vALos KETKOMPONENSŰ GYÜRÜK Es TESTEK ELŐALLÍTÁSA FUGGVENYEGYENLETEK SEGÍTSEGEVEL VINCZE ENDRE Kézirat beérkezett: 1972. július 20-án.
l. §. Bevezetés l.l. Ebben a dolgozatban azt a kérdést vizsgáljuk, hogy az összeadásra nézveAbel1-A-„portot alkotó valós komponensű (xl, xz) számpárok halmazában hogyan értelmezlıctő olyan „szorzásnak”-nak nevezett második művelet, mellyel együtt e számpárok lııılmaza (kommutatív) gyűrűt vagy testet alkot. Közismerten ilyen tulajdonságú a komplex számok halmaza, mely testet alkot; kérdés, van-e más, legalább gyűrűt, esetleg testet alkotó olyan struktúra, melyben a kétkomponensű elemekre az összeadást a ımıkaisos módon, „komponensenként” értelmezzük. A válasz - mint látni fogjuk ıgeıılő. Hangsúlyozni kívánjuk, hogy az (x, , xz) számpárok nem feltétlenül alkotnak lu*ltli.ıııenziós vektorteret a valós számok teste fölött, azaz e számpároknak az a valós ımiııııııal való szorzását (és annak szokásos tulajdonságait) nem defmiáljuk; az ilyen ıııútloıı nyert gyűrűk, ill. testek tehát nem alkotnak 2-rangú algebrát, ill. divizióalgebnlt, pontosabban e gyűrűk és testek nem feltétlenül bővíthetők algebrává. lãzek a vizsgálatok egyben lehetőséget nyújtanak a komplex számoknak egy újabb ıııalcmatikai szempontból talán „természetesebb” - bevezetési módjára is (vö. [8]). li vizsgálatok eszköze teljesen elemi, csupán a függvényegyenletek elméletének ma már klasszikusnak számító néhány alaptételét használjuk fel. Tudomásunk szerint hasonló problémával elsőként FZ Schur [7] foglalkozott, éspedig olyan feltételek mellett, hogy az (xl, xz), (yi , yz) számpárok összege és szorıııııı a koıııponenseknek analitikus függvénye. Később L. Bieberbach [3] lényegében fulymnossági feltevések mellett bizonyította, hogy a kétkomponensű számpárokra is a -„zukıisos aritmetikát megkövetelve az előálló testek izomorfak a komplex számos tesrzwl. A |3| dolgozat feltételeit G. Hoheisel [5] - több vonatkozásban is - egyszerűsíNMI-.` Kózhmıı'n_vel. I V. Sorozat, Természettudományok, 22(1976), 39- 79
39
tette. Ezek a vizsgálatok algebrai szemléletűek és így csak ,,egy izomorfizmus erejéig" határozzák meg, ill. állítják elő a komplex számok testét. Vizsgálatainkban egyrészt a feltételek további lényeges egyszerűsítéseit ill. enyhílésciı adjuk, másrészt pedig ténylegesen elöállítjuk és felsoroljuk a valós számpárokból képezhető (kommutatív és nemkommutativ) gyűrűket, továbbá a testeket. Ki fog derülııi, hogy e számpárok nem alkothatnak ferdetestet. A felsorolt testek (az előbbiek értel ınében, vö. [3], [5]) természetesen izomorfak a komplex számok testével és megadjuk az izomorfizmust létesítő leképzést is. 1.2. Jelölje R a valós számok halmazát: R = (- °°, + °°). Az RXR szorzathalmazt röviden R2-vel jelöljük. Legyenek továbbá x, y, z, . . . R2-beli elemek, azaz részletesen x=(xIıx'2)=
y=(y1>y2)>
z=(Z1>z2)>°'°ER2=
ahol x1,x2, y1,y,, 21,22, . . .ER. R2-ben az egyerılőséget és az összeadást a szokásos módon értelmezzük X=Y„ (rk)
0262
(Xı„X2)=()*ı,Jf'2)°1'ı=.Yı
és
X2 =J"2;
X+Y=(Xı„X2)+(J*ı„Jl2) Í: (11+)/ız X2 +J'2)-
Ez az összeadás nyilván asszociatív és kommutatív (x+y)+z=x+(y+z),
(Vx,y,zER2),
X+Y=y+x,
(VxyëRÜ;
van zéruselem x+0=0+x=x,
0=(0;0),
(Vx,ER2);
továbbá az összeadás megfordítható, azaz minden R2 -beli x-hez van olyan - x = = (- x1,- xz) elem, melyre x+(-x)=(--x)+x=0 érvényes. Ez az összeadás továbbá folytonos is. 1.3. Jelölj ük az R2-ben értelmezett szorzást a következőképpen:
(I)
×<>y=(xı„xz)0(yı,yz)== f(Xzy)= =Ífı(-Yızxzz J'ı-ya), fz (xızxzz J'ızJ'2)) [x,y,fE R2; f1, 2 :R4->R].
40
A későbbiekbene szorzásra nézve az alábbi axiomák érvényességét fogjuk posztıılúlııt (II)
a szorzás az összeadásra nézve bal-disztrı`butı'v.` ×o(y+z)=xoy+xoz,
(Vx,y,zGR2);
(III) a szorzás az összeadásra nézve jobb-diszm'butı'v:
(x+y)oz=×oz+yoz,
(vx,y,zER2);
(IV) asszociativ: (xOy)Oz=xO(yOz),
(Vx,y,zER2);
(V)_ egységelemes, azaz van olyan e = (el , ez) E R2, melyre x0e=eOx=x,
(VxER2);
(VI) invertálható, azaz minden X=# 0-hoz van olyan x`1-gyel jelölt inverz elem, mrlyrr x0x`1 = x'1Ox=e; (VII) kommu tativ: xOy=yOx,
(Vx,yER2);
(VIII) az x 0 y művelet folytonos, azaz az (I)-ben szereplő fk(x1:x2:ıy1sy2)
függvények minden változójukban folytonosak. Már most hangsúlyozzuk,hogy a (II) - (VIII) axiomák érvényességét nem egyidejűleg fouk megkívánni. 1.4. Vizsgálatainkat két fő irányban folytatjuk: először azokat a kétmüveletes struktúrákat kívánjuk felsorolni, melyeknél a szorzás bal-disztTibutı'v (II), folytonos (VIII), kommutativ (VII) és asszociativ (IV); másodszor - mint látni fogjuk - ezektől részben eltérő struktúrákat nyerünk, ha a szorzásról csak azt tételezzük fel, hogy az bal- és jobb-disztributív (II) - (III), folytonos (VIII), asszocıiativ (IV), de nem feltétlenül kommutatív. l 2. §. Kétkomponensű gyűrűk és testek 2.1. Vizsgálataink során először is meghatározzuk az összes olyan szorzási ıııíívelctet, melyek folytonosak és az (I*) összeadásra nézve bal-disztributívak. Ervérıycs a következő
4l
2.1. L EMMA. Ha az xO y szorzás az (I *) összeadásra nézve bal-disztributiv (ll) is folytonos 1) (VIII), akkor .ŰÁ-751,12: .V1 Ja) =Afz1(-Yı »x2)J'ı 'l' Ákz(-xı >x2)J"2 1
[k= l, 2 ;
(2-1)
.4ki(x1,x,) :R2 ->R]
ahol A,„(x, , xz) (k, i = l, 2) tetszőleges lcétváltozós valós függvények.
B ızosvi Tas. A (11) egzzzzızreı részletesen kiizvz az l§z(Xı =X2„J*ı 'Í' Zısyz +22) =fk(-1'ı ,xzsyı J:) + f}z(-×'ı„X2„z1 , zz) (k = 1, 2).
(2.2)
függvényegyenlet-rendszert kapjuk. Ha itt y, = zı = 0, akkor f;z(xı »fm Yı „ 22) =f;.;(-1'ı„X2„J'ı„ Ü) +.Űc(xı „X2 , 0, 22)-
(2.3)
Legyen továbbá a (2.2) egyenletben y, = Z, = 0, ill. y1= zı = 0, akkor az fk(Xı„-Iz, J'1+ 21, Ü) =fk(xı„Xz„J'ı„ Ü) +fk(xı „1'2,Zı„ Ü),
ill. .Ű<(1`ız-32, Üzyz + 22) “fk(-11,32 Üzyz) +Űz(xı „-X2, 0,22) Caırchy-féle függvényegyerıleteket nyerjük. Az xOy művelet folytonossága miatt [vö. (VIII)] ezeknek a Cauchy-egyenleteknek a megoldásai az .Űz(-xısxzsyıs Ü) =Ákı(xı„xz).Yı„
.Ű;(xızXz, Ü, Y2) = Ákz(-T1,-Ya )y2 függvények, (vö. [4], [l], [2]) ahol az Ak,-(xı , xz) tetszőleges [és minden valós (x1,x,)-értékpárra értelmezett] valós függvények. Igy végeredményben (2.3) alapján valóban az jlç(x1ıx2> y1ıy2)= Ak1(x1>x2)y1 +Ak2(x1ıx2)y2
ls
megoldáspárt nyertük. Könnyen ellenőrizhető, hogy e komponensekkel meghatározott szorzás az (I *) összeadásra nézve valóban bal-disztributív. Q. e. d. 2.2. A következőkben az xOy szorzásról még a kommutativitást is feltesszük. Erre az esetre vonatkozóan az előzőhöz hasonlóan egyszerűen látható be a következő lemma is: Ü A folytonosságot elegendő csak egyetlen pontban feltételezni (vö. [1] vagy [2]), sőt - többváltozós függvényről lévén szó ~ már a parcılıilis folytonosság is elégséges. Más, de még kevésbé algebrai jellegű enyhébb feltételek összefoglalóan megtalálhatók Aczél J. már idézett [1] vagy [2] könyvében. 4 Ál
2.2. L EM MA. Ha az xo y az (I"') összeadásra nézve disztrlbutlvz) (II), folytonos (VIII) és kommutatív (VII), akkor .Ő;(Xı„-32, Yızyz) = 01;-lfı .V1 +bız(-lfı Y2 +12 )'ı)+f-'ız X2 J'2„
(2-4)
(lC= 1,2)
ahol ak, bk, ck (k = 1, 2) tetszőleges valós konstansok. B IZONYÍTÁS. Iıjuk ki részletesen a (VII) egyenletet, akkor a 2.1. lemma alapján az fk komponensekre az .Űz(Xı „ Xzzyı J2) = Áız1(Xı zX2)J'ı 'l' Áı;z(Xı „X2)J'2 = "= Ákı(J'ızJ'2)1'ı+Á1zz(.}'ızJ'2)x2 = =f}z(Jf'ızJ'2zXızX2)
(2-5)
egyenletrendszert kapjuk. Legyen itt y,= 'O és yı =/= 0, ill. yı = 0 és yz #= 0, akkor su.
Á (JH0) Ak1(x1ıx2)= x1+
Á (JM0) kzyıı
“
xgí- kx1"|"bkx2,
ill.
A (0,y)
A (0,y
Ak2(-31,12): _']5l';,;-3"“xı +* my 012 -dk-xl +91: 32 2 függvényeket nyerjük. Nyilván az Akf(y1, 0)ly1, ill.Ak,-(0, yz)/yz hányadosok x, , x, lineáris függetlensége miatt konstansok. Ezeket a megoldásokat (2.5)-be írva ( kxı 'l' Öızx2)J'ı + (Ők X1 + ck X2)Jf'2 = (agyi + Ö1zJ*2)Xı + 'l' (dk .V1 + CR J'2)-X2 , azaz egyszerűsítés után (bk"'dı;) (X2 Jlı “X1 J'2) = Ü adódik, ahonnan szükségképpen dk= bk (k = 1, 2) következik. Igy, a (2.1.) összefüggést is fıgyelembe véve, valóban a (2.4) megoldást nyertük. Q. e. d. 2.3. Az x0y szorzásban szereplő konstans paraméterekre vonatkozóan további ıııegszorításokat nyerünk, ha feltesszük, hogy az asszociativ is. Nevezetesen érvényes a következő 2.3. LEMMA. Ha az x0y szorzás az (I"') összeadásra nézve diszmbutív (Il), folytonos (VIII), kommutatív (VII) és asszocaztiv (IV), akkor az szükségképpen csak az alábbiak egyike lehet: „A szorzás kommutatív volta miatt a művelet nemcsak baldisztributív (II), hanem a (III) jobbdlszt rlbutivltás is automatikusan teljesül azaz az xoy művelet disztributív.
43
(XızX2)°(.l'ı-J'2)=(0ı X1 J'ız 02 X2 J"2)š (Xı „X2) 0 (J'ı »J'2) = (01 X2 Y2 l C2 X2 J'2)=
(2-Ő) (01 2* 0);
(2-7)
(Xı„X2)° (.Yı„J'2)= ( ıXıJ'ı 'l' 6'ıX2J'2, üıX1J'2 'l'0ıX2J'ı +C'2X2J'2)„ (al 960); (2.8) (X1,-X2)O (J'1,J'2) = (ŰıXı.Yı + ÖıXı.V2 'Í' ÖıX2J'ı 'Í' 6'ıX2J*2, 2 bı "" 01 C1 ""_b;"“'"' X2 .V2 )„ (bı 2* Ü)š
(2-9)
b (X1, X2)0 (Yı„Jf'2) = (f1ıXıJ'ı 'Í'ÖıXıy2'l' bıX2Jf'ı 'l' -lázba" X2.V2„ 02Xı.Vı 'Í' Ö2Xı}'2 'Í'b2X2J*ı 'l'
5-d 02
X2J'2)»(2-10)
(U2:-*Ül Ő=0ı 172-0251), ahol az ak, bk, ck (k = l, 2) tetszőleges valós konstansok a feltüntetett mqszorítasokkal. B IZONYÍTÁS. Láttuk (vö. 2.2. lemma), hogy a disztributív, folytonos és kommutatív szorzási műveletek szükségképpen (2.4) alakúak. Az X0 (y0 z) = (x0y) 0 z asszociativ törvényt részletesen kiírva (I) alapján az flçl-xl: x2:fl(y1ı y2>Z1=z2)>f2(y1>y2ıZ1ız2)] = (xl ıx29y1 iv-V2): f2(x1 ı x2 >y1>y2)ı zl 8 22]
= 1!
egyenletrendszert nyerjük. Ennek és (2.4)-nek alapján a következő írható: f1kXı Íaıyızı 'Í' bı(J'ıZ2 'Í' Y2 Zı)'l'C'ı„V2Z2]+
'|'bı;Xı lŰ2J'ıZı 'l' b2()'ıZ2 'l'J'2Zı)'l'02J'2Z2l 'Í' 'Í' ÖKX2 [(11.71 Zı 'Í' b1(J'ıZ2 'Í'J'2 Zı) 'Í' 01.7222] 'Í' 'l' CRX: l02J'ı Zı 'Í' b2(J'ı 22 +Y2 Zı) 'Í' C2J'2 22] = = H1,-[U1 Xıyı 'l' bı(XıJ'2 'Í' X2.Vı) 'Í' CıX2J'2]Zı 'Í' 'Í' bız[ŰıXıJ"ı 'Í' bı(XıJ'2 +X2.Vı) 'l' 01 X2J'2lZ2 'l' 'l' bızlflz X1 .V1 'l' b2(XrJ"2 'Í'X2.Yı) 'Í' C2 X2.V2]Zı 'Í' 'l' 4`klf12XıJ'ı 'l' Ö2(Xı.V2 'l' -X2J*ı) 'l' C2 X2.V2]Z2z
(X =1z2)-
Innen egyszerűsítések után az (f11;Öı'Í' bkbz “ Öıl ı "f-`k02)(XıJ*ıZ2 “'X2J'ıZı)'Í' + (akfı 'Í' ÖRC2 “Í-lkbı “C'kb2) (XıJ'2Z2 "'X2Y2Zı) 2 Ü 44
(k: 1: 2)'
egyenletrendszert kapjuk. Mivel ez minden lehetséges (xl ,xl ), (yl ,yl) és (zl .zl ) elem-Iıármasra igaz kell legyen, ezért valamennyi x,-yfzk (i,j, k = 1, 2) szorzat egytittlıtıtójıı szükségképpen zérus. lgy a k = l, 2 eseteket is figyelembe véve, az ak, bk, ck (k l.2) együtthatókra sorrendben az alábbi egyenleteket írhatjuk fel:
bıbz-fra-z=`-0.
(2.11)
ŰQ(b1"'C'2)+b2(b2_'(l1)=0, b1(Č2ˇ"`b1)"l'Č1(a1*b2)=0.
A negyedik egyenlet azonos (2.11)-gyel, tehát az nem ad újabb megszorítást. A (2.4) művelet tehát csak akkor asszociativ, ha a benne szereplő konstans paraméterek a (2.l l I - (2.13) egyenletrendszert is kielégítik. A (2.11) - (2.13) egyenletrendszer összes lehetséges megoldásait - a megoldas! ınenet áttekinthetősége érdekében - az I. táblázatban adtuk meg; a megoldást az al = 0 és ali 0 esetszétválasztásokkal kezdtük és azt is feltüntettük, hogy az egyes egyenletekből a szükséges esetszétválasztások után milyen újabb (egyszerűbb) egvcıılctek (esetleg azonosságok) adódnak. A nyert megoldásokat a (2.4) formulába írva valóban a (2.6) ~ (2. IO) szorzıisl szabályokat nyerjük. A bizonyításból az is nyilvánvaló, hogy a kapott szorzások valoban asszocıatıvak. ) Q. e. d. .
ı
3
2.1. K OR OLLÁRIUM. A 2.3. lemma alapján nyilvánvaló, hogy az R2 halmaz az (I*) összeadással és a (2.6) f (2.10) szorzások egyikével (nem feltétlenül egységeleınes) gyürűt alkot. 2.4. A továbbiakban azt vizsgáljuk, hogy a (2.6) - (2.10) szorzási műveletekııck van-e egységelemük; az (V) tulajdonság megkövetelése természetesen a szorzásban szereplő paraméterekre további megszoritást adhat. Érvényes a következő 2.4. L EMMA. Ha az R2-beli x0y szorzási művelet az (I*) összeadásra nézve dísz trıˇbutív (II), folytonos (VIII), kommutatív (VII), asszociativ (IV) és egységelemes (V), akkor e szorzás szükségképpen csak az alábbiak egyike lehet.` (Xı»X2)O(J'ı»J'2)=(f1ıXıJ'ı„C2X2}'2)„
(el ,el)=( -l, -1- ), G1
C2
(2-|4l
(alaëO, clë 0);
(xl .xz)~1> Un lyz) = (H1 xıyl + cıxzyz. alxıyz + alxzyı + vzrzyz). (el.el)-:(3-1,0),
(ala#0);
(2.lS)
-llllgyanis a megoldást olyan módon nyertük, hogy az X1. X2. yı. yzz 21.22 Vällûl-Ókül vlll Hlwflilll zaltuk, tehát az asszoeiatıv tulajdonsag barmely elemharmasra igaz lesz.
A8
_Gg5_S ___
+Š3WAÉ:AÁLAp _ !
"` N_" ly``“P``_1Í "`"l"_"""Hd` l"w`_'ti ı`HT` wlMpW;` _`";"i`H1+_h``,"`_"!`;
:_ `"\h_`1 ,n`ı"\1THpM_,`lF\N|dUH1"MíhJl`_\"pHM,`k\lMn,p`i lpprl
`WUldlMT "j``ı`p`I l_ i_l __\` `l__""v `41
j8 _w§°Am =°N“IL “_“NV U _<
HvH O 33 Q_3EŠ Q H_mı_3Zm>om
MW„ÉQ
lIwl` :_w`Íin _`l_";`Ű _M__ “`i,H
Šo g_Ct_O|NOHŠ _ û_ MHŠdüuš Í
_ L _Hû+ê_uı gt 7Q by* ___N&%lı"NQ
McäakdS o .m.Guam QziuVÉ mh_uãuäoÉV u
EH"_ Iıı,Í__
oN<:B ãl HšoHa3Í~ëI§aã_“äQo U_š+§ã^ug _uüo1N#8_ûnQ_OHJ ciW1 l_Qa?_ë:+_^_ &T§ãû°_ c°,_ N:Hdd
g A L.i" Jl_`ı .Iı_l`l`l1"MH"+ıı _w,;`ı1I."!H_h_Á`wıL:“>`HMI,q"_ú4Jhı_iHW"l`ı_`t“l*_"|'Hä ._"ıAh`H1`\|l'_H|`|`"_i_|`
W Sam ó5" mmu333 TN33G :NH TNWSH Š h“Q _mo%ãšSä_ë_ _ őnc hin “ONE m_mã3c“ gngone š\"_uQ HaHa _ i„_öñ ZN
EdˇL _EiÉAQ
8
Nu __S O Hmm* NuN_!
M _ W OHŠE
L7, ÁU__,ĂH_al1Á Í _Q
ÃPES 5W
_Q„_
É WN
ASHNQHGQ kıWOHSHŠ i_QÍû"NQ:uns jH
_____
ÍKQ
Í 1 O^____l"sg "j__
J ám _ 09HN Nu f WJu Nuj im:Nm
_l _
+ ı`HM`_H"_"`1``\_ y:`l_"!ˇ__` l`"``?`"_
__
_
_
_`
_
(xi-X2)“(.J'ı-.V2):*(0ıXıJ?ı 'l'ÖıXı.V2 +ÖıX2,Vı `l'f'ıX2,V2„ CI
bl
(fılez)-(F0,
_
E5' z
l Lu -Xıyıl. ı
2
(..Í.|(ı)
(Öı$Ü~ do :(1101 "'Í7ı?ČÜ)š
-
b b
(XızX2)Ü(J'ızJ×`2)=(0ıXıyı 'Í' bı-XıJ*'2 'l' ÖıX2)'ı 'Í' Í X2)/2!
(2-Í7)
bz--d Ű2Xıyı 'l' Ö2XıJ/2 'l' Ö2X2yı 'Í' '“2';;"' X2J'2)„ b
(61:62)-_{
C;
_
9
52
Ja
d=alb'Z_-a
bl
ahol (el, el) az egységelemet jelöli, az ak, bk, ck (k = 1, 2) pedig tetszőleges' valıls konstansok a feltüntetett megszorı'ta'sokkal. B IZONYÍTÁS. A (2.6) szorzás esetében az e = (el, el) egységelenı létezése azt jelenti, hogy (xl-ıx2)O (el 9 e2)=(alxle1s C2 x?.
: (xl >x2)!
ahonnan az al cl* 0 feltételezéssel el = llal és el = llcl adódik. Ebben az esetbeıı tehát valóban (2.14)-et nyertük megoldásként. A (2,7) szorzás esetében nincs egységelem; ugyanis ekkor (Xı„Xl )° (er „ 92) ˇ; (CıX2 22, f-`2X2e2) = (Xı„X2)
kellene legy l de H 0162 X2 = Xı, Q el xl = xl egyenletrendszer semmilyen (el , el )-re nem lesz xl, xl -ben azonosság. A (2.8) szorzás esetében az (XızX2)O(eı>0z)=(Űı-Xıeı 'l'CıX20z„ UıXı92 'l'0ıX2eı'Í'C2X2f-'2)= (Xı-X2)
egyenlet alapján az alel=l,
clel=0,
alel=0,
alel+clQ=l
egyenletrendszer írható fel. Innen látható, hogy az el = llal (al #= 0) és el = 0 értékek és csak ezek valamennyi egyenletet kielégítik, tehát valóban (2.15) adódik. A (2.9) szorzás esetében az (ŰıXıeı+ÖıXıe2'l'bıX2eı+CıX2e2,
b2-alcl ıbı
X2e2)=(Xı-X2)
47
egyenletből (el, el)-re az ű1e1+b16; = 1,
mn+oe=Q
egyerıletrendszer írható fel. Ennek (el, el)-re nyilván csak akkor van megoldása, ha dl) ˇ; H1 C1 '_
$ Ü
és ekkor a megoldások
â=__a__,
@=_;2L?,
0ı0ı“bi
f1ıCı"Öı
melyek valóban mindhárom egyenletet kielégítik. Ez az eset megfelel (2.16)-nak. Végül a (2.10) szorzás esetében akkor van (el , el) egységelem, ha az b
01 X191 'Í'bı(Xı62 'Í'X2eı)'Í' Éã?zX2f2 =-X1,
N- b+ b
02Xıeı'Í'Ö2(Xı0z'l'X23ı)+'2
ala: 2
az 1 X29z=X2
egyenletrendszer minden xl, xl értékpárra teljesül. Innen az al el + bl e
= ls
bl el + 2;-121 el = 0, 2 a2e1+b2â=0ı
b2eı+
bzb Zalä + alleizl
egyerıletrendszer írható fel. Az első és a harmadik egyenletből d = G1
"" az bl # 0
feltételezéssel az
_
,zh ._
el-'ŰıÖ2“'02bı,
45
_.
-@
ez- 0ıb2"'Ű2bı
megoldásokat nyeıjük, melyek a további két egyenletet is kielégítik. Ez az cset megfelel (2.17)-nek. Ezzel a lemma bizonyítása véget ért. 2.2. KOROLLÁRIUM. A 2.4. lemma alapján nyilvánvaló, hogy az R' halmaz az (l*) összeadással és a (2.14) - (2.17) szorzások egyikével egységelemes gyűrű: alkot 2.5. Megvizsgáljuk végül azt is, hogy a 2.4. lemmában szereplő (2.14) ~ (2.17) szorzási műveletek milyen feltételek mellett lesznek invertá ıatók. A következőt bizonyitjuk: 2.1. T ETE L. Ha az R2-beli x 0 y szorzási művelet az (I *) ŐSSZŰUŰŐSFŰ UŐZW' diszmbu tív (II), továbbá e művelet folytonos Abel-csoportot (IV) - (VIII), azaz az R' kčtműveletes struktúra testet alkot, akkor e szorzás szükségképpen csak az aldbblak egyike lehet: (X1,-×z)0 (.Vı»J72)=(UıxıJ'ı +01-T2J'2„f1ıJfıJ?z+0ıXzJ'ı+Caxayı )1
(2.18)
(e1ıe2)=(ía0)ı
,
(alioıı
ŰıD(Xı,1'2) ,
cä +4a1c1
Ü(Xı„-Íz) ,
D(Xızx2)=Űı(Űı1'Í+C2xı12"'0ıXŠ) _ Öı Őz (xı„X2)0 ÍJ"ı„J'2) " (ŰıXıJ"ı+ bıxıyz 'Í' bıxzyı + -T xzyz , 2
(2.19)
D2-a
Űaxıýı +b2xıJ'2 +52-Y2J*'ı + “zzz-' X2 Ya), b
(e1)e2)=( íz-8
IŰ2$Ü»
(x
í
-gi )8
d=Űıbz_Ű2bı4=Ü„
dı=ÖŠ+Ű2bı»
X)-ı_(Ű'2dı-7fı+b2(dı_d)x2 1,
2
a2dD(x1,x2)
(b2“0ı)2+402bı<Ü|-
""0a(Űı+b2)Xı”dıx2 ,
.
),
dD(x1,X2)
Ü(Jfı»Xz)=al [U2-Ti 'Í' (Ö2_0ı)-\'ı-×`2“bıXãI2
ahol (81, ez ) az egységelemet, (x1,x2)" az (x, ,xz )# (0; 0) elem lnverzét jelöli, az a, . h, ,az , bg pedig tetszőleges valós korıstansok a feltüntetett megsz0rı'ta'sOkkal. 4*)
B IZONYÍTÁS. Jelöljük az x=,ë(0; 0)-hoz tartozó inverz elemet x'* = (E1, 52 )-vel. A (2. 14) szorzás általában nem invertálható. Ugyanis ekkor az xOx" = e azonosság alapján Ű1XıÉ1=%» 1
C2X2É2=l
(Űı02=FÜ)
C2
adódik. Ez az egyenletrendszer a 021,52)-re ugyan az xl xz sé 0 esetben megoldható, de ez azt jelenti, hogy pl. az (xı , 0)=r'= (0, 0). ill. (0, xz) #= (0, 0) típusú elemeknek nincs inverzük. A (2.15) esetben az (x1,x2) O (E1 , E2) = (el, ez) azonosság alapján az l
011151 +01-Yzëz =_T„ 1
(zz, az 0)
(2.20)
0112 -Éı 'Í' ((11-X1 'Í' C212) É: = Ü
egyenletrendszert írhatjuk fel, melynek a (21, 3.32 )-re nyilván akkor és csak akkor van megoldásaf) ha az egyenletrendszer determinánsa minden szóba jöhető (xl, x2)=#(0; 0) -ra zérustól különböző. Mivel 4111
C1 X2
Ü(Xı,X2)=
:U1 (Ű1xi'Í'C2X1X2_C1xŠ)= 01-X2
Űıxı 'Í' C2-X2
. = (H1 xl +
c22x2 )
2
' Í
I (Í
+ G1 C1)xŠ ,
\
ezért szükségképpen Ö :ˇ Cã + 4 1 C1 < 0
kell legyen. Ellenkező (6 2 0) esetben ugyanis az X1:
422 41
(-c2i\/õ_)
választással D(x1,x2) = 0 lenne végtelen sok (x,, xz) #2 (0, 0) elemre. Az egészen elemi számítást mellőzve (2.20) - (2.22) alapján valóban Ű; X1 + CQXQ
ë1(”1~x=l` zz.D<.z~..z. > É2(-xl:-x2)
Z
--í--- x2
D(xı,x2)
4)Nyilvánvaló, hogy az egyenletrendszer jobb oldala miatt az egyenletek lineárisan függőek nem lehetnek. ŠU
adódik, összhangban (2.18)-cal. Egyszerű számítással győződhetünk meg arról, hogy az (xızX2)O (É1 Í-751,12):
É2(xı,x2))= (ehez)
azonosság valóban minden (xl , xl ) sé (0; 0)-ra fennáll. A (2.16) szorzási művelet nem invertálható. Ugyanis ekkor az x 0 x" = e azonosság alapján az (01 X1 'Í' bı-X2)Éı'Í'(Ö1Xı 'l' C1 I2)'č2 = “"'çl"_l' „ 01 C1 "' bı (bı“El'c'l')x2 Č2 = _:_b'ı__ bl Új C1*
lbı(ŰıC'1_bi)*Ül
egyenletrendszert kapjuk. Ez a (čl, .El )-re lineáris egyenletrendszer bl =# 0 miıılt lııhoıııogén. A két egyenlet lineárisan függő csak az al xl + bl xl E 0 esetben lehetne. ahonnan al = 0 és b l = 0 adódna, e llentet ' b en bl #2 0-val. Igy megoldás (2, , El )-re csak ııhhan az esetben van, ha a rendszer Ü=(Ű1xı'Í'bıx2)(Öi_0ıC1) 'ši 1
ılcterminánsa minden (xl , xl)#= (0; 0)-ra zérustól különböző; ez pedig nyilván nincs így az `ı
(x1.0>=#(0;0) és (xl. ,f°i)#(0;0) 1
.
elemek esetén.
Végül a (2. 17) esetben az (xl , xl) O (El , El) = (el , el) azonosság alapján az b
b
(f1ıxı'Í' b1x2)Éı'Í'(b1Xı 'l' _;'É2' Xzlëz = 'É' z
(Űaxı+Ö2X2)Čı+Íb2xı+'l'É';'c'i'Xz)É2= 1 ~. (12 (Í
(d= 1bz-0»zbz*0.
(2.23)
az*0)
egyenletrendszer adódik (Él, El )-re. Az al 9* 0 miatt ez az egyenletrendszer inhomogeıı zı rendszer determinánsa pedig Öıbı Ű1xj+b1x2
b1xj+
Txz
Űzxı +Ö2-752
bz-d hzxı + '2'á“"' X2 2
DÍ-31132):
=
fi I
= % [U2-fi +(b2“01)xı1'2“bı-lá] = -
_
= -agg l(g,zxı -|-
\ 2
x2)
)2 "“'{l12b1 'I'
Itt most két esetet kell megvizsgálnunk. Először tételezzük fel, hogy (2.23) egyenletei lineárisan függetlenek. Ekkor csak a D (xl, xl) vk 0 esetben van megoldás, tehát (2.24)-ből látható, hogy szükségképpen õ = (bl - al )2 + 4al bl > 0
(2.26)
kell legyen. Ellenkező (õ > 0) esetben ugyanis az X1: 'šâ'2l01"Ö2i\/Š] választással D(xl, xl) = 0 lenne végtelen sok (xl, xl) vé (0; 0) elemre. Az egészen elemi számítást mellőzve ebben az esetben (2.23) - (2.25) alapján valóban Č1(Xı„Iz)-
-É2(xı,X2)"
I”-'2(ÖŠ 'Í' Ű2b1)x1 'Í' b2(bŠ +02 b1"d)x2 02dD(xı„X2)
`
_02(01 'Í' ba)-×ı'"(02 bı 'Í' bŠ)xz dD(x1ıx2)
(d=aıbz-azbı #0.
ü)
adódik, összhangban (2.19)-cel. Egyszerű számítással győződhetünk meg arról is, hogy az (xılxz) 0 (-É1(x1„x2)„ 'č2(-X1,-762)): (91, 62) azonosság valóban minden (xl, xl) =# (0; 0)-ra itt is fennáll. A (2.23) egyenletei lineárisan függőek nem lehetnek, mert ekkor (čl, El )-re végtelen sok megoldást nyernénk, viszont jól ismert az a tény, hogy az x 0 y művelet feltételezett csoport-tulajdonságai miatt csak egyetlen x'1 inverz elem létezhet minden x =t= (0; 0) elemhez. Ezzel a tételt minden részletében igazoltuk. 3. §. Kétkomponensű értäielt testek 3.1. A 2.1. tételben láttuk, hogy az (I *) összeadáshoz két egymástól lényegesen különböző módon is konstruálható olyan szorzás, mely műveletekkel R2 testet alkot. Most azt kívánjuk megvizsgálni, hogy e testek egy speciális értékelése (a valós számok S?
ıcsıc Iölött) milyen újabb megszorításokat jelent a szorzásokban szereplő purııınčlerekre nézve.
Legyen egy tetszőleges x G R2 elem (abszolút) értéke R fölött a szokásos
w(×)=w((xz.xz)):= ~/»Fí.[w:R2->R31
(3.11
lnggvényérték, ahol RH -val a nem-negatív valós számok halmazát jelöltük. Vizsgáljiık meg, hogy a
(IX)
W(x)>0
és
(X) (XI)
W(× + Y) < W(X) + Wbf), W(K0 Y) = W(X) Wûf)
W(x)=0<=*x=0,
ııxloınák teljesülnek-e a (2.18) --(2.19) szorzásokra. Nyilvánvaló, hogy (3. 1) miatt (IX) és (X) igaz lesz minden x, y(G R2) elemre..A (XI) tulajdonság azonban a szorzıisokbmı szereplő paraméterekre újabb megszorításokat ad. A következőt bizonyitjuk: 3.1. LEMMA. Legyen az R2 halmaz test az (I*) alakú összeadással és a (ll), (IV) - (VIII) tulajdonságú szorzással; legyen továbbá R2 értékelt testR fölött (3. l ) Kvcl, akkoraz x O y szorzás szükségképpen (X1,-7f2)O (J'ı„J*z) = ((11 Yı "12 Y:) C050* 'Í' (X1 Ya 'Í'-12 Yı) SÍHG, - (xl yl -xl yl) sina + (xl yl + xl yl) cosa)
(3.2)
alak ú, ahol a tetszőleges, e szorzás egységeleme pedig (el , el) = (cosa, sinoı). B IZONYÍTÁS. A (2.19) szorzás esetében a (XI) egyenlet (3.l)-et is figyelembe véve így írható:
b b lxı (01 Yı 'Í' bi ya) 'Í' x2(b1J"ı 'Í' “Él Jlz )l2 'Í' 'Í' lxı (aayı 'Í' Özyz) 'Í' X2(b2J'1'Í' iii .V2)l2 =
= (xi+xš) (yÍ+yŠ)Mivel ez minden (xl, xl), (yl, yl) elempárra igaz kell legyen, ezért a szokásos ınódoıı az alábbi egyenleteket kapjuk: Xi
3
(01 J'ı 'Í' bıJ'2)2 + (02Yı 'Í' b2J'z)2 :yi +J'Š„
yi*
z
zzã +aä =1,
(3.3) 5.!
J'ı.Y2
3
01 Öı 'Í' 02 ba = Ü,
(3-4)
vã
2
bi + bš = 1;
(3-5)
_ X112 -
bı be (f11Jf'ı 'Í'Öı J'2)(b1 yı +TY2)+ _|_
yl
:
bŠ-d (f1zJ*ı'Í'b2J'2)(b2J*'ı 'Í' "'í2"'J'2)=Ü,
azonos a (3.4) egyenlettel,
D D ylylz iz*-*+b§+z>§-a+bã=O,
(3.6)
la
z biã + b=(bŠ;“'1_o;
(3.7)
-*Š
3
yj
b b
2
:
azonos a (3,5) egyenlettel,
yl yl :
azonos a (3.7) egyenlettel,
yã
b*-d
2
(bi .V1 'Í' '_ı;z'2"J'2) 'Í'(b2 Yı 'Í' -gíyz) = yi 'Í')'Š „
= zl-Ha ha +(bã -d>21= 1-
(18)
A (3.3) - (3.8) egyenletrendszerben (2.19) miatt szükségképpen al i 0 kell legyen, ezért (3.3) miatt van olyan oz, hogy al = cos az
és
al = -sinoı,
továbbá a #2 n Tr (n egész). Ezt a (3.4) egyenletbe írva bl = bl ctgoı adódik, azaz (3.5) -öt is felhasználva bl = i sinoı és
bl = i cosoz
írható; 21 d értéke pedig d=Ű1b2_ 2 b1=Í1.
Ezeket a (3.6) egyenletbe írva -cos2a+l?l+cos2a=0 adódik, ami csak úgy állhat fenn, ha mindenütt csak a „felső” előjelekkel számolunk; igy: 54
bl = sina,
bl = cosoı,
d = 1.
ligyszerű számítással meggyőződhetünk arról, hogy ezek a megoldások a további két, ( 3.7) és (3.8) egyerıletet is kielégítik. Egyben az is látható, hogy az inverz létezéséhez. szükséges (bl-al)2+4albl=--4sin2a<0
(a=#nTr)
lelıétel is teljesül [vö. (2.l9)], az (el, el) egységelem (4.19) alapján pedig valóban (eos or, sin a). Az (xl, xl) 0 (vl, yl) = (ul , ul) jelöléssel tehát ul , ul -re (2.19) alapjan a következő írható: ul = xlyl cosa+xl ylsina+xlylsino1-xlyl cosa= = (xıyı"x2.V2)00S0l'Í'(x1V2'Í'X2J*'ı)SÍl10f„ ul =-xlyl sinoz +xlyl cosa+xlyl cosa+xlyl sinoı =
= - (xıyı -xzvz) Si vf + (xıyz + xzvı) cow. ezek pedig pontosan (3.2) alakúak. A (2.18) szorzás esetében (3.l) és (XI) alapján (01-7f1V1 'Í'C1x2V2)2'Í' lŰı(xıJ×'2'Í'x2Vı)'Í'C'2X2J"2l2 ==(-xi 'Í'XŠ)(J'í 'Í'Vá)
adódik. Ez az egyenlet is minden (xl, xl), (yl, yl) elempárra igaz kell legyen, tehát a szokásos úton az alábbi egyenletek írhatók fel:
xi
ai(yi +yã) =J׊ +yä. al = 1;
(3.9)
X1 X2
f11CıVı.V2 'Í' 0ı.V2(ŰıJ'ı 'Í' Czyz) = Ü,
.V1 .V2
alcl + af = 0,
(3.10)
vã
alcl =0;
(3.11)
xã vi
ci yã + (01 vi + @zyz)“ =yi + vš.
.V172
azonos a (3.11) egyenlettel,
.vš
of + cã = 1.
azonos a (3.9) egyenlettel,
(3.12)
A (3.9) egyenletből al = i 1, ennek alapján (3.10)-ből cl = i 1, végül (3.1 1)lıől al vë 0 miatt cl = 0 adódik; ezek a (3.12) egyenletet is kielégítik, továbbá az iııveı"/.eleııı létezését biztosító
SS
cl + 4alcl=-4<0 feltétel is teljesül [vö. (2.l8)]. Itt a al, cl és cl együttható-paraméterekre tehát két ınegoldásrendszert is kaphatunk. Ezekkel (2.18)-ból az (X1 Ja) O (V1 >V2)= (x1V1-X2V2„ xıV2 'Í' X2V1)„ ill.
(x1.xz)0 (y1.vz)= (-xıvı +xz.vz,-xıyz -xzyr) szorzási szabályokat kapjuk. Innen azonnal látható, hogy (3.2) az of = 2nTr, ill. a=(2n+ l)1r (n egész) esetben ezeket is tartalmazza. Az (el , el) egységelem az első esetben (1; 0), a másodikban pedig (- 1; 0). Ezzel a lemma bizonyítása véget ért. 3.2. A 3.1. lemma alapján látható, hogy még a (3.l), (IX), (X) és (XI) tulajdonságok (azaz a test szokásos értékelése) sem szűkíti az R2 struktúrát a komplex számok testére. Kiemeljük azonban, hogy a (3.2) szorzás és a komplex számok szorzása között kölcsönösen egyértelmű kapcsolat áll fenn. Jelöljük az R2\(0; 0) halmazt R2( O)-rel, mely az x C y szorzásra nézve nyilván Abel-csoportot alkot. Jelölje továbbá x =1= y a komplex szorzást, azaz az X1 (x1:x2)*(.y1ıy2)=
V1 *
X2
xı V1 “' X2 V2 =
V2
XıV2 'Í'-X2 V1
műveletet. Nyilvánvaló, hogy az R2 (*) = R2\ (0; 0) halmaz az x*y komplex szorzásra nézve is Abel-csoportot alkot. Az is közismert, hogy az cosoı sina A(a) =
0085 SÍHÖ ,
Á(l5) =
--sina cosoz
»-`-Sin
COSB
típusú 2X 2-es mátrixok halmaza (bal-)operátortartománya R2(*)-nak és aszerint
A(<1)[Á(l3) X] = lÁ(0f) Á( )l X = A(0f + 16)X
(3-13)
is érvényes; ha itt x ai (0; 0), akkor A(o:)x ai (0; 0) is fennáll [x, A(a) x E R2 (*)]. Ugyancsak a komplex szorzás jól ismert tulajdonsága az, hogy [A(a) x] zız [A (or) y] = A(2a) (x*y).
St)
(3.14)
Végül (3.2) alapján nyilvánvaló az xOy=A(a)(x=ı-y; összefüggés is.
(3.15)
Az előző tulajdonságok alapján a következőt bizony ítjuk: 3.2. L EMMA. Az R2 (-ı=) és R2 (O) csoport ízomoızfegvrnással, azaz létezik olyan F(x) : R2 (O) ~> R2 (=ı=) egyértelműen megfordítható leképezés, melyre F(x)*F(y)=F(xOy)
(3.16)
fennáll B IZONYÍTÁS. Legyen F(x) = A(a)x; ekkor (3.14), (3.13) és (3.15) alapjan
F(×) * F(v)=[A(0ı)×1*lA(<×)vl= = A(2<1)(× * Y) = lA(<1)A(<1)l (×* Y) = = A(0=)lA(<×) (X*y)l = A(<1)(× 0 Y) = F(X 0 Y) ırlrató, tehát (3.16) valóban fennáll. A z = F(x) = A(a)x leképzés invertálható is; ugy aıılrı det A(a) = 1 =# 0 miatt A"1(a)z = F'1(z), ahol cosa
- sin or
sina
cos az
A'Í (or) = az. inverz leképzés . Látható továbbá, hogy
cosoz
sina
eosa
F (e) :
1 =
-sina
cosa
-sinoı
0
is érvényes. Q. e. d. 4. §. Kétkomponensű nem-kommutatív gyűrűk 4.1. A 2. §-beli Vizsgálatainkat jelentõsen könnyítette az a tény, hogy az x I Í y ııríiveletről a kommutatívitást is feltételeztük. Most azt fogjuk megvizsgálni, hogy a (V11) konımutatív tulajdonság teljes mellőzésévelf) de a többi (II) - (IV) és (V111) tulajdoıısıigok megkövetelésével milyen új struktúrákat konstruálhatunk. Látni fouk, hogy létezııck R2-beli nem-kommutatív Mi a fenti feltételeknek megfelelően az összes ilycı felsoroljuk. 5)!-Ílıben a részben tehát a kommutativitást nemcsak, hogy nem követeljük meg, hanem kizáıjuk. 'l`esszük ezt azért, hogy a 2.3. lemmában már tárgyalt (2.6) -(2.10) kommutativ szorzásokat ne kelljen ismételten felsorolnunk. A bizonyítás során azonban minden esetet megvizsgálunk és rámulatunk. hogy a konımutatív szorzásként adódó eseteket (2.6) --(2.10) közül melyik tartalmazza.
S7
A 2.1. lemmában megfogalmazott eredmény még független a kommutativitástól, az tehát változatlanul érvényes. Ennek segítségével a következőt bizonyitjuk: 4.1. L EMMA. Ha az xO y szorzás a (I *) összeadásra nézve bal- és jobbdı`sztrı`butı'v
(ll) - (III), továbbá folytonos (VIII), akkor az szükségképpen fı}(x1„X2,Vı,Vz) = (Riz-Vfı 'Í' Ök-7f2)Vı 'Í' (dizxı 'Í' C'ı;xz).Vz
(lC=1„ 2) (4-1)
alakú, ahol ak, bk, dk, ck (k = 1, 2) tetszőleges valós konstansok. B IZONYÍTÁS. Láttuk (vö. 2.1.lemma), hogy ha az x 0 y szorzás bal-disztributiv (II) és folytonos (VIII), akkor az szükségképpen _
.fÃz(x1>x2,V1„V2)=Á).;1(xızX2)V1 'Í'Aızz(x1„x2)V2
(k=1„2) (4-2)
alakú. Teljesen azonos módon nyerhető az (III)
(x+y)Oz=x0z+yOz
jobb-disztributivitási egyenlet részletes kiírása után, hogy az fk(x1 `͡J'1=x2 `Í`J"2= zh 22): .Űl;(Xı„X2„Z1„Z2) 'Í'lÍz(V1„V2,Z1„Z2) (k = 1, 2) függvényegyenlet-rendszemek az összes folytonos (VIII) megoldásai f1}(x1„ X2, Vız V2) = 5ıl1(V1„V2)-X1 'Í' Bkz (V1„V2)X2
(4-3)
alakúak, ahol Bkl tetszőleges (és minden valós yl, yl értékpárra értelmezett) valós függvények. Ha mindkét oldali disztributivitás fennáll, akkor (4.2) és (4.3) alapján -4ı.;1(1'ı„3Q)V1 'Í'Áızz(xı„1'2)V2 = Bk1(VızVz)xı 'Í'Bızz(.V1„V2)x2Legyen itt yl = 0 és yl % 0, ill. yl = 0 és yl ai 0, akkor az
B (Y ,0)
láz 01,0)
B (0,.v)
B“&'2“'Jz'“""?'“ (0.y)
×4ızl(-701,12): ıc'ıy%' 11 'Í' %1_ X2 = Űkxı 'Í'bk-X2, ill.
Ák2(x1,X2)= “']íl;;“'i X1+
X2 :dk X1 +Ck .X2
megoldásokhoz jutunk. Nyilván a Bk,z( yl, 0)lyl, ill. lãa-(0, yl ){ yl hányadosok xl és xl lineáris függetlensége miatt szükségképpen konstansok. Ezeket a megoldásokat (4.2)-be írva valóban (4.l) adódik. Egyszeű számítással meggyőződhetünk arról is6,) hogy ekkor a (II) és (III) tulajdonságok is teljesülnek, Q. e. d.
58
4.1. MECJEGYZES. (4.l)-ből látható, hogy ebben az esetben az x H y szrırzıtı általában nem kornmutativ,` kommutatív csak akkor lesz, ha dk = bk (k = 1, 2). Ugyanis konııııutativitás esetén .li;(x1zX2-Vı„Vz)=f;;(V1,Vz„X1,-Iz),
(0311 'Í' Ö;lx2)V1 'Í' (dk-xi 'Í' C1;-Y2)V2 = (0ı;Vı 'Í' ÖzVz)1'1 'Í' 'Í' (ŐRV1 'Í' C'ı;V2 )-Iz. azaz egyszerűsítés után (Öıl“ dk) (X2.Vı “X1V2) = Üıııni minden (xl, xl), (yl, yl) elempárra csak a dk = bk esetben állhat fenn. Ez termeszetszerűleg egyezik a 2.2. lemmában megfogalmazott eredménnyel. 4.2. Az x O y szorzásban szereplő konstans paraméterekre további megszorıtaıoluıı nyerünk, ha feltesszük, hogy az asszociativ is. Nevezetesen érvényes a következö 4.1. T ETEL. Ha az X 0 y szorzás az (I *) összeadásra nézve bal- és jobb-dtszrrr hutiv (ll) - (III), folytonos (VIII), asszociativ (IV), de nem-kommutatív, akkor az szüksegképpen csak az alábbiak egyike lehet: (X1, X2)0 (.V1„V2)=(01X1Vı„ 41 x1.Vz)
(01 4: Ü)
(4-4)
(X1, X2) O (.Vı»V2) = (01 X1 V1 , U1-YQV1),
(01 214 0);
(4-5)
(xılxz) 0 (Vı„.V2) = (01xıV1 'Í' di-11V: z 4112 V1 'Í' dr-Íz V2),
(4-Ó)
(al 2* 08 dl $
(-11,12) O (Vı„V2) = (U1-Yı.Vı 'Í' b1x2.V1, 0111 .V2 'Í' b1x2V2)„
(4-7)
(bl
ahol az al , bl , dl tetszőleges való konstansok a feltüntetett megszoritásokkal. B IZONYÍTÁS. Láttuk (vö. 4.1. lemma), hogy a disztributiv és folytonos szorzási műveletek szükségképpen (4.1.) alakúak. Az (x O y) O z = x 0 (y 0 z) asszociativ torvényt részletesen kiírva (I) alapján az fklfı(X1»x2».VızV2)_~ f2(xı„\72„Vı„V2)„ 21-321: =fj,lx1-X2-fı(.V1,.V2„Z1„Z2)z f2(.V1»V2„Zı„Z2)I
(k: Í, 2)
tiiggvényegyenlet-rendszert nyerjük. Ennek és (4.l)-nek az alapján a következő írható: ()Mive1 itt a megoldásokat azyl és yl változók specializálásával nyertük, előfordulhatna. hogy a (11) és (111) egyenletekbe való visszahelyettesítés a konstans paraméterekre még további megszoritást ad. A (11 ) és (111) disztributivitási egyenletek azonban már csak azért is teljesülnek, mert a (4. 2) és (4. .ll egyenletekben az /lllltxl. xl) és Bk,-(yl,yl) függvények tetszőlegesek lelıetnek. 'ill
“R101-×71Vı+ Öıxzyı 'Íl-Í1-×?ıV2 + C1 X2V2lZı 'Í' + bkl42xıVı 'Í' Őz-×'2V1 'Í'fÍ2x1V2 'Í'02x2V2lZ1+ 'Í'dklf1ıxıV1 'Í' bıX2Vı +dıXıV2 'Í' C1-x2V2lZ2 'Í' +ŰklŰ2xıV1 'Í' b2X2Vı 'Í'd2-×'ıV2 +C'2X2V2lZ2 = =0kl'ılŰ1V1Z1'Í' ÖıV2Zı Í' d1V1Z2 + CıV2Z2l 'Í' 'Í' Ök-×2lŰıVı Zı 'Í' Ö1V2 Zı 'Í' d1VıZ2 'Í' C1V2Z2I 'Í' 'Í' di-x1[02Vı Zı 'Í' b2V2 Z1 'Í' d2VıZ2 'Í' C'2V2 22] 'Í' 'Í' Ck-×`2l02Vı Zı + b2V2 Zı 'Í' d2V1Z2 'Í' C2V2 Zzl-
lnnen egyszerűsítés után a
Í
(bkaa "dkŰ2)X1Vı Z1 'Í'
+ (akbl + bkbl - bkal -ckal)xlyl zl + + (akdl +bkdl -akbl -dkbl)xlylzl + + (akcl + bkcl -bkbl -ckbl)xlylzl + + (dkal +ckal -akdl -dkdl)xlyl zl + + (dkbl +ckbl -bkdl -ckdl)xlyl zl + +(dkdl + ckdl -akcl -dkcl)xlylzl + +(dkcl-bkcl)xlylzl =O
(k=l,2)
egyenletrendszert kapjuk. Mivel ez minden lehetséges (xl, xl ),(yl, yl) és (zl, zl) elemhármasra igaz kell legyen, ezért valamennyi xl yi zk (i, j, k = 1, 2) szorzat együttható ja szükségképpen zérus. Igy a k = 1, 2 eseteket is figyelembe véve, az ak, bk, ck, dk (k = 1, 2) együtthatókra rendre az alábbi egyenleteket írhatjuk fel:
tx1yıZ1)„ k=12
f1z(br -dı)=0;
(4-8)
k=2:
üa(bl -dl)=0;
(4.9)
bı Ö: -C102 = 0;
(4-ÍÜ)
ÍCLÍZÍ
b2(b2_Ű1)'Í'0z(b1_02)=Ü;
(4-11)
(xıyz2ı)„ Í<=11
dı(f1ı-bz)+bı(dz- ı)=0;
(4-12)
(xaV1Z1)z k =13
k=2: (x2V2Zı)z 47:13 k=2: tı(J
egyező egyenlet (4.8)-cal; Ö1(C2_Ö1)'Í'Cı(01 "'Ö2)=Üš egyező egyenlet (4.10)-zel;
(4-13)
(x1VıZ2)- kz 15
C102 _dıfÍ2 :ÚJ
(4-Í4)
Ű2(C2'“d1)'Í'da(Ű1“d2)=Üš
(4-Í5)
C'1(b2 “da)= 0;
(4-ÍÖ)
k=23
Ö2(C'2“'d1)'Í'da(b1_C2)=0š
(4-Í7)
(-×ıV2Z2)» k=1Í
01(dz"'4'1)'Í'dı(d1“02)=Ü;
(4-15)
,C223
(x2VıZ2)» k=1Í
(X2V2Z2)„
k= 2:
egyező egyenlet(4.l4)gyel;
Íf = 1 3
f-`ı(d1 “Ő1) = 0;
k=2:
egyező egyenlet (4.16)-tal.
(4-Í9)
A (4. 1) művelet tehát csak akkor asszociativ, ha a benne szereplő konstans paraméterek a (4.8) -- (4.19) egyenletrendszert is kielégítik. A (4.8) - (4. 19) egyerıletrendszer megoldását az al =# 0, ill. al = 0 esetszétvrllıııztıissal kezdjük. Az al % 0 esetben nem kapunk nem-kommutatív szorzásokat. Ugyanis (4.8). 11|. 14.0)-ből dl = bl, ill. dl = bl adódik, ekkor tehát a szorzás kommutatív, - a (4.10) (4.19) egyerıletrendszer pedig, amint az egyszerű helyettesítéssel ellenőrizhető, a (.!.1 1) -(2.13)-mal egyező egyenletrendszerre egyszerűsödik. Az innen adódó kommutatív szorzásokat (2.6) - (2.10)-ben soroltuk fel. Az al = 0 esetben a (4.8) -(4.19) egyerıletrendszer megoldásait, - a megoldási ıııt-net könnyebb áttekinthetősége érdekében - a 2-8. táblázatokban adtuk meg. ızihlázatokban itt is feltüntettük, hogy az egyes egyenletekből a szükséges esetszétvtılas-ztások után milyen újabb (általában egyszerűbb) egyenletek (esetleg azonosságok) adódnak.
A (4.20) megoldásrendszer (vö. 4. táblázat) csak kommutatív szorzást eredményez (Xı„X2)O (V1-V2) = (C1 X2V2- C'2X2V2)1-Iz a cl ab 0 esetben megegyezik (2.7)-tel, a cl = 0 esetben pedig a (2.6) egy speciális esete [ha (2.6)-ban al = 0]. A (4.21) megoldásrendszer (vö. 4. táblázat) is csak kommutatív szorzást erednıórıyez (xızxz) O (.V1„V2) 2 (01 X1 V1, C2 X2V2)1-lz pontosan megegyezik (2.6)-tal. A (4.22) megoldásrendszerből (vö. 4. táblázat) valóban az (Xı-X2)Ü(Vı-V2)=(0ıX1V1- Űr-7fı.V2)
(41920) (ıl
F X k1N k lNikkÍ*NkHí;k kk W O 8ãwwmNM>33 vHNe Nők _m:lm`_Zm_k Um TŠN Ákklikkil: lNgikNlN k l
kw_$ O :EE HHa m gço
kkOkHŠiŠ
_Š OWHNUkk' k
*T
ktkk ` ` k l kkıkl k` LkM` 1k k
kS5 O" S __LskM_i1lki1kiÁ(kilŠb
OH _O" NükulO" Nû :~ tm_o"__W: ûkû_ ~
kkonkšg _wlg_k'.wkkkkkkkmkakikkkmoiki) okdk _H__O3 O :kgO“k_8_|§“SS ko#§ +k P_ kÁŠkN;ki1ILk k1 kš H3EÜNu _ CME kkk` 1k`kk;Il k1
kkk 1 l` `klki1k` kwkl
Wk o“ HûOH +AHQıkkuˇuHë
S“1šaki wkmv kÁ1kkiUmÁ Ugk L_koN<
_o"E É Ekb' k _û+*ml kN_kH üLCukadkg |§_k 5 QkŠk__šê ŠÉNŠE M Šëkăê _k kêgëë k§k k__k k kork kus _ Wkk _AJk_N `=§NsW _L_
kk
` kikM1kk Mk`í:k `kki1 k1 ;k`1k1ikıkl kkkwk k
N_aNEk~_a
W k
aki O :EE HS wwwmoco k
Šk5ecn
kk`kk k`k`l k k1ı k klk
_
lt
ı
kk
šâ_m
_;m _|_ÍIí|l|||_I
`li1! k A_.`!iI _`lılq` l\``` \ \l`d\F!"`_`i
í 6"; OHŠ duedns ONEduaaugŐ "S_o#__`_
ädns %O_„wc”s _(\IISiO\l*N<
íoug ãogã äoncä O" Ó" CHS Gı_uilcgâ°ã
°"3_ I_ Guam š@"_cnc” Ã^_?“_`__ˇ“ _°#“__ “_ _ _`l""\`_1"\ `_"`i`!
I_Š'EOHŠW_
_``I_:;`"_y\ "Il`\_.I"`1 ı'.yi"``iiyll\`+ \1:`
ouwš gaãougä ami3%
3 O8&iL Ii ã"OFÁ Ă_I O_N< o"§oãOOãon? _ gulšvg_
_l._ 'Il!I_II-I" IIIII__I`l`Í_II-I I L`"}II I`` K`l'_I`iJ_I ll
O" ga
ŠEaugoígyct” íí
°"A“ûone |“Uˇ O+a û|“Uˇ_Q
ý ã_"§%`
4I_I lw _!
O" “#55 HQ
:Š OH
_ _
MÉNINOAM
ii Ongãlsã
:gi MESZHWOM
_" "` %:_` `\
G13
gi 3? O"„ea
`\WMHl`\ _FW "`M``lÍ-%`!`_!l `I_H\i`W `
Ég ŠE ídušM dnš6"; 6" ŐHŠ ŐHS aug dGHig__oH_ŠÜZ_QNZNón; DÉ _o“_ _u
r` "`\UMH" w`W:\"` "U`
ý3 O HG mWmmO=0N< :Q O :sa Hý
_ 6 "___" _;ö“Q mo_m_N3
ıU""H` _\"`1
W Hwcû "Hu"HO
L
Í":`Š
ãi_Q" _u
dg sûa_V
Wang 6 6" dns dnsdnscu Oő"ŠubŐng “gaug b
O*É"an
wwmm0ãN<
OH"EQ
L
J
L' g
_í
O S HmW%â “WON<
O :HG EE
O wmäOãN< HHu ww
Llıl` ill:"`\]
S ANo_iw&O_mN33 ó _3gwä`_N3
_iI
5Š 8" HN?
5 6 "Í:H
Š ÉsO H
O :aa"um
mmã98N<
ç"" ` \ M`iMW!ã :_!`"H!:`"WHÍi`Ji"`! \ ılr
_ _
O HÉ mwW_||l|lj!Š" :EE W5 OHAÉUÉ:Š W mwmm°"É _O"Nb GON
S 8 c O Hwwmw0 mMãOãN< “WäN <
AVMMM":` `y1š"%1`l il“``HH`h"H"`: ,U"`i:`1`í:"hW` MlU"`
O :EE HŠ
O:ut OgmmA
_`H`U"`ıM“`W
ú
E “85: É“U NOGNSS _ _ ˇ_°m0E
Š" O* :DE 5 i 5 O :SE H _mw“_=OE 0=m
CH O EE šãHnb an “ˇ H_”
82; däšäã NU í HNu NBHNQH
6"EH 5 HMQ ` 1`ı
"Q
gr ŠQII cuÁgi "SS
o“ëJ_E_w+Eı§_ u MO$Ă:OOm2 1U`W` l wU` \`\!\l` `\"d
MEMAZWVOW
AbH _$
a çv O Hã “uv“Q Hăi
` `_\ı`" U.\l `_1"l U` `
Í
iv`"` _l"".`ILI"_\\ `"`l"`:_yă“II ` " ` _`
W_䧧
mwoHSw_1AÃãú_N<_ OHÉ :Hab_o __ˇ EEEOHÉ
d`!``:; "` _\ "ı;!:l`_._\` "\W" `1`
ouaârˇ O" PÜ: O" OHC "Q"üt "Q ã
1!wWmmO_ “It\IilWšn 1 8N< û
E" CHS :G:__mw mwm8ãN< ME
Hunab O H_o#«w _ ab
_
"g aug “_o _o%_§ ONE
6___§_ã§_ šãbâ
Ongš o“3?_ _Šq
M\V_"` _ \`
` L`"_ -
Asi * Mm_?Zm2NDı_m_
§O|_H_ _ˇ_u+?__._§5 3:; MWHMAZNWUM
_
o"@_ § +ã|N_:g AEÉ
ASÉ
O"ã_u|g_ Q
oušıša
_S
`"_Í L____ _` "M;__`ıW_h ___`H`
_
Ü3% ág Ég_ dns ONEdns ŐHE Maug EZQE“ons híg _HND°“É _Q
_ MNWHWAZW_ON
____ _ í&_ ___ i W
O ETŠS dnš HwSmÜ8_S°N< Šã__N_ñn iwcnšŠE °"%?_ $N_OHNU `_+3_“aug :
Š 3OGHZNE Q _ÉEa:Š “O8"“Š _:GH'+gO ^*H ME_?_
__ T_`_ J_r _1_ `_ “`____-`_F` __ Í_ ý
__J_ _`__` _`_`_" M_._` _ ___
Aˇ O :SE W:SE “G wwm8ãN< H“É ww wmã°C wÍ wm8ãN
_ I__ _ _*o3 dä“W äwoãäug5 oäomus üuš wo_wšN3ä3y_g
O É Hmw Ü wmwm3=0N< 5 mw wmm° ON<wWã°“W:_ _aN<
6._ _ _ _NE$3
őuunng SHGHS ënšuš Wong Wonšv_nomš
adá
Azé
_
_
Ammév 5 “NU EN" "g" ÃQHE Nwng “Ung __w _ __ŠŠ_$mš :Háug „_NuÉV ä§
W ___________ M__W_n_&_!__ _ _
L \`NHMU\k
AW _ _
Š_” H_ăä`_°'_Q
`iyV1ı\wFl Á1b \+l;
F` "`: 11 ``
" ` "\ `\ "`I.\
LÁÁ!\Í\i \`_
Au __" úmonnn_°"`m_§_: _o„_aû___h:“ˇ
É "` Í`: \lI"`\":`I`!I_`1\`;
E SŠOGOÉ Q O HÜEOŠÉ mw “W_.
ãOO "Š “W ON<
`U`"` 1\`H"`"\ `!1`I"
K_šûH
:gang
O :ga Hab
íny"_û"8_oH ?" Il`_iÍ_l 3}\`\Í I:` `
É _` I,ll _'"i`.\ `\`" \\` `
O “Š mw ww%O__ON<
^ONE oug _O?šı" _q
O :Hg EE É
É '._
o“š_u+El§_û
__û
ãacaug A"n_bÍûW__ˇ
áOušl Éš 8; uil ênub “
i\ol uãršc
E „mg_
_Ensdng
#3202 O“Š“W
aug A"šuau
“EE HŠ NB O HNu 5 Ga .I`"\1\`W` "W
n "NU Won:
:fi 1`šJ;\:\W` \ h
M"``H\`i `H\W`" `1
O"§|_3G+E_1 Qš
v_m_>Zm_2ND`_m_
ing; Mmzlmszm krwm
onãl_?ãN_gi:N_q Azé
Azé; O"Nw wll c
f'
__I_ `
W*_ûHo@ug_őo"us_ñoHgn
IP igusý W \
7 ő ıûuûón q
i
_`_"_`l _""`_
6 Hab m_mýãO_8N<
`Q _
O“Š www m§oN<
_l__Mi;`ıHN_ÁíH
__% uNSû_a
Gg
W :ga
IMSue l' “aug
“UHQ __
.T "_I,IJ
"_ `
ŠNSSőšdu; GH»__“ä_o#_Q 0_š_;w_ë®;#_Q *Š O Wšncq O äomg w3m0_mN33 :_ “Gang úwgowus35: woH v_:U _o“vhs m
ÍW ú _* :G 5 HwWm8ãN< W :SE
iiŠ JáNLk` Š,NWV:MNÁ É|:~1__ :N33 *ˇ éûng Hmm Q
QH
la _Z WOHÜQHNQHNQ WOHNNˇ "QMS La" nH b
O:gaHGB
+
odnššó s
E O Hmmã“WO_ ON<
šnšãnã
o"§|_ qš
L`"l __I:` `Y
5 "Š m_`äOãN<
ŠE OHNu
híg
:ga
I`J`_ ıí`\`_!"\`_!
6%: 6";_ _"_bdu:óta “EE OHŠ dnš EHS áugdns “aug
_ _:_"`l _-y`_" "`_`
O W“Wšu Hmwm8ãN< mw C mWmw°ãN< h
_? OHG mmšWÁV O_ _ON<
O äšgON< mm "ŠwMã "S “W O_ ON<
O "Gb âûnuu ün
:EE:DEmmW čoE~ã_ m
íš owwwš
O 5 “EEHnb ŠE Hg
oONE HEE “EEš OHU
Iil I
GN4ˇˇ
NU :vE>Zw N015
OHA8 l§N_“ +^_ qI§Š :SW MWHNJZNWOM
o“ã1_E_u+A_u!ã_u más
^2_3
oH2ı_E_Q
nem-kommutatív szorzási szabály adódik, mely megegyezik (4.4)-gycl. A (4.23) megoldásrendszerből (vö. 6. táblázat) valóban az (xı falo(.VızJ'2)=(0ıXıJ?ı„l1ıX2J'ı)
(01:80)
nem-kommutatív szorzást nyeıjük, mely megegyezik (4.5)-tel. A (4.24) megoldásrendszer (vö. 6. táblázat) esetén szintén kommutatív szorzást kapunk, mely
Íxızxzl 0 (.Yı=J'2) = (01 X1 .V1 + 0112 J'2, Gıxzyı + 01 X1 ya + C2 -Vay:) (01 9* Ü) .ı|ukı`ı. Ez pontosan a (2.8) eset. A (4.5) megoldásrendszerből (vö. 6. táblázat) valóban az (-×'ı„X2)O U'ı,J'2) = (H1 xıyı +dıxı.Y2, 0112.71 +dı-Íz Y:)
(al #2 0, dl # 0) nem-kommutatív szorzást nyeıjük, mely megegyezik (4.6)-tal. A (4.26) megoldásrendszerből (vö. 8. táblázat) valóban az (xı,-Izlo (J*ı,y2) = (01 X1 .Yı + Öı X271, H1 X1 .V2 + bıxzyzl
(51:80)
m-m-kommutatív szorzást nyerjük, mely megegyezik (4.7)-tel. A (4.27) megoldásrendszer (vö. 8. táblázat) is kommutatív szorzást eredményez (Xı„X2)O (.Vı„J'2)=(bıX2J'ı +5111 J'2 +01-Vzyzv bı-76272)
(ÖHEŰ)
melyet (2.9) az al = 0 esetben tartalmaz. A (4.28) megoldásrendszer (vö. 8. táblázat) esetén szintén kommutatív szorzást kııpıınk. (xı,X2) O (J"ı„J'2) = (01-X1 Yı + Öı-T2 J'ı + Öıxıyz + C1-1'2J*2„
(bz-
>xzyz>
(õ. +0)
ıııvl y pontosan megegyezik (2.9)-cel. Mivel minden lehetséges esetet megvizsgáltunk, más nem-kommutatív szorzások ııeııı léteznek. A bizonyításból az is nyilvánvaló? hogy a kapott szorzások valóban ası. smuıatívok. Q. e. d. A 4.1. tétel alapján nyilvánvaló a WA J) lábjegyzet [vö. 43. old.] értelemszerűen ide is vonatkozik. (ı'l
4.1. KOROLLARIUM. Az R2 halmaz az (I"') összeadással és a (4.4) - (4.7) szorzások egylkével nem-kommutatív gyűrűt alkot. 4.3. Ez irányú vizsgálataink lezárásaképpen a következő lemmát bizonyitjuk: 4.2. LEMMA. Az (I*) összeadással és a (4.4) - (4.7) szorzások egyikével definiált nem-kommutatív gyűrűk egyike sem tartalmaz (multiplikatív) egységelemet. Következésképpen e nem-kommutatív gyűrűk ferdetestté sem bővíthetők. B IZON Y ÍTÁS. A (4.4) szorzásnak létezik ugyan végtelen sok bal-egségeleme, mert az (eı>e2)0 ()"ı„J"2)=(f1ıf?ıJ'ı„ 01 eıJ*`z)E(.YızJ"2)
azonosság valóban fennáll, ha el = llal (al ai 0) és el tetszőleges, azonban ezek egyike sem jobb-egységelem, mert ekkor l (xl:-x2)o( -BT 8 62] = (x1sa1Qx1)#:(x1ıx2)a
tehát a (4.4) esetben nincs egységelem sem. A (4.5) szorzásnak van ugyan végtelen sok jobb-egységeleme, mert az (xı fzlo (ehez) = (0131 61 „ 01 Xzeılš (xı„X2) azonosság valóban fennáll, ha el = llal (al #2 0) és el tetszőleges, azonban ezek egyike sem bal-egységelem, mert ekkor 1 (Í, f?2)O (J'ı„J'2)= (Jf'ı„ Űı@zJ'ı)?*(J"ı„.V2)„ `\
tehát a (4.5) esetben sincs egységelem. A (4.6) szorzásnak is van, éspedig végtelen sok jobb-egzvségeleme, mert az (xi, X2) O (91, 32) = (01 X1 el + dr X162, 0132 91+ di X2 92) = (X1, X2)
egyenlet alapján felírandó (egyetlen) mq+@@=1 egyenletnek végtelen sok megoldása van; el = (1 - dl ez ) I al (al =z+'= 0) és el tetszőleges. E műveletnek viszont bal-egységeleme nincsen, mert az (ex, 62)O (Jf'ı>J'2) = (U1 91 .V1 + dt 61 ya, 611 ezyı + dr 92%)
egyenlet alapján kapott 0161:1,
7U
d1Č1=0,
0162:0,
dıezzl
cgyenletrendszernek nincs megoldása el, Q -re. Igy (4.6)-nak egységeleme sincsen. Végül a (4.7) szorzásnak végtelen sok bal-egységeleme van, mert az (61 le:) O ()'ı„J'2) = (01 eıyı + Öı Üzyı z 01 eıyz + Öı 0zJl2l= (J'ı,J'2) egyenlet alapján kapott (egyetlen) alel+blel=1 egyenletnek végtelen sok megoldása van: el tetszőleges és el = (1 - al el) I bl (bl =# 0). I-Z ıııűveletnek viszont nincs jobb-egységeleme, mert az (xı„Jf2)O (31, 62) + (Űıxı 91 'Í' bıxz 91, 011132 + Öı X2 62) = (Xız-Íz) egyenlet alapján felírandó alel=1,
blel=0,
alel=0,
blel=l
cgyenletrendszernek nincs megoldása el , el -re. Igy (4.7)-nek egységeleme sincsen. ---Q.c.d A bizonyítás menetéből kiderült, hogy a 4.2. lemmánál valamivel többet bizony ítottunk. Ezt a következőképpen foglalhatjuk össze:
4.2. K OROLLARIUM. A (4.4) -(4.7) szorzások csak az alábbi bal- ill jobbegységelemekkel rendelkeznek: (X1, X2) O (.V1 „J'2) = (01 X1 J"ı„ 01 X1 Ya) 1
(01 :F Ü)
eb = (E-, el
(el = tetszőleges,`)
(X1, X2) 0 (J'ı,J'2) = (41 xı.Yı„ 01 x2J"ı)
(01 if Ü)
éj = ( Í, el)
(el = tetszőleges);
(X1, X2) O (.VızJ?2) = (U1-7fıJ"ı + ŐıxıJ"2„ H1-xzJ'ı+ dıxzyzl
(4-43)
(4-53)
(4-63)
(Űıdı *(3)
1- d el = (--5-122-, el) ı
(el = tetszőleges);
(xılxzl O (.Vı„J'2) = (01 Xıyı + bıxz Jlı z 01 xıyz + bı-Íz Ya)
(4-73)
(bl 9* Ü) 1 _
eb = (el, --ba? el l
(el = tetszőleges). 7l
5. §. Egységelemes kommutatív gyűrűk 5.1. A 2. §-ban az x 0 y müveletről sorrendben: a) az összeadásra nézve bal-dísz tribu ttvitást és folytonosságot (2.1. lemma); b) az előzőeken felül kommutativz'tást (2. 2. lemma); c) az előzőekhez továbbá asszocr`at1`vı`tást (2. 3. lemma); d) az előzőeken felül gységelemes tulajdonságot (2. 4. lemma); e) végül mindezekhez tnvertálhatáságot tételeztünk fel (2.1. tétel). Rá kívánunk mutatni arra a meglepő tényre, hogy az asszociativitás kikötése bizonyos értelemben felesleges, az következményként fog adódni. Pontosabban, érvényes a következő 5 . 1. L EMMA. Ha az x 0 y szorzás az (I *) összeadásra nézve dı`sztTibut1'v (II)-(l]I), folytonos (VIII), kommutatív (VII) és egységelemes (V), akkor szükségképpen asszociativ ts. B IZONYÍTÁS. A 2. 2. lemma szerint a disztributív, folytonos és kommutatív x O y = (fl, fl) szorzásban fk(×ı»-*T2 „J'ızJ'2) = ak X1 Yı 'I' bl; (X172 'I' X2 Yı) 'Í' ck-752 Y: (R7: 1, 2) (5-1) [vö. (2.4)]. Legyen 2 = (el, el) ennek a szorzásnak egységeleme, ekkor (X1,-×`2)0 (31 ze:) = (X1,-Íz),
azaz a komponenseket részletesen kiírva az Űı-1-'1eı'|' bıxı 22 'Í' bıxz 91 'Í' C1-172 92 E11
azlxlel +blxl el +blxl el +clxl el šxl egyenletrendszer adódik. Mivel ez az egyenletrendszer minden xl,xl E R elempárra igaz kell legyen, ezért innen az alel+blel=l
(S 2)
b1e1+Č1e2=0l
alel +bl el =0 b-2e1“l"C2B2 :II
egyenletrendszerek adódnak. Feltételezve, hogy al CI _
i O:
a'2C2_-bg:-#0:
7 .Í
(5-3)
a megoldások C1 = -----el
_b1 = ---,
õ
al C1 _"
-Őz e =?1 azaz-bã
é
S
az
S
ez
a1C1 `“"'
02 =---. azvz-bš
8.8 (
(s.7
)
)
Nyilvánvaló, hogy az (5.6) ill. (S.7) alapján számított egységelem-komponensek egyezäek kell legyenek. Az (5.2a) és (S.7) összefüggések alapján aı“i2:'{+bı _l2:'Šš'=l.
azaz bz
azaz
ıılıonnan egyszerű átrendezéssel a (2.12)-vel egyező 0a(bı"C'2)'l' b2(b2"'f1ı)=Ü
(5-3)
ıclzieiót kapjuk. Hasonlóan adódik (5.3b) és (5.6) alapján c f1ıCı_bi
-b 0101-bı
b2"_'“'““L-1 '+62 +=I,
lIl.ll7.
bı(f-`2"'bı)'|'C`1(Űı_b2)=Ü=
(5-9)
ıııely reláció pontosan (2.13)-mal egyező. Végül akár az (5.2b) és (S.7), akár pedig az (S..4:~) és (5.6) egyenletek alapján b1b2_"C1ŰQ :O
kovelkezik, mely pontosan a (2.11) relációval egyező. Az asszociativitás (szükséges és ) elégséges feltétele volt, hogy az ak, bk, ck (k = I . 2) paraméterek a (2.11)-(2.13) relációknak tegyenek eleget és mivel (5.8)-(5.10) z-zekkel egyezik, az egységelem létezése valóban maga után vonja az asszociativ tulajdon*tag lcljesülčsčt is. Q. 6. d.
S. l. M EGJ EGY Z ES. Bár a 2.3.- 2. 4. lemmákból kiderül, itt is hangsúlyozzuk, hogy az 5.1. lemma állítása nem fordítható meg, hiszen az egységelem létezéséhez (5.8)(N. IU) relációkon felül még (5.4) és (5.5) fennállása is szükséges, de az asszociativitás 1-/ ıılólılıiak nélkül is fennállhat.
73
5.2. A 4. §-ban az x O y müveletről sorrendben: a) folytonosságot és az összeadásra nézve bal- ésjobb-dz'szt11`butıˇvı`tást (4.1. lemma); b) majd az előzőekhez asszociativitást tételeztünk fel (4.1. tétel). Rámutatunk itt is arra a meglepő tényre, hogy az asszociativitás elhagyásával, de az egységelem megkövetelésével már mind az asszociativitás, mind pedig a kommutativitás következményként fog adódni. Pontosan, érvényes a következő 5.2. L EMMA. Ha az x 0 y szorzás az (I*) összeadásra nézve bal- és jobb-disztnl butív (II)-(III), folytonos (VIII) és egységelemes (V), akkor az x 0 y művelet szükségképpen asszociatív és kommutatív. B IZONYÍTÁS. Láttuk (vö. 4.1. lemma), hogy az (I *) összeadásra nézve bal- és jobb-disztributiv továbbá folytonos x O y = (fl, fl) szorzás komponensei fÃ;(XızX2z)'ı,.V2)=(f1kXı+ bkX2)J"ı 'I' (dkxı 'I' C1; X2)J'2
(Íf = 1, 2) (5-1,1)
alakúak. Legyenek e = (el, el) egységelem, akkor xOe=x
és
eOx=x
(5.12)
minden x GR*-re egyidejűleg fennáll, azaz (5.11) alapján az (5.12) egyenleteket részletesen kiírva az (01-×'ı+ bı x2)9ı 'Í' (dıxı '|'C'ıJfz)ë'2 E31,
(U2-X1 '|' Őz-x2)6ı 'I' (da X1 +02 x2)92 5362, (U1 bı 'Í' Öı %)xı 'I' (dı 61+ 01 @z)X2 511,
(az el + bzez)xı + (dz el +õz ez)×z ëxz egyenletek adódnak. Innen az ű1E1+d1E2 ˇ-31,'
(5.13)
b1e1+C1e2=0,Í
0261
+
daez
=Ü, 1}
(5.14)
b2e1"|"C2e2 =
alel +bl@ = 1,]
(5.15)
d1e1+C1e2 = 0,)
Ű261+b2e2 20,! d2e1+C2e2 Z I l
74
(5.16)
vgyeıılelrendszerek írhatók fel, melyek akkor és csak akkor oldhatók meg, ha D1 =Ú1C1_`b1d1?I:0,
%=@a-këi Az (5. I 3), ill. (5.15) egyenletekből _ e2 _
_-bl D1 9
111'
__ e2 _
_-dl D1 8
lııısiııılóan az (5.14), ill. (5.16) egyenletekből pedig
-d
el = íz,
.
III.
-bz
el = -Õ?
zıılmlik és mivel ezek szükségképpen egyenlőek bl = dl és bl = dl is következik. Ez pedig poıııoszııı a kommutativitás feltétele (vö. 2. 2. lemma). Azt a tényt, hogy ebből már az zımoclativitás is következik, az 5.1. lemma bizonyításánál láttuk be. Q. e. d. 6. §. Meegyzések a komplex számok megalapozásának problémájához. Az előző 2-5. §.-ok alapján önként adódik eg - véleményünk szerint - természeıvs ııı ıı komplex számok megalapozására, ill. bevezetésére. Abból indulhatunk ki, hogy a valós számok halmazát úgy kívánjuk bővíteni, hogy u :zi ıkıısos aritmetika, azaz a test-tulajdonságok továbbra is érvényben maradjanak. E fcléplıvsııvk ıı lényege az, hogy egyszerűsége mellett nem szükséges a test tulajdonságok mindt-,lvıket l`eltételezni, mert azokhâl több is, egyszerű következményként fog adódni. Ahogyan a valós számok halmazának a számegyenes pontjait egy-egyértelműen im-gleleltetjük, ugyanúgy a számpárok halmazához (kölcsönösen egyértelműen) az (xl .xl) ıık poııljait rendeljük hozzá. E megfeleltetés eleve sugallja azt, hogy a számpárokra defiızıztlı ıııiíveletek folytonosak legyenek. 'l`crmészetes követelményrendszer tehát az, hogy e számpárokra az alábbi kiköté-„-kkel élünk: (A) Legyen R2 az (xl, xl), (yl , yl ), . . . típusú valós számokból álló számpárok lutlmaza.
(ll) Az R2 halmazban (xl, xl) =.(yl,yl) akkor és csak akkor, ha xl =yl és xl = yl :1(ı'tılı'/űleg fennáll.
((`) Ertelmezzük R2 -ben az Ősszeadást ,,komponensenként", azaz a következő mit *f""`Í-l'ı "')*ı»-172 +.V2) Í: (xı„x2) + Ú'ı>J"z)-
Az (A) ~(B)~ (C) definíciók alapján igen egyszerűen adódik, hogy R2 az összeadásnı mufvv jblytonos A bel-csoportot alkot (vö. 1. 2. pont). 7Š L
(D) Ertelmezzük R2-ben a szorzást a következő módon: (x1ıx2)o (.y1!y2)= (f1(x19x2:yl ıy2)ı fE(x1a-x28 y1>y2))>
és legyenek itt az fl és fl komponensek változóı`knak(parcı'ál1`san) folytonos fügvényei, továbbá legyen e szorzás az előző összeadásra bal- és jobb-disztributiv. Ekkor a 4.1. lemma bizonyításánál látott egyszerű módon következik, hogy a komponensek fk(xı„X2,J*ı„J'2) = (ak-X1 'Í' Őz;-x2)J'ı 'Í' (dk-xı 'Í' Ők x2).Vz
(k = 1, 2)
alakúak. Egyben rámutatunk, hogy a szorzás műveletének gyűrűkbe és testekbe (beleértve a nem-kommutatív eseteket is) legalapvetőbb tulajdonsága a disztributz`vı`tás; nem szokás szorzásnak nevezni olyan műveleteket, mely nem disztributiv. (E) Legyen e szorzás egységeleme (150). E kikötéssel lényegében azt hangsúlyozzuk, hogy a való számok szorzásának 1 egy ségelemét továbbra is megtartjuk. Ekkor az 5. 2. lemma bizonyításánál látott utat követve, az (5.l3)-(5.16) egyenletek alapján egyszerűen adódik, hogy al = 1,
bl = 0,
dl = 0,
cl = tetszőleges,
al = 0,
bl = 1,
dl = 1,
ol = tetszőleges,
tehát az (X1,-x2)° (V1 >J"2) =(xıJ'ı 'Í' C1 XzJ"2, xıyz 'Í'X2Yı 'Í' Czxzyz)
szorzás nyilvánvalóan kommutatív. Ebben az esetben az asszociatiııitás fennállását is egészen egyszerű számítással verifkálhatjuk. (F) Legyen e szorzás invertálható. Ekkor, az inverz elemet (xl,xl )" = (E l (xl , xz)„ čz (xl , xl ))-vel jelölve, 212 X151 'Í'C'ıX2Č2=1 X2 Él 'Í' (xi 'Í'C'2X2)Č2 :Ü
egyenletrendszer alapján látható, hogy X1
C1 X2
X2
X1 + Cgxg
i0
kell legyen minden (xl, xl) äë (0, 0)-ra. Ez pedig az 76
,2 xı(xı 'Í'C`zxz)"4`ı-'fi :(31 'Í' 6%-Íz): “(01 'Í' 6% )-ÍŠWČÜ
egycıılet alapján akkor és csak akkor áll fenn, ha a cl és cl paraméterek között a 4cl + ı el -fi. 0 nagyságrendi reláció fennáll. A (A) - (F) tulajdonságok megkövetelése tehát ıııı jelenti, hogy az R2 halmaz a (+, 0) műveletekkel testet alkot (a szokásos aritmctlkıtval).
(G) Végül legyen az R2 test a valós számok teste fölött az W[(Xı»X2)l Í :V11 'Í';2 lliggı-énnyel értékelt test. likkor, a
WI(×ı„-12) O (J'ı,J?2)l = WI(1'ızX2)I M(J'ı»J"2)l ııılıılılonságot kihasználva egészen egyszerű számítással cl = - 1 és cl = 0, tehát a jól lsıııvıl komplex szorzás adódik (vö. [8]). A további értékelési axiómák triviálisan teljesülııek. I-lııııek az értékelésnek a síkbeli euklideszi távolságfogalommal való kapcsolata is ııvllvılııvaló.
Összefoglalás Az R2 := {(x1 , xz) : - °° < x1,x2 < + °°} valós számpárok halmazában az összeıulılst ıı szokásos módon, „komponensenként” értelmezzük. A szerző azt a kérdést vizsgnl|ıı. hogy melyek azok a folytonos ,,szorzások”, amelyekkel R2 kommutatív gyűrűt, ill. testet alkot (vö. 2. §.). Függvényegyenletek segítségével az összes ilyen struktúra meglıııtáıozást nyert. A 3. §. e testek egy speciális értékelésével foglalkozunk. A 4. és 5. §lııııı ıı lenti típusú nemkommutatív gyűrűket határoztuk meg. Kimutattuk, hogy ilyen tıılııjdonságú ferdetestek nem léteznek. Végül a 6. §-ban a komplex számok egy lehetséges bevezetési módját ismertetjük. IRODALOM [II
J. ACZEL, Lectures on Functional Equations and their Applications, Academic Press, New York - London, 1966, pp. 31-36.
|.'|
l. ACZEL, Vorlesungen über Funktíonalgleichungen und ihre Anwendungen, Birkhiiuser Ver lag, Basel, 1960, pp. 44-47.
| t|
l.. BIEBERBACH, Zur Theorie der komplexen Zahlen,Matl:. Zeitschrlft. 2 (1919). l7l
179.
T/
H] [5]
A. L. CAUCHY, Cours danalyse de l'Ecole Polytechnlque, Vol. 1, Analyse algébrlque, V. Paris, 1821 (Euvres, Sor. 2, Vol. 3. pp. 98-113, Paris, 1897). G. HOHEISEL, Zur Theorie der komplexen Zahlen, Sltzber, Preuss. Akad. Wiss. 1929, 524-531.
[6] [7]
REDEI L., Algebra, Akad. Kiadó, Budapest, 1954, pp. 504-506. F. SCHUR, Zur Theorie der aus n Haupteinheiten gebildeten reellen Zahlen, Math. Ann. 33 (1889), 49-60.
[8]
E. VINCZE, Über die Ein ihrung der komplexen Zahlen mittels Funktionalgleichungen, Publ. Matlı. Debrecen, 23 (1976), . . . (im Druck). THE PRODUCTION OF THE REAL TWO-COMPONENT RINGS AND FIELDS BY MEANS OF THE FUNCTIONAL EQUATIONS
ENDRE VINCZE Sum m ary
In the set of the real number pairs R2 : = {(xl , xl ):-°°<xl, xl <+ °°} is the addition by the usual way by components explained. The author examines the question, which are those eontinuous multiplications, the R2 is forming commutative rings, or fields resp., with. (See. 2nd paragraph). By means of the functional equations all these structures were detennined. In the 3ı`d paragraph the author deals with a special valuation of these, elds. In the 4th and Sth paragraph the non-commutative
rings of type mentioned above are determined. It was proved, that skew fields of such a quality do not exist. Finally in the 6th paragraph a possible method of the introduction of the complex numbers
is discussed. DIE HERSTELLUNG VON REALEN RINGEN UND KÖRPERN MIT ZWEI KOMPONENTEN MIT HILFE DER FUNKTIONALGLEICHUNGEN ENDRE VINCZE Zusammenfassung
In der Menge der realen Zahlenpaare R2 := {(xl, xl):-°°<xl , xl < + °°}wird die Addition auf der herkömmlichen Art „je Komponenten" definiert. Der Verfasser untersucht die Frage, welche diejenigen stetigen Multiplíkationen sind, mit welchem R2 einen kommutativen Ring bzw. Kőrper bildet. Mit Hilfe der Funktionalgleichungen wurden alle solche Strukturen bestimmt. Der 3. Paragraph behan-
delt eine spezielle Bewertung dieser Körper. In den 4.-ten und 5.-ten Paragraph werden die nichtkommu tativen Ringe vin obigem Typ bestimmt. Es wurde nachgewiesen, daiš Schiefkörper mit solcher Eigenschaft nicht existieren. Endlich wird im 6.-ten Paragraph eine mögliche Einleitungsmethode der komplexen Zahlen dargelegt.
78
HuH AHHE HEHCTBMTEHBHHX HBYXHOMHOHEHTHHX HãHEH H TEH C HOMOMBM QYHRHMOHAHLHHX YPABHEHM
B npe, Bnaue P e 8 m M e B MHOmecTEe nap neñcTBMTenLHux queen R2:={Üv*U="” < - „.§-:+« cnomenne TOnLKoEaeTc no Oõuq omy cnocoöy, no KOM-
unuuuwam. AETOp O6cymnaeT Eonpoc, Raane Te Henpepunnae "ymHO-
muuuu", c KOTopuMu cO8naeT KOmMyTaTnBHoe Konbuo nnn Teno. u„uM.: 2 § . C HOMOMLE ®yHEumOHanEHmx ypaaaenuñ Onpeneneau „un DTM cTäyKTypm. B 3-em napargaëe Mu aa umaemc c cneumanbn„H uuunuo 8TMx Ten. B 4-OM m -OM napaPpa@e MH Onpenenann u„K„MMyTaTmEHme Konbua Eume naa oro Tnna. Hoxaaanocb, HTO Haunuuuue Tena ETOPO Tnna He gymecTEymT. OKOHuaTenLHO B 6-OM napnrpuçe y8naraeTcH Eoamoanmn cnocoõ E enenma Komnnexcnux queen
A azerző címe: DR. VINCZE ENDRE egyetemi tanár, intézeti igazgató, u matematikai tudományok kandidátusa NME Matematikai Intézet, 35 l 5 Miskolc-Egyetemváros
9
A NEHEZıPARı MŰSZAKI EGYETEM KÖZLEMÉNYEI
IV. sorozat
TERMESZETTUDOMÁNYOK 22. KÖTET - 1 - 3. FÜZET
MISKOLC 1976
SZERKESZTÖ BIZOTTSÁG: VINCZE ENDRE felelős szerkesztő BERECZ ENDRE, SZABÓ JÁNOS
A kiadásért felelős: Dr. Tajnafőí József rektorhelyettes Sajtó alá rendezte: Dr. Vincze Endre egyetemi tanár Technikai szerkesztő: Németh Zoltánné Megjelent az NME Közleményei Szerkesztőségének gondozásában Kézirat szedése: 1.976. június 25 - 1976. november 16., nyomása: 1977. január 5 - 1977. február 15 Példányszám: 450 Készült: IBM-72 composer szedéssel, rotaprint lemezről az MSZ 5601-59 és MSZ S602-55 szabványok szerint, 15 BI5 ív terjedelemben Engedély száma: MTTH-III-3183I1976. A sokszorosításért felelős: Tóth Ottó mb. üzemvezető Nyomdaszám: KSZ 77-1-NME
TARTALOMJEGYZÉK
Medvec Andrej ~ Szentirmai Zsolt: Anyagi pont kísérő trléderlıez vlıznnyltntt mozgása z z .ez z :~ z~ 2 ~Obádovics J. Gyula: Differenciálegyenlewendszerrel kapcsolatos Cauchy-féle prıılı léma Lp[a, b]>beli együttható fiiggvényekkel - - - -Vincze Endre: Valós kétkomponensű gyűrűk és testek előállítása függvéııyuıyııı letek segítségével ~ ~ ~ f ~ - - -V. Moszkalec - N. Rudakov - Szabó J.: Hőmérsékleteloszlás homogén ktlzellıeıı mozgó hőforrás esetén
1
1
~
- - - -
--
-
~
A
A
-~ ~
-
-
Vincze Endre: Kiegészítések az additív típusú függvényegyenletek elméletéhez, l. DO:-mány Mihály: Néhány megjegyzés a kétállapotú rendszerek mintavételes vízs-
gáızıáıõı ~
z~ z
A
ll W ltl
Mohamed Maher Ali Mohamed El-Naggar: Lineáris másodfajú operátoregyenletek numerikus megoldása javított iterációval, I. - - - - Mohamed Maker Ali Mohamed El-Naggar: Lineáris másodfajú operá toregyenletek megoldása javított iterációval, II.
I
e z - --
H9 ll3
l43
ı49
Dormány Mihály: Egy dichotom döntési probléma megoldása szekvenciális minta-
võıeıezésizijázzisszı
z
zz z
~ - - - - --
7- --
Hancsik Zsolt: Eljárások előírt térgörbére illeszkedő felület által burkolt forgás~ felület számítására - - - -- - --- - -- - - - - - - - --
189 l67
