Finanční deriváty Smlouvy, jimiž se neobchoduje s podkladovými aktivy, ale právy na ně (=>„obchody s rizikem“).. • Hodnota vzniká zprostředkovaně přes hodnotu podkladového aktiva nebo ukazatele. • Existence derivátů zvyšuje efektivitu trhů (větší likvidita, nižší transakční náklady); jsou výhodné k zajišťování rizik i ke spekulaci. • Obchodují se prostřednictvím burz a brokerů (=>standardizace, vysoká likvidita) nebo tvoří na míru klientům (tzv. „OTC deriváty“=>mohou mít jakékoliv požadované charakteristiky). ŘÍZENÍ RIZIK I
Základní typy finančních derivátů • Termínové obchody (a futures): Vypořádání nákupu či prodeje v budoucnosti za pevných podmínek. • Swapy: Výměna určitého aktiva za jiné na pevně stanovenou dobu; zvláštním typem jsou tzv. repo operace - dohody o prodeji a zpětném nákupu (swap lze interpretovat jako kombinaci promptních a termínových obchodů). • Opce: Právo jedné ze smluvních stran na budoucí uskutečnění obchodu za pevných podmínek. ŘÍZENÍ RIZIK I
Arbitráž a její role při oceňování • Arbitráž je koupě aktiva na jednom trhu a jeho okamžitý prodej se ziskem na jiném trhu. • Na efektivním trhu by to byl stroj na peníze, a proto záhy dojde působením nabídky a poptávky při arbitráži k nastolení jediné rovnovážné ceny. • Jednou z aplikací je tzv. replikace - instrument s neznámou tržní cenou lze pro účely ocenění nahradit portfoliem peněžních toků se stejnou strukturou při všech možných stavech světa.
ŘÍZENÍ RIZIK I
Příklad - replikace • Chceme za rok obdržet 100 tisíc dolarů za pevnou cenu. • Budoucí kurs neznáme, je znám aktuální kurs pUSD/CZK = 25,00 a bezriz. roční výnosy rUSD = 4%, rCZK = 3%. • Budoucí cenu dolaru lze replikovat: Koupíme určitou částku již dnes, a to tak, abychom měli za rok 100 tis. $. • Dolary můžeme investovat, dnes proto stačí koupit 100 000/(1,04) = 96 154 $ za 96 154×25 = 2 403 846 Kč. • Koruny nemáme, musíme si je tedy půjčit; za rok pak musíme splatit 2 403 846×(1,03) = 2 475 961 Kč. • Za rok tedy obdržíme 100 000 $ za 2 475 961 Kč, což odpovídá kursu 24,76 (=25×1,03/1,04 ...úroková parita) ŘÍZENÍ RIZIK I
Termínové obchody Smlouva, na jejímž základě se obchod vypořádá v budoucnosti za pevně stanovených podmínek. • Smlouva je dána typem a množstvím podklad. aktiva, termínem dodání a cenou při dodání. • Futures jsou termínové obchody se standardními podmínkami, obchodované na finančních trzích. Protistranou je zde burza (to zvyšuje likviditu, snižuje riziko vypořádání) a zpravidla nedochází k fyzickému dodání aktiva (před vypořádáním se smlouva prodá nebo se její hodnota vyplatí v penězích). ŘÍZENÍ RIZIK I
Zobecnění - replikační ocenění TO
okamžitý nákup za cenu p
• Termínový obchod pro zhodnocující se aktivum (např. cizí měna, akciový index) • Replikace = okamžitý obchod za cenu p + investice s výnosností y - náklad financování r 1 / (1+yt)
p / (1+yt)
současná hodnota
budoucí hodnota
1 (jednotka aktiva)
F = p (1 + rt) / (1 + yt)
= > F = p (1 + r)t / (1 + y)t = > (se spojitými mírami výnosů) F = p ert / eyt = p e(r-y)t ŘÍZENÍ RIZIK I
Aktivum s jednorázovými příjmy
okamžitý nákup za cenu p
• Termínový obchod pro aktivum s jednorázovými příjmy (např. akcie, kupónové dluhopisy, náj. smlouvy) • Termínová cena je nižší o budoucí hodnotu příjmu, který obdržel vlastník aktiva. 1 / (1+yt)
p / (1+yt)
současná hodnota
1 (jednotka aktiva)
Y (příjem) budoucí hodnota FY = Y (1 + rT-t) budoucí hodnota FA = p (1 + rt) / (1 + yt)
= > F = p (1 + r)t / (1 + y)t - Y (1 + r)t-T = > F = p e(r-y)t - Y er(t-T) ŘÍZENÍ RIZIK I
Příklady - Ocenění termín. obchodů Vždy bezriz. efekt. výnos re = 3% vypoř. za 3 měsíce. • Akcie Komerční banky při p = 3 200 Kč. rQ = (re+1)0,25-1= 0,74% => F = 3200(1+0,74%)= 3224 Kč r = ln(1+re) = 2,96% => F = 3200 e2,96%×0,25 = 3 224 Kč • Táž akcie s dividendou Y = 100 Kč splat. za 1 měsíc F = p ert – Y er(t-T) = 3224 Kč - 100 e2,96%(2/12) = 3 123 Kč • Cizí měna (jen) při p = 18,52/100 Kč; ry = 0,50% F = p e(r-y)t y = ln(1+rY) = 0,499% F = 18,52 e(2,96%-0,499%)×0,25 = 18,63/100 Kč ŘÍZENÍ RIZIK I
Ocenění termínových obchodů U termínových obchodů je snadná replikace; termínová cena závisí na okamžité ceně a nákladu držby aktiva (= oček. úrokové a jiné náklady - oček. příjmy z aktiva). • Aktivum bez vlastních příjmů (např. krátkodobě držené akcie, drahé kovy) F = p ert ... nebo ... F = p (1 + re)t • Aktivum s průběžným zhodnocováním y (např. cizí měny, diskontované úvěry, indexy, komodity) F = p e(r-y)t ... nebo ... F = p (1 + re)t / (1 + ye)t • Aktivum s jednorázovými příjmy Y v čase T (akcie) F = p ert – Y er(t-T) ... nebo ... F = p(1 + re)t – Y(1 + rT-t )(t-T) ŘÍZENÍ RIZIK I
Příklad - Ocenění pozice ve futures • Obchodník koupil před třemi měsíci futures na prodej akc. indexu S&P 500 za 6 měsíců při ceně F = 1 190 $. Dnešní hodnota indexu pS&P = 1 380 $, bezriziková úroková sazba r$ = 5%, očekávaný roční výnos akc. trhu rS&P = 8%. Jaká je nyní hodnota těchto futures? • Současná hodnota term.ceny F je rovna F/e0,25×(5%-8%) = 1 199 $. ... (futures vyprší za 3 měsíce, tzn. 0,25 roku) • Index ale dnes může prodat za 1 380 $. Proto by při prodeji realizoval ztrátu V = 1 199 - 1 380 = -181 $. Dlouhá pozice má tedy hodnotu V = p - Fe-t(r-y) = 181 $; (krátká pozice má hodnotu V = Fe-t(r-y) - p). ŘÍZENÍ RIZIK I
Příklad - Ocenění pozice ve futures • Obchodník koupil před třemi měsíci futures na prodej akc. indexu S&P 500 za 6 měsíců při ceně F = 1 190 $. Dnešní hodnota indexu pS&P = 1 380 $, bezriziková úroková sazba r$ = 5%, očekávaný roční výnos akc. trhu rS&P = 8%. Jaká je nyní hodnota těchto futures? • Současná hodnota term.ceny F je rovna F/e0,25×(5%-8%) = 1 199 $. ... (futures vyprší za 3 měsíce, tzn. 0,25 roku) • Index ale dnes může prodat za 1 380 $. Proto by při prodeji realizoval ztrátu V = 1 199 - 1 380 = -181 $. Dlouhá pozice má tedy hodnotu V = p - Fe-t(r-y) = 181 $; (krátká pozice má hodnotu V = Fe-t(r-y) - p). ŘÍZENÍ RIZIK I
Cenová citlivost termínových obchodů Termínový obchod má v okamžiku uzavření nulovou hodnotu. hodnotu. Citlivosti z pohledu kupujícího (tj. dlouhé pozice v podkl. akt.): rizikový faktor změna riz. faktoru změna hodnoty kontraktu cena podklad. aktiva růst růst úroková sazba růst růst výnos podkl. aktiva růst pokles V
V
r-y
p ŘÍZENÍ RIZIK I
Deriváty vs. podkladová aktiva Známy termín. ceny ropy; F3M = 60,74 $, F6M = 63,62 $. Neznáme okamžitou cenu p ani náklad financování c. p = F3M / ec×0,25 = F6M / ec×0,5 c = ln(F2/F1)/(t2-t1) = 18,53%; p = 57,99 $ ...(implicitně) Jaká je citlivost na změnu ∆p, koupím-li N termín. obch.? ∆V = N (V1-V0) = N[(p1 - Fe-t(r-y)) - (p0 - Fe-t(r-y))] = N ∆p Stejné citlivosti dosáhneme koupí příslušného počtu kusů podkl. aktiva, ale musíme vynaložit kapitál VA0 = N p0 (zatímco VF0 = 0). Pozn.: I koupě derivátů v praxi určitý kapitál vyžaduje srov. zajišťovací (marginový) vklad (ŘR II). ŘÍZENÍ RIZIK I
Příklad - Repo operace Klient si chce od banky půjčit formou repooperace peníze na 3 měsíce proti zástavě pokladniční poukázky, splatné za 6 měsíců v nominální hodnotě 1 mil. Kč. Banka si účtuje repo sazbu i = 5,25% a chce mít úvěry plně kryté, i kdyby tržní výnosy vzrostly na rmax = 10%. Cena zpětného nákupu (closing leg) R3M = 1000000/e10%×(0,5-0,25) = 975 310 Kč. Pozn.: Je-li r = 3%, pak zajišťovací marže (haircut) oproti F3M = 1000000/e3%×(0,5-0,25) = 992 528 Kč činí 1,77%. Cena počátečního prodeje (front leg) R0 = 975310/e5,25%×0,25 = 962 593 Kč. ŘÍZENÍ RIZIK I
Opce Smlouva, kde má jedna ze stran právo trvat na budoucím vypořádání obchodu za pevně stanovených podmínek. • Podkladové aktivum (nebo podkl. ukazatel) • Uplatňovací cena (S) • Doba do uplatnění (t) • Kupní opce (call) vs. prodejní (put) opce • Vydavatel opce (short) vs. držitel opce (long) • Evropská opce vs. americká opce; exotické opce • Finanční opce; vestavěné opce; reálné opce ŘÍZENÍ RIZIK I
Příklad - opce Evropská kupní opce na akcii ČEZ s uplatňovací cenou S = 1 000 Kč a dobou do uplatnění t = 0,25 (≈ 90 dnů). • Její držitel má právo, nikoliv povinnost, v den uplatnění převzít 1 kus akcie (podkladového aktiva) za cenu S, vydavatel má povinnost tento požadavek splnit. • Lze předpokládat, že držitel své právo uplatní v případě, že v den uplatnění bude tržní cena akcie p>S, pak realizuje zisk p-S; v opačném případě opci neuplatní. • Hodnota kupní opce při uplatnění je tedy VC =max{0; p-S}; pro prodejní opci platí VP = max{0; S-p} Opce (právo) má pro držitele vždy nezápornou hodnotu, hodnotu, danou časovou hodnotou opce. ŘÍZENÍ RIZIK I
Hodnota opce Vnitřní hodnota (kupní) opce
Celková hodnota (kupní) opce
V
V v penězích (in-the-money)
S
p
na penězích bez peněz (out-of-the-money) (at-the-money)
rizikový faktor ∆ riz. faktoru kupní opce cena podklad. aktiva růst růst úroková sazba růst růst volatilita podkl. aktiva růst růst doba do uplatnění pokles pokles
p Časová hodnota prodejní opce pokles pokles růst pokles
Z tržních cen obchodovaných opcí lze implicitně odhadnout volatilitu podkladového aktiva. ŘÍZENÍ RIZIK I
Opční strategie Opční strategie replikují peněžní toky při uplatnění opce. Steláž (straddle) V
Škrtič (strangle) V
p koupě kupní opce koupě prodejní opce Vertikální rozpětí na růst (vertical bull spread)
V
Motýlek (butterfly) V
koupě kupní opce
p prodej kupní opce
p koupě kupní opce koupě prodejní opce koupě kupní opce při S1 prodej kupní opce při S2 koupě VRR prodej VRR prodej kupní opce při pS2 koupě kupní opce při S3 ŘÍZENÍ RIZIK I
Parita kupní a prodejní opce Kupní opci lze replikovat pomocí prodejní opce a termínového obchodu: V
koupě prodejní opce
Výsledkem je kupní opce. p koupě term. kontraktu na podkladové aktivum
Z replikace vyplývá, že VC = VP + VF, tzn. (pro aktiva neposkytující příjmy): VC = VP + p - S e-tr Pozn.: Stačí tedy ocenit (evropskou) kupní opci, cenu prodejní opce z ní pak lze odvodit. ŘÍZENÍ RIZIK I
Oceňování opcí • Na základě binomického modelu rozhodovacího procesu v čase a jeho numerickým řešením: – Rekurzí => Coxův-Rossův-Rubinsteinův model – Simulací => Monte Carlo
• Analytickým řešením výsledku dynamického zajišťování => Blackův-Scholesův model a jeho varianty (Mertonův model, Blackův model, Garmanův-Kohlhagenův model). • Binomický model je výpočetně náročnější, ale obecnější (na rozdíl od B-S umožňuje ocenit americké či exotické opce); konverguje k B-S. ŘÍZENÍ RIZIK I
Princip binomického modelu Kupní opce: S = 40 na aktivum s p = 32 Kč, které v čase t nabude hodnot d = 16 Kč nebo u = 64 Kč; rt = 2%. 1. Opce bez peněz nebude uplatněna, a tedy Vd = 0 2. Opce v penězích, uplatněna, hodnota Vu = 64 - 40 = 24 • Strukturu příjmů replikujeme N term. obch. na podkl. akt. Aby měly t.o. při ceně podkl. aktiva 16 Kč nulovou hodnotu, musely být vystaveny s term. cenou F = 16. Dnes tedy mají hodnotu VF = p - F/(1+rt) = 16,31 Kč. • Hodnota N term. obch. je při vypořádání obecně rovna VNF = N(FA - F). Protože chceme, aby při FA = u = 64 → VNF = 24, musí být N = 24/(64-16) = 0,5. • Opce tedy musí mít hodnotu VC = 0,5×16,31 = 8,16 Kč. ŘÍZENÍ RIZIK I
Příklad - binomický model Kupní opce S = 1 100; p = 1 000; r = 5%; 4 periodický model. 1 215,51 115,51 1 157,63 71,29 1 102,50 43,99
1 102,50 2,50
F = 1 100; N = 1 VF = 1157,63 - 1100e-0,25×5% = 71,29 VC = N VF = 71,29
F = 1 000 1 050,00 1 050,00 N = (u - S)/(u - d) = 27,14 1,52 2,50/102,5 = 0,0244 1 000,00 1 000,00 1 000,00 V = 1050 - 1000e-0,25×5% = F 16,74 0,93 0,00 62,42 952,38 952,38 VC = N VF = 1,52 0,56
0,00
907,03 0,00
907,03 0,00 863,84 0,00
N = 0 => VC = 0 822,70 0,00
ŘÍZENÍ RIZIK I
Blackův-Scholesův model Předpokl.: Evropská opce, aktivum bez vl. příjmů, normální rozdělení logaritmických výnosů. VC = p N(d1) - S e-rt N(d2) d1 = [ln(p/S) + (σ σ2/2) t] / (σ σ √t) d2 = d1 - σ √t
Příkl.: p = 500 Kč; S = 510 Kč; r = 3%; t = 3 měs. (=0,25); σ = 20% d1 = [ln(500/510)+(0,04/2)×0,25]/(0,2×0,5) = -0,0730 d2 = -0,0730 - 0,2×0,5 = -0,1730 N(d1) = N(-0,0730) = 0,4709; N(d2) = N(-0,1730) = 0,4313 (distribuční funkce normovaného normálního rozdělení) VC = 500×0,4709 - 510×e-20%×0,25×0,4313 = 17,12 Kč -3%×0,25 = 23,31 Kč VP = VC - p + Se-rt = 17,12-500+510×e ŘÍZENÍ RIZIK I
Varianty Blackova-Scholesova modelu Mertonova formulace pro aktiva s vlastními příjmy VC = p e-yt N(d1) - S e-rt N(d2) d1 = [ln(p/S) + (r - y + σ2/2) t] / (σ σ √t) d2 = d1 - σ √t
Př.: p$ = 25 Kč; S = 24 Kč; r = 3%; y = r$ = 5%; t = 0,5; σ$ = 12% (aplikaci na cizí měny se říká Garmanův-Kohlhagenův model) d1 = 0,4057; d2 = 0,3208 N(d1) = 0,6575; N(d2) = 0,6258 VC = 25×e-5%×0,5×0,4057 - 24×e-3%×0,5×0,3208 = 1,24 Kč VP = VC - p + Se-(r-y)t = 0,50 Kč ... pozor, mění se hodnota term. o. Pozn.: Existují i analytické modely pro opce na termín. obchody (Blackův model) a pro jiná statist. rozdělení výnosů. ŘÍZENÍ RIZIK I
