KıEGEsziTEsEK Az ADDıTiv TiPUsı'J
FÜGGVENYEGYENLETEK ELMELETEHEZ, ı. VINCZE ENDRE Kézirat beérkezett: 1974. szeptember 10-én.
I. legyen Q tetszőleges Abel-csoport, R pedig a valós számok halmaza. I-Ihlwıı zl zlıılgımılhan az
j
f(X+y)=F[f(-x)„f(-J×)l
ll-ll
[x,yEQ; f:Q->R; F:R2 ->R]
ııjııııtı iiiggvényegyenletek megoldásával foglalkozunk, ahol az F adott függvényről lel ıaıszıık, hogy mindkét változójában folytonos és szigorúan monoton. „Formálisan tekintve” az (1 .1) egyenlet speciális esete az
f(ax + by + 0) =F[f(x). f(y)1[x,y,zz,õ,@ EK; fzK-R; F :R2-R]
(L2)
ıııggveııyegyenletnek, ahol K tetszőleges zérus karakterisztikájú test,Ü az a, b, c pedig ing: itt-tl K-beli konstansok. Az a = -1, b = - 1 és c = 0 speciális eset lehetővé teszi, hogy zıı. (I .2) egyenletet a K test helyett a Q csoporton vizsgáljuk. .-ir-zé! J. bebizonyította (vö. [l]; [2]; [4]; [5], pp. 102-109; [6], p. 123; [7], pp. 'I JS; |8|, pp. 40-41; [9], pp. 391-396; [10], pp. 199-201; [l1], pp. 287-290; és I meg |3 |), hogy ha a mindkét változójában folytonos és szigorúan monoton F :R2 -> R lıtgi.-ı-ı*rıy biszimmetrikus, azaz kielégíti az
F(F(X, Y), F(U„ V)] =F[F(X„ U), F(Y. Vll
(1-3)
Ü /\ı. (l.2) egyenlet érvényességét „látszólag” elegendő lenne egy null-osztómentes gyűrű elemeuı li-Itt'-telezni, azonban minden eddig ismert tárgyalásmód feltételezi, hogy zérus karakterisztikıijıi ızız t--tr-tek többségében valós) testről van szó. \-f.-itt-` A'o'zlı-rmfrıyeí, 1 V. Sorozat, Természettudományok. 22 (1976), 143- 148
|4_;
jüggvényegyenletet, akkor létezik olyan q:R -> R folytonos szigorúan monoton függvény és A, B, C E R (AB sé 0) konstans, melyekkel F az
F(X. Y)=a"*[-4a(X)+Ba(Y)+Cl
(1-4)
alakban állitható elő. E tétel alapján ugyancsakAczél J . [10], [11] megadta az f(Ű-76 + by + 0) =F1f(x)„ f(Y)1
(1-2*)
[x,y,a,b,cGR; f:R->R; F:R2->R] függvényegyenlet összes folytonos, szigorúan monoton f megoldásait is; a, b, c konstansok és ab =z4'= 0. Az (1.2*) vagy az (l.2) egyenlet nenıfolytonos megoldásai - teljes általánosságban - csak speciális F esetén ismeretesek. Az ezirányú vizsgálatok közül különösen Darőczy Z. [l2], [13] vizsgálatai emelhetők ki az f(ax + by + c) =Af(x) + B_f(y) + C [x,y,a, b, c,A,B, CER; f:R ->R] egyenlettel kapcsolatosan, továbbá az ennek általánosításaként jelentkező
f( X + by +C)=Df(X)f(J*)+Af(X)+Bf(J')+ C [x,y,a,b,c,A,B,C,DER; f:R ->R] egyenletet Losonczi L. [14], [15] vizsgálta ill. oldotta meg teljes általánosságban (vö.
1161. 1171)2. Az (1.1) függvényegyenletre érvényes a következő
TETE L. Ha az
f(X+J')=F1f(“'x)„f(`“J”)1
(1-1)
[x,yEQ; f:Q->R; F:R2->R] fiiggvényegyenletben F mindkét változőfának folytonos, szigorúan monoton függvénye és f(x) fëkonst, akkor F szükségképpen biszimmetrikus, továbbá létezik olyan q :R ->R folytonos szigorúan monoton függvény, mellyel F az
F(X.Y>=zz`*i-zzoo-zz(Y>+c`i
(C-õzzifroni
alakban állitható elő, a fíiggvényegyenlet megoldásai pedig
f(x) =zz`* i1p(x>+qif(0)ı} alakúak, ahol ip a
~e(X +y) = v(x) + v>(y) lLyGQ;aQ+Rl I44
if(0> fezszõfegzsı -
(2-1)
ı nm -hi' egyenlet tetszőleges nem trivlális (gp 3'-* 0) megoldását jelöli. Ilı t.UN Y l'l`ÁS. Először azt látjuk be, hogy F szükségképpen blızimmetrikus [vö. I I ill Ugy ruıis az (1 .l) egyenlet alapján egyrészt
fix +y + H + v)=F[f(-x-r). f(-u-v)l=
=F{Fif(x>. fon. Fifa). f(»)1i. msııeııt pedig
f<x+~+y+»~>=F[f(-x-ur. f(-Az-v)ı= =F{F[f(x>. f(zz>1. Fifa). fooıl. lehet If vııltılıan biszimmetrikus kell legyen. Mivel azF függvény mindkét véltozójlbın tulvtoııuı és szigorúan monoton is, ezért Aczél J. idézett tétele értelmében
F(X. Y)=a`1 [ÁQ(X)+Ba(Y)+Cl
(ÁB*0)
ıhılıu Az ( l.l)egyenletből látható, hogy F szimmetrikus is, tehát
ff' lÁfi(X) + Ba(Y) + Cl =F(X, Y) =
=F(Y. X) == rf' [Aa(Y) + Ba(X) + Clstuııııııııı E lehetséges egyszerűsítések után
(A ~B)[a(X)-a(Y)l=0 lıııwılıe:.ik. Mivel q nem lehet azonosan konstans függvény, ezért A = B 1* 0. A ieııtiek alapján (l.l) helyett
fo +y> = zf' lAq[f(-×>1+A
(2.2)
iılııın. Iievezetve a
v(x) 2 = a [f(x)]
(2-3)
jelitleııt, (2. 2) helyett a
r>(-r+y)=AP(-×)+AP(-r)+C
(2.4)
ıtsrıvejıelıeıı Pexider-tipusú) függvényegyenletet nyerjük. Mivel pedig x és y egy csoport õleıuet. ezért egyrészt azx = y = 0 helyettesítéssel a
vw) = ZAP (0) + C.
(2-5)
ıusıııeızi az y `-`: 0 helyettesítéssel a
PU!) = ÁP( "`-if) + ÁP(0) + C =Á lP( " I) -P(0)l + P(0) 145
egyenletet kapjuk. Ezek ismételt felhasználásával (2.4) helyett
P(× +y)-P(0) =A” [P(-if)-P(0) +-4” [P(y) ~`P(0)] adódik. Innen A2 = 1, amint az az y = 0 helyettesítésből rögtön látható. Azt kaptuk tehát, hogy a
v(x) 2 = v(x) - P(0)
(2-6)
függvény kielégíti a (2.l) Cauchy-féle függvényegyenletet, továbbá (2.3) és (2.6) miatt
Q [f(x)] = v(x) + Q lf(0)l-
(2-7)
Ebből az egyenletből - ip páratlan volta miatt -
4' [f( "X)] = _ v(x) + Q [f(0)]
(2-3)
is következik. _ A továbbiakban már csak azt kell tisztáznunk, hogy a (2.7) [vö. (2.8)] megoldást és a konstansokra nyert (2.5) megszoritást (2.2)-be írva, valóban azonosságot kapunk-e? A (2.2) egyenlet a
Q1f(X +J')l " C`=Á
~P(X + Y) + Q [f(0)] + 2-44 [f(0)l `- q[f(0)l = = -A v(x) + ÁfI[f(0)] “Á 800/) + A4' [f(0)1, azaz
"-4 [v(x) +
8) A = 1 és” ,„(zz)z O. Az ot) esetben tehát szükségképpen A = - 1, továbbá (2.5) miatt C = 3q [f(0)] és ekkor a megoldás valóban
f(x) = -fr* l v(x) + -z [fon } A B) esetben nem kapunk konstanstól különböző megoldást, hiszen (2.7)-ből ip E 0 miatt f E konst következik. Ezzel a tétel bizonyítását befejeztük. 2) Korábban láttuk, hogy A2=1 kell legyen, tehát ha A #2 -1. akkor A =l szükségképpen fennáll 146
IRODALOM
I A("LFIl.: On mean values and Operations deflned for two variableı, Norske I/ld. Sılık. Forh. Tnondheirn, 20 (1947), 37-40.
I, /\('7.F.l..: ()n mean values, Bull. Amer. Math. Soc., 54 (1948), 392-400. I. M'ZRl.: Über eine Klasse von Funktionalgleichungen, Comm. Math. Helv., 21 (1948). J-ll
252.
I. /t(`7.l'.~ÉL: Sur une équation functionnelle, Acad. Serbe Sci. Publ. lnst. Math., 2 (1948). l l
262.
M`7.|7.l. J.: Többváltozós függvényegyenletekről, I. rész: Elemi megoldási módszerek ttlhb-
veltoıós ftiggvényegyenletekre, Mat. Lapok, 2 (1951), 99-~117_ At '7.F.l. J.: A középértékek elméletéhez, Acta Univ. Debrecen, I (1954). 117 135. I /\('7.F.l.: Nekotorije obscsije metodi v teorii funkcionalnih ursvnenll odno] peıemenııoj. Novtıe prlmenenija funkcionalnih uravnerıij, Uszp. Mat. Nauk, ll (1956). No. .I (MI), I MI. I Al '7.F.l.: 0 teorii szrednih, Coll. Math.,4 (1956), 33-55. M 'I.f`.l. J.: Néhány általánosabb módszer az egyváltozós függvényegyenletek elıuéletélıeıı és ıı Itlggvéııyegyenletek egyes újabb alkalmazásai, I., MTA Mat. Flz. Out. Still.. 0 IIIJMII. H5 422.
I. M '7.F.L: Vorlesungen über Funktionalgleichungen und ihre Anwendungın. lltrlıaıaıır Hr lag. llııııel, 1960. I A('?.F.l.: Lectures on Functional Equations and their Applications, Academic Preııı, New York London, 1966. I.. IMRÓCZY: Notwendige und hinreichende Bedingungen für die Existenz voıı nlvlıtlioıııı taııteıı Lösungen linearer Funktionalgleichungen, Acta Sci. Math. Szeged, 22 (l96l I. .ll 4l Il/\R0(`ZY Z.: A bilineáris függvényegyenletek egy osztályáról,Mat. Lapok, l5 (1964). 52 Ho I . I.US()N(`Zl: Bestimmung aller nichtkonstanten Lösungen von linearen Funktionaigleichun-
gen. Arra Sci. Math. Szeged, 25 (1964), 250-254. I()St)N(`Zl L.: Lineáris függvényegyenletek, néhány általánosításuk és alkalmazásuk. Mat. lapok. 17 (1966). 180-214. I . l ()S()N(`.`Zl: Über die Funktionalgleichung f{(a+x)(b+y)c]=[A +f(x)][B+f(y)_|C, NME Ideıwınwlvú Közl., 30 (1970), 263-266.
I~. VlN(`2.l-1: Bcmerkung zur Theorie der linearen Funktionalgleichungen, NME Idegennyelvű Aoıl.. .to (1970), 267-273. IIEITRÃGE ZUR THEORIE DER FUNKTIONALGLEICHUNGEN VON ADDITIVEN TYPUS, I.
ENDRE VINCZE Zusammenfassung Vert. giht eine elementare Lösung für die auf der Abelschen Gruppe Q defınierte Funktionnl-
gletı Iıuug t I . I ). Die Lösungsmethode gilt auch im Falle der níchtstetigen Lösungen.
147
A szerző címe: DR. VINCZE ENDRE egyetemi tanár, intézeti igazgató,
a matematikai tudományok kandidátusa NME Matematikai Intézet, 3515 Miskolc - Egyetemváros
A NEHEZıPARı MŰSZAKI EGYETEM KÖZLEMÉNYEI
IV. sorozat
TERMESZETTUDOMÁNYOK 22. KÖTET - 1 - 3. FÜZET
MISKOLC 1976
SZERKESZTÖ BIZOTTSÁG: VINCZE ENDRE felelős szerkesztő BERECZ ENDRE, SZABÓ JÁNOS
A kiadásért felelős: Dr. Tajnafőí József rektorhelyettes Sajtó alá rendezte: Dr. Vincze Endre egyetemi tanár Technikai szerkesztő: Németh Zoltánné Megjelent az NME Közleményei Szerkesztőségének gondozásában Kézirat szedése: 1.976. június 25 - 1976. november 16., nyomása: 1977. január 5 - 1977. február 15 Példányszám: 450 Készült: IBM-72 composer szedéssel, rotaprint lemezről az MSZ 5601-59 és MSZ S602-55 szabványok szerint, 15 BI5 ív terjedelemben Engedély száma: MTTH-III-3183I1976. A sokszorosításért felelős: Tóth Ottó mb. üzemvezető Nyomdaszám: KSZ 77-1-NME
TARTALOMJEGYZÉK
Medvec Andrej ~ Szentirmai Zsolt: Anyagi pont kísérő trléderlıez vlıznnyltntt mozgása z z .ez z :~ z~ 2 ~Obádovics J. Gyula: Differenciálegyenlewendszerrel kapcsolatos Cauchy-féle prıılı léma Lp[a, b]>beli együttható fiiggvényekkel - - - -Vincze Endre: Valós kétkomponensű gyűrűk és testek előállítása függvéııyuıyııı letek segítségével ~ ~ ~ f ~ - - -V. Moszkalec - N. Rudakov - Szabó J.: Hőmérsékleteloszlás homogén ktlzellıeıı mozgó hőforrás esetén
1
1
~
- - - -
--
-
~
A
A
-~ ~
-
-
Vincze Endre: Kiegészítések az additív típusú függvényegyenletek elméletéhez, l. DO:-mány Mihály: Néhány megjegyzés a kétállapotú rendszerek mintavételes vízs-
gáızıáıõı ~
z~ z
A
ll W ltl
Mohamed Maher Ali Mohamed El-Naggar: Lineáris másodfajú operátoregyenletek numerikus megoldása javított iterációval, I. - - - - Mohamed Maker Ali Mohamed El-Naggar: Lineáris másodfajú operá toregyenletek megoldása javított iterációval, II.
I
e z - --
H9 ll3
l43
ı49
Dormány Mihály: Egy dichotom döntési probléma megoldása szekvenciális minta-
võıeıezésizijázzisszı
z
zz z
~ - - - - --
7- --
Hancsik Zsolt: Eljárások előírt térgörbére illeszkedő felület által burkolt forgás~ felület számítására - - - -- - --- - -- - - - - - - - --
189 l67
