V
FREQUENCY RESPONSE ANALYSIS
•
Tujuan: Mhs mampu melakukan analisis respon proses terhadap perubahan input sinus
•
Materi: 1. Karakteristik respon sistem order satu terhadap perubahan sinus input 2. Nyquist Plot 3. Bode Diagram
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / V / 1
5.1. Karakteristiik Respons Order Satu Terhadap Sinus Input
Tinjau FT Sistem Order Satu:
Y (s ) ⎡ K ⎤ G (s ) = =⎢ ⎥ ( ) X s ⎣τ s + 1⎦
Jika X(t) = A sin(ωt), dimana A adalah amplitude dan ω adalah frekuensi (radian/waktu). Bentuk Laplace dari fungsi sinus tsb adalah X(s) = A ω /(s2+ ω2) Sinusoidal Response: (Pelajari lagi Bab II)
tÆ∞ maka
e-t/τ
Æ0
KAωτ −t τ KA Y (t ) = e + sin(ωt + φ ) 2 2 2 2 1+τ ω 1+τ ω
Y (t ) =
KA 1+τ 2ω 2
sin(ωt + φ )
dimana: φ = arctan(–ωτ) Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / V / 2
Catatan penting: 1. Respons sistem order satu terhadap input sinus adalah juga berbentuk gelombang sinus dengan frequency yang sama (ω) 2. Rasio output amplitude dan input amplitude adalah:
AR = Amplitude Ratio =
K 1+τ ω 2
2
3. Output wave tertinggal di belakang (phase lag) input wave dengan sudut (angle) |φ| Tiga catatan di atas tidak hanya berlaku untuk sistem order satu tapi juga untuk sistem linear yang lain.
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / V / 3
Ultimate Response of first order system to a sinusoidal input Phase shift (lag) Input wave 1.5
1
0.5
0 0 -0.5
5
10
15
20
25
A
-1
Output wave
B = A x (AR)
-1.5
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / V / 4
Tinjau Bilangan kompleks berikut: c
=a+ib
dimana: a = bagian real dan b = bagian imaginer Modulus atau absolute value atau magnitude
r=c =
[Re(c )]2 + [Im(c )]2
= a2 + b2
Phase angle atau argument
⎡ Im(c ) ⎤ ⎛b⎞ −1 ⎛ b ⎞ θ = tan ⎢ = tan ⎜ ⎟ = arctan⎜ ⎟ ⎥ ⎝a⎠ ⎝a⎠ ⎣ Re(c ) ⎦ −1
maka: a = r cos θ
dan b = r sin θ
c = r (cos θ + i sin θ ) = r e iθ Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
dimana:
e iθ ≡ (cos θ + i sin θ ) DINPRO / V / 5
Complex Plane and Complex Number I
c=a+ib
(a,b) r
b θ
a
Real Axis R
Notasi Polar r ≡ magnitude θ ≡ argument Imagiray Axis Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
a = r cos θ b = r sin θ DINPRO / V / 6
Jika d adalah conjugate dari c:
d = (a − i b ) Magnitude
c=d =
[Re(c )]2 + [Im(c )]2
= a2 + b2
Argument
⎡b ⎤ arg d = − arg c = − tan ⎢ ⎥ ⎣a⎦ −1
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / V / 7
Substitusi s = iω
ke fungsi tansfer G(s)
⎛ − iωτ + 1 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ G (iω ) = = iωτ + 1 iωτ + 1 ⎝ − iωτ + 1 ⎠ K
G (iω ) =
K
τ ω +1 2
2
K
−i
Modulus [G (i ω )] =
Kωτ τ 2ω 2 + 1
Bilangan kompleks
K
Amplitude Ratio
τ ω +1 2
2
a rg ument [G (i ω )] = tan −1 (− ωτ
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
Buktikan
)
Phase Angle
DINPRO / V / 8
Contoh 5.1: Tentukan amplitude ratio (AR) dan phase angle (φ) untuk beberapa fungsi transfer berikut: a) Pure Capacitive Process
G (s ) =
b) N Non-Interacting Capacities in Series
KN K1 K2 L G (s ) = τ 1s + 1 τ 2 s + 1 τ N s + 1
c) Second Order Process
K G (s ) = 2 2 τ s + 2ζτ s + 1
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
K s
DINPRO / V / 9
Penyelesaian: a) Pure Capacitive Process
G (iω ) =
K ⎛ iω ⎞ K i = 0 − ⎜ ⎟ iω ⎝ iω ⎠ ω
Amplitude Ratio (AR)
Phase angle (φ)
G (iω ) =
K
ω
φ = tan −1 (− ∞ ) = −90o
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / V / 10
b) N Non-Interacting Capacities in Series
G (iω ) = G1 (iω )G2 (iω )LGN (iω )
Ingat c = r e
iφ
G1 (iω ) = G1 (iω ) eiφ1 ; G2 (iω ) = G2 (iω ) eiφ2 LGN (iω ) = GN (iω ) eiφ N Maka:
G (i ω ) = [ G 1 (i ω ) G 2 (i ω ) L G N (i ω ) ]e i (φ1 + φ 2 + L + φ N )
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / V / 11
Amplitude Ratio (AR)
AR = G (i ω ) = G 1 (i ω ) G 2 (i ω ) L G N (i ω ) AR =
K 1K 2 L K N 1 + τ 12 ω 2 1 + τ 22 ω 2 L 1 + τ N2 ω 2
Phase Angle
φ = φ1 + φ 2 + L + φ N φ = tan
−1
(− ωτ 1 ) + tan − 1 (− ωτ 2 ) + L + tan − 1 (− ωτ N )
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / V / 12
c) Second Order Process
( (
) )
⎛ − τ 2ω 2 + 1 − i 2ζτ ω ⎞ K K ⎜⎜ ⎟⎟ = G(iω ) = 2 2 2 2 2 2 − τ ω + 1 + i 2ζτ ω − τ ω + 1 + i 2ζτ ω ⎝ − τ ω + 1 − i 2ζτ ω ⎠
(
atau
)
G(iω ) =
(
(
K 1 − τ 2ω 2
)
(1 −τ ω ) + (2ζτ ω ) 2
Amplitude Ratio (AR)
Phase Angle (φ)
)
2 2
2
−i
K 2ζτ ω
(1 −τ ω ) + (2ζτ ω )
AR = G (i ω ) =
2
2 2
(1 − τ
φ = arg [G (i ω )] = tan
−1
2
K 2
ω
) + (2ζτω )
2 2
2
2 ζτω ⎞ ⎛ ⎜− 2 2 ⎟ ⎝ 1−τ ω ⎠
Phase lag karena φ < 0 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / V / 13
5.2. NYQUIST PLOT • Plot bilangan Real versus Imaginer untuk G(iω)
AR = r =
[Re (G (i ω ))]2 + [Im (G (i ω ))]2 Im
⎛ Im [G (i ω )] ⎞ ⎟⎟ φ = a t an ⎜⎜ ⎝ Re [G (i ω )] ⎠
a = r × cos(φ ) atau Re = AR × cos(φ )
(a,b)
b r φ
a
Re
b = r × sin (φ ) atau Im = AR × sin (φ ) Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / V / 14
NYQUIST PLOT SISTEM ORDER SATU
G (s ) =
Y (s ) ⎡ K ⎤ =⎢ ⎥ X (s ) ⎣τ s + 1⎦
Kc=1
Kc=5
Kc=10
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / V / 15
NYQUIST PLOT SISTEM ORDER DUA
Y (s ) ⎡⎛ K1 ⎞⎛ K 2 ⎞⎤ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟⎥ = ⎢⎜⎜ G (s ) = X (s ) ⎣⎝ τ 1 s + 1 ⎠⎝ τ 2 s + 1 ⎠⎦
ω: from –∞ to 0
K1=1 K2=1 Merah: τ1 = 1 & τ2 = 1 ζ=1
ζ = 1.25
Biru: τ1 = 0.25 & τ2 = 1 ζ = 1.25 ζ=1
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
ω: from 0 to ∞
DINPRO / V / 16
NYQUIST PLOT SISTEM ORDER DUA
K G (s ) = 2 2 τ s + 2ζτ s + 1
K=1 τ= 1
ω: from –∞ to 0
ζ = 0.5 ζ = 0.1
ω: from 0 to ∞
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / V / 17
KRITERIA KESTABILAN NYQUIST Jika Nyquist Plot mengelilingi titik (–1,0) dalam bidang kompleks untuk ω = 0
s.d.
ω → ∞ , dan searah
putaran jarum jam, maka sistem TIDAK STABIL. Im
(–1,0)
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
Re
DINPRO / V / 18
NYQUIST PLOT SISTEM ORDER TIGA
⎤ Kc Y (s ) ⎡ =⎢ G (s ) = X (s ) ⎣ (s + 1)(2s + 1)(4s + 1) ⎥⎦
ω: from –∞ to 0 Kc=50
Sistem
Kc=15
menghasilkan
Kc=5
Respons yang tidak stabil jika Kc>15
ω: from 0 to ∞
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / V / 19
5.3. Bode Diagram • Penghargaan terhadap H.W. Bode • Plot 2 kurva:
MR vs ω
dan
φ vs ω
• Untuk fungsi transfer yang kompleks • MR dan ω diplot dalam skala logaritma (range sangat lebar) Sistem Order Satu:
AR =
φ = tan
(
K 1+τ ω 2
−1
K 2 2 log ( AR ) = − log 1 + τ ω 2
2
(− ωτ )
)
Anggap τ konstan; jadi τω merupakan variabel bebas pengganti ω Plot: log(MR) vs log(τω)
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / V / 20
BODE DIAGRAM SISTEM ORDER SATU corner frequency
log (AR)
low frequency
hig h
fre qu en cy
log (τω)
log (τω) = 0 τω = 1 ω=1/τ
log (τω) Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / V / 21
log (AR)
K=100
BODE DIAGRAM
K=10
SISTEM ORDER SATU
K=1
DENGAN BERBAGAI NILAI GAIN (K)
log (τω)
ω=1/τ
log (τω)
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / V / 22
⎡⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞⎤ ⎟⎟⎜ G (s ) = ⎢⎜⎜ ⎟⎥ ⎣⎝ 2 s + 1 ⎠⎝ 5s + 1 ⎠⎦
log (AR)
BODE DIAGRAM SISTEM ORDER DUA
angle
log (τω)
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
log (τω)
DINPRO / V / 23
BODE DIAGRAM SISTEM ORDER DUA
G (s ) =
K τ 2 s 2 + 2ζτ s + 1
log (AR)
ζ = 0.1 ζ = 10
ζ=1
angle
log (τω)
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
log (τω)
DINPRO / V / 24
KRITERIA KESTABILAN BODE Crossover frequency: Frequency ketika phase lag (φ) sama dengan 180o → ωCO
Sistem TIDAK STABIL, jika AR lebih besar dari 1 (satu) pada crossover frequency (ωCO)
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / V / 25
⎤ Kc Y (s ) ⎡ =⎢ G (s ) = ⎥ ( ) ( )( )( ) X s s + 1 2 s + 1 4 s + 1 SISTEM ORDER TIGA ⎣ ⎦ BODE DIAGRAM
log (AR)
Kc=50 Kc=1
Sistem dengan
log(AR)=0 → AR = 1
Kc = 50 menghasilkan respon yang TIDAK STABIL,
log (τω)
karena AR > 1
angle
pada ωCO
ωCO log (τω)
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / V / 26
