Fókuszált fénynyalábok keresztpolarizációs jelenségei

Fókuszált fénynyalábok keresztpolarizációs jelenségei K®házi-Kis Ambrus, Klebniczki József

Kecskeméti F®iskola GAMF Kar Matematika és Fizika Tanszék, 6000 Kecskemét, Izsáki út 10.∗ Véges transzverzális kiterjedés¶ fénynyalábok viselkedése számos olyan jelenséget eredményez, amit az optikában széleskör¶en elterjedt kétdimenziósnak nevezhet® leírás nem tud helyesen leírni. A háromdimenziós leírásból igen, de a kétdimenziós leírásból nem következ® polarizációs jelenségek, a keresztpolarizációs jelenségek általános leírását adjuk a fénynyalábok paraxiális közelítésének alkalmazásával. Az analitikusan nyert képletek segítenek a fókuszált fénynyalábok viselkedésének megértésében. Megvizsgáltuk a közegek határfelületér®l visszavert, illetve azon megtör® fénynyalábokat, megadjuk a keresztpolarizációs hatás er®sségének a beesési szögt®l való függését.

I. BEVEZETÉS Fénynyalábok polarizációs tulajdonsága számos alkalmazás során játszik fontos szerepet. Gondoljunk csak az elektrooptikában a fény polarizációját kihasználó modulációs, fényterel® eljárásokra. Az er®s fókuszálást alkalmazó optikai adatrögzítés, mikroszkópia, mikromegmunkálás területén az utóbbi id®ben különös hangsúlyt kapott a fénynyalábok polarizációja. Megmutatták [1], hogy speciális, úgymond radiálisan poláros fénynyalábokkal lényegesen kisebb fókuszált foltméretek érhet®k el, mint a szokásos lineárisan, vagy cirkulárisan polarizált fénynyalábok alkalmazásával. Nagyon fontos tehát a fénynyalábok polarizációs tulajdonságainak megfelel® ismerete. A fels®fokú oktatásban használt tankönyvekben és az optikai szakirodalomban is szinte kizárólagosan (kivételként érdemes Born és Wolf kiváló könyvét [2] megemlíteni) a fénynyalábok kétdimenziós (2D) leírását használják. A 2D-leírás keretében a fénynyaláboknak csupán transzverzális elektromágneses terét tételezik fel, pedig könnyen megmutatható (lásd a II. fejezetben), hogy transzverzális irányokban véges, lineárisan polarizált fénynyaláboknak is van longitudinális irányú elektromágneses tere. A longitudinális terek általában annál er®sebbek, minél er®sebben fókuszált a fénynyaláb. Gyengén fókuszált nyalábokban a 2D-leírástól mutatott csekély eltérés miatt alkalmazható a 2D-modell olyan sikeresen például a lézerrezonátorok tervezésében [3]. Fénynyalábok 2D-modelljének elektromos és mágneses térer®ssége csupán a hullámegyenletnek a megoldása, de nem megoldása a Maxwell-egyenleteknek. Ezen modell alkalmazásának el®nye egyszer¶ségében rejlik, sík felület¶ izotrop optikai elemekre a beesési síkban, vagy arra mer®legesen polarizált fénynyaláb visszavert, illetve áteresztett fénynyalábja továbbra is lineárisan polarizált marad. Hasonlóan, a fókuszálás nem változtatja meg a bees® nyaláb polarizációs állapotát. Fókuszált fénynyalábok elektromágneses terének háromdimenziós (3D) leírását el®ször Richards és Wolf adta

∗ Electronic

address: [email protected]; URL: matfiz.gamf.hu/kohazi-kis.ambrus

meg [4] már 1959-ben. Megmutatták, hogy még ha a bees® fény síkban polarizált is, a fókuszált fénynyalábnak a fókuszálás er®sségét®l függ® mértékben megjelenik az eredeti polarizáció transzverzális irányára mer®leges és longitudinális irányú elektromos tere is. A fénynyalábok 3D-viselkedéséb®l következik továbbá, hogy még izotrop sík felületeken történ® törés, visszaver®dés esetén is általában keletkezik a bees® fénynyaláb beesési síkban, vagy a beesési síkra mer®legesen polarizált elektromos terére mer®leges elektromos térkomponens is [5]. A szakirodalomban éppen ezeket a 2D-modell alapján nem várt polarizációs jelenségeket szokás keresztpolarizációs jelenségeknek nevezni [6]. Ebben a cikkben a 3D-fénynyalábok tulajdonságait, keresztpolarizációs jelenségeit vizsgáljuk a matematikailag egyszer¶bb, a lényegi vonásokat azonban megmutató paraxiális közelítés keretében. A keresztpolarizációs jelenségek jelentkeznek, kísérletileg meggyelhet®k [5, 7] gyengén fókuszált, a paraxiális közelítésnek megfelel® fénynyalábok esetén is, de a fénynyalábok 3D-jellege f®ként az er®sen fókuszált, a paraxiális közelítésen már kívül es® fénynyalábok esetén jelentkezik meghatározó er®vel. A paraxiális közelítés alkalmazását azonban az indokolja, hogy a keretében levezethet® - a nemparaxiális leírással összevetve lényegesen egyszer¶bb - összefüggésekkel jellegében helyesen adhatjuk vissza a 3D-viselkedés f®bb jellemvonásait. A II. fejezetben összefoglaljuk a paraxiális 3D koherens fénynyalábok jellemz®it. A III. fejezetben egyszer¶, paraxiális leírását adjuk a fókuszálás során megjelen® keresztpolarizációnak. A IV. fejezetben izotrop közegek határfelületén megtör®, vagy arról visszaver®d® fénynyaláb keresztpolarizált jelének általános jellemz®it adjuk meg. Végül a V. fejezetben röviden összegezzük a cikkben leírtakat.

II. 3D-FÉNYNYALÁBOK A szabad térben érvényes 3D-megoldások felírásakor a Maxwell-egyenletek vektoriálisan is helyes síkhullámmegoldásaiból érdemes kiindulni. Mivel a Maxwellegyenletek az elektromágneses tér jellemz®ire nézve lineárisak, ezért a teljes rendszert képez® síkhullámmegoldásokból lineáris kombinációval megkaphatók a fénynyalábok általánosan érvényes, 3D-megoldásai.

2 Egy εr relatív dielektromos állandójú homogén, izotrop, nem mágneses (µr = 1) forrásmentes térben kialakítható ω körfrekvenciájú monokromatikus fénytér elektromos (~e) és mágneses (~h) tere kielégíti a Maxwellegyenleteket. A következ®kben az elektromágneses térnek f®ként csak az elektromos terével foglalkozunk: a fénytér mágneses tere a Maxwell-egyenletek segítségével az elektromos térb®l már számolható. A síkhullámmegoldások elektromos tere: ~

~ ei (ω t−k ~r) , ~e (~r, t) = E

(1)

ahol ~k = (kx , ky , kz ) a síkhullám hullámszámvektora (k0 = 2 π/λ, λ a fény vákuumban mért hullámhossza): 2

k =

kx2

+

ky2

+

kz2

=

k02

· εr .

(2)

Monokromatikus, ω körfrekvenciájú, tetsz®leges fénytér felírható a síkhullám-megoldások összegeként:

~e (~r, t) =

ei ω t 2π

Z Z

~ (kx , ky ) · e−i (~k ~r) dkx dky . E

(3)

Az összegzés (integrálás) elvégzésekor elegend® csupán két hullámszámvektor-komponensre (kx , ky ) összegezni, mert a harmadik hullámszávektor-komponens (kz ) meghatározható a (2) összefüggésb®l. A (3) Fouriersorfejtésb®l visszakaphatók a síkhullámok elektromos terének er®sségét (szögspektrális felbontását) meghatározó ~ (kx, ky ) vektorok: E

~ (kx , ky ) = 1 E 2π

Z Z ~e (x, y) · ei (kx x+ky y) dx dy ,

(4)

ahol ~e (x, y) = ~e (x, y, z = 0, t = 0), az elektromos térer®sség térbeli eloszlása egy síkon egy kezd® id®pontban. Az elektromos tér divergencia-mentessége következtében a síkhullámok elektromos-térer®sségét megadó ~ (kx, ky ) vektorok komponensei azonban nem választE hatóak meg egymástól függetlenül:

kx Ex + ky Ey + kz Ez = 0 .

el®írhatjuk egy x − y síkon a térer®sség két komponensének viselkedését. A lineárisan polarizáltsághoz írhatjuk, hogy ey (x, y) = 0 , és egy w0 nyalábderekú alapmódusú Gauss-fénynyaláb deniálásához megadhatjuk ex (x, y) függvényt is a következ®képpen:

¶ µ 2 x + y2 ex (x, y) = Ex 0 · exp − w02

(6)

A (4) összefüggésb®l adódik, hogy ekkor Ey (kx, ky ) függvény is azonosan zérus lesz, továbbá a következ®t kapjuk (lásd a függeléket):

Ex 0 q0 · exp Ex (kx, ky ) = ik

Ã

¡ ¢! i q0 kx2 + ky2 , 2k

(7)

ahol q0 = π w02 /λ, és k a (2) képletben deniált. A (5) képletb®l viszont azonosan zérustól különböz® adódik Ez (kx, ky ) függvényre:

Ez (kx, ky ) = −

kx Ez (kx, ky ) . kz

(8)

Azaz a a lineárisan polarizált fénynyalábunknak longitudinális elektromos terének kell lennie. A fénynyaláb elektromos tere térbeli és id®beli függése meghatározásához Fourier-sorfejtését (3) kell meghatároznunk, amit paraxiális közelítésben analitikusan is elvégezhetünk [7] (lásd a függeléket) (r2 = x2 +y 2 , q = q0 +z , E0 (z, t) = Ex 0 qq0 · ei (ω t−k z) ):

µ ¶ i k r2 ex (~r, t) = E0 (z, t) exp − , 2q ey (~r, t) = 0 , µ ¶ x i k r2 ez (~r, t) = −E0 (z, t) exp − . q 2q

(9) (10) (11)

A transzverzális és a longitudinális térrer®sségek abszolút-értékei maximumának arányára (KL ) a következ®t kaphatjuk [7]:

(5)

~ (kx, ky ) komponensei közül nem választható Azaz E meg két térer®sség-komponens függvény is azonosan zérusnak, ezért a fénynyaláb térer®sségének sem lehet csupán egy komponense nem azonosan zérus. Ezek alapján jól látszik, hogy például a 2D-modell lineárisan polarizált fénynyalábja, ahol a térer®sségnek csupán egy transzverzális irányban van zérustól különböz® értéke, valójában nem megoldása a Maxwell-egyenleteknek. A továbbiakban meghatározzuk a lineárisan polarizált fénynyalábok 3D-modellben helyes paraxiális modelljét. Egy z -irányba terjed® x-irányban polarizált fénynyaláb deniálásához az el®z®ekben kifejtettek értelmében

KL = 0, 14 ·

λ . w0

(12)

Például egy w0 = 3 λ nyalábderék-vastagságú lineárisan polarizált fénynyalábban minden transzverzális síkon a longitudinális térer®sség maximuma közelít®leg 5%-a az ugyanazon síkon meghatározott transzverzális térer®sség maximumának. Láthatjuk, hogy a 2D-modell közelít® megoldásához a 3D-modell a fénynyaláb fókuszáltságának növelésével növeked® eltérést ad. Azaz a 2D-modell a fénynyalábok gyenge fókuszáltsága esetén azok nagyon sok területen kielégít® pontosságú modelljét adja.

3 A Maxwell-egyenletekb®l a síkhullám-összetev®k elekt~ = romos és mágneses tere közötti kapcsolatra adódó H 1 ~ ~ képlet segítségével a fénynyaláb mágneses tere k × E ω ε0 is számolható (lásd a függeléket):

µ ¶ xy i k r2 hx (~r, t) = −H0 (z, t) 2 exp − , (13) q 2q µ ¶ ¶ µ x2 − y 2 i k r2 hy (~r, t) = H0 (z, t) 1 + , exp − 2 q2 2q (14) µ ¶ 2 ikr y , (15) hz (~r, t) = −H0 (z, t) exp − q 2q p √ ahol H0 (z , t) = E0 (z , t) · n ε0 /µ0 , n = k/k0 = εr a közeg törésmutatója. Eredményül azt kaptuk, hogy az elektromos térer®sség transzverzális részének lineáris polarizáltsága esetén a fénynyaláb mágneses terének longitudinális komponense mellett zérustól különbözik mindkét transzverzális komponense is. Azaz a fénynyalábot nevezhetjük csupán elektromosan lineárisan polarizált fénynyalábnak is. Hasonlóan deniálhattunk volna mágnesesen lineárisan polarizált fénynyalábot is, aminek elektromos tere nem lenne lineárisan polarizált. Az elektromosan polarizált fénynyaláb modellje fontosságát az emeli ki, hogy léteznek olyan (a rendezett molekulái révén anizotrop elnyel®-képesség¶ vékonylm) polarizátorok, amelyek elektromosan polarizált fénynyalábokat állítanak el®, és bármely optikai rendszerb®l kilép® fénynyaláb is felbontható elektromosan polarizált fénynyaláb komponensekre. A 2D-modellben feltételezzük, hogy a fénynyalábnak csak transzverzális elektromos és mágneses tere van. Hagyományosan a p-polarizált fénynyalábról feltesszük, hogy csak a beesési síkban van elektromos tere, míg az s-polarizált fénynyalábról azt gondoljuk, hogy csak a beesési síkra mer®leges elektromos tere van. A 2Dmodellben ezen deníciók alapján történ® felbontással valós, zikai s- és p-polarizált fénynyalábokat kapunk. A 3D-modellben azonban a szokásos s-polarizált komponens nem ad zikai fénynyalábot, mert mint láttuk, azok elektromos terének legalább két Descartes-komponense nullától különböz®. Ebb®l következ®en a fénynyalábok szokásos s- és p-polarizált komponensekre történ® felbontása a 3D-modellben nem tartható meg. Ezen probléma elkerülése végett módosítanunk kell az s- és a p-polarizált fénynyalábok denícióját [5]. A továbbiakban p-polarizáltnak nevezünk egy fénynyalábot, ha annak elektromos tere zérus a beesési síkra mer®leges irányban, és s-polarizáltnak nevezzük, ha elektromos tere zérus a beesési síkban, a fénynyaláb terjedési irányára mer®leges irányban. A polarizációs állapotok ezen deníciói megfelelnek a vékonylm polarizátorok polarizációs hatásának. A 2D-modellben a hagyományos és a módosított deníciók teljesen egyenérték¶ek. A fenti polarizációs állapotok módosított denícióit a viszonylag egyszer¶ elméleti modell ((9)-(15) képletek)

és a vékonylm polarizátoros megvalósíthatóság teszi elfogadhatóvá. Meg kell azonban jegyeznünk, hogy nem minden, a gyakorlatban használt, polarizátor állít el® a (9)-(15) képletek által deniált polarizált fénynyalábokat. A polarizálás mechanizmusából azonban az általunk részletezettnél bonyolultabb polarizációs állapotok következnek például a Glan-Thompson, vagy a dielektrikum-tükör polarizátorok esetén. Azaz a 2D-modellben egyenérték¶nek számító polarizátorok a 3D-modellben nem egyenérték¶ek. A síkhullám-összetev®k térer®sség-komponensei közötti (5) összefüggésb®l leolvasható, hogy a 3D-modellbeli fénynyalábok síkhullám-összetev®i elektromos térer®sségének legalább két komponense zérustól különböz®. Ebb®l következik az el®z®ekben részletezett lineárisan polarizált fénynyalábok longitudinális tere. Van azonban csak transzverzális elektromos térer®sséggel (TE) bíró fénynyaláb is, ekkor Ez (kx , ky ) = 0, amib®l az angulárisan polarizált fénynyaláb jellemz®i vezethet®k le. Megmutatható, hogy az ilyen fénynyalábban a mágneses tér sugár irányban, radiálisan polarizált. Hasonlóan, a transzverzális mágneses térer®sséggel (TM) bíró fénynyalábok elektromos tere lesz sugárirányú: az utóbbi fénynyalábot szokás radiálisan poláros nyalábnak nevezni.

III. A FÓKUSZÁLÁS KERESZTPOLARIZÁCIÓS HATÁSA A 2D-modellben a lineárisan polarizált fénynyalábok meg®rzik lineárisan polarizált állapotukat anizotrop lencsével történ® fókuszálás után is. A fénynyalábok 3Dmodellje szerint azonban a fókuszált nyalábban megjelenik az eredeti polarizációs irányra mer®leges polarizációjú fény is, mint ahogyan azt úttör® cikkükben Richards és Wolf már 1959-ben meghatározta [4]. Ebben a fejezetben paraxiális közelítésben számolom a fókuszálás 3Dmodelljét. Eredményül egyszer¶, könnyen kiértékelhet® képleteket kapunk a keresztpolarizációs jelek er®sségére, amivel a kísérletek eredményének értelmezéséhez szükséges nagyságrendi becslések kaphatók. Tekintsünk egy, az el®z® fejezetben meghatározott monokromatikus lineárisan polarizált fénynyalábot közvetlenül a lencse el®tt egy x1 − y1 transzverzális síkon (a képletekb®l a triviális id®függést elhagytuk):



 1 , 0 ~e1 (x1 , y1 ) = E1 (r1 ) ·  (16) −x1 /q1 µ ¶ i k r12 E1 (r1 ) = Ex 1 · exp − , (17) 2 q1 p ahol r1 = x21 + y12 és Ex 1 a bees® fénynyaláb elektromos térer®ssége x komponensének maximális értéke. A lencse fókuszáló hatását a paraxiális közelítés második rendjében a fény terjedési irányának megváltoztatása miatt a fény er®sségét módosító szorzó (A (r1 )), a lencse

4 optikai tengelyét®l mért r1 sugártól függ® fázistolással ˆ δ α) (∆ϕ) és az elektromos teret megdönt® mátrixszal (M írhatjuk le:

~ 1 ) e~1 (x1 , y1 ) . ˆ δ α A (r e~2 (x1 , y1 ) = ei ∆ϕ M

(18)

Mivel egy f fókusztávolságú vékonylencse fázisfront módosító hatását 1/q2 = 1/q1 − 1/f adja [3], ezért a vékonylencse radiálisan parabolikus fázistolása:

µ ¶ µ ¶ k r12 k r12 k r12 − − = . ∆ϕ (r1 ) = − 2 q2 2 q1 2f

(19)

A lencse a sugárirányban változó késleltet® hatása mellett a fénynyaláb elektromos terét is megdönti. A következ®kben feltesszük, hogy a lencse apertúrája a fény hullámhosszánál lényegesen nagyobb, és a lencse mögött kialakuló fényteret is csak a fény hullámhosszánál lényegesen nagyobb távolságra vizsgáljuk. Ekkor a vékonylencsére bees® fényt lokálisan síkhullámként kezelt fénysugarak összességének tekinthetjük. A fénysugarak törését alapvet®en annak megfelel®en írhatjuk le, hogy a lencse lokálisan egy kis-szög¶ prizmaként viselkedik, amelynek δ eltérítési szögét az határozza meg, hogy a lencse a párhuzamosan beérkez® fénysugarakat mind a fókuszpontjában gy¶jti össze (tan δ = r1 /f ). A megdöntött fénysugárnak is a terjedési irányára mer®leges az elektromos és mágneses tere. A fénysugár terjedési irányának megváltoztatása ezért általában megváltoztatja a fénysugár elektromos terének rezgési irányát is. A térer®sségvektort transzˆ δ α mátrix három elemi transzformáló mátrix formáló M szorzataként áll el®:

ˆδ α = M ˆα · M ˆδ · M ˆ α−1 , M

(20)

ˆ δ az optikai tengely irányába történ® δ szög¶ forahol M ˆ α egy az optikai tengely körüli α szög¶ forgatás, míg M gatás mátrixa (sin α = y1 /r1 , cos α = x1 /r1 ). A lencse fényterének módosító hatását a [4] referencia √ szerint A (r1 ) = cos δ amplitúdó-szorzással kell gyelembe venni. Csak a legfeljebb másodrend¶en kis tagokat meghagyva a következ®t kapjuk: A (r1 ) ≈ 1 −

r12 . 4 f2

(21)

A (18) képlet segítségével paraxiális közelítésben közvetlenül a lencse mögött megkapott térer®sség eloszlásból a (4) képlet segítségével számolhatjuk a lencse után tovaterjed® fény síkhullám-összetev®inek er®sségét. Az utóbbiból pedig (3) képlet alkalmazásával megkaphatjuk a lencse mögött valamilyen z távolságban kialakuló fénynyaláb elektromos terének eloszlását. A paraxiális közelítés és a Siegman-lemma többszöri alkalmazásával egy meglehet®sen összetett kifejezést kapunk. A gyakorlatban fontosabb esetekben azonban tehetünk bizonyos egyszer¶sít® feltevéseket. Párhuzamosított, nem túlságosan

1. ábra. A bees® x-irányban lineárisan polarizált fénynyalábban fókuszálás hatására keletkez® y -irányú elektromos tér helyfüggése keskeny bees® fénynyaláb esetén teljesül, hogy q1 À f , aminek következtében teljesül még a |q1 | À |q2 |, és a (|q2 | − f ) ¿ f összefüggés is. Ezek gyelembevételével a fénynyaláb elektromos terének a térbeli és id®beli eloszlását a következ® képletekkel adhatjuk meg a paraxiális közelítés második rendjében [7]:



 2 2 1 − 3 x4 q+y 3   ~e3 (~r, t) = E3 (~r, t) ·  − 2xqy2 , 3 −x/q3

E3 (~r, t) = Ex 1

(22)

à ¡ ¢! k x2 + y 2 q2 exp − · ei (ω t−k z) , q3 2 q3 (23)

ahol q3 = q2 + z . A (22) kifejezés a fókuszálás keresztpolarizációs jelenségét mutatja: a bees® fénynyalábban az elektromos térer®sség y komponense zérus volt (lásd a (16) képletet), a fókuszált nyalábban viszont megjelenik ez a térer®sségkomponens is (lásd az 1. ábrát). Az (22) képletet elemezve megmutatható [7], hogy a keresztpolarizáció révén keltett y komponens¶ és az eredeti polarizációs iránynak megfelel® x komponens¶ elektromos térer®sségek maximumainak arányát (KF ) a következ®képpen számolhatjuk:

µ KF ≈ 9, 3 · 10−3 ·

λ w3 0

¶2 ,

(24)

ahol w3 0 = πfwλ0 a fókuszált nyaláb nyalábderekának vastagságát, míg w0 a bees® fénynyaláb vastagságát adja. A (24) képletb®l kit¶nik, hogy még w3 0 = 3 λ mellett is a keresztpolarizált térer®sség maximuma az eredeti polarizáció irányába es® térer®ssége maximumának

5 csupán ezred része. Azaz a viszonylag vastag (a 2Dmodellel is egészen pontosan leírható) lineárisan polarizált bees® nyalábból fókuszálás révén nagyon jó közelítéssel az el®z® fejezetben deniált elektromosan polarizált 3D-fénynyalábot kaptunk.

IV. A TÖRÉS ÉS VISSZAVERŽDÉS KERESZTPOLARIZÁCIÓS HATÁSA A 2D-modell szerint izotrop közegek sík határfelületén bekövetkez® visszaver®dés vagy törés esetén a beesési síkban, vagy arra mer®legesen lineárisan polarizált bees® fénynyaláb polarizációs állapota nem változik. A fénynyalábok 3D-modellje szerint azonban ha a határfelület reexiós, illetve transzmissziós Fresnel-együtthatói függenek a bees® fény polarizációs állapotától, akkor a bees® fény polarizációs irányára mer®leges irányú polarizáció is megjelenik a visszavert és a megtört fénynyalábban [5, 7]. Ebben a fejezetben áttekintjük a visszaver®dés és a törés során megjelen® keresztpolarizációs jelenségeket. A keresztpolarizációs jelenség értelmezéséhez most is a bees® fénynyaláb síkhullám-összetev®ire történ® bontás nyújt segítséget. A bees® fénynyaláb legyen bár a beesési síkban, vagy arra mer®legesen polarizált, a fénynyalábot alkotó síkhullám-komponensek általában már nem lesznek a saját beesési síkjukban vagy arra mer®legesen polarizáltak. Ez különösen azokra a ferdének nevezhet® síkhullám-összetev®kre teljesül, amelyek hullámszámvektora nem illeszkedik a fénynyaláb beesési síkjába. A ferde síkhullám-összetev®knek van a saját beesési síkjukban és arra mer®legesen polarizált tere is, amelyekre a reexiós, illetve a transzmissziós együtthatók különbözhetnek. Ezért ezen síkhullám-komponensek polarizációja ekkor elfordulhat, ennek következtében a síkhullám-összetev®k ered®jeként sem a bees® fénynyaláb polarizációs állapotát kapjuk vissza. Minél jelent®sebben eltérnek a beesési síkban vagy az arra mer®legesen polarizált fényhullámokra érvényes Fresnel-együtthatók egymástól annál jelent®sebb a visszaver®déskor, illetve töréskor bekövetkez® polarizáció torzulás mértéke. A ferde síkhullámösszetev®knek a jelenség kialakításában játszott szerepe miatt várható, hogy a keresztpolarizált jel a fénynyaláb beesési síkja két oldalán rendelkezik a bees® fénynyaláb szimmetriája esetén két egyforma maximummal. Tételezzük fel, hogy ismert a bees® fénynyaláb szögspektrális felbontása, azaz ismert a fénynyalábot ³ alkotó ´ ~k hullámszám-vektorú síkhullám-összetev®k E ~ i ~k térer®sség vektor-amplitúdója (a vektor komponensei adják a térer®sség komponenseinek amplitúdóját). Az egyes síkhullámok törését, visszaver®dését a saját beesési síkjához és a határfelülethez illeszked® koordinátarendszerben lehet egyszer¶en, a Fresnel-formulákkal megadni. A síkhullám lokális koordináta-rendszerének három tengelyét jelöljük x ˆ, yˆ és zˆ jelekkel. A tengelyek határozzanak meg úgy egy jobbsodrású koordinátarendszert, hogy legyen zˆ a felületre mer®leges, a második közeg irányába mutató tengely, x ˆ irányát a sík-

hullám beesési síkjának és határfelület metszete által meghatározott irány adja. Ekkor a bees® fényhullámok ³ ´ ³ ´ ~ ~ ~ a ~k Ei k és a megtört vagy visszavert fényhullámok E vektor-amplitúdói komponensei között az alábbi As és Ap Fresnel-együtthatók teremtenek kapcsolatot (ha a = r, akkor As és Ap reexiós együtthatókat (Rs és Rp ), míg ha a = t, akkor As és Ap transzmissziós együtthatókat (Ts és Tp ) jelentenek):

Ea xˆ = Ap Ei xˆ , Ea yˆ = As Ei yˆ .

(25) (26)

A visszavert vagy megtört síkhullám zˆ komponensét a síkhullám elektromos terének divergencia-mentességéb®l számolhatjuk. A visszavert vagy megtört fénynyaláb elektromos terének meghatározásához a (25)-(26) képletekkel a síkhullám-összetev® lokális koordináta-rendszerében meghatározott visszavert vagy megtört síkhullámok vektor-amplitúdóit vissza kell transzformálni a fénynyaláb közös koordináta-rendszerébe, és a síkhullámok járulékait fel kell összegezni. Visszaver®dés, illetve törés esetén a fénynyalábok szögspektruma változásának azaz a síkhullám-összetev®k transzformálódásának felírásakor alapvet®en koordinátatranszformációkat, továbbá a (25) és a (26) képleteket kell csak alkalmazni [5, 7]. Az alapvet®en lineáris transzformációkat magába foglaló számolás végigviteléhez tanácsos egy analitikus számolásra alkalmas számítógépes program segítségét is igénybe venni. A paraxiális közelítés legalacsonyabb el nem t¶n® rendje határozza meg alapvet®en a paraxiális fénynyaláb transzverzális térer®sség, illetve intenzitás eloszlását. Visszaver®dés (a = r) és fénytörés (a = t) esetén a paraxiális közelítés els® rendjében egy általános, a keresztpolarizáció mértékét megadó képletet kapunk:

Ea u (kx , ky ) ∼ =−

ky ∆As−p Ei v (kx , ky ) , ki tan α

(27)

ahol ki a bees® síkhullám-összetev® hullámszámvektorának abszolút értéke, α a síkhullám-összetev® beesési szöge, továbbá u, v és ∆As−p jelek a következ®ket jelentik a négy lehetségesen felmerül® alapesetben:

• Reexió esetén (a = r),

 ha a bees® fény a beesési síkban polarizált, akkor v = x, u = y és ∆As−p = Rs − Rp ,

 ha a bees® fény a beesési síkra mer®legesen

polarizált, akkor v = y , u = x és ∆As−p = Rp − Rs .

• Transzmisszió esetén (a = t),

 ha a bees® fény a beesési síkban polarizált, akkor v = x, u = y és ∆As−p = Ts − Tp ,

6

2. ábra. A bees® x-irányban lineárisan polarizált fénynyaláb visszaver®désekor vagy törésekor keletkez® y -irányban polarizált fénynyaláb transzverzális intenzitás-eloszlása

 ha a bees® fény a beesési síkra mer®legesen

3. ábra. Leveg®b®l érkez® fénynyalábnak egy 1, 48 törésmutatójú üvegfelületér®l történ® visszaver®dése esetén a keresztpolarizációs hatás er®sségét meghatározó, a (30) képletben deniált δX függése a beesési szögt®l

polarizált, akkor v = y , u = x és ∆As−p = cos β cos α Ts cos α − Tp cos β , ahol β a törési szög.

Meggyelhet®, hogy a keresztpolarizációs jel er®ssége azonos a bees® fény beesési síkban és arra mer®leges polarizációja mellett visszavert fény esetén, a két különböz® törésmutatójú közeg által határolt síkpárhuzamos rétegrendszeren történ® áthaladás esetén viszont nem. A (27) képletb®l látható, hogy a keresztpolarizációs jel transzverzális eloszlásának meghatározásában kulcsszerepet játszik a síkhullám-összetev®k hullámszámvektorának a fénynyaláb beesési síkjára mer®leges komponense (ky ). Megmutatható, hogy alapmódusú Gaussfénynyaláb visszaver®dése, törése esetén általában a keresztpolarizált fénynyaláb a 2. ábrán látható (els® rend¶ HermiteGauss) transzverzális intenzitás-eloszlással bír (lásd a függeléket). A fénynyalábok teljesítményét a fénynyalábot alkotó síkhullám-összetev®k Poynting-vektorának a fénynyaláb a terjedési irányú (z -tengely) komponenseinek felösszegzésével a Maxwell-egyenletek segítségével a paraxiális közelítés legalacsonyabb rendjében egy, a terjedés irányára mer®leges síkra vett felületi integrállal a következ®képpen számolható:

n P = 2π

r

ε0 µ0

Z

Z

+∞

+∞

dx −∞

−∞

³ ´ 2 2 dy |ex | + |ey | , (28)

ahol n a közeg törésmutatója, ε0 a vákuum dielektromos állandója, µ0 pedig a vákuum permeabilitása. A (28) képlet segítségével meghatározhatjuk a bees® fénynyaláb Pi teljesítménye és a keresztpolarizációval keltett fénynyaláb PX teljesítménye közötti kapcsolatot:

µ PX = δX

δX =

1 na 2 ni

µ

λ w0

¶2 (29)

Pi ,

|∆As−p | π tan α

¶2 ,

(30)

ahol w0 a fénynyaláb nyalábderék-vastagsága, ami a visszaver®dés vagy a törés során nem változik; ni a fénynyaláb érkezése felöli közeg törésmutatója, míg na visszaver®dés esetén megegyezik ni -vel, áthaladás esetén pedig a túlsó közeg törésmutatója. A (27) képlet tetsz®leges izotrop közegekb®l álló rétegszerkezetr®l történ® visszaver®dés vagy áthaladás esetére érvényes. Két veszteségmentes közeg határfelületén bekövetkez® visszaver®dés és törés esete annyira egyszer¶, hogy ekkor a keresztpolarizációs jelenségek er®ssége áttekinthet®. A 3-5. ábrák egy üvegfelület (n = 1, 48) és vákuum vagy leveg® határfelületén megjelen® keresztpolarizációs jelenségek er®sségét (δX ) ábrázolják a beesési szög (α) függvényében. A beesési síkra mer®legesen polarizált bees® fénynyaláb (szaggatott vonal) esetén a keresztpolarizációs hatás lényegesen er®sebb, mint a beesési síkban polarizált (folytonos vonal) bees® fénynyaláb esetén. Az ábrákat áttanulmányozva meggyelhet®, hogy különösen a beesési síkban polarizált bees® fénynyaláb áthaladása során lesz a keresztpolarizációs hatás igazán kicsi. Leger®sebb keresztpolarizációs jelet nagyobb törésmutatójú közegb®l bees® fénynyaláb visszaver®dése során észlelhetünk. Az ábrák tanulmányozása során ne felejtsük

7

4. ábra. Leveg®b®l érkez® fénynyalábnak egy 1, 48 törésmutatójú üvegfelületén történ® átjutása esetén a (30) képletben deniált δX függése a beesési szögt®l.

5. ábra. Egy 1, 48 törésmutatójú közegb®l érkez® fénynyalábnak a közeg és és leveg® határfelületér®l történ® visszaver®dése esetén a keresztpolarizációs hatás er®sségét meghatározó, a (30) képletben deniált δX függése a beesési szögt®l el, hogy a keresztpolarizált nyaláb teljesítményének számolásakor gyelembe kell még vennünk a bees® fénynyaláb nyalábdereka vastagságának és a fény hullámhosszának arányát a (29) összefüggésnek megfelel®en.

V. ÖSSZEGZÉS Dolgozatunkban véges fénynyalábok háromdimenziós paraxiális leírását adtuk. Különös gyelmet szenteltünk a széleskör¶en elterjedt kétdimenziós leírástól legszem-

6. ábra. Egy 1, 48 törésmutatójú közegb®l érkez® fénynyalábnak a közeg és leveg® határfelületén történ® áthaladása esetén a keresztpolarizációs hatás er®sségét meghatározó, a (30) képletben deniált δX függése a beesési szögt®l. A beesési síkban polarizált bees® fénynyaláb (folytonos vonal) esetén a keresztpolarizációs hatás lényegesen gyengébb, mint a beesési síkban polarizált (szaggatott vonal) bees® fénynyaláb esetén bet¶n®bb eltérést adó polarizációs jelenségek vizsgálatának. A paraxiális leírás következetes alkalmazása is elegend® volt a fénynyalábok háromdimenziós, valós viselkedésének feltárásához. Megmutattuk, hogy fénynyalábok fókuszálása során a keresztpolarizációs hatás jellemz®en lényegesen gyengébb, mint izotrop határfelületeken bekövetkez® törés vagy visszaver®dés esetén. Megmutattuk, hogy alapmódusú Gauss-fénynyalábok visszaver®dése, törése során a keresztpolarizált fénynyaláb mindig els®rend¶ HermiteGauss eloszlású. A keresztpolarizációs jel er®sségét a fénynyaláb beesési szögének függvényében grakonok segítségével is megadtuk a legegyszer¶bb esetben, amikor a fénynyaláb vákuum vagy leveg®, illetve egy üveg sík határfelületén ver®dik vissza, vagy törik meg. A keresztpolarizációs jel er®sségét meghatározó képletek azonban tetsz®leges síkpárhuzamos izotrop rétegekb®l álló dielektrikum rétegszerkezeten bekövetkez® visszaver®dés, illetve törés esetén is alkalmazhatók. A reexió és törés jelensége során fellép® keresztpolarizációs jelenségek egyszer¶ kísérletekkel könnyen vizsgálható [5, 7].

FÜGGELÉK: A GAUSS-FÉNYNYALÁBOK PARAXIÁLIS KÖZELÍTÉSÉNEK SZÁMOLÁSA A fénynyalábok paraxiális közelítése a fénynyalábok síkhullám-összetev®re történ® felbontásával úgy értelmezhet®, hogy lényegében a nyaláb terjedési irányával csupán kis szöget bezáró síkhullámok játszanak csak sze-

8 repet a nyaláb kialakításában, így a kifejtés szempontjából érdekes síkhullámok hullámszám-vektorára teljesül, hogy kx , ky ¿ k, kz . Ekkor a hullámszám-vektorok z komponense a paraxiális közelítés második rendjében:

kz ≈ k −

ky2 kx2 − 2k 2k

(31)

Gauss-fénynyalábok paraxiális optikájának számolása során alkalmazandó (3) és (4) integrálképletek kiértékeléséhez az alábbi integrálképletekre van szükség. A Siegman-lemma egy integrálképlet (lásd a [3] 337. oldala), azt mondja, hogy tetsz®leges, komplex A és B esetén, ha Re (A) > 0, akkor

Z

+∞

¡

2

¢

exp −A x − 2 B x dx = −∞

r

π exp A

µ

B2 A

A Siegman-lemmából parciális-integrálással levezethet® a következ® két hasznos integrálképlet [7]:

Z

+∞ −∞

Z

¡ ¢ −B x exp −A x2 − 2 B x dx = A +∞

−∞

r

π exp A

µ

¡ ¢ x2 exp −A x2 − 2 B x dx = r µ 2¶ B B 2 + A/2 π exp . = 2 A A A

¶ B2 , A (33)

(34)

¶ . (32)

[1] R. Dorn, S. Quabis, and G. Leughs. Sharper focus for a radially polarized light beam. Phys. Rev. Lett., 91:233901 1, 2003. [2] M. Born and E. Wolf. Principles of optics. Cambridge University Press, 1999. [3] A. E. Siegman. Lasers. University Science Books, Mill Valley, California, 1986. [4] B. Richards and E. Wolf. Electromagnetic diraction in optical systems ii. structure of the image eld in an aplanatic system. Proc. Roy. Soc. A, 253:3581, 1959.

[5] A. K®házi-Kis. Cross-polarization eects of light beams at interfaces of isotropic media. Opt. Comm., 253:2837, 2005. [6] W. Nasalski. Three-dimensional beam reection at dielectric interfaces. Opt. Comm., 197:2171, 2001. [7] A. K®házi-Kis. Gauss-fénynyalábok alkalmazása femtoszekundumos lézerek tervezésében és keresztpolarizációs jelenségek vizsgálatában. PhD értekezés, SZTE, Fizika Iskola, 2005.