GELOMBANG PADA PLAT TIPIS
(Sumarna Fisika FMIPA UNY)
Sebuah plat dapat disamakan dengan batang dua dimensi atau membran dengan stiffness (kekakuan). Seperti suatu batang, plat dapat mentransmisikan gelombang kompresi, gelombang geser (shear), gelombang torsi, atau gelombang tekuk (banding). Plat dapat memiliki tiga syarat batas yang berbeda, yakni bebas (free), clamped, atau simply supported (hinged). Sebuah plat dapat disangka mentransmisikan gelombang longitudinal (kompresional) dengan kecepatan yang sama seperti pada batang cL = √(E/ρ). Hal ini bukan kasus sesungguhnya karena kompresi longitudinal harus menyertai ekspansi menyamping (lateral) yang kecil, sehingga menambah stiffness meskipun kecil. Pernyataan yang benar untuk kecepatan gelombang longitudinal pada plat tak hingga adalah cL =
E (1 2 )
di mana adalah rasio Poisson ( ≈ 0,3 untuk kebanyakan bahan). Secara aktual, gelombang longitudinal murni terjadi hanya pada benda padat yang memiliki dimensi pada semua arah lebih besar dari pada panjang gelombang. Gelombang ini menjalar dengan laju c’L yang sedikit lebih kecil dari pada gelombang longitudinal quasi yang merambat di dalam batang atau plat. c’L =
E (1 ) . (1 )(1 2 )
Gelombang transversal di dalam zat padat menyangkut sebagian besar deformasi geser, walaupun baik stress geser maupun stress normal dapat dicakup. Zat padat tidak hanya terhambat perubahan volume, tetapi juga terhambat perubahan bentuk. Gelombang transversal bidang terjadi pada benda yang besar dibandingkan panjang gelombang pada ketiga dimensinya, tetapi juga pada plat datar dengan ketebalan homogen. Gelombang transversal menjalar pada laju yang sama dengan gelombang torsi pada batang melingkar (circular rod) cT = √(G/ρ). Modulus geser G dipertimbangkan lebih kecil dari pada modulus Young E, sehingga gelombang transversal dan gelombang torsi merambat dengan laju 60% (secara kasar) terhadap gelombang longitudinal. Radiasi suara pada kasus tersebut agak tidak signifikan dibandingkan terhadap kasus gelombang tekuk. Persamaan gerak untuk gelombang tekuk atau flexural pada plat adalah
2z Eh 2 4 z = 0, + t 2 12 (1 2 ) di mana adalah densitas, adalah rasio Poisson, E adalah modulus Young, dan h adalah ketebalan plat. Untuk solusi harmonik z = Z (x,y) e jt :
4Z
12 (1 2 ) 2 Z = 4 Z - k4Z = 0, 2 Eh
di mana k2 =
12
(1 2 )
h
E
=
12 cL h
.
Gelombang tekuk pada plat adalah dispersif, yakni kecepatannya v tergantung pada frekuensi f, hc L v(f) = ω/k = = 1,8 fhc L . 12 Frekuensi gelombang tekuk sebanding dengan k2 : f = ω/2π = 0,0459 hcLk2. Nilai k yang bersesuaian dengan mode normal vibrasi tentu saja bergantung kepada syarat batas.
Plat Lingkaran Untuk plat lingkaran, 2 dinyatakan dalam koordinat polar, dan Z(r,ϕ) yang dapat merupakan solusi dari ( 2 + k2)Z = 0 atau ( 2 - k2)Z = 0. Solusi dari persamaan pertama memuat fungsi Bessel ordiner Jm(kr), dan solusi yang ke dua adalah fungsi Bessel hiperbolik Im(kr) = j-mJm(jkr). Sehingga solusi yang mungkin diberikan oleh kombinasi linier dari fungsi Bessel kali fungsi anguler : Z(r,ϕ) = cos(mϕ + α)[A Jm(kr) + B Im(kr)]. Jika plat di-clamp pada sisinya r = a, maka Z = 0 dan Z/ r = 0. Pertama, kondisi ini dipenuhi jika A Jm(ka) + B Im(ka) = 0 dan ke dua jika A J ‘m(ka) + B I ‘m(ka) = 0. Nilai-nilai k yang diijinkan diberi label kmn, di mana m menyatakan jumlah diameter nodal dan n adalah jumlah lingkaran nodal pada mode normal yang bersesuaian : k01 = 3,189/a, k02 = 6,306/a, k03 = 9,425/a,
k11 = 4,612/a, k12 = 7,801/a, k13 = 10,965/a,
k21 = 5,904/a, k22 = 9,400/a, k23 = 12,566/a,
[ kmn → (2n + m)π/2a ketika n → ∞ ] Frekuensi-frekuensi mode yang bersesuaian diberikan pada Tabel 3.1.
Tabel 3.1. Frekuensi-frekuensi vibrasi plat lingkaran dengan sisi di-clamp f01 = 0,4694cLh/a2 f02 = 3,89 f01 f03 = 8,72 f01
f11 = 2,08 f01 f12 = 5,95 f01 f13 = 11,75 f01
f21 = 3,41 f01 f22 = 8,28 f01 f23 = 15,06 f01
f31 = 5,00 f01 f32 = 10,87 f01 f33 = 18,63 f01
f41 = 6,82 f01 f42 = 13,71 f01 f43 = 22,47 f01
Plat lingkaraqn dengan sisi bebas lebih sulit ditangani secara matematis. Suatu syarat batas digunakan oleh Kirchoff menimbulkan pernyataan yang agak rumit untuk kmn, yang mana mereduksi untuk (2n + m)π/2r untuk ka besar. Mode (2,0) sekarang menjadi mode fundamental; frekuensi-frekuensi modalnya diberikan pada Tabel 3.2. Frekuensi-frekuensi mode untuk plat dengan sisi simply supported (hinged) diberikan pada Tabel 3.3. Tabel 3.2. Frekuensi-frekuensi vibrasi plat lingkaran dengan sisi bebas. f20 = 0,2413cLh/a2 f30 = 2,328f20 f40 = 4,11f20 f50 = 6,30f20 f01 = 1,73f20 f11 = 3,91f20 f21 = 6,71f20 f31 = 10,07f20 f41 = 13,92f20 f51 = 18,24f20 f02 = 7,34f20 f12 = 11,40f20 f22 = 15,97f20 f32 = 21,19f20 f42 = 27,18f20 f52 = 33,31f20 Tabel 3.3. Frekuensi-frekuensi vibrasi plat lingkaran dengan sisi simply supported. f01 = 0,2287cLh/a2 f02 = 5,98 f01 f03 = 14,91 f01
f11 = 2,80 f01 f12 = 9,75 f01 f13 = 20,66 f01
f21 = 5,15 f01 f22 = 14,09 f01 f23 = 26,99 f01
Frekuensi-frekuensi pada tabel 3.1 s/d 3.3 diturunkan sebagian besar dari perhitungan yang diberikan oleh Leissa (1969). Beberapa mode plat lingkaran ditunjukkan pada Gambar 3.8. Chladni (1802) menyelidiki bahwa penambahan satu lingkaran nodal meninggikan frekuensi plat lingkaran dengan jumlah yang hampir sama dengan penambahan dua diameter nodal. Untuk nilai ka yang besar, ka ≈ (m + 2n)π/2, maka f sebanding dengan (m + 2n)2. Frekuensi-frekuensi modal pada berbagai plat lingkaran dapat di-fit-kan dengan keluarga kurva fmn = c(m + 2n)p. Pada plat datar p = 2, tetapi plat yang tidak datar (cymbals, bells), p pada umumnya kurang dari 2 (Rossing,1982c).
(2,0)
(0,1)
(3,0)
(1,1)
(4,0)
(5,0)
(2,1)
(0,2)
(a)
(0,1)
(1,1)
(2,1)
(0,2)
(3,1)
(1,2)
(4,1)
(2,2)
(b)
Gambar 3.8. Mode-mode vibrasi plat lingkaran : (a) sisi bebas dan (b) sisi di-clamp atau simply supported. Bilangan mode (m,n) masing-masing menyatakan jumlah diameter nodal dan lingkaran nodal.
Plat Persegi-panjang Setiap sisi plat persegi-panjang hanya dapat berada pada tiga syarat batas (bebas, diclamp, atau simply supported), ada 27 kombinasi syarat batas yang berbeda, dan masing-masing menimbulkan sekumpulan mode vibrasi yang berbeda. Sisi simply supported Persamaan gerakannya mudah dikerjakan dengan menuliskan solusinya sebagai hasil kali dari ketiga fungsi dari variabel tunggal seperti pada membran persegi-panjang (Seksi 3.1). amplitudo simpangannya diberikan oleh : Z = A sin
(n 1)y (m 1)x sin Ly Lx
(3.17)
di mana Lx dan Ly merupakan dimensi plat, m dan n bilangan bulat (dimulai dengan 0). Frekuensi-frekuensi yang bersesuaian adalah :
m 1 2 n 1 2 . fmn = 0,453 cLh Lx L y
Simpangannya sama dengan membran persegi-panjang, tetapi frekuensi-frekuensi modalnya tidal. Catatan bahwa garis-garis nodalnya adalah paralel dengan sisinya; hal ini tidak sama dengan kasus plat dengan sisi bebas atau di-clamp. Sangat tepat untuk mendeskripsikan sebuah mode pada plat persegi-panjangdengan (m,n), di mana m dan n berturut-turut adalah jumlah garis-garis nodal pada arah y dan x (tidak menghitung node-node pada sisi). Untuk mengerjakan itu, digunakan m+ 1 dan n + 1 pada persamaan (3.17) dari pada m dan n, seperti pada sebuah membran persegi-panjang. Sehingga, mode fundamentalnya ditandai dengan (0,0) dari pada (1,1). Sisi Bebas Penghitungan mode-mode plat persegi-panjang dengan sisi bebas telah dideskripsikan oleh Rayleigh sebagai sebuah persoalan dengan kesulitan besar. Tetapi metode Rayleigh sendiri menuju solusi pendekatan yang dekat dengan nilai pengukuran, dan perbaikan oleh Ritz membawanya ke yang lebih dekat. Hasil dari banyak penemuan yang berikutnya diringkas oleh Leissa (1969). Pembatasan bentuk persegi-panjang adalah plat persegi (bujur-sangkar) dan batang tipis. Mode-mode batang tipis dengan ujung-ujung bebas mempunyai frekuensi (dari persamaan 2.63) ; fn =
0,113h L2
E
[3,01122; 55; ...; (2n+1)2].
Mode ke n mempunyai garis-garis nodal tegak lurus dengan sumbu batang. Ketika sebuah batang dengan lebar yang cukup besar, pembengkokan sepanjang satu sumbu menyebabkan pembengkokan pada satu arah yang tegak lurus. Hal ini terjadi karena bagian atas batang di atas sumbu netralnya menjadi lebih panjang (sehingga menyempit), sedangkan bagian bawahnya menjadi lebih pendek (sehingga melebar). Telah diketahui bagaimana konstanta Poisson υ merupakan ukuran konstraksi lateral yang menyertai ekspansi longitudinal pada plat dan bagaimana faktor 1 – υ2 muncul pada ekspresi untuk kecepatan gelombang longitudinal dan kecepatan gelombang tekuk (bending wave). Beberapa bending modes pada plat persegi-panjang dapat diturunkan dari bending modes sebuah batang. Mode-mode (m,0) dapat diharapkan memiliki garis-garis nodal paralel dengan sepasang sisi, dan mode-mode (0,n), akan memiliki node-node paralel dengan sepasang sisi yang lain. Karena kopling antara gerakan tekuk pada dua arah, maka mode-modenya tidak semurni mode-mode batang. Garis-garis nodal menjadi terkurva, dan plat mengambil bentuk seperti saddle dalam waktu singkat (cekung pada satu arah dan cembung pada arah yang tegak lurus). Ini dapat disebut tekuk antiklastik (anticlastic bending), dan itu cukup bukti pada mode-mode dua plat persegi-panjang yang berbeda seperti ditunjukkan pada Gambar 3.9.
0
1
2
3
4
3
4
0
1
2 (a) 0
1
2
0
1
2
3 (b) Gambar 3.9. Pola-pola Chladni yang menunjukkan mode-mode vibrasi plat persegi-panjang dari bentuk-bentuk yang berbeda : (a) Lx/Ly = 2; (b) Lx/Ly = 3/2
Sangat menarik untuk memperhatikan bagaimana kombinasi berkembang pada suatu persegi-panjang ketika Lx/Ly mendekati satu (unity). Gambar 3.10 menunjukkan bentuk-bentuk dua mode yang merupakan turunan (anak) dari mode balok (2,0) dan (0,2) pada persegi-panjang dari perubahan Lx/Ly. Ketika Lx >> Ly, mode (2,0) dan (0,2) muncul cukup bebas. Tetapi ketika Lx → Ly, mode-mode balok bercampur bersama untuk membentuk dua mode baru. Pada persegi, pencampuran itu lengkap, dua kombinasi adalah mungkin tergantung pada apakah mode-mode komponennya sefase atau berkebalikan fase (out of phase). Frekuensi-frekuensi untuk mode-mode yang memiliki dasar seperti mode-mode balok (2,0) dan (0,2) ditunjukkan pada Gambar 3.11. Frekuensi-frekuensi tersebut telah dinormalisasi terhadap Lx, dan normalisasi frekuensi dari mode (2,0) memperlihatkan relatif bebas terhadap Ly. Kurva garis putus-putus diperoleh dari rumus pendekatan menggunakan metode Rayleigh, sedangkan kurva garis penuh adalah perhitungan secara numerik yang lebih eksak (Warburton, 1954).
(2,0) – (0,2) (2,0)
Lx/Ly = 4
2
3/2
12/11
21/20
1 (2,0) + (0,2)
(0,2)
Gambar 3.10. campuran dari mode (2,0) dan (0,2) pada plat persegi-panjang dengan perbandingan Lx/Ly berbeda.
3,0
(2,0) + (0,2)
(2,0)
2,5 Bf 2,0 1,5
(2,0) - (0,2) (0,2)
1,0 0,5 0 0,5
0,6
0,7 0,8 Lx/Ly
0,9
1,0
Gambar 3.11. Frekuensi-frekuensi ternormalisasi untuk mode-mode (2,0) dan (0,2) (dan mode-mode berdasarkan kombinasinya), pada plat persegi-panjang dengan sisi bebas dan variasi rasio Lx/Ly (Warburton, 1954). B = 2.21(L2x/h)√{ρ(1-υ2)/E}.
Sisi di-clamp Frekuensi-frekuensi relatif plat persegi-panjang dengan sisi di-clamp (dari Leissa, 1969) diberikan pada Tabel 3.4. Frekuensi-frekuensi aktual tersebut dapat diperoleh dengan mengalikan frekuensi relatif dengan 1,654cLh/L2y.
Tabel 3.4. Frekuensi-frekuensi vibrasi relatif plat persegi-panjang sisi di-clamp. Lx/Ly = 1
1,5
2
2,5
3
∞
(0,0)
1,00
0,75
0,68
0,66
0,64
0,62
(0,1)
2,04
1,88
1,82
1,79
1,78
1,72
(1,0)
2,04
1,16
0,88
-
-
-
(1,1)
3,01
2,27
2,02
1,91
1,86
1,72
Mode
Mode
