JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 2, No. 1, (2013) ISSN: 2337-3539 (2301-9271 Print)
1
Fuzzy Node Combination untuk Menyelesaikan Masalah Pencarian Rute Terpendek. Studi Kasus: Antar Kota di Pulau Jawa Samodro Bagus Prasetyanto, Bilqis Amaliah, dan Chastine Fatichah Jurusan Teknik Informatika, Fakultas Teknologi Informasi, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia e-mail:
[email protected] Abstrak—Pada umumnya algoritma untuk menyelesaikan masalah pencarian rute terpendek adalah algoritma Dijkstra. Namun, algoritma Dijkstra tidak dapat menyelesaikan masalah pencarian rute terpendek pada lingkungan yang tidak pasti. Lingkungan yang tidak pasti dalam pencarian rute terpendek adalah jika bobot di tiap edge tersebut terdiri dari tiga bobot atau empat bobot yang mempresentasikan jalur lain. Dalam artikel ini, metode node combination yang mengimplementasi algoritma Dijkstra diusulkan untuk dapat menyelesaikan masalah pencarian rute terpendek. Pertama, untuk menentukan bagaimana penambahan dari dua jalur yang terhubung. Lainnya, untuk menentukan bagaimana membandingkan jarak dari dua rute yang direpresentasikan oleh bilangan fuzzy. Untuk menyelesaikan permalasahan tersebut, diperlukan penggabungan teori himpunan fuzzy dan metode node combination. Studi kasus antar kota di pulau Jawa akan mengilustrasikan efisiensi dan ketepatan metode yang diusulkan. Perbandingan antara metode ini dengan algoritma fuzzy Dijkstra juga akan diilustrasikan. Kata Kunci—Dijkstra, Fuzzy, Node Combination, Pulau Jawa
I. PENDAHULUAN
S
HORTEST Path Problem (SPP) adalah masalah pencarian rute terpendek. Pada umumnya SPP berbentuk graph yang berisi node, edge dan matriks bobot. Semisal terdapat dua node yaitu vs dan vt pada graph, masalah pencarian rute terpendek dapat didefinisikan sebagai cara untuk menemukan rute dengan minimum jumlah bobot pada edge dari vs menuju vt . Biasanya, vs disebut node sumber dan vt disebut node tujuan [1]. Dalam teori graph klasik, jumlah bobot pada edge dari rute terpendek direpresentasikan sebagai bilangan real, namun beberapa diantaranya memiliki parameter yang tidak pasti (misalnya biaya, kapasitas, waktu, dll) [2]. Teori himpunan fuzzy dapat digunakan untuk berbagai macam permasalahan [2] semisal penilaian lingkungan [3,4], pengenalan pola [5,6,7] dan pembuat keputusan [8,9]. Pendekatan pemodelan yang tepat untuk pencarian rute terpendek pada lingkungan yang tidak pasti adalah menggunakan bilangan fuzzy. Hasilnya, banyak peneliti telah menggunakannya untuk fuzzy shortest path problem (FSPP) [10,11,12]. Pada umumnya algoritma untuk menyelesaikan masalah pencarian rute terpendek adalah algoritma Dijkstra. Namun, algoritma Dijkstra tidak dapat menyelesaikan masalah pencarian rute terpendek pada lingkungan yang tidak pasti. Lingkungan yang tidak pasti dalam pencarian rute terpendek
adalah jika bobot di tiap edge tersebut terdiri dari tiga bobot atau empat bobot yang mempresentasikan jalur lain. Pertama, untuk menentukan bagaimana penambahan dari dua jalur yang terhubung. Lainnya, untuk menentukan bagaimana membandingkan jarak dari dua rute yang direpresentasikan oleh bilangan fuzzy. Teori himpunan fuzzy adalah teori yang dapat menangani suatu permasalahan dengan informasi yang kabur dan dapat digunakan untuk berbagai macam permasalahan semisal penilaian lingkungan, pengenalan pola, dan pembuat keputusan. Metode node combination adalah metode untuk menyelesaikan masalah pencarian rute terpendek selain algoritma Dijkstra. Metode node combination mudah dipahami karena tidak membutuhkan memori tambahan untuk penyimpanan sementara jarak antar node. Artikel ini bertujuan untuk menggabungkan metode node combination dan teori himpunan fuzzy, sehingga diharapkan dapat menyelesaikan masalah pencarian rute terpendek. Artikel ini terorganisasi menjadi 5 bagian. Bagian I menguraikan latar belakang serta tujuan penulisan artikel. Bagian II menguraikan dasar teori yang digunakan. Bagian III menguraikan desain metode fuzzy node combinaton. Bagian IV menguraikan hasil pengujian dan evaluasi. Bagian V merupakan kesimpulan yang dapat diambil dari artikel ini. II. DASAR TEORI A. Pemodelan Matematis untuk Operasi pada Bilangan Fuzzy Pemodelan matematis untuk operasi pada segitiga bilangan fuzzy yang didasarkan pada metode graded mean integration representation [13], biasanya digunakan untuk algoritma mencari rute terpendek pada lingkungan yang tidak pasti [2]. Sebuah segitiga bilangan fuzzy dengan à = (a1,a2,a3) [2], The graded mean integration representation segitiga bilangan fuzzy dapat didefinisikan pada (1).
P(Ã) = (a1 + 4
a2 + a3)
(1)
Misalkan à = (a1,a2,a3) dan B = (a1,a2,a3) adalah dua segitiga bilangan fuzzy. The graded mean integration representation segitiga bilangan fuzzy à dan B dapat dilihat pada (2).
JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 2, No. 1, (2013) ISSN: 2337-3539 (2301-9271 Print) Node_Combination(G,s) 1 W[s,u] := 0, vu := vs, V := V – {s}/*Inisialisasi*/ 2 while W[s,u] < ∞ and |V| > 0 3 V := V – {u} /*Gabungkan titik*/ 4 for each j in V 5 W[s,j] := min{W[s, j],W[s, u] + W[u, j]} /*perbarui nilai bobot pada sisi */ 6 Vu := titik terdekat dengan s di V /*diakhir algoritma, jarak terpendek berada pada nilai bobot baris s di W*\ Gambar 1. Pseudocode Node Combination [1]
P(Ã) = (a1 + 4
a2 + a3) b2 + b3)
Representasi operasi penambahan segitiga bilangan fuzzy à dan B dapat didefinisikan pada (3). P(Ã
B) = P(Ã) + P(B) = (a1 + 4
a2 + a3)
+ (b1 + 4
b2 + b3)
(3)
Representasi operasi pengalian segitiga bilangan fuzzy à dan B dapat didefinisikan pada (4). P(Ã
B) = P(Ã)
P(B) = (a1 + 4
a2 + a3) (b1 + 4
b2 + b3)
(4)
Sebuah trapesium bilangan fuzzy dengan à = (a1,a2,a3,a4) [2], The graded mean integration representation trapesium bilangan fuzzy dapat didefinisikan pada (5). P(Ã) = (a1 + 2
a2 + 2
Dijkstra(G,s) 1 d[s] := 0, vu := vs, V := V – {s} /*Inisialisasi*/ 2 while d[u] < ∞ and |V| > 0 3 V := V – {u} /*tandai u telah dikunjungi/ 4 for each j in V 5 d[j] := min{d[j],d[u] + W[u, j]} /*perbarui nilai jarak pada d */ 6 d[u] := nilai jarak pada d yang paling kecil di V /*diakhir algoritma, rute terpendek berada pada vektor d*\ Gambar 2. Pseudocode Dijkstra [1] Input : V, s Output : W
(2) P(B) = (b1 + 4
2
a3 + a4)
(5)
1 2 3 4 5 6 7 8
W[s,u] := {0}, vu := vs, V := V – {s}, fuzzy := 3 atau 4 while W[s,u] < ∞ and |V| > 0 V := V – {u} /*Gabungkan node */ for each j in V alt := dist(W[s,u], fuzzy) + dist(W[u,j], fuzzy) if alt < dist(W[s,j], fuzzy) W[s,j] := add(W[s, u], W[u, j], fuzzy) /*perbarui nilai pada node W[s,j]*/ Vu := node terdekat dengan s di V
Gambar 3. Pseudocode Fuzzy Node Combination
B. Node Combination Algoritma node combination adalah algoritma untuk mencari rute terpendek dengan cara menggabungkan titik asal ke titik terdekatnya [1]. Algoritma node combination adalah pengembangan dari algoritma Dijkstra. Algoritma node combination mudah dipahami karena dalam pembuatan program tersebut tidak membutuhkan himpunan yang berisi informasi jarak pada titik [1]. Gambar 1 adalah pseudocode dari algoritma node combination. Metode node combination memiliki tiga langkah, langkah-langkah dari algoritma node combination adalah sebagai berikut [1]:
b3 + b4)
Langkah 0. Inisialisasi. W[s,u] := 0, vu := vs, V := V – {s}. Langkah 1. Memilih titik yang terdekat dengan Vs. Jika tidak ada titik yang terhubung dengan V s, maka hentikan perulangan. Langkah 2. Gabungkan titik tersebut dan hapus titik Vk, V := V – {u}. Langkah 3. Perbarui nilai bobot pada tiap sisi, W[s,j] := min{W[s, j],W[s, u] + W[u,j]}. Selanjutnya, pergi ke Langkah 1.
Representasi operasi penambahan trapesium bilangan fuzzy à dan B dapat didefinisikan pada (7).
III. DESAIN
Misalkan à = (a1,a2,a3,a4) dan B = (a1,a2,a3,a4) adalah dua trapesium bilangan fuzzy. The graded mean integration representation pada trapesium bilangan fuzzy à dan B dapat dilihat pada (6). P(Ã) = (a1 + 2
a2 + 2
a3 + a4) (6)
P(B) = (b1 + 2
P(Ã
b2 + 2
B) = P(Ã) + P(B) = (a1 + 2 (b1 + 2
a2 + 2 b2 + 2
a3 + a4) b3 + b4)
(7)
Representasi operasi pengalian trapesium bilangan fuzzy à dan B dapat didefinisikan pada (8). P(Ã
B) = P(Ã)
P(B) = (a1 + 2 (b1 + 2
a2 + 2 b2 + 2
a3 + a4) b3 + b4)
(8)
Terdapat dua hal yang harus diselesaikan yaitu penambahan dua jalur yang terhubung dan pembandingan dua rute yang direpresentasikan oleh bilangan fuzzy. Berdasarkan pemodelan matematis untuk operasi pada bilangan fuzzy [2], metode node combination dapat dimodikasi menjadi metode fuzzy node combination. Pada Gambar 3, metode ini dimulai dengan inisialisasi pada baris 1. Baris 3 adalah menggabungkan dua node yang telah dikunjungi. Baris 5 - 6 adalah membandingkan dua rute dari node source (s) menuju node j dan memilih rute yang terpendek di antara keduanya. Baris 7 adalah penambahan dua asdasd
JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 2, No. 1, (2013) ISSN: 2337-3539 (2301-9271 Print) Tabel 1. Antar Kota di Pulau Jawa No
Rute
No Jarak (km)
1
Surabaya->Mojokerto->Kediri->Blitar
177,033
2
Surabaya->Mojokerto->Kediri
131,517
3
Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun
174,483
4
Surabaya->Malang
109,158
5
Surabaya->Mojokerto
54,383
6
Surabaya->Mojokerto->Jombang
85,083
7
Surabaya->Pasuruan
66,633
8
Surabaya->Pasuruan->Probolinggo
9
Surabaya->Surabaya
10
Surabaya->Pasuruan->Probolinggo->Banyuwangi
11
Surabaya->Tuban
12
Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Magetan
201,667
13
Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi
208,567
14
Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ponorogo
205,183
15
Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ponorogo ->Pacitan
281,583
16
Surabaya->Pasuruan->Probolinggo->Jember
205,233
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
27
28 29 30 31
32
33
Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Magelang Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Semarang->Pekalongan Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Semarang Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Semarang->Pekalongan->Tegal Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Yogyakarta Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ponorogo ->Pacitan->Wonosari Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Yogyakarta->Purworejo Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Yogyakarta->Purworejo-> Purwokerto Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Yogyakarta->Purworejo-> Purwokerto->Cilacap Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Magelang->Temanggung-> Wonosobo Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Magelang->Temanggung Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Semarang->Rembang Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Semarang->Pekalongan->Tegal> Cirebon Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Yogyakarta->Purworejo-> Purwokerto->Tasikmalaya Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Semarang->Pekalongan->Tegal -> Cirebon->Subang
3
105,233
34
35
36
37
38
0,000 306,575
39
96,500 40
41
42
398,950 43 515,500
Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Yogyakarta->Purworejo-> Purwokerto->Tasikmalaya->Bandung Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Semarang->Pekalongan->Tegal-> Cirebon->Subang->Purwakarta Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Yogyakarta->Purworejo-> Purwokerto->Tasikmalaya->Bandung->Cianjur Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Yogyakarta->Purworejo-> Purwokerto->Tasikmalaya->Bandung->Cianjur-> Sukabumi Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Yogyakarta->Purworejo-> Purwokerto->Tasikmalaya->Bandung->Cianjur->Bogor Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Semarang->Pekalongan->Tegal-> Cirebon->Subang->Bekasi Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Semarang->Pekalongan->Tegal-> Cirebon->Subang->Bekasi->Jakarta Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Semarang->Pekalongan->Tegal-> Cirebon->Subang->Bekasi->Jakarta->Tangerang Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Semarang->Pekalongan->Tegal-> Cirebon->Subang->Bekasi->Jakarta->Tangerang-> Serang Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Semarang->Pekalongan->Tegal-> Cirebon->Subang->Bekasi->Jakarta->Tangerang-> Serang->Merak
419,400
Fuzzy Node Combination Mean
1,216 0
352,683
Alpha
0,05
266,692
P-value
0,000109297
587,517
896,900
927,400
956,500
917,967
958,900
995,125
1061,525
1095,525
1,191
Hypotesis Mean Difference
553,217
835,167
Fuzzy Dijkstra
372,867
435,550
830,300
Tabel 2. Hasil Uji T
304,733 579,200
Jarak (km)
Rute
jalur yang terhubung. Baris 8 adalah mendapatkan node yang terdekat dari node s. Langkah selanjutnya adalah kembali ke baris 2 hingga tidak terdapat node yang terhubung lagi. Rute terpendek dari node s ke semua node berada pada baris ke-s di susunan W. IV. PENGUJIAN DAN EVALUASI
463,775 423,675 535,400
657,625
706,800
779,625
A. Pengujian Pengujian pertama adalah pengujian metode fuzzy node combination dengan studi kasus antar kota di Pulau Jawa. Studi kasus ini memiliki tiga bobot edge disetiap node-nya. Kota yang menjadi node source adalah kota Surabaya. Pengujian tersebut bertujuan untuk mendapatkan semua rute dari kota Surabaya ke semua kota/kabupaten di Pulau Jawa. Pengujian kedua adalah pengujian untuk membandingkan penggunaan memori, waktu proses, dan akurasi antara metode fuzzy node combination dengan algoritma fuzzy Dijkstra. Percobaan pengujian kedua sebanyak 50 kali dengan jumlah asdasdsa
JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 2, No. 1, (2013) ISSN: 2337-3539 (2301-9271 Print) Tabel 3. Hasil Pencarian Rute Terpendek
No
Rute
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Surabaya->Blitar Surabaya->Kediri Surabaya->Madiun Surabaya->Malang Surabaya->Mojokerto Surabaya->Jombang Surabaya->Pasuruan Surabaya->Probolinggo Surabaya->Surabaya Surabaya->Banyuwangi Surabaya->Tuban Surabaya->Magetan Surabaya->Ngawi Surabaya->Ponorogo Surabaya->Pacitan Surabaya->Jember
Fuzzy Node Combination (km) 177,033 131,517 174,483 109,158 54,383 85,083 66,633 105,233 0,000 306,575 96,500 201,667 208,567 205,183 281,583 205,233
Fuzzy Dijkstra (km) 177,033 131,517 174,483 109,158 54,383 85,083 66,633 105,233 0,000 306,575 96,500 201,667 208,567 205,183 281,583 205,233
4 V. KESIMPULAN
Aktual (km) 177,033 131,517 174,483 109,158 54,383 85,083 66,633 105,233 0,000 306,575 96,500 201,667 208,567 205,183 281,583 205,233
banyak graph pada setiap percobaan adalah sebanyak 1000 graph yang sama. Data set yang digunakan sebagai bahan dua pengujian tersebut adalah 43 kota dan 64 rute antar kota di Pulau Jawa. Data set didapatkan dari Google Maps dan diambil pada bulan November 2013. B. Evaluasi Pada pengujian pertama akan dilakukan pengujian metode dengan studi kasus antar kota di Pulau Jawa. Hasil pengujian pertama adalah rute terpendek dari kota Surabaya ke semua kota/kabupaten yang terhubung seperti ditunjukkan pada Tabel 1. Metode tersebut dapat menambahkan dua jalur terhubung yang direpresentasikan oleh bilangan fuzzy. Metode tersebut juga dapat membandingkan dua rute yang direpresentasikan oleh bilangan fuzzy. Pada pengujian kedua, algoritma fuzzy Dijkstra dengan 50 kali percobaan pengujian memiliki rata-rata waktu proses sebesar 1,191 detik, sedangkan metode fuzzy node combination memiliki rata-rata waktu proses sebesar 1,216 detik seperti ditunjukkan pada Tabel 2. Nilai p-value hasil uji T kurang dari nilai alpha maka H0 ditolak sehingga kedua metode tersebut memiliki perbedaan waktu proses yang signifikan. Algoritma fuzzy Dijkstra membutuhkan memori tambahan untuk penyimpanan sementara jarak antar node (d) seperti ditunjukkan pada Gambar 2. Pembaruan jarak bobot edge (W) dilakukan oleh metode fuzzy node combination seperti ditunjukkan pada Gambar 1, sehingga metode ini tidak membutuhkan memori tambahan. Pada Tabel 3, terdapat hasil pencarian rute terpendek dari metode fuzzy node combination, algoritma fuzzy Dijsktra, dan jarak aktual. Hasil pencarian rute terpendek metode fuzzy node combination pada tabel tersebut menghasilkan jarak yang sama dengan algoritma fuzzy Dijkstra maupun hasil dari jarak aktual, sehingga dapat disimpulkan akurasi dari metode fuzzy node combination adalah 100%.
Dari hasil uji coba pertama dapat diambil kesimpulan bahwa pencarian rute terpendek untuk studi antar kota di Pulau Jawa dapat diselesaikan dengan metode fuzzy node combination. Metode tersebut dapat menambahkan dua jalur terhubung yang direpresentasikan oleh bilangan fuzzy. Metode tersebut juga dapat membandingkan dua rute yang direpresentasikan oleh bilangan fuzzy. Rute terpendek antar kota di Pulau Jawa juga dapat ditampilkan. Dalam penelitian selanjutnya, perlu adanya pengembangan sehingga tidak hanya terbatas pada variabel jarak secara geometri, namun variabelvariabel lain yang mempengaruhi dapat dimasukkan dalam perhitungan. Variabel tersebut antara lain: cuaca, penggunaan bahan bakar, kondisi jalan, dan lain-lain. Dari hasil uji coba kedua dapat diambil kesimpulan bahwa metode fuzzy node combination memiliki waktu proses yang hampir sama dengan algoritma fuzzy Dijkstra, namun penggunaan memori pada metode fuzzy node combination lebih kecil. Pengunaan memori lebih kecil dikarenakan metode fuzzy node combination tidak membutuhkan memori tambahan untuk penyimpanan sementara jarak antar node. Sedangkan, akurasi hasil pencarian rute terpendek pada metode fuzzy node combination adalah 100%. UCAPAN TERIMA KASIH Penulis S.B.P. mengucapkan terima kasih kepada Allah SWT yang melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan artikel ini dengan lancar. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Ibu Bilqis Amaliah, Ibu Chastine Fatichah, dan Pak Munif yang telah membimbing penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan artikel ini dengan baik. DAFTAR PUSTAKA [1] X. Lu and M. Camitz, "Finding the shortest paths by node combination," Applied Mathematics and Computation 217, pp. 6401-6408, 2011. [2] Y. Deng, Y. Chen, Y. Zhang, and S. Mahadevan, "Fuzzy Dijkstra algorithm for shortest path problem under uncertain environment," Applied Soft Computing 12, pp. 1231-1237, 2011. [3] R. Sadiq and S. Tesfamariam, "Developing environmental using fuzzy numbers ordered weighted averaging (FN-OWA) operators," Stochastic Environmental Research and Risk Assesment 22, pp. 495-505, 2008. [4] Y. Deng, W. Jiang, and R. Sadiq, "Modeling contaminant intrusion in water distribution network: a new similarity-based DST method," Expert Systems with Applications 38, pp. 571-578, 2011. [5] Y. Deng, W. K. Shi, and Q. Liu, "A new similarity measure of generalized fuzzy numbers and its application to pattern recognition," Pattern Recognition Letters 25, pp. 875-883, 2004. [6] H. W. Liu, "New similarity measures between intuitionistic fuzzy sets and between elements," Mathematical and Computer Modelling 42, pp. 61-70, 2005. [7] J. Ye, "Cosine similarity measures for intuitionistic fuzzy sets and their applications," Mathematical and Computer Modelling 53, pp. 91-97, 2011. [8] Y. Deng and F. T. S. Chan, "A new fuzzy Dempster MCDM method and its application in supplier selection," Expert Systems with Applications 38, pp. 6985-6993, 2011. [9] Y. Deng, F. T. S. Chan, Y. Wu, and D. Wang, "A new liguistic MCDM method based on multiple-criterion data fusion," Expert Systems with Applications 38, pp. 9854-9861, 2011.
JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 2, No. 1, (2013) ISSN: 2337-3539 (2301-9271 Print) [10] D. Dubois and H. Prade, Fuzzy Sets and Systems: Theory and Application. New York: Academic Press, 1980. [11] C. Lin and M. S. Chern, "The fuzzy shortest path problem and its most vital arcs," Fuzzy Sets and Systems 58, pp. 343-353, 1993. [12] A. Boulmakoul, "Generalized path-finding algorithms on semirings and the fuzzy shortest path problem," Journal of Computational and Applied Mathematics 162, pp. 263-272, 2004. [13] C. C. Chou, "The canonical representation of multiplication operation on triangular fuzzy numbers," Computer and Mathematics with Applications 45, pp. 1601-1610, 2003.
5
