OPT/OZI L05
Frekvenční analýza optických zobrazovacích systémů obecný model vstupní pupila
výstupní pupila
v
u
z y
zo
x
zi
difrakčně limitovaný zobrazovací systém: • rozbíhavá sférická vlna od bodového předmětu je přeměněna na sbíhavou sférickou vlnu ve výstupní pupile • vlna z výstupní pupily konverguje do místa geometrického obrazu bodového předmětu Abbeho teorie zobrazení
předmět
ohnisková rovina
obraz
koherence uvažujeme • realistickou detekci intenzity • kvazimonochromatický signál koherentní pole • jeden mód • lze popsat komplexní amplitudou (vlnoplocha, fáze) nekoherentní pole • středování přes módy • nelze popsat amplitudou (nelze definovat vlnoplochu, fázi) detekovaná intenzita na výstupu systému (1D) I i (u) =
⟨
2 |U αi (u)|
∞
⟩,
∞
U αi (u) = ∫ −∞
⟨
*
h(u−ξ)U αo (ξ) d ξ α*
⟩
I i (u) = ∬ h(u−ξ) h (u−ξ ') U αo (ξ)U o (ξ ') d ξ d ξ ' −∞
vzájemná intenzita Γ(ξ , ξ ')
speciální případy • koherentní pole = jeden mód *
(faktorizace)
Γ(ξ , ξ ')=U o (ξ)U o (ξ ') 2
I i (u) = |∫ h (u−ξ)U (ξ) d ξ| • prostorově nekoherentní pole Γ(ξ , ξ ')=I o (ξ)δ (ξ−ξ ') 2
I i (u) = ∫|h (u−ξ)| I o (ξ) d ξ
shrnutí • koherentní signál: systém lineární v amplitudě, amplitudová impulsní odezva h • nekoherentní signál: systém lineární v amplitudě, intenzitní impulsní odezva (PSF) |h|2 • zanedbali jsme časovou koherenci – lze u zobrazení frekvenční analýza koherentního zobrazení konvoluční teorém
spektrum geometr. obrazu
Gi ( f x , f y ) = H ( f x , f y ) G g ( f x , f y ) amplitudová přenosová fce
spektrum obrazu
H ( f x , f y) = F
∞
{∬ P (λ z x , λ z y)exp [−i 2 π (u x+ v y) ] dx dy} i
−∞
i
obrazová vzdálenost
pro symetrické pupily
H ( f x , f y) = P( λ z i f x , λ z i f y) perfektní přenos pod prahem, žádný přenos nad prahem
příklad: P ( x , y) = circ
ořez frekvencí: w ρ0 = λ zi
(
√ x 2 + y2 w
)
H ( f x , f y ) = circ
λ zi ρ
( ) w
ρ=
√
2
2
f x+ f y
frekvence vyšší než ρ 0 jsou zobrazovacím systémem odstraněny
frekvenční analýza nekoherentního zobrazení 2
I i (u , v) =|h(u , v)| ∗I g (u , v)
optická přenosová funkce (OTF), někdy též MTF (jako modul |H |) 2
H ( f x , f y) =
F {|h(u , v)| } 2
F 0 {|h(u , v)| }
obdobně zavedeme normalizovaná intenzitní spektra G i ( f x , f y) , G g( f x , f y)
ve frekvenční oblasti: G i ( f x , f y ) = H ( f x , f y )G g ( f x , f y )
vztah mezi amplitudovou přenosovou funkcí, pupilou a OTF
H ( f x , f y) =
=
H ( f x , f y) ⊗ H ( f x , f y ) H (0, 0 ) ⊗ H (0, 0)
P (λ z i f x , λ z i f y ) ⊗ P (λ z i f x , λ z i f y ) P(0, 0) ⊗ P (0, 0)
OTF je normalizovaná autokorelace pupilové funkce
∞
H ( f x , f y) =
P ∬ −∞
(
x+
λ zi f x 2
, y+
λ zi f y 2 ∞
) ( *
P x−
λ zi f x 2
2 |P ( x , y)| dx dy ∬ −∞
, y−
λ zi f y 2
)
dx dy
vlastnosti OTF H (0 , 0) = 1 *
H (− f x ,− f y ) = H ( f x , f y ) |H ( f x , f y )| ≤ |H (0 , 0)|
OTF difrakčně limitovaného systému P( x , y) =
{
1 uvnitř pupily 0 vně
OTF je normalizovaný překryv vzájemně posunutých kopií pupily
příklad – kruhová pupila P( x , y) = circ( r / w)
přenesené frekvence
√
2
2
(λ z i f x ) + (λ z i f y ) = λ z i ρ < 2 w
max přenesená frekvence monotonně klesající fce
ρmax = 2 w/(λ z i ) = 2 ρ 0 ořez frekvencí pro koherentní zobrazení
vliv aberací na zobrazení zobecněná pupilová fce: P ( x , y) =|P ( x , y)|exp[ i k W ( x , y)] vlnové aberace – odchylka od ideální sférické vlnoplochy ve výst. pupile
apodizace
• aberace nemění ořez frekvencí • fázové aberace vždy zmenšují/zhoršují MTF • velké aberace
OTF plyne z geometrické optiky
příklad: chyba zaostření (1D)
ϕ a ( x) = − W ( x , y) =
k 2 k 2 x , ϕ i ( x) = − x 2 za 2 zi x
obrazová rovina
2 2
w
rovina detektoru
Wm
max aberace vlnoplochy pro pupilu šířky 2 w
výsledná OTF:
W m/ λ = 0 1/ 2
1/ 4
3/ 4 1
obrácení fáze pro W > λ / 2 m
vliv apodizace na zobrazení • gaussovská apodizace
P ( x) = rect
x 3 2 exp − x 2w 2
( ) (
)
lepší kontrast po apodizaci pravoúhlá pupila
horší přenos vysokých frekvencí
rozšíření centrálního maxima
zeslabení vedlejších maxim
• “inverzní” apodizace P ( x) = rect
x 2w
( )(
1 3 2 + x 4 4
) lepší přenos vysokých frekvencí
snížený kontrast
koherentní vs nekoherentní zobrazení • nutno srovnávat stejné veličiny • např. nelze přímo srovnat ořez amplitudového a intenzitního spektra intenzitní frekvenční spektrum • nekoherentní zobrazení 2
2
I i = |h| ∗|U g|
F { I i } = ( H ⊗ H )(G g ⊗ G g )
• koherentní zobrazení
autokorelace
2
I i = |h ∗ U g|
F { I i } = ( H G g) ⊗ ( H G g)
příklad:
2
I g (ξ) = cos (2 π f ξ) ,
• objekt A:
f 0 /2 < f < f 0
U g (ξ) = cos(2 π f ξ)
frekvence amplitudy: − f , f
frekvence intenzity: −2 f , 0 , 2 f
dokonalý koh. přenos
• objekt B:
snížený nekoh. přenos
U g (ξ) =|cos (2 π f ξ)|
frekvence amplitudy
0,±2 f ,±4 f ,… koh. obraz bez modulace
• objekt A je lépe zobrazen koherentně, objekt B nekoherentně
ostatní efekty • zobrazení ostré hrany
v místě geometrického obrazu hrany:
I koh = I 0 /4, I nekoh = I 0 /2
• rozlišení pro kruhovou pupilu (Rayleigho kritérium)
nekoherentní
koherentní
=
=0
= /2
• koherenční zrnitost (speckle)
