FOURIER April 2013, Vol. 2, No. 1, 42 – 53
PENYELESAIAN PERSAMAAN TELEGRAPH DAN SIMULASINYA Agus Miftakus Surur1, Yudi Ari Adi2, Sugiyanto3 1, 3
Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sunan Kalijaga 2
Matematika, Fakultas MIPA, UAD Yogyakarta
Abstract Equation Telegraph is one of type from wave equation. Solving of the wave equation obtainable by using Green's function with the method of boundary condition problem. This research aim to to show the process obtain;get the mathematical formula from wave equation and also know the form of solution of wave equation by using Green's function. Result of analysis indicate that the process get the mathematical formula from wave equation from applicable Green's function in equation which deal with the wave equation, that is applied in equation Telegraph. Solution started with searching public form from Green's function, hereinafter look for the solving of wave equation in Green's function. Application from the wave equation used to look for the solving of equation Telegraph. Result from equation Telegraph which have been obtained will be shown in the form of picture (knowable to simulasi) so that form of the the equation Telegraph. Keyword: Green's function, wave equation, equation Telegraph.
1. PENDAHULUAN Fungsi Green merupakan suatu fungsi yang mempunyai kriteria khusus. Fungsi Green juga dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial: persamaan Gelombang dan persamaan Panas. Cabang dari persamaan Gelombang ada beberapa persamaan diantaranya persamaan Schrodinger dan persamaan Telegraph. Persamaan Telegraph adalah persamaan yang diambil sebagai aplikasi dari persamaan Gelombang yang diselesaikan dengan fungsi Green dengan metode masalah syarat batas dari persamaan diferensial. 2. PERSAMAAN TELEGRAPH Suatu aliran listrik pada sebuah kabel dapat diuraikan dengan menggunakan persamaan diferensial parsial Persamaan diferensial parsial di atas disebut dengan Persamaan Telegraph. Dimana adalah suatu daya,
adalah suatu induksi,
adalah suatu kapasitor, dan
adalah suatu
kebocoran, dari semua bagian tersebut diukur panjangnya (besarnya) dari suatu kabel. Suatu
42
Penyelesaian Persamaan Telegraph dan Simulasinya
;
fungsi yang tidak diketahui pada suatu waktu , pada posisi
bisa menggambarkan besarnya tegangan volt atau arus dari suatu kabel tersebut dimana
0, ∞
∞.
Untuk memperoleh bentuk yang lebih sesuai dalam menguraikan ini, maka dengan memberikan permisalan 2
1
,
,
,
Sehingga menghasilkan persamaan 2
.
(1)
Dari persamaan menggambarkan 1 4 Dengan demikian hanya membutuhkan penyelesaian dari persamaan (1) dari nilai
dan
0. (1) diselesaikan dari nilai yang berubah-ubah pada
, .
dengan ketentuan
Untuk lebih detailnya, dipunyai dua kasus: Kasus I : Kasus II : Karena persamaan Telegraph merupakan orde dua, maka untuk dasar menetapkan dua kondisi awal: ;0
,
;0
Persamaan tersebut adalah linear dan homogen, maka pertama dapat menyelesaikannya 0, kemudian menyelesaikan dengan
dengan
0, dan menjumlahkan hasil-hasilnya.
Sebagai pendahuluan penyederhanaan, didefinisikan dari persamaan Telegraph untuk bentuk khusus dengan
;
;
transformasi
0, supaya persamaan menjadi
, yang sesuai untuk kasus 1. 1. Kasus I Pada kasus 1 yaitu
, yang merupakan masalah nilai awal dari
Dengan ;0
,
;0
Untuk menghubungkan susunan tersebut pada persamaan gelombang, dimasukkan sebuah variabel baru yang bebas yaitu , ;
dan fungsi menjadi
; 43
Agus Miftakus Surur, Yudi Ari Adi, & Sugiyanto
Untuk fungsi ini, dipunyai
,
/
,
,
sehingga persamaan menjadi 0 Dengan , ;0
,
, ;0
Persamaan gelombang ini diselesaikan dengan formula , ; ,
Dimana
,
,
.
Nilai operator rata-rata-nya adalah dinyatakan dari: ,
1
,
2
1, 2
| |
1 2
(2) | |
Untuk memperkirakan integral
, didefinisikan variabel baru dari pengintegralan
cos θ , 0
dengan formula
, untuk mendapatkan
|
|
Pembuktian:
cos θ
sin θ θ
cos θ
cos θ cos θ
cos θ cos θ
sin sin 44
cos θ
Penyelesaian Persamaan Telegraph dan Simulasinya
|
|
|
|
|
|
sin
sin θ θ
θ |
|
(3)
Hasil dari integral (3) telah diketahui pada fungsi Bessel, Menurut Fungsi Bessel : 1 2
cos
cos
1 2
1 2 1
cos
cos
cos
cos
cos
cos
Dengan demikian diperoleh 45
.
Agus Miftakus Surur, Yudi Ari Adi, & Sugiyanto
1
,
2
| |
1
2 | |
1
2
1
2
(4) Dengan mengeluarkan faktor 0.
dengan
Untuk
menemukan
, didapatkan penyelesaian persamaan Telegraph penyelesaian
yang
lebih
umum,
dibutuhkan
mendiferensialkan integral tersebut terhadap :
1 2
1 2
Akan tetapi turunan dari fungsi Bessel
adalah fungsi Bessel
:
. Dengan
demikian disimpulkan bahwa 1 2
(5) 2
Gambaran
secara dengan
;
jelas ;0
dari
penyelesaian
,
;0
persamaan
Telegraph
seperti yang ditunjukkan oleh
1 2 1 2
(6)
2 46
Penyelesaian Persamaan Telegraph dan Simulasinya
2. Kasus II Pada kasus 2 yaitu
, yang merupakan masalah nilai awal dari
0
(7)
Dengan ;0
,
;0
Untuk menyelesaikan (7) digunakan Transformasi Fourier 1 2
1, 2
(8)
Dengan membalikkan formula, sehingga diperoleh 1, 2 Gambaran Fourier yang diinginkan dari penyelesaian ;
(9) adalah
,
Dimana
,
(10)
adalah fungsi yang akan ditentukan. Untuk melakukan ini, (10)
disubsitusikan ke dalam persamaan gelombang (7) 0
;
;
Ini diperlukan oleh
untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa ;
=0
Sehingga ;
cos
Untuk memperoleh
sin
dan
(11) 0 pada (10) dan (11)
, diberikan
;0
,
;0
Membandingkan dengan (9) dan kondisi awal dari (7), dipunyai ,
=
Disubsitusikan ke dalam (11) dan mengembalikan dari (10). Diperoleh gambaran Fourier cos
;
sin
(12)
Dengan menggunakan (12) didapatkan gambaran yang berhubungannya dengan fungsifungsi
,
yang telah diberikan. Ingat kembali bahwa 47
Agus Miftakus Surur, Yudi Ari Adi, & Sugiyanto 1 2
cos
sin
1 2
maka cos
1 2
1 2
1 2
.
Dengan cara yang sama sin
1 2
1 2
1 2
1 2
.
Dari hasil di atas jika keduanya dijumlahkan maka akan diperoleh: ;
1 2
1 2
(13)
Inilah bentuk persamaan Telegraph pada saat kasus II.
3. SIMULASI PERSAMAAN TELEGRAPH Simulasi, pada penelitian ini adalah bentuk (gambar) dari persamaan telegraph setelah di-plot ke dalam salah satu software ternama yaitu Mathematica versi 6, sehingga diketahui bentuk dari persamaan Telegraph berdasar dari persamaan yang telah didapatkan di atas. Sebagai langkah awal untuk mencari simulasi persamaan Telegraph ini, dimasukkan suatu nilai (angka) pada variabel. ;
1 2
1 2 2 48
Penyyelesaian Persamaan Telegraph T dan Simulasinya
belnya: denggan nilai tiapp-tiap variab 1;
1;
1;
|3
intervval
4 ;
|1 1
2 ; dan
,
, berikut adalah outputt
padaa kasus I:
|
Gambar 1. outpu ut pada inteerval Padaa interval
|1
5 ;
|1
|0
10 ;
|
20 , simu ulasinya:
|
Gambaar 2. Outpu ut pada inteerval Padaa interval
;
|0
; 20 , sim mulasinya:
49
|
Agus Miftakus M Su urur, Yudi A Ari Adi, & Sugiyantoo
|
Gambarr 3. Outputt pada inte rval
;
|
Dari simuulasi Gambaar 1, Gambbar 2 dan Gambar G 3 dapat d diambbil kesimpu ulan bahwaa semaakin besar nilai
yan ng diberikaan pada peersamaan maka m gelom mbang yang g terbentukk
semaakin banyakk, sehingga bentuk b dari gelombang g itu sendiri akan semakkain tampak k jelas. Selanjutnyya akan dicaari simulasii pada Kasu us II. Langkaah untuk meencari simu ulasi hampirr samaa seperti lanngkah pada kasus I, haanya saja peersamaan yang digunak akan berbed da, sehinggaa hasill yang diperroleh juga berbeda denggan kasus I.. Diawali deengan meng gambil perssamaan yang g sudah diperoleh dari penjabaran: 1 2
;
1 2
denggan nilai tiapp variabelny ya: 1; |1
intervval
2 ;
|2
20
,
,
50
Penyyelesaian Persamaan Telegraph T dan Simulasinya
Gamba ar 4. Outpu ut pada inteerval Padaa interval
|1
5 ;
|1
20 ,
|
Gam mbar 5. Outtput intervval Padaa interval
|0
10 ;
Gam mbar 6. Pad da interval
|
|0
;
|
;
|
20 ,
|
51
Agus Miftakus M Su urur, Yudi A Ari Adi, & Sugiyantoo
Dari simulasi (Gambaar.4), (Gam mbar.5) dan (Gambar.6) ( ) dapat diam mbil kesimpulan bahwaa nilai
dan yanng diberikan n pada persaamaan tidak k terlalu meempengaruhhi bentuk sim mulasi.
ESIMPULA AN 4. KE 1. Peersamaan Teelegraph meempunyai bbentuk umum m 2 daan mempunnyai dua: Kasus I : Kasus II : 2. Kaasus I mempperoleh persamaan Tellegraph 1 2
;
1 2 2
daan simulasinnya dengan nilai tiap-tiiap variabellnya: 1; innterval
1; |1
1; 2 ;
|2 2
20 0 , dan
,
adalah
0 , dan 20
,
3. Kaasus II mem mperoleh perrsamaan Teelegraph ;
1 2
1 2
daan simulasinnya dengan nilai tiap-tiiap variabellnya: 1, inteerval
|1
2 ;
|2
unntuk kasus II: I
52
Penyyelesaian Persamaan Telegraph T dan Simulasinya
AFTAR PU USTAKA 5. DA [1] Piinsky, Mark A, A 1998, “Partial Differentiial Equations and Boundarry-Value Probblems with Ap pplications 3rdd eddition”, McGrraw-Hill Intern national Editioons. [2] Puurcell, Edwin J. Varberg, Dale and Rigdoon, Steve E., 2001, 2 “Kalkulu us”, Jakarta: E Erlangga. [3] Annton, Howardd, 1995, “Aljab bar Linear Eleementer”, Jakarta: Erlanggaa. [4] Sooedijono, Bam mbang, 2004, “Kalkulus “ III””, Jakarta: Uniiversitas Terbu uka. [5] Brracewell, Ronnald N., 2000, “The Fourierr Transform an nd Its Applica ations”, McGra raw-Hill Higher Education. [6] Suuriasumantri ,JJujun S., 1987 7, “Filsafat Ilm mu Sebuah Peengantar Popu uler “, Jakartaa: Pustaka Sinaar Harapan. [7] Taan, Soo T., 2010, “Calculuss “, Belmon U USA: Brooks/C Cole. [8] D Darmawijaya, Prof. Dr. Soeeparna. 2006, “Pengantar Analisis Reall”. Jurusan M Matematika Faakultas MIPA A UG GM. [9] A Astuti, Fani Dw wi, “Fungsi Green G dan Peenerapannya pada p Persama aan Diferensiial Biasa”. Sk kripsi Jurusann M Matematika FM MIPA Universiitas Negeri M Malang, lulus taahun 2007. [10] L Larson, Ron, Bruce B H. Edw wards, 2010 ,C Calculus 9th ed dition, USA: Brooks/Cole. B th t [11] T Thomas, 2005, Calculus 11 Including Seecond-Order Differential D Equations, E Adddison-Weslay y. [12] A Ayres, Frank, Jr., PhD, Elliiott Mendelsoon, PhD. Scha aum’s Outline Series Calcuulus 5th edition ns, USA: Thee M McGraw-Hill Companies. [13] G Green's functioon and bound dary elements of multifield materials. m [14] H Hand Out Perssamaan Diferrensial Elemennter, 2008. [15] H Hand Out Perssamaan Diferrensial Parsiall, 2010. [16] R Razali, Muham mmad, 2008, “Cara mudaah menyelesaiikan Matematika dengan M Mathematica”, Yogyakarta:: A Andi.
53
