléseinek megfelelően 1 PA = ctgA − ctgα A 1 A PB = TB mA ctgB − ctgβ B 1 C PC = A ctgC − ctgγ mB TA összefüggésekkel kell számolni. B A képletek helyességét következőképpen láthatjuk be. A súlyok legyenek a háromszögek területei. A súlyok összege ebben az esetben az B adott pontok által meghatározott háromszög területe. 27.9. ábra. Súlyok és területek aránya A PA PB és PC súlyok pedig rendre a BCP; CAP és az ABP háromszögek területei, figyelve, hogy minden háromszöget az ábra szerint pozitív irányba járjunk körbe. A háromszögek területét determináns formában felírva, a következőt írhatjuk az YP képlete alapján. X A YA 1 X B YB 1 X C YC 1 X A YA 1 YP ⋅ X B YB 1 = YA ⋅ X C YC 1 + YB ⋅ X A YA 1 + YC ⋅ X B YB 1 X C YC 1 X P YP 1 X P YP 1 X P YP 1 ennek baloldalát és jobboldalát átírva, a következő két negyedrendű determinánst kapjuk. Az átírásnál az előző képlet bal oldalából származik. A determinánshoz egy sort és egy oszlopot írtunk, úgy, hogy értéke ne változzon. A determinánst az első oszlop szerint kifejtve azonnal látjuk, hogy értéke azonos az előző képlet bal oldalával. (A 4. sor 1. oszlopába a negatív előjel a sakktábla szabály miatt került.) A 4. sor többi elemét tetszőlegesen beírhatnánk, az későbbi egyezés miatt került be a P pont sora. A jobb oldat az előző egyenlet jobb oldalából kapjuk. Az alábbi egyenlet jobb oldalát az első oszlop szerint kifejtve az előző egyenlet jobb oldalát kapjuk. (figyeljünk a pontok sorrendjére és a sakktábla szabályra) 0 X A YA 1 YA X A YA 1 0 X B YB 1 YB X B YB 1 = 0 X C YC 1 YC X C YC 1 − YP X P YP 1 0 X P YP 1 A két determináns értéke pedig egyenlő, mert a baloldali determináns 1. és 3. oszlopát összeadva a jobboldali determinánst kapjuk. Ezzel a súlyozott középként történő számítás helyességét beláthatjuk. A súlyozott középérték számításához azonban elegendő a súlyok arányos ismerete is. Esetünkben elegendő a területekkel arányos számértékek ismerete. A 27.9 ábra alapján a területekkel arányos súlyok más módon is felírhatók. Rajzoljuk meg a három adott ponton átmenő kört, a veszélyes kört. A CP egyenest hosszabbítsuk ki a veszélyes körig. Ez adja a C’ pontot. A TA terület a BCP háromszög területe, a TB terület a CAP háromszög területe. A két terület meghatározásához válasszuk a közös alapot és a háromszögekhez tartozó különböző magasságokat. A magasságok számításához vegyük a PC΄ alapú háromszögekből számítható magasságokat. Ez azonos a CP háromszögek magasságával. A magasságok a helyi rendszerben végzett előmetszésnél felírtnak megfelelően a háromszög magassága

2003.03.10.14:55

20


tC' P tC' P = ctgA + ctgα' ctgA − ctgα formában írható fel, mert az α’ és β’ szögek kotangense az α és β kotangensével egyezik, ellenkező előjellel, és ebből következik, hogy 1 TA m A ctgA − ctgα PA = = = 1 TB mB PB ctgB − ctgβ hányadossal egyenlő. Területek hányadosa a megadott súlyképletek hányadosával egyezik. Ez alapján belátható, hogy a T A : TB : TC = PA : PB : PC területek aránya azonos a korábban megadott súlyok arányával. Ezzel bizonyítottuk az először felírt képletek helyességét. A súlyok értéke pozitív, ha az új pont a háromszögön belül van. Ha az új pont a háromszögön kívül van, akkor az egyes súlyok negatívvá válnak. Ez azonban nem jelent számítási problémát. Számítás megoldásánál előny, hogy nincs kiválasztott középső pont. Mindkét koordináta ugyanazzal a képlettel és ugyanezzel a súlyokkal számítható. Hátrányt jelent azonban, hogy számítani kell a három adott pont által meghatározott háromszög A B és C belső szögeit. Azonban, ha ugyanabból a három pontból több új pontot kell hátrametszeni, ez nem jelent lényeges hátrányt. Az Ansermet hátrametszés jól alkalmazható a jelenlegi számítógépek esetén is. Ha az új pont a veszélyes körre esik, akkor természetesen ez a megoldás sem ad eredményt. A súlyok értéke a veszélyes kör közelében egyre nő és a veszélyes körön végtelenné válik. A veszélyes körön az A=α B=β és C=γ Egyenlőségek állnak fenn, így a súlyok számításánál 0-val való osztás történik. mPC = mPC' =

2.7.6. Hátrametszés reciprok távolságok segítségével (Gauss megoldása)

y eg

yi gn sé

ág ols v á t

_1 b

C a

1_ a

B A' b

A hátrametszésnek van egy nagyon ötletes megoldása, ez a reciprok távolságok segítségével oldható meg. A megoldáshoz először nézzük a szinusz tétel átalakítását (27.11 ábra). Az ABC háromszögre írjuk fel a szinusz tételt és osszuk el mindkét oldal számlálóját ab értékkel, ebből a következőt kapjuk a b = sinα sin β

B'

1 1 b = a sinα sin β Ezt a második összefüggést rajzoljuk be az ábrába. Vegyük az a=CB távolság reciprokát

A

27.11 ábra Reciprok távolságok

2003.03.10.14:55

21


eg

és rakjuk fel a C pontból kiindulva a B pont felé, hasonlóan a b=CA távolság reciprokát is rakjuk fel a C pontból kiindulva az A pont felé 1 1 = CB' = CA' a b Az A’ és B’ pontokat összekötve megkapjuk az eredeti háromszög reciprok háromszögét. Ebben az α és a β szög is az A’B’ oldalon fekszik, de mindkettő átkerül a másik oldal mellé. A hátrametszés szempontjából azonban ennek van nagy jelentősége. A hátrametszés legnagyobb problémája, hogy a mért szögek ismeretlen irányok mellett fekszenek. Ezeket az előzőek alapján a reciprok távolságok segítségével át tudjuk helyezni ismert oldal mellé. Nézzük a hátrametszés ábráját (27.12 ábra). Ahogy, már többször megtettük most is válasszunk egy középső pontot, a K pontot. K A két szélső pontot most is A-val és B-vel jelöljük. Az új pontoknál mért szögeknek A most is α és β görög betűk jelölik. A' Az AKP háromszögben alkalmazzuk az előzőekben bemutatott reciprok B' P' B háromszöget. Az K pont a C pontnak felel meg, az A pont most is A pont. A B pont szerepét most a P pont veszi át. Ennek az P AKP háromszögnek a reciprok háromszöge az A’KP’ háromszög. És ezzel az α szög az veszélyes kör ismert KA oldal mellé került. A jobboldali PKB háromszög reciprok háromszöge a 27.12 ábra hátrametszés reciprok P’KB’ háromszög. A P ponton mért β szög távolságokkal a reciprok háromszögben az ismert oldal mellé kerül át, a PB oldal mellé az oldal B’ pontjába. Az A’ pontból és a B’ pontból a P’ pont előmetszhető, és ebből a meghatározandó P pont már számítható reciprok távolsággal és az ismert KP’ iránnyal. A távolság reciprokát úgy képezzük, hogy felveszünk egy átlagos távolságot az egész példa számára egységnek. Ezt a távolságot osztjuk a kérdéses távolsággal, ezt már felhasználhatjuk a számítások során, de ezt írjuk ki 6-7 tizedesjegyre. Vagy ezt még szorozzuk meg az átlagos távolsággal. Ez már olyan nagyságrendű lesz, mint a többi távolság, így ezt is olyan élesen írjuk ki, mint a többi távolságot. A számításnál először irányszöget és távolságot számolunk a KA és a KB oldalakra. Képezzük a távolságok reciprokát. Poláris pontként kiszámítjuk az A’ és B’ pontokat a K pontból. Ezután számíthatjuk a két reciprok háromszögekben az A’P’ és a B’P’ irányokat. Előmetsszük a P’ pontot az A’ és a B’ pontokból, az előbb kiszámított irányokkal. A P’ pontra irányszöget és távolságot számítunk a K pontból, vesszük a távolság reciprokát és a K pontból a reciprok távolsággal és a KP’ irányszöggel poláris pontként kiszámítjuk a P pontot. A veszélyes körön ez a számítás sem ad megoldást. Ha az új pont a veszélyes körön van, akkor a P’ pontot előmetsző két irány egybeesik, és így az A’B’ szakasz minden pontja metszéspont, így a veszélyes kör minden pontja megfelel a eredeti adatoknak. A veszélyes körtől való távolságot a két előmetsző irány metszési szöge jelzi, jó elrendezés esetén a metszési szög 90˚ körüli. A Gauss hátrametszésre adott megoldása viszonylag ritkán kerül alkalmazásra, azonban egy nagyon szemléletes geometriai tételt használ ki. Egy kör egy pontjából a körív pontjai és egy húr pontjainak távolságai egymás reciprokai. ég ys

kö

r

2003.03.10.14:55

22


OC

B

A old

P OB

alf e

lező

me rőle

ges

a szög hibája az alappont hibája a szög hibája

-90 OA

C

ög köre a kerületi sz

27.13. ábra. A hátrametszés pontossága

2.8. Ívmetszés Az ívmetszés távolságmérésen alapuló pontkapcsolás. Egy pont tisztán távolságméréssel P történő meghatározásához – az új pontról – két adott tükr pontra kell távolságot ismerni. özé si te nge A számítás szempontjából mindegy, hogy a ly + távolságot az új pontról mértük az adott pontok felé, B vagy az adott pontokról mértünk az új pontra (28.1 _ A ábra). A két mért távolság nem ad matematikailag egyértelmű meghatározást az új pontra. Az új pont a P' kért távolságokból az A és B pontokra szimmetrikusan is megszerkeszthető, 28.1 ábra ívmetszés meghatározható (28.1. ábra). A pont matematikailag egyértelmű meghatározásához még egy további adat szükséges. Ez azt fejezi ki, hogy az új

2003.03.10.14:55

23


pont az AB egyenes melyik oldalára esik. Ezt a számítás szempontjánál a háromszög körbejárásának megadásával kötjük meg. Azt a P pontot számítjuk, amelyik az A B P sorrendben a körbejárás az óramutató járásának megfelelő, azaz pozitív. A számítás végrehajtását a 28.2 ábrának megfelelően végezhetjük el.

A

AB

t AB = c AP

tAP

=b

B t BP = a

P

A számítás szempontjából olyan háromszöget kell megoldani, melyben mindhárom oldalt ismerjük. A két adott pont közötti oldalt is ismert oldalnak kell tekinteni. A három oldal alapján meghatározzuk a háromszög egyik AB oldal mellett fekvő belső szögét, és ezután számíthatjuk a P pontra menő irányszöget, majd a P pont koordinátáját polárisan határozhatjuk meg. A számítás lépései: Először számítjuk a két adott pont közötti irányszöget és távolságot, poláris átalakítással. A háromszög A pontnál lévő belső szögét koszinusz tétellel számíthatjuk.

2 2 2 b 2 + c 2 − a 2 t AP + t AB − t BP cos α = = 2bc 2t AP ⋅ t AB A belső szög számítható más módon is, a félszögekre vonatkozó képletek segítségével. (s − b )(s − c ) α (s − b )(s − c ) α α s (s − a ) sin = cos = tg = 2 bc 2 bc 2 s (s − a ) 1 ahol s = ( a + b + c ) 2 A számítás szempontjából kedvezőbbek a félszögekre felírt összefüggések, mert a koszinusz tétel számlálójában a távolság négyzetek különbsége szerepel, ami esetén jegyveszteség léphet fel. Ez azonban a mai zsebszámológépek esetén nem jelent kimutatható hátrányt. Ezért a gyakorlati feladatok esetében megfelelő a koszinusz tétel alkalmazása. Előnye ennek, hogy a koszinusz tételt jól ismerjük, míg a félszögekre vonatkozó összefüggések B ritkábban használatosak. Az AP oldal irányszögét a δ AP = δ AB + α képlettel A számíthatjuk. Ezután meghatározhatjuk az A és P pontok közötti oldal vetületeit ∆y = t AP sin δ AP ∆x = t AP cosδ AP amit természetesen zsebszámológépeken rectangulár átalakítással végzünk. Az új pont koordinátáit az A pont és a területek mB összegezésével kapjuk meg. mA mB YP = YA + ∆y P mA X P = X A + ∆x 28.3 ábra az ívmetszés pontossága A számítás ellenőrzésére számítsuk ki az új pont és az A, valamint az új pont és a B adott pont távolságait. E két távolságnak meg kell egyezni a

28.2 ábra ívmetszés számítása

2003.03.10.14:55

24


mért távolság értékekkel, a számítás élességén belül. Ennél nagyobb eltérés esetén a számítási hibát meg kell keresni. A mérési hibák értékére természetesen csak további, fölös mérések végzésével kapunk utalást. Legegyszerűbb, ha az új pontról további távolságokat is mérünk. A meghatározás szempontjából legkedvezőbb, ha a két távolság egymásra merőleges. Ezt a ábra alapján láthatjuk be, amelyen felrajzoltuk a t A és t B új pontra mért távolságokat és a hozzájuk tartozó köríveket. Bejelöltük a távolságokhoz tartozó m A és mB hibákat is a távolságok koncentrikus köríveként. A legkedvezőbb x hibanégyszög akkor alakul ki, ha a két távolság merőleges egymásra.

2.9. Egy pont meghatározása az újponton mért egy távolság és egy szög alapján, külsőpont meghatározása A mai műszerekkel a távolságmérés ugyanolyan könnyen elvégezhető, mint az iránymérés. Ezért gyakran úgy határozunk meg új pontot, hogy csak az új ponton A végzünk mérést. Az eddig bemutatott pontkapcsolási feladatok közül a B tA hátrametszés és az ívmetszés olyan, hogy csak az új ponton végzünk mérést. Van, tA P' azonban még egy megoldás, amikor csak az állásponton mérünk. Korábban már kerületi szög köre megismertük a külpontos mérést, amit P korábban legfeljebb csak néhány távolság távolság köre méréssel használtunk. A korszerű távmérők lehetővé teszik, hogy több száz méteres 29.1 ábra külsőpont meghatározása külpontosságot létesítsünk. Ez azonban, már nem tekinthető külpontosságnak, hanem, önálló pontmeghatározásnak felfogni. Az új pontot csak az állásponton végzett mérésből határozzuk meg, az egyik adott pontra irányt és távolságot mérünk, a másik adott pontra a távolság köre csak irányt mérünk. A feladat A vázlatát a 29.1 ábrán mutatjuk be. éri t AP ntő A feladat egy olyan háromszög megoldását jelenti, amelyben B ismert két oldal (a mért távolság és a két adott pontot összekötő szög köre ő t P n i oldal) és egy szög (az új ponton ér mért szög). Geometriából ismerjük, hogy ebben az esetben csak akkor 29.2. ábra. Külsőpont számítása van egyértelmű megoldás, ha az

2003.03.10.14:55

25


ismert szög a nagyobbik oldallal szemben fekszik. Más esetben két megoldása van a feladatnak, ami egyes esetekben nehezen szétválasztható. Ezt a következő képletekkel oldjuk meg. Először számítjuk az A és B adott pontok koordinátáiból a δ AB és t AB irányszöget és távolságot, majd a t sin β = AP sin γ t AB összefüggéssel meghatározhatjuk a β szöget. A β szög visszakeresésekor két értéket kapunk az egyik kisebb, mint 90˚, a másik nagyobb. Ha t AP kisebb, mint t AB távolság, akkor biztos, hogy a β szög kisebb, mint 90˚, így egyértelműen meghatározható. A háromszög harmadik szögét α = 180 − (β + γ ) a belső szögek összegéből számíthatjuk. Az A pontról az új pontra a tájékozott irányértéket a δ AP = δ AB + α képlettel számíthatjuk. És ezután a P pont polárisan számítható az A pontból.

é rin tő

A t AP

é rin tő

B O

P

29.3. ábra. Külsőpont pontossága

2003.03.10.14:55

26

Geodéziai számítások

Recommend Documents